
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}


\def\udcs{512.55} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{16P10,16W20} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Замечание}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том \ \ , стр. \ \ \ \ (2023) \hspace{75mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2023.20.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}

\thispagestyle{empty}

\title[О классах эквивалентности матриц]{О классах эквивалентности матриц над конечным полем нечетной характеристики}
\author{{Е.В. Журавлев}}%
\address{Evgeniy Vladimirovich Zhuravlev  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Altai State University,
\newline\hphantom{iii} pr. Lenina, 61,
\newline\hphantom{iii} 656049, Barnaul, Russia}%
\email{evzhuravlev@mail.ru}%

\thanks{\sc Zhuravlev, E.V.,
On equivalence classes of matrices over a finite field of odd characteristic}
\thanks{\copyright \ 2023 Журавлев Е.В.}
%\thanks{\rm }
\thanks{\it Поступила \ \ \ 2023 г., опубликована \ \ \ 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. }
In this article we classified up to isomorphism all finite local rings $R$ with Jacobson radical $J$ and conditions:
$$\mathrm{char} R\neq 2,\ R/J=F\subseteq Z(R),\ {\dim_F J/J^2=2},\ {\dim_F J^2=3},\ {J^3=0}.$$


\medskip

\noindent{\bf Keywords:} finite rings, local rings.
 \end{quote}
}

\section{Введение}
%Пусть $F$ -- конечное поле характеристики $p\neq 2$.
Квадратные матрицы $M$ и $M'$ над конечным полем $F$ называются конгруэнтными, если существует невырожденная матрица
$P$ над $F$, такая, что ${M'=P^{T}MP}$, где $P^T$ -- транспонированная матрица. Причем, если $P$ -- ортогональная матрица, $P^T=P^{-1}$, то
$M$ и $M'$ называются ортогонально подобными (\cite{Porter1, Porter2}).
В работе \cite{Newman} М. Ньюман нашел все классы конгруэнтности для симметрических матриц. В. Уотерхаус (см. \cite{Waterhouse}) для произвольных матриц
вычислил количество классов конгруэнтности без указания их представителей.
Случай для матриц порядка два был изучен в работах \cite{Bremser, Williams}, а для матриц порядка три в работах \cite{GW01,GW02,GW03}.

Пусть $M_1, M_2, \ldots , M_m, M'_1, M'_2, \ldots , M'_m\in M_{n}(F)$, $F=GF(p^r)$ -- конечное поле,
$p$ -- простое число, $m, n, r\in \mathbb{N}$.
%Определим следующее отношение эквивалентности на упорядоченных последовательностях матриц:
Упорядоченные последовательности матриц $(M_1, M_2, \ldots , M_m)$ и $(M'_1, M'_2, \ldots , M'_m)$ назовем эквивалентными,
если существуют невырожденные матрицы $P=(p_{ij})_{n\times n}$ и $Q=(q_{ij})_{m\times m}$ над полем~$F$ такие, что
$$M'_k=\sum\limits_{i=1}^m q_{ki}P^TM_iP,\ k=\overline{1,m}.\eqno(1) $$
В частности, при $m=1$ получаем:
$$M'_1=q_{11}P^{T}M_1P.\eqno(2)$$
Очевидно, что в этом случае из конгруэнтности матриц следует их эквивалентность.
В работах \cite{Williams, GW3, GW4, Chikunji0} авторы, используя полученные ранее классы конгруэнтности матриц порядка два и три над простым полем,
нашли их представители классов эквивалентности.

Для двоек матриц порядка два ($m=2$ и $n=2$) эквивалентность определяется равенствами
$$\left\{
  \begin{array}{l}
P^T\left(q_{11}M_1+q_{12}M_2\right)P=M'_1;\\[1pt]
P^T\left(q_{21}M_1+q_{22}M_2\right)P=M'_2.
  \end{array}
\right.\eqno{(3)}$$
Б. Горбас и Г. Уильямс полностью изучили этот случай при $p\neq 2$  в работе \cite{GW1} и при $p=2$ в работе \cite{GW2}.

При $m=3$ и $n=2$ получаем, что тройки $(M_1, M_2, M_3)$, $(M'_1, M'_2, M'_3)$ матриц второго порядка эквивалентны,
если существуют невырожденные матрицы $P=(p_{ij})_{2\times 2}$ и $Q=(q_{ij})_{3\times 3}$ такие, что
$$\left\{
  \begin{array}{l}
P^T\left(q_{11}M_1+q_{12}M_2+q_{13}M_3\right)P=M'_1;\\[1pt]
P^T\left(q_{21}M_1+q_{22}M_2+q_{23}M_3\right)P=M'_2;\\[1pt]
P^T\left(q_{31}M_1+q_{32}M_2+q_{33}M_3\right)P=M'_3.
  \end{array}
\right.\eqno{(4)} $$
Цель данной работы -- найти представители классов эквивалентности для данного случая, при $p\neq 2$,  и применить
полученный результат для классификации конечных локальных колец.

