\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}

\def\udcs{512.54} %Here the author places classificators of the paper according to Russian classification system
\def\mscs{20D60, 05C25} %Here the author places  classificators according to the AMS classification list.
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Утверждение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]  %Headings in Russian
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 12, стр. 144--144 (2015) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}} %Volume, pages in Russian,
                                                                                    %filled by Editorial board
     \newline
         {\rm\small DOI~10.17377/semi.2015.12.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}
\renewcommand{\proofname}{Proof.}
\renewcommand{\figurename}{Fig.}


\thispagestyle{empty}

\title[Одно следствие описания конечных групп]{Одно следствие описания конечных \\
групп без элементов порядка 6}

\author{{А.С. Кондратьев, М.С. Нирова}}%

\address{Anatoly Semenovich Kondrat'ev
\newline\hphantom{iii} N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of UB RAS,
\newline\hphantom{iii} S. Kovalevskaya St., 16,
\newline\hphantom{iii} 620108, Yekaterinburg, Russia
\newline\hphantom{iii} Ural Federal University, Ural Matematical Center,
\newline\hphantom{iii} Mira St., 19,
\newline\hphantom{iii} 620002, Yekaterinburg, Russia}


\email{a.s.kondratiev@imm.uran.ru}%

\address{Marina Sefovna Nirova
\newline\hphantom{iii} Kabardino-Balkarian State University named after H.M. Berbekov,
\newline\hphantom{iii} Chernyshevsky St., 175,
\newline\hphantom{iii} 360004, Nalchik, Russia}
\email{nirova\_m@mail.ru}%

\thanks{\sc Кондратьев А.С., Нирова М.С., Одно следствие описания конечных групп без элементов порядка 6}
\thanks{\copyright \ 2023 Кондратьев А.С., Нирова М.С.}
\thanks{\rm Исследование первого автора  выполнено при поддержке министерства науки и высшего
образования Российской Федерации в рамках проекта "Уральский математический центр"\, (соглашение № 075-02-2023-935).}
\thanks{\it Received  , published  }%

\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. }
Let $G$ be a finite group. The set of all prime divisors of the order of $G$ is denoted by $\pi(G)$.
The Gruenberg-Kegel graph (the prime graph) $\Gamma(G)$ of $G$ is defined as the graph with the vertex set $\pi(G)$
in which two different vertices $p$ and $q$ are adjacent if and only if  $G$ contains an element of order $pq$. If
the order of $G$ is even, then $\pi_1(G)$ denotes the connected component of $\Gamma(G)$ containing $2$. It is actual
the problem of describing finite groups with disconnected Gruenberg-Kegel graphs. In the present article, all finite 
non-solvable  groups $G$ with $3 \in \pi(G)\setminus \pi_1(G)$ are determined.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} finite group, non-solvable  group, Gruenberg-Kegel graph.
 \end{quote}
}


\section{Введение}

Пусть $G$~--- конечная группа. Через $\pi(G)$ обозначается множество всех простых делителей порядка группы $G$. Граф
Грюнберга~--- Кегеля (граф простых чисел) $\Gamma(G)$ группы~$G$ определяется как граф с множеством
 вершин $\pi(G)$, в котором две различные вершины $p$ и $q$ смежны тогда и только тогда, когда $G$ содержит элемент
 порядка $pq$. Обозначим число компонент связности графа $\Gamma(G)$ через $s(G)$.  Если порядок группы $G$ четен, то
 $\pi_1(G)$ обозначает связную компоненту графа $\Gamma(G)$, содержащую 2.

В рамках общей задачи изучения конечных групп по свойствам их графов Грюнберга~--- Кегеля (см. \cite{kondr2}) наше внимание
прежде всего привлекает более подробное изучение класса конечных групп с несвязным графом Грюнберга~--- Кегеля.

Это мотивировано следующим. Указанный класс широко обобщает класс конечных групп Фробениуса,
что сразу видно из известной общей структурной теоремы Грюнберга~--- Кегеля о конечных группах с несвязным графом
Грюнберга~--- Кегеля (см. предложение 1 ниже). Роль же групп Фробениуса в теории конечных групп совершенно исключительна.

