\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}    {\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{512.54} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{20H25} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\newcommand{\Z}[1]{\mathbb{Z}_{#1}}
\newcommand{\Zn}{\Z{n}}
\newcommand{\GZ}[1]{\mathbb{Z}^*_{#1}}
\newcommand{\GZn}{\GZ{n}}
\newcommand{\setdefine}[2]{\left\{
	\left.
	#1
	\right\vert
	#2
	\right\}}

\newcommand{\SM}[1]{SM_2(#1)}
\newcommand{\SGL}[1]{SGL_2(#1)}
\newcommand*{\duMatrix}[2]{\left(
	\begin{smallmatrix}
		#1 & #2 \\
		#2 & #1
	\end{smallmatrix}
	\right)}
\newcommand*{\bigDuMatrix}[2]{\left(
	\begin{matrix}
		#1 & #2 \\
		#2 & #1
	\end{matrix}
	\right)}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
{
	\vbox{
		\noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
				{\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
				{\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
				{\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
				{\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
				\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
				\vspace*{-3mm}
				%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
				%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
			\end{center}
		}
		\vspace{-1mm}
		\noindent
		\begin{tabular}{c}
			\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
			\hline\hline
		\end{tabular}
		
		\vspace{3mm}
		{\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--144 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
		\newline
		{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
	}%\vbox
}



\begin{document}
	
	\renewcommand{\refname}{References}
	
	
	\thispagestyle{empty}
	
	\title[Группа обратимых центросимметричных $ 2 \times 2 $ матриц над $ \Zn $]{\large Описание строения группы обратимых центросимметричных двумерных матриц над $ \Zn $}
	\author{{\bf \large \textsc{К.С. Зюбин}}\protect\orcidicon{0009-0004-5175-263X}\\ \\
		\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым} \textit{(заполняется редактором)}
	}%
	\address{Konstantin Sergeevich Zyubin  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
		\newline\hphantom{iii} Prostorny, Luchistaya, 5,
		\newline\hphantom{iii} 634045, Tomsk, Russia}%
	\email{\textcolor{blue}{konstantin.zyubin@gmail.com}}%
	
	\thanks{\sc Zyubin, K.S.,
		The Description of the Group of Invertible Centrosymmetric 2-by-2 Martices over $ \Zn $}
	\thanks{\copyright \ 2023 Зюбин К.С}
	\thanks{\it Поступила 16 июля 2023 г., опубликована \ldots \ldots 2023 г.}%
	
	
	\semrtop \vspace{1cm}
	\maketitle {\small
		\begin{quote}
			\noindent{\bf Abstract:} The public-key cryptosystem MMMC1 proposed by S.~Rososhek creates keys using invertible centrosymmetric 2-by-2 matrices over the modulo ring:
			\begin{equation*}
			\bigDuMatrix{a}{b}
			\text{ where } a, b \in \Zn \text{ and } a^2-b^2 \in \GZn.
			\end{equation*}
			
			On the 13th School-Conference on Group Theory (2020) dedicated to V. A. Belonogov’s 85th birthday, V.~Romankov asked to describe the structure of this matrix group and find the minimal number of its generators.
			This paper gives the required description and minimal number of generators.\medskip
			
			\noindent{\bf Keywords:} centrosymmetric 2-by-2 matrices, split complex numbers.
		\end{quote}
	}
	
	\bigskip
	
	\section{Введение}
	
	% удалить?
	Всюду в статье $ R $ обозначает ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, 
	а $ R^* $ --- его мультипликативную группу. Кольцо вычетов по модулю $ n $ обозначается $ \Zn $.
	
	Для кольца $ R $ обозначим через $ \SM{R} $ множество центросимметричных $ 2~\times~2$ матриц:
	$$ \SM{R} = \setdefine{\bigDuMatrix{a}{b}}{a, b \in R}.$$
	
	Множество $ \SM{R} $ является кольцом относительно сложения и умножения матриц.
	Обозначим группу мультипликативно обратимых элементов этого кольца через~$ \SGL{R}$. Тогда
	$$ \SGL{R} = \SM{R}^* = \setdefine{\bigDuMatrix{a}{b}}{a, b \in R, \ a^2 - b^2 \in R^*}.$$
	
	Элементы группы $ \SGL{\Zn} $ используются для создания ключей в сис\-теме шифрования с открытым ключом MMMC1 из статьи С.~К.~Росошека \cite{Rososhek}.
	На школе-конференции по теории групп (2020), посвящённой 85-летию В.~А.~Белоногова, В.~А.~Романьковым был поставлен вопрос об описании строения этой группы матриц и нахождении минимального числа её образующих \cite[Вопрос 14]{Problem}.
	