\section{Эквивалентность матриц}

% $\Delta=ad-bc\neq 0$.
Далее будем полагать, что $F=GF(p^r)$ -- конечное поле нечетной характеристики ($p\neq 2$), $\delta$ -- некоторый
фиксированный элемент из $F^{*}$, такой, что $\delta \notin
F^{*2}$, $\delta\neq 1$.
Пусть $\varepsilon\in \{1, \delta\}$, то есть
$\varepsilon$ пробегает множество представителей смежных классов $F^{\ast}/F^{\ast 2}$. 
Если ${\varepsilon =1}$ (соотв. $\varepsilon=\delta$), то для каждого $f \in F$ (соотв. $f \in
F^*$) найдем ненулевое решение $(x, y)$ уравнения
$x^2-\varepsilon y^2=f$. Обозначим $\Omega_{\varepsilon}$  множество найденных таким образом
элементов из $F\times F$. Кроме того, пусть $\sigma$ пробегает множество представителей смежных классов $F^{\ast}/\{\pm 1\}$.

%1
\begin{lemma} Всякая квадратная матрица $M$ над полем $F$
представима в виде суммы симметрической матрицы $A$ и антисимметрической матрицы~$B$ (т.е. такой, что $B^T=-B$).
Причем матрицы, эквивалентные симметрическим матрицам, являются также симметрическими,
а матрицы, эквивалентные антисимметрическим матрицам, являются также антисимметрическими.
\end{lemma}

Основываясь на результатах работ \cite{Newman, GW1} приведем в таблице 1 последовательности матриц,
являющихся представителями классов эквивалентности, определяемой соотношениями (2) и (3), у которых соответствующие симметрические матрицы
являются линейно независимыми.

\newpage
\hfill таблица 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}  % после \\: \hline или \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  \hline
симметрические матрицы & несимметрические матрицы  \\ \hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1
& \\
1.\ $\begin{pmatrix} % A
   1 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
    \end{pmatrix}$;
&
$\begin{pmatrix} % M
   1 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
   0 & 1+\beta \\
   1-\beta & 0
    \end{pmatrix}$;\\
   {}  & \\
   {} &
   $\begin{pmatrix}
   1 & 1 \\
   -1 & 0
    \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
    \end{pmatrix}$, где $\beta\in F^{\ast}$; \\
     {}  & \\ \hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2
& \\
2.\ $\begin{pmatrix}%A
   1 & 0 \\
   0 & \varepsilon
    \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
    \end{pmatrix}$;
&
$\begin{pmatrix}%M
   1 & \alpha \\
   -\alpha & \varepsilon
    \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
   0 & 1+\beta \\
   1-\beta & 0
    \end{pmatrix}$,\\
& \\
&  где $(\alpha,\beta)\in \Omega_{\varepsilon}$; \\
& \\\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3
& \\
3.\ $\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix}$;
&
$\begin{pmatrix}
   1 & 1 \\
   -1 & 0
    \end{pmatrix}$;\\
   {} & \\\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4
&  \\
4.\ $\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & \varepsilon
    \end{pmatrix}$;

&
$\begin{pmatrix}
   1 & \sigma \\
   -\sigma & \varepsilon
    \end{pmatrix}$. \\
   {} & \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{0,2cm}

Всюду далее мы будем рассматривать тройки матриц порядка два над полем~$F$ и отношение эквивалентности, определяемое равенствами (4).
Сначала укажем представителей классов эквивалентности симметрических матриц.
Для этого разделим их на группы в соответствии с рангом.
Так как симметрические матрицы это подпространство размерности три, то все тройки линейно независимых матриц образуют один класс эквивалентности и тройку матриц ранга три,
представителя этого класса, мы можем выбрать, например, $e_{11}$, $e_{12}+e_{21}$, $e_{22}$.
%Очевидно, что существует только одна тройка матриц ранга три.
Тройки матриц ранга два это двойки линейно независимых матриц -- представителей классов эквивалентности, определяемой соотношением $(3)$,
с добавленной нулевой матрицей.
Тройки матриц ранга один это ненулевые матрицы -- представители классов эквивалентности, определяемой соотношением $(2)$,
с~добавленными нулевыми матрицами (см. таблицу 1).

Итак, пусть $S$ -- множество, состоящее из следующих троек матриц:
%\vspace{0.1cm}
\begin{enumerate}
%1
\item
$A_1=\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
A_2=\begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
    \end{pmatrix},\
A_3=\begin{pmatrix}
  0 & 0 \\
  0 & 1
    \end{pmatrix}$;\\[1pt]
%2
\item
$A_1=\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & \zeta
    \end{pmatrix},\
A_2=\begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
    \end{pmatrix},\
A_3=\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix}$, $\zeta\in \{0, 1, \delta\}$;\\[1pt]
\item
$A_1=\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & \zeta
    \end{pmatrix},\
A_2=\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
A_3=\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix}$, $\zeta\in \{0, 1, \delta\}$;\\[1pt]
\item
$A_1=\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
A_2=\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
A_3=\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix}$.
\end{enumerate}
\vspace{0.1cm}

