% !TeX encoding = windows-1251
% !TeX spellcheck = russian_english
%Название файла GalkinRus_2.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Независимо от языка статьи, аннотация должна быть написана на английском языке. 
%В статье должны быть указаны предметные классификаторы УДК и MSC. 
%Список литературы должен быть подготовлен на английском языке.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{mathrsfs} %добавил ОГ
\usepackage{hyperref} %добавил ОГ
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\udcs{517.923; 517.965; 517.983; 519.218.7}
%517.923 - Специальные типы обыкновенных дифференциальных уравнений (Риккати, гипергеометрическое, Бесселя, Матье, Хилла и др.)
%517.965 - Функциональные уравнения и неравенства
%517.983 - Линейные операторы и операторные уравнения
%519.218.7 - Гауссовские процессы и меры
\def\mscs{20M20; 28C20; 34G20; 39B42} 
%20M20: Semigroups of transformations, etc.
%28C20: Set functions and measures and integrals in infinite-dimensional spaces (Wiener measure, Gaussian measure, etc.)
%34G20: Nonlinear differential equations in abstract spaces
%39B42: Matrix and operator equations
\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%Некоторые определения
\theoremstyle{plain} %plain, definition или remark %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\theoremstyle{definition} %plain, definition или remark %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{definition}{Определение}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%Некоторые определения ОГ
\theoremstyle{remark} %plain, definition или remark %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{remark}{Замечание}
\newtheorem{example}{Пример}
%
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}

\thispagestyle{empty}

\title[Гауссовские полугруппы операторов]{Гауссовские полугруппы операторов\\в~пространстве борелевских функций\\на сепарабельном гильбертовом пространстве}
\author{{О.Е.~ГАЛКИН$^1$, С.Ю.~ГАЛКИНА$^1$, И.Ю.~ЯСТРЕБОВА}}%
%
\address{Oleg Evgenievich Galkin, Svetlana Yurievna Galkina % Только на английском языке
\newline\hphantom{iii} National Research University <<Higher School of Economics>>,
\newline\hphantom{iii} B.~Pecherskaya~St., 25/12,
\newline\hphantom{iii} 603155, Nizhny Novgorod, Russia}%
\email{olegegalkin@ya.ru, svetlana.u.galkina@mail.ru}%
%
\address{Irina Yurievna Yastrebova % Только на английском языке
\newline\hphantom{iii} National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod,
\newline\hphantom{iii} Gagarin~Av., 23,
\newline\hphantom{iii} 603022, Nizhny Novgorod, Russia}%
\email{irina\_yastrebova@rambler.ru}%

\thanks{\sc Galkin, O.E., Galkina, S.Yu., Yastrebova, I.Yu.,
Gaussian semigroups of operators in the space of Borel functions on a separable Hilbert space}
\thanks{\copyright \ 2023 Галкин О.Е., Галкина С.Ю, Ястребова И.Ю}
\thanks{\rm $^1$Работа выполнена при поддержке Лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ, грант Министерства науки и высшего образования РФ, соглашение №~075-15-2022-1101}
\thanks{\it Поступила 7 октября 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%

\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } %Оформляется на английском языке
The concept of a Gaussian family of Borel measures on a separable Hilbert space is introduced in the paper. Necessary and sufficient conditions are found under which a Gaussian family of measures generates a semigroup of operators on the space of complex bounded Borel functions. These conditions are expressed in the form of a system of functional equations and initial conditions for operator-valued functions on the real semi-axis. A system of differential equations is derived from the system of functional equations and it is proved that the Cauchy problem has a unique solution for it. Several examples of Gaussian semi\-groups of operators are given.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} %Оформляется на английском языке
%гауссовская полугруппа операторов, гауссовское семейство борелевских мер, операторное дифференциальное уравнение Риккати, определитель бесконечного порядка, система функциональных уравнений
gaussian semigroup of operators, Gaussian family of Borel measures, operator Riccati differential equation, determinant of infinite order, system of functional equations
%$\mathcal{O}\hskip-.7mm\mathfrak{l}$
\end{quote}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\tableofcontents

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Введение}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%1) Работа посвящена ... (1-2 предложения).
Работа посвящена изучению условий, при которых гауссовское семейство мер на сепарабельном гильбертовом пространстве порождает полугруппу операторов на пространстве комплекснозначных ограниченных борелевских функций.
%
%4) Определения, обозначения, необходимые для введения.
Под гауссовским семейством мер мы понимаем (точное определение~\ref{oprGausSemMer} см.\ ниже)
семейство $\{ \mu_{t,x} \bigm| t\geqslant0, x\in\mathscr{H} \}$ борелевских мер на сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$ со скалярным произведением $\langle\cdot,\cdot\rangle$, имеющее вид
\begin{equation*}
\mu_{t,x} = h(t)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t)x,x\big\rangle\Big\} \Gamma_{Q(t),R(t)x},
\end{equation*}
где числовая функция $h(t)$ и оператор-функции $P(t)$, $Q(t)$, $R(t)$ заданы на полуоси $t\geqslant 0$,
и через $\Gamma_{Q(t),R(t)x}$ обозначена гауссовская мера с корреляционным оператором $Q(t)$ и средним значением $R(t)x$ (см.\ п.~\ref{subsGausMera}).
Операторы порождаемой этим семейством полугруппы $(G_t)_{t\geqslant0}$ (также называемой гауссовской --- см.\ определение~\ref{oprMeraGausPolugr}) должны задаваться формулой
\begin{multline} \label{eqGtfFullVved}
(G_t f)(x) = \int_\mathscr{H} f(y)\,\mu_{t,x}(dy) =\\
= \int_\mathscr{H} f(y)\,h(t)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t)x,x\big\rangle\Big\} \Gamma_{Q(t),R(t)x}(dy) =\\
= h(t)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t)x,x\big\rangle\Big\} \int_\mathscr{H} f\big(z+R(t)x\big)\,\Gamma_{Q(t),0}(dz)
\end{multline}
для любой борелевской ограниченной функции $f\colon\mathscr{H}\to\mathbb{C}$.

%5) Постановка Вашей задачи.
%6) Полученные результаты.
В статье найдены необходимые и достаточные условия на $h(t)$, $P(t)$, $Q(t)$, $R(t)$, при выполнении которых
семейство операторов $(G_t)_{t\geqslant0}$, задаваемое равенством~\eqref{eqGtfFullVved}, действительно образует полугруппу.
Эти условия в~теореме~\ref{teorSistFunkUr} (первой из трёх основных теорем работы) выражены в виде системы функциональных уравнений и начальных условий на функции $h(t)$, $P(t)$, $Q(t)$, $R(t)$.
В~следующей теореме~\ref{teorGPDifUr} из упомянутой системы функциональных уравнений выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений для $h(t)$, $P(t)$, $Q(t)$, $R(t)$, а в теореме~\ref{teorGPDifUrEdResh} доказано, что задача Коши для последней системы имеет единственное решение.
При этом оказалось, что дифференциальное уравнение для $P(t)$ относится к классу операторных уравнений Риккати (см.\ определение~\ref{oprDOUR}), которые играют важную роль в линейной теории оптимального управления и теории дифференциальных игр (см., например,~\cite{BenPrDelMit2007}).
В четырех частных случаях на основе решений указанной задачи Коши, найденных в явном виде, приведено несколько примеров гауссовских полугрупп операторов (см.\ п.~\ref{subsPrimGP}).
На наш взгляд, интерес представляет также предложение~\ref{predlPrimIntGaus}, в котором вычислен интеграл по гауссовской мере от функции вида $\exp\big\{i\langle y,b\rangle - \frac12\langle Ay,y\rangle\big\}$, где $b\in\mathscr{H}$ и $A$ --- линейный ограниченный оператор на $\mathscr{H}$.

%3) Актуальность темы
%  а) Этой же темой занимались большие ученые
%  б) Ваши исследования применяются в разных местах ...
%2) История вопроса
%Какие ученые раньше занимались этой темой, в какие годы, что сделали.
Наше внимание к гауссовским полугруппам, определяемым формулой~\eqref{eqGtfFullVved}, обусловлено, в частности, тем, что с помощью аналогичных формул могут быть представлены решения задачи Коши с начальным условием $f$ для некоторых параболических уравнений, как в конечномерном случае (например, для уравнения теплопроводности --- см.~\cite[п.~3 \S40]{Petrovsk1961}), так и в бесконечномерном случае (см.~\cite[теор.~1.4 гл.~V]{DalFomin1983}).
Развиваемое нами направление исследований интересно и тем, что оно затрагивает такие популярные математические объекты, как полугруппы операторов, гауссовские меры и уравнения Риккати, которым посвящена обширнейшая литература 
(см., например, \cite{EngelNagel2000}, \cite{Xu2022}, \cite{Go1979}, \cite{BogachGausM1997}, \cite{GenLucTzv2023}, \cite{BenPrDelMit2007},~\cite{AcqBucci2023}, а также библиографию в них).
Тесные связи, существующие между операторным дифференциальным уравнением Риккати и полугруппой симплектических гамильтоновых операторов, изучены в работе~\cite{LawsonLim2006}.

Отметим, что частным случаем гауссовских полугрупп являются полугруппы Орнштейна--Уленбека, рассмотренные в~\cite[\S2.8]{BogachGausM1997} (см.\ пример~\ref{primPolugrOrnstUl}).
Гауссовские обобщённые мёлеровские полугруппы, изученные в~\cite[\S4]{BogachRockSch1996}, также представляют собой частный случай гауссовских полугрупп, поскольку они могут быть заданы с помощью формул вида~\eqref{eqGtfFullVved}.

%7) Содержание работы по главам (структура работы).
В параграфе~\ref{sectPredvSved} нашей работы для удобства собраны основные обозначения, определения и вспомогательные утверждения, которые нам понадобятся.
В~параграфе~\ref{sectGPUR} помещены основные результаты статьи (теоремы \ref{teorSistFunkUr}, \ref{teorGPDifUr},~\ref{teorGPDifUrEdResh} и примеры \ref{primDimH1}, \ref{primB0}, \ref{primC0}, \ref{primD0}).
%8) Планы на будущее.
План дальнейших исследований изложен в~последнем параграфе~\ref{sectPlanNaBud}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Предварительные сведения}
\label{sectPredvSved}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
В данном параграфе мы вводим обозначения, напоминаем ряд определений и известных фактов, а также приводим несколько утверждений, полезных для дальнейшего изложения.
В предложении~\ref{predlPrimIntGaus} мы вычисляем интеграл по гауссовской мере от функции вида $\exp\big\{i\langle y,b\rangle - \frac12\langle Ay,y\rangle\big\}$ для любого вектора $b\in\mathscr{H}$ и любого линейного ограниченного оператора $A$ на $\mathscr{H}$.

%==========================================
\subsection{Линейные ограниченные операторы на гильбертовом пространстве}
%==========================================
%Здесь мы приводим определение и некоторые свойства ядерных операторов. 
%Здесь мы следуем книгам:
%1) Го. Гауссовские меры в банаховых пространствах.1979
%2) Богачев.Гауссовские Меры.1997
%8) Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве - Москва: Наука, 1965.
%+ Про ядерные операторы и прочее. стр. 125
$ $

Всюду далее через $\mathscr{H}$ будем обозначать вещественное евклидово пространство со скалярным произведением 
$\langle x,y\rangle$, полное относительно евклидовой нормы $|x|_\mathscr{H} = \sqrt{\langle x,x\rangle}$, где $x\in\mathscr{H}$.
Мы будем называть $\mathscr{H}$ \emph{гильбертовым пространством} независимо от его размерности, конечной или бесконечной.
Результаты, если не указано другое, будем приводить в предположении, что $\mathscr{H}$ \emph{сепарабельно}. Некоторые приведённые результаты, тем не менее, будут верны и без этого предположения.

Как известно (см., например, \cite[Теорема~6.5.1]{BogachSmolDFA2009}), пространство $\mathscr{H}^*$, сопряжённое к $\mathscr{H}$, изоморфно $\mathscr{H}$ в силу теоремы Рисса.

Символом $\mathcal{L}(\mathscr{H})$ будем далее обозначать пространство всех линейных ограниченных операторов на $\mathscr{H}$,
наделенное равномерной операторной нормой $\|A\| = \sup\big\{|Ax|_\mathscr{H} \bigm| x\in\mathscr{H}, |x|_\mathscr{H}<1\big\}$.
Через $\mathcal{L}^+(\mathscr{H})$ обозначим множество всех неотрицательных операторов, принадлежащих $\mathcal{L}(\mathscr{H})$,
а через $\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$ --- подмножество в $\mathcal{L}^+(\mathscr{H})$, состоящее из самосопряжённых операторов.

Символом $I$ обозначим единичный оператор на $\mathscr{H}$.

\medskip
Факты, приведенные в следующей лемме, наверняка известны.
%--------------------------------------------------------------
\begin{lemma} 
\label{lemObrOper}
Пусть даны операторы $A_1,A_2\in\mathcal{L}(\mathscr{H})$ и существует обратный оператор $(I+A_1A_2)^{-1}\in\mathcal{L}(\mathscr{H})$.
Тогда

\noindent\hangindent=0.5cm
1) существует обратный оператор $(I+A_2A_1)^{-1}\in\mathcal{L}(\mathscr{H})$, причем выполняются равенства
$$
(I+A_2A_1)^{-1} = I - A_2(I+A_1A_2)^{-1}A_1 \quad\text{и}\quad A_1(I+A_2A_1)^{-1} = (I+A_1A_2)^{-1}A_1; 
$$

\noindent\hangindent=0.4cm
2) если операторы $A_1$ и $A_2$ самосопряжены,
то самосопряженными являются и операторы $A_1(I+A_2A_1)^{-1}$ и $(I+A_1A_2)^{-1}A_1$
(которые равны между собой в силу первой части леммы).
\end{lemma}
%--------------------------------------------------------------
\begin{proof}
1) Верна следующая цепочка равенств:
$$
\big(I - A_2(I+A_1A_2)^{-1}A_1\big)\cdot(I+A_2A_1) = I + A_2A_1 - A_2(I+A_1A_2)^{-1}A_1 -
$$
$$
- A_2(I+A_1A_2)^{-1}A_1A_2A_1 =
I + A_2A_1 - A_2(I+A_1A_2)^{-1}(I+A_1A_2)A_1 = I.
$$
Поэтому оператор $\big(I - A_2(I+A_1A_2)^{-1}A_1\big)$ является для $(I+A_2A_1)$ обратным слева.
Аналогично доказывается, что он будет оператором, обратным справа.