	Следующая теорема даёт представление группы $ \SGL{\Zn} $ в виде прямого произведения мультипликативных групп вида $ \GZ{p^k} $.
	
	\begin{theorem} \label{main}
		Пусть $ n = 2^{k}p_1^{k_1}\ldots p_m^{k_m} \ (k \geqslant 0, k_i \geqslant 1)$ --- разложение натурального числа $ n > 1 $ в произведение целых степеней различных простых чисел. Тогда
		
		Если $ k = 0 $, то 
		$$ \SGL{\Zn} \cong (\GZ{p_1^{k_1}} \times \ldots \times \GZ{p_m^{k_m}})^2 .$$
		\indent Если $ k \geqslant 1 $, то
		$$ \SGL{\Zn} \cong \GZ{2^{k}} \times \GZ{2^{k + 1}} \times (\GZ{p_1^{k_1}} \times \ldots \times \GZ{p_m^{k_m}})^2 .$$
	\end{theorem}
	\bigskip
	
	\noindent В свою очередь, группы $ \GZ{p^k} $ описывает известная
	
	\begin{theorem} \emph{\cite[Chapter 9, \S 2]{kostrikin} } \label{Z*}
		Справедливы изоморфизмы
		$$ \GZ{2} \cong \Z{1}; \quad 
		\GZ{4} \cong \Z{2}; \quad 
		\GZ{2^{k+2}} \cong \Z{2^{k}} \times \Z{2}; \quad
		\GZ{p^{k}} \cong \Z{p^k - p^{k - 1}}, $$
		где $ p > 2 $ --- простое, $ k $ --- натуральное.
	\end{theorem}
	\bigskip
	
	Таким образом, в совокупности теоремы \ref{main} и \ref{Z*} позволяют описать группу $ \SGL{\Zn} $ как прямое произведение циклических групп.
	\bigskip
	
	Минимальное число образующих группы $ \SGL{\Zn} $ устанавливает
	
	\begin{theorem} \label{generators}
		Пусть $ n = 2^{k}p_1^{k_1}\ldots p_m^{k_m} \ (k \geqslant 0, k_i \geqslant 1)$ --- разложение натурального числа $ n > 1 $ в произведение целых степеней различных простых чисел.
		Тогда минимальное число образующих группы $ \SGL{\Zn} $ равно
		
		$ 2m $ при $ k = 0 $,
		
		$ 2m + 1 $ при $ k = 1 $,
		
		$ 2m + 3 $ при $ k = 2 $,
		
		$ 2m + 4 $ при $ k > 2 $.
	\end{theorem}
	\bigskip
	
	Параграф \ref{times} позволяет свести доказательство теоремы \ref{main} к рассмотрению двух случаев, 
	когда $ n $ --- степень нечётного простого и когда $ n $ --- степень~двойки.
	Эти случаи разбираются в параграфах \ref{odd_s} и \ref{twopower_s}, соответственно. 
	Доказательство теоремы \ref{main} приведено в параграфе \ref{proof}, 
	а доказательство теоремы~\ref{generators}~---~в~параграфе~\ref{genproof}. 
	