Заметим также, что класс конечных групп с несвязным графом Грюнберга~--- Кегеля совпадает с классом конечных групп, имеющих
изолированную подгруппу (т.\,е. собственную подгруппу, содержащую централизатор каждого своего неединичного элемента),
который изучался многими авторами (см., например, \cite{arh}).

Конечные простые группы с несвязным графом Грюнберга~--- Кегеля были классифицированы (по модулю классификации конечных 
простых групп) в работах Уильямса \cite{will}, А.С. Кондратьева \cite{kondr1} и Ииери и Ямаки \cite{iy}. Они составляют 
довольно узкий подкласс всех конечных простых групп, однако включают многие ``малые'' в различных смыслах группы, часто 
возникающие  в исследованиях. Например, все конечные простые группы исключительного лиева типа, кроме групп $E_7(q)$ при 
$q>3$, а также простые группы из известного ``Атласа конечных групп'' \cite{atlas}, кроме группы $A_{10}$, имеют несвязный 
граф Грюнберга~--- Кегеля. Эта классификация была применена Лучидо \cite{luch} для получения аналогичной классификации для 
всех конечных почти простых групп.

В связи с теоремой Грюнберга~--- Кегеля и классификации конечных почти простых групп с несвязным графом
Грюнберга~--- Кегеля естественно возникает следующая проблема.
\medskip

{\bf Проблема.} {\it Описать строение конечных неразрешимых групп с несвязным графом Грюнберга~--- Кегеля
и нетривиальной подгруппой Фиттинга.}
\medskip

Эта проблема во многом сводится к изучению модулярных представлений конечных простых групп (подробнее см. в \cite{kondrkh}).
По этой важной проблеме получены только некоторые частные результаты, в общем случае она далека от решения.

В настоящей статье, используя описание конечных групп без элементов порядка 6 (см. предложение 4), мы получаем следующий
полезный для исследования указанной проблемы результат.
\medskip

{\bf Теорема.} {\it
Пусть $G$~--- конечная неразрешимая группа. Тогда $3 \in \pi(G)\setminus \pi_1(G)$ если и только если группа $G$ изоморфна 
одной из следующих групп: $L_2(2^n)$, $L_2(3^n)$, $PGL_2(3^n)$, $L_2(3^n).2_3$ $($$n$ четно$)$, 
$L_2(q)~(q\equiv\pm 5~(mod~12))$, $L_3(4)$, расширение нетривиальной элементарной абелевой $2$-группы $E$ посредством 
группы $L_2(2^n)$, где $E$ как $G/E$-модуль изоморфна прямой сумме естественных $GF(2^n)L_2(2^n)$-модулей.}
\medskip

\section{Обозначения и вспомогательные результаты}

Наши обозначения и терминология, в основном, стандартны, их можно найти в \cite{atlas, gor, gls}.

Если группа $G$ действует на группе $H$, то мы будем говорить, что неединичный элемент $g\in G$ действует на $H$
{\it свободно} (или {\it без неподвижных точек}), если $C_H(g)=1$. Если $n$~--- четное натуральное число, то через 
$L_2(3^n).2_3$ обозначается группа $L_2(3^n)\langle df_1\rangle$, где $PGL_2(3^n)=L_2(3^n)\langle d\rangle$ и $f_1$~---
инволютивный полевой автоморфизм группы $L_2(3^n)$.

Рассмотрим некоторые результаты, которые используются в доказательстве теоремы.
\medskip

{\bf Предложение 1} $($теорема Грюнберга~---Кегеля \cite[теорема A]{will}$)$.
{\it Пусть $G$~--- конечная группа с несвязным графом Грюнберга--Кегеля. Тогда верно одно из следующих утверждений:

{\rm (а)} $G$~--- группа Фробениуса;

{\rm (б)} $G$~--- $2$-фробениусова группа, т.\,е. $G=ABC$, где $A$,~$AB$~--- нормальные подгруппы группы $G$, а $AB$,
$BC$~--- группы Фробениуса с ядрами $A$,~$B$ и дополнениями $B$,~$C$ соответственно;

