\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}

\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]


%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{512.57}
\def\mscs{17D20, 17D25, 17A30}
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{‹Ґ¬¬ }
\newtheorem{theorem}{’Ґ®аҐ¬ }
\newtheorem{definition}{ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ}
\newtheorem{corollary}{‘«Ґ¤бвўЁҐ}
\newtheorem{proposition}{ЏаҐ¤«®¦Ґ­ЁҐ}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue,
citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{‘€Ѓ€ђ‘Љ€… ќ‹…Љ’ђЋЌЌ›…}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{ЊЂ’…ЊЂ’€—…‘Љ€… €‡‚…‘’€џ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small €­бвЁвгв ¬ вҐ¬ вЁЄЁ Ё¬. ‘.‹.‘®Ў®«Ґў  ‘Ћ ђЂЌ}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it ’®¬ 20, ь 2, бва. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small “„Љ \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
        {\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}
\def\A{{\mathcal A}}
\def\B{{\mathcal B}}
\def\D{{\mathcal D}}
\def\End{\mbox{\rm End}\,}
\def\Ann{\mbox{\rm Ann}\,}
\def\Der{\mbox{\rm Der}\,}
\def\Im{\mbox{\rm Im}\,}
\def\M{\End(\A)}
\def\Mo{\End(\A_0)}
\def\Mb{\End(\A_\lambda)}
\def\Tr{ \mbox{\rm T\!r}\,}
\def\tr{ \mbox{\rm tr}}
\def\Mol{\mbox{\rm End}_{0}(\A)}
\def\Molo{\mbox{\rm End}(\A_0)}
\def\qed{\hfill $\Box$\vspace{5pt}}



\thispagestyle{empty}

\title[\sc Ћ Є®­бвагЄжЁЁ ЊЁжге ал ¤«п н­¤®¬®ад®ў]{\large Ћ Є®­бвагЄжЁЁ ЊЁжге ал ¤«п н­¤®¬®ад®ў}
\author[Ђ.Џ. ЏЋ†€„Ђ…‚]{{\bf \large \textsc{Ђ.Џ. Џ®¦Ё¤ Ґў}}\protect\orcidicon{0000-0002-2038-166X}\\ \\
\textit{ЏаҐ¤бв ў«Ґ­®} \textsc{‚. Џа¦Ёп«Є®ўбЄЁ©}
%\textit{(§ Ї®«­пҐвбп аҐ¤ Єв®а®¬)}
}%
\address{Aleksandr Petrovich Pozhidaev
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{app@math.nsc.ru}}%

\thanks{\sc Pozhidaev, A.P.,
On Mizuhara's construction for Endomorphs}
\thanks{\copyright \ 2023 Џ®¦Ё¤ Ґў Ђ.Џ}
\thanks{\rm ђ Ў®в  ўлЇ®«­Ґ­  ў а ¬Є е
Ј®бг¤ абвўҐ­­®Ј® § ¤ ­Ёп €Њ ‘Ћ ђЂЌ, вҐ¬  FWNF-2022-0002.}
\thanks{\it Џ®бвгЇЁ«  6 ®ЄвпЎап 2023 Ј., ®ЇгЎ«ЁЄ®ў ­  31 ¤ҐЄ Ўап 2023 Ј.}%


\semrtop \vspace{1cm} \maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} We consider Mizuhara's construction for the
endomorphs. It is shown that this construction gives almost simple
algebras, which are used to construct new examples of simple
right-symmetric algebras. To investigate the Mizuhara extensions we
give a description of the derivations of the endomorphs constructed
on nonunital algebras, which generalizes a result obtained earlier
in the unital case.я
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} right-symmetric algebra, simple algebra
 pre-Lie algebra, Mizuhara's construction, endomorph, derivation.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Љ®­бвагЄжЁп ЊЁжге ал}

 Ђ«ЈҐЎа  $\A$ ­ §лў Ґвбп  {\it Їа ў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ®©},
 Ґб«Ё   бб®жЁ в®а $(x,y,z):=(xy)z-x(yz)$ ­  $\A$ пў«пҐвбп
 Їа ў®бЁ¬¬ҐваЁз­л¬, в.\,Ґ. ®­ бЁ¬¬ҐваЁзҐ­ ®в­®бЁвҐ«м­® ¤ўге
 Ї®б«Ґ¤­Ёе н«Ґ¬Ґ­в®ў: $(x, y, z) = (x, z, y)$ ¤«п ўбҐе
 $x, y, z \in \A$ (¤ «ҐҐ бЁ¬ў®« $:=$
 ®§­ з Ґв а ўҐ­бвў® Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо). Ђ­ «®ЈЁз­® ®ЇаҐ¤Ґ«повбп
 «Ґў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄЁҐ (ЇаҐ«ЁҐўл)  «ЈҐЎал, Є®в®алҐ ®Є §лў овбп  ­вЁЁ§®¬®ад­л¬Ё
 Їа ў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄЁ¬. \smallskip

 ‚ а Ў®вҐ \cite{1} Ўл«  ўўҐ¤Ґ­  Є®­бвагЄжЁп ®¤­®¬Ґа­®Ј® а биЁаҐ­Ёп
 «Ґў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ®©  «ЈҐЎал Ё Ї®бва®Ґ­л а §«Ёз­лҐ ЇаЁ¬Ґал Їа®бвле
 «Ґў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄЁе  «ЈҐЎа, ў ®б­®ў­®¬ Ёбе®¤п Ё§ ``ўла®¦¤Ґ­­ле''
  «ЈҐЎа. ‘«гз ©, Є®Ј¤  Ёбе®¤­ п  «ЈҐЎа  пў«пҐвбп Їа®бв®©, ®бв «бп ў
 \cite{1} ­ҐЁбб«Ґ¤®ў ­.  €§гзҐ­ЁҐ ¤ ­­®Ј® б«гз п ­ з «®бм ў а Ў®вҐ
 \cite{2}, Ј¤Ґ а бб¬ ваЁў « бм Є®­бвагЄжЁп ЊЁжге ал
 ¤«п ¬ ваЁз­®©  «ЈҐЎал Ё  «ЈҐЎа Ѓга¤н. ’ Є¦Ґ ў \cite{2}
 Ї®бва®Ґ­л а §«Ёз­лҐ ®Ў®ЎйҐ­Ёп
 Є®­бвагЄжЁЁ ЊЁжге ал Ё ­®ўлҐ ЇаЁ¬Ґал Їа®бвле ЇаҐ«ЁҐўле  «ЈҐЎа, Ї®«гзҐ­­ле ЇаЁ
 Ї®¬®йЁ ¤ ­­®© Є®­бвагЄжЁЁ, ў з бв­®бвЁ Ї®бва®Ґ­ Їа®бв®© ¤гЎ«м ‚Ёвв   бб®жЁ вЁў­®©
  Є®¬¬гв вЁў­®© г­Ёв «м­®©  «ЈҐЎал. €§ ўлиҐгЄ § ­­®© а Ў®вл ўЁ¤­®,
  зв® Є®­бвагЄжЁп ЊЁжге ал ЁЈа Ґв ў ¦­го а®«м ЇаЁ Ї®бва®Ґ­ЁЁ Ё
  Ё§гзҐ­ЁЁ Їа®бвле ЇаҐ«ЁҐўле  «ЈҐЎа. ‚ \cite{4} Ўл«® ўўҐ¤Ґ­® Ї®­пвЁҐ н­¤®¬®ад 
  Їа®Ё§ў®«м­®© ­Ґ бб®жЁ вЁў­®©  «ЈҐЎал,
  Ё, ў з бв­®бвЁ, Ўл«® Ї®Є § ­®,  зв® н­¤®¬®адл
  Їа ў®(«Ґў®)бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄЁе  «ЈҐЎа ¤ ов ®Ја®¬­Ґ©иЁ© Є« бб Їа®бвле
  Їа ў®(«Ґў®)бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄЁе  «ЈҐЎа. ‚ ­ бв®пйҐ© а Ў®вҐ Ё§гз Ґвбп
   Є®­бвагЄжЁп ЊЁжге ал ¤«п н­¤®¬®ад®ў Їа®Ё§ў®«м­ле ­Ґ бб®жЁ вЁў­ле  «ЈҐЎа.
   \smallskip

  ‡ дЁЄбЁагҐ¬ Їа®Ё§ў®«м­®Ґ ®б­®ў­®Ґ Ї®«Ґ $F$.
  ‚ ¤ «м­Ґ©иҐ¬, $\langle \Upsilon \rangle:=\langle \Upsilon \rangle_F$
  --- «Ё­Ґ©­ п ®Ў®«®зЄ  ¬­®¦Ґбвў  $\Upsilon$ ­ ¤ $F$,
  Ј¤Ґ бЁ¬ў®« $F$ ®ЇгбЄ Ґвбп, Ґб«Ё Ї®«Ґ пб­® Ё§ Є®­вҐЄбв .
  „«п ¤ ­­®©  «ЈҐЎал $\A$ зҐаҐ§ $L_a$
  Ё $R_a$ ®Ў®§­ з овбп ®ЇҐа в®ал «Ґў®Ј® Ё Їа ў®Ј® г¬­®¦Ґ­Ёп
  ­  н«Ґ¬Ґ­в $a\in \A$,
  в.\,Ґ. $L_a(b) = ab = R_b(a)$ ¤«п «оЎ®Ј® $b\in \A$.
  ‚бо¤г ¤ «ҐҐ зҐаҐ§ $e_{ij}$ ®Ў®§­ з овбп ®Ўлз­лҐ ¬ ваЁз­лҐ Ґ¤Ё­Ёжл,
  $E:=1$ --- Ґ¤Ё­Ёз­ п ¬ ваЁж  (Ё«Ё в®¦¤ҐбвўҐ­­®Ґ ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ);
  $\delta_{ij}$ ---  бЁ¬ў®« Ља®­ҐЄҐа ; $\tr(A)$ --- б«Ґ¤  $A$;
  $(x,y,z)_{rs}:=(x,y,z)-(x,z,y)$;
  $[x,y]:=xy-yx$ --- Є®¬¬гв в®а н«Ґ¬Ґ­в®ў $x,y$.
  …б«Ё $V$ --- ўҐЄв®а­®Ґ Їа®бва ­бвў® ­ ¤ $F$, в® зҐаҐ§ $V^*$
  ®Ў®§­ з Ґвбп ¤г «м­®Ґ Їа®бва ­бвў® Є $V$,   зҐаҐ§ $\End(V)$ ---
   «ЈҐЎа  ўбҐе $F$-«Ё­Ґ©­ле ®ЇҐа в®а®ў ­  $V$, ®Ўа § н«Ґ¬Ґ­в  $x\in V$
  Ї®¤ ¤Ґ©бвўЁҐ¬ $\phi\in\End(V)$ з бв® ®Ў®§­ з Ґвбп $\phi_x:=\phi(x)$.
  \smallskip

  Џгбвм $\A$ ---  «ЈҐЎа  ­ ¤ Ї®«Ґ¬ $F$.
  ‘«Ґ¤гп \cite{3}, cЁ¬¬ҐваЁзҐбЄго ЎЁ«Ё­Ґ©­го д®а¬г $H(\cdot,\cdot)$ ­  $\A$
  б® §­ зҐ­Ёп¬Ё ў $F$ Ўг¤Ґ¬ ­ §лў вм {\it ѓҐббЁ ­®¬}, Ґб«Ё
 \begin{eqnarray}\label{Hes}
  H(xy, z) - H(x,yz)   &=&  H(xz,y) -H(x,zy)
 \end{eqnarray}
  ¤«п ўбҐе $x, y, z \in \A$.\smallskip