	
	\section{Предварительные результаты} \label{times}
	
	%Теорема \ref{main} будет вытекать из доказанных ниже лемм \ref{coprime}, \ref{odd} и теоремы \ref{2^k}.
	%Вначале установим некоторые общие результаты о кольце $ \SM{R} $ и следствия из них. 
	
	\begin{theorem} \label{RST}
		Пусть $ R, S, T $ --- кольца и $ R \cong S \times T $. Тогда $$ \SM{R} \cong \SM{S} \times \SM{T} .$$
	\end{theorem}
	
	\begin{proof}
		Пусть $ f $ --- изоморфизм из $ R $ в $ S \times T $ и~$f(a)~=~(\bar{a}, \bar{\bar{a}}) $. 
		Отображение $ g $, 
		задающееся по правилу $ g(\duMatrix{a}{b})=\left(\duMatrix{\bar{a}}{\bar{b}},
		\duMatrix{\bar{\bar{a}}}{\bar{\bar{b}}}\right) $ 
		даёт искомый изоморфизм из $ \SM{R} $ в $\SM{S}~\times~\SM{T} $. 
	\end{proof}
	
	\begin{corollary} \label{coprime}
		Если $ n = m_1m_2 $, где $ m_1, m_2 $  --- натуральные большие 1 и $ (m_1, m_2) = 1 $, то $$ \SGL{\Z{m_1m_2}} \cong \SGL{\Z{m_1}} \times \SGL{\Z{m_2}}. $$
	\end{corollary}
	
	\begin{proof}
		Поскольку числа $ m_1 $ и $ m_2 $ взаимно просты, то \cite[Chap\-ter 9, \S 2]{kostrikin} имеет место изоморфизм 
		$ \Z{m_1m_2}~\cong~\Z{m_1}~\times~\Z{m_2}$ .
		Тогда по теореме \ref{RST} имеем изоморфизм колец:
		$$ \SM{\Z{m_1m_2}} \cong \SM{\Z{m_1}} \times \SM{\Z{m_2}}.$$	
		Отсюда следует изоморфизм для соответствующих мультипликативных групп:
		$$ \SGL{\Z{m_1m_2}} \cong  \SGL{\Z{m_1}} \times \SGL{\Z{m_2}}.$$
	\end{proof}
	
	%\textcolor{magenta}{ЗДЕСЬ ДОЛЖЕН БЫТЬ НОРМАЛЬНЫЙ ТЕКСТ ДЛЯ ПЕРЕХОДЯ К СЛЕДУЮЩИМ ТЕОРЕМАМ}
	Следствие \ref{coprime} позволяет свести изучение строения группы $ \SGL{\Zn} $ к рассмотрению случая, 
	когда $ n = p^k $ является степенью нечётного простого числа 
	и когда $ n = 2^k $ --- степень двойки. 
	Описание строения группы $ \SGL{\Zn} $ для степени нечётного простого даётся в параграфе~\ref{odd_s}. 
	Случай степени двойки будет разобран в параграфе~\ref{twopower_s}.
	
	
	
	\section{Строение $ \SGL{\Z{p^k}} $ для нечётного простого $ p $} \label{odd_s}
	
	\begin{theorem} \label{2^-1}
		Пусть $ R $ --- кольцо, в котором 2 является обратимым элементом. Тогда $$ \SM{R} \cong R \times R.$$
	\end{theorem}
	
	\begin{proof}
		Искомый \ \ изоморфизм \ \ задаётся \ \ отображением \ \  $ f \colon \duMatrix{a}{b} \mapsto (a + b, a - b) $. Гомоморфность отображения $ f $ проверяется непосредственными выкладками. Проверим, что $ f $ инъективно и сюръективно.
		
		%Докажем, что гомоморфизм $ f $ инъективен.
		Пусть $ \duMatrix{a}{b}, \duMatrix{c}{d} \in \SM{R} $ и
		$ f\left(\duMatrix{a}{b}\right) = f\left(\duMatrix{c}{d}\right) $. 
		Тогда по построению $ f $ имеем $ a + b = c + d $ и $ a - b = c - d $. Сложив оба равенства, получаем $ 2a = 2c $.
		По условию элемент $ 2 $ обратим в кольце $ R $. Следовательно, $ a = c $. Аналогично, $ b = d $. Таким образом, $ \duMatrix{a}{b} = \duMatrix{c}{d} $ и инъективность $ f $ доказана.
		
		Пусть $ (x, y) \in R \times R $. 
		Его прообразом в $ \SM{R} $ 
		является матрица $ \duMatrix{2^{-1}(x + y)}{2^{-1}(x - y)} \in \SM{R}$.
		Таким образом, $ f $ сюръективно.
		
