
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}

\def\udcs{512.554.5} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{17A70, 17D15} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том , стр. () \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small }\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}

\thispagestyle{empty}


\title{Бинарно $(-1,1)$-бимодули над полупростыми алгебрами}

\title[Бинарно $(-1,1)$-бимодули]{Бинарно $(-1,1)$-бимодули над полупростыми алгебрами}


\author{{С.В. ПЧЕЛИНЦЕВ}}%
\address{Sergey Valentinovich Pchelintsev  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Department of Mathematics, Finance University under the Government of the Russian Federation,
\newline\hphantom{iii} Leningradsky prospect 49,
\newline\hphantom{iii} 125993, Moscow,Russia}%
\email{pchelinzev@mail.ru}%

\thanks{\sc Pchelintsev, S.V.,
Бинарно $(-1,1)$-бимодули над полупростыми алгебрами}
\thanks{\copyright \ 2015 Пчелинцев С.В.}
\thanks{Работа выполнена при поддержке гранта FAPESP \No~2023/01159-5}
\thanks{\it Поступила 1 января 2015 г., опубликована 31 декабря 2015 г.}%

\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } 
It is proved that the irreducible binary $(-1,1)$-bimodule
over simple algebra with a unit is alternative.

A criterion for alternativeness (hence, complete reducibility)
of unital binary $(-1,1)$-bimodule over a semisimple finite-dimensional algebra
is obtained.

It is proved that every unital strictly $(-1,1)$-bimodule
over a finite-dimensional semisimple associative and commutative algebra is associative.

The coordinateization theorem is proved for the matrix algebra ${\rm M}_n(\Phi)$ of order $n\geq 3$
in the class of binary $(-1,1)$-algebras.

Finally, the following examples of indecomposable $(-1,1)$-bimodules are constructed:
the non-unital bimodule over $1$-dimensional algebra $\Phi e$;
the  unital bimodule over a $2$-dimensional composition algebra $\Phi e_1 \oplus \Phi e_2$;
the unital $(-1,1)$-bimodule over a quadratic extension $\Phi(\sqrt{\lambda})$ of the ground field;
the unital strictly $(-1,1)$-bimodule over the field of fractionally rational functions of one variable $\Phi(t)$.

\medskip
% Доказано, что неприводимый бинарно $(-1,1)$-бимодуль
% над простой алгеброй с единицей альтернативен.
% Получен критерий альтернативности (значит, и полной приводимости)
% унитального бинарно $(-1,1)$-бимодуля над полупростой конечномерной алгеброй.
% Доказано, что всякий унитальный строго $(-1,1)$-бимодуль
% над конечномерной полупростой ассоциативной и коммутативной алгеброй ассоциативен.
% Доказана теорема о координатизации для алгебры матриц порядка $n\geq 3$
% в классе бинарно $(-1,1)$-алгебр.
% Наконец, построены следующие примеры неразложимых $(-1,1)$-бимодулей:
% неунитальный бимодуль над $1$-мерной алгеброй с единицей $1$;
% унитальные бимодули над $2$-мерными композиционными алгебрами;
% унитальный $(-1,1)$-бимодуль над квадратичным расширением $\Phi(\sqrt{\lambda})$ основного поля;
% унитальный строго $(-1,1)$-бимодуль над полем дробно-рациональных функций от одной переменной.


\noindent{\bf Keywords:} strictly $(-1,1)$-algebra, $(-1,1)$-algebra, binary $(-1,1)$-algebra, ${\mathfrak M}$-bimodule, irreducible bimodule, complete reducibility.
 \end{quote}
}


\section*{Введение}

Понятия бимодуля (бипредставления) для произвольного класса алгебр были введены С. Эйленбергом \cite{Eil1948}.
Наряду с ассоциативными алгебрами и алгебрами Ли теория бипредставлений была развита для других классов алгебр;
так для альтернативных алгебр основные результаты получил Р.Д. Шафер \cite{Sch1952},
для йордановых алгебр - Н. Свартхольм \cite{Sva1942} и Н. Джекобсон \cite{Jac1954},
для алгебр Мальцева - Р. Карлссон \cite{Car1976} и Е.Н. Кузьмин \cite{Kuz1968}.
Для указанных классов алгебр справедливы теоремы о полной приводимости бимодулей
над полупростыми конечномерными алгебрами.

А.М. Слинько и И.П. Шестаков \cite{SliShe1974} изучали правые представления правоальтернативных алгебр.

Важные результаты о структуре бимодулей в многообразии бинарно лиевых алгебр принадлежат А.Н.Гришкову \cite{Gr1980}.

Неприводимые правоальтернативные бимодули над алгеброй ${\rm M}_{2} (\Phi )$ матриц 2-го порядка
изучали Л.И. Мураками и И.П. Шестаков \cite{MurShe2001}. B \cite{MurShe2001} было доказано,
что над алгеброй ${\rm M}_{2} (\Phi )$ существует бесконечно много
неизоморфных неприводимых правоальтернативных бимодулей и доказано,
что не всякий бимодуль над алгеброй ${\rm M}_{2} (\Phi)$ вполне приводим.


В \cite{Pch2006} изучались неприводимые бинарно $(-1,1)$-бимодули над простыми конечномерными алгебрами.
В частности, было доказано, что всякий неприводимый бинарно $(-1,1)$ бимодуль над алгеброй $A$ альтернативен
в каждом из случаев:
$A$~--- композиционная алгебра;
$A$~--- конечномерная простая альтернативная алгебра характеристики 0.
Там же был поставлен

\textbf{Вопрос}. \emph{Верно ли, что неприводимый бинарно $(-1,1)$-бимодуль над простой алгеброй
(в частности, над алгеброй с делением), является альтернативным}.

В \cite{SheTru2016} изучались неприводимые альтернативные бимодули
над простыми альтернативными супералгебрами.

В \cite{BP2020} изучались альтернативные бимодули
над полупростыми альтернативными артиновыми алгебрами.
В ней были получены результаты:

1. Пусть $A$~-- полупростая альтернативная артинова алгебра,
всякий ненулевой гомоморфный образ которой
не является ассоциативной алгеброй с делением. Тогда
альтернативный $A$-бимодуль вполне приводим.

2. Приведен пример альтернативного бимодуля над полем,
который не является вполне приводимым.

В \cite{MPS2022} изучались правоальтернативные бимодули
над матричными алгебрами ${\rm M}_{n} (\Phi )$ при $n\geq 3$.

Целью данной статьи является изучение бимодулей над полупростыми алгебрами
в некоторых классах бинарно $(-1,1)$-алгебр. Получены следующие результаты.
\begin{theorem}\label{th:1}
Пусть $A$~--- унитальная простая некоммутативная альтернативная алгебра;
$M$~--- унитальный слабо альтернативный бинарно $(-1,1)$-бимодуль над $A$.
Тогда $A$-бимодуль $M$ альтернативен.
\end{theorem}
Попутно получается
\begin{theorem}\label{th:2}
Всякий неприводимый бинарно $(-1,1)$-бимодуль (возможно и неунитальный)
над простой альтернативной алгеброй с единицей альтернативен.
\end{theorem}
Этот результат дает ответ на сформулированный выше вопрос.
\begin{theorem}\label{th:3}
Пусть $A$~--- конечно порожденная унитальная простая некоммутативная альтернативная алгебра;
$M$~--- унитальный бинарно $(-1,1)$-бимодуль над алгеброй $A$.
Тогда бимодуль $M$ альтернативен.
\end{theorem}
Неизвестно, является ли существенным ограничение конечной порожденности в теореме \ref{th:3}.
\begin{theorem}\label{th:4}
Всякий строго $(-1,1)$-бимодуль над конечномерной полупростой
ассоциативной и коммутативной алгеброй над алгебраически замкнутым полем ассоциативен,
значит, вполне приводим.
\end{theorem}
Ограничение конечномерности в теореме \ref{th:4} существенно.
\begin{theorem}\label{th:5}
Пусть  $A=A_1 \oplus ...\oplus A_k$~--- прямая сумма идеалов,
являющихся простыми альтернативными алгебрами, $e_i $~--- единица алгебры $A_i$;
$M$~--- унитальный бинарно $(-1,1)$-бимодуль над $A$.
Тогда $A$-бимодуль $M$ альтернативен тогда и только тогда, когда
$M$ альтернативен как $A_i$-бимодуль для любого $i=1,...,k$.
\end{theorem}
В \cite{PSS2021} была доказана теорема о координатизации расщепляемой алгебры Кэли-Диксона.
Мы приводим достаточные условия для выполнения
теоремы о координатизации алгебры $M_n(\Phi), n\geq3$ в рамках правоальтернативных алгебр.
\begin{theorem}\label{th:6}
Пусть унитальная правоальтернативная алгебра $A$
над полем $\Phi$ содержит подалгебру $S$ матриц порядка $n$ над $\Phi$ с той же единицей.
Предположим также, что $A$ является ассоциативным $S$-бимодулем.
Тогда алгебра $A$ ассоциативна и $A\cong E\otimes S$, где $E$~--- ассоциативная и коммутативная алгебра.
\end{theorem}
Из этой теоремы вытекает
\begin{corollary}
 Теорема о координатизации матричной алгебры $M_n(\Phi), n\geq3$ справедлива
 для правоальтернативной алгебры $A$,
 для которой присоединенная алгебра $A^{(-)}$ бинарно лиева.
В частности, теорема о координатизации алгебры $M_n(\Phi), n\geq3$ справедлива для
бинарно $(-1,1)$ алгебр.
\end{corollary}

В силу результатов \cite{MPS2022} для алгебр матриц  $M_n(\Phi), n\geq 2$
теорема о координатизации в рамках правоальтернативных алгебр
не имеет места.

