Об одном классе вершинно-транзитивных дистанционно регулярных накрытий полных графов, II

Аннотация

Пусть $\Gamma$ --- абелев антиподальный дистанционно регулярный граф
диаметра 3, обладающий следующим свойством:
$(*)$ \emph{$\Gamma$ имеет транзитивную группу автоморфизмов $\widetilde{G}$,
которая индуцирует примитивную почти простую группу подстановок $\widetilde{G}^{\Sigma}$
на множестве ${\Sigma}$ его антиподальных классов.} Если подстановочный ранг ${\rm rk}(\widetilde{G}^{\Sigma})$ группы $\widetilde{G}^{\Sigma}$ равен $2$,  то граф $\Gamma$ является реберно симметричным; более того, все такие графы теперь известны. Цель настоящей работы --- описать графы $\Gamma$ со свойством $(*)$
в случае, когда ${\rm rk}(\widetilde{G}^{\Sigma})=3$. Согласно классификации примитивных почти простых групп подстановок ранга $3$ цоколь группы $\widetilde{G}^{\Sigma}$ при данном условии является либо спорадической простой группой, либо знакопеременной группой, либо простой группой исключительного лиева типа, либо классической простой группой. Ранее  были описаны графы $\Gamma$ при условии, что ${\rm rk}(\widetilde{G}^{\Sigma})=3$ и цоколь группы $\widetilde{G}^{\Sigma}$ является спорадической простой группой.
Здесь мы исследуем случаи, когда $(i)$ цоколь группы $\widetilde{G}^{\Sigma}$ является знакопеременной группой или $(ii)$ $|{\Sigma}|\le 2500$ и цоколь группы $\widetilde{G}^{\Sigma}$ --- простая группа исключительного лиева типа.
Мы показываем, что семейство недвудольных графов $\Gamma$ со свойством $(*)$ и $\rk(\widetilde{G}^{\Sigma})=3$ в знакопеременном случае конечно и ограничено небольшим числом потенциальных экземпляров с $|\Sigma|\in\{10,28,120\}$, каждый из которых является накрытием одного из пяти определенных дистанционно-транзитивных графов Тейлора. Для каждой заданной группы $\widetilde{G}^{\Sigma}$ степени $|{\Sigma}|\le 2500$ исключительного типа мы существенно сужаем набор допустимых параметров графа $\Gamma$.