Эргодические теоремы в банаховых идеалах компактных операторов
Ключевые слова:
симметричное пространство последовательностей, банахов идеал компактных операторов, оператор Данфорда-Шварца, индивидуальная эргодическая теорема, статистическая эргодическая теорема.Аннотация
Пусть $\mathcal H$ --- бесконечномерное гильбертово пространство, и пусть $\mathcal B(\mathcal H)$ (соответственно, $\mathcal K(\mathcal H)$) - $C^\star$-алгебра всех ограниченных (соответственно, компактных) линейных операторов в $\mathcal H$. Пусть $(E,\|\cdot\|_E)$ - вполне симметричное пространство последовательностей. Если $\{s_n(x)\}_{n=1}^\infty$ последовательность сингулярных значений для $x\in\mathcal K(\mathcal H)$, то \ $\mathcal C_E=\{x\in\mathcal K(\mathcal H): \{s_n(x)\}\in E\}$ с $\|x\|_{\mathcal C_E}=\|\{s_n(x)\}\|_E$, $x\in\mathcal C_E$, есть банаховым идеал компактных операторов, порожденный симметричным пространством $E$. Доказывается, что средние $A_n(T)(x)=\frac1{n+1}\sum\limits_{k = 0}^n T^k(x)$ сходятся равномерно в $\mathcal C_E$ для любого оператора Данфорда-Шварца $T$ и $x\in\mathcal C_E$. Кроме того, если $0\leq x\in\mathcal B(\mathcal H)\setminus\mathcal K(\mathcal H)$, то существует оператор Данфорда-Шварца $T$ такой, что последовательность $\{A_n(T)(x)\}$ не сходится равномерно. Также доказывается, что средние $A_n(T)$ сильно сходятся в $(\mathcal C_E, \|\cdot\|_{\mathcal C_E})$ тогда и только тогда, когда $E$ сепарабельно и $E \neq l^1$ как множества.