Наконец, в работе приведены следующие примеры неразложимых $(-1,1)$-бимодулей:

а) неунитальный бимодуль над $1$-мерной алгеброй $\Phi\cdot e $;

б) унитальный бимодуль над $2$-мерной расщепляемой композиционной алгеброй $\Phi e_{1} \oplus \Phi e_{2}$;

в) унитальный $(-1,1)$-бимодуль над квадратичным расширением $\Phi(\sqrt{\lambda})$ основного поля;

г) унитальный строго $(-1,1)$-бимодуль над полем дробно-рациональных функций $\Phi (t)$.

Заключительная часть работы над данной статьей была выполнена автором
во время визита в университет Сан Пауло (01.04.2023 -- 30.06.2023).
Автор выражает сердечную благодарность И.П. Шестакову за приглашение, гостеприимство,
создание идеальных условий для работы и полезные обсуждения результатов.
Автор признателен также А.Н. Гришкову за консультацию по бинарно лиевым алгебрам.

\section{Обозначения, известные результаты}

\subsection{Правоальтернативные алгебры.}

Всюду в работе термин «алгебра» означает линейную алгебру над бесконечным полем $\Phi$
характеристики, отличной от 2 и 3.
Бесконечность поля нужна для того, чтобы можно было проводить линеаризации тождеств.

Алгебра называется {\it унитальной},
если она обладает нейтральным элементом по умножению,
который называется {\it единицей} и обозначается символом $1$.

Алгебра называется {\it правоальтернативной}, если в ней выполнено тождество
\begin{equation}\label{eq:ra}
 (ax)y+(ay)x=a(x\circ y)\text{ или }(a,x,y)+(a,y,x)=0,
\end{equation}
где $(a,x,y)=(ax)y-a(xy)$ обозначает ассоциатор элементов $a,x,y$.

Алгебра, антиизоморфная правоальтернативной, называется \emph{левоальтернативной}.
Алгебра называется \emph{альтернативной},
если она правоальтернативна и левоальтернативна одновременно.
По теореме Артина алгебра альтернативна тогда и только тогда,
когда всякая ее 2-порожденная подалгебра ассоциативна (см. \cite{ZSSS}).

В правоальтернативной алгебре выполнены тождества (см. \cite{Sko1951}, \cite{Kle1953}):
\begin{equation}\label{eq:raj}
 (a,x,y\circ z)+(a,y,z\circ x)+(a,z,x\circ y)=0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:muf}
(a,x,xy)=(a,x,y)x=0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:muflin}
(a,x,yz)+(a,y,xz)=(a,x,z)y+(a,y,z)x,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:kle}
(ab,x,y)+(a,b,[x,y])=a(b,x,y)+(a,x,y)b,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:sko}
((a,x,y),x,y)+(a,x,y)[x,y]=0,
\end{equation}
где $[a,b]=ab-ba$~--- коммутатор, $a\circ b = ab + ba$~--- симметризованное произведение.
Тождества \eqref{eq:muf} и \eqref{eq:muflin} называются \textit{правыми тождествами Муфанг}.

Далее, в в правоальтенативной алгебре справедливы {\it коммутаторные тождества}:
\begin{equation}\label{eq:com}
[xy,z]=x[y,z]+[x,z]y+2(x,y,z)+(z,y,x),
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:JS}
  [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]= 2S(x,y,z),
\end{equation}
где $S(x,y,z)=(x,y,z)+(y,z,x)+(z,x,y)$~--- циклическая сумма ассоциаторов.

В правоальтенативной алгебре из \eqref{eq:muflin} легко вывести (см. \cite{Pch2002})
\begin{align}\label{eq:pch}
2(a,xy,z)&=2(a,x,z)y+2(a,y,z)x \\
  & +(a,[x,y],z)+(a,x,[z,y])+(a,y,[z,x]).
\end{align}

Напомним, что верно также \emph{тождество Тэди} \cite{The1975}
\[((a,b,c),x,y)=((a,x,y),b,c)+(a,(b,x,y),c)+(a,b,(c,x,y))+ \]
\begin{equation}\label{eq:the}
(a,b,c[x,y])-(a,b,c)[x,y]-(a,b,[x,y])c.
\end{equation}


Отметим также, что во всякой алгебре верно \emph{основное ассоциаторное тождество}:
\begin{equation}\label{eq:5-member}
(ab,c,d)-(a,bc,d)+(a,b,cd)=a(b,c,d)+(a,b,c)d.
\end{equation}


Заметим, что разность между тождествами \eqref{eq:5-member} и \eqref{eq:kle} при $x=c,y=d$ имеет вид
$$-(a,bc,d)+(a,b,dc)=(a,b,c)d-(a,c,d)b,$$
которое, по существу, совпадает с \eqref{eq:muflin}.
Значит, тождество \eqref{eq:kle} представляет собой другую форму записи тождества Муфанг.

Тождество \eqref{eq:kle} впервые было доказано в \cite{Sko1951}.

Напомним, что на основании теорем Алберта \cite{Alb1954} и Цорна \cite{Zor1930}
всякая конечномерная полупростая правоальтернативная алгебра над алгебраически замкнутым полем
является прямой суммой идеалов, изоморфных либо матричным алгебрам,
либо векторно-матричной алгебре Цорна (расщепляемой алгебре Кэли).

В связи с бесконечномерными простыми правоальтернативными алгебрами
приведем замечательную теорему Скосырского \cite{Sko1984}:
всякая простая правоальтернативная алгебра с единицей альтернативна,
и, значит, по теореме Клейнфелда либо ассоциативна,
либо является алгеброй Кэли над своим центром \cite{ZSSS}.
Отметим также удивительный пример Михеева простой правоальтернативной
ниль-алгебры индекса $3$ \cite{Mih1977}.

\subsection{Бинарно $(-1,1)$-алгебры.}

Напомним, что правоальтернативная алгебра называется

$(-1,1)$-{\it алгеброй}, если в ней выполнено тождество
\begin{equation}\label{eq:def}
S(x,y,z)=0;
\end{equation}
{\it строго} $(-1,1)$-{\it алгеброй}, если в ней выполнено тождество
\begin{equation}\label{eq:st}
[[x,y],z]=0,
\end{equation}
называемое тождеством \emph{строгости};

{\it бинарно }$(-1,1)$-{\it алгеброй}, если в ней выполнено тождество
\begin{equation}\label{eq:loc}
 [(x,x,y),y]=0.
\end{equation}
Заметим, что правоальтернативная алгебра $A$ является $(-1,1)$-алгеброй тогда
и только тогда, когда её присоединенная алгебра $A^{(-)}$ является алгеброй Ли.

Кроме того, пересечение многообразий альтернативных и $(-1,1)$-алгебр совпадает
с многообразием ассоциативных алгебр.

Известно \cite{Pch1976}, что всякая 2-порожденная подалгебра бинарно $(-1,1)$-алгебры
над полем характеристики нуль является $(-1,1)$-алгеброй.

Введем обозначение, которое полезно в бинарно $(-1,1)$-алгебре:
$$\Delta (x,y,z)=(x,y,r)+(y,x,z).$$

\subsection{Бимодули в произвольном многообразии алгебр ${\rm {\mathfrak M}}$.}

Пусть ${\rm {\mathfrak M}}$~--- многообразие алгебр.
Общее понятие бимодуля $M$ над алгеброй $A$ в многообразии ${\rm {\mathfrak M}}$
принадлежит С. Эйленбергу \cite{Eil1948}. Допустим, что для каждого $a\in A$
заданы отображения:

\[M\to M,\; m\mapsto am,\; \; \; \; \; \; \; M\to M,\; m\mapsto ma.\]

Предполагается, что композиции $am,\; ma$ билинейны.
Рассмотрим расщепляемое нулевое расширение $E(M,A)$~---
это векторное пространство $M\oplus A$, на котором задано умножение:
\[(m_{1} +a_{1} )(m_{2} +a_{2} )=(m_{1} a_{2} +a_{1} m_{2} )+a_{1} a_{2} .\]
Если $E(M,A)\in {\rm {\mathfrak M}}$, то говорят,
что $M$ является ${\rm {\mathfrak M}}$-\textit{бимодулем над} $A$.

Например, алгебра $E(M,A)$ ассоциативна тогда и только тогда, когда алгебра $A$ ассоциативна
и $(a_{1} ,\, a_{2} ,\, m)=(a_{1} ,\, m,\, a_{2} )=(m,\, a_{1} ,\, a_{2} )=0$ для всех $a_{1} ,\, a_{2} \in A,m\in M$.