		Итак, отображение $ f $ является изоморфизмом.
	\end{proof}
	
	Из теоремы $ \ref{2^-1} $ вытекает
	
	\begin{corollary} \label{odd}
		Если $ p $ --- нечётное простое число, то $$ \SGL{\Z{p^k}} \cong \GZ{p^k} \times \GZ{p^k}.$$
	\end{corollary}
	
	
	
	\section{Строение $ \SGL{\Z{2^k}} $} \label{twopower_s}
	
	%Настоящий параграф посвящён описанию группы $ \SGL{\Z{2^k}} $. 
	
	Основным результатом параграфа является 
	
	\begin{theorem} \label{2^k}
		Пусть $ k $ --- натуральное. Тогда $$ \SGL{\Z{2^k}} \cong \GZ{2^k} \times \GZ{2^{k + 1}}  .$$
	\end{theorem}
	\bigskip
	
	Разбор этого случая будет удобнее вести в терминах двойных чисел определяемых ниже. 
	
	Рассмотрим классы смежности многочленов с коэффициентами из $ R $ по модулю многочлена~$ x^2~-~1 $, то есть факторкольцо $ R[x]/\langle x^2-1 \rangle $. Множество таких классов также называется двойными числами над $ R $ и обозначается $ R[j] $, где~$ j $~---~это класс сравнимости многочлена $ x $. Каждый элемент $ R[j] $ может быть представлен в виде $ a + bj $, где $ a, b \in R $. При этом $ j^2 = 1 $, а сложение и умножение двойных чисел выполняются по формулам:
	$$(a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j,$$
	$$(a + bj) \times (c + dj) = (ac + bd) + (ad + bc)j.$$
	\smallskip
	
	Из данных определений вытекает
	
	\begin{theorem} \label{Zj}
		Отображение $ f \colon \SM{R} \longrightarrow R[j] $ \ \ заданное \ \ формулой \ \ $ f(\duMatrix{a}{b})=a+bj$, где~$a, b~\in~R$, является изоморфизмом колец.
	\end{theorem}
	
	%Обозначим через $ \Zn[j]^* $ группу обратимых по умножению двойных чисел.
	
	\begin{corollary} \label{Zj*}
		Группы $ \SGL{\Zn} $ и $ \Zn[j]^* $ изоморфны.
	\end{corollary}
	
	\begin{corollary} \label{a^2-b^2}
		Элемент $ a+bj $ обратим в $ \Zn[j] $ тогда и только тогда, когда элемент $ a^2-b^2 $ обратим  в $ \Zn $.
	\end{corollary}
	
	Для доказательства теоремы \ref{2^k} установим следующие утверждения.
	
	\begin{lemma} \label{3+2j}
		Порядок элемента $ 3 + 2j $ из группы $ \Z{2^k}[j]^* $ равен $ 2^{k - 1} $.
	\end{lemma}
	
	\begin{proof}	
		Докажем индукцией по $ t $, что $ (3 + 2j)^{2^t} = (1 + 2 + 2j)^{2^t} = 1 + 2^{t+1}m + 2^{t+1}mj $ для некоторых обратимых~$ m$ (вообще говоря, различных для различных $ t $).
		
		База индукции: $ (1 + 2 + 2j)^{2^0} = 1 + 2^1 \cdot 1 + 2^1 \cdot 1 \cdot j $.
		
		Шаг индукции: пусть $ (1 + 2 + 2j)^{2^t} = 1 + 2^{t+1}m + 2^{t+1}mj $. 
		Тогда $$ (1 + 2 + 2j)^{2^{t+1}} = (1 + 2^{t+1}m + 2^{t+1}mj)^2 = $$ 
		$$ = 1 + 2^{2t+2}m^2 + 2^{2t+2}m^2 + 2^{t + 2}m + 2^{t + 2}mj + 2^{2t + 3}m^2j = $$
		$$ = 1 + 2^{t+2}(m + 2^{t + 1}m^2) + 2^{t+2}(m + 2^{t + 1}m^2)j. $$ 
		Элемент $ m + 2^{t+1}m^2 $ обратим в $ \Z{2^k} $ как сумма обратимого и нильпотентного.
		