Если при некоторых $P$ и $Q$ последовательность матриц $(M_1, M_2, \ldots , M_m)$ эквивалентна самой себе, то будем говорить,
что пара матриц $(P, Q)$ стабилизирует $(M_1, M_2, \ldots , M_m)$. Кроме того, определим на тройках матриц покоординатное сложение
$$(A_1+B_1, A_2+B_2, A_3+B_3)=(A_1, A_2, A_3)+(B_1, B_2, B_3),$$
где $A_1, A_2, A_3, B_1, B_2, B_3\in M_2(F)$



\begin{lemma} \
\begin{enumerate}
\item Всякий класс эквивалентности содержит тройку
$$(M_1, M_2, M_3)=(A_1, A_2, A_3)+(B_1, B_2, B_3),$$ где
$(A_1, A_2, A_3)\in S$ и $(B_1, B_2, B_3)$ -- тройка антисимметрических матриц.
Причем каждый класс определяется $(A_1, A_2, A_3)\in S$ единственным образом.
\item Пусть $(A_1, A_2, A_3)\in S$ и $(B_1, B_2, B_3)$, $(B'_1, B'_2, B'_3)$ -- тройки антисимметрических матриц.
$$(A_1, A_2, A_3)+(B_1, B_2, B_3)\sim (A_1, A_2, A_3)+(B'_1, B'_2, B'_3)$$ тогда и только тогда, когда существуют
$P$ и $Q$ такие, что
\begin{enumerate}
\item $(P, Q)$ стабилизирует $(A_1, A_2, A_3)$;
\item $(B_1, B_2, B_3)\sim (B'_1, B'_2, B'_3)$ посредством $P$ и $Q$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{lemma}


\begin{lemma}
Если  $(A_1, A_2, 0)\in S$, $A_1\neq 0$, $A_2\neq 0$, то стабилизирующие матрицы $P$ и $Q$ для тройки $(A_1, A_2, 0)$ имеют вид
$$P=\begin{pmatrix}
   p_{11} & p_{12} \\
   p_{21} & p_{22}
    \end{pmatrix},\
Q=\begin{pmatrix}
   q_{11} & q_{12} & q_{13} \\
   q_{21} & q_{22} & q_{23} \\
        0 &      0 & q_{33}
    \end{pmatrix},$$
причем матрицы
$$\begin{pmatrix}
   p_{11} & p_{12} \\
   p_{21} & p_{22}
  \end{pmatrix},\
  \begin{pmatrix}
   q_{11} & q_{12} \\
   q_{21} & q_{22}
  \end{pmatrix}$$
являются стабилизирующими для двойки $(A_1, A_2)$ в смысле эквивалентности, определяемой равенствами $(3)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Так как матрицы $A_1, A_2$ линейно независимы, то равенство
$P^T\left(q_{31}A_1+q_{32}A_2\right)P=0$ (см. (4)) возможно только при $q_{31}=0$ и ${q_{32}=0}$.
\end{proof}

\begin{lemma}
Если  $(A_1, A_2, 0)\in S$, $A_1\neq 0$, то стабилизирующие матрицы $P$ и $Q$ для тройки $(A_1, 0, 0)$ имеют вид
$$P=\begin{pmatrix}
   p_{11} & p_{12} \\
   p_{21} & p_{22}
    \end{pmatrix},\
Q=\begin{pmatrix}
   q_{11} & q_{12} & q_{13} \\
        0 & q_{22} & q_{23} \\
        0 & q_{32} & q_{33}
    \end{pmatrix},$$
причем матрицы
$$\begin{pmatrix}
   p_{11} & p_{12} \\
   p_{21} & p_{22}
  \end{pmatrix},\
  \begin{pmatrix}
   q_{11}
  \end{pmatrix}$$
являются стабилизирующими для матрицы $A_1$ в смысле эквивалентности, определяемой равенствами $(2)$.
\end{lemma}

\begin{proof} В этом случае система (4) принимает вид
$$\left\{
  \begin{array}{l}
P^T\left(q_{11}A_1\right)P=A_1;\\[1pt]
P^T\left(q_{21}A_1\right)P=0;\\[1pt]
P^T\left(q_{31}A_1\right)P=0.
  \end{array}
\right. $$
Так как $\det(P)\neq 0$, то $P^TA_1P\neq 0$ и, следовательно, $q_{21}=0$ и ${q_{31}=0}$.
\end{proof}