Отметим, что $M$~--- правоальтернативный бимодуль над правоальтернативной алгеброй $A$,
если для всех $m\in M$ и $a_{1} ,\, a_{2} \in A$ выполнены равенства:
\[(m, a_{1},a_{2}) + (m,a_{2},a_{1} ) = 0, \]
\[(a_{1}, m,a_{2}) + (a_{1}, a_{2}, m) = 0.\]

Далее, правоальтернативный $A$-бимодуль $M$ является бинарно $(-1,1)$-бимодулем,
если $A$ является бинарно $(-1,1)$-алгеброй и
для всех $m\in M$ и $a_{1} ,\, a_{2} ,\, a_{3} \in A$ выполнены линеаризации \eqref{eq:loc}:
\begin{equation}\label{eq:lin1}
 [\Delta (a_{1}, a_{2},a_{3}),m] + [\Delta (a_{1}, a_{2}, m), a_{3}] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:lin2}
[\Delta (m,a_{1}, a_{2}), a_{3}] + [\Delta (m, a_{1}, a_{3}), a_{2}] = 0.
\end{equation}
Бимодуль $M$ над алгеброй с единицей 1 называется \emph{унитальным},
если операторы правого $R_1$ и левого умножения $L_1$ на 1, действующие на $M$,
совпадают с тождественным отображением $M$ на себя.

\subsection{Общие обозначения.}

Всюду ниже используются обозначения:

$A$~--- бинарно $(-1,1)$-алгебра;

если $X\subseteq A$, то $\langle X \rangle$~--- подпространство, порожденное $X$,
и $idl_A\{X\}$~--- идеал алгебры $A$, порожденный $X$

$M$~--- унитальный $A$-бимодуль в многообразии бинарно $(-1,1)$-алгебр;

$E(M,A)$~--- расщепляемое нулевое расширение $M$ и $A$;

$St(A)$~--- идеал алгебры $A$, порожденный коммутаторами $[[x,y],z]$;

если алгебра $A$ альтернативна, то положим
\begin{center}
$E_{0} =\left\{[[a,b],b]|\, a,b\in A\right\}$\quad и \quad $E(A)=E_{0}A$;
\end{center}
поскольку $E_0(A)$~--- идеал в алгебре Мальцева $A^{(-)}$ \cite{Kuz1968}, то
$E(A)\triangleleft A$ (идеал) и
$E(A) \subseteq [A,A]+[A,A]^{2}$;
если $A$ ассоциативна, то $E(A)=St(A)$;

$K(A), N(A)$ и $Z(A)$~--- коммутативный, ассоциативный и полный центры алгебры $A$ соответственно:
\[K(A) = \{k\in A| [k,A]= 0\},\]
\[N(A) = \{n\in A| (n,A,A) =(A,n,A) = (A,A,n) = 0\},\]
\[Z(A) = K(A)\cap N(A);\]

$C(M)=C(E(M,A))\cap M$, где $C\in \{K,N,Z\}$;
\begin{align*}
 & x,y,m,n\in M;\quad k\in K(M); \quad z\in Z(M); \\
 & \qquad a,b,c,w\in A,\quad p,q,r,s,t,u,v\in E(M,A).
\end{align*}

\section{Бинарно $(-1,1)$-бимодули над простыми некоммутативными алгебрами}

Целью данного параграфа является доказательство теоремы \ref{th:1}.
Нам потребуется ряд вспомогательных утверждений.

\subsection{Свойства элементов вида $x_{a,b} $.}

Е. Клейнфелд и Г. Смит \cite{KleSmi1975} доказали, что
во всякой бинарно $(-1,1)$-алгебре, в частности, в алгебре $E(M,A)$
верно тождество $[c(a,a,b),a]=0$,
значит, для альтернативной алгебры $A$ верно для любых $a,b,c\in A,x\in M$
\[[cx_{a,b},a]=0, \text{ где } x_{a,b} :=\Delta (x,a,b).\]
Линеаризуя $a\to b$, получаем в силу слабой альтернативности $M$
\begin{equation}\label{eq:xab1}
[cx_{a,b},b]=0.
\end{equation}


\begin{lemma}\label{l:2.1}
Пусть $A$~--- простая унитальная некоммутативная альтернативная алгебра.
Тогда для любых $a,b, c\in A$ верно
\begin{center}
$(c,b,x_{a,b})= (b,c,x_{a,b})=0$.
\end{center}
\end{lemma}

\begin{proof}
В \cite{HenSmi1986} (см. тождество \eqref{eq:loc}) доказано тождество
\[(v,b,(a,a,b))=[b,v(a,a,b)], \text{ где } v=[p,q],\]
выполняющееся в любой бинарно $(-1,1)$-алгебре, значит, оно выполняется и в алгебре $E(M,A)$.
Следовательно, $(v,b,x_{a,b}) = [b,vx_{a,b}]$.
Отсюда и из \eqref{eq:xab1} следует $(v,b,x_{a,b}) = 0$.
Ввиду $[b,x_{a,b}] = 0$ и тождества \eqref{eq:kle} имеем
\[\left([A,A]^{2},b,x_{a,b}\right) = 0.\]
Поскольку $A$ простая некоммутативная альтернативная алгебра, а $E(A)$ - ненулевой идеал в $A$, то $A=E(A)$ и
\[(A,b,x_{a,b})=(E(A),b,x_{a,b})\subseteq ([A,A]+[A,A]^{2},b,x_{a,b} )=0.\]
Итак, $(c,b,x_{a,b})=0$. Отсюда в силу слабой альтернативности получается равенство $(b,c,x_{a,b})=0$. Лемма доказана.
\end{proof}


\begin{lemma}\label{l:2.2}
Допустим, что алгебра $A$ ассоциативна и находится в условиях леммы \ref{l:2.1}.
Пусть $a,b\in A, w=[a,b], x\in M$. Тогда
\[[A,a]x_{a,b} = 0,\quad [A,w]x_{a,b} = 0,\quad (A,w,x_{a,b})=0=(w,A,x_{a,b}).\]
\end{lemma}
\begin{proof}
В силу тождеств \eqref{eq:xab1}, \eqref{eq:com} и леммы \ref{l:2.1} имеем
\begin{gather*}
  0 =[cx_{a,b},b] = c[x_{a,b},b]+[c,b]x_{a,b}\\
+2(c,x_{a,b},b)+(b,x_{a,b},c) = [c,b]x_{a,b},
\end{gather*}
т.е.
\begin{equation}\label{eq:xab2}
[c,b]x_{a,b}=0.
\end{equation}
Тем самым первое из требуемых в лемме равенств доказано.
Отсюда линеаризацией $b\to a$ ввиду слабой альтернативности бимодуля получается равенство $[c,a]x_{a,b}=0$.
Из \eqref{eq:xab2}, последнего равенства и тождества Якоби следует
\[[c,w]x_{a,b}=[c,[a,b]]x_{a,b}=([[c,a],b]-[[c,b],a])x_{a,b}=0.\]
Осталось проверить справедливость равенства $(A,w,x_{a,b})=0$.
Поскольку $[a,b]*(a,a,b)=0$ в алгебре $E(M,A)$ (запись $p*q$ означает любое из произведений $pq$ или $qp$), то $w*x_{a,b} =0$ и достаточно понять, что $(Aw)x_{a,b} =0$.
Ввиду леммы \ref{l:2.1} и равенства \eqref{eq:xab2} имеем:
\begin{align*}
  (cw)x_{a,b} &=(c[a,b])x_{a,b} = \\
 & \{[ca,b] -[c,b]a\}\cdot x_{a,b} = -[c,b]a\cdot x_{a,b} = \\
 & -[c,b]\cdot ax_{a,b} =-[c,b]\cdot x_{a,b} a=-[c,b]x_{a,b} \cdot a=0.
\end{align*}
Последнее равенство является следствием доказанного в силу слабой альтернативности бимодуля $M$.
Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{l:2.3}
Допустим, что алгебра $A$ находится в условиях леммы \ref{l:2.2}; $a,b\in A, w=[a,b], x\in M$. Тогда верно равенство
\begin{center}
$idl_{A} (w^{2} )\cdot x_{a,b} =0$.
\end{center}
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $r,p\in A$.
Во-первых, в силу тождества Тэди \eqref{eq:the}
\begin{gather*}
 ((r,w,x_{a,b}),p,w) =\\
 ((r,p,w),w,x_{a,b} )+(r,(w,p,w),x_{a,b} )+(r,w,(x_{a,b} ,p,w))\\
 +(r,w,x_{a,b} [p,w])-(r,w,x_{a,b} )[p,w]-(r,w,[p,w])x_{a,b},
\end{gather*}
откуда ввиду ассоциативности $A$ и леммы \ref{l:2.2} имеем
\[(r,w,(x_{a,b},p,w))+(r,w,x_{a,b}[p,w])=0.\]
Докажем, что первое слагаемое равно 0:
\[(r,w,(x_{a,b} ,p,w))=-(r,w,(x_{a,b} ,w,p))=-(r,w,\Delta (x_{a,b} ,w,p))=0, \]
так как обозначая через $X=x_{a,b}\in M$ имеем
$$\Delta (X,w,p) =X_{w,p}, (r,w,\Delta (X,w,p))=(r,w,X_{w,p}) = 0$$
по лемме \ref{l:2.1}.
Значит,
\begin{equation}\label{eq:xab3}
(r,w,x_{a,b}[p,w])=0.
\end{equation}
Заметим, что $w\cdot x_{a,b}[p,w]=0$. В самом деле, $(w,x_{a,b},A)=0$ в силу леммы \ref{l:2.2}; тогда
$ w\cdot x_{a,b}[p,w] = (w x_{a,b})[p,w] = 0$ вновь по лемме \ref{l:2.2},
значит, ввиду \eqref{eq:xab3} верно равенство
$$(rw)(x_{a,b} [p,w])=0.$$
Далее,  $[p,w]x_{a,b} =0$ по лемме \ref{l:2.2}. Значит, из двух последних равенств получаем
\[0=(rw)(x_{a,b} \circ [p,w])=(rw)x_{a,b} \cdot [p,w]+(rw)[p,w]\cdot x_{a,b}\]
\[=(rw)[p,w]\cdot x_{a,b} \text{\, в силу леммы}\, \ref{l:2.2}\]
\[= (rwpw -rw^{2}\cdot p)x_{a,b}.\]
Осталось заметить, что $(rwp\cdot w)x_{a,b} =0$.
Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{l:2.4}
Допустим, что $A$~--- алгебра Кэли; $a,b\in A, w=[a,b], x\in M$.
Тогда снова верно равенство
$idl_{A} (w^{2} )\cdot x_{a,b} =0$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Как и в случае ассоциативной алгебры верно $w\ast x_{a,b} =0$.
Отсюда в силу слабой альтернативности бимодуля
\[w^{2} x_{a,b} =w(w x_{a,b}) = 0\]
и в силу тождества \eqref{eq:raj}
$$(c,w^{2},x_{a,b} )=(c,w,w\circ x_{a,b} )=0,$$
значит, $(Aw^{2} )x_{a,b} =0$. Поскольку $w^{2} \in Z(A)$, то $Aw^{2} \triangleleft A$.
\end{proof}

