О геометрических свойствах непрерывных отображений, сохраняющих ориентацию симплексов

Аннотация

Легко показать, что если непрерывное и открытое отображение сохраняет ориентацию всех симплексов, то оно аффинно. В статье рассматривается класс непрерывных открытых отображений $ f: D \subset \R^3 \to \R^3$, сохраняющих ориентацию симплексов из заданного подмножества множества симплексов с вершинами в области $ D \subset \R^3 $. В статье исследуются вопросы геометрической структуры линейных преобразований таких отображений. Это исследование основано на ключевом свойстве: если карта сохраняет ориентацию симплексов из некоторого подмножества B множества всех симплексов с вершинами в D, то прообраз гиперплоскости не может содержать вершины симплекс от B. На основе анализа структуры набора с таким свойством можно получить результаты о его геометрической структуре. В частности, в статье доказано, что если непрерывное и открытое отображение сохраняет ориентацию достаточно широкого класса симплексов, то оно аффинно. Для некоторых специальных классов треугольников в $ \R^2 $ с заданным условием максимального угла авторы ранее доказали, что прообраз прямой является локальным графиком функции (в некоторых случаях липшицевой) в подходящей декартовой системе координат.