Пусть далее $\Delta=\det(P)$,
$$B_1=\begin{pmatrix}
   0 & x \\
   -x & 0
    \end{pmatrix},\
B_2=\begin{pmatrix}
   0 & y \\
   -y & 0
    \end{pmatrix},\
B_3=\begin{pmatrix}
   0 & z \\
   -z & 0
    \end{pmatrix},$$
$$B'_1=\begin{pmatrix}
   0 & x' \\
   -x' & 0
    \end{pmatrix},\
B'_2=\begin{pmatrix}
   0 & y' \\
   -y' & 0
    \end{pmatrix},\
B'_3=\begin{pmatrix}
   0 & z' \\
   -z' & 0
    \end{pmatrix},$$
где $x, y, z, x', y', z'\in F$.
Если $\Pi_B=\left(B_1, B_2, B_3\right)\sim \Pi_{B'}=\left(B'_1, B'_2, B'_3\right)$, то
$$\left\{
  \begin{array}{l}
(q_{11}x + q_{12}y + q_{13}z)\Delta=x';\\
(q_{21}x + q_{22}y + q_{23}z)\Delta=y';\\
(q_{31}x + q_{32}y + q_{33}z)\Delta=z'.
  \end{array}
\right.  \eqno(5)$$



\begin{lemma}
Если
$\Pi_A=(A_1, A_2, 0)\in S$ и
$\Pi_B=(B_1, B_2, B_3)$, $\Pi_{B'}=(B'_1, B'_2, 0)$, причем $B_3\neq 0$, то
$\Pi_M=\Pi_A+\Pi_B\nsim\Pi_{M'}=\Pi_{A}+\Pi_{B'}$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Если $\Pi_M\sim\Pi_{M'}$, для некоторых $P$ и $Q$, то в силу леммы~3
равенство $(q_{31}x + q_{32}y + q_{33}z)\Delta=z'$ системы (5) принимает вид $q_{33}z\Delta=0$.
Так как $z\neq 0$ и $\Delta\neq 0$, то $q_{33}=0$, что противоречит условию $\det(Q)\neq 0$.
\end{proof}

\begin{lemma}
Если
$\Pi_A=(A_1, 0, 0)\in S$ и
$\Pi_B=(B_1, B_2, B_3)$, $\Pi_{B'}=(B'_1, 0, 0)$, причем $B_2\neq 0$ или $B_3\neq 0$, то
$\Pi_M=\Pi_A+\Pi_B\nsim\Pi_{M'}=\Pi_{A}+\Pi_{B'}$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Если $\Pi_M\sim\Pi_{M'}$, для некоторых $P$ и $Q$, то в силу леммы~4
система (5) имеет вид
$$\left\{
  \begin{array}{l}
(q_{11}x + q_{12}y + q_{13}z)\Delta=x';\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \  (q_{22}y + q_{23}z)\Delta=0;\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \  (q_{32}y + q_{33}z)\Delta=0.
  \end{array}
\right.$$
Если $y\neq 0$ или $z\neq 0$, то $\det(Q)= 0$. Противоречие.
\end{proof}

\vspace{0,2cm}
Далее, следуя вышеуказанному списку симметрических матриц $S$, рассмотрим каждый из четырех случаев в отдельности.
Для конкретных симметрических матриц $(A_1, A_2, A_3)\in S$, используя стабилизирующие их $P$ и $Q$, мы найдем
неэквивалентные между собой, посредством этих $P$ и $Q$, тройки антисимметрических матриц $(B_1, B_2, B_3)$.
Затем, складывая тройки симметрических и антисимметрических матриц, мы получим необходимые представители классов эквивалентности.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Случай 1   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0,25cm}
{\bf Случай 1.}
$A_1=\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},
A_2=\begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
    \end{pmatrix},
A_3=\begin{pmatrix}
  0 & 0 \\
  0 & 1
    \end{pmatrix}.$\\[2pt]

Определим стабилизирующие матрицы
$P=
\begin{pmatrix}
   a & b \\
   c & d
    \end{pmatrix}$
и $Q=(q_{ij})_{3\times 3}$ для тройки $(A_1, A_2, A_3)$,  $a, b, c, d, q_{ij}\in F$.
Система $(4)$, при $A_1=A'_1$, $A_2=A'_2$, $A_3=A'_3$, дает нам три системы линейных неоднородных уравнений:
$$\left\{
  \begin{array}{l}
a^2 q_{11} + 2ac       q_{12} + c^2 q_{13}=1;\\
ab  q_{11} + (ad + bc) q_{12} + cd  q_{13}=0;\\
b^2 q_{11} + 2bd       q_{12} + d^2 q_{13}=0.
  \end{array}
\right.$$

$$\left\{
  \begin{array}{l}
a^2 q_{21} + 2ac       q_{22} + c^2 q_{23}=0;\\
ab  q_{21} + (ad + bc) q_{22} + cd  q_{23}=1;\\
b^2 q_{21} + 2bd       q_{22} + d^2 q_{23}=0.
  \end{array}
\right.$$

$$\left\{
  \begin{array}{l}
a^2 q_{31} + 2ac       q_{32} + c^2 q_{33}=0;\\
ab  q_{31} + (ad + bc) q_{32} + cd  q_{33}=0;\\
b^2 q_{31} + 2bd       q_{32} + d^2 q_{33}=1.
  \end{array}
\right.$$
Определитель матрицы каждой из систем равен $\Delta^3\neq 0$. Решая их, получаем
$$P=\begin{pmatrix}
   a & b \\
   c & d
    \end{pmatrix},\
Q=\frac{1}{\Delta^2}\begin{pmatrix}
   d^2 & -bd & b^2 \\
   -2cd & ad+bc & -2ab \\
   c^2 & -ac & a^2
    \end{pmatrix},$$
где $\Delta=ad - bc$, $a, b, c, d\in F$.