\subsection{Завершение доказательства теоремы \ref{th:1}.}

Мы должны доказать, что для любых элементов $a,b\in A,x\in M$ верно $x_{a,b} = 0$.
Из лемм \ref{l:2.3} и \ref{l:2.4} следует, что для любых операторных слов
\[\xi_i = L_{a_i}R_{b_i},\]
где $L_a, R_b\colon A\rightarrow A, cL_a=ac, cR_b=cb$~--- операторы умножения на элементы $a,b$ в алгебре $A$,
верно равенство
\begin{equation}\label{eq:t1}
\left(\sum_i [a,b]^{4}\xi_i\right)\cdot x_{a,b} =0.
\end{equation}
Заметим, что в силу тождества Клейнфелда $([a,b]^{4},c,d)=0$ (см. \cite{ZSSS}, с. 177) верно
$A[a,b]^{4}A$~-- идеал в $A$.
В частности, верно
\begin{equation}\label{eq:t2}
 \left(\sum_i [a,b]^{8}\xi_i\right)\cdot x_{a,b} =0.
\end{equation}
Применим оператор линеаризации $\delta= \Delta_a^1(c)$ к равенству \eqref{eq:t2}:
$$\left(\sum_i (([a,b]^{4})^{\delta}\cdot [a,b]^{4} +[a,b]^{4}\cdot ([a,b]^{4})^{\delta})\xi_i\right)\cdot x_{a,b} + $$
\begin{equation}\label{eq:t3}
+ \left(\sum_i [a,b]^{8}\xi_i\right)\cdot x_{c,b} =0.
\end{equation}
Слагаемые в верхней строчке равенства \eqref{eq:t3} равны 0 в силу \eqref{eq:t1}, значит, верно равенство
\begin{equation}\label{eq:t4}
\left(\sum_i [a,b]^{8}\xi_i\right)\cdot x_{c,b} =0.
\end{equation}
Рассуждая аналогично,  получаем
\[\left(\sum_i [a,b]^{16}\xi_i\right)\cdot x_{c,d} =0.\]
Если в алгебре $A$ верно тождество $[a,b]^{n} =0$, то множество её ниль-элементов
совпадает с локально нильпотентным радикалом $\mathcal{L}(A)$ \cite{ZSSS},
и в силу простоты алгебры $A$ радикал $\mathcal{L}(A)=0$.
Тогда алгебра $A$ коммутативна, что противоречит условию теоремы \ref{th:1}.
Отсюда вытекает, что $A = idl_A\{[a,b]^{16}|a,b\in A\}$ и тогда $x_{A,A} = 0$.
Теорема \ref{th:1} доказана.

\subsection{Доказательство теоремы \ref{th:2}.}

\begin{definition}
=Бимодуль $M$ называется \emph{слабо альтернативным},
если для любых $a\in A, m\in M$ верно равенство $(a,a,m) = 0$.
\end{definition}


\begin{definition}
Пусть $Z=Z(A)$~-- центр алгебры $A$. Бимодуль $M$ над $A$ называется \emph{центральным},
если выполнены равенства
\[[M,Z] = (M,Z,A) = (Z,A,M) = (A,M,Z) = 0.\]
В этом случае пространство $M$ можно рассматривать как бимодуль над $Z$-алгеброй $A$.
\end{definition}




В \cite{Pch2006} доказано, что

\begin{proposition}\label{pr:2.1}
Пусть A~--- унитальная простая альтернативная алгебра;
$M$~--- неприводимый бинарно $(-1,1)$-бимодуль над $A$.
Тогда

а) бимодуль $M$ унитален, централен и слабо альтернативен;

б) если $A$~--- поле, то бимодуль $M$ ассоциативен;

в) если $A$~--- композиционная алгебра, то бимодуль $M$ альтернативен.

\end{proposition}
%\textbf{Теорема 1.}
%\emph{Пусть $A$~--- унитальная простая некоммутативная альтернативная алгебра;
%$M$~--- унитальный слабо альтернативный бинарно $(-1,1)$-бимодуль над $A$.
%Тогда $A$-бимодуль $M$ альтернативен.}

Теперь можем перейти к доказательству теоремы \ref{th:2}. Простая альтернативная алгебра $A$ либо ассоциативна,
либо является алгеброй Кэли-Диксона над своим центром $Z=Z(A)$ (в этом случае она некоммутативна).

Если алгебра $A$ некоммутативна, то теорема \ref{th:2} немедленно вытекает из теоремы \ref{th:1}
и предложения \ref{pr:2.1} а), которое гарантирует унитальность и слабую альтернативность бимодуля $M$.

Если алгебра $A$ коммутативна, то поскольку характеристика основного поля отлична от $3$
алгебра $A$ ассоциативна и, значит, $A$~--- поле (расширение основного поля $\Phi$).
Тогда по предложению \ref{pr:2.1} б) бимодуль $M$ ассоциативен. Теорема \ref{th:2} доказана.

\textbf{Замечание.} Из теоремы \ref{th:2} вытекает п. в) предложения \ref{pr:2.1} (основной результат работы \cite{Pch2006}).

\section{Доказательство теорем \ref{th:3} - \ref{th:5}.}
\subsection{Доказательство теоремы \ref{th:3}.}

\begin{proposition}\label{pr:3.1}
Пусть $A$~--- конечно порожденная бинарно $(-1,1)$-алгебра, $K=K(A)$~--- ее коммутативный центр.
Тогда идеал $St(A)$ действует нильпотентно на идеале, порожденном множеством $(K,A,A)$.
\end{proposition}
Это предложение совпадает с теоремой 3 из работы \cite{Pch2002}.

Всюду в этом параграфе $A$~--- унитальная простая конечно порожденная некоммутативная альтернативная алгебра,
$M$~--- унитальный бинарно $(-1,1)$-бимодуль над алгеброй $A$.

\begin{lemma}\label{l:3.1}
Пусть $A$ и $M$~--- указанные ранее алгебра и бимодуль. Тогда

а) $K(M)=Z(M)$;

б) Если $z\in Z(M)$, $a,b\in A$ и $z[a,b]=0, [a,b]\ne 0$, то $z=0$.
\end{lemma}

\begin{proof}
а) Пусть $k\in K(M), a,b\in A$. Заметим, что $St(A)\neq 0$
(иначе алгебра была бы ассоциативной с тождеством $[x,y]^2=0$, но таких простых алгебр нет \cite{ZSSS}),
значит, $St(A)=A$ в силу простоты алгебры и  $1\in St(A)$.
Применим предложение \ref{pr:3.1} к алгебре
${\rm alg}_{S} \langle \{(k,a,b)\}\cup A\rangle $,
где $S=E(M, A)=M\oplus A$. Тогда получим $(k,a,b)=0$, значит, $K(M)=Z(M)$.

б) Поскольку $z\in Z(M)$, то $z\cdot idl_{A} [a,b]=0$. Учитывая, что алгебра $A$ проста,
получаем $z=z\cdot 1\in zA=z\cdot idl_{A} [a,b]=0$.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{l:3.2}
Бимодуль $M$ над алгеброй $A$ слабо альтернативен.
\end{lemma}

\begin{proof}
Пусть $a,b,c\in A, x\in M$ и $z=(a,a,x)$.
В силу \eqref{eq:loc}: $z\in K(M)$ и $z\in Z(M)$ по лемме \ref{l:3.1}.
Поскольку
\[z[a,b] = [za,b] = [(a,a,x)a,b] = [(a,a,ax),b] = 0,\]
т.е. $(a,a,x)[a,b]=0$. Значит, для любых $a,b,c\in A$ верно
\[(a,a,x)[c,b] + \Delta (a,c,x)[a,b] =0.\]
Рассмотрим два случая: $a\in Z(A)$ и $a\notin Z(A)$.
Поскольку алгебра $A$ альтернативна характеристики не 3, то $Z(A)=K(A)$ \cite{ZSSS}.