ЏаЁўҐ¤с¬ Є®­бвагЄжЁо ЊЁжге ал \cite{1} а биЁаҐ­Ёп   «ЈҐЎал
 $\A$  ЇаЁ Ї®¬®йЁ 2-­Ё«мЇ®вҐ­в  Ё«Ё Ё¤Ґ¬Ї®вҐ­в , в.\,Ґ. в Є®Ј® н«Ґ¬Ґ­в  $u$,
 зв® $u^2=\varepsilon u$, Ј¤Ґ $\varepsilon\in \{0,1\}$, $u\not\in\A$.
 ѓҐббЁ ­ $H$ Ё ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ $D$
 ­  $\A$ ­ §®ўс¬ $\varepsilon$-{\it б®Ј« б®ў ­­л¬Ё}, Ґб«Ё
\begin{eqnarray}\label{es}
  \varepsilon H(x,y) &=& H(D_x, y) + H(x,D_y)
 \end{eqnarray}
 ¤«п «оЎле $x,y\in \A$ (ЇаЁ нв®¬ б®Ј« б®ў ­­лҐ Ї ал
  $(H,0)$ Ё $(0,D)$ ­ §®ўс¬ {\it ваЁўЁ «м­л¬Ё}). ђ бб¬®ваЁ¬ ®¤­®¬Ґа­®Ґ а биЁаҐ­ЁҐ
  $\A$ ЇаЁ Ї®¬®йЁ $\left<u\right>$ Ё
  $\varepsilon$-{\it б®Ј« б®ў ­­®©} Ї ал $(H,D)$,
  ­  Є®в®а®¬ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп Їа ўЁ« ¬Ё
 \begin{eqnarray}\label{expr}
  u\cdot u &=& \varepsilon u,\ u\cdot x = 0,\ x\cdot u = D_x,\nonumber \\
  x\cdot y &=& xy + H(x, y)u
\end{eqnarray}
 ¤«п ўбҐе $x,y\in \A$. ЋЎ®§­ зЁ¬ Ї®«гзҐ­­го  «ЈҐЎаг зҐаҐ§
 $\A(H,D)$. Ђ«ЈҐЎаг $\A(H,D)$ Ўг¤Ґ¬ ­ §лў вм
 {\it $\varepsilon$-а биЁаҐ­ЁҐ¬ ЊЁжге ал}
   «ЈҐЎал $\A$. Љ Є б«Ґ¤гҐв Ё§ \cite{1},  $\A(H,D)$ пў«пҐвбп
 Їа ў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ®©  «ЈҐЎа®©, Ґб«Ё в Є®ў  Ёбе®¤­ п  «ЈҐЎа .\smallskip

 ЋЎ®§­ зЁ¬ зҐаҐ§ $M^\perp:=\{x\in \A: H(x,m)=0 \mbox{ ¤«п «оЎ®Ј® } m\in
 M\}$ {\it ®ав®Ј®­ «м­®Ґ ¤®Ї®«­Ґ­ЁҐ} Є ¬­®¦Ґбвўг $M$ ў  «ЈҐЎаҐ $\A$
 ®в­®бЁвҐ«м­® ѓҐббЁ ­  $H$  «ЈҐЎал $\A$.\smallskip


 {\bf ‹Ґ¬¬  1.1.} \cite{1}  \it Џ®¤Їа®бва ­бвў®
 $I = Fu\oplus J$ пў«пҐвбп Ё¤Ґ «®¬ ў $\A(H,D)$ в®Ј¤  Ё в®«мЄ® в®Ј¤ , Є®Ј¤  $J$
 --- в Є®© Ё¤Ґ « ў $\A$, зв® $D(\A)\subseteq J$.
 Џ®¤Їа®бва ­бвў® $J$ Ё§ $\A$ пў«пҐвбп Ё¤Ґ «®¬ ў $\A(H,D)$ в®Ј¤  Ё в®«мЄ® в®Ј¤ ,
 Є®Ј¤  $J$ --- в Є®© Ё¤Ґ « ў $\A$, зв® $D(J)\subseteq J$ Ё
 $J\subseteq \A^\perp$.
 \rm\smallskip

 „ ­­ п «Ґ¬¬  ­Ґ ¤ св ®ЇЁб ­ЁҐ ўбҐе Ё¤Ґ «®ў ў $\A(H,D)$ ЇаЁ
$\varepsilon=0$. ‚ нв®¬ б«гз Ґ ў®§¬®¦­л в Є¦Ґ ``­Ґ®¤­®а®¤­лҐ''
Ё¤Ґ «л, ®ЇЁблў Ґ¬лҐ «Ґ¬¬®© 1.2 ­Ё¦Ґ, ¤«п д®а¬г«Ёа®ўЄЁ Є®в®а®©
 г¤®Ў­® ўўҐбвЁ б«Ґ¤гойҐҐ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ. Џгбвм
 $(H,D)$ --- $0$-б®Ј« б®ў ­­ п Ї а  ­   «ЈҐЎаҐ $\A$.
  Џа ўл© $D$-Ё­ў аЁ ­в­л©
  Ё¤Ґ « $I$  «ЈҐЎал $\A$  ­ §®ўс¬ $(H,D)$-{\it Ё¤Ґ «®¬ б Є®¬Ї ­м®­®¬}
  $\alpha\in I^*$, Ґб«Ё
  \begin{eqnarray}\label{lid}
  &&xa+\alpha_aD_x\in I,\ \alpha(ax)=\alpha(xa+\alpha_aD_x)=H(a,x),\ \alpha(D_a)=0
  \end{eqnarray}
   ¤«п ўбҐе $a\in I, x\in \A$. ‘«Ґ¤гой п «Ґ¬¬  Ўл«  ¤®Є § ­  ў
   \cite{2} ¤«п «Ґў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ®Ј® б«гз п;
   Їа ў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄЁ© б«гз ©  Ўб®«ов­®  ­ «®ЈЁзҐ­, ®¤­ Є®, в Є Є Є
   ¤ ­­ п «Ґ¬¬  Ё¬ҐҐв ЇаЁ­жЁЇЁ «м­®Ґ §­ зҐ­ЁҐ ¤«п ¤ ­­®© а Ў®вл, в®
   ¬л ЇаЁўҐ¤с¬ Ґс ¤®Є § вҐ«мбвў®. \smallskip

 {\bf ‹Ґ¬¬  1.2.}  \it Џгбвм $J$ --- Ї®¤Їа®бва ­бвў® ў
  $0$-а биЁаҐ­ЁЁ ЊЁжге ал $\A(H,D)$  «ЈҐЎал $\A$ в Є®Ґ,
  зв® $J\not\subseteq \A,$ $u\not\in J$. ’®Ј¤ 
  $J$ пў«пҐвбп Ё¤Ґ «®¬ ў $\A(H,D)$
  в®Ј¤  Ё в®«мЄ® в®Ј¤ , Є®Ј¤  ў $\A$ бгйҐбвўгҐв $(H,D)$-Ё¤Ґ « $I$
  б Є®¬Ї ­м®­®¬ $\alpha$ в Є®©, зв®
  $$J=\left<a+\alpha_a u:a\in I\right>.$$
 \rm

  {\it „®Є § вҐ«мбвў®.}   Џгбвм $J$ --- Ё¤Ґ « ў $\A(H,D)$,
 $J\not\subseteq \A,$ $u\not\in J$. ’®Ј¤  $c+u\in J$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј®
 ­Ґ­г«Ґў®Ј® $c\in \A$.  Џгбвм $I=\{x\in \A: x+\alpha_x u\in J
 \mbox{ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® } \alpha_x\in F\}$. ‡ ¬ҐвЁ¬, зв® $I$ ---
 Ї®¤Їа®бва ­бвў® ў $\A$   Ё $\alpha_x$ ®ЇаҐ¤Ґ«с­ Ґ¤Ё­бвўҐ­­л¬
 ®Ўа §®¬ ¤«п «оЎ®Ј® $x\in \A$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ҐбвҐбвўҐ­­® ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп
 $\alpha\in I^*$. …б«Ё $a+\alpha_a u\in J$, в® $(a+\alpha_a u)\cdot u=D_a\in J$,
 в.\,Ґ. $D_I\subseteq I$, $\alpha(D_I)=0$. „ «ҐҐ, ®Ў®§­ зЁ¬
 $(a,x):=H(a,x)$, в®Ј¤ 
 $$(a+\alpha_a u)\cdot x=ax+(a,x)u\in J,\quad
 x\cdot (a+\alpha_a u)=xa+(a,x)u+\alpha_aD_x\in J,$$
®вЄг¤ 
$$ax\in I,\ xa+\alpha_aD_x\in I,\ \alpha(ax)=\alpha(xa+\alpha_aD_x)=(a,x)$$
¤«п «оЎле $a\in I,x\in \A$.

ЋЎа в­®, Ґб«Ё $I$ --- $D$-Ё­ў аЁ ­в­л© $(H,D)$-Ё¤Ґ « ў $\A$ б
Є®¬Ї ­м®­®¬
 $\alpha$, в®  $J=\left<a+\alpha_a u:a\in I\right>$ ---
 Ё¤Ґ «  «ЈҐЎал $\A(H,D)$. „Ґ©бвўЁвҐ«м­®,
 $(a+\alpha_a u)\cdot u=D_a\in J,$ $u\cdot (a+\alpha_a u)=0$,
 $(a+\alpha_a u)\cdot x =ax+(a,x)u\in J,$
 $x\cdot (a+\alpha_a u)=xa+(a,x)u+\alpha_aD_x\in J$, зв® Ё ваҐЎ®ў «®бм. \qed


 ‡ дЁЄбЁагҐ¬ $\varepsilon\in\{0,1\}$.
 Џгбвм $\A_i(H_i,D_i)$ --- $\varepsilon$-а биЁаҐ­Ёп ЊЁжге ал
   «ЈҐЎа $\A_i, i = 1, 2$.
 ђ бб¬®ваЁ¬ Їап¬го бг¬¬г $\A=\A_1\oplus \A_2$  «ЈҐЎа
 $\A_1$ Ё $\A_2$ (Є Є Ё¤Ґ «®ў).
 ЋЎ®§­ зЁ¬ зҐаҐ§  $\D$ (б®®вўҐвбвўҐ­­®, $H$) ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ
 (ѓҐббЁ ­)  «ЈҐЎал $\A$, ®ЇаҐ¤Ґ«с­­лҐ Їа ўЁ« ¬Ё:
 $$\D_{|\A_i} = D_i,\
 H_{|\A_i} = H_i,\ H(\A_1,\A_2) = 0,\ i = 1, 2.$$

Љ Є б«Ґ¤гҐв Ё§ \cite{1}, $(H,\D)$ пў«пҐвбп б®Ј« б®ў ­­®© Ї а®© ­ 
$\A$. Ђ«ЈҐЎа  $\A(H,D)$ ­ §лў Ґвбп Їап¬л¬ {\it а биЁаҐ­ЁҐ¬ ЊЁжге ал}
   «ЈҐЎа $\A_1$ Ё $\A_2$. Ђ«ЈҐЎа  $\A$ ­ §лў Ґвбп {\it а §«®¦Ё¬®©}, Ґб«Ё
  бгйҐбвўгов ­ҐваЁўЁ «м­лҐ  «ЈҐЎал $\A_1$ Ё $\A_2$ в ЄЁҐ, зв®
  $\A $ пў«пҐвбп Їап¬л¬ а биЁаҐ­ЁҐ¬ ЊЁжге ал
   «ЈҐЎа $\A_1$ Ё $\A_2$. ‚ Їа®вЁў­®¬ б«гз Ґ $\A$ ­ §лў Ґвбп {\it
  ­Ґа §«®¦Ё¬®©}. ‚ ¦­®бвм $\varepsilon$-а биЁаҐ­Ёп ЊЁжге ал
  ®Ўкпб­пҐв б«Ґ¤гойҐҐ \smallskip