		Таким образом, $ (1 + 2 + 2j)^{2^{k - 1}} = 1 + 2^km + 2^kmj = 1 $. 
		Следовательно, порядок элемента $ 1 + 2 + 2j $ делит~$ 2^{k-1} $. 
		При $ t < k-1 $ элемент $ (1 + 2 + 2j)^{2^{t}} \neq 1 $. Значит, порядок элемента $ 1 + 2 + 2j $ равен~$ 2^{k-1} $.
	\end{proof}
	
	
	\begin{lemma} \label{subgroup3+2j}
		Подгруппа $ \langle 3 + 2j \rangle $ группы $ \Z{2^k}[j]^* $ состоит из всех элементов вида $ 1 + 2s + 2sj $, где  $s \in \Z{2^k} $ и только из них.
	\end{lemma}
	
	\begin{proof}
		Ясно, что множество $ Y = \setdefine{1 + 2s + 2sj}{s \in \Z{2^k}} $ является подгруппой группы $ \Z{2^k}[j]^* $.
		
		Если $ 1 + 2s_1+2s_1j = 1 + 2s_2 + 2s_2j $, то $ 2s_1 = 2s_2 $ и $ 2(s_1 - s_2) = 0 $. Это возможно, только~если~$ s_1 $~сравнимо~с~$ s_2 $~по~модулю $ 2^{k - 1} $. Поэтому множество $ Y $ состоит ровно из $ 2^{k - 1} $ различных элементов. 
		
		Элемент $ 3 + 2j = 1 + 2 + 2j $ принадлежит $ Y $. 
		Поэтому подгруппа~$ \langle 3 + 2j \rangle $  лежит в~$ Y $. 
		Поскольку порядок элемента~$ {3 + 2j} $ равен $ 2^{k - 1} $, то порядок порождённой им подгруппы также равен~$ 2^{k - 1} $. 
		Однако, порядок подгруппы~$ Y $ тоже равен $ 2^{k - 1} $. Следовательно, $ { \langle 3 + 2j \rangle } $ совпадает с $ Y $.
	\end{proof} 
	
	\begin{lemma} \label{subgroups}
		Справедлив следующий изоморфизм $$ \Z{2^k}[j]^* \cong \Z{2^k}^* \times \langle 3 + 2j \rangle \times \langle j \rangle .$$
	\end{lemma}
	
	\begin{proof}
		Убедимся, что любой элемент $ a + bj \in \Z{2^k}[j]^* $ может быть единственным образом представлен в виде произведения $ zyx $, где $ z \in \Z{2^k}^* $, $y \in \langle 3 + 2j \rangle $ и $ x \in \langle j \rangle $.
		
		Покажем, что такое представление существует.
		Если элемент $ a + bj $ обратим, то $ a^2-b^2 $ также обратим и, значит, обратимы $ a + b $ и $ a - b $. 
		Поэтому ровно один из элементов $ a $ и $ b $ обратим, при этом второй имеет вид~$ 2s $.
		Если $ a = 2s $, то возьмём $ z = (b - a)^{-1} $. 
		Тогда $$ a + bj = jz^{-1}z(b + aj) = j(bz + azj)z^{-1} = z^{-1} (1 + az + azj)j .$$
		В случае, когда $ b = 2s $, возьмём $ z = (a - b)^{-1} $. 
		Тогда $$ a + bj = z^{-1}z(a + bj) = (az + bzj)z^{-1} = z^{-1} (1 + bz + bzj) \cdot 1.$$ 
		Согласно лемме \ref{subgroup3+2j} элемент $ 1 + az + azj $ в первом случае и элемент $ 1 + bz + bzj $ во втором являются элементами подгруппы~$ \langle 3 + 2j \rangle $. 
		Таким образом, любой элемент $ \Z{2^k}[j]^* $ представим в виде необходимого произведения~$ zyx $.
		