Если $a\in Z(A)$, то $0=(a,a,x)[c,b]$ и $(a,a,x)=0$ по лемме \ref{l:3.1}.
Тем самым, доказано, что если $a\in Z(A)$, то $(a,a,x)=0$.

Eсли $a\notin Z(A)$, то $(a,a,x)[a,b]=0$ и $(a,a,x)=0$.

Итак, в обоих случаях доказано, что для любых $a\in A, x\in M$ верно $(a,a,x)=0$,
т.е. бимодуль слабо альтернативен.
\end{proof}

%\textbf{Теорема 1.}
%\emph{Пусть $A$~--- унитальная простая некоммутативная альтернативная алгебра;
%$M$~--- унитальный слабо альтернативный бинарно $(-1,1)$-бимодуль над $A$.
%Тогда $A$-бимодуль $M$ альтернативен.}

%\textbf{Теорема 2.}
%\emph{Пусть $A$~--- конечно порожденная унитальная простая некоммутативная альтернативная алгебра;
%$M$~--- унитальный бинарно $(-1,1)$-бимодуль над алгеброй $A$.
%Тогда бимодуль $M$ альтернативен.}

Из леммы \ref{l:3.2} и теоремы \ref{th:1}  следует теорема \ref{th:3}.
\subsection{Доказательство теоремы \ref{th:4}.}
%\begin{theorem}\label{th:4}
%Пусть основное поле над алгебраически замкнуто.
%Тогда всякий строго $(-1,1)$-бимодуль над конечномерной полупростой
%ассоциативной и коммутативной алгеброй ассоциативен,
%значит, вполне приводим.
%\end{theorem}

Положим $A$~--- полупростая конечномерная ассоциативно-коммутативная алгебра над алгебраически замкнутым полем $\Phi $, т.е. $A=\Phi e_{1} \oplus ...\oplus \Phi e_{k}$, $M$ - бимодуль над $A$ в многообразии строго $(-1,1)$-алгебр, т.е. расщепляемое нулевое расширение $E(M,A)$ является строго $(-1,1)$-алгеброй. Кроме того, пусть $e\in A$ и $e^{2}=e$, $a\in A,x\in M$.

Докажем ряд соотношений в алгебре $E(M,A)$. Необходимые рассуждения представим в виде последовательности пунктов.

$1^{0}$. Докажем, что $(e,e,[a,x])=0$. Применяя тождество \eqref{eq:kle}, тождество строгости и \eqref{eq:loc}, имеем
\[(e,e,[a,x])=e\circ (e,e,[a,x])=2(e,e,[a,x])e,\]
откуда и вытекает требуемое.

$2^{0}$. Верно, что $(e,e,x)=0$. Достаточно применить тождество \eqref{eq:kle} и п. $1^{0}$.

$3^{0}$. Докажем, что $[(e,a,x),e]=0$. Используя тождество
\[[(x,y,x),z]=2[x,(x,y,z)],\]
доказанное в \cite{Hen1974}, получаем $0=[(e,a,e),x]=2[e,(e,a,x)]$.

$4^{0}$. Докажем, что $(e,a,x)=0$. Достаточно применить снова \eqref{eq:kle} и п. $3^{0}$.

$5^{0}$. Наконец, покажем, что $(x,e,a)= 0$. В силу тождеств \eqref{eq:raj} и \eqref{eq:muf} имеем
$(x,e,a)= (x,e^2,a)= (x,e,e\circ a) = 2(x,e,ea) = 2(x,e,a)e,$
откуда следует $(x,e,a)= 0$.

Из пп. $4^{0}$ и $5^{0}$ следует ассоциативность $A$-бимодуля $M$.
Теорема \ref{th:4} доказана.


\subsection{Доказательство теоремы \ref{th:5}.}
%\begin{theorem}\label{th:5}
%Пусть основное поле над алгебраически замкнуто.
%Пусть  $A=A_1 \oplus ...\oplus A_k$~--- прямая сумма идеалов,
%являющихся простыми альтернативными алгебрами, $e_i$~--- единица алгебры $A_i$;
%$M$~--- унитальный бинарно $(-1,1)$-бимодуль над $A$.
%Тогда $A$-бимодуль $M$ альтернативен тогда и только тогда, когда
%$M$ альтернативен как $A_i$-бимодуль для любого $i=1,...,k$.
%\end{theorem}

Если бимодуль $M$ альтернативен над алгеброй $A=A_{1} \oplus ...\oplus A_{k} $,
то он альтернативен и как бимодуль над каждой из алгебр $A_{1},...,A_{k}$.

Обратно, пусть $M$~--- альтернативный бимодуль над каждой из алгебр $A_{i}$.
Тогда для завершения доказательства теоремы \ref{th:5} достаточно проверить,
что $(x,a_{1},a_{2} )=0,\; (a_{1},a_{2},x)=0$ для любых $a_{i} \in A_{i} (i=1,2),x\in M$.
Доказательство этого факта представим в виде трех лемм.
\begin{lemma}\label{l:4.1}
Верно равенство $(a_{1} ,a_{2} ,x)=(a_{2} ,a_{1} ,x)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Хорошо известно (см., например, \cite{HenSmi1986}),
что в любой бинарно $(-1,1)$-алгебре верно тождество:
\begin{equation}\label{eq:man}
(a^2,a,x)=(a,a^2,x).
\end{equation}
Линеаризации этого тождества имеют вид:
\begin{equation}\label{eq:man1}
(a^{2} ,b,x)+(a\circ b,a,x)=(a,a\circ b,x)+(b,a^{2} ,x),
\end{equation}
\[(a\circ b,c,x)+(b\circ c,a ,x)+( c\circ a, b,x)= \qquad \]
\begin{equation}\label{eq:man2}
\quad (a, b\circ c,x)+ (b,c\circ a ,x)+(c, a\circ b,x).
\end{equation}
Положим $a=a_{1},b=a_{2}$ в \eqref{eq:man1}; тогда
$$(a_{1}^{2}, a_{2}, x)+(a_{1} \circ a_{2}, a_{1}, x) = (a_{1},a_{1} \circ a_{2}, x) + (a_{2}, a_{1}^{2}, x),$$
значит, в силу равенств $A_{i}A_{j} =0$, если $i\neq j$, имеем
$$(a_{1}^{2}, a_{2}, x) = (a_{2}, a_{1}^{2}, x).$$
В частности,
\[(e_{1}, a_{2}, x) = (a_{2}, e_{1}, x).\]
Используя \eqref{eq:man2}, аналогично получаем
$$(a_{1} \circ e_{1}, a_{2}, x) = (a_{2}, a_{1} \circ e_{1}, x),$$
откуда $2(a_{1}, a_{2}, x) = 2(a_{2}, a_{1}, x)$, что и требовалось.
\end{proof}
\begin{lemma}\label{l:4.2}
Справедливы равенства:
\begin{center}
{\rm a)} {$(x,e_{i} ,A)=0$};\qquad {\rm b)} $(e_{i} ,A,x)=(A,e_{i} ,x)=0$.
\end{center}
\end{lemma}

\begin{proof}
a) Равенство \textit{$(x,e_{i} ,A)=0$ }следует из тождеств \eqref{eq:ra}, \eqref{eq:raj}
и центральности элемента $e_{i}$ в алгебре $A$:
$$(x,e_{1},a_1)=(x,e_{1}^2 ,a_1)=(x,e_{1} ,e_{1}\circ a_1) = 2(x,e_{1},a_1),$$
$$(x,e_{1} ,a_2)=(x,e_{1}^2 ,a_2)=(x,e_{1} ,e_{1}\circ a_2) = 0. $$

b) Проверим теперь, что $(e_{1},a_{1} ,x)=0$.
Поскольку $A_{1} $-бимодуль $M$ альтернативен, то в силу п. a)
\begin{equation}\label{eq:alt}
(e_{1} ,a_{1} ,x)=(x,e_{1} ,a_{1} )=0.
\end{equation}
Для доказательства остальных требуемых в лемме равенств в силу леммы \ref{l:4.1} достаточно понять,
что
\begin{equation}\label{eq:main}
(e_{1},a_{2},x)=0.
\end{equation}
Учитывая равенство $(x,e_{1},a_{2})=0$, справедливое в силу п. a),
и линеаризацию тождества $[a,(a,a,b)]=0$, имеем
\begin{equation}\label{eq:pre}
[e_{1},(e_{1},x,a_{2})]=[e_{1},(e_{1},x,a_{2})+(x,e_{1},e_{2})]= - [x,(e_{1},e_{1},a_{2})]=0.
\end{equation}
В силу \eqref{eq:kle}, \eqref{eq:alt} и \eqref{eq:pre} имеем
\[(e_{1},a_{2},x)=(e_{1}^2,a_{2} ,x) = e_{1}(e_{1},a_{2} ,x) + (e_{1},a_{2},x)e_{1}=2(e_{1},a_{2},x)e_{1}, \]
откуда и вытекает требуемое равенство \eqref{eq:main}.
\end{proof}
\begin{lemma}\label{l:5.3}
Верны равенства $(x,a_{1} ,a_{2} )=0,\; (a_{1} ,a_{2} ,x)=0$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Первое равенство следует из \eqref{eq:raj} и центральности $e_{1}$:
\[2(x,a_{1},a_{2})=(x,a_{1}\circ e_{1},a_{2}) = (x,a_{1}, e_{1}\circ a_{2}) + (x, e_{1},a_{1}\circ a_{2})=0.\]
Для доказательства второго равенства ввиду унитальности бимодуля достаточно проверить, что
\begin{equation}\label{eq:a1a2x}
(a_{1},a_{2} ,x)e_{i} =0 \text{\,при всех}\, i=1,...,k.
\end{equation}
Если  $i\ne 1$, то на основании тождества \eqref{eq:kle} и леммы \ref{l:4.2} б) имеем
$$(a_{1} ,a_{2} ,x)e_{i} =(a_{1} e_{i} ,a_{2} ,x)+(a_{1} ,e_{i} ,[a_{2} ,x])-a_{1} (e_{i} ,a_{2} ,x)=0.$$
Если же $i=1$, то в силу доказанного и леммы \ref{l:4.1}
$$(a_{1} ,a_{2} ,x)e_{1} = (a_{2} ,a_{1} ,x)e_{1} =0.$$
Тема самым, равенство \eqref{eq:a1a2x}, а с ним и леммы доказаны.
\end{proof}
Из леммы \ref{l:5.3} немедленно вытекает альтернативность $A$-бимодуля $M$,
что завершает доказательство теоремы \ref{th:5}.