{\bf ЏаҐ¤«®¦Ґ­ЁҐ 1.1.} \cite{1}  \it Џгбвм $\A$ пў«пҐвбп
 Їап¬л¬ а биЁаҐ­ЁҐ¬ ЊЁжге ал «Ґў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄЁе  «ЈҐЎа $\A_1$ Ё $\A_2$.
  …б«Ё $\A_1$ Ё $\A_2$ Їа®бвл, в® Ё $\A$ пў«пҐвбп Їа®бв®© «Ґў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ®©
   «ЈҐЎа®©.\rm
  \smallskip


 Ђ«ЈҐЎаг $\A(H,D)$ ­ §®ўс¬ {\it Ї®звЁ Їа®бв®©}, Ґб«Ё ®­  «ЁЎ® Їа®бв ,
  «ЁЎ® «оЎ®© Ґс б®ЎбвўҐ­­л© Ё¤Ґ «  ­Ґ б®ўЇ ¤ Ґв б $\A$, Ё¬ҐҐв Є®а §¬Ґа­®бвм 1
   Ё ­Ґ б®¤Ґа¦Ёв н«Ґ¬Ґ­в  $u$. ЏаҐ¤«®¦Ґ­ЁҐ 1.1 Ўл«® гбЁ«Ґ­® ў \cite{2}
   б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬.\smallskip

{\bf ’Ґ®аҐ¬  1.1.} \cite{2} \it Џгбвм $\A_1(H_1,D_1)$ Ё
 $\A_2(H_2,D_2)$ --- а биЁаҐ­Ёп ЊЁжге ал  «ЈҐЎа $\A_1$ Ё $\A_2$,  Ё Їгбвм
  $\A$ ---  Їап¬®Ґ а биЁаҐ­ЁҐ ЊЁжге ал  «ЈҐЎа $\A_1$ Ё $\A_2$.
 Ђ«ЈҐЎа   $\A$ пў«пҐвбп Їа®бв®© в®Ј¤  Ё в®«мЄ® в®Ј¤ , Є®Ј¤ 
  ®¤­  Ё§  «ЈҐЎа $\A_1(H_1,D_1)$, $\A_2(H_2,D_2)$ Їа®бв ,
    ¤агЈ п Ї®звЁ Їа®бв .\rm
  \smallskip

  …б«Ё $\A$ ---  «ЈҐЎа , в®  $\A^{(-)}:=\left<[x,y]:x,y\in
  \A\right>$.\smallskip

  {\bf ‹Ґ¬¬  1.3.}  \it Џгбвм $\A$ --- Їа ў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ п  «ЈҐЎа  б $1$,
  $H:=(\,,)$ --- ѓҐббЁ ­ ­  $\A$, Ё $\A=\A^{(-)}\oplus \B$ ¤«п
  ­ҐЄ®в®а®Ј® Ї®¤Їа®бва ­бвў  $\B$ ў $\A$. ’®Ј¤ 
  $H$ Ї®«­®бвмо ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп бў®Ё¬Ё §­ зҐ­Ёп¬Ё  ­  $1$ Ё Ў §ЁбҐ
  Ї®¤Їа®бва ­бвў  ${\cal B}$, ЇаЁ нв®¬ $\A^{(-)}\subseteq F^\perp$ Ё
  $(x,y)=(1,xy)$ ¤«п «оЎле $x,y\in
\A$.\rm\smallskip

{\it „®Є § вҐ«мбвў®.} Џ®« Ј п $x=1$ ў (\ref{Hes}), Ї®«гз Ґ¬
$(1,yz)=(1,zy)$ ¤«п «оЎле $y,z\in \A$. Џ®« Ј п $y=1$ ў (\ref{Hes}),
Ї®«гз Ґ¬ $(xz,1)=(x,z)$ ¤«п «оЎле $x,z\in \A$.

ЋЎа в­®, Їгбвм $\A=\A^{(-)}\oplus {\cal B}$ Ё $\{b_i:i\in I\}$ ---
Ў §Ёб ${\cal B}$. ЋЇаҐ¤Ґ«Ё¬
 $(1,b_i)=(b_i,1)=\beta_i\in F$ ¤«п ўбҐе $i\in I$, $(1,a)=(a,1)=0$
  ЇаЁ $a\in \A^{(-)}$, Ё $(x,y)=(1,xy)$ ¤«п «оЎле $x,y\in
\A$. ’®Ј¤  д®а¬  $(\,,)$ пў«пҐвбп ѓҐббЁ ­®¬ ­  $\A$. „Ґ©бвўЁвҐ«м­®,
 $(\,,)$ бЁ¬¬ҐваЁз­  ­  $\A$ Ё
$$ (xy, z) - (x,yz)   =(1,xy\cdot z -x\cdot yz)=
(1,xz\cdot y) -(1,x\cdot zy)=(xz,y) -(x,zy)$$ ¤«п «оЎле $x,y,z\in
\A$, зв® б«Ґ¤гҐв Ё§ Їа ў®бЁ¬¬ҐваЁз­®бвЁ $\A$. \qed

\section{„ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­Ёп н­¤®¬®ад®ў ­Ґг­Ёв «м­ле  «ЈҐЎа}

 Џгбвм ${\cal A}$ ---  «ЈҐЎа  ­ ¤ Ї®«Ґ¬ $F$.
  ђ бб¬®ваЁ¬ Їап¬го бг¬¬г  (Є Є ўҐЄв®а­ле Їа®бва ­бвў)
   «ЈҐЎа ${\cal A}$ Ё $\End({\cal A})$:
   $E({\cal A}):={\cal A}\oplus \End({\cal A})$.
 Ќ ¤Ґ«Ё¬ $E({\cal A})$ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ¬ Ї® Їа ўЁ«г
\begin{eqnarray}\label{pr1}
A\cdot a &=& aA+[A,R_a]
\end{eqnarray}
 ¤«п ўбҐе $a\in {\cal A},\ A\in \End(\A)$, Ј¤Ґ
 Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо
  ${\cal A}$ Ё $\End({\cal A})$ пў«повбп Ї®¤ «ЈҐЎа ¬Ё ў $E({\cal A})$,  
 ${\cal A}$ --- нв® бв ­¤ ав­л© Їа ўл© ¬®¤г«м ­ ¤ $\End({\cal A}):$ $a\cdot A=aA$.
 Џ®бва®Ґ­­ п  «ЈҐЎа  ­ §лў Ґвбп {\it н­¤®¬®ад®¬}  «ЈҐЎал ${\cal A}$ \cite{4}.
  \smallskip

‚ \cite{4} Ўл«® ¤®Є § ­®, зв® н­¤®¬®ад Їа ў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ®©  «ЈҐЎал
пў«пҐвбп Їа ў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ®©  «ЈҐЎа®©
  Ё Ўл«Ё ®ЇЁб ­л ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­Ёп  «ЈҐЎал
  $E({\cal A})$ ў б«гз Ґ, Є®Ј¤ 
   «ЈҐЎа  ${\cal A}$ г­Ёв «м­ . ‚ б«Ґ¤гойҐ© вҐ®аҐ¬Ґ
   ¬л б­Ё¬ Ґ¬ ®Ја ­ЁзҐ­ЁҐ ­  г­Ёв «м­®бвм  «ЈҐЎал.
   \smallskip

  Џгбвм $\A$ --- Їа®Ё§ў®«м­ п  «ЈҐЎа . ђ бб¬®ваЁ¬  «ЈҐЎаг $\A^\sharp$,
  Ї®«гзҐ­­го Ё§ $\A$ ЇаЁб®Ґ¤Ё­Ґ­ЁҐ¬ Ґ¤Ё­Ёжл $1$. ЋзҐўЁ¤­®, «оЎ®Ґ ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ
  ­  $\A^\sharp$ Ё¬ҐҐв ўЁ¤ $D+\mu$, Ј¤Ґ $D\in \End(\A)$, $\mu\in\A^*$,
  Їа®¤®«¦Ґ­­лҐ ­  $\A^\sharp$ Їа ўЁ«®¬ $(D+\mu)(1)=0$. ‹ҐЈЄ® § ¬ҐвЁвм,
   зв® ЇаЁ нв®¬ $\mu(\A^2)=0$ Ё
\begin{eqnarray}\label{dere}
 (ab)D&=&aD\cdot b +a\cdot bD+
   \mu_a b+\mu_b a
\end{eqnarray}
 ¤«п «оЎле $a,b\in \A$, Ј¤Ґ
 $\A^2:=\left<\sum_{i=1}^nx_iy_i:x_iy_i\in \A,n\in {\mathbb N}\right>$
 --- {\it Єў ¤а в}   «ЈҐЎал $\A$.\smallskip

     ЋЇаҐ¤Ґ«Ё¬ {\it Ё­¤гжЁа®ў ­­®Ґ}
   ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ $\D$   н­¤®¬®ад  $E(\A)$ Їа ўЁ«®¬
   $a\D=aD+a^D, A\D=[A,D]$ ¤«п «оЎле $a\in \A$,
    $A\in \End(\A)$, ЇаЁ нв®¬ ¤Ґ©бвўЁҐ $a^D$
    ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп Ґ¤Ё­бвўҐ­­л¬ ®Ўа §®¬ Ё§
   б®®в­®иҐ­Ёп $xa^D=\mu_x a$.    Ѓг¤Ґ¬ Ј®ў®аЁвм, зв® ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ
   $\D$ {\it Ё­¤гжЁагҐвбп} ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ¬ $D+\mu$  «ЈҐЎал $\A^\sharp$.
    Љ Є «ҐЈЄ® Їа®ўҐаЁвм,
   ў нв®¬ б«гз Ґ $(xA)^D=x^DA$ ¤«п «оЎле $x\in \A,$ $A\in \End(\A)$.
   „ «ҐҐ в Є¦Ґ Ўг¤Ґ¬ ЁбЇ®«м§®ў вм Ў®«ҐҐ г¤®Ў­®Ґ
   ®Ў®§­ зҐ­ЁҐ  $I_\mu^a:=a^D$ ¤«п ¤ ­­®Ј® ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп Ё Ўг¤Ґ¬ ®Ў®§­ з вм зҐаҐ§
   $I_\mu$ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ Ё§ $\A$ ў $\M$ в Є®Ґ, зв® $I_\mu(a)=I_\mu^a$.
   ЌҐЇ®баҐ¤бвўҐ­­® Їа®ўҐапҐвбп, зв® $\D$  пў«пҐвбп  ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ¬
    «ЈҐЎал $E(\A)$,   Ё¬Ґ­­®, нв® Ўг¤Ґв б¤Ґ« ­® ў б«Ґ¤гойҐ© вҐ®аҐ¬Ґ.
     \smallskip


  {\bf ’Ґ®аҐ¬  2.1.} \it  Џгбвм $\A$ ---  «ЈҐЎа  ­ ¤ Ї®«Ґ¬ $F$.
    Ћв®Ўа ¦Ґ­ЁҐ ${\cal D}$ пў«пҐвбп ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ¬  $E(\A)$
  в®Ј¤  Ё в®«мЄ® в®Ј¤ , Є®Ј¤  ${\cal D}$ Ё­¤гжЁагҐвбп
  ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ¬  «ЈҐЎал $\A^\sharp$.\rm\smallskip