Если $x\neq 0$, то, полагая
$$
P=\begin{pmatrix}
        1 & 0 \\
   y/(2x) & 1/x
    \end{pmatrix},\
Q=\begin{pmatrix}
     1 &   0 &     0\\
    -y &   x &     0\\
     y^2/4 & -xy/2 & x^2
  \end{pmatrix},
$$
получаем
$$
\Pi_B\sim
\left(
\begin{pmatrix}
        0 & 1 \\
       -1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & z' \\
      -z' & 0
\end{pmatrix}
\right),
$$
где $z'=(- y^2 + 4xz)/4$.

Если $x=0$, $y=0$, $z\neq 0$, то, полагая
$$
P=\begin{pmatrix}
        1 & -1 \\
        z &  0
    \end{pmatrix},\
Q=\begin{pmatrix}
     0 &  0    & 1/z^2 \\
     0 &  -1/z &     0 \\
     1 &     0 &     0
  \end{pmatrix},
$$
получаем
$$
\Pi_B\sim
\left(
\begin{pmatrix}
        0 & 1 \\
       -1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 0
\end{pmatrix}
\right).
$$

Если $x=0$, $y=0$, $z=0$, то
$$
\Pi_B\sim
\left(
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 0
\end{pmatrix}
\right).
$$

Если $x=0$, $y\neq 0$, $z\neq 0$, то, полагая
$$
P=\begin{pmatrix}
        1 & -2/y \\
        0 & -4z/y^2
    \end{pmatrix},\
Q=\begin{pmatrix}
     1 &  -y/(2z)    &  y^2/(4z^2)  \\
     0 &  -y^2/(4z)  &  y^3/(4z^2) \\
     0 &            0 &  y^4/(16z^2)
  \end{pmatrix},
$$
получаем
$$
\Pi_B\sim
\left(
\begin{pmatrix}
        0 & 1 \\
       -1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & -y^2/4 \\
      y^2/4 & 0
\end{pmatrix}
\right).
$$


Если $x=0$, $y\neq 0$, $z=0$, то, полагая
$$
P=\begin{pmatrix}
        1 & -2/y \\
        1 & 2/y
    \end{pmatrix},\
Q=\begin{pmatrix}
     1/4 &  1/4    &  1/4  \\
     -y/4 &  0  &  y/4 \\
     y^2/16 &  -y^2/16 & y^2/16
  \end{pmatrix},
$$
получаем
$$
\Pi_B\sim
\left(
\begin{pmatrix}
        0 & 1 \\
       -1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & -y^2/4 \\
      y^2/4 & 0
\end{pmatrix}
\right).
$$

Рассмотрим тройки вида
$$\Pi_B=
\left(
\begin{pmatrix}
        0 & 1 \\
       -1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & z \\
       -z & 0
\end{pmatrix}
\right),\ \mbox{где} \ z\in F,$$
и докажем, что каждая тройка является представителем класса эквивалентности.
Если
$$
\left(
\begin{pmatrix}
        0 & 1 \\
       -1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & z \\
       -z & 0
\end{pmatrix}
\right)\sim
\left(
\begin{pmatrix}
        0 & 1 \\
       -1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & z' \\
       -z' & 0
\end{pmatrix}
\right),
$$
при некоторых $z, z'\in F$, $z\neq z'$, то
$$
\left\{
  \begin{array}{l}
(d^2+b^2z)/\Delta=1;\\
-2(cd + abz)/\Delta=0;\\
(c^2+a^2z)/\Delta=z'
  \end{array}
\right.
$$
Отсюда
$d\Delta=ad^2-bcd=ad^2+ab^2z=a(d^2+b^2z)=a\Delta$.
Следовательно, $a=d$ и $cd=ca=-abz$.
Если $a\neq 0$, то $c=-bz$, $\Delta=ad-bc=a^2-bc$, $z'=(za^2 - cbz)/\Delta=z(a^2 - bc)/\Delta=z$.
Если $a=d=0$, то $b\neq 0$, $c\neq 0$, $zb^2=\Delta=-bc$, $c^2=-bcz'$, а значит, $zb=-c$, $c=-bz'$ и $z=z'$. Противоречие.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Случай 2   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0,25cm}
{\bf Случай 2.}
$A_1=\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & \zeta
    \end{pmatrix},\
A_2=\begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
    \end{pmatrix},\
A_3=\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix}$,\ где $\zeta \in\{0, 1, \delta\}$.\\[2pt]