\section{Теорема о координатизации}
Пусть унитальная правоальтернативная алгебра $A$ над полем $\Phi$ содержит подалгебру
$S=M_n(\Phi), n\geq3$ матриц над $\Phi$ с общей единицей. Допустим, что
$A$~--- ассоциативный $S$-бимодулем. Тогда он является прямой суммой регулярных $S$-бимодулей
$$A = \bigoplus_i S e_i,$$
где $[e_i, S] = 0, (e_i S, S) = (S, e_i, S) = 0$.
Обозначим $\Phi$-подпространство, порожденное всеми элементами $e_i$, через $E$.
Легко видеть, что
$$E = \{e \in A|[e,S] = 0\}.$$
Сделаем одно замечание, которое будет использовано ниже без дополнительных пояснений.

Поскольку
$e_{12}=[e_{12},e_{11}]$ и $e_{11}-e_{22}=[e_{12},e_{21}]$,
то пространство $[S,S]$ порождается элементами $e_{11} - e_{ii}, e_{jk}, i \neq 1, j\neq k $.
Этих элементов ровно $n^2-1$ и они линейно независимы,
поэтому $S = \Phi 1 + [S,S]$.
Это  означает, что $S= \Phi 1+[[S,S],S]$.
\begin{lemma}\label{l:5.4}
Верно равенство
\begin{equation}\label{eq:15}
(A,A,S) = 0.
\end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}
Всюду ниже $x,y\in A, a,b\in S$. В силу \eqref{eq:kle} и ассоциативности $S$-бимодуля $A$ получаем
$$ (x,y,[a,b])=0.$$
Поскольку $(x, y, 1) = 0$, то в силу равенства $ S = \Phi 1+ [S, S]$ получаем требуемое.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{l:5.5}
Верно равенство
\begin{equation}\label{eq:16}
(A,E,E) = 0.
\end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}
Всюду ниже $e,e'\in E, a,b\in S, x\in A$.
В силу линеаризованного тождества \eqref{eq:sko} и \eqref{eq:15}, \eqref{eq:16} имеем
$$ 0 = ((x,e,e'),a,b) + ((x,a,e'),e,b) + ((x,e,b),a,e') + ((x,a,b),e,e')$$
$$+((x,e,e')[a,b]) + (x,a,e')[e,b] + (x,e,b)[a,e'] + (x,a,b)[e,e'] $$
$$=((x,e,e')[a,b]),$$
откуда следует $((x,e,e')S'=0$ и $((x,e,e')=0$.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{l:5.8}
Верно равенство
\[(A,A,A) = 0.\]
\end{lemma}
\begin{proof}
Применяя \eqref{eq:pch}, \eqref{eq:15} и \eqref{eq:16}, мы получаем
\[2(x,ae,e') = 2(x,e,e')a + 2(x,a,e')e + (x,[a,e],e') \]
\[+ (x,a,[e',e])+ (x,e,[e',a ])=0,\]
откуда
\begin{equation}\label{eq:17}
 (A,A,E)=0.
\end{equation}
Наконец, в силу линеаризованных равенств \eqref{eq:muflin}, \eqref{eq:15} и \eqref{eq:17} имеем
\[(x,ae,be') = - (x, be'e,a) + (x,e,be')a + (x,e,a)be' = 0, \]
что доказывает лемму.
\end{proof}
Итак, мы доказали, что алгебра $A$ ассоциативна.
Тогда векторное пространство $E$ является подалгеброй в $A$,
и $A\cong S\otimes E$. Теорема \ref{th:6} доказана.

Теперь мы можем доказать следствие из теоремы \ref{th:6}.

Пусть $\mathfrak{M}$~--- многообразие правоальтернативных алгебр, удовлетворяющих тождеству
\begin{equation}\label{eq:BL}
S(x, y, [x,y]) = 0.
\end{equation}
Заметим, что правоальтернативная алгебра $A$ удовлетворяет тождеству \eqref{eq:BL} тогда и только тогда,
когда ее присоединенная алгебра $A^{(-)}$ бинарно лиева.

Рассмотрим унитальный $\mathfrak{M}$-бимодуль $M$ над алгеброй $S=M_n(\Phi), n\geq3$.
Докажем, что $M$ ассоциативен. Обозначим через $S^{\ast}$ подалгебру
в алгебре линейных преобразований ${\rm End}_{\Phi}(M)$,
порожденную операторами правого и левого умножения на элементы из $S$.
Введем произвольным образом порядок на множестве матричных единиц алгебры $S$.
Используя лемму 4 из \cite{Pch1976}, легко понять, что алгебра $S^{\ast}$ конечномерна.
Возьмем $m\in M$ и рассмотрим бимодуль $mS^{\ast}$ над $S$.
Тогда $mS^{\ast}$ является также конечномерным бинарно лиевым бимодулем
над простой алгеброй Ли $[S,S]$ бесследных матриц порядка $n\geq3$.
В силу \cite{Gr1980}, лемма 11, бимодуль $mS^{\ast}$ над алгеброй $[S,S]$ является лиевым.
Тогда в силу тождества \eqref{eq:JS}
он является $(-1,1)$-бимодулем над алгеброй $S$
и по теореме \ref{th:3} он альтернативен, значит, ассоциативен.
Тем самым, доказано, что бимодуль $M$ над алгеброй $S$ также ассоциативен.

Из сказанного и теоремы \ref{th:6} немедленно вытекает указанное следствие.

\section{Контрпримеры}

\subsection{Неразложимый неунитальный $(-1,1)$-бимодуль над основным полем $\Phi$.}
Напомним, что бимодуль называется\emph{ неразложимым}, если он не представим в виде
прямой суммы своих собственных подмодулей.

Рассмотрим полупростую алгебру $A=\Phi \cdot e$ с единицей $e$ и 2-мерное векторное пространство
$V$ с базисом $v_{1} ,v_{2} $ и действием
\begin{align*}
   &(\alpha e) \cdot v_{1} =\alpha v_{2},\qquad \qquad \: (\alpha e)\cdot v_{2} =0,\\
  & v_{1} \cdot (\alpha e) = \alpha (v_{1} +v_{2}),\qquad v_{2} \cdot (\alpha e)=0,
\end{align*}
где $\alpha\in \Phi$.
Полагая $L=L_e,\, \; R=R_e$, и используя правую форму записи,
укажем матрицы этих операторов в базисе $v_{1},v_{2}$ (мы не делаем различий в обозначениях операторов и их матриц):
\begin{center}
$L=e_{12},\qquad R=e_{11}+e_{12}$,\quad где $e_{ij}$~--- матричные единицы.
\end{center}
Для проверки правой альтернативности бимодуля достаточно
для любого $v\in V$ доказать равенства
\begin{equation}\label{eq:ralt}
(v,e,e)=0,\qquad (e,e,v)+(e,v,e)=0.
\end{equation}
В операторной форме они принимают вид $R^{2} =R$ и
\[ L-L^{2} +LR-RL=e_{12} +e_{12} (e_{11} \, +e_{12} )-(e_{11} \, +e_{12} )e_{12} =0,\]
значит, бимодуль $V$ правоальтернативен.
Кроме того, легко понять, что $V$ является $(-1,1)$-бимодулем над $A$.
В самом деле, определяющее соотношение \eqref{eq:def}:  $(v,a,b)+(a,b,v)+(b,v,a)=0$
сводится к проверке второго равенства из \eqref{eq:ralt}.

Заметим, что бимодуль $V$ неальтернативен: $L-L^2=L\neq 0$.