Равенство $A_1(I+A_2A_1)^{-1} = (I+A_1A_2)^{-1}A_1$ легко следует из равенства $(I+A_1A_2)A_1 = A_1(I+A_2A_1)$.

2) Если $A_1=A_1^*$ и $A_2=A_2^*$, то, в силу первого пункта леммы, имеем:
$$
\big(A_1(I+A_2A_1)^{-1}\big)^* = \big((I+A_1A_2)^{-1}A_1\big)^* = A_1(I+A_2A_1)^{-1} = (I+A_1A_2)^{-1}A_1.
$$
Лемма доказана.
\end{proof}
%--------------------------------------------------------------

Далее нам понадобится понятие функции от самосопряжённого оператора.
%--------------------------------------------------------------
\begin{remark} \label{remFuncA}
Напомним (см.~\cite[теор.~7.7.2]{BogachSmolDFA2009}), что для любого линейного ограниченного самосопряженного оператора $A$ на $\mathscr{H}\neq\{0\}$ и для любой непрерывной функции $f\colon\sigma(A)\to\mathbb{R}$ определен оператор $f(A)$, который тоже является самосопряженным. 
При этом (см.~\cite[следст.~7.7.3]{BogachSmolDFA2009}) если $f\geqslant0$, то и $f(A)\geqslant0$.
В~частности (см.~\cite[следст.~7.7.3]{BogachSmolDFA2009}), 
для любого $A\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$ определен оператор $A^{1/2} = \sqrt{A}\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$.
\end{remark}
%--------------------------------------------------------------


%==========================================
\subsection{Ядерные операторы на сепарабельном гильбертовом пространстве}
%==========================================

%--------------------------------------------------------------
\begin{definition}[{см.~\cite[\S8 гл.~III]{GohKrein1965}, \cite[п.~1 \S2 гл.~11]{BirSol1980}}] %\label{opr1.0.}
Компактный линейный оператор $K$ на сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$ называется \emph{ядерным}, если конечна его \emph{ядерная норма}
$\|K\|_1 = \sum_{n=1}^\infty s_n(K)$,
где $\{s_1(K),s_2(K),\ldots\}$ --- это последовательность всех собственных чисел оператора $(K^*K)^{1/2}$,
взятых с учётом кратности.
Множество всех ядерных операторов на $\mathscr{H}$ будем обозначать через $\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$,
множество всех самосопряжённых ядерных операторов --- через $\mathcal{LS}_1(\mathscr{H})$,
множество всех самосопряжённых неотрицательных ядерных операторов --- через $\mathcal{LS}_1^+(\mathscr{H})$.
\end{definition}
%--------------------------------------------------------------

Следующее предложение показывает, что $\|\cdot\|_1$ --- это действительно норма.
%--------------------------------------------------------------
\begin{proposition}[{см.~\cite[теор.~6 \S8 гл.~11]{BirSol1980}}] %\label{opr1.0.}
На множестве $\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$ функционал $\|A\|_1 = \sum_{n=1}^\infty s_n(A)$ задает норму, относительно которой $\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$ является банаховым пространством.
\end{proposition}
%--------------------------------------------------------------

Известно, что пространство $\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$ является двусторонним идеалом в $\mathcal{L}(\mathscr{H})$:
%--------------------------------------------------------------
\begin{proposition}[{см.~\cite[п.~1 \S~2 гл.~11]{BirSol1980}}] 
\label{prNorm1ABBA}
Если $B\in\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$ и $A,C\in\mathcal{L}(\mathscr{H})$, то $ABC\in\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$, причём верно неравенство
$\|ABC\|_1 \leqslant \|A\|\cdot\|B\|_1\cdot\|C\|$.
\end{proposition}
%--------------------------------------------------------------

Верен следующий критерий ядерного оператора:
%--------------------------------------------------------------
\begin{proposition}[{см.~\cite[теор.~8.1 гл.~III]{GohKrein1965}}] %\label{opr1.0.}
Оператор $A\in\mathcal{L}(\mathscr{H})$ является ядерным тогда и только тогда, когда для любого ортонормированного базиса $\{\varphi_n\}_{n=1}^\infty$ в $\mathscr{H}$ ряд $\sum_{n=1}^\infty\langle A\varphi_n,\varphi_n\rangle$ сходится к одному и тому же числу.
\end{proposition}
%--------------------------------------------------------------

В силу этого утверждения является корректным следующее определение следа, который иногда называют \emph{матричным следом}.
%--------------------------------------------------------------
\begin{definition}[{см.~\cite[п.~1 \S8 гл.~III]{GohKrein1965}, \cite[п.~3 \S2 гл.~11]{BirSol1980}}] %\label{opr1.0.}
\emph{Следом} ядерного оператора $A$ на $\mathscr{H}$ называется величина $\tr{A} = \sum_{n=1}^\infty\langle A\varphi_n,\varphi_n\rangle$,
где $\{\varphi_n\}_{n=1}^\infty$ --- это произвольный ортонормированный базис в~$\mathscr{H}$.
\end{definition}
%--------------------------------------------------------------

Оказывается, матричный след ядерного оператора совпадает с так называемым \emph{спектральным следом}:
%--------------------------------------------------------------
\begin{proposition}[{см.\ \cite{Lidskii1959}, \cite[теор.~8.4 гл.~III]{GohKrein1965}}] %\label{opr1.0.}
Пусть $\{\lambda_1(A),\lambda_2(A),\ldots\}$ --- это последовательность всех собственных чисел произвольного оператора $A\in\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$, взятых с учётом кратности. Тогда выполняется равенство $\tr{A} = \sum_{n=1}^\infty \lambda_n(A)$.
\end{proposition}
%--------------------------------------------------------------

Отображение $\mathcal{L}_1(\mathscr{H})\ni A\mapsto \tr A\in\mathbb{R}$, как вытекает из следующего утверждения, является непрерывным:
%--------------------------------------------------------------
\begin{proposition}[{см.~\cite[теор.~8.5 гл.~III]{GohKrein1965}}] 
\label{prTrNorm1}
Для произвольного оператора $A\in\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$ выполняется неравенство $|\tr{A}| \leqslant \|A\|_1$.
\end{proposition}
%--------------------------------------------------------------

%==========================================
\subsection{Определители бесконечного порядка}
%==========================================

%--------------------------------------------------------------
\begin{definition}[{см.~\cite[п.~1 \S1 гл.~IV]{GohKrein1965}}] %\label{opr1.0.}
Пусть $A\in\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$. Тогда \emph{определитель} $\det(I+A)$ задаётся формулой
$\det(I+A) = \prod_{n=1}^\infty \big(1 + \lambda_n(A)\big)$,
где $\{\lambda_1(A),\lambda_2(A),\ldots\}$ --- это последовательность всех собственных чисел оператора $A$, взятых с учётом кратности.
\end{definition}
%--------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------
\begin{remark}
Можно показать (см.~\cite{GohKrein1965}, формула~(1.2) в \S1 гл.~IV при $\mu=1$), что для любого оператора $A\in\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$
верна оценка $\big|\det(I+A)\big| \leqslant e^{\|A\|_1}$.
\end{remark}
%--------------------------------------------------------------

Понятия определителя и следа оператора связаны между собой:
%--------------------------------------------------------------
\begin{proposition}[{см.~\cite[формула~(1.17) \S1 гл.~IV]{GohKrein1965}}]
Для любого оператора $A\in\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$, такого что $\|A\|_1<1$, выполняется равенство
\begin{equation} \label{eqLnDet}
\ln\det(I+A) = \tr\ln(I+A).
\end{equation}
%а также равносильная ей $\det(I+A) = e^{\tr\ln(I+A)}$.
\end{proposition}
%--------------------------------------------------------------

Следующее утверждение говорит о непрерывной зависимости детерминанта $\det(I+A)$ от оператора $A\in\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$ по ядерной норме:
%--------------------------------------------------------------
\begin{proposition}[{см.~\cite[сл.~1.1 гл.~IV]{GohKrein1965}}] 
\label{prDetIAnepr}
Пусть $A_0\in\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ найдётся такое $\delta>0$, что для каждого оператора $A\in\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$, удовлетворяющего неравенству $\|A-A_0\|_1<\delta$, будет выполняться оценка
$\big|\det(I+A) - \det(I+A_0)\big| < \varepsilon$.
\end{proposition}
%--------------------------------------------------------------

Нам понадобится ещё одно свойство определителя:
%--------------------------------------------------------------
\begin{proposition}[{см.~\cite[свойство $5^0$ \S1 гл.~IV]{GohKrein1965}}] 
\label{prDetIABDetIBA}
Пусть $A_1\in\mathcal{L}(\mathscr{H})$ и $A_2$ --- компактный оператор на $\mathscr{H}$, причем $A_1A_2\in\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$ и $A_2A_1\in\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$. 
Тогда выполняется равенство $\det(I+A_1A_2) = \det(I+A_2A_1)$.
\end{proposition}
%--------------------------------------------------------------

Следующее полезное утверждение можно обосновать, практически повторив аргументы из доказательства леммы~3 в~\S6 главы~I книги Диксмье~\cite{Dixmier1957}, заменив при этом $\mathcal{O}\hskip-.75mm\mathfrak{l}$ на $\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$ и $\varphi$ на $\tr$:
%--------------------------------------------------------------
\begin{lemma}[{ср. \cite[lemme~3 \S6 ch.~I]{Dixmier1957}, \cite[формула~(1.16) \S1 гл.~IV]{GohKrein1965}}] 
\label{lemTrDifFS}
Пусть функция $f(\lambda)$ аналитична в некотором открытом односвязном множестве комплексной плоскости, содержащем точку $0$, $J$ --- замкнутая жорданова кривая, лежащая в этом множестве, и $f(0)=0$.
Пусть, кроме того, отображение $t\mapsto S(t)$ полуинтервала $[\alpha,\beta)$ вещественной прямой в пространство $\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$ дифференцируемо в смысле ядерной нормы $\|\cdot\|_1$ (под дифференцируемостью в точке $\alpha$ понимается наличие ней правой производной).
Предположим также, что для любого $t\in[\alpha,\beta)$ спектр оператора $S(t)$ лежит внутри $J$.
Тогда отображение $[\alpha,\beta)\ni t\mapsto f\big(S(t)\big) = (f\circ S)(t)\in\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$ также дифференцируемо в смысле нормы $\|\cdot\|_1$, и для любого $t\in[\alpha,\beta)$ верно равенство
\begin{equation}
\tr\big( (f\circ S)'(t) \big) = \tr\Big(f'\big(S(t)\big)\cdot S'(t)\Big).
\end{equation}
\end{lemma}
%--------------------------------------------------------------

%%--------------------------------------------------------------
%\begin{remark} %\label{prDetIAB}
%Если в лемме~\ref{lemTrDifFS} предположить дифференцируемость отображения $t\mapsto S(t)$ на интервале $(\alpha,\beta)$,
%то отображение $t\mapsto f\big(S(t)\big)$ будет также дифференцируемо на этом интервале.
%\end{remark}
%%--------------------------------------------------------------

Из этой леммы вытекает утверждение, которое нам тоже будет нужно:
%--------------------------------------------------------------
\begin{proposition}[{ср.~\cite[формула~(1.14) \S1 гл.~IV]{GohKrein1965}}]
\label{prDifDetIS}
Пусть отображение $t\mapsto S(t)$ полуинтервала $[\alpha,\beta)\subset\mathbb{R}$ в пространство $\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$ дифференцируемо в~смысле нормы $\|\cdot\|_1$ (под дифференцируемостью в точке $\alpha$ понимается наличие в ней правой производной).
Предположим, что $\|S(t)\|_1 < 1$ при любом $t\in[\alpha,\beta)$.
Тогда числовая функция $t\mapsto \det\big(I+S(t)\big)$ также дифференцируема на $[\alpha,\beta)$, и для любого $t\in[\alpha,\beta)$ выполняется равенство
\begin{equation} \label{eqDDtDetTr}
\frac{d}{dt} \det\big(I+S(t)\big) = \det\big(I+S(t)\big)\cdot \tr\Big( \big(I+S(t)\big)^{-1}S'(t) \Big).
\end{equation}
\end{proposition}
%--------------------------------------------------------------
\begin{proof}
Используя формулу~\eqref{eqLnDet}, получим:
\begin{equation*}
\frac{d}{dt} \det\big(I+S(t)\big) = \det\big(I+S(t)\big) \cdot \frac{d}{dt} \ln\det\big(I+S(t)\big) =
\end{equation*}
\begin{equation} \label{eqDDtDet}
= \det\big(I+S(t)\big) \cdot \frac{d}{dt} \tr\ln\big(I+S(t)\big).
\end{equation}
Докажем равенство~\eqref{eqDDtDetTr} для точки $t=\alpha$.
Положим $\varepsilon = (1 - \|S(\alpha)\|_1)/3 > 0$.
Так как $S(t)$ дифференцируемо в точке $\alpha$ справа, то можно выбрать $\delta>0$ настолько малым, что при всех $t\in[\alpha,\alpha+\delta)$ будем иметь $\|S(t)\|_1<1-2\varepsilon$.
Применим лемму~\ref{lemTrDifFS} для промежутка $[\alpha,\alpha+\delta)$ в случае, когда 
$J = \{z\in\mathbb{C} \bigm| |z|=1-\delta\}$ и $f(\lambda) = \ln(1+\lambda)$ .
При этом $f(0)=0$ и $f'(\lambda) = 1/(1+\lambda)$. Тогда, в силу этой леммы, отображение $t\mapsto\ln\big(I+S(t)\big)$ также дифференцируемо в смысле нормы $\|\cdot\|_1$ в точке $\alpha$ справа, и выполняется равенство
\begin{equation*}
\tr \frac{d}{dt} \ln\big(I+S(t)\big) \Big|_{t=\alpha+0} = \tr \Big( \big(I+S(t)\big)^{-1}\cdot S'(\alpha+0) \Big).
\end{equation*}
Кроме того, поскольку отображение $A\mapsto\tr A$ линейно и непрерывно на $\mathcal{L}_1(\mathscr{H})$, то верно равенство
\begin{equation*}
\frac{d}{dt} \tr\ln\big(I+S(t)\big) \Big|_{t=\alpha+0} = \tr \frac{d}{dt} \ln\big(I+S(t)\big) \Big|_{t=\alpha+0}.
\end{equation*}
Подставив последние два равенства в формулу~\eqref{eqDDtDet}, мы убедимся в истинности доказываемого соотношения~\eqref{eqDDtDetTr} в точке $\alpha$. Для остальных точек $t\in[\alpha,\beta)$ оно доказывается аналогично.
\end{proof}
%--------------------------------------------------------------


%==========================================
\subsection{Операторное дифференциальное уравнение Риккати}
\label{subsOpDifUrR}
%==========================================
$ $

%--------------------------------------------------------------
\begin{definition}[{ср.\ \cite[\S1 chapt.~1 part IV]{BenPrDelMit2007}, \cite[def.~3.1]{LawsonLim2006}}]
\label{oprDOUR}
\emph{Операторным дифференциальным уравнением Риккати} будем называть дифференциальное уравнение первого порядка вида
\begin{equation} \label{eqDefUrRik}
P'(t) = C + D^*P(t) + P(t)D - P(t)BP(t)
\end{equation}
относительно оператор-функции $[0,+\infty)\ni t\mapsto P(t)\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$,
где заданные операторы $B,C\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$ и $D\in\mathcal{L}(\mathscr{H})$ не зависят от $t$.
При этом в точке $t=0$ берется правая производная $P'(+0)= \lim_{t\to+0}\big(P(t)-P(0)\big)\big/t$.