  {\it „®Є § вҐ«мбвў®.} Џгбвм $\D$ --- ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ  «ЈҐЎал $E(\A)$.
 ЋЎ®§­ зЁ¬  $a\D:=a_\D+a^\D$, Ј¤Ґ
 $a\in E(\A),\ a_\D\in \A,\ a^\D\in \M$.
 „®Є ¦Ґ¬, зв® $A_\D=0$ ¤«п ўбҐе $A\in \M$. „«п ўбҐе $A,B\in \M$ Ё¬ҐҐ¬
 \begin{eqnarray}
(AB)\D &=& (A_\D+A^\D)B+A(B_\D+B^\D),\label{a3}\\
(AB)_\D &=& A_\D B+B_\D A.\label{a4}
 \end{eqnarray}
 €§ (\ref{a4}) б«Ґ¤гҐв, зв® $[A,B]_\D$ = 0 ¤«п «оЎле $A,B \in \M$.
 ’ Є Є Є $\M =
[\M,\M] + \left<E\right>$, a $E\D = 0$ Ї® (\ref{a3})--(\ref{a4}),
 в® $A_\D = 0$ ¤«п ўбҐе $A \in \M.$
  ‡­ зЁв,  $\D$ ¤Ґ©бвўгҐв Ё­ў аЁ ­в­® ­  $\M$
  Ё ҐЈ® ®Ја ­ЁзҐ­ЁҐ $D$ ­  $\M$ пў«пҐвбп
  ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ¬ $\M$ Ї® (\ref{a3}). ‘«Ґ¤®ў вҐ«м­®, $D$
  пў«пҐвбп ў­гваҐ­­Ё¬ (б¬., ­ ЇаЁ¬Ґа, \cite{5}) Ё ¬л в Є¦Ґ ®Ў®§­ зЁ¬ зҐаҐ§
 $D$ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ Ё§ $\M$, ¤«п Є®в®а®Ј® $A^\D=[A,D]$.

 …б«Ё $\dim\A=1$, в® «ЁЎ® $\A\cong F$, «ЁЎ® $\A^2=0$. Џ® ¤®Є § ­­®¬г ўлиҐ
 $A_\D=0$ Ё $A^\D=0$ ¤«п «оЎ®© $A\in\M$, Ї®нв®¬г $(a+A)\D=aD+I^a_\mu$
 ¤«п «оЎле $a\in \A, A\in \M$ Ё ­ҐЄ®в®але $D\in \M, \mu\in\A^*$,
 Ё ­ҐЇ®баҐ¤бвўҐ­­ п Їа®ўҐаЄ  Ї®Є §лў Ґв бЇа ўҐ¤«Ёў®бвм
 вҐ®аҐ¬л ў  ¤ ­­®¬ б«гз Ґ.

 „ «ҐҐ, Їгбвм $x\in \A$ Їа®Ё§ў®«м­л©,   $A\in \M$ ўлЎҐаҐ¬ в Є, зв®
 ${\rm Ker}\,(A)=\left<x\right>$.
 ’®Ј¤  $0=(xA)_\D=x_\D A+x[A,D]$, ®вЄг¤  $x_\D A=xDA$ Ё
 $x_\D =xD+\alpha_x x$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® $\alpha\in \A^*$.
 Ђ­ «®ЈЁз­®, ¤«п «оЎ®Ј® $A\in \M$ Ё¬ҐҐ¬
 $(xA)_\D=(xD+\alpha_x x)A+x[A,D]=xAD+\alpha_{xA} xA$, ®вЄг¤ 
 $\alpha_{xA} xA=\alpha_x xA$ Ё $\alpha_x=\alpha$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® $\alpha\in F$
 Ё «оЎ®Ј® $x\in \A$. ’®Ј¤  $x_\D =x(D+\alpha E)$. ђ бб¬ ваЁў п ў¬Ґбв® $D$
 ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ $D+\alpha E$, ¬®¦­® Ё§­ з «м­® бзЁв вм, зв® $x_\D =xD$.

 €§ а ўҐ­бвў
 \begin{eqnarray*}
 (xA)\D &=& (xD+x^\D)A+x[A,D]=xAD+x^\D A,\\
 (xA)\D &=& (xA)_\D+(xA)^\D=xAD+(xA)^\D,
\end{eqnarray*}
 Ї®«гз Ґ¬ $(xA)^\D=x^\D A$.
€§ а ўҐ­бвў
 \begin{eqnarray*}
 (Ax)\D &=& [A,D]x+A(xD+x^\D)=x[A,D]+[[A,D],R_x]+xDA+[A,R_{xD}]+Ax^\D,\\
 (Ax)\D &=& (xA+[A,R_x])\D= xAD+x^\D A+[[A,R_x],D]
\end{eqnarray*}
 б«Ґ¤гҐв  $[A,[D,R_x]+R_{xD}+x^\D]=0$, ®вЄг¤  $[D,R_x]+R_{xD}+x^\D+\mu_x E=0$
 ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® $\mu\in \A^*$. „Ґ©бвўгп Ї®б«Ґ¤­Ё¬ а ўҐ­бвў®¬ ­  Їа®Ё§ў®«м­л©
 $y\in \A$, ўлў®¤Ё¬
  \begin{eqnarray}\label{d1}
&& yD\cdot x -(yx)D+y\cdot xD+yx^\D+\mu_x y=0.
\end{eqnarray}
„ «ҐҐ,
\begin{eqnarray*}
 (yx)\D &=& (yD+y^\D)x+y(xD+x^\D)=yD\cdot x+xy^{\D}+[y^{\D},R_x]+
  y\cdot xD+yx^\D,\\
 (yx)\D &=& (yx)D+(yR_x)^\D=(yx)D+y^\D R_x,
\end{eqnarray*}
®вЄг¤  $R_xy^\D=0$ Ё $(yx)D=yD\cdot x+y\cdot xD+xy^{\D}+yx^\D$.
ЏаЁ­Ё¬ п ў® ў­Ё¬ ­ЁҐ (\ref{d1}), Ї®«гз Ґ¬ $xy^{\D}=\mu_x y$ ¤«п
«оЎле $x,y\in \A$. ‘®®в­®иҐ­ЁҐ $R_xy^\D=0$ ¤ св $\mu_x=0$ ¤«п «оЎ®Ј®
$x\in \A^2$. Џа®¤®«¦Ё¬ $D$ Ё $\mu$ ­  $\A^\sharp$ в Є, зв®
$(D+\mu)(1)=0$.
 ’®Ј¤  Ї®«гзҐ­­®Ґ б®®в­®иҐ­ЁҐ ­  $D$ Ј®ў®аЁв ® в®¬, зв®
  ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ $D+\mu$ пў«пҐвбп ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ¬ ­  $\A^\sharp$.

ЋЎа в­®, Їгбвм ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ    $\D\in \End(E(\A))$  Ё­¤гжЁагҐвбп
 ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ¬ $D+\mu$  «ЈҐЎал $\A^\sharp$.
‡ ¬ҐвЁ¬, зв® (\ref{dere}) Ё а ўҐ­бвў® $\mu(A^2)=0$ ў«ҐЄгв б«Ґ¤гойЁҐ
®ЇҐа в®а­лҐ а ўҐ­бвў  ­  $\A$:
\begin{eqnarray}\label{dere1}
 [R_x,D]&=&R_{xD}+
   I_\mu^x+\mu_x E, \quad R_xI_\mu^y=0
\end{eqnarray}
 ¤«п «оЎле $x,y\in \A$. €¬ҐҐ¬
\begin{eqnarray*}
(a+A)(b+B)\D&=&
(ab+aB+bA+[A,R_b]+AB)\D=\\
&=&abD+aBD+bAD+I_\mu^{ab+aB+bA}+[[A,R_b],D]+[AB,D];\\
(a+A)\D\cdot (b+B)&=&(aD+I_\mu^a+[A,D])\cdot (b+B)=aD\cdot b+aDB+\\
&&\ +bI_\mu^a+[I_\mu^a,R_b]+I_\mu^a B+b[A,D]+[[A,D],R_b]+[A,D]B;\\
(a+A)\cdot(b+B)\D&=&(a+A)\cdot(bD+I_\mu^b+[B,D])=a\cdot bD+a[B,D]+\\
&&\ +aI_\mu^b+bDA+[A,R_{bD}]+AI_\mu^b +A[B,D].
\end{eqnarray*}
€бЇ®«м§гп (\ref{dere}), (\ref{dere1}) Ё в®¦¤Ґбвў® џЄ®ЎЁ, Ї®«гз Ґ¬
б«Ґ¤гойҐҐ гб«®ўЁҐ, ЇаЁ Є®в®а®¬ $\D$ пў«пҐвбп ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ¬:
\begin{eqnarray*}
I_\mu^{ab+aB+bA}&=&I_\mu^aR_b+I_\mu^aB+I_\mu^bA.
\end{eqnarray*}
ЋзҐўЁ¤­®, зв® Ї®б«Ґ¤­ҐҐ а ўҐ­бвў® ўлЇ®«­пҐвбп ўбҐЈ¤ , зв® Ё
¤®Є §лў Ґв вҐ®аҐ¬г. \qed

\section{Ћ Є®­бвагЄжЁЁ ЊЁжге ал ¤«п н­¤®¬®ад®ў}

 Џгбвм $\A$  ---  «ЈҐЎа . ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв®  бгйҐбвўгҐв
  $\lambda\in  \A^*$ в Є®©, зв® $ab=\lambda_b a$
  (Ё«Ё $ab=\lambda_a b$) ¤«п ўбҐе $a,b\in \A$.
  ‚ нв®¬ б«гз Ґ ®Ў®§­ з Ґ¬ $\A$ зҐаҐ§ $\A_\lambda$ Ё Ј®ў®аЁ¬, зв®
  $\A_\lambda$ --- нв®
 {\it  «ЈҐЎа  бЄ «па­®Ј® г¬­®¦Ґ­Ёп}. \smallskip

 ‚ \cite{4} Ўл«® Ї®Є § ­®, зв® н­¤®¬®ад Їа ў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ®©  «ЈҐЎал $\A$
 пў«пҐвбп Їа®бв®©  «ЈҐЎа®©,  Ґб«Ё $\A$ ­Ґ пў«пҐвбп  «ЈҐЎа®© бЄ «па­®Ј® г¬­®¦Ґ­Ёп.
 ђ бб¬®ваЁ¬ а биЁаҐ­Ёп ЊЁжге ал ¤«п  «ЈҐЎа $E(\A_\lambda)$.
 ЏаЁ нв®¬ а бб¬®ваЁ¬ ®в¤Ґ«м­® б ¬л© ўла®¦¤Ґ­­л© б«гз ©  «ЈҐЎа
 б ­г«Ґўл¬ г¬­®¦Ґ­ЁҐ¬ $\A_0$, Є®Ј¤ 
 $\lambda=0$, ў з бв­®бвЁ, Ё§-§  в®Ј®, зв® аҐ§г«мв вл ў нв®¬ б«гз Ґ ®в«Ёз овбп
 ®в аҐ§г«мв в®ў б«гз п  «ЈҐЎал ­Ґ­г«Ґў®Ј® г¬­®¦Ґ­Ёп.
 Ћв¬ҐвЁ¬, зв®  «ЈҐЎа  $E(\A_0)$ Ё¬ҐҐв б«Ґ¤гойҐҐ г¬­®¦Ґ­ЁҐ:
 $$a\cdot b=0, a\cdot A=A\cdot a=aA, A\cdot B=AB$$
 ¤«п ўбҐе $a,b\in \A,A,B\in \End(\A)$; ЇаЁ нв®¬  «ЈҐЎа  $E(\A_0)$
 ­Ґ бб®жЁ вЁў­ : $(A,B,a)=a[A,B]\neq 0$ ў ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ.