		Проверим, что такое представление единственно.
		Пусть $ z_1, z_2 \in \Z{2^k}^* $, $ y_1, y_2 \in \langle 3 + 2j \rangle $, $ x_1, x_2 \in \langle j \rangle $  и при этом $ z_1y_1x_1=z_2y_2x_2 $.
		Тогда $ y_1y_2^{-1} = z_1^{-1}x_1^{-1}z_2x_2 = (z_1^{-1}z_2)(x_1^{-1}x_2) $. 
		Любой элемент подгруппы~$ {\langle 3 + 2j \rangle} $, кроме 1 имеет вид $ a + bj $, где $ a \neq 0, b \neq 0 $ и, значит, непредставим в виде произведения элемента из~$ \Z{2^k}^* $ и элемента из~$ \langle j \rangle $. 
		Тогда $ y_1y_2^{-1} = 1 $ и $ (z_1^{-1}z_2)(x_1^{-1}x_2) = 1 $. 
		Отсюда $ y_1 = y_2 $ и $ z_1^{-1}z_2 = x_1x_2^{-1} $.
		Подгруппы $ \Z{2^k}^* $ и $ \langle j \rangle $ пересекаются только по~1. 
		Имеем $ y_1 = y_2 $, $ z_1^{-1}z_2 = 1 $ и $ x_1x_2^{-1} = 1 $.
		Таким образом, $ z_1 = z_2 $ , $ y_1 = y_2 $ и $ x_1 = x_2 $.
	\end{proof}
	
	\begin{proof}[Доказательство теоремы \ref{2^k}.]
		Справедлива следующая цепочка изоморфизмов, из которой вытекает искомый: 
		$$ \SGL{\Z{2^k}} \cong \Z{2^k}[j]^* \cong
		\Z{2^k}^* \times \langle 3 + 2j \rangle \times \langle j \rangle \cong $$
		$$ \cong \GZ{2^k} \times \Z{2^{k - 1}} \times \langle j \rangle \cong
		\GZ{2^k} \times \Z{2^{k - 1}} \times \Z{2} \cong
		\GZ{2^k} \times \GZ{2^{k + 1}}, $$
		где первый изоморфизм справедлив в силу следствия \ref{Zj*}, второй верен по лемме \ref{subgroups}, третий --- в силу леммы \ref{3+2j} и так как $ \langle j \rangle = \{1, j\} \cong \Z{2} $ и, наконец, четвёртый выполняется по теореме \ref{Z*}. 
	\end{proof}
	
	\section{Доказательство теоремы \ref{main}} \label{proof}
	
	Пусть $ n = 2^{k}p_1^{k_1}\ldots p_m^{k_m} \ (k \geqslant 0, k_i \geqslant 1)$ --- разложение натурального числа $ n $ в произведение целых степеней различных простых чисел.
	
	Если $ k = 0 $, то справедливы следующие изоморфизмы:
	$$ \SGL{\Zn} \cong \SGL{\Z{p_1^{k_1}}} \times \ldots \times \SGL{\Z{p_m^{k_m}}} \cong $$
	$$ \cong (\GZ{p_1^{k_1}} \times \GZ{p_1^{k_1}}) \times \ldots \times (\GZ{p_m^{k_m}} \times \GZ{p_m^{k_m}}) = $$
	$$ = (\GZ{p_1^{k_1}} \times \ldots \times \GZ{p_m^{k_m}})^2,$$
	где первый изоморфизм верен по следствию \ref{coprime}, второй --- по следствию \ref{odd}.
	
	Если $ k > 0 $, то справедливы следующие изоморфизмы:
	$$ \SGL{\Zn} \cong \SGL{\Z{2^k}} \times \SGL{\Z{p_1^{k_1}}} \times \ldots \times \SGL{\Z{p_m^{k_m}}} \cong $$
	$$ \cong (\GZ{2^{k}} \times \GZ{2^{k+1}}) \times (\GZ{p_1^{k_1}} \times \GZ{p_1^{k_1}}) \times \ldots \times (\GZ{p_m^{k_m}} \times \GZ{p_m^{k_m}}) = $$
	$$ = \GZ{2^{k}} \times \GZ{2^{k+1}} \times (\GZ{p_1^{k_1}} \times \ldots \times \GZ{p_m^{k_m}})^2,$$
	где первый изоморфизм верен по следствию \ref{coprime}, второй --- по следствию \ref{odd} и теореме \ref{2^k}.
	