Операторное дифференциальное уравнение Риккати
\begin{equation*}
Q'(t) = B + DQ(t) + Q(t)D^* - Q(t)CQ(t)
\end{equation*}
называется \emph{двойственным к уравнению~\eqref{eqDefUrRik}} (см.\ \cite[p.~7.3 chapt.~1 part IV]{BenPrDelMit2007}).
\end{definition}
%--------------------------------------------------------------

Уравнениям Риккати и их аналогам посвящено большое число публикаций.
Некоторыми авторами уравнения, аналогичные уравнению~\eqref{eqDefUrRik}, изучались в случае неограниченных операторов $B$ или $D$ (см., например, работы \cite{BenPrDelMit2007},~\cite{AcqBucci2023} и библиографию к ним), а также в случае, когда операторные коэффициенты $B$, $C$, $D$ зависят от $t$ (например,~\cite{LawsonLim2006}).
Хорошо известен следующий результат:
%--------------------------------------------------------------
\begin{theorem}[{см.\ \cite[theor.~2.1 part IV]{BenPrDelMit2007}, \cite[theor.~8.5]{LawsonLim2006}, \cite[теор.~5.21 п.~3.5]{KalFalArb1968}}]
\label{teorReshUrRik}
Для любых операторов $B,C\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$ и $D\in\mathcal{L}(\mathscr{H})$ операторное дифференциальное уравнение Риккати~\eqref{eqDefUrRik}, где производная берется в равномерной операторной норме, имеет единственное решение $[0,+\infty)\ni t\mapsto P(t)\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$ при любом начальном условии $P_0\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$.
\end{theorem}
%--------------------------------------------------------------


%==========================================
\subsection{Борелевские меры на гильбертовом пространстве и их преобразование Фурье}
%==========================================
$ $

Через $\mathcal{B}_\mathscr{H}$ будем обозначать $\sigma$--алгебру всех борелевских подмножеств гильбертова пространства $\mathscr{H}$,
через $\mathcal{M}(\mathscr{H})$  --- множество всех борелевских мер в~$\mathscr{H}$
(то есть счётно-аддитивных, конечных и неотрицательных мер на $\mathcal{B}_\mathscr{H}$).

В качестве примера напомним конструкцию меры Дирака.
%--------------------------------------------------------------
\begin{example} \label{primDeltaMera}
Зафиксируем произвольный элемент $z\in\mathscr{H}$. Для каждого $M\in\mathcal{B}_\mathscr{H}$ положим: если $z\in M$, то $\delta_z(M) = 1$, иначе $\delta_z(M) = 0$.
Тогда $\delta_z$ является борелевской мерой, и называется \emph{мерой Дирака, сосредоточенной в точке $z$}.
\end{example}
%--------------------------------------------------------------

%Через $\bC_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$ обозначим класс всех непрерывных ограниченных комплекснозначных функций на $\mathscr{H}$, а через $\bC_{bc}(\mathscr{H},\mathbb{C})$ --- подкласс в $\bC_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$, состоящий из всех цилиндрических функций, лежащих в $\bC_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$.
Символом $\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$ обозначим пространство всех комплекснозначных борелевских ограниченных функций $f$ на $\mathscr{H}$.
Это пространство является банаховым относительно нормы $\|f\|_\infty = \sup_{x\in\mathscr{H}}|f(x)|$.

\medskip
Напомним также определения среднего значения и корреляционного оператора меры.
%--------------------------------------------------------------
\begin{definition}[{см.\ \cite[опр.~2.3 гл.~1]{Go1979}, \cite[\S3 гл.~1]{Skorohod1975}}] %\label{definition}
Пусть $\mu\in\mathcal{M}(\mathscr{H})$ и для любого $x\in\mathscr{H}$ существует интеграл $\int_\mathscr{H} \langle y,x\rangle\,d\mu(y)$.
Тогда \emph{средним значением} меры $\mu$ будем называть такой элемент $m_\mu\in\mathscr{H}$,
что $\langle m_\mu,x\rangle = \int_\mathscr{H} \langle y,x\rangle\,d\mu(y)$ при всех $x\in\mathscr{H}$.
\end{definition}
%--------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------
\begin{definition}[{см.\ \cite[\S3 гл.~1]{Skorohod1975}}] %\label{definition}
Пусть $\mu\in\mathcal{M}(\mathscr{H})$ и для любых $x,y\in\mathscr{H}$ существует интеграл $\int_\mathscr{H} \langle z-m_\mu,x\rangle\langle z-m_\mu,y\rangle\,d\mu(z)$.
Тогда \emph{корреляционным оператором} меры $\mu$ будем называть такой оператор $K_\mu\in\mathcal{L}(\mathscr{H})$,
что при всех $x,y\in\mathscr{H}$ верно равенство $\langle K_\mu x,y\rangle = \int_\mathscr{H} \langle z-m_\mu,x\rangle\langle z-m_\mu,y\rangle\,d\mu(z)$.
\end{definition}
%--------------------------------------------------------------

Нам понадобится также понятие образа меры при отображении:
%--------------------------------------------------------------
\begin{definition}[{ср.\ \cite[п.~3.6]{BogachOsnTM2003}}] %\label{definition}
Пусть $\mathscr{H}$ и $\mathscr{H}_1$ --- гильбертовы пространства и отображение $F\colon\mathscr{H}\to\mathscr{H}_1$ является борелевским. 
Тогда для всякой меры $\mu\in\mathcal{M}(\mathscr{H})$ формула
$$
\big(\mu\circ F^{-1}\big)(M) = \mu\big(F^{-1}(M)\big), \quad M\in\mathcal{B}(\mathscr{H}_1)
$$
задает борелевскую меру $\mu\circ F^{-1}$ в $\mathscr{H}_1$, называемую \emph{образом меры $\mu$ при отображении $F$}, а также \emph{индуцированной мерой}.
\end{definition}
%--------------------------------------------------------------

Верно следующее утверждение о замене переменных в интеграле:
%--------------------------------------------------------------
\begin{proposition}[{см.\ \cite[теор.~3.6.1]{BogachOsnTM2003}}] 
\label{prZamPerInt}
Пусть $\mathscr{H}$ и $\mathscr{H}_1$ --- гильбертовы пространства, $\mu$ --- борелевская мера в $\mathscr{H}$, и отображение $F\colon\mathscr{H}\to\mathscr{H}_1$ является борелевским. Тогда функция $g\colon\mathscr{H}_1\to\mathbb{C}$ интегрируема на $\mathscr{H}_1$ относительно меры $\mu\circ F^{-1}$ в точности тогда, когда функция $g\circ F\colon\mathscr{H}\to\mathbb{C}$ интегрируема на $\mathscr{H}$ относительно меры $\mu$.
При этом верна следующая формула замены переменных:
\begin{equation} \label{eqFormZamPer}
\int_{\mathscr{H}_1} g(y) \big(\mu\circ F^{-1}\big)(dy) = \int_{\mathscr{H}} g(F(x)) \mu(dx).
\end{equation}
\end{proposition}
%--------------------------------------------------------------

Переходя к определению преобразования Фурье меры (см., например,~\cite[п.~6.2]{AvSmFom1971}), заметим, что иногда его называют характеристическим функционалом меры (например, в книгах \cite{Go1979} и~\cite{Skorohod1975}).
%--------------------------------------------------------------
\begin{definition}[{см.\ \cite[опр.~2.5 гл.~1]{Go1979}, \cite[\S3 гл.~1]{Skorohod1975}}] 
\label{oprPreobrFur}
\emph{Пре\-о\-бра\-зо\-ва\-ни\-ем Фурье} меры $\mu\in\mathcal{M}(\mathscr{H})$ будем называть функцию
$\mathscr{F}[\mu] = \widetilde\mu \colon \mathscr{H}\to\mathbb{C}$, для каждого $y\in\mathscr{H}$ задаваемую равенством
$\mathscr{F}[\mu](y) = \widetilde\mu(y) = \int_\mathscr{H} e^{i\langle x,y\rangle} d\mu(x)$.
\end{definition}
%--------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------
\begin{example} %\label{}
В частном случае, когда $\mathscr{H}=\mathbb{R}^n$ и мера $\mu$ имеет плотность $\rho$ относительно $n$--мерной меры Лебега $\lambda_n$, преобразование Фурье $\widetilde\mu(y)$ в точке $y=(y_1,\ldots,y_n)\in\mathbb{R}^n$ можно записать в виде
$$
\widetilde\mu(y) = \int_{\mathbb{R}^n} e^{i\langle x,y\rangle} \rho(x)\,d\lambda_n = 
\int_{\mathbb{R}^n} e^{i(x_1y_1 + \ldots + x_ny_n)} \rho(x_1,\ldots,x_n)\;dx_1\ldots dx_n.
$$
\end{example}
%--------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------
\begin{proposition}[{см.\ \cite[\S3 гл.~1]{Skorohod1975}}] 
\label{predlOdnozPF}
Любая борелевская мера в гильбертовом пространстве однозначно определяется своим преобразованием Фурье.
\end{proposition}
%--------------------------------------------------------------

%==========================================
\subsection{Гауссовские меры в гильбертовом пространстве}
\label{subsGausMera}
%==========================================
$ $

Имеются различные эквивалентные варианты определения гауссовских мер в гильбертовом пространстве 
(см., например, \cite[\S5 гл.~1]{Skorohod1975}, \cite[опр.~2.6 гл.~1]{Go1979}).
Мы введем понятие гауссовской меры в два этапа, как это сделано в книге~\cite{BogachGausM1997}: сначала для вещественной прямой, затем для гильбертового пространства.
%--------------------------------------------------------------
\begin{definition}[{ср.~\cite[опр.~1.1.1]{BogachGausM1997}}] 
\label{oprGausMR}
Борелевская мера $\gamma$ на вещественной прямой $\mathbb{R}$ называется \emph{гауссовской мерой с параметрами $a\in\mathbb{R}$ и $\sigma\in[0,+\infty)$}, если либо $\sigma=0$ и $\gamma$ является мерой Дирака $\delta_a$, сосредоточенной в точке $a$ (см.\ пример~\ref{primDeltaMera}), либо $\sigma>0$ и $\gamma$ имеет относительно меры Лебега плотность
$$
\rho_\gamma(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\Big\{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}\Big\}, \quad x\in\mathbb{R}.
$$
\end{definition}
%--------------------------------------------------------------
%1) Богачев. Гауссовские Меры.1997 \cite{BogachGausM1997}
%опр 2.1.5 (II) на стр.38 - для ЛВП, сводится к одномерному, который определяется отдельно - опр 1.1.1 на стр 9.
%2) ср.\ \cite[Опр.~2.6 гл.~1]{Go1979} - как у Богачева, но упущен случай дельта-меры.
%3) Скороход. \cite[\S5 гл.~1 ???]{Skorohod1975}
%+ Опр гаус меры (опр в парагр.5 на стр.32) - через преобр. Фурье.

%--------------------------------------------------------------
\begin{definition}[{ср.~\cite[опр.~2.1.5~(ii)]{BogachGausM1997}, \cite[опр.~2.6 гл.~1]{Go1979}}] %\label{definition}
Борелевская мера $\mu$ на гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$ называется \emph{гауссовской мерой}, если для всякого функционала $\varphi\in\mathscr{H}^*$ индуцированная мера $\mu\circ \varphi^{-1}$ на $\mathbb{R}$ является гауссовской (в смысле определения~\ref{oprGausMR}).
\end{definition}
%--------------------------------------------------------------

Свойство меры быть гауссовской можно также выразить в терминах её преобразования Фурье:
%--------------------------------------------------------------
\begin{theorem}[{см.\ \cite[теор.~2.2.1]{BogachGausM1997}, \cite[опр.~2.3 гл.~1]{Go1979}}]
\label{teorPrFurGM}
Борелевская мера $\mu$ на гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$ является гауссовской тогда и только тогда, когда её преобразование Фурье имеет вид
\begin{equation} \label{eqPrFurGausM}
\widetilde\mu(y) = \exp\Big\{i\langle m,y\rangle - \frac12\langle Ky,y\rangle\Big\}, \quad y\in\mathscr{H},
\end{equation}
где $m\in\mathscr{H}$, $K\in\mathcal{LS}^+_1(\mathscr{H})$.
При этом $m$ является средним значением меры $\mu$, и $K$ является её корреляционным оператором.
\end{theorem}
%--------------------------------------------------------------

Всюду далее гауссовскую меру с корреляционным оператором $K\in\mathcal{LS}_{1}^+(\mathscr{H})$ и средним значением $m\in\mathscr{H}$ будем обозначать символом $\Gamma_{K,m}$.