 „ «ҐҐ ®Ў®§­ з Ґ¬ зҐаҐ§ $\Mol$ Ї®¤ «ЈҐЎаг ўбҐе «Ё­Ґ©­ле
  ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ё© ў $\M$ б® б«Ґ¤®¬ $0$.\smallskip

 ‹ҐЈЄ® ўЁ¤Ґвм, зв® $E(\A_0)$ Ё¬ҐҐв Ґ¤Ё­бвўҐ­­л© б®ЎбвўҐ­­л© Ё¤Ґ «,
 б®ўЇ ¤ ойЁ© б $\A_0$. „Ґ©бвўЁвҐ«м­®, Їгбвм $J$ --- Ё¤Ґ « ®в«Ёз­л© ®в $\A_0$.
 …б«Ё $0\neq A\in \Molo\cap J$, в® $\Molo\subseteq J$,   Ї®в®¬г $J=E(\A_0)$.
 ‡­ зЁв, Ґб«Ё $K=\left<A\in\Molo: a+A\in J
 \mbox{ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® } a\in \A_0\right>$,
 в® $K$ --- ­Ґ­г«Ґў®© ¤ўгебв®а®­­Ё© Ё¤Ґ « ў $\Molo$, ®вЄг¤  ў­®ўм Ї®«гз Ґ¬
 $J=E(\A_0)$.

 €§ вҐ®аҐ¬л 2.1 «ҐЈЄ® Ї®«гз Ґвбп, зв® «оЎ®Ґ
 ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ  «ЈҐЎал
 $E(\A_0)$ ­ ¤ Ї®«Ґ¬ е а ЄвҐаЁбвЁЄЁ ­Ґ 2
 Ё¬ҐҐв ўЁ¤ $\D=D+[\,\cdot,D]$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® $D\in\Mo$: ў нв®¬ б«гз Ґ
 Ї®«гз Ґ¬ б®®в­®иҐ­ЁҐ $a\mu_b+b\mu_a=0$, ®вЄг¤  $\mu=0$.
 €¤Ґ « $\A_0$ Ё­ў аЁ ­вҐ­ ®в­®бЁвҐ«м­®
 «оЎ®Ј® ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­Ёп  «ЈҐЎал $\A_0$ Ё ®­ ¤ св Ё¤Ґ « ў $E(\A_0)(H,\D)$,
 Ґб«Ё $\A_0\subseteq F^\perp$. …б«Ё $D\in \langle E\rangle$, в®
 $\left<u \right>\oplus \A_0$ --- Ё¤Ґ « ў $E(\A_0)(H,\D)$. Џ®нв®¬г ¤ «ҐҐ бзЁв Ґ¬,
 зв® $\A_0\not\subseteq F^\perp$ Ё $D\not\in \langle E\rangle$.
 ’ Є Є Є «оЎ п ¬ ваЁж  $C$ ба ў­Ё¬  Ї® ¬®¤г«о Є®¬¬гв в®а 
 б $\tr(C)\Gamma$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®© дЁЄбЁа®ў ­­®© ¬ ваЁжл $\Gamma$, в®
 Ї® «Ґ¬¬Ґ 1.3 «оЎ®© ѓҐббЁ ­ $H$ ­  $E(\A_0)$ § ¤ свбп гб«®ўЁп¬Ё
 $$H(E,a)=\alpha_a,\ H(A,B)=\gamma \tr(AB)$$
 ¤«п ­ҐЄ®в®але дЁЄбЁа®ў ­­ле $ \alpha\in \A_0^*, \gamma\in F$ Ё
  ¤«п ўбҐе $a\in \A_0, A,B\in \End(\A_0)$.\smallskip

ЋЇЁб ­ЁҐ ­ҐваЁўЁ «м­ле б®Ј« б®ў ­­ле Ї а ­ 
  н­¤®¬®ад е  ¤ св б«Ґ¤гой п \smallskip

  {\bf ‹Ґ¬¬  3.1.} \it  Џгбвм $(H,\D)$ --- ­ҐваЁўЁ «м­ п
 $\varepsilon$-б®Ј« б®ў ­­ п Ї а  ­  $E(\A)$, Ј¤Ґ $\A$ ---
  Їа®Ё§ў®«м­ п  «ЈҐЎа  ­ ¤ Ї®«Ґ¬ $F$.
 ’®Ј¤   $\Im(\D-\varepsilon E)\subseteq F^\perp.$\rm\smallskip

  {\it „®Є § вҐ«мбвў®.} ђ бб¬®ваЁ¬ б­ з «  б«гз © $\varepsilon=1$.
   ‡ ¬ҐвЁ¬, зв® (\ref{es}) ¬®¦­® ЇҐаҐЇЁб вм ў б«Ґ¤гойҐ¬ ўЁ¤Ґ
$H(xy(E-\D),1)=0$
 ¤«п «оЎле $x,y\in E(\A)$, в Є Є Є «оЎ®© н­¤®¬®ад пў«пҐвбп г­Ёв «м­®©  «ЈҐЎа®©.
  ’ Є Є Є $E(\A)^2=E(\A)$, в®
 $\Im(\D-E)\subseteq F^\perp.$
ЏаЁ $\varepsilon=0$ б®®в­®иҐ­ЁҐ (\ref{es}) § ЇЁблў Ґвбп ў ўЁ¤Ґ
$H(xy(\D),1)=0$, ®вЄг¤  $\Im(\D)\subseteq F^\perp$. \qed

  {\bf ’Ґ®аҐ¬  3.1.} \it  0-ђ биЁаҐ­ЁҐ ЊЁжге ал  $E(\A_0)(H,\D)$
  ­ ¤ Ї®«Ґ¬  е а ЄвҐаЁбвЁЄЁ ­Ґ 2
 пў«пҐвбп Їа®бв®©  «ЈҐЎа®© в®Ј¤  Ё в®«мЄ® в®Ј¤ ,
 Є®Ј¤  $D(\A_0)\subseteq F^\perp$ Ё
 $H(\A_0,E(\A_0))\neq 0$.\rm\smallskip

   {\it „®Є § вҐ«мбвў®.} Џ® «Ґ¬¬Ґ 1.1 ¤«п ¤®Є § вҐ«мбвў 
 Їа®бв®вл 0-а биЁаҐ­Ёп ЊЁжге ал  «ЈҐЎал $E(\A_0)$ ¤®бв в®з­® Їа®ўҐаЁвм
 ®вбгвбвўЁҐ $(H,\D)$-Ё¤Ґ «®ў ў $E(\A_0)$. Џгбвм $I$ --- $(H,\D)$-Ё¤Ґ « ў $E(\A_0)$.
 ‹ҐЈЄ® ўЁ¤Ґвм, зв® «оЎ®© Їа ўл©
 Ё¤Ґ « ў $E(\A_0)$ Ё¬ҐҐв ўЁ¤ $\A_0\oplus J$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® Їа ў®Ј® Ё¤Ґ « 
 $J$ ў $\End(\A_0)$. Џгбвм $\D=D+[\,\cdot,D]$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј®
 $D\in \End(\A_0), D\not\in\left<E\right>$. “б«®ўЁҐ $xa+\alpha_a \D_x\in I$
  ¤«п ўбҐе $a\in I, x\in E(\A_0)$ ¤ св
  \begin{eqnarray}\label{ini}
  &&aA+\alpha_a[A,D]\in I
  \end{eqnarray}
    ЇаЁ $x=A\in \End(\A_0)$ Ё
  $a\in \A_0$ в Є®¬, зв® $\alpha_a\neq 0$ (§ ¬ҐвЁ¬, зв®
  $\alpha_a=H(a,1)$
  ¤«п «оЎ®Ј® $a\in I$). Џгбвм $K:=\langle A\in \Molo:a+A\in I
  \mbox{ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® } a\in \A_0 \rangle$.
  ’ Є Є Є $D\not\in \langle E\rangle$ Ё
 $H(\A_0,E(\A_0))\neq0$,
   в® Ё§ (\ref{ini}) б«Ґ¤гҐв, зв® $K$ --- нв® ­Ґ­г«Ґў®© ¤ўгебв®а®­­Ё©
    Ё¤Ґ « ў $\Molo$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, $K=\Molo$.
   ‚ Ёв®ЈҐ, $I=E(\A_0)$. \qed

 ‚ з бв­®бвЁ, Ґб«Ё $0\neq D\in \End(\A_0)$ ­Ґ пў«пҐвбп ®Ўа вЁ¬л¬, в® ­  $E(\A_0)$
  ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп ѓҐббЁ ­ $H$ в Є, зв® Ї а  $(H,\D), \D:=D+[\,\cdot,D]$, пў«пҐвбп
   0-б®Ј« б®ў ­­®©. „Ґ©бвўЁвҐ«м­®, ¤®бв в®з­®
   § ЇЁб вм $\A_0={\cal B}\oplus D(\A_0)$ Ё ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм
   $H(E,{\cal B})$ ­Ґ­г«Ґўл¬. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, бЇа ўҐ¤«Ёў® \smallskip


  {\bf ‘«Ґ¤бвўЁҐ 3.1.} \it …б«Ё $D$ --- ­Ґ­г«Ґў®Ґ ўла®¦¤Ґ­­®Ґ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ ­ 
   $\A_0$, в® бгйҐбвўгҐв ѓҐббЁ ­ $H$ ­  $E(\A_0)$ в Є®©,
   зв® 0-а биЁаҐ­ЁҐ ЊЁжге ал  $E(\A_0)(H,\D)$ пў«пҐвбп Їа®бв®©  «ЈҐЎа®©,
   Ј¤Ґ $\D:=D+[\,\cdot,D]$. \rm\smallskip


 Љ®¬ЎЁ­Ёагп «Ґ¬¬л 1.1 Ё 3.1, Ї®«гз Ґ¬, зв® бЇа ўҐ¤«Ёў  \smallskip

 {\bf ’Ґ®аҐ¬  3.2.} \it  Џгбвм $(H,\D)$ --- ­ҐваЁўЁ «м­ п
 $1$-б®Ј« б®ў ­­ п Ї а  ­  $E(\A_0)$.
 ’®Ј¤  $1$-а биЁаҐ­ЁҐ ЊЁжге ал  «ЈҐЎал $E(\A_0)$ пў«пҐвбп Їа®бв®©
 Їа ў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ®©  «ЈҐЎа®©. \rm\smallskip

 {\it „®Є § вҐ«мбвў®.} „®бв в®з­® § ¬ҐвЁвм, зв® Ё§ гб«®ўЁп ­ҐваЁўЁ «м­®бвЁ
  Ё 1-б®Ј« б®ў ­­®бвЁ Ї ал $(H,\D)$ б«Ґ¤гҐв
  $\Im(\D-E)\subseteq F^\perp$ Ё $H(\A_0,E(\A_0))\neq 0$.
  ‚ з бв­®бвЁ,  $D\not\in \langle E\rangle$, $\A_0\not\subseteq F^\perp$ Ё
  $H(A,B)=0$ ¤«п «оЎле $A,B\in\Mo$.
   ’ Є Є Є Ґ¤Ё­бвўҐ­­л© б®ЎбвўҐ­­л© Ё¤Ґ « ў $E(\A_0)$ --- нв® $\A_0$,
  в® $1$-а биЁаҐ­ЁҐ ЊЁжге ал  «ЈҐЎал $E(\A_0)$ Ї® «Ґ¬¬Ґ 1.1 пў«пҐвбп Їа®бв®©
 Їа ў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ®©  «ЈҐЎа®©, Ї®бЄ®«мЄг $\D(E(\A_0))\not\subseteq \A_0$ Ё
 $H(\A_0,E(\A_0))\neq 0$.\qed

