Все точные описания старших 3-цепей в 3-многогранниках без 3-вершин

Аннотация

3-Цепь uvw назовем  (i,j,k)-цепью, если $d(u)\le i$, $d(v)\le j$ и $d(w)\le k$, где d(x) - степень вершины x. Хорошо известно, что в каждом 3-многограннике найдется вершина степени не более 5, называемая младшей. Описание 3-цепей в 3-многограннике называется младшим или старшим, если центральное вхождение в каждой его тройке не более 5 или не менее 6, соответственно. Еще в 1922 г. Франклин доказал, что каждый 3-многогранник с минимальной степенью 5 содержит (6,5,6)-цепь; это описание является точным. Недавно Бородин и Иванова усилили теорему Франклина, описав все 10 точных младших описаний 3-цепей в классе ${\bf P_4}$ 3-многогранников с минимальной степенью 4. В 2016 г. Бородин и Иванова доказали, что каждый многогранник с минимальной степенью 5 содержит (5,6,6)-цепь и  не существует точных описаний 3-цепей в этом классе 3-многогранников, отличных от {(6,5,6)} и {(5,6,6)}. Целью настоящей статьи является доказательство существования в точности четырех старших точных описаний 3-цепей в ${\bf P_4}$: {(4,9,4),(4,7,5), (5,6,6)}, {(4,9,4),(5,7,6)}, {(4,9,5),(5,6,6)} и {(5,9,6)}.