Хотя результат, содержащийся в следующем предложении, наверняка известен, для полноты изложения приводим его с~полным доказательством.
%--------------------------------------------------------------
\begin{proposition}[{ср.\ \cite[п.~2$^0$ \S2 гл.~2]{DalFomin1983}, \cite[лемма~2.1.6]{BogachGausM1997}}]
\label{prObrazGaus} 
Пусть $F\in\mathcal{L}(\mathscr{H})$ и $\Gamma_{K,m}$ --- гауссовская мера на $\mathscr{H}$.
%, имеющая среднее значение $m\in\mathscr{H}$ и корреляционный оператор $K\in\mathcal{LS}^+_1(\mathscr{H})$.
Тогда мера $\Gamma_{K,m}\circ F^{-1}$ также является гауссовской и имеет корреляционный оператор $FKF^*$ и среднее значение $Fm$, то есть $\Gamma_{K,m}\circ F^{-1} = \Gamma_{FKF^*,Fm}$.
\end{proposition}
%--------------------------------------------------------------
\begin{proof}
В силу предложения~\ref{predlOdnozPF} достаточно вычислить преобразование Фурье меры $\Gamma_{K,m}\circ F^{-1}$ и показать, что оно совпадает с преобразованием Фурье меры $\Gamma_{FKF^*,Fm}$.
Согласно определению~\ref{oprPreobrFur} и формуле замены переменных~\eqref{eqFormZamPer} при любом $y\in\mathscr{H}$ имеем:
\begin{multline*}
\mathscr{F}\big[\Gamma_{K,m}\circ F^{-1}\big](y) = 
\int_{\mathscr{H}} e^{i\langle x,y\rangle}\big(\Gamma_{K,m}\circ F^{-1}\big)(dx) =\\
= \int_{\mathscr{H}} e^{i\langle Fz,y\rangle}\Gamma_{K,m}(dz) = 
  \int_{\mathscr{H}} e^{i\langle z,F^*y\rangle}\Gamma_{K,m}(dz) = \mathscr{F}[\Gamma_{K,m}](F^*y).
\end{multline*}
Отсюда, применяя формулу~\eqref{eqPrFurGausM} из теоремы~\ref{teorPrFurGM} в случае $\mu = \Gamma_{K,m}$, получаем:
\begin{multline*}
\mathscr{F}\big[\Gamma_{K,m}\circ F^{-1}\big](y) = 
\exp\Big\{i\langle m,F^*y\rangle - \frac12\langle KF^*y,F^*y\rangle\Big\} =\\
= \exp\Big\{i\langle Fm,y\rangle - \frac12\langle FKF^*y,y\rangle\Big\} = \mathscr{F}[\Gamma_{FKF^*,Fm}](y).
\end{multline*}
Итак, преобразования Фурье мер $\Gamma_{K,m}\circ F^{-1}$ и  $\Gamma_{FKF^*,Fm}$ равны. 
Поэтому, в силу предложения~\ref{predlOdnozPF}, и сами эти меры равны.
\end{proof}
%--------------------------------------------------------------

Следующее предложение понадобится нам для доказательства теоремы~\ref{teorSistFunkUr}.
%--------------------------------------------------------------
\begin{proposition} \label{predlPrimIntGaus}
Пусть даны произвольные вектора $b,m\in\mathscr{H}$ и операторы $A\in\mathcal{L}\mathcal{S}^+(\mathscr{H})$, $K\in\mathcal{L}\mathcal{S}^+_1(\mathscr{H})$.
Тогда имеет место равенство
\begin{multline} \label{eqIntAbKm}
\int_\mathscr{H} \exp\Big\{i\langle y,b\rangle - \frac12\langle Ay,y\rangle\Big\} \Gamma_{K,m}(dy) = \det\nolimits^{-1/2}(I+KA) \cdot\\
\cdot \exp\Big\{i\big\langle (I+KA)^{-1}m,b\big\rangle - \frac12\big\langle (I+KA)^{-1}Kb,b\big\rangle - \frac12\big\langle A(I+KA)^{-1}m,m\big\rangle\Big\}.
\end{multline}
\end{proposition}
%--------------------------------------------------------------
\begin{proof}
Доказательство проведем в три этапа: сначала для случая $A=I$, затем для обратимого оператора $A$, и далее в общем случае.
 
1) В случае $A=I$, взяв $\varepsilon=1$, проведём рассуждения, аналогичные приведенным А.В.\,Скороходом \cite[\S5]{Skorohod1975} в~примере вычисления при $\varepsilon>0$ интеграла вида 
$\int_\mathscr{H} \exp\{\langle y,b\rangle - \varepsilon\langle y,y\rangle\} \Gamma_{K,m}(dy)$.

Так как $K\in\mathcal{L}\mathcal{S}^+_1(\mathscr{H})$, то, в силу теоремы Гильберта--Шмидта (см., например, \cite[теор.~7.5.1]{BogachSmolDFA2009}), в $\mathscr{H}$ существует ортонормированный базис $\{e_n\}_{n=1}^\infty$,
состоящий из собственных векторов оператора $K$, соответствующих неотрицательным собственным значениям $\{\varkappa_n\}_{n=1}^\infty$.
При каждом $n\in\mathbb{N}$ обозначим через $\mathscr{H}_n$ одномерное подпространство в $\mathscr{H}$, натянутое на $e_n$, через $\gamma_n$ --- проекцию меры $\Gamma_{K,m}$ на $\mathscr{H}_n$, и через $x_n$, $y_n$, $m_n$ --- проекции на $\mathscr{H}_n$ векторов $x$, $y$, $m$ соответственно. 
Тогда $x = \sum_{n=1}^\infty x_ne_n$, $y = \sum_{n=1}^\infty y_ne_n$, $m = \sum_{n=1}^\infty m_ne_n$.
Поэтому верно равенство 
\begin{equation} \label{eqIntProd}
\int_\mathscr{H} \exp\Big\{i\langle y,b\rangle - \frac12\langle y,y\rangle\Big\} \Gamma_{K,m}(dy) =
\prod_{n=1}^\infty \int_{\mathscr{H}_n} \exp\Big\{i y_nb_n-\frac12 y_n^2\Big\} \gamma_n(dy_n).
\end{equation}

При каждом $n\in\mathbb{N}$ мера $\gamma_n$ на прямой $\mathscr{H}_n$ является гауссовской со средним значением $m_n$ и корреляцией $\varkappa_n$.
Поэтому при $\varkappa_n>0$ по определению~\ref{oprGausMR} имеем:
\begin{equation*}
\begin{split}
\int_{\mathscr{H}_n} \exp\Big\{i y_nb_n &- \frac12 y_n^2\Big\} \gamma_n(dy_n) =\\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi\varkappa_n}} \int_{-\infty}^\infty \exp\Big\{i y_nb_n - \frac12 y_n^2 - \frac{(y_n-m_n)^2}{2\varkappa_n}\Big\}\,dy_n =\\
&= \frac{1}{\sqrt{1+\varkappa_n}} \exp\Big\{\frac{im_nb_n}{1+\varkappa_n} - \frac{m_n^2}{2(1+\varkappa_n)} - \frac{\varkappa_n b_n^2}{2(1+\varkappa_n)} \Big\}.
\end{split}
\end{equation*}
Если же $\varkappa_n=0$, то $\gamma_n = \delta_{m_n}$. Следовательно, в этом случае равенство
\begin{multline*} %\label{eqIntHn}
\int_{\mathscr{H}_n} \exp\Big\{i y_nb_n - \frac12 y_n^2\Big\} \gamma_n(dy_n) =\\
= \frac{1}{\sqrt{1+\varkappa_n}} \exp\Big\{\frac{im_nb_n}{1+\varkappa_n} -\frac{m_n^2}{2(1+\varkappa_n)} -\frac{\varkappa_n b_n^2}{2(1+\varkappa_n)} \Big\}
\end{multline*}
также верно при каждом $n\in\mathbb{N}$.
Подставляя все эти равенства в правую часть формулы~\eqref{eqIntProd}, получим:
\begin{multline} \label{eqIntAEqI}
\int_\mathscr{H} \exp\Big\{i\langle y,b\rangle - \frac12\langle y,y\rangle\Big\} \Gamma_{K,m}(dy) =\\
= \prod_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{1+\varkappa_n}} \exp\Big\{\frac{im_nb_n}{1+\varkappa_n} -\frac{m_n^2}{2(1+\varkappa_n)} -\frac{\varkappa_n b_n^2}{2(1+\varkappa_n)} \Big\} = \frac{1}{\sqrt{\det(I+K)}}\cdot\\
\cdot \exp\Big\{i\big\langle (I+K)^{-1}m,b\big\rangle - \frac12\big\langle (I+K)^{-1}m,m\big\rangle - \frac12\big\langle (I+K)^{-1}Kb,b\big\rangle \Big\}.
\end{multline}

2) В случае, когда $A$ имеет ограниченный обратный $A^{-1}\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$, 
в силу замечания~\ref{remFuncA} определены операторы $A^{1/2}$ и $A^{-1/2} = (A^{-1})^{1/2}$ из класса $\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$.
Сделаем в интеграле
$\int_\mathscr{H} \exp\big\{i\langle y,b\rangle - \frac12\langle Ay,y\rangle\big\} \Gamma_{K,m}(dy)$
замену переменных (см.\ предложение~\ref{prZamPerInt}), положив $y = A^{-1/2}x$, а затем применим предложение~\ref{prObrazGaus}. В итоге получим:
\begin{multline}
\int_\mathscr{H} \exp\Big\{i\langle y,b\rangle - \frac12\langle Ay,y\rangle\Big\} \Gamma_{K,m}(dy) =\\
= \int_\mathscr{H} \exp\Big\{i\langle A^{-1/2}x,b\rangle - \frac12\langle x,x\rangle\Big\} \big(\Gamma_{K,m}\circ A^{-1/2}\big)(dx) =\\
= \int_\mathscr{H} \exp\Big\{i\langle A^{-1/2}b,x\rangle - \frac12\langle x,x\rangle\Big\} \Gamma_{A^{1/2}KA^{1/2},A^{1/2}m}(dx).
\end{multline}
Отсюда, с учетом формулы~\eqref{eqIntAEqI}, находим искомое значение интеграла:
\begin{multline} \label{eqIntA12}
\int_\mathscr{H} \exp\Big\{i\langle y,b\rangle - \frac12\langle Ay,y\rangle\Big\} \Gamma_{K,m}(dy) =\\
= \det\nolimits^{-1/2}\big(I+A^{1/2}KA^{1/2}\big)\cdot 
\exp\Big\{ i\big\langle (I+A^{1/2}KA^{1/2})^{-1}A^{1/2}m,A^{-1/2}b\big\rangle -\\
- \frac12\big\langle (I+A^{1/2}KA^{1/2})^{-1}A^{1/2}m,A^{1/2}m\big\rangle - 
\frac12\big\langle (I+A^{1/2}KA^{1/2})^{-1}A^{1/2}Kb,A^{-1/2}b\big\rangle \Big\}.
\end{multline}
Несколько упростим полученное выражение. Если в предложении~\ref{prDetIABDetIBA} положить 
$A_1 = A^{1/2}$ и $A_2 = KA^{1/2}$, то из него получим равенство
$$
\det(I+A^{1/2}KA^{1/2}) = \det(I+A_1A_2) = \det(I+A_2A_1) = \det(I+KA).
$$
При этом из пункта~1 леммы~\ref{lemObrOper} следует, что
$$
\big(I+A^{1/2}KA^{1/2}\big)^{-1}A^{1/2} = (I+A_1A_2)^{-1}A = A(I+A_2A_1)^{-1} = A^{1/2}(I+KA)^{-1}.
$$
Учитывая эти результаты и равенство $(A^{1/2})^*=A^{1/2}$, формулу~\eqref{eqIntA12} можно упростить следующим образом:
\begin{multline*}
\int_\mathscr{H} \exp\Big\{ i\langle y,b\rangle - \frac12\langle Ay,y\rangle \Big\} \Gamma_{K,m}(dy) = \det\nolimits^{-1/2}(I+KA)\cdot\\
\cdot \exp\Big\{i\big\langle A^{1/2}(I+KA)^{-1}m,A^{-1/2}b\big\rangle - \frac12\big\langle A^{1/2}(I+KA)^{-1}m,A^{1/2}m\big\rangle -\\
- \frac12\big\langle A^{1/2}(I+KA)^{-1}Kb,A^{-1/2}b\big\rangle \Big\} = \det\nolimits^{-1/2}(I+KA)\cdot\\
\cdot \exp\Big\{i\big\langle (I+KA)^{-1}m,b\big\rangle - \frac12\big\langle A(I+KA)^{-1}m,m\big\rangle - 
\frac12\big\langle (I+KA)^{-1}Kb,b\big\rangle \Big\}.
\end{multline*}

3) В общем случае, когда оператор $A\in\mathcal{L}\mathcal{S}^+(\mathscr{H})$ не обязательно обратим, для каждого $n\in\mathbb{N}$ положим $A_n=A+I/n$.
Тогда операторы $A_n\in\mathcal{L}\mathcal{S}^+(\mathscr{H})$ имеют ограниченные обратные, и верны формулы, доказанные в пункте~2):
\begin{multline} \label{eqIntAn}
\int_\mathscr{H} \exp\Big\{i\langle y,b\rangle - \frac12\langle A_ny,y\rangle\Big\} \Gamma_{K,m}(dy) = \det\nolimits^{-1/2}(I+KA_n)\cdot\\
\cdot \exp\Big\{i\big\langle (I+KA_n)^{-1}m,b\big\rangle - \frac12\big\langle A_n(I+KA_n)^{-1}m,m\big\rangle -
\frac12\big\langle (I+KA_n)^{-1}Kb,b\big\rangle \Big\}.
\end{multline}
Поскольку $\lim_{n\to\infty}KA_n = KA$ в ядерной операторной норме, то верны равенства $\lim_{n\to\infty}(I+KA_n)^{-1} = (I+KA)^{-1}$ в равномерной операторной норме, и, в силу предложения~\ref{prDetIAnepr}, $\lim_{n\to\infty}\det(I+KA_n) = \det(I+KA)$. Поэтому, переходя в формуле~\eqref{eqIntAn} к пределу при $n\to\infty$, получим доказываемое равенство~\eqref{eqIntAbKm}.
\end{proof}
%--------------------------------------------------------------


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Гауссовские полугруппы и их связь с уравнением Риккати}
\label{sectGPUR}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В данном параграфе содержатся основные результаты нашей работы (теоремы \ref{teorSistFunkUr}, \ref{teorGPDifUr},~\ref{teorGPDifUrEdResh} и примеры \ref{primDimH1}, \ref{primB0}, \ref{primC0}, \ref{primD0}).
В его первой части мы сначала даём определения гауссовского семейства мер (определение~\ref{oprGausSemMer}) и
гауссовской полугруппы операторов на $\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$ (определение~\ref{oprMeraGausPolugr} и равенство~\eqref{eqGtfFull}). 
Затем в~теореме~\ref{teorSistFunkUr} находим необходимые и достаточные условия на функции $h(t)$, $P(t)$, $Q(t)$, $R(t)$, при выполнении которых семейство операторов $(G_t)_{t\geqslant0}$, задаваемое формулой~\eqref{eqGtfFull}, действительно образует полугруппу. Эти условия представлены в виде системы функциональных уравнений~\eqref{eqSistFunkUrST} и начальных условий~\eqref{eqSistNachUsl} для $h(t)$, $P(t)$, $Q(t)$, $R(t)$.
Далее в теореме~\ref{teorGPDifUr} из функциональных уравнений~\eqref{eqSistFunkUrST} выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений~\eqref{eqGPDifUrBP}. В теореме~\ref{teorGPDifUrEdResh} доказано, что задача Коши для этой системы имеет единственное решение. В примерах \ref{primDimH1}, \ref{primB0}, \ref{primC0}, \ref{primD0} эта задача Коши решена для четырех частных случаев ($\dim\mathscr{H}=1$, $B=0$, $C=0$, $D=0$), что даёт четыре примера гауссовских полугрупп.

