Когда (дуальный) модуль Бэра является прямой суммой (ко-)первичных модулей

Аннотация

Начиная с 2004 г, модули Бэра как обобщение колец Бэра рассматривались многими авторами. Модуль $M_R$ называется модулем Бэра, если любое пересечение ядер эндоморфизмов $M_R$ является прямым слагаемым в $M_R$. Известно, что коммутативные кольца Бэра не содержат ненулевых нильпотентных элементов. Мы доказываем, что если модуль Бэра M является прямой суммой первичных модулей, то всякое прямое слагаемое в M  есть сжимаемый модуль. Обратное верно, если триангуляционная размерность M конечна (например, если размерность
Голди модуля M конечна). С другой стороны, если всякое прямое слагаемое дуального модуля Бэра M является косжимаемым модулем, то M есть прямая сумма копервичных модулей, причем обратное верно, если сумма конечна или если M является max-модулем. Среди прочих приложений мы показываем, что если R - наследственное нётерово кольцо, то конечно-порожденный R-модуль является модулем Бэра тогда и только тогда, когда он проективный или полупростой. Кроме того, над кольцом, которое Морита-эквивалентно совершенному дуокольцу, все дуальные модули Бэра полупросты.