{\rm (в)} $\overline G:=G/F(G)$~--- почти простая группа с цоколем $T$, для которого $s(T)\geq s(G)$ и
$\pi(F(G))\cup\pi(\overline G/T)\subseteq \pi_1(G)$.}
\medskip

Предположим, что выполняется утверждение (в) предложения 1 и $F(G)\not=1$. Тогда любой элемент простого порядка из
$\pi(G)\setminus\pi_1(G)$ группы $G$ действует свободно на $F(G)$. Пусть $K$ и $L$~--- два соседних члена
главного ряда группы $G$ ($K<L$), содержащиеся в $F(G)$. Тогда (главный) фактор $V=L/K$ группы $G$ яляется элементарной
абелевой $p$-группой для некоторого простого числа~$p\in\pi_1(G)$ (мы называем его {\it $p$-главным фактором}
группы $G$). Подгруппа $V$ содержится в центре группы $F(G)/K$, так как $V$~--- минимальная нетривиальная нормальная
подгруппа в $G/K$, а группа $F(G)/K$ нильпотентна. Поэтому  $F(G)/K\leq C_{G/K}(V)$. Если  $F(G)/K < C_{G/K}(V)$, то
фактор-группа группы $C_{G/K}(V)$  по ее нормальной подгруппе $F(G)/K$ изоморфна подгруппе группы $\overline G$,
содержащей ее цоколь $T$, что противоречит несвязности графа $\Gamma(G)$. Таким образом, $C_{G/K}(V)=F(G)/K$ и,
следовательно, $V$ можно рассматривать как точный неприводимый $GF(p)\overline G$-модуль, причем каждый
элемент простого порядка из $\pi(\overline G)\setminus\pi_1(G)$ группы $\overline G$ действует свободно на $V$.
\medskip

{\bf Предложение 2} $($\cite[предложение 3.2]{stew}$)$.
 {\it   Пусть $G$ --- конечная группа, $H \trianglelefteq  G$, $G / H \cong L_2(q)$, где $q > 5$ нечетно и $C_H(t) = 1$
     для некоторого элемента $t$ порядка $3$ из $G \setminus H$. Тогда $H = 1$.}
\medskip

{\bf Предложение 3} $($\cite[теорема 8.2]{higman}$)$.
{\it    Пусть $G$ --- конечная группа, $1 \ne H \trianglelefteq G$ и $G / H \cong L_2(2^n)$, где $n \ge 2$. Предположим,
    что $C_H(t) = 1$ для некоторого элемента $t \in G \setminus H$ порядка $3$. Тогда $H = O_2(G)$ и $H$ является
    прямым произведением минимальных нормальных подгрупп порядка $2^{2n}$ в $G$, каждая из которых как $G / H$-модуль
    изоморфна естественному $GF(2^n)SL_2(2^n)$-модулю.}
\medskip

{\bf Предложение 4} $($\cite[теорема 2]{kondrmin}$)$.
{\it  Пусть $G$~--- конечная неразрешимая группа и $3$ делит $|G|$. Тогда $G$ не содержит элементов порядка
$6$ если и только если группа $O^{\{2,3\}'}(G/O_{\{2,3\}'}(G))$ изоморфна одной из следующих групп: $L_2(2^n)$,
$L_2(3^n)$, $PGL_2(3^n)$, $L_2(3^n).2_3$ $($$n$ четно$)$, $L_2(q)~(q\equiv\pm 5~(mod~12))$,
$L_3(2^n)$ $(n\geq 2,~(2^n-1)_3\leq 3)$, $U_3(2^n)~(n\geq 2,~((2^n+1)_3\leq 3)$, расширение нетривиальной элементарной
абелевой $2$-группы $E$ посредством группы $L_2(2^n)$, где $E$ как $G/E$-модуль изоморфна прямой сумме естественных
$GF(2^n)L_2(2^n)$-модулей.}
\medskip