%==========================================
\subsection{Гауссовские полугруппы операторов на пространстве ограниченных борелевских функций}
%==========================================

%--------------------------------------------------------------
\begin{definition}[{ср.\ \cite[опр.~A.2.17]{BogachGausM1997}, \cite[опр.~10.5.1]{BogachSmolDFA2009}}] \label{oprPolugrOper} 
Напомним, что семейство $(G_t)_{t\geqslant0}$ ограниченных операторов на пространстве $\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$ называется \emph{полугруппой}, если выполнены следующие два условия:

\noindent\hangindent=0.8cm
(S0) $G_0 f = f$ для любой $f\in\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$, то есть $G_0 = I$ --- единичный оператор на $\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$;

\noindent\hangindent=0.8cm
(S1) имеет место полугрупповое свойство $G_s(G_t f) = G_{t+s}f$, то есть выполняется равенство $G_s\circ G_t = G_{t+s}$, каковы бы ни были $t,s\geqslant 0$ и $f\in\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$.
\end{definition}
%--------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------
\begin{definition} \label{oprGausSemMer} 
Семейство $\{ \mu_{t,x} \bigm| t\geqslant0, x\in\mathscr{H} \}$ борелевских мер в $\mathscr{H}$ назовём \emph{гауссовским}, если при любых $t\geqslant0$ и $x\in\mathscr{H}$ мера $\mu_{t,x}$ имеет вид
\begin{equation} \label{eqMuGausSem}
\mu_{t,x} = h(t)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t)x,x\big\rangle\Big\} \Gamma_{Q(t),R(t)x},
\end{equation}
где $h(t)\in[0,+\infty)$, $P(t)\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$, $Q(t)\in\mathcal{LS}^+_1(\mathscr{H})$ и $R(t)\in\mathcal{L}(\mathscr{H})$.
\end{definition}
%--------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------
\begin{definition} \label{oprMeraGausPolugr} 
Будем говорить, что некоторое гауссовское семейство мер $\{\mu_{t,x} \bigm| t\geqslant0, x\in\mathscr{H} \}$ задаёт 
полугруппу $(G_t)_{t\geqslant0}$ операторов на пространстве $\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$, если 
для любых $t\geqslant 0$ и $f\in\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$ выполняется равенство
\begin{equation} \label{eqGtfDef}
(G_t f)(x) = \int_\mathscr{H} f(y)\,\mu_{t,x}(dy).
\end{equation}
Полугруппу $(G_t)_{t\geqslant0}$ при этом тоже будем называть \emph{гауссовской}. 
\end{definition}
%--------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------
\begin{remark} %\label{}
Пусть при каждом $t\geqslant0$ отображение $G_t$ на $\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$ задаётся равенством~\eqref{eqGtfDef}, где меры $\mu_{t,x}$ удовлетворяют условиям определения~\ref{oprGausSemMer}. Тогда при любом $f\in\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$ верно включение $G_t f\in\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$ и выполняется неравенство
$\|G_t f\|_\infty \leqslant h(t)\|f\|_\infty$, поэтому $G_t$ является ограниченным оператором на пространстве $\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$.
Это вытекает из цепочки равенств
\begin{multline} \label{eqGtfFull}
(G_t f)(x) = \int_\mathscr{H} f(y)\,\mu_{t,x}(dy) =\\
= \int_\mathscr{H} f(y)\,h(t)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t)x,x\big\rangle\Big\} \Gamma_{Q(t),R(t)x}(dy) =\\
= h(t)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t)x,x\big\rangle\Big\} \int_\mathscr{H} f\big(z+R(t)x\big)\,\Gamma_{Q(t),0}(dz),
\end{multline}
а также из неравенства
\begin{equation*}
\big|(G_t f)(x)\big| \leqslant h(t) \int_\mathscr{H} \big|f\big(z+R(t)x\big)\big|\,\Gamma_{Q(t),0}(dz) \leqslant h(t)\sup_{y\in\mathscr{H}} |f(y)| = h(t)\|f\|_\infty.
\end{equation*}
\end{remark}
%--------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------
\begin{example} \label{primPolugrOrnstUl} 
Частным случаем гауссовских полугрупп являются, например, полугруппы Орнштейна--Уленбека $(T_t)_{t\geqslant0}$, заданные в~\cite[формула~(2.8.29)]{BogachGausM1997} при каждом $t\geqslant0$ с помощью равенства
$$
(T_tf)(x) = \int_\mathscr{H} f\Big(e^{-t}x + \sqrt{1-e^{-2t}}y\Big)\Gamma_{K,0}(dy),
$$
где $K\in\mathcal{LS}^+_1(\mathscr{H})$.
Действительно, сделаем в данном интеграле замену переменных $z = F(y) = \sqrt{1-e^{-2t}}y$ (см.\ предложение~\ref{prZamPerInt}).
Поскольку при этом $F^* = F = \sqrt{1-e^{-2t}}I$, то, в силу предложения~\ref{prObrazGaus}, получим:
\begin{multline}
(T_tf)(x) = \int_\mathscr{H} f\big(e^{-t}x + F(y)\big)\Gamma_{K,0}(dy) = 
\int_\mathscr{H} f(e^{-t}x + z)\big(\Gamma_{K,0}\circ F^{-1}\big)(dz) =\\
= \int_\mathscr{H} f(e^{-t}x + z)\Gamma_{FKF^*,0}(dz) =
\int_\mathscr{H} f(y)\Gamma_{Q(t),R(t)x}(dy),
\end{multline}
где $Q(t) = (1-e^{-2t})K$ и $R(t) = e^{-t}I$ при всех $t\geqslant 0$.
\end{example}
%--------------------------------------------------------------

Следующая теорема показывает, при каких условиях на $h(t)$, $P(t)$, $Q(t)$ и $R(t)$ гауссовское семейство мер~\eqref{eqMuGausSem} задает полугруппу:
%--------------------------------------------------------------
\begin{theorem} \label{teorSistFunkUr} 
Гауссовское семейство мер
\begin{equation} \label{eqMuGausTeor}
\mu_{t,x} = h(t)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t)x,x\big\rangle\Big\} \Gamma_{Q(t),R(t)x},\quad t\geqslant0, x\in\mathscr{H}
\end{equation}
задает полугруппу операторов на пространстве $\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$
тогда и только тогда, когда $h(t)$ и $P(t)$, $Q(t)$, $R(t)$ при всех $t,s\geqslant0$ удовлетворяют системе функциональных уравнений
\begin{equation} \label{eqSistFunkUrST} %-основная система, для теоремы
\left\{\begin{aligned} 
h(t+s) &= h(t)h(s)\det\nolimits^{-1/2}\big(I+Q(s)P(t)\big)\\
P(t+s) &= P(s) + R^*(s)P(t)\big(I+Q(s)P(t)\big)^{-1}R(s)\\
Q(t+s) &= Q(t) + R(t)\big(I+Q(s)P(t)\big)^{-1}Q(s)R^*(t)\\
R(t+s) &= R(t)\big(I+Q(s)P(t)\big)^{-1}R(s),
\end{aligned}\right.
\end{equation}
а также системе начальных условий
\begin{equation} \label{eqSistNachUsl}
\big\{h(0)=1, \ P(0)=0, \ Q(0)=0, \ R(0)=I\big\}.
\end{equation}
\end{theorem}
%--------------------------------------------------------------
\begin{proof} %{\bf Доказательство.}
%1) Необходимость. 
В силу определений \ref{oprPolugrOper} и~\ref{oprMeraGausPolugr} нужно доказать, что операторы
\begin{equation} \label{eqGtfGamma}
\begin{split}
(G_t f)(x) &= \int_\mathscr{H} f(y)\,\mu_{t,x}(dy) =\\
&= h(t)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t)x,x\big\rangle\Big\} \int_\mathscr{H} f(y) \Gamma_{Q(t),R(t)x}(dy)
\end{split}
\end{equation}
на пространстве $\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$ удовлетворяют условиям (S0) и~(S1) из определения~\ref{oprPolugrOper} тогда и только тогда, когда $h(t)$, $P(t)$, $Q(t)$, $R(t)$ удовлетворяют системе~\eqref{eqSistFunkUrST} и начальным условиям~\eqref{eqSistNachUsl}.

1) Покажем, что условие~(S0) равносильно набору условий~\eqref{eqSistNachUsl}.

При $t=0$ в силу формулы~\eqref{eqGtfGamma} имеем: $(G_0 f)(x) = \int_\mathscr{H} f(y)\,\mu_{0,x}(dy)$. Поэтому условие (S0) равносильно равенству
$\int_\mathscr{H} f(y)\,\mu_{0,x}(dy) = f(x) = \int_\mathscr{H} f(y)\,\delta_x(dy)$ при всех $f\in\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$, $x\in\mathscr{H}$.
%ЗДЕСЬ
Это равенство, в силу предложения~\ref{predlOdnozPF}, эквивалентно тому, что 
$\int_\mathscr{H} e^{i\langle z,y\rangle}\mu_{0,x}(dy) = e^{i\langle z,x\rangle} = 
\int_\mathscr{H} e^{i\langle z,y\rangle}\,\delta_x(dy)$ 
при всех $x,z\in\mathscr{H}$.
Последнее условие, согласно формулам \eqref{eqMuGausTeor} и~\eqref{eqPrFurGausM}, можно записать в виде равенства
\begin{equation*}
h(0)\exp\Big\{i\langle R(0)x,z\rangle - \frac12\langle P(0)x,x\rangle - \frac12\langle Q(0)z,z\rangle\Big\} = \exp\{i\langle x,z\rangle\}.
\end{equation*}
Поскольку в этом равенстве операторы $P(0)$ и $Q(0)$ симметричны, а вектора $x,z\in\mathscr{H}$ произвольны, то оно, а значит и условие~(S0), равносильно набору начальных условий~\eqref{eqSistNachUsl}.

2) Покажем, что условие~(S1) равносильно системе функциональных уравнений~\eqref{eqSistFunkUrST}.
Сначала при любых $t,s\geqslant0$ вычислим композицию $G_s\circ G_t$. В~силу формулы~\eqref{eqGtfGamma} при всех $f\in\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$, $x\in\mathscr{H}$ имеем:
\begin{multline*}
\big(G_s(G_t f)\big)(x) = \int_\mathscr{H} \Big(\int_\mathscr{H} f(z)\,\mu_{t,y}(dz)\Big)\mu_{s,x}(dy) =\\
= \int_\mathscr{H} \Big(\int_\mathscr{H} f(z) h(t)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t)y,y\big\rangle\Big\}\Gamma_{Q(t),R(t)y}(dz)\Big) \cdot\\
\cdot h(s)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(s)x,x\big\rangle\Big\}\Gamma_{Q(s),R(s)x}(dy) =
\int_\mathscr{H} f(z) \nu_{t,s,x}(dz),
\end{multline*}
%\end{split} \end{equation}
где $\nu_{t,s,x}$ --- борелевская мера в $\mathscr{H}$, на каждом множестве $M\in\mathcal{B}_\mathscr{H}$ задаваемая равенством
\begin{multline*}
\nu_{t,s,x}(M) = \big(G_s(G_t I_M)\big)(x) = \int_\mathscr{H} \mu_{t,y}(M)\mu_{s,x}(dy) =\\
= \int_\mathscr{H} h(t)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t)y,y\big\rangle\Big\}\Gamma_{Q(t),R(t)y}(M) \cdot\\
\cdot h(s)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(s)x,x\big\rangle\Big\}\Gamma_{Q(s),R(s)x}(dy),
\end{multline*}
где через $I_M$ обозначена индикаторная функция множества $M$:
если $x\in M$, то $I_M(x) = 1$, иначе $I_M(x) = 0$.

С другой стороны, из формулы~\eqref{eqGtfGamma} вытекает равенство
\begin{equation*}
(G_{t+s}f)(x) = \int_\mathscr{H} f(z)\,\mu_{t+s,x}(dz).
\end{equation*}

Таким образом, истинность равенства $G_s(G_t f) = G_{t+s} f$ при любых $t,s\geqslant0$ и $f\in\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$ равносильна тому, что при всех $t,s\geqslant0$ и $x\in\mathscr{H}$ верно равенство $\nu_{t,s,x} = \mu_{t+s,x}$.
В свою очередь это равенство, поскольку мера однозначно определяется своим преобразованием Фурье (см.\ предложение~\ref{predlOdnozPF}), эквивалентно тому, что $\widetilde{\nu_{t,s,x}}(\varphi) = \widetilde{\mu_{t+s,x}}(\varphi)$ при всех $t,s\geqslant0$ и $x,\varphi\in\mathscr{H}$.
Поэтому далее вычислим сначала функцию $\widetilde{\mu_{t+s,x}}(\varphi)$, потом $\widetilde{\nu_{t,s,x}}(\varphi)$,
и затем приравняем их.

