Logarithmic asymptotic of the number of central vertices of almost all $n$-vertex graphs of diameter $k$

Аннотация

Исследуется асимптотическое поведение числа центральных вершин и центрального соотношения ${\mathbb R}_{c}(G)=|{\mathbb C}(G)|/|V(G)|$, введенного Ф.~Бакли, для почти всех $n$-вершинных графов $G$ фиксированного диаметра $k$.

Установлена логарифмическая асимптотика числа центральных вершин для почти всех таких $n$-вершинных графов: $0$, $1$ или $\log_2 n$ (соответственно для возникающих здесь подклассов графов).

Доказано, что для почти всех $n$-вершинных графов $G$ диаметра $k$ ${\mathbb R}_{c}(G)=1$ при $k=1,2$ и ${\mathbb R}_{c}(G)=1-2/n$ для графов диаметра $k=3$, а при $k\geq 4$ значение центрального соотношения ${\mathbb R}_{c}(G)$ ограничено интервалом $(\frac{\Delta}{6} + r_1(n), 1-\frac{\Delta}{6} - r_1(n))$, за исключением не более одного значения (двух значений) вне этого интервала для чётного диаметра $k$ (для нечётного диаметра $k$) в зависимости от значения $k$. Здесь $\Delta\in (0,1)$ --- любая наперёд выбранная константа и $r_1(n),r_2(n)$ --- положительные бесконечно малые функции.