Покажем, что он неразложим; у него имеется единственный подмодуль,
совпадающий с одномерным подпространством, порожденным вектором $v_2$.
Допустим, что одномерное пространство $U$ с базисным элементом $v_1+\beta v_2$
является $A$-подмодулем. Тогда $U$ содержит элементы
$$(v_1+\beta v_2)e=v_1+v_2,\quad e(v_1+\beta v_2)=v_2,$$
что противоречит одномерности $U$.
\subsection{Неразложимый унитальный $(-1,1)$-бимодуль над 2-мерной расщепляемой композиционной алгеброй.}

Рассмотрим полупростую алгебру $A=\Phi e_{1} \oplus \Phi e_{2}$ (прямая сумма двух полей),
2-мерное векторное пространство $V$ с базисом $v_{1} ,v_{2} $ и действием
\[v_{1} L=v_{2} ,\, \; \; \; \; v_{2} L=0,\, \; \; \; \; v_{1} R=v_{1} +v_{2} ,\, \; \; \; \; v_{2} R=0,\]
где $L=L_{e_1},\, \; R=R_{e_1},\; 1=e_{1} +e_{2} $ действует унитально, т.е. $v\cdot 1=1\cdot v=v$. Далее,
\[L=e_{12} ,\, \; \; \; \; R=e_{11} \, +e_{12} .\]
Легко понять, что $V$ является $(-1,1)$-бимодулем над $A$.
Как правая альтернативность бимодуля, так и проверка равенства \eqref{eq:def}
сводится к проверке следующих соотношений  для произвольного $v\in V$:
\[(v,e_{1},e_{1}) =0,\qquad (e_{1},e_{1},v) + (e_{1},v,e_{1})=0.\]
Имеем в операторной форме $R^2=R$ и
\[L-L^2+[L,R]=e_{12}+[e_{12},e_{11}+e_{12}]=e_{12}+[e_{12},e_{11}]=0.\]

Докажем, что бимодуль $V$ неразложим. Заметим, что $\Phi v_{2} $ является одномерным подбимодулем над $A$.
Пусть $U$ -- подмодуль, порожденный элементом $u=v_{1} +\alpha v_{2} $, где $\alpha \in F$.
Тогда $uL=v_{1} L+\alpha v_{2} L=v_{2} \in U$, откуда следует, что $U=V$.
Тем самым, доказано, что $A$-бимодуль $V$ неразложим.

Заметим, что бимодуль $V$ не является слабо альтернативным:
\[(e_{1},e_{1},v_1)=e_{1}v_1 - e_{1}(e_{1}v_1)= v_2- e_{1}v_2=v_2;\]
он также не является строго $(-1,1)$-бимодулем, так как
$$[v_{1} ,e_{1} ]=(v_{1} +v_{2} )-v_{2} =v_{1}.$$

\subsection{Неразложимый унитальный $(-1,1)$-бимодуль над квадратичным расширением $\Phi(\sqrt{\lambda})$.}\label{exam}
Рассмотрим 6-мерное векторное пространство над основным полем $\Phi$
с базисом $e_1, \dots, e_6$. Превратим его в бимодуль над алгеброй $A=\Phi(c)$,
где $c^2=\lambda\cdot 1$ и $\lambda\in \Phi$
($A$~--- поле, являющееся квадратичным расширением поля $\Phi$), считая,
что 1 действует (справа и слева) как тождественное отображение,
а умножение на элемент $c$ заданно матрицами (относительно данного базиса):
\[R_c=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
\lambda & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
-\lambda & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{\lambda}{2} & \frac{\lambda}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \lambda & 0
\end{array}
\right),\]
\[L_c = \left(\begin{array}{cccccc}
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
\lambda & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
\lambda & 0 & 0 & -1 & -2 & 0 \\
0 & \frac{\lambda}{2} & -\frac{\lambda}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \lambda & 0
\end{array}
\right).\]

Для проверки правой альтернативности бимодуля необходимо проверить равенства
\[R_c^2=R_{c^2},\qquad  L_{c^2} - L_c^2 + [L_c, R_c]=0.\]
Эти проверка проводится непосредственно.
Из указанных равенств вытекает, что для расщепляемого расширения $E(V,A)$ выполнено соотношение \eqref{eq:def},
т.е. бимодуль $V$ является $(-1,1)$-бимодулем. Если бимодуль $V$ вполне приводим,
то он является прямой суммой неприводимых бимодулей,
а каждый такой бимодуль альтернативен в силу теоремы \ref{th:2},
значит, ассоциативен; но это не так.
Таким образом, конечное расширение поля $\Phi$ обладает $(-1,1)$-бимодулем,
который не является прямой суммой неприводимых подбимодулей.

На самом деле указанный бимодуль неразложим.
Для проверки этого факта запишем сначала таблицу умножения бимодуля в явном виде:
\begin{align*}
 & e_1c= \frac{1}{2}e_2 - \frac{1}{2}e_3,\qquad\quad  ce_1= \frac{1}{2}e_2 + \frac{1}{2}e_3,\\
 & e_2c=ce_2= \lambda e_1 + e_4,\\
 & e_3c= -\lambda e_1 + e_4,\qquad \quad ce_3=\lambda e_1 - e_4 - 2e_5,\\
 & e_4c= \frac{\lambda}{2}(e_2 + e_3),\qquad \qquad \: ce_4= \frac{\lambda}{2}(e_2 - e_3),\\
 & e_5c= ce_5=e_6,\qquad \qquad e_6c= ce_6=\lambda e_5.
\end{align*}
Обозначим через $\varphi$ оператор $v\varphi =(c,c,v)$; тогда
\begin{equation}\label{eq:ccv}
e_1\varphi =e_5,\; e_3\varphi =2e_6,\;e_4\varphi =-2e_5,\;e_i\varphi =0\, (i=2,5,6).
\end{equation}
Найдем наибольший по включению ассоциативный подбимодуль $W_a$.
Бимодуль $W$ над алгеброй $A$ ассоциативен тогда и только тогда, когда
он $\varphi$~--- инвариантен.
Заметим, что $e_2, e_5, e_6\in W_a$.

Если $\sum_{i=1}^6 \alpha_ie_i \in W_a$, где $\alpha_i \in \Phi$, то $\alpha_1e_1+\alpha_3e_3+ \alpha_4e_4 \in W_a$ и
\[0=\alpha_1e_1 \varphi+\alpha_3e_3 \varphi+ \alpha_4e_4 \varphi= \alpha_1e_5 + 2\alpha_3e_6 - 2 \alpha_4e_5\]
в силу соотношений \eqref{eq:ccv}.
Значит,
$\alpha_1=2\alpha_4,\, \alpha_3=0$ и
$W_a= \langle g, e_2, e_5, e_6 \rangle,$ где $g = 2e_1 +e_4$.
Поскольку
\[[g,c] = -2e_3 + \lambda e_2,\quad  [\langle e_2, e_5, e_6 \rangle, c]=0, \]
то
\begin{equation}\label{eq:wa}
W_a\subseteq \langle e_2, e_5, e_6 \rangle.
\end{equation}



Если $W$~--- неассоциативный подмодуль в $V$,
то $W\varphi \subseteq W$, значит, $W$ содержит ненулевой элемент
$w=\alpha_5e_5+\alpha_6e_6$, где $\alpha_i \in \Phi$.
Поскольку $wc=\lambda\alpha_6e_5+\alpha_5e_6$, то либо элементы $w, wc$ пропорциональны,
либо $e_5,e_6\in W$. Вычислим определитель
\[
\begin{vmatrix}
   \alpha_5 & \alpha_6  \\
   \lambda\alpha_6 & \alpha_5  \\
\end{vmatrix} = \alpha_5^2 - \lambda\alpha_6^2.
\]
Так как хотя бы один из скаляров $\alpha_5,\alpha_6\in \Phi$ отличен от нуля,
то указанный определитель также отличен от нуля.
Значит, любой неассоциативный подмодуль содержит векторы $e_5,e_6$.

Допустим, что $V=V_1\oplus V_2$~--- прямая сумма двух собственных подбимодулей.
По доказанному они не могут быть одновременно оба ассоциативны, либо оба неассоциативны.
Пусть $V_1$ неассоциативен, $V_2$ ассоциативен.
Тогда $e_5,e_6\in V_1$ и в силу \eqref{eq:wa} любой вектор пространства $V_2$
может быть записан в виде $\beta_2e_2+\beta_5e_5+\beta_6e_6$, где $\beta_i\in  \Phi$.
Тогда $V_2$ содержит элемент
$$(e_2+\beta_5e_5+\beta_6e_6)c =2e_1+e_4+2\beta_6e_5+\beta_5e_6,$$
что невозможно. Полученное противоречие завершает доказательство неразложимости бимодуля $V$.

\subsection{Неразложимый унитальный строго $(-1,1)$-бимодуль над полем $\Phi (t)$ рациональных функций.}

Пусть $\Phi (t)$~--- поле дробно-рациональных функций над $\Phi $;
кроме того, пусть $f,g,h,...,\xi ,\eta \in \Phi (t)$;
$V$~--- линейное пространство над $\Phi $ с базисом $x,y,z$.
Рассмотрим линейное пространство $M=V\otimes _{\Phi } \Phi (t)$ над полем $\Phi$;
будем писать $xf$ вместо $x\otimes f$.
Превратим $M$ в бимодуль над $\Phi (t)$, определив действия:
\begin{align*}
 & x\eta \cdot \xi =x(\xi \eta ),\qquad \qquad \quad \: \xi \cdot x\eta =x(\xi \eta )+y(\xi '\eta )+z(\xi ''\eta +\xi '\eta '), \\
 & y\eta \cdot \xi =\xi \cdot y\eta =y(\xi \eta ),\qquad z\eta \cdot \xi =\xi \cdot z\eta =z(\xi \eta ),
\end{align*}
где $f'$~--- производная функции $f$ по переменной $t$. Заметим, что бимодуль $M$ унитален.