Для $\widetilde{\mu_{t+s,x}}(\varphi)$, в силу формул \eqref{eqMuGausTeor} и~\eqref{eqPrFurGausM}, имеем следующее выражение:
\begin{multline} \label{eqFMuTSX}
\widetilde{\mu_{t+s,x}}(\varphi) = h(t+s)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t+s)x,x\big\rangle\Big\}\mathscr{F}[\Gamma_{Q(t+s),R(t+s)x}](\varphi) =\\
= h(t+s)\exp\Big\{ i\big\langle R(t+s)x,\varphi\big\rangle - \frac12\big\langle P(t+s)x,x\big\rangle - \frac12\big\langle Q(t+s)\varphi,\varphi\big\rangle \Big\}.
\end{multline}

Для $\widetilde{\nu_{t,s,x}}(\varphi)$, согласно формулам \eqref{eqMuGausTeor} и~\eqref{eqPrFurGausM}, получаем такое выражение:
\begin{multline}
\widetilde{\nu_{t,s,x}}(\varphi) = 
\int_\mathscr{H} \bigg( \int_\mathscr{H} \exp\{i\langle z,\varphi\rangle\} h(t)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t)y,y\big\rangle\Big\} \cdot\\
\cdot \Gamma_{Q(t),R(t)y}(dz) \bigg)
h(s)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(s)x,x\big\rangle\Big\} \Gamma_{Q(s),R(s)x}(dy) =\\
= \int_\mathscr{H} h(t)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t)y,y\big\rangle\Big\} \mathscr{F}[\Gamma_{Q(t),R(t)y}](\varphi)\cdot\\
\cdot h(s)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(s)x,x\big\rangle\Big\} \Gamma_{Q(s),R(s)x}(dy).
\end{multline}
Так как $\mathscr{F}[\Gamma_{Q(t),R(t)y}](\varphi) = \exp\Big\{i\langle R(t)y,\varphi\rangle - \frac12\big\langle Q(t)\varphi,\varphi\big\rangle\Big\}$
по теореме~\ref{teorPrFurGM}, то
\begin{multline} \label{eqFNuTSX1}
\widetilde{\nu_{t,s,x}}(\varphi) = 
\int_\mathscr{H} h(t) \exp\Big\{i\langle R(t)y,\varphi\rangle - \frac12\big\langle P(t)y,y\big\rangle - \frac12\big\langle Q(t)\varphi,\varphi\big\rangle \Big\} \cdot\\
\cdot h(s)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(s)x,x\big\rangle\Big\} \Gamma_{Q(s),R(s)x}(dy) =\\
= h(t)h(s)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(s)x,x\big\rangle - \frac12\big\langle Q(t)\varphi,\varphi\big\rangle \Big\} \cdot\\
\cdot \int_\mathscr{H} \exp\Big\{i\langle y,R^*(t)\varphi\rangle - \frac12\big\langle P(t)y,y\big\rangle \Big\} \Gamma_{Q(t),R(t)x}(dy).
\end{multline}
Далее для вычисления оставшегося интеграла воспользуемся равенством~\eqref{eqIntAbKm} из предложения~\ref{predlPrimIntGaus} в случае, когда $A=P(t)$, $b=R^*(t)\varphi$, $K=Q(s)$, $m=R(s)x$. 
Введя для краткости обозначение $V(s,t) = \big(I+Q(s)P(t)\big)^{-1}$, получим:
\begin{multline}
\int_\mathscr{H} \exp\{i\langle y,R^*(t)\varphi\rangle - \frac12\big\langle P(t)y,y\big\rangle \Big\} \Gamma_{Q(s),R(s)x}(dy) =\\
= \det\nolimits^{-1/2}(I+Q(s)P(t)) \cdot \exp\Big\{ i\big\langle V(s,t)R(s)x,R^*(t)\varphi\big\rangle -\\
- \frac12\big\langle V(s,t)Q(s)R^*(t)\varphi,R^*(t)\varphi\big\rangle - \frac12\big\langle P(t)V(s,t)R(s)x,R(s)x\big\rangle \Big\}.
\end{multline}
Подставляя эту формулу в~\eqref{eqFNuTSX1}, приходим к окончательному выражению для функции $\widetilde{\nu_{t,s,x}}(\varphi)$:
\begin{multline} \label{eqFNuTSX2}
\widetilde{\nu_{t,s,x}}(\varphi) = 
h(t)h(s)\det\nolimits^{1/2}V(s,t) \cdot 
\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(s)x,x\big\rangle - \frac12\big\langle Q(t)\varphi,\varphi\big\rangle +\\
+ i\big\langle R(t)V(s,t)R(s)x,\varphi\big\rangle - \frac12\big\langle R(t)V(s,t)Q(s)R^*(t)\varphi,\varphi\big\rangle -\\
- \frac12\big\langle R^*(s)P(t)V(s,t)R(s)x,x\big\rangle \Big\} =\\
= h(t)h(s)\det\nolimits^{1/2}V(s,t) 
\cdot \exp\Big\{ i\big\langle R(t)V(s,t)R(s)x,\varphi\big\rangle -\\
- \frac12\big\langle \big(Q(t)+R(t)V(s,t)Q(s)R^*(t)\big)\varphi,\varphi\big\rangle \Big\}.
\end{multline}
Заметим, что операторы $R^*(s)P(t)V(s,t)R(s)$ и $R(t)V(s,t)Q(s)R^*(t)$, в силу леммы~\ref{lemObrOper}, являются самосопряженными.
Учитывая это и приравнивая выражения в правых частях формул \eqref{eqFMuTSX} и~\eqref{eqFNuTSX2}, приходим к выводу, что равенство
$\widetilde{\mu_{t+s,x}}(\varphi) = \widetilde{\nu_{t,s,x}}(\varphi)$, а значит и равенство $G_{t+s} = G_s\circ G_t$, равносильно системе~\eqref{eqSistFunkUrST}.
Теорема доказана.
\end{proof}
%--------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------
\begin{theorem} \label{teorGPDifUr} 
Пусть гауссовское семейство мер
\begin{equation*}
\mu_{t,x} = h(t)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t)x,x\big\rangle\Big\} \Gamma_{Q(t),R(t)x},\quad t\geqslant0, x\in\mathscr{H}
\end{equation*}
задает полугруппу операторов на $\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$.
Предположим, что функция $h(t)$ дифференцируема при $t>0$ и имеет конечную правую производную $a = h'(+0)$.
Предположим также, что в ядерной норме оператор-функция $Q(t)$ дифференцируема при $t>0$ и имеет ограниченную правую производную $B = Q'(+0)$, и в равномерной операторной норме оператор--функции $P(t)$, $R(t)$ дифференцируемы при $t>0$ и имеют ограниченные правые производные $C = P'(+0)$, $D = R'(+0)$ соответственно.
Тогда $a\in\mathbb{R}$, $B\in LS_{1}^+(\mathscr{H})$, $C\in LS^+(\mathscr{H})$, $D\in L(\mathscr{H})$ и функции $h(t)$, $P(t)$, $Q(t)$, $R(t)$ при всех $t\geqslant0$ дают решение задачи Коши
\begin{equation} \label{eqGPDifUrBP}
\left\{
\begin{aligned}
h\,'(t) &= \Big(a - \frac12 \tr\big(BP(t)\big)\Big) h(t)\\
P\,'(t) &= C + D^*P(t)+P(t)D - P(t)BP(t)\\
Q\,'(t) &= R(t)BR^*(t)\\
R\,'(t) &= R(t)\big(D - BP(t)\big),
\end{aligned}
\right.\qquad\left\{
\begin{aligned}
h(0) &= 1\\
P(0) &= 0\\
Q(0) &= 0\\
R(0) &= I.
\end{aligned} \right.
\end{equation}
\end{theorem}
%--------------------------------------------------------------
\begin{proof} %{\bf Доказательство.}
Из предложения~\ref{prDifDetIS} и начальных условий~\eqref{eqSistNachUsl} следует, что
$$
\Big(\det\big(I+Q(s)P(t)\big)\Big)'_s\Big|_{s=+0} = 
\det\big(I+Q(0)P(t)\big)\cdot \tr\big(Q'(+0)P(t)\big) = \tr\big(BP(t)\big).
$$ 
Отсюда, дифференцируя равенство $h(t+s) = h(t)h(s)\det^{-1/2}\big(I+Q(s)P(t)\big)$, первое в системе~\eqref{eqSistFunkUrST}, и учитывая~\eqref{eqSistNachUsl}, находим:
$$
h'(t) = \big(h(t+s)\big)'_s\big|_{s=+0} =
h(t)h'(+0)\det\nolimits^{-1/2}\big(I+Q(0)P(t)\big) - $$
$$
- h(t)h(0)\cdot\frac12\det\nolimits^{-3/2}\big(I+Q(0)P(t)\big)\cdot\Big(\det\big(I+Q(s)P(t)\big)\Big)'_s\Big|_{s=+0} =
$$
$$
= h(t)\Big(a - \frac12\tr\big(BP(t)\big)\Big).
$$

Снова введём обозначение $V(s,t) = \big(I+Q(s)P(t)\big)^{-1}$.
Тогда $V(0,t) = I$ при всех $t\geqslant0$.
Кроме того, из пункта~1 леммы~\ref{lemObrOper} при $A_1=P(t)$, $A_2=Q(s)$ получим: 
$$
V(s,t) = \big(I+Q(s)P(t)\big)^{-1} = I - Q(s)\big(I+P(t)Q(s)\big)^{-1}P(t).
$$
Поэтому, учитывая начальное условие $Q(0) = 0$, найдём:
$$
\big(V(s,t)\big)'_s\big|_{s=+0} = -\lim_{s\to+0} \frac{Q(s)}{s}\big(I+P(t)Q(s)\big)^{-1}P(t) = -Q'(+0)P(t) = -BP(t).
$$

Далее, записав в виде $P(t+s) = P(s) + R^*(s)P(t)V(s,t)R(s)$ второе равенство системы~\eqref{eqSistFunkUrST}, находим:
$$
P'(t) = \big(P(t+s)\big)'_s\big|_{s=+0} = P'(+0) + \big(R'(+0)\big)^*P(t)V(0,t)R(0) +
$$
$$
+ R(0)^*P(t)\big(V(s,t)\big)'_s\big|_{s=+0}R(0) + R(0)^*P(t)V(0,t)R'(+0) =
$$
$$
= C + D^*P(t) + P(t)D - P(t)BP(t).
$$

Из третьего равенства системы~\eqref{eqSistFunkUrST}, заменив в нём $\big(I+Q(s)P(t)\big)^{-1}$ на $V(s,t)$, получим:
$$
Q'(t) = \lim_{s\to+0} R(t)V(s,t)\frac{Q(s)}{s}R^*(t) = R(t)Q'(+0)R^*(t) = R(t)BR^*(t).
$$

Аналогично, записав виде $R(t+s) = R(t)V(s,t)R(s)$ последнее равенство системы~\eqref{eqSistFunkUrST}, придём к соотношению
$$
R'(t) = R(t)\Big( \big(V(s,t)\big)'_s\big|_{s=+0}R(0) +  V(0,t)R'(+0) \Big) = R(t)\big(D - BP(t)\big).
$$

Теорема доказана.
\end{proof}
%--------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------
\begin{remark}
Исходя из системы~\eqref{eqSistFunkUrST}, можно следующим образом получить систему дифференциальных уравнений, отличающуюся от~\eqref{eqGPDifUrBP}. Сначала в~\eqref{eqSistFunkUrST} меняем местами $t$ и $s$:
\begin{equation*} %\label{eqSistFunkUrTS} %-для замечания
\left\{\begin{aligned} 
h(s+t) &= h(s)h(t)\det\nolimits^{-1/2}\big(I+Q(t)P(s)\big)\\
P(s+t) &= P(t) + R^*(t)P(s)\big(I+Q(t)P(s)\big)^{-1}R(t)\\
Q(s+t) &= Q(s) + R(s)\big(I+Q(t)P(s)\big)^{-1}Q(t)R^*(s)\\
R(s+t) &= R(s)\big(I+Q(t)P(s)\big)^{-1}R(t).
\end{aligned}\right.
\end{equation*}
Далее, дифференцируя каждое равенство по $s$ в нуле справа (аналогично тому, как это делается в теореме~\ref{teorGPDifUr}), придем к системе
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
h\,'(t) &=\Big(a-\frac12 \tr\big(Q(t)C\big)\Big) h(t)\\
P\,'(t) &= R^*(t)CR(t)\\
Q\,'(t) &=B + DQ(t) + Q(t)D^* - Q(t)CQ(t)\\
R\,'(t) &=\big(D - Q(t)C\big)R(t).
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
Входящее в неё дифференциальное уравнение Риккати для $Q(t)$ является двойственным к уравнению для $P(t)$ из системы~\eqref{eqSistFunkUrST} (см.\ определение~\ref{oprDOUR}).
\end{remark}
%--------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------
\begin{theorem} \label{teorGPDifUrEdResh} 
При любых $a\in\mathbb{R}$, $B\in\mathcal{LS}_{1}^+(\mathscr{H})$, $C\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$, $D\in\mathcal{L}(\mathscr{H})$ задача Коши~\eqref{eqGPDifUrBP} имеет единственное решение на полуоси $[0,+\infty)$ (при $t=0$ берется производная справа) в классе дифференцируемых функций
$h\colon [0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $P\colon [0,+\infty)\to\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$, $Q\colon [0,+\infty)\to\mathcal{LS}_1^+(\mathscr{H})$, 
$R\colon [0,+\infty)\to\mathcal{L}(\mathscr{H})$.
\end{theorem}
%--------------------------------------------------------------
\begin{proof} %{\bf Доказательство.} 
%Докажем теперь существование и единственность решения задача Коши~\eqref{eqGPDifUr} на полуоси при произвольно заданных $\alpha\in\mathbb{R}$, $B\in\mathcal{LS}_{1}^+(\mathscr{H})$, $C\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$, $D\in\mathcal{L}(\mathscr{H})$.
Начнем с уравнения $P'(t) = C + D^{\,*}P(t)+P(t)D - P(t)BP(t)$.
В силу теоремы~\ref{teorReshUrRik} данное операторное дифференциальное уравнение Риккати имеет единственное решение $P(t)\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$ с начальным условием $P(0)=0$ на полуоси $t\geqslant0$.