 „ «ҐҐ а бб¬ ваЁў Ґ¬ в®«мЄ® Є®­Ґз­®¬Ґа­лҐ
   «ЈҐЎал  бЄ «па­®Ј® г¬­®¦Ґ­Ёп $\A_\lambda$,   в Є¦Ґ бзЁв Ґ¬, зв®
 $\lambda\neq 0$ Ё $ \dim(\A_\lambda):=n>1$, в Є Є Є Ё­ зҐ $\Der(\A_\lambda)=0$.
 ’ Є¦Ґ ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґ¬, зв® г¬­®¦Ґ­ЁҐ ў $\A_\lambda$ § ¤ свбп Їа ўЁ«®¬
 $xy=\lambda_y x, \lambda\in \A_\lambda^*$.\smallskip

 Џгбвм $\Ann_r(\A):=\{x\in \A: \A x=0\}$ ---  Їа ўл©  ­­г«пв®а  «ЈҐЎал $\A$.
\smallskip

  {\bf ‹Ґ¬¬  3.2.} \it  Џгбвм $\A:=(\A_\lambda;\cdot)$ ---
    «ЈҐЎа  б® бЄ «па­л¬ ­Ґ­г«Ґўл¬ г¬­®¦Ґ­ЁҐ¬.
    Ћв®Ўа ¦Ґ­ЁҐ $\D$ пў«пҐвбп ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ¬  $\A^\sharp$
 в®Ј¤  Ё в®«мЄ® в®Ј¤ , Є®Ј¤ 
 $\D(\A)\subseteq \Ann_r(\A),\ \D(1)=0$.
 \rm\smallskip

 {\it „®Є § вҐ«мбвў®.} ‡ ¬ҐвЁ¬, зв® $x\in \Ann_r(\A) \Leftrightarrow
 \lambda_x=0$. Љ Є ў \S\,2 Ё¬ҐҐ¬ $\D=D+\mu$, Ј¤Ґ $D\in \End(\A)$,
 $\mu\in\A^*$. „«п «оЎле $x,y\in \A$ Ї® (\ref{dere}) бЇа ўҐ¤«Ёў®
 \begin{eqnarray*}
 \D\in\Der(\A^\sharp)&\Leftrightarrow& (x\cdot y)\D=x\D\cdot y+x\cdot
 y\D+\mu_y x+\mu_x y \\
  &\Leftrightarrow& \lambda_yx\D=\lambda_yx\D+\lambda_{y\D}x+\mu_y x+\mu_x y\\
  &\Leftrightarrow&  \lambda_{y\D}x+\mu_y x+\mu_x y=0
 \Leftrightarrow \mu=0,\ y\D\in \Ann_r(\A),
 \end{eqnarray*}
 зв® Ё ¤®Є §лў Ґв «Ґ¬¬г. \qed

‹ҐЈЄ® ўЁ¤Ґвм, зв® ў «оЎ®©  «ЈҐЎаҐ $\A:=\A_\lambda$ а §¬Ґа­®бвЁ $n\in
{\mathbb N}$ ¬®¦­® ўлЎа вм {\it бв ­¤ ав­л© Ў §Ёб} $e_1,\ldots,e_n$
в Є, зв®
 ўбҐ ­Ґ­г«ҐўлҐ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп пў«повбп б«Ґ¤гойЁ¬Ё
$e_ie_n=e_i, i=1,\ldots,n.$ „Ґ©бвўЁвҐ«м­®, в Є Є Є $\lambda\in
\A^*$, в® ¬®¦­® Ї®«®¦Ёвм ${\rm Ker}\,\lambda=\left<e_i:
i=1,\ldots,n-1\right>$ Ё ўлЎа вм $e_n$ в Є, зв® $\lambda(e_n)=1$.
 ‹оЎ®© ѓҐббЁ ­ ­  $E(\A)$ § ¤ свбп гб«®ўЁп¬Ё
 $H(e_n,E)=\alpha, H(e_i,E)=0, H(A,B)=\beta\tr(AB)$ ¤«п ­ҐЄ®в®але
  $\alpha,\beta\in F$ Ё ¤«п «оЎ®Ј® $i\neq n$.
  Џ®нв®¬г ¤ «ҐҐ бзЁв Ґ¬ $\alpha\neq 0$,
  в Є Є Є Ё­ зҐ $\A$ Ўг¤Ґв Ё¤Ґ «®¬ ў $E(\A)(H,\D)$.
  Џ® «Ґ¬¬Ґ 3.2  $\D=D+[\,\cdot,D]$  ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј®
  $D\in \End(\A, \Ann_r(\A))$.
     ’ҐЇҐам «ҐЈЄ® ўЁ¤Ґвм, зв® $H(x\D,y)+H(x,y\D)=0$ ¤«п «оЎле
     $x,y\in E(\A)$.

Џ®Є ¦Ґ¬, зв® «оЎ®© ­Ґ­г«Ґў®© $(H,\D)$-Ё¤Ґ « $I$,
 ¤«п ­ҐваЁўЁ «м­®© б®Ј« б®ў ­­®© Ї ал $(H,\D)$,
 б®ўЇ ¤ Ґв б $E(\A)$. Џгбвм $0\neq x=a+B_0\in I, 0\neq a\in \A, B_0\in \M$.
 „®¬­®¦ п $x$ бЇа ў  ­  $e_{ji}$ ¬®¦­® Ї®«гзЁвм, зв® $e_i+B_i\in I$
 ¤«п ўбҐе $i=1,\ldots,n$  Ё ­ҐЄ®в®але $B_i\in \M$.  …б«Ё $B_0\in I$, в®,
  ¤®¬­®¦ п $B_0$
  бЇа ў  ­  $e_i$, $i=1,\ldots,n$, ЇаЁе®¤Ё¬ Є б«гз о ўлиҐ.
  ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, $I=\A+J$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® Їа ў®Ј® Ё¤Ґ «  $J\subseteq \M$.
  Џ®Є ¦Ґ¬, зв® $\A\subseteq I$.
  ‹ҐЈЄ® ўЁ¤Ґвм, зв® Ґб«Ё $e_n+A\in I$ ЇаЁ $A\in \M$, в® ¬®¦­® бзЁв вм
  $A=-e_{nn}$ (а бб¬ ваЁў п  $(e_n+A)e_j\in I$ ЇаЁ $j=1,\ldots,n-1$). Ќ® в®Ј¤ 
 $(e_n-e_{nn})e_{ni}=e_i-e_{ni}\in I$ ¤«п «оЎ®Ј® $i$, Ё Ё§ (\ref{lid})
  Ї®«гз Ґ¬ $e_n(e_i-e_{ni})=-e_i\in I$, в Є Є Є $\alpha_{e_i-e_{ni}}=0$,
   в.\,Ґ. $\A\subseteq I$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
 $I=\A\oplus J$. €бЇ®«м§гп (\ref{lid}) ЇаЁ Їа®Ё§ў®«м­®¬
  $x=B\in \M$ Ё
  $a\in \A$ в Є®¬, зв® $\alpha_a\neq 0$, Ї®«гз Ґ¬
  $Ba+\alpha_a[B,D]\in I,$
  в.\,Ґ. $[\M,D]\subseteq I$. ‘­®ў  ЇаЁ¬Ґ­пп (\ref{lid})
  ЇаЁ Їа®Ё§ў®«м­ле
  $x=B\in \M$ Ё
  $a=y+A\in I, y\in \A, A\in\M$, ўлў®¤Ё¬, зв® $J$ --- нв® «Ґўл© Ё¤Ґ « ў
  $\M$, ®вЄг¤  $I=E(\A)$.
  ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, бЇа ўҐ¤«Ёў    \smallskip

      {\bf ’Ґ®аҐ¬  3.3.} \it  $0$-ђ биЁаҐ­ЁҐ ЊЁжге ал  «ЈҐЎал
      $E(\A_\lambda)$ пў«пҐвбп Їа®бв®©  «ЈҐЎа®© в®Ј¤  Ё в®«мЄ® в®Ј¤ ,
       Є®Ј¤  $H(\A_\lambda,\A_\lambda)\neq 0$ Ё $\D=D+[\,\cdot,D]$
       ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® ­Ґ­г«Ґў®Ј®
       $D\in \End(\A_\lambda, \Ann_r(\A_\lambda))$.\rm\smallskip

   {\bf ‹Ґ¬¬  3.3.} \it  ‚ «оЎ®¬ $1$-а биЁаҐ­ЁЁ ЊЁжге ал  «ЈҐЎал
      $E(\A_\lambda)$ Ї®¤ «ЈҐЎа  $\A_\lambda$ пў«пҐвбп Ё¤Ґ «®¬.\rm\smallskip

  {\it „®Є § вҐ«мбвў®.} Џгбвм $(H,\D)$ --- $1$-б®Ј« б®ў ­­ п Ї а  ­ 
   $U:=E(\A_\lambda)$ Ё $\D=D+[\,\cdot,D]$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј®
   $D\in\End(\A_\lambda,\Ann_r(\A_\lambda))$.
    Џ®Є ¦Ґ¬ ваЁўЁ «м­®бвм $H$, зв®, б®ў¬Ґбв­® б «Ґ¬¬®© 1.1, Ё ¤®Є ¦Ґв «Ґ¬¬г.
 Џ® «Ґ¬¬Ґ 3.1 $\Im(\D-E)\subseteq F^\perp$. ’ Є Є Є  $\Im(D)\subseteq F^\perp$,
 в® $E(\A_\lambda)\subseteq F^\perp$ Ё $H=0$.\qed

Џгбвм $\A$ --- Їа®Ё§ў®«м­®Ґ ўҐЄв®а­®Ґ Їа®бва ­бвў® ­ ¤ Ї®«Ґ¬ $F$,
$\B$ --- Ї®¤Їа®бва ­бвў® ў $\A$ Є®а §¬Ґа­®бвЁ 1 Ё
$\A=\left<\B,a\right>$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® $a\in \A$. ‚®§м¬с¬ $D\in {\rm
Hom}(\A,\B)$, $\alpha\in F$, Ё ®ЇаҐ¤Ґ«Ё¬ ­  $\A$ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ
Їа ўЁ«®¬
\begin{eqnarray*}
 x\cdot a&=&\alpha x -xD,\quad  x\cdot y = 0
\end{eqnarray*}
¤«п ўбҐе $x\in \A,y\in \B$. ЋЎ®§­ зЁ¬ Ї®«гзҐ­­го  «ЈҐЎаг зҐаҐ§
$\B_{\alpha,D}$ Ё ­ §®ўс¬ {\it ®¤­®¬Ґа­л¬ а биЁаҐ­ЁҐ¬  ЎҐ«Ґў®©
 «ЈҐЎал} ЇаЁ Ї®¬®йЁ  ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­Ёп.\smallskip

{\bf ‹Ґ¬¬  3.4.} \it  Ђ«ЈҐЎа  $\B_{\alpha,D}$ пў«пҐвбп
 Їа ў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ®©, ЇаЁ нв®¬ $D\in \Der(\B_{\alpha,D})$.\rm\smallskip

 {\it „®Є § вҐ«мбвў®.} Џгбвм $X=x+\delta a, Y=y+\beta a, Z=z+\gamma a$ ---
 Їа®Ё§ў®«м­лҐ н«Ґ¬Ґ­вл Ё§ $\B_{\alpha,D}$, Ј¤Ґ $x,y,x\in\B,
 \delta, \beta, \gamma\in F$. Џ®Є ¦Ґ¬, зв® $(X,Y,Z)_{rs}=0$.
 €¬ҐҐ¬
 \begin{eqnarray*}
   (XY)Z&=&(\beta(\alpha x-D_x)+\beta\delta(\alpha a-D_a))(z+\gamma a)=\\
   &=& \alpha\beta\gamma(\alpha x-D_x)-\beta\gamma(\alpha D_x-xD^2)
   +\alpha\beta\gamma\delta(\alpha a-D_a)-
   \beta\gamma\delta(\alpha D_a-aD^2);\\
      X(YZ)&=&(x+\delta a)(\gamma(\alpha y-D_y)+
      \beta\gamma(\alpha a-D_a))=
    \alpha\beta\gamma(\alpha x-D_x)+\alpha\beta\gamma\delta(\alpha a-D_a);\\
   (X,Y,Z)&=&\beta\gamma(xD^2-\alpha D_x)+
   \beta\gamma(\delta aD^2-\alpha\delta D_a),
 \end{eqnarray*}
 ®вЄг¤  Ї®«гз Ґ¬ $(X,Y,Z)_{rs}=0$.