Если $z\neq 0$, то, полагая
$$
P=E,\
Q=\begin{pmatrix}
     1 & 0  & -x/z \\
     0 & 1  & -y/z \\
     0 & 0  & 1/z
  \end{pmatrix},
$$
получаем
$$
\Pi_B\sim
\left(
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
       0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
       0 & 1 \\
      -1 & 0
\end{pmatrix}
\right).
$$

Если $z=0$ ($B_3=0$), то, в силу леммы 5, задача сводится к классификации пар
$(A_1, A_2)+(B_1,B_2)$ (см. таблицу 1, строки 1,2).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Случай 3  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0,25cm}
{\bf Случай 3.}
$A_1=\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & \zeta
    \end{pmatrix},\
A_2=\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
A_3=\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix}$,\ где $\zeta \in\{0, 1, \delta\}$.\\[2pt]

Полагая
$$
P=E,\
Q=\begin{pmatrix}
     1 & 0  & 0 \\
     0 &  0  & 1 \\
     0 & 1  & 0
  \end{pmatrix},
$$
заметим, что $(B_1, B_2, B_3)\sim (B_1, B_3, B_2)$.
Если $y\neq 0$ или $z\neq 0$, то, без потери общности, полагаем $y\neq 0$,
$$
P=E,\
Q=\begin{pmatrix}
     1 & -x/y  & 0 \\
     0 &  1/y  & 0 \\
     0 & -z/y  & 1
  \end{pmatrix},
$$
и получаем
$$
\Pi_B\sim
\left(
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
       0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & 1 \\
        -1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
       0 & 0 \\
       0 & 0
\end{pmatrix}
\right).
$$
Если $x=0$ и $y=0$, то, в силу леммы 6, задача сводится к классификации матриц вида
$A_1+B_1$ (см. таблицу 1, строки~3, 4).


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Случай 4  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0,25cm}
{\bf Случай 4.}
$A_1=\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
A_2=\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
A_3=\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix}.$\\[2pt]

Стабилизирующими матрицами являются любые невырожденные матрицы $P$ и $Q$.
Если $\Pi_B$ содержит ненулевые матрицы, то, без потери общности, полагая $x\neq 0$, % Q позволяет менять местами матрицы.
$$
P=E,\
Q=\begin{pmatrix}
      1/x & 0  & 0 \\
     -y/x & 1  & 0 \\
     -z/x & 0  & 1
  \end{pmatrix},
$$
получаем
$$
\Pi_B\sim
\left(
\begin{pmatrix}
       0 & 1 \\
      -1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
       0 & 0 \\
       0 & 0
\end{pmatrix}
\right).
$$

Таким образом, рассмотрены все возможные случаи и мы можем сформулировать полученный результат.

\begin{theorem}
В следующем списке перечислены представители всех классов
эквивалентности, определенной на тройках матриц порядка два посредством соотношения~(4):
\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   1
  \item
$\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
  0 & 0 \\
  0 & 1
    \end{pmatrix}$;\\[1pt]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2
  \item
$\begin{pmatrix}
   1 & 1 \\
   -1 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
  0 & z \\
 -z & 1
    \end{pmatrix}$, $z\in F$;\\[1pt]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   3
  \item
$\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & \zeta
    \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix}$, $\zeta\in\{0, 1, \delta\}$;\\[1pt]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   4
  \item
$\begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & \zeta
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
      0 & 1 \\
      1 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
      0 & 1 \\
     -1 & 0
    \end{pmatrix}$, $\zeta\in\{0, 1, \delta\}$;\\[1pt]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   5
  \item
$\begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
      0 & 1+\beta \\
   1-\beta & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 0
    \end{pmatrix}$, $\beta\in F^{\ast}$;\\[1pt]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   6
  \item
$\begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
    -1 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
    0 & 1 \\
    1 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 0
    \end{pmatrix}$;\\[1pt]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   7
  \item
$\begin{pmatrix}
     1 & \alpha \\
    -\alpha & \varepsilon
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
     0 & 1+\beta \\
   1-\beta & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
      0 & 0 \\
      0 & 0
    \end{pmatrix}$, $\varepsilon\in\{1, \delta\}$, $(\alpha,\beta)\in \Omega_{\varepsilon}$;\\[1pt]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   8
  \item
$\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & \zeta
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix}$, $\zeta\in\{0, 1, \delta\}$;\\[1pt]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   9
  \item
$\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & \zeta
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
  -1 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 0
    \end{pmatrix}$, $\zeta\in\{0, 1, \delta\}$;\\[1pt]
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   10
  \item
$\begin{pmatrix}
   1 & 1 \\
   -1 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 0
    \end{pmatrix}$;\\[1pt]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   11
\item
$\begin{pmatrix}
   1 & \sigma \\
  -\sigma & \varepsilon
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 0
    \end{pmatrix}$,  %$\alpha\in F^{\ast }/\{\pm 1\}$, 
    $\varepsilon\in\{1, \delta\}$;\\[1pt]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   12
  \item
$\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix}$;\\[1pt]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   13
  \item
$\begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
  -1 & 0
    \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
   0 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix}$,
\end{enumerate}
где $\delta$ -- некоторый фиксированный элемент из $F^{*}$, $\delta \notin
F^{*2}$, $\delta\neq 1$, и $\sigma$ пробегает множество представителей смежных классов $F^{\ast}/\{\pm 1\}$.
\end{theorem}