Далее, в силу предложений \ref{prTrNorm1} и~\ref{prNorm1ABBA}, при всех $t,s\geqslant0$ верна оценка
$$
\big|\tr\big(BP(t)\big) - \tr\big(BP(s)\big)\big| = \Big|\tr\Big(B\big(P(t)-P(s)\big)\Big)\Big| \leqslant \|B\|_1\cdot\|P(t)-P(s)\|.
$$
Отсюда, ввиду непрерывности отображения $t\mapsto P(t)$, следует непрерывность функции $t\mapsto \tr\big(BP(t)\big)$.
Поэтому уравнение $h'(t) = \Big(a-\frac12 \tr\big(BP(t)\big)\Big) h(t)$ с~начальным условием $h(0)=1$ имеет единственное решение при $t\geqslant0$. Очевидно, это решение можно записать в виде
$h(t) = \exp\Big\{ \int\limits_0^t \Big(a-\frac12 \tr\big(BP(s)\big)\Big)ds \Big\}$.

Уравнение $R'(t) = R(t)\big(D - BP(t)\big)$, последнее в~\eqref{eqGPDifUrBP}, 
в силу непрерывности отображения $t \mapsto \big(D - BP(t)\big)$ также имеет при $t\geqslant0$ единственное решение 
с~начальным условием $R(0)=I$ (см., например, \cite[п.~1 \S~2 гл.~2]{Krein1967}, \cite[п.~31 гл.~3]{MasShef1970},~\cite[п.~1.1]{GalkinGalkina2019}).

Остаётся найти решение уравнения $Q'(t) = R(t)BR^*(t)$ с начальным условием $Q(0)=0$.
Это решение также единственно и выражается через интеграл Бохнера: $Q(t) = \int_0^t R(\tau)BR^*(\tau)\,d\tau$ (см., например,~\cite[теор.~6 \S~7 гл.~VI]{LusSob1982}).
Так как $B\in\mathcal{LS}_{1}^+(\mathscr{H})$, то $R(\tau)BR^*(\tau)\in\mathcal{LS}_{1}^+(\mathscr{H})$ при любом $\tau\in[0,t]$.
Поэтому $Q(t)\in\mathcal{LS}_{1}^+(\mathscr{H})$ при любом $t\geqslant0$.
Теорема доказана.
\end{proof}
%--------------------------------------------------------------


%==========================================
\subsection{Несколько примеров гауссовских полугрупп}
\label{subsPrimGP}
%==========================================
$ $

Здесь мы решаем задачу Коши~\eqref{eqGPDifUrBP} в четырёх частных случаях:
в одномерном случае $\dim\mathscr{H}=1$ (пример~\ref{primDimH1}) и в случаях, когда $B=0$, $C=0$ или $D=0$  (примеры~\ref{primB0},~\ref{primC0} и~\ref{primD0}). Это даёт четыре примера гауссовских полугрупп.

%--------------------------------------------------------------
\begin{example} \label{primDimH1}
Пусть $\dim\mathscr{H}=1$, то есть $\mathscr{H}\cong\mathbb{R}$. Тогда операторы $B$, $C$ и ${D=D^*}$ можно отождествить с некоторыми вещественными числами $b\geqslant0$, $c\geqslant0$ и $d$ соответственно, а оператор--функции $P(t)$, $Q(t)$ и $R(t)$ можно считать вещественными функциями на луче $[0,+\infty)$.
Введём обозначение $k = \sqrt{bc+d^2}$.

Сначала предположим, что $k \neq 0$.
Решая в~\eqref{eqGPDifUrBP} последовательно уравнения для $P$, $R$, $Q$ и $h$, при всех $t\geqslant0$ придём к формулам
\begin{equation*} %\label{eqGPn1}
\left\{
\begin{aligned}
&h(t) = \frac{ \sqrt{k}e^{(\alpha-d/2)t} }{ \sqrt{k\ch(kt)-d\sh(kt)} };\quad
&P(t) = \frac{ c\sh(kt) }{ k\ch(kt)-d\sh(kt) };\\
&Q(t) = \frac{ b\sh(kt) }{ k\ch(kt)-d\sh(kt) };\quad
&R(t) = \frac{ k }{ k\ch(kt)-d\sh(kt) }.
\end{aligned}
\right\}
\end{equation*}

Если же $k = \sqrt{bc+d^2}  = 0$, то $d=0$, а также $b=0$ или $c=0$. Поэтому система уравнений в~\eqref{eqGPDifUrBP} упрощается, и решение при всех $t\geqslant0$ имеет вид $h(t) = e^{at}$, $P(t) = ct$, $Q(t) = 0$, $R(t) = 1$ в случае $b=d=0$, и, соответственно,
$h(t) = e^{at}$, $P(t) = 0$, $Q(t) = bt$, $R(t) = 1$ в случае $c=d=0$.

Проверка показывает, что найденные функции $h(t)$, $P(t)$, $Q(t)$ и $R(t)$ удовлетворяют условиям~\eqref{eqSistFunkUrST} как в случае $k=0$, так и в случае $k\neq 0$. В силу теоремы~\ref{teorSistFunkUr} это означает, что для $t\geqslant0$ семейство операторов вида
\begin{equation*}
(G_t f)(x) = h(t)\exp\Big\{-\frac12\big\langle P(t)x,x\big\rangle\Big\} \int_\mathscr{H} f(y) \Gamma_{Q(t),R(t)x}(dy)
\end{equation*}
с такими функциями $h,P,Q$ и $R$ задает гауссовскую полугруппу на $\mathscr{B}_b(\mathbb{R},\mathbb{C})$.
\end{example}
%--------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------
\begin{example} \label{primB0}
Пусть $B = 0$.
Решая задачу Коши~\eqref{eqGPDifUrBP} для этого случая, при всех $t\geqslant0$ находим: 
$h(t) = e^{at}$, $P(t) = \int_0^t e^{\tau D^*} C e^{\tau D} d\tau$, $Q(t) = 0$, $R(t) = e^{tD}$.
Проверяя условия~\eqref{eqSistFunkUrST} и применяя теорему~\ref{teorSistFunkUr} убеждаемся, что на~$\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$ семейство гауссовских мер с такими параметрами действительно задает гауссовскую полугруппу.
\end{example}
%--------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------
\begin{example} \label{primC0}
Пусть $C = 0$. Тогда, аналогично предыдущему, получаем из~\eqref{eqGPDifUrBP} при всех $t\geqslant0$: 
$h(t) = e^{at}$, $P(t) = 0$, $Q(t) = \int_0^t e^{\tau D} B e^{\tau D^*} d\tau$, $R(t) = e^{tD}$.
Так как $B\in\mathcal{LS}_1^+(\mathscr{H})$, то $Q(t)\in\mathcal{LS}_1^+(\mathscr{H})$ при всех $t\geqslant0$ в силу предложения~\ref{prNorm1ABBA}.

В частности, если $a = 0$, то, подставляя найденные выражения для $h(t)$, $P(t)$, $Q(t)$ и $R(t)$ в равенство~\eqref{eqGtfFull}, для любых $f\in\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$, $x\in\mathscr{H}$ и $t\geqslant0$ получим формулу, аналогичную формуле~(2.1) из~\cite{BogachRockSch1996}:
\begin{equation*}
(G_t f)(x) = \int_\mathscr{H} f\big(z + R(t)x\big)\,\Gamma_{Q(t),0}(dz) = \int_\mathscr{H} f\big(R(t)x-y\big)\,\Gamma_{Q(t),0}(dy).
\end{equation*}
Таким образом, при $C = 0$ и $a = 0$ гауссовская полугруппа $(G_t)_{t\geqslant0}$ является обобщенной мелеровской полугруппой на пространстве $\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$ (см.\ определение~2.4 и параграф~4 в~\cite{BogachRockSch1996}).
\end{example}
%--------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------
\begin{example} \label{primD0}
Пусть $D = 0$. Для того, чтобы записать решение задачи Коши~\eqref{eqGPDifUrBP} в этом случае,
%напомним (см., например,~\cite[теор.~7.7.2]{BogachSmolDFA2009}), что для любого оператора $A\in\mathcal{LS}(\mathscr{H})$
%и для любой непрерывной функции $f\colon\sigma(A)\to\mathbb{R}$ определен оператор $f(A)\in\mathcal{LS}(\mathscr{H})$. 
%При этом (см.~\cite[следст.~7.7.3]{BogachSmolDFA2009}) если $f\geqslant0$, то и $f(A)\geqslant0$, то есть $f(A)\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$.
%В частности (см.~\cite[следст.~7.7.3]{BogachSmolDFA2009}), для любого $A\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$ определен оператор $\sqrt{A}\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$.
применим к операторам $B\in\mathcal{LS}^+_1(\mathscr{H})$ и $C\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$ замечание~\ref{remFuncA}. Тогда получим, что определены операторы 
$\sqrt{C}B\sqrt{C}, \sqrt{B}C\sqrt{B} \in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$ и 
$\sqrt{\sqrt{C}B\sqrt{C}}, \sqrt{\sqrt{B}C\sqrt{B}} \in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$.

Пусть теперь $t\geqslant0$ фиксировано. Для любого $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ зададим функции 
${f_t(x) = \big(\th(tx)\big)/x}$ и $g_t(x) = \big(\ch(tx)-1\big)\big/\big(x^2\ch(tx)\big)$. 
Тогда $f_t(x) \geqslant 0$ и $g_t(x) \geqslant 0$. 
Доопределив $f_t$ и $g_t$ в точке $x=0$ по непрерывности, получим, что $f_t,g_t\in C(\mathbb{R})$.
Поэтому, в силу замечания~\ref{remFuncA}, для любого оператора $K\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$
определены операторы $f_t(K),g_t(K)\in\mathcal{LS}^+(\mathscr{H})$, которые мы обозначим через $\big(\th(tK)\big)/K$ и $\big(\ch(tK)-I\big)\big/\big(K^2\ch(tK)\big)$ соответственно.

Далее, используя свойства определителя (см.\ предложение~\ref{prDifDetIS}) и проводя необходимые вычисления, приходим к выводу, что в случае $D = 0$ решение задачи Коши~\eqref{eqGPDifUrBP} при любом $t\geqslant0$ можно записать в виде
\begin{equation} \label{eqGPD0}
\left\{
\begin{aligned}
h(t) &= e^{at}\cdot\det\nolimits^{-1/2}\bigg(\ch\Big(\textstyle{t\sqrt{\sqrt{C}B\sqrt{C}}}\Big)\bigg)\\
P(t) &= \sqrt{C}\cdot\frac{\th\Big(t\sqrt{\sqrt{C}B\sqrt{C}}\Big)}{\sqrt{\sqrt{C}B\sqrt{C}}}\cdot\sqrt{C} \\
Q(t) &= \sqrt{B}\cdot\frac{\th\Big(t\sqrt{\sqrt{B}C\sqrt{B}}\Big)}{\sqrt{\sqrt{B}C\sqrt{B}}}\cdot\sqrt{B} \\
R(t) &= I - B\sqrt{C}\cdot\frac{\ch\Big(t\sqrt{\sqrt{C}B\sqrt{C}}\Big)-I}{\sqrt{C}B\sqrt{C}\ch\Big(t\sqrt{\sqrt{C}B\sqrt{C}}\Big)}\cdot\sqrt{C}.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
При этом, поскольку $B\in\mathcal{LS}^+_1(\mathscr{H})$, то $Q(t)\in\mathcal{LS}^+_1(\mathscr{H})$ для любого $t\geqslant0$.

Используя разложения функций $\sh$, $\ch$ и $\th$ в степенные ряды, можно показать, 
что при $0 \leqslant t < \pi/\big(2\sqrt{\|B\|\cdot\|C\|}\big)$ решение~\eqref{eqGPD0} задачи Коши~\eqref{eqGPDifUrBP} можно переписать в несколько ином виде:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
s(t) &= e^{at}\cdot\det\nolimits^{-1/2}\Big(\ch\big(t\sqrt{BC}\big)\Big)\\
P(t) &= C\cdot\frac{\th\big(t\sqrt{BC}\big)}{\sqrt{BC}} \\
Q(t) &= \frac{\th\big(t\sqrt{BC}\big)}{\sqrt{BC}} \cdot B \\
R(t) &= \Big(\ch\big(t\sqrt{BC}\big)\Big)^{-1},
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
где операторы $\th\big(t\sqrt{BC}\big)/\sqrt{BC}$ и $\big(\ch\big(t\sqrt{BC}\big)\big)^{-1}$ определяются с помощью рядов Маклорена для функций $x\mapsto\th(tx)/x$ и $x\mapsto 1/\ch(tx)$ соответственно. Эти ряды, ввиду четности указанных функций, будут содержать переменную $x$ лишь в четных степенях $(x^2)^n$, $n=0,1,2,\ldots$. Подставляя вместо каждого выражения $(x^2)^n$ оператор $(BC)^n$, получим ряды для операторов $\th\big(t\sqrt{BC}\big)/\sqrt{BC}$ и $\big(\ch\big(t\sqrt{BC}\big)\big)^{-1}$.
%Проверяя условия~\eqref{eqSistFunkUrST} и применяя теорему~\ref{teorSistFunkUr} убеждаемся, что на~$\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$ семейство гауссовских мер с такими параметрами  также задает гауссовскую полугруппу.
\end{example}
%--------------------------------------------------------------


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Планы на будущее}
\label{sectPlanNaBud}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
В наших следующих работах мы планируем:

\noindent\hangindent=0.45cm
1) выяснить, при каких условиях и на каких подпространствах пространства $\mathscr{B}_b(\mathscr{H},\mathbb{C})$ гауссовская полугруппа, задаваемая формулой~\eqref{eqGtfFull}, будет сильно непрерывной, а также найти ее генератор;

\noindent\hangindent=0.45cm
2) ввести понятие гауссовской полугруппы операторов на пространстве борелевских мер $\mathcal{M}(\mathscr{H})$ и изучить такие полугруппы;

\noindent\hangindent=0.45cm
3) усилить результат теоремы~\ref{teorGPDifUr}, получив из системы~\eqref{eqSistFunkUrST} как следствие систему~\eqref{eqGPDifUrBP} при более слабых условиях на оператор-функции $P(t)$, $Q(t)$, $R(t)$ (например, предполагая лишь их непрерывность);

\noindent\hangindent=0.45cm
4) доказать теорему, обратную теореме~\ref{teorGPDifUr}, то есть показать, что все решения задачи Коши~\eqref{eqGPDifUrBP} будут решениями системы функциональных уравнений~\eqref{eqSistFunkUrST}.