\section{Доказательство теоремы}

Докажем необходимость.
Пусть $G$~--- конечная неразрешимая группа и $3 \in \pi(G)\setminus \pi_1(G)$. Тогда в $G$ нет элементов порядка 6 и по
предложению 4 группа $H:=O^{\{2,3\}'}(G/O_{\{2,3\}'}(G))$ изоморфна одной из следующих групп: $L_2(2^n)$,
$L_2(3^n)$, $PGL_2(3^n)$, $L_2(q)~(q\equiv\pm 5~(mod~12))$, $L_3(2^n)~((2^n-1)_3\leq 3)$, $U_3(2^n)$~($3\mid (2^n-1)$ или
$(2^n+1)_3=3)$, расширение нетривиальной элементарной абелевой $2$-группы $E$ посредством группы $L_2(2^n)$, где $E$ как
$G/E$-модуль изоморфна прямой сумме естественных $GF(2^n)L_2(2^n)$-модулей.

Поскольку $3 \in \pi(G)\setminus \pi_1(G)$, граф $\Gamma(G)$ несвязен.
По предложению 1 выполняется одно из утверждений (а), (б) или (в) этого предложения. 

Если выполняется утверждение (а), то ввиду \cite[теорема 10.3.1, замечание на стр. 377]{gor} имеем $3\in \pi_1(G)$, что 
противоречит условию.

Пусть выполняется утверждение (б). Тогда $G=ABC$, где $A$,~$AB$~--- нормальные подгруппы группы $G$, а $AB$,
$BC$~--- группы Фробениуса с ядрами $A$,~$B$ и дополнениями $B$,~$C$ соответственно. Ввиду свойств групп Фробениуса
(см. например, \cite[теорема 10.3.1]{gor}) подгруппа $A$ нильпотентна, а подгруппа $B$ циклическая и, следовательно,
группа $Aut(B)$ абелева. Поскольку подгруппа $C$ изоморфна подгруппе из $Aut(B)$, она абелева. Получаем, что группа 
$G$ разрешима, что противоречит условию.

Итак, выполняется утверждение (в). Тогда $O_{\{2,3\}'}(G)\leq S(G)=F(G)$,
$\overline G:=G/F(G)$~--- почти простая группа с цоколем $T$ и $\pi(F(G))\cup\pi(\overline G/T\subseteq \pi_1(G)$.
Ясно, что $3 \in \pi(T)$ и элемент порядка 3 из $T$ действует свободно на $F(G)$.

Предположим, что $O_{\{2,3\}'}(G)\not=1$. Если $T\cong L_2(q)$ для некоторого $q$, то ввиду предложений 2 и 3 имеем 
$O_{\{2,3\}'}(G))=1$; противоречие с предположением. Поэтому $T\cong L_3^{\epsilon}(q)$, где $\epsilon\in\{+,-\}$ и 
$q=2^n$ для некоторого $n\geq 2$. Ввиду \cite[табл. 8.3, 8.5]{bray} группа $T$ содержит подгруппу, изоморфную $L_2(q)$, и
мы приходим к противоречию как выше.

Таким образом, $O_{\{2,3\}'}(G)=1$ и, следовательно, $F(G)=O_2(G)$ и $H=O^{\{2,3\}'}(G)$. 

Предположим, что  $T\cong L_3^{\epsilon}(2^n)$, где $\epsilon\in\{+,-\}$ и $n\geq 2$. Тогда $F(G)=O_2(G)=1$ и ввиду 
\cite{kondr1} либо $3\in\pi_1(T)=\pi(2(2^{2n}-1))\subseteq\pi_1(G)$, либо $T\cong L_3(4)$. Первый случай противоречит 
условию. Поэтому $T\cong L_3(4)$. Поскольку $Out(T)$ является $\{2,3\}$-группой (см. \cite{atlas}), имеем $G=H=T$, 
т. е. выполняется утверждение теоремы.

Итак, можно считать, что $T\cong L_2(q)$ для некоторого $q$. Осталось доказать, что $G=H$.