В работе \cite{Chikunji2} Ч. Чикунджи с помощью пакета прикладных программ Matlab вычислил количество линейно независимых матриц,
являющихся представителями классов эквивалентности в смысле равенств (4), при конкретных значениях $p=2,3,\ldots$.
Им было сделано предположение о том, что при всяком значении $p$ их количество равно $p^r+4$.
Теорема 1 подтверждает это предположение при $p\neq 2$. Линейно независимые тройки матриц указаны в пунктах 1, 2 и 4.

\section{Классификация конечных колец}

Всюду далее мы будем рассматривать только конечные ассоциативные кольца с единицей.
Всякое конечное кольцо единственным образом представимо в виде прямой суммы колец, порядки которых есть степени некоторых простых чисел, то есть
$R=\bigoplus\sum\limits_pR_p$, $R_p=\left\{x\in R\ |\ p^nx=0\right.$ для некоторого $\left.n\geq 1  \right\}$ (см. \cite{Elizarovbook}, стр. 29).
Поэтому при классификации колец достаточно рассматривать только
кольца порядка~$p^n$. В.Г. Антипкин и В.П. Елизаров описали кольца порядка $p^n$ для $n\leq 3$ (см. \cite{AntElizarov, Elizarov}).
Д. Дерр, Г. Орр, П.~Пек  впервые указали исчерпывающий список некоммутативных колец порядка $p^4$ (см. \cite{Derr-p4}).
Б.~Горбас и Г. Уильямс  в работах \cite{GW3, GW4} классифицировали с точностью до изоморфизма все кольца порядка не более $p^5$.
Кольца порядка $p^6$, с некоторыми ограничениями на радикал Джекобсона $J$, классифицированы в работах \cite{zhur1, zhur2}.
Важно заметить, что классификация колец сводится к классификации локальных  колец (см. \cite{GW3}),
то есть таких колец $R$, что $R/J$ -- поле. Известно, что всякое коммутативное кольцо является прямой суммой локальных колец (см. \cite{Elizarovbook}, стр. 36).

В работе \cite{Chikunji1} Ч. Чикунджи описал строение локальных колец c радикалом $J$ индекса нильпотентности три и
сформулировал необходимые и достаточные условия их изоморфности. Далее рассмотрим один из типов таких колец.
Пусть $R$ -- локальное кольцо характеристики $p$, $J^3=0$, $Z(R)$ -- центр кольца и $R/J=GF(p^r)=F\subseteq Z(R)$.
Тогда $R$ -- конечномерное векторное пространство над~$F$~и
$$R=F\oplus J,\
J=F u_1 \oplus F u_2 \oplus \ldots \oplus F u_{n} \oplus F v_1 \oplus F v_2 \oplus \ldots \oplus F v_{m},$$
где ${\dim_F J/J^2=n}$, ${\dim_F J^2=m}$ и $\{u_1, u_2,\ldots, u_{n}, v_1, v_2,\ldots, v_{m}\}$ -- базис $J$ над~$F$,
$u_1, u_2, \ldots, u_{n}\in J\setminus J^2$, $v_1, v_2,\ldots, v_{m}\in J^2$, $n, m\in \mathbb{N}$. (см. \cite{Chikunji1, Raghavendran}) .
Пусть
$$u_iu_j=m^{(1)}_{ij}v_1+m^{(2)}_{ij}v_2+\ldots +m^{(m)}_{ij}v_m\eqno(6)$$
для некоторых $m^{(k)}_{ij}\in F$, $i, j=\overline{1,n}$, $k=\overline{1,m}$.
Рассмотрим матрицы умножения из структурных констант:
$M_k=\left(m^{(k)}_{ij}\right)_{n\times n}$, $i, j=\overline{1,n}$, $k=\overline{1,m}$.
Такие матрицы  линейно независимы и, если $R$ -- коммутативно, то матрицы являются симметрическими.
По всякой последовательности $M_k=\left(m^{(k)}_{ij}\right)_{n\times n}$, $i, j=\overline{1,n}$, $k=\overline{1,m}$,
линейно независимых матриц однозначно определяется рассмотренное выше кольцо с умножением (6).

