Скрученная теорема Бернсайда-Фробениуса и свойство $R_\infty$ для групп типа ламповых

Аннотация

В работе доказано, что приведённое сплетение групп вида ${\mathbb{Z}_n \mathbin{\mathrm{wr}} \mathbb{Z}^k}$ обладает свойством $R_\infty$, то есть любой её автоморфизм $\varphi$ имеет бесконечное число Райдемайстера, в точности в двух случаях: (1) при чётном $n$ и произвольном $k$; (2) при $n$, делящемся на три, и чётном $k$.
В остальных случаях существуют автоморфизмы с конечным числом Райдемайстера, для которых доказана конечномерная скрученная теорема Бернсайда--Фробениуса, утверждающая, что число $R_\infty$ совпадает с количеством классов эквивалентности конечномерных унитарных представлений, неподвижных под действием ${[\rho]\mapsto[\rho\circ\varphi]}$.