Предположим, что $H<G$. Ввиду \cite[теорема 2.5.12]{gls} группа  $\overline G$ изоморфна подгруппе из 
$Aut(T)=Inndiag(T)\rtimes F$, где $F$~--- циклическая группа полевых автоморфизмов группы
$T\cong L_2(q)$ (мы отождествляем группы $T$ и $Inn(T)$). Поскольку $\overline G/H$~--- нетривиальная $\{2,3\}'$-группа,
группа $\overline G$ содержит элемент $x$ простого порядка $p>3$, индуцирующий на $T$
нетривиальный полевой автоморфизм. Но ввиду \cite[теорема 4.9.1]{gls} централизатор $C_T(x)$ содержит подгруппу, 
изоморфную $L_2(\sqrt[p]{q})$. Ясно, что порядок этой подгруппы делится на 6 и, следовательно, $3 \in \pi_1(G)$. Полученное 
противоречие доказывает, что $H=G$ и, следовательно, выполняется условие необходимости теоремы.

Докажем достаточность. Пусть $G$~--- группа из заключения теоремы. Ясно, что  $3 \in \pi(G)$. По предложению 4
в $G$ нет элементов порядка 6. Теперь условие $3 \in \pi(G)\setminus \pi_1(G)$ легко следует из вида компонент связности 
несвязного графа Грюнберга--Кегеля группы $G$ (см. \cite{will, kondr1,luch}). Достаточность доказана.

Теорема доказана.
\bigskip
\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{arh}
Z. Arad, W. Herfort, {\it Classification of finite groups with a $CC$-subgroup}, Comm. Algebra,
\textbf{32}:6 (2004), 2087--2098.

\bibitem{bray}
J.N. Bray, D.F. Holt, C.M. Roney-Dougal, {\it The maximal subgroups of low-dimensional finite classical groups},
Cambrige University Press, Cambridge, 2013.

\bibitem{atlas}
J.H. Conway, R.T. Curtis., S.P. Norton, R.A. Parker, R.A. Wilson, {\it Atlas of finite groups},
Clarendon Press, Oxford, 1985.

\bibitem{gor}
D. Gorenstein, {\it Finite groups}, Harper and Row, New York, 1968.

\bibitem{gls}
D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon,
{\it The classification of the finite simple groups. Number~$3$}, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998.

\bibitem{higman}
G. Higman, {\it Odd characterizations of finite simple groups: lecture notes}, University of Michigan, Michigan, 1968.

\bibitem{iy}
N. Iiyori, H. Yamaki, {\it Prime graph components of the simple groups of Lie type
over the fields of even characteristic}, J. Algebra, \textbf{155}:2 (1993), 335--343; Corrigenda,
J. Algebra, \textbf{181}:2 (1996), 659.

\bibitem{kondr1}
A.S. Kondrat'ev, {\it Prime graph components of finite simple groups},
Math. USSR Sb., \textbf{67}:1 (1990), 235--247.

\bibitem{kondr2}
A.S. Kondrat'ev, {\it  Finite groups with given properties of their prime graphs},
Algebra and Logic, \textbf{55}:1 (2016), 77--82.

\bibitem{kondrkh}
A.S. Kondrat'ev, I.V. Khramtsov, {\it The complete reducibility of some $GF(2)A_7$-modules},
Труды Института математики и механики УрО РАН, \textbf{18}:3 (2012),
Proc. Steklov Inst. Math., {\bf283} (2013), Suppl. 1, S86--S90.

\bibitem{kondrmin}
A.S. Kondrat'ev, N.A. Minigulov, {\it Finite groups without elements of order six},
Math. Notes, \textbf{104}:5 (2018), 696--701.

\bibitem{luch}
M.S. Lucido, {\it Prime graph components of finite almost simple groups},
{\it Rend. Sem. Mat. Univ. Padova}, {\bf 102} (1999), 1--22; {\it Rend.
Sem. Mat. Univ. Padova}, {\bf 107} (2002), 189--190.

\bibitem{stew}
W.B. Stewart, {\it Groups having strongly self-centralizing $3$-centralizers}, Proc. London Math. Soc. (3),
\textbf{26}:4 (1973), 653--680.