	Теорема \ref{main} доказана. $ \square  $
	
	
	
	\section{Доказательство теоремы \ref{generators}} \label{genproof}
	
	Для доказательства теоремы о минимальном количестве образующих группы $ \SGL{\Zn} $ потребуется следующая
	
	\begin{theorem} \emph{\cite[Theorem 3.1]{MinGens}} \label{Z_p}
		Пусть $ C = \Z{n_1} \times \ldots \times \Z{n_m} $, где всякое $ n_i > 1$. 
		Для каждого простого $ p $ определим $ d_p = \left| \{ i \leqslant m: p \mid n_i \} \right| $ и 
		$$ \mu_C = \max\{d_p: p \text{ --- простое}\}.$$
		
		Тогда минимальное число образующих группы $ C $ равно $ \mu_C $.
	\end{theorem}
	\bigskip
	
	\begin{proof}[Доказательство теоремы \ref{generators}.]
		По условию теоремы $ n = 2^kp_1^{k_1}\ldots p_m^{k_m} $,
		где $ p_i $ --- различные нечётные простые.
		Тогда по теореме $ \ref{main} $ имеем:
		
		если $ k = 0 $, то $ \SGL{\Zn} \cong  (\Z{p_1^{k_1}}^* \times \Z{p_2^{k_2}}^* \times \ldots \times \Z{p_m^{k_m}}^* )^2;$
		
		
		если $ k = 1 $, то $ \SGL{\Zn} \cong  \Z{2} \times (\GZ{p_1^{k_1}} \times \GZ{p_2^{k_2}} \times \ldots \times \GZ{p_m^{k_m}})^2;$
		
		
		если $ k = 2 $, то $ \SGL{\Zn} \cong  \Z{2} \times \Z{2} \times \Z{2} \times (\GZ{p_1^{k_1}} \times \GZ{p_2^{k_2}} \times \ldots \times \GZ{p_m^{k_m}})^2;$
		
		
		если $ k > 2 $, то $ \SGL{\Zn} \cong \Z{2} \times \Z{2} \times \Z{2^{k - 1}} \times \Z{2^k} \times (\Z{p_1^{k_1}}^* \times \Z{p_2^{k_2}}^* \times \ldots \times \Z{p_m^{k_m}}^* )^2.$
		
		
		По теореме \ref{Z*} группа $ \GZ{p_i^{k_i}}$ является циклической. Поэтому $ \SGL{\Zn} $ представляется в виде прямого произведения $ 2m $, $ 2m + 1 $, $ 2m+3 $ и $ 2m+4 $ циклических групп при $ k = 0 $, $ k = 1 $, $ k = 2 $ и $ k > 2 $, соответственно.
		Следовательно, минимальное число образующих группы $ \SGL{\Zn} $ не больше $ 2m $, $ 2m + 1 $, $ 2m+3 $ и $ 2m+4 $ при $ k = 0 $, $ k = 1 $, $ k = 2 $ и $ k > 2 $, соответственно.
		
		Вновь по теореме \ref{Z*} имеем $ \GZ{p_i^{k_i}} \cong \Z{p^{k_i}-p^{k_i-1}}$, что в свою очередь, в силу нечётности $ p_i $, изоморфно $ \Z{2^{v_i}}~\times~\Z{t_i} $, где $ p^{k_i}~-~p^{k_i-1}~=~2^{v_i}t_i $ и $ t_i $ нечётно. 
		
		Таким образом,
		
		$ \SGL{\Zn} \cong (\Z{2^{v_1}} \times \Z{2^{v_2}} \times \ldots \times \Z{2^{v_m}} )^2 
		\times (\Z{t_1} \times \Z{t_2} \times \ldots \times \Z{t_m} )^2$
		при $ k = 0 $,
		
		$ \SGL{\Zn} \cong  \Z{2} \times (\Z{2^{x_1}} \times \Z{2^{v_2}} \times \ldots \times \Z{2^{v_m}} )^2 
		\times (\Z{t_1} \times \Z{t_2} \times \ldots \times \Z{t_m} )^2$
		при $ k = 1 $,
		
		$ \SGL{\Zn} \cong  \Z{2} \times \Z{2} \times \Z{2} 
		\times (\Z{2^{v_1}} \times \Z{2^{v_2}} \times \ldots \times \Z{2^{v_m}} )^2 
		\times (\Z{t_1} \times \Z{t_2} \times \ldots \times \Z{t_m} )^2$
		при $ k = 2 $,
		
		$ \SGL{\Zn} \cong \Z{2} \times \Z{2} \times \Z{2^{k - 1}} \times \Z{2^k} 
		\times (\Z{2^{v_1}} \times \Z{2^{v_2}} \times \ldots \times \Z{2^{v_m}} )^2 
		\times (\Z{t_1} \times \Z{t_2} \times \ldots \times \Z{t_m} )^2$
		при $ k > 2 $.
		
