Точное описание граней в триангуляциях тора с минимальной степенью 5

Аннотация

Степень $d(x)$ вершины или грани $x$ в графе $G$ есть число инцидентных ребер. Грань $f=v_1\ldots v_{d(f)}$ плоском или тороидальном графе  $G$ имеет тип $(k_1,k_2,\ldots)$, если $d(v_i)\le k_i$ для каждого $i$. Через $\delta$ обозначим минимальную вершинную степень графа $G$. В 1989 г. Бородин подтвердил гипотезу Коцига 1963 года о том, что каждый граф с минимальной степенью $\delta=5$ содержит грань типа $(5,5,7)$ или $(5,6,6)$, где все параметры точны. Из классической теоремы Лебега (1940) следует, что каждая плоская триангуляция с $\delta\ge3$ содержит грань одного из типов: $(3,3,3,\infty)$, $(3,3,4,11)$, $(3,3,5,7)$, $(3,4,4,5)$. Недавно мы улучшили этот результат следующим образом: ``$(3,3,3,\infty)$, $(3,3,4,9)$, $(3,3,5,6)$, $(3,4,4,5)$'', где все параметры, возможно исключая $9$, являются неулучшаемыми, а 9 не может быть понижено ниже 8. В 1995 г. Августинович и Бородин доказали, что каждая триангуляция тора с $\delta\ge3$ содержит грань одного из следующих типов: $(3,3,3,\infty)$, $(3, 3, 4, 10)$, $(3, 3, 5, 7)$, $(3, 3, 6, 6)$, $(3, 4, 4, 6)$, $(4, 4, 4, 4)$, где все параметры неулучшаемы. Цель настоящей заметки - доказать, что каждая триангуляция тора с $\delta\ge5$ содержит грань одного из следующих типов:  $(5,5,8)$, $(5,6,7)$ или $(6,6,6)$, где все параметры неулучшаемы.