\bibitem{will}
J.S. Williams, {\it Prime graph components of finite groups}, J. Algebra, \textbf{69}:2 (1981), 487--513.
\end{thebibliography}
\end{document}


\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{???.??} %¦фхё№ ртЄюЁ юяЁхфхы хЄ L-¦ ётюхщ ЁрсюЄv
\def\mscs{??X??} %¦фхё№ ртЄюЁ юяЁхфхы хЄ ъырёёшЇшърЄюЁv AMS ётюхщ ЁрсюЄv
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Tхььр}
\newtheorem{theorem}{TхюЁхьр}
\newtheorem{definition}{+яЁхфхыхэшх}
\newtheorem{corollary}{TыхфёЄтшх}
\newtheorem{proposition}{¦Ёхфыюцхэшх}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{TL+L¦T¦L+ ¦T+¦T¦+==-+}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{¦LT+¦LTL++T¦L+ L¦T+TTL-}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small LэёЄшЄєЄ ьрЄхьрЄшъш шь. T.T.Tюсюыхтр T+ ¦L=}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Tюь 20, ¦ 2, ёЄЁ. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small L-¦ \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
        {\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc + яЁюсыхьрї ъюььєЄрЄштэющ рыухсЁv]{\large + эхъюЄюЁvї яЁюсыхьрї ъюььєЄрЄштэющ рыухсЁv}
\author[L.L. LTL=+T]{{\bf \large \textsc{L.L. Lтрэют}}\protect\orcidicon{0000-0001-8827-2630}\\ \\
\textit{¦ЁхфёЄртыхэю} \textsc{¦.¦. ¦хЄЁютvь}
%\textit{(чряюыэ хЄё  ЁхфръЄюЁюь)}
}%
\address{Ivan Ivanovich Ivanov  % ¦юэЄръЄэvх фрээvх тёхї ртЄюЁют ш ьхёЄю ЁрсюЄv єърчvтр¦Єё  Єюы№ъю эр рэуышщёъюь  чvъх
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{iiivanov@math.nsc.ru}}%

\thanks{\sc Ivanov, I.I.,
On some problems of commutative algebra}
\thanks{\copyright \ 2023 Lтрэют L.L}
\thanks{\rm ¦рсюЄр яюффхЁцрэр ¦LLL (уЁрэЄ 03-01-11111)}
\thanks{\it ¦юёЄєяшыр 1  этрЁ  2023 у., юяєсышъютрэр 31 фхърсЁ  2023 у.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} We discuss some problems of commutative
algebra.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} commutative group, algebra.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Tтхфхэшх}

T фрээющ ёЄрЄ№х ьv юсёєцфрхь яЁюсыхьv \cite{2}. ¦єёЄ№
\begin{equation}\label{f1}
 A=B.
\end{equation}

\begin{theorem}
LюЁьєышЁютър ЄхюЁхьv.
\end{theorem}

\begin{proof}
TхъёЄ фюърчрЄхы№ёЄтр. ¦рёёьюЄЁшь єЁртэхэшх \eqref{f1}.
\end{proof}



\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Tёvыъш эр ышЄхЁрЄєЁє яЁштюф Єё  Єюы№ъю эр рэуышщёъюь  чvъх (фрцх хёыш є шёЄюўэшър эхЄ рэуыю 
чvўэющ тхЁёшш).


\bibitem{1} D.G. Northcott,
\href{https://doi.org/10.1017/CBO9780511565908}{\it Ideal Theory}, Cambridge University Press, Cambridge, 1953.

\bibitem{2} I.I. Ivanov,
\href{https://doi.org/10.1002/cpa.20282}{\it Some properties of commutative algebras}, Siberian Electronic
Mathematical Reports, {\bf 1} (2004), 142--143.

\bibitem{3} A.V. Tetenov, M. Samuel, D.A. Vauilin,
\href{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-4-281-291}{\it On dendrites generated by polyhedral systems and their 
ramification points}, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, \textbf{23}:4 (2017), 281--291.

\end{thebibliography}
\end{document}