\noindent\hangindent=0.45cm
5) Результаты, полученные в работе для полугрупп операторов, определяемых счётно-аддитивными гауссовскими мерами, распространить также на случай полугрупп, определяемых цилиндрическими гауссовскими мерами.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\bigskip
\begin{thebibliography}{99}
%Оформляется на английском языке

\bibitem{AcqBucci2023} %Q2 Scopus
P.~Acquistapace, F.~Bucci,
{\it Uniqueness for Riccati equations with application to the optimal boundary control of composite systems of evolutionary partial differential equations},
Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923 -), \textbf{202} (2023), 1611--1642.
%Изучает только самосопр решения ур типа Риккати, обращающиеся в ноль в заданной точке.
%Доказывает, что оно единств. для неограниченных операторов B и D.

\bibitem{AvSmFom1971}
%англ версия - с сайта mathnet.ru \textbf{23}:4 (2017), 281--291.
V.I.~Averbukh, O.G.~Smolyanov, S.V.~Fomin,
{\it Generalized functions and differential equations in linear spaces. I. Differentiable measures},
Tr. Mosk. Mat. Obs., \textbf{24} (1971), 133--174.
%{\bf Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин С.В.} Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. 1.~Дифференцируемые меры // ТММО. 1971. Т.~24, с.~133--236.

\bibitem{BenPrDelMit2007} 
A.~Bensoussan, G.~Da~Prato, M.C.~Delfour, S.K.~Mitter,
{\it Representation and Control of Infinite Dimensional Systems}, 
Birkh\"auser, Boston, 2007, 575~p.
DOI: 10.1007/978-0-8176-4581-6.
%Part IV. теор 2.1 - про сущ и единств реш уравнения Риккати
%Part IV. пункт 7.3 - про двойственное уравнение Риккати

\bibitem{BirSol1980}
%англ версия - с сайта link.springer.com/book/10.1007/978-94-009-4586-9
M.S.~Birman, M.Z.~Solomjak,
{\it Spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert space},
Springer, Dordrecht, 1987, 302~p.
DOI: 10.1007/978-94-009-4586-9
%{\bf Бирман М.Ш., Соломяк М.З.} Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: ЛГУ. 1980. 264 с.

\bibitem{BogachRockSch1996}
V.I.~Bogachev, M.~R\"ockner, B.~Schmuland,
{\it Generalized Mehler semigroups and applications},
Probab. Theory Relat. Fields, \textbf{105} (1996), 193--225. 

\bibitem{BogachGausM1997}
V.I.~Bogachev,
{\it Gaussian measures},
American Mathematical Soc., 2014, 433~p.
%{\bf Богачев В.И.} Гауссовские меры. 1997.

\bibitem{BogachOsnTM2003}
V.I.~Bogachev,
{\it Measure Theory. Vol.~1}, 
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2007, 514~p.
%{\bf Богачев В.И.} Основы теории меры. 1. 2003.

\bibitem{BogachSmolDFA2009}
V.I.~Bogachev, O.G.~Smolyanov,
{\it Real and Functional Analysis},
Springer, Cham, 2020, 586~p.
DOI: 10.1007/978-3-030-38219-3
%{\bf Богачев В.И., Смолянов О. Г.} Действительный и функциональный анализ: университетский курс. М.--Ижевск. 2009. 724 с.
%%Опр сильно непр полугр опер Опр 10.5.1, стр 561.

\bibitem{DalFomin1983}
Yu.L.~Dalecky, S.V.~Fomin,
{\it Measures and differential equations in infinite-dimensional space},
Springer, Dordrecht, 1991, 337~p.
%Далецкий Ю.Л., Фомин СВ. Меры и дифференциальные  уравнения в бесконечномерных простран­ствах. М., 1983. 

\bibitem{Dixmier1957}
J.~Dixmier,
{\it Les alg\`ebres d'op\'erateurs dans l'espace Hilbertien (Alg\`ebres de von Neumann)},
Gauthier-Villars, Paris, 1957, 367~p.

\bibitem{EngelNagel2000}
K.-J.~Engel, R.~Nagel,
{\it One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations},
Springer, NY, 2000, 589~p.
DOI: 10.1007/b97696

\bibitem{GalkinGalkina2019} %
%англ версия - с сайта mathnet.ru
O.E.~Galkin, S.Yu.~Galkina,
{\it On the invertibility of solutions of first order linear homogeneous differential equations in Banach algebras},
Zhurnal SVMO, \textbf{21}:4 (2019), 430--442.
%{\bf Галкин О.Е., Галкина С.Ю.} Об обратимости решений линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка в банаховых алгебрах. // Журнал СВМО. 2019. Том 21, № 4. С.~430-442.
%п. 1.1

\bibitem{GenLucTzv2023} %Q1 Scopus
G.~Genovese, R.~Luc\`a, N.~Tzvetkov,
{\it Quasi-invariance of Gaussian measures for the periodic Benjamin-Ono-BBM equation},
Stoch PDE: Anal. Comp., \textbf{11} (2023), 651--684.
DOI: 10.1007/s40072-022-00240-2

\bibitem{Go1979}
H.-H.~Kuo,
{\it Gaussian measures in Banach spaces},
Springer, Berlin Heidelberg, 1975, 228~p.
DOI: 10.1007/BFb0082007
%{\bf Го. Х.--С.} Гауссовские меры в банаховых пространствах. (перевод с англ.) --- М.: Мир, 1979.

\bibitem{GohKrein1965}
I.C.~Gohberg, M.G.~Krein,
{\it Introduction to the theory of linear nonselfadjoint operators in Hilbert space},
American Mathematical Society, 1969, 378~p.
%{\bf Гохберг И.Ц., Крейн М.Г.} Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965. 448 стр.

\bibitem{KalFalArb1968}
R.E.~Kalman, P.L.~Falb, M.A.~Arbib,
{\it Topics  in  mathematical  system theory},
McGraw-Hill Book Company, 1968, 353~p.
%{\bf Калман, P. Фалб, M. Арбиб} Очерки по математической теории систем. М.:Мир. 1971. 402 с.
%Вроде доказано сущ. и единств. реш. ур. Риккати для ограниченных операторов в бесконмерн. прост., 
%но как-то рассредоточенно, зато для переменных коэф-тов.
%Пункт 3.5, теор.5.21 (а точнее, перед ней) на стр. 104 рус. изд.

\bibitem{Krein1967}
S.G.~Krein,
{\it Linear Differential Equations in Banach Space},
American Mathematical Society, 1971, 390~p.
%{\bf Крейн С.Г.} Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.:Наука. 1967. 464 с.
%Глава 2, \S~2, пункт~1.

\bibitem{LawsonLim2006}
J.D.~Lawson, Y.~Lim,
{\it The symplectic semigroup and Riccati differential equations},
Journal of Dynamical and Control Systems, \textbf{12}:1 (2006), 49--77.
DOI: 10.1007/s10450-006-9683-8
%Доказывает, что ур Риккати имеет реш
% In this paper, we study close connections that exist between the Riccati operator (di?erential) equation that arises in linear control systems and the symplectic group and its subsemigroup of symplectic Hamiltonian operators.
%Among other things, these developments provide an elementary proof for the existence of a solution of the Riccati equation for all t ? 0 under rather general hypotheses.
%В этой статье мы изучаем тесные связи, существующие между операторным (дифференциальным) уравнением Риккати, возникающим в линейных системах управления, и симплектической группой и ее подгруппой симплектических гамильтоновых операторов. 
%Помимо прочего, эти разработки обеспечивают элементарное доказательство существования решения уравнения Риккати для всех t ? 0 при довольно общих гипотезах.

\bibitem{Lidskii1959}
V.B.~Lidsky,
{\it Nonselfadjoint operators having a trace},
Dokl. Akad. Nauk SSSR, \textbf{132}:2 (1960), 485--488.
%{\bf Лидский В.Б.} Несамосопряженные операторы, имеющие след. // ДАН, том 125, 1959, стр. 485--488.

\bibitem{LusSob1982}
L.A.~Lusternik, V.J.~Sobolev,
{\it Elements of functional analysis},
Hindustan Pub. Corp., 1961, 411~p.
%{\bf Люстерник Л.А., Соболев В.И.} Краткий курс функционального анализа. М.:Высшая школа. 1982. 272 с.
%Глава VI, \S~7, теор~6.

\bibitem{MasShef1970} 
J.L.~Massera, J.J.~Schaffer,
{\it Linear differential equations and function spaces},
Academic Press, 1966, 404~p.
%{\bf Массера Х.Л., Шеффер Х.Х.} Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.:Мир. 1970. 456~с.
%Глава 3, пункт~31.

\bibitem{Petrovsk1961}
I.G.~Petrovsky,
{\it Lectures on partial differential equations},
Dover Publications Inc., New York, 1991, 272~p.
%Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными. 1961.

\bibitem{Skorohod1975}
A.V.~Skorohod,
{\it Integration in Hilbert Space},
Springer, Berlin Heidelberg, 1974, 180~p.
DOI: 10.1007/978-3-642-65632-3
%{\bf Скороход А.В.} Интегрирование в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1975. 231 стр.
%Там есть:
% Преобр Фурье (у него - характер-й ф-ционал).
% Теорема Минлоса-Сазонова, в том числе для гаусс мер (т.1 на c.28)
% Вычислен $\int_H e^{-a|x|^2+(z,x)} d\mu(x) на с.37.

\bibitem{Xu2022}
G.~Xu,
{\it Some problems of linear differential equations on abstract spaces and unbounded perturbations of linear operator semigroup},
Front. Math. China, \textbf{17} (2022), 47--77. 
DOI: 10.1007/s11464-022-1003-4
%This paper is a survey for development of linear distributed parameter system. At first we point out some questions existing in current study of control theory for the Lp linear system with an unbounded control o...

\end{thebibliography}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\endinput

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Что еще надо сделать
--------------------
- афиляция с НУГ ?
- добавить соавторов

Публикация подготовлена в ходе/в результате проведения исследования/работы (№ проекта и название) в рамках Программы «Научный фонд Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ)».

Сделано
-------
+ добавить описание параграфов, где это необходимо
+ проверить, что на все занумерованные формулы есть ссылки
+ в последнем примере проверить, что 1-е решение действительно дает решение.
+ убрать свои макросы
+ см, что предложение, лемма, а что теорема.
+ упорядочить литературу по алфавиту
+ лит-ру в формат СЕМИ
+ Введение исправить
+ аннот на англ
+ убрать лишнюю лит-ру
+ Работа поддержана мегагрантом ...
+ ур Риккати
+ производная детерм
+ гауссовские меры
+ у Богачева полугр Оншт - Уленб --- в парагр 1.4 в книге гаус меры.
+ Написать, что существует не более одной меры с данным преобразованием Фурье.

Не надо
-------
- Добавить определение цилиндрического множества, цилиндрической меры и цилиндрической функции.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Литература, которая не понадобилась

%\bibitem{1}
%{\bf Глимм Дж., Джаффе А.} Математические методы квантовой физики. (перевод с англ.)  -- М.:  Мир, 1984.

%\bibitem{3} {\bf Авербух В. И., Смолянов О. Г., Фомин С. В.} Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. 2.~Дифференциальные операторы и их преобразования Фурье // ТММО. 1972. Т.~27, с.~247--262.

%\bibitem{5} {\bf Нев\"е Ж.} Математические основы теории вероятностей. ---
%(перевод с франц.) --- М.: Мир, 1969, с.121.

%\bibitem{6} {\bf Себастьянов Б. А.} Курс теории вероятностей и математической статистики. --- М.: Наука, 1982.

%\bibitem{7} {\bf Смолянов О. Г.} Один метод доказательства теорем единственности для эволюционных дифференциальных уравнений. // Мат. заметки 1979. т.~25, №~2.

%\bibitem{8} {\bf Вентцель А. Д.} Курс теории случайных процессов. ---
%М.: Наука, 1975.

%\bibitem{9} {\bf Кац М.} Теория вероятностей и смежные вопросы в физике.
%(перевод с англ.) --- М.: Мир, 1965.

%\bibitem{Weil1951}
%Weil A. l’Integration dans les group topologiques et ses application. Hermann. 1951.

%\bibitem{LanLif1977}
%L. D. Landau, E. M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1.

%\bibitem{13}
%{\bf Хренников~А.Ю.} Теорема о существовании решения 
%бесконечномерного уравнения Шредингера с квадратичным потенциалом // 
%УМН, 1984, т.39, №1, с.163-164.

%\bibitem{GelVil1961} 
%{\bf Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я.} Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. --- М.: Физматлит, 1961. 246 стр.

%\bibitem{Gaveau1981}
%{\bf Gaveau~B.} Noyau des probabilites de transition de sertains operateur d'Ornstein--Uhlenbeck // C.~R. Acad. Sc., Paris, S?rie 1, Math?matique, v.~239, no.~9, 1981, pp.~469--472.

%\bibitem{DanfShv1962} 
%{\bf Данфорд Н., Шварц Дж.Т.} 
%Линейные операторы. Т~1. Общая теория. 1962. 896~стр.
%%Опр сильно непр полугр опер Опр 1, параграф 1, гл. VIII, стр 654.

%\bibitem{Goldstein1993}
%Goldstein, J.A. (1993). A Survey of Semigroups of Linear Operators and Applications. In: Goldstein, G.R., Goldstein, J.A. (eds) Semigroups of Linear and Nonlinear Operations and Applications. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-011-1888-0_1