 Џа®ўҐаЁ¬ ўЄ«озҐ­ЁҐ $D\in \Der(\B_{\alpha,D})$. €¬ҐҐ¬
 \begin{eqnarray*}
  (X\cdot Y)D&=& \beta(\alpha D_x-xD^2)+\beta\delta(\alpha D_a-aD^2),\
  X\cdot YD=0, \\
 XD\cdot Y&=& (D_x+\delta D_a)(y+\beta a)=
 \beta(\alpha D_x-xD^2)+\beta\delta(\alpha D_a-aD^2),
 \end{eqnarray*}
  зв® Ё ¤®Є §лў Ґв «Ґ¬¬г. \qed

 Џгбвм $(H,\D)$ --- ­ҐваЁўЁ «м­ п
  $0$-б®Ј« б®ў ­­ п Ї а  ­  н­¤®¬®адҐ $E(\A)$, Ј¤Ґ $\A$ ---
    «ЈҐЎа  ­ ¤ Ї®«Ґ¬ $F$, $\D=D+[\,\cdot,D]+I_\mu, D\in\M,
  \mu\in\A^*$.
  ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® бгйҐбвўгҐв ­Ґўла®¦¤Ґ­­л© Ј®¬®¬®адЁ§¬
  Їа ўле $\M$-¬®¤г«Ґ© $\phi:\A\mapsto \M$ в Є®©, зв®
  $I_\mu^a=Da^\phi,\ R_a+a^\phi+\alpha_aD=\gamma\alpha_aE$,
  $\alpha_aI_\mu^b=\gamma\alpha_a b^\phi$
  ¤«п «оЎле $a,b\in \A$ Ё ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® ­Ґ­г«Ґў®Ј® $\gamma\in F$, Ј¤Ґ
  $\alpha_a=H(a+a^\phi,1)$, $\alpha(aD)=0$ ¤«п ўбҐе $a\in\A$.
  ‚ нв®¬ б«гз Ґ $\A$ ­ §®ўс¬ {\it ¬®¤г«м­®©  «ЈҐЎа®© Ї ал} $(H,\D)$.
  \smallskip

{\bf ‹Ґ¬¬  3.5.} \it  Џгбвм $(H,\D)$ --- ­ҐваЁўЁ «м­ п
 $0$-б®Ј« б®ў ­­ п Ї а  ­  $E(\A)$, Ј¤Ґ $\A$ ---  «ЈҐЎа  ­ ¤ Ї®«Ґ¬ $F$,
  $\D=D+[\,\cdot,D]+I_\mu, D\in\M, \mu\in\A^*$.

  $1$. …б«Ё $J=\left<x+H(x,1)u:x\in \A\right>$ пў«пҐвбп  Ё¤Ґ «®¬
    «ЈҐЎал $E(\A)(H,\D)$, в® «ЁЎ® $\A$ --- нв®  «ЈҐЎа  бЄ «па­®Ј® г¬­®¦Ґ­Ёп,
    «ЁЎ® $\A$ --- ®¤­®¬Ґа­®Ґ а биЁаҐ­ЁҐ  ЎҐ«Ґў®©   «ЈҐЎал ЇаЁ Ї®¬®йЁ
    ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­Ёп.

   $2$. …б«Ё $K=\left<x+x^\phi+\alpha_x u:x\in \A\right>$
   пў«пҐвбп  Ё¤Ґ «®¬    «ЈҐЎал $E(\A)(H,\D)$
   ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® ­Ґ­г«Ґў®Ј® «Ё­Ґ©­®Ј® ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп
   $\phi:\A\mapsto \M$ Ё ­ҐЄ®в®а®Ј® $\alpha\in \A^*$,
   в® $\A$ --- нв® ¬®¤г«м­ п  «ЈҐЎа  Ї ал $(H,\D)$.\rm\smallskip

 {\it „®Є § вҐ«мбвў®.}  1. „«п «оЎ®Ј® $A\in \End(\A)$ Ё¬ҐҐ¬
 $$A\cdot (x+H(x,1)u)=xA+[A,R_x]+H(A,x)u+H(x,1)[A,D]\in J,$$
 ®вЄг¤  $[A,R_x+H(x,1)D]=0$ ¤«п «оЎ®Ј® $x\in \A$. …б«Ё $\A\subseteq F^\perp$,
 в® $\A$ ---  «ЈҐЎа  бЄ «па­®Ј® г¬­®¦Ґ­Ёп. Џгбвм $\A\not\subseteq F^\perp$.
  ЏаҐ¤бв ўЁ¬  $\A$ ў ўЁ¤Ґ $\A=\B\oplus \left<a\right>$,
  Ј¤Ґ $H(a,1)=1, H(b,1)=0$ ¤«п «оЎ®Ј®
  $b\in \B$. ’®Ј¤  $[A,R_b]=0$ ¤«п «оЎле
  $b\in \B$ Ё $A\in\M$, в.\,Ґ. $R_b=\gamma_bE$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® $\gamma\in \B^*$.
  €¬ҐҐ¬ $R_a+D=\alpha E$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® $\alpha\in F$. ’ Є Є Є $a+u\in J$,
  в® $(a+u)\cdot u\in J$, ®вЄг¤  $aD\in \B$ Ё $I_\mu^a=0$.
  …б«Ё $x\in \B$, в® $x\in J$
  Ё $x\cdot u=x\D=xD+I_\mu^x\in J$, ®вЄг¤  $I_\mu=0,\B D\subseteq \B$.
  ’ Є Є Є $xa=\alpha x-xD$ ¤«п «оЎ®Ј® $x\in \B$, в® $xa\in \B$. ’®Ј¤ 
  $$0=H(xa,1)=H(x,a)=H(a,x)=H(ax,1)=\gamma(x)$$
  ¤«п «оЎ®Ј® $x\in \B$,  в.\,Ґ. $\gamma=0$.
  ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ї®«гзЁ«Ё, зв® $\A$ --- ®¤­®¬Ґа­®Ґ
  а биЁаҐ­ЁҐ  ЎҐ«Ґў®©   «ЈҐЎал ЇаЁ Ї®¬®йЁ ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­Ёп.

2.  Џгбвм
   $K=\left<a+a^\phi+\alpha_a u:a\in \A\right>$,
   $\phi:\A\mapsto \M$, $\alpha\in \A^*$.
   ’®Ј¤  $$(a+a^\phi+\alpha_a u)\cdot A=aA+a^\phi A+H(a+a^\phi,A)u\in K$$
   ¤«п «оЎле $a\in \A,\ A\in \M$,
   ®вЄг¤  $\alpha_a=H(a+a^\phi,1),\ (aA)^\phi=a^\phi A$.
   ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, $\phi$ --- нв® Ј®¬®¬®адЁ§¬ Їа ўле $\M$-¬®¤г«Ґ©.
   ’ Є Є Є $\phi\neq 0$, в® $\phi$, Є Є «ҐЈЄ® ўЁ¤Ґвм, пў«пҐвбп ­Ґўла®¦¤Ґ­­л¬.
   ‘ ¤агЈ®© бв®а®­л,
    $$A\cdot (a+a^\phi+\alpha_a u)=aA+[A,R_a]+Aa^\phi +H(a+a^\phi,A)u+
    \alpha_a[A,D]\in K$$
   ¤«п «оЎле $a\in \A,\ A\in \M$,
   ®вЄг¤  $R_a+a^\phi +\alpha_a D=\beta_a E$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® $\beta\in \A^*$.
 ’ Є¦Ґ Ё¬ҐҐ¬ $(a+a^\phi+\alpha_a u)\cdot u=aD+I_\mu^a+[a^\phi,D]\in K$,
 ®вЄг¤  $\alpha(aD)=0$, $(aD)^\phi=I_\mu^a+[a^\phi,D]$ Ё $I_\mu^a=Da^\phi$.
 Ѓ®«ҐҐ в®Ј®, $$(a+a^\phi+\alpha_a u)\cdot b=ab+a^\phi b+H(a+a^\phi,b)u=
 ab+ba^\phi+ [a^\phi,R_b]+H(a+a^\phi,b)u\in K,$$
 ®вЄг¤  $(ab+ba^\phi)^\phi=[a^\phi,R_b]$ Ё $b^\phi a^\phi+R_ba^\phi=0$
 ¤«п «оЎле $a,b\in\A$. „®¬­®¦ п а ўҐ­бвў® $R_a+a^\phi +\alpha_a D=\beta_a E$
 бЇа ў  ­  $b^\phi$, Ё§ Ї®«гзҐ­­ле а ўҐ­бвў ўлў®¤Ё¬ $\alpha_aI_\mu^b=
 \beta_a b^\phi$ ¤«п «оЎле $a,b\in\A$, ®вЄг¤  $\beta=\gamma\alpha$
  ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® ­Ґ­г«Ґў®Ј® $\gamma\in F$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, $\A$ пў«пҐвбп
  ¬®¤г«м­®©  «ЈҐЎа®© Ї ал $(H,\D)$. \qed

  ЏаЁ ¤®Є § вҐ«мбвўҐ  вҐ®аҐ¬л 3.4 ­ ¬ Ї®­ ¤®ЎЁвбп
  б«Ґ¤гойЁ© Їа®бв®© аҐ§г«мв в Ё§ «Ё­Ґ©­®©  «ЈҐЎал.\smallskip

{\bf ‹Ґ¬¬  3.6.} \it  Џгбвм $A\in M_n(F), n\geq 2, A\neq 0$. ’®Ј¤ 
 бгйҐбвўгҐв $B\in M_n(F)$ б® б«Ґ¤®¬ $0$ в Є п, зв® $AB\neq 0$,
 a $\tr(AB)=0$.\smallskip


