Мягкие 3-звезды в разрешенных плоских графах
Ключевые слова:
плоский граф, структурные свойства, обхват, точное описание, вес, высота, 3-звезда, мягкая 3-звезда.Аннотация
Мы рассматриваем плоские графы с достаточно большим обхватом $g$, минимальной степенью $\delta$ не менее 2 и без $(k+1)$-цепей, состоящих из вершин степени 2, где $k\ge1$. В 2016 г., Худак, Мачекова, Мадараш и Сироцки изучили случай $k=1$, т.е. когда отсутствуют смежные 2-вершины, и доказали, в частности, что найдется 3-вершина, все три соседа которой имеют степень 2 (так называемая мягкая 3-звезда), при условии, что $g\ge10$, где оценка на $g$ точна. Для первого открытого случая $k=2$ известно, что мягкая 3-звезда существует при $g\ge14$, но может не существовать при $g\le12$. В настоящей заметке мы решаем случай $k=2$, дав конструкцию с $g=13$ без мягких 3-звезд. Для всех $k\ge3$ мы доказываем, что мягкие 3-звезды существуют при всех $g\ge4k+6$, но, как следует из нашей конструкции, возможно не существуют если $g\le3k+7$. Мы предполагаем, что на самом деле мягкие 3-звезды существуют при всех $g\ge3k+8$.