		По теореме \ref{Z_p} минимальное число образующих группы $ \SGL{\Zn} $ не меньше $ d_2 $ --- количества сомножителей чётного порядка в её разложении в прямое произведение циклических групп. Другими словами, оно не меньше, чем $ 2m $, $ 2m+1 $, $ 2m+3 $ и $ 2m+4 $ при $ k = 0 $, $ k = 1 $, $ k = 2 $ и $ k > 2 $, соответственно. Теорема доказана.
	\end{proof}
	
	
	\bigskip
	\begin{thebibliography}{1}
		\bibitem{MinGens} Halbeisen~L., Hamilton~M., R\r{u}\v{z}i\v{c}ka~P., {\it Minimal generating sets of groups, rings, and fields}, Quaestiones Mathematicae, 2007, 30 (3), 355–363.
		
		\bibitem{kostrikin}
		%Кострикин~А.~И., {\it Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры}, Физматлит, 2004, 272 с. 
		Kostrikin~A.~I., {\it Introduction to Algebra}, Springer-Verlag, 1982, xiv+575 с.
		
		\bibitem{Problem} %Маслова~Н.~В., Белоусов~И.~Н., Минигулов~Н.~А., {\it Открытые проблемы, сформулированные на XIII Школе-конференции по теории групп, посвященной 85-летию В.А. Белоногова}, Труды Института математики и механики УрО РАН, 2020, 26 (3), 275–285.
		Maslova~N.~V., Belousov~I.~N., Minigulov~N.~A., {\it Open questions formulated at the 13th School-Conference on Group Theory Dedicated to V. A. Belonogov’s 85th Birthday}, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki, 2020, 26 (3), 275–285.
	
		\bibitem{Rososhek} Rososhek~S.~K., {\it Modified matrix modular cryptosystems}, British Journal of Mathematics $ \& $ Computer Science, 2015, 5 (5), 613–636.
	\end{thebibliography}	
	
\end{document}	





\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[О проблемах коммутативной алгебры]{\large О некоторых проблемах коммутативной алгебры}
\author{{\bf \large \textsc{И.И. Иванов}}\protect\orcidicon{0000-0001-8827-2630}\\ \\
	\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым} \textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Ivan Ivanovich Ivanov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
	\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
	\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
	\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{iiivanov@math.nsc.ru}}%

\thanks{\sc Ivanov, I.I.,
	On some problems of commutative algebra}
\thanks{\copyright \ 2023 Иванов И.И}
\thanks{\rm Работа поддержана РФФИ (грант 03-01-11111)}
\thanks{\it Поступила 1 января 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
	\begin{quote}
		\noindent{\bf Abstract:} We discuss some problems of commutative
		algebra.\medskip
		
		\noindent{\bf Keywords:} commutative group, algebra.
	\end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}

В данной статье мы обсуждаем проблемы \cite{2}. Пусть
\begin{equation}\label{f1}
A=B.
\end{equation}

\begin{theorem}
	Формулировка теоремы.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Текст доказательства. Рассмотрим уравнение \eqref{f1}.
\end{proof}

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).
	
	
	\bibitem{1} D.G. Northcott,
	\href{https://doi.org/10.1017/CBO9780511565908}{\it Ideal Theory}, Cambridge University Press, Cambridge, 1953.
	
	\bibitem{2} I.I. Ivanov,
	\href{https://doi.org/10.1002/cpa.20282}{\it Some properties of commutative algebras}, Siberian Electronic
	Mathematical Reports, {\bf 1} (2004), 142--143.
	
	\bibitem{3} A.V. Tetenov, M. Samuel, D.A. Vauilin,
	\href{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-4-281-291}{\it On dendrites generated by polyhedral systems and their ramification points}, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, \textbf{23}:4 (2017), 281--291.
	
\end{thebibliography}