    {\bf ’Ґ®аҐ¬  3.4.} \it  Џгбвм $(H,\D)$ --- ­ҐваЁўЁ «м­ п
 $\varepsilon$-б®Ј« б®ў ­­ п Ї а  ­  н­¤®¬®адҐ $E(\A)$,
  Ј¤Ґ $\A$ ---  «ЈҐЎа  ­ ¤ Ї®«Ґ¬ $F$,
  ­Ґ пў«пой пбп  «ЈҐЎа®© бЄ «па­®Ј® г¬­®¦Ґ­Ёп,
  ®¤­®¬Ґа­л¬ а биЁаҐ­ЁҐ¬
   ЎҐ«Ґў®©  «ЈҐЎал ЇаЁ Ї®¬®йЁ ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­Ёп
  Ё«Ё ¬®¤г«м­®©  «ЈҐЎа®© Ї ал $(H,\D)$.
  ’®Ј¤  а биЁаҐ­ЁҐ ЊЁжге ал  «ЈҐЎал $E(\A)$
  пў«пҐвбп Ї®звЁ Їа®бв®© ­Ґа §«®¦Ё¬®©  «ЈҐЎа®©, Є®в®а п Їа®бв 
   ЇаЁ $\varepsilon=1$ Ё «®Є «м­ 
  ЇаЁ $\varepsilon=0$ б Ґ¤Ё­бвўҐ­­л¬ б®ЎбвўҐ­­л¬ Ё¤Ґ «®¬
  $I_u= \left<a+H(a,1)u:a\in E(\A)\right>$ Є®а §¬Ґа­®бвЁ $1$. ЏаЁ нв®¬
  $I_u$ --- нв® Їа®бв п ­Ґа §«®¦Ё¬ п Їа ў®бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ п  «ЈҐЎа .
  \rm\smallskip

  {\it „®Є § вҐ«мбвў®.} €§ \cite{4} б«Ґ¤гҐв, зв®
   $E(\A)$ пў«пҐвбп Їа®бв®©  «ЈҐЎа®©. ’ҐЇҐам ЇаЁ $\varepsilon=1$
   гвўҐа¦¤Ґ­ЁҐ б«Ґ¤гҐв Ё§
  ­ҐваЁўЁ «м­®бвЁ Ї ал Ё «Ґ¬¬л 1.1. Џгбвм $\varepsilon=0$, $I$ ---
 б®ЎбвўҐ­­л© Ё¤Ґ « ў $E(\A)(H,\D)$ Ё $\D=D+[\,\cdot,D]+I_\mu$
  ¤«п ­ҐЄ®в®але $D\in \M, \mu\in A^*$.

  ‡ ¬ҐвЁ¬, зв® Ґб«Ё $u\in I$, в® $\D(E(\A))\subseteq I$
   Ё $I=E(\A)(H,\D)$.

ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® ­Ґ­г«Ґў п ¬ ваЁж  $C$ «Ґ¦Ёв ў $I$. …б«Ё $C\in
\left<E\right>$,
  в® $E\cdot B=B+tr\,(B)u\in I$  ¤«п «оЎ®© ¬ ваЁжл $B$, ®вЄг¤ ,
  ў з бв­®бвЁ, Ї®«гз Ґ¬ $\Mol\subseteq I$.
  ‚Є«озҐ­ЁҐ  $E\cdot E=E+H(E,E)u\in I$ ¤ св
  $\left<E+H(E,E) u\right> \oplus \Mol\subseteq I$.
  …б«Ё $C\not\in \left<E\right>$, в® «ҐЈЄ® ўЁ¤Ґвм, зв®
  «ЁҐў Ё¤Ґ «, Ї®а®¦¤с­­л© $C$,
  «Ґ¦Ёв ў $I$. ’®Ј¤  $\Mol\subseteq I$, Ё ¤«п «оЎле
  $i\neq j$ Ї®«гз Ґ¬ $e_{ij}\cdot e_{ji}=e_{ii}+H(e_{ii},E)u\in I$,
  ®вЄг¤  $\left<E+H(E,E) u\right> \oplus \Mol\subseteq I$.
  ’®Ј¤  $(a+H(a,E)u)\cdot A=aA+H(a,A)u\in I$
  ¤«п «оЎле $a\in \A$ Ё $A\in \Mol$, в.\,Ґ. $I=I_u$.

  …б«Ё $A+u\in I$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®© ­Ґ­г«Ґў®© $A\in \End(\A)$, в®, в Є Є Є
  $\dim(\A)>1$, Ї® «Ґ¬¬Ґ 3.6 бгйҐбвўгҐв $B\in \End(\A)$ в Є п, зв® $AB\neq 0$ Ё
  $\tr(AB)=0$, ®вЄг¤  $AB\in I$, Ё ¬л ЇаЁе®¤Ё¬ Є б«гз о ўлиҐ.
  …б«Ё $I$ б®¤Ґа¦Ёв в®«мЄ® н«Ґ¬Ґ­вл ўЁ¤  $a+\gamma u, \gamma\in F$,
  в® $I$ б®ўЇ ¤ Ґв б $J$ Ё§ «Ґ¬¬л 3.5,   нв® ­Ґў®§¬®¦­® Ї® гб«®ўЁп¬ вҐ®аҐ¬л.

  ‚®§м¬с¬ ­Ґ­г«Ґў®© $u+a+A\in I$, $0\neq a\in \A,
  A\in \M$. ’®Ј¤  ¤«п «оЎле $b\in \A, B\in \M$ Ё¬ҐҐ¬
  \begin{eqnarray}\label{a7}
  (b+B)\cdot (u+a+A)=(b+B)(a+A)+H(b+B,a+A)u+D(b)+I_\mu^b+[B,D]\in I.
  \end{eqnarray}
    Џ®« Ј п $b=0$, Ї®«гз Ґ¬, зв® $x+x^\phi+\alpha_x u\in I$
    ¤«п «оЎ®Ј® $x\in \A$, ­ҐЄ®в®а®Ј® $\alpha\in\A^*$ Ё ­ҐЄ®в®а®Ј®
    «Ё­Ґ©­®Ј® ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп $\phi:\A\mapsto \M$. ‹ҐЈЄ® ўЁ¤Ґвм, зв® ў нв®¬ б«гз Ґ
  $I$ б®ўЇ ¤ Ґв б $K$ Ё§ «Ґ¬¬л 3.5, зв® ­Ґў®§¬®¦­® Ї® гб«®ўЁп¬ вҐ®аҐ¬л.

„®Є ¦Ґ¬ Їа®бв®вг  «ЈҐЎал $I_u$. Џгбвм $I$ --- ­Ґ­г«Ґў®© Ё¤Ґ « ў
 $I_u$. …б«Ё  $C\in I\cap\Mol$, в®, Є Є Ё а ­ҐҐ, $\Mol\subseteq I$.
 ‚лЎЁа п ®Ўа вЁ¬го $A\in \Mol$ Ї®«гз Ґ¬ $(A^{-1}+H(A^{-1},1)u)\cdot A=
  E+H(E,1)u\in I$ Ё,  ­ «®ЈЁз­® ЇаҐ¤л¤гйҐ¬г, $I=I_u$.

  …б«Ё $A+u\in I$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®© ­Ґ­г«Ґў®© $A\in \End(\A)$, в®, в Є Є Є
  $\dim(\A)>1$, Ї® «Ґ¬¬Ґ 3.6 бгйҐбвўгҐв $B\in \Mol$ в Є п, зв® $AB\neq 0$ Ё
  $\tr(AB)=0$, ®вЄг¤  $AB\in I$, Ё ¬л ЇаЁе®¤Ё¬ Є б«гз о ўлиҐ.

  ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® $a+H(a,E)u\in I$ ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® ­Ґ­г«Ґў®Ј® $a\in \A$.
  ’®Ј¤  $(a+H(a,E)u)\cdot A=aA+H(aA,E)u\in I$
  ¤«п «оЎ®Ј® $A\in \Mol$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ¬®¦­® бзЁв вм, зв® $a\in \A$
  Їа®Ё§ў®«м­л©. Џ® «Ґ¬¬Ґ 3.5
  $J=\left<x+H(x,1)u:x\in \A\right>$ ­Ґ пў«пҐвбп б®ЎбвўҐ­­л¬ Ё¤Ґ «®¬
    «ЈҐЎал $E(\A)(H,\D)$, Ї®нв®¬г ¬®¦­® ЇаҐ¤Ї®« Ј вм, зв®
  $a+A+H(a+A,E)u\in I$ ¤«п ­ҐЄ®в®але ­Ґ­г«Ґўле
  $a\in \A,\ A\in \M$. Џ® ¤®Є § ­­®¬г ўлиҐ, ¬л ¬®¦Ґ¬ бзЁв вм, зв®
   $I=\left<a+a^\phi+\alpha_a u:a\in \A\right>$
   ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј® «Ё­Ґ©­®Ј® ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп $\phi:\A\mapsto \M$ Ё ­ҐЄ®в®а®Ј®
   $\alpha\in \A^*$. ЋЇпвм ЇаЁе®¤Ё¬ Є б«гз о $I=K$ Ё§ «Ґ¬¬л 3.5,
   зв® ­Ґў®§¬®¦­®.

’ Є Є Є $\A$  ­Ґ пў«пҐвбп  «ЈҐЎа®© бЄ «па­®Ј® г¬­®¦Ґ­Ёп, в®
$n=\dim(A)>1$. ‹ҐЈЄ® ўЁ¤Ґвм, зв® ў $E(\A)$ ­Ґв ­Ґ­г«Ґўле н«Ґ¬Ґ­в®ў,
г Є®в®але а §¬Ґа­®бвм
 Їа ў®Ј®  ­­г«пв®а  а ў­  $\dim(E(\A))-1=n+n^2-1$. „Ґ©бвўЁвҐ«м­®,
  Ґб«Ё $a+A$ --- Їа®Ё§ў®«м­л© ­Ґ­г«Ґў®© н«Ґ¬Ґ­в Ё§ $E(\A)$, $a\neq 0$ Ё
  $b\not\in\left<a\right>$, в® $(a+A)E\neq 0$ Ё $(a+A)B\neq 0$,
  Ј¤Ґ $B$ в Є®Ґ, зв® $B(a)=b$; Ґб«Ё ¦Ґ $a=0$, в® нв® гвўҐа¦¤Ґ­ЁҐ
  ®зҐўЁ¤­®. Ћвбо¤  «ҐЈЄ® б«Ґ¤гов ўбҐ гвўҐа¦¤Ґ­Ёп
 Їа® ­Ґа §«®¦Ё¬®бвм Ї®«гзҐ­­ле  «ЈҐЎа.\qed

 Ђўв®а Ў« Ј®¤ аҐ­ аҐжҐ­§Ґ­вг §  ап¤
 жҐ­­ле § ¬Ґз ­Ё©, Ї®§ў®«ЁўиЁе г«гзиЁвм Ё§«®¦Ґ­ЁҐ ¤ ­­®© бв вмЁ.


\bigskip
\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{1}  A. Mizuhara, {\it On simple left symmetric algebras over
 a solvable Lie algebra}, Sci. Math. Jpn. \textbf{57}:2 (2003), 325--337.

\bibitem{2}  A.P. Pozhidaev,
{\it On generalized Mizuhara's construction},
 submitted to Sib. Math. J. (2023).

 \bibitem{3}    H. Shima, {\it Homogenous Hessian manifold},
 Ann. Inst. Fourier (Grenoble) \textbf{30} (1980), 91--128.


\bibitem{4}   A.P. Pozhidaev,
 {\it On endomorphs of right-symmetric algebras},
 Sib. Math. J. \textbf{61}:5 (2020), 859--866.

 \bibitem{5} R. S{\l}owik, {\it Derivations of rings of infinite matrices},
 Comm. in Algebra  \textbf{43}:8 (2015), 3433--3441.
\end{thebibliography}
\end{document}