Тем самым, расщепляемое нулевое расширение $S=M\oplus \Phi(t)$
является линейной алгеброй над полем $\Phi$.
Докажем, что $S$~--- строго $(-1,1)$-алгебра.
Ясно, что $y\xi ,z\xi \in Z(S)$.
Значит, $[S,S]=[M,\Phi (t)]\subseteq y\Phi (t)+z\Phi (t)\subseteq Z(S)$,
значит, $[[S,S],S]=0$.
Кроме того, $\Phi (t)$-бимодуль $M\otimes _{\Phi } \Phi (t)$ ассоциативен справа.
Следовательно, для проверки правой альтернативности алгебры $S$ достаточно понять, что
\[(f,xg,h)+(f,h,xg)=0.\]
Вычислим каждый из этих ассоциаторов:
\begin{align*}
(f,xg,h)&=(f\cdot xg)\cdot h - f\cdot x(gh) = \\
& x(fgh) + y(f'gh)+z(f"gh + f'g'h) \\
& \qquad - \left(x(fgh)+y(f'gh)+z(f''gh+f'(gh)')\right) = \\
&\qquad z(f'g'h-f'(gh)') = -z(f'gh'),
\end{align*}
\begin{align*}
(f,h,xg) &=(fh)\cdot (xg) - f\cdot (h\cdot (xg))= \\
& x(fhg) + y\left((fh)'g\right) +z\left((fh)''g + (fh)'g'\right)\\
& \qquad - f\cdot \left(x(hg) + y(h'g) + z(h''g+h'g')\right)= \\
& \qquad \qquad x(fgh) + y \left((fh)''g + (fh)'g'\right) \\
& -x(fgh) - y(f'hg) - z \left(f''hg+f'(hg)'\right) \\
&\qquad \qquad - y(fh'g) - z(fh''g) - z(fh''g+fh'g') = \\
& z(f''hg+2f'h'g+fh''g+f'hg'+fh'g'\\
& -f''hg-f'h'g-f'hg'-fh''g-fh'g') = z(f'h'g).
\end{align*}
Значит, алгебра $S$ правоальтернативна, и тем самым доказано, она строго $(-1,1)$-алгебра.
Заметим, что алгебра $S$ неассоциативна. Для этого вычислим ассоциатор $(t,t,x)$. Поскольку
\[t^{2} \cdot x=t^{2} \cdot x1=xt^{2} + 2yt + 2z,\qquad t(tx) = xt^{2} + 2yt + z,\]
то $(t,t,x)=z$.

По теореме \ref{th:1} неприводимый бинарно $(-1,1)$-бимодуль
над простой альтернативной алгеброй альтернативен,
значит, строго $(-1,1)$-бимодуль над полем ассоциативен.
Это означает, что $\Phi(t)$-бимодуль $M$ не является вполне приводимым.

Покажем, что $\Phi(t)$-бимодуль $M$ неразложим. Пусть $N$~--- подбимодуль в $M$,
содержащий элемент $n = xf + u\in N,0\ne f\in A=\Phi (t)$, где $u\in Z(M) = yA + zA$.
Тогда $n'=nf^{-1} =x+u'\in N,u'\in Z(A)$. Поскольку $[t,x]=y,$ $(t,t,x)=z$,
то $y=[t,n'],z=(t,t,n')\in N$, значит, $Z(M)\subseteq N$. Тогда $x\in N $ и $N=M$.

Отметим, что $\Phi (t)$-бимодуль $M$ не является слабо альтернативным.

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{Eil1948}
 S.~Eilenberg, Extensions of general algebras, \textit{Ann. Soc. Polonaise Math.},\textbf{21} (1948), 125--134.

\bibitem{Sch1952}
R.D.~Schafer, Representations of alternative algebras, \textit{Trans. Amer. Math. Soc.} \textbf{72} (1952), 1--17.

\bibitem{Sva1942}
N.~Svartholm, On the algebras of relativistic quantum mechanics,
\textit{Proc. of the Royal Physiographical Soc. of Lond.,}\textbf{12} (1942), 94-108.

\bibitem{Jac1954}
N.~Jacobson, Structure of alternative and Jordan bimodules, \textit{Osaka J. Math. }\textbf{6} (1954), 1--71.

\bibitem{Car1976}
R.~Carlsson, Malcev--Moduln, \textit{J. Reine Angew. Math. }\textbf{281} (1976), 199--210.

\bibitem{Kuz1968}
E.N.~Kuzmin, Maltsev Algebras and Their Representations, \textit{Algebra and Logic,} \textbf{ 7} (1968), 48--69.

\bibitem{SliShe1974}
A.M.~Slinko, I.P.~Shestakov, Right representations of algebras,\textit{Algebra and Logic}\textbf{13} (1974), 312--333.

\bibitem{Gr1980}
A.N.~Grishkov, Structure and representations of binary Lie algebras,
\textit{Izv. RAN. Mathematical Series,}\textbf{44}:5 (1980), 999--1030. (Russian)

\bibitem{MurShe2001}
L.I.~Murakami and I.P.~Shestakov, Irreducible unital right alternative bimodules, \textit{J. Algebra}, \textbf{246} (2001), 897--914.

\bibitem{Pch2006}
S.V. Pchelintsev, Irreducible binary (-1,1) bimodules over simpler finite-dimensional algebras,
\emph{Sib. Math. J.}, \textbf{47}: 5 (2006), 934--939.

\bibitem{SheTru2016}
I.~Shestakov and M.~Trushina, Irreducible bimodules over alternative algebras and superalgebras,
\emph{Trans. Amer. Math. Soc.}, \textbf{368} (7) (2016), 4657--4684.

\bibitem{BP2020}
L.R.~Borisova, S.V.~Pchelintsev, On the structure of alternative bimodules over semisimple Artinian algebras,
\emph{Izvestiya vuzov. Mathematics}, \textbf{8} (2020), 3--10. (Russian)

\bibitem{MPS2022}
L.I. Murakami, S.V. Pchelintsev, O.V. Shashkov, Right alternative unital bimodules over the matrics algebras of order $n\geq 3$,
\emph{Sib. Math. J.}, \textbf{63}: 4 (2022), 743--757.

\bibitem{PSS2021}
S.V.~Pchelintsev, O.V.~Shashkov, I.P.~Shestakov, Right alternative bimodules over Cayley algebra and coordinatization theorem,
\emph{J. Algebra}, \textbf{572} (2021), 111–-128.

\bibitem{ZSSS}
K.A. Zhevlakov, A.M. Slin’ko, I.P. Shestakov, A.I. Shirshov, Rings that are nearly associative, Pure
Appl. Math., 104, Academic Press, Inc., New York–London, 1982, 371 pp.

\bibitem{Sko1951}
L.A.~Skornyakov, Right alternative bodies, \emph{Izv. AN
THE USSR. Ser. Mat.}, \textbf{15}: 2 (1951), 177--184. (Russian)

\bibitem{Kle1953}
E.~Kleinfeld, Right alternative rings, \textit{Proc. Amer. Math. Soc.}, \textbf{4} (1953), 939--944.

\bibitem{Pch2002}
S.V. Pchelintsev, On central ideals of finitely generated binary (-1,1) algebras,
\emph{Math. Sb.}, \textbf{193}: 4 (2002), 113--134 (Russian).

\bibitem{The1975}
A.~Thedy, Right alternative rings, \textit{J. Algebra}, \textbf{37}:1 (1975), 1--43.

\bibitem{Alb1954}
A.A.~Albert, The structure of right alternative algebras, \textit{Ann. of Math.}, \textbf{59} (1954), 408--417.

\bibitem{Zor1930}
M.~Zorn, Theorie der alternative Ringe, \textit{Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universitat}, \textbf{8} (1930), 123--147.

\bibitem{Sko1984}
V.G. Skosyrskii, Right alternative algebras, \emph{Algebra and Logic},
\textbf{23}:2 (1984), 131–-136.

\bibitem{Mih1977}
I.M. Miheev, Simple right alternative rings, \emph{Algebra and Logic}, \textbf{16}:6 (1977), 456–-476.

\bibitem{Pch1976}
S.V.~Pchelintsev, Defining identities of a variety of right alternative algebras,
\emph{Mat. Zametki}, \textbf{20}: 2 (1976), 161--176 (Russian).

\bibitem{KleSmi1975}
E.~Kleinfeld and H.F.~Smith, Locally $(-1,1)$ rings, \textit{Com. Algebra}, \textbf{3} (1975), 219--237.

\bibitem{Hen1974}
I.R.~Hentzel, The characterization of $(-1,1)$-rings, \textit{J. Algebra}, \textbf{30} (1974), 236--258.

\bibitem{HenSmi1986}
 I.R.~Hentzel and H.F.~Smith, Simple locally $(-1,1)$ nil rings, \textit{J. Algebra}, \textbf{101 } (1986), 262--272.

\bibitem{Pch1976}
S.V. Pchelintsev, On a locally nilpotent radical in some classes of right alternative rings,
\emph{Sib. Math. Zh.}, \textbf{17}: 2 (1976), 340--360 (Russian).


\end{thebibliography}

\end{document}
