Измерение дуг орбиты однопараметрической группы преобразований
Ключевые слова:
орбиты однопараметрической группы преобразований, середина дуги, равные дуги, длина дуги, инвариантная относительно группы преобразований, двойные числа (гиперболические).Аннотация
На орбитах однопараметрической группы преобразований можно определить различные геометрические структуры посредством биекции с множеством действительных чисел, в частности, структуру евклидовой прямой в духе Гильберта с соответствующими понятиями точки, полуорбиты (аналог луча), ориентированной дуги (аналог отрезка с упорядоченными концами), отношения "между" для трёх точек, равенства ориентированных дуг и другими инвариантами группы преобразований. Показывается, что мера дуг, определяемая как положительно определённая аддитивная функция, инвариантная относительно группы преобразований, существует и распадается на 2 независимые меры, однозначно определённые на классах дуг одинаковой ориентации заданием эталонов - по одному в каждом классе - и совпадает с результатом измерения этими эталонами с разных концов дуги. $\lambda$-конгруэнтность позволяет измерять противоположно ориентированные дуги одним эталоном. В этом случае противоположные дуги ab и ba (не $\lambda$-конгруэнтные) имеют различные значения меры, что заставляет задуматься о корректности известных доказательств существования и единственности меры длины отрезка в евклидовом пространстве. С $\lambda$-конгруэнтностью при $\lambda=-1$ орбита представляет собой модель евклидовой прямой.