Пусть $R$ и $R'$ -- произвольные кольца, указанного выше типа, с матрицами умножения
$M_1, M_2,\ldots, M_m$ и $M'_1, M'_2,\ldots M'_m$, соответственно.

\begin{theorem}{\cite{Chikunji1}}
${R\cong R'}$ тогда и только тогда, когда существуют невырожденные матрицы
${P=(p_{ij})_{n\times n}}$, $Q=(q_{ij})_{m\times m}$ над полем $F$ и
автоморфизм $\rho$ поля~$F$ такие, что
$$M'_k=\sum\limits_{i=1}^m q_{ki}P^TM_i^{\rho}P,\ k=\overline{1,m},\eqno(7) $$
где $M_k^{\rho}=\left(\left(m^{(k)}_{ij}\right)^\rho\right)$, $k=\overline{1,m}$.
\end{theorem}

Равенства (7) при $n=2$, $m=3$ отличаются от (4) только наличием автоморфизма $\rho$ поля~$F$.
Пусть $\Sigma$ -- множество всех таких элементов поля $F=GF(p^r)$, что для любых $a,b\in \Sigma$ не существует
изоморфизма $\rho$ поля $F$ при котором $a^{\rho}=b$
(равносильно -- для любых $a,b\in \Sigma$ не существует такого натурального числа $k$, что $a^{p^k}=b$).
Используя линейно независимые тройки матриц из теоремы 1 и учитывая действие $\rho$ мы получаем следующую теорему.

\begin{theorem}
Тройки матриц, представленные ниже,  с точностью до изоморфизма определяют все конечные локальные кольца с единицей
и условиями:
$$\mathrm{char} R\neq 2,\ R/J=F\subseteq Z(R),\ {\dim_F J/J^2=2},\ {\dim_F J^2=3},\ {J^3=0}.$$
\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   1
  \item
$\begin{pmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
  0 & 0 \\
  0 & 1
    \end{pmatrix}$;\\[1pt]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2
  \item
$\begin{pmatrix}
   1 & 1 \\
   -1 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
  0 & z \\
 -z & 1
    \end{pmatrix}$, $z\in \Sigma$;\\[1pt]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   3
  \item
$\begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & \zeta
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
      0 & 1 \\
      1 & 0
    \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
      0 & 1 \\
     -1 & 0
    \end{pmatrix}$, $\zeta\in\{0, 1, \delta\}$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

{\it Автор выражает благодарность профессору Ю.Н. Мальцеву за внимание, проявленное к данной работе.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip
\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{Porter1} A.D. Porter, {\it Orthogonal similarity in a finite field}, Math. Nachr., {\bf 40} (1969), 327--331.
\bibitem{Porter2} A.D. Porter, J. Adams, {\it Similarity and orthogonal similarity in a finite field}, Duke Math. J., {\bf 35} (1968), 519--524.
\bibitem{Newman} M. Newman, {\it Integral Matrices}, Academic Press, N.Y., 1972.
\bibitem{Waterhouse} W.C. Waterhouse, {\it The number of сongruence сlasses in $M_n(F_q)$}, Finite fields and their applications, {\bf 1} (1995), 57--63.
\bibitem{Bremser} P.S. Bremser, {\it Congruence classes of matrices in $GL_2(F_q)$}, Discrete Math., {\bf 118} (1993), 243--249.
\bibitem{Williams} G.D. Williams, {\it Congruence of $(2\times 2)$ matrices}, Discrete Math., {\bf 224} (2000), 293--297.
\bibitem{GW01} B. Gorbas, G.D. Williams, {\it Matrix representatives for three-dimensional bilinear forms over finite fields}, Discrete Math., {\bf 185} (1998), 51--61.
\bibitem{GW02} B. Gorbas, G.D. Williams, {\it Congruence classes in $M_3(F_q)$ ($q$ odd)}, Discrete Math., {\bf 219} (2000), 37--47.
\bibitem{GW03} B. Gorbas, G.D. Williams, {\it Congruence classes in $M_3(F_q)$ ($q$ even)}, Discrete Math., {\bf 257} (2002), 15--27.
\bibitem{GW3} B. Gorbas, G.D. Williams, {\it Rings of order $p^5$. Part 1.  Nonlocal rings}, Journal of Algebra, {\bf 231} (2000), 677--690.
\bibitem{GW4} B. Gorbas, G.D. Williams, {\it Rings of order $p^5$. Part 2.  Local rings}, Journal of Algebra, {\bf 231} (2000), 691--704.
\bibitem{Chikunji0} C.J. Chikunji, {\it On a class of rings of order $p^5$}, Math. J. Okayama Univ., {\bf 45} (2003), 59--71.
\bibitem{GW1} B. Gorbas, G.D. Williams, {\it Gongruence of two-dimensional subspaces in $M_2(K)$ (characteristic~$\neq 2$)}, Pacific Journal
  of Mathematics, {\bf 188}:2 (1999), 225--235.
\bibitem{GW2} B. Gorbas, G.D. Williams, {\it Gongruence of two-dimensional subspaces in $M_2(K)$ (characteristic 2)}, Pacific Journal
  of Mathematics, {\bf 188}:2 (1999), 237--249.
\bibitem{Chikunji2} C.J. Chikunji, {\it Using Matlab to solve a classification problem in finite rings}, $2^{nd}$ international conference on the teaching of mathematic (Greece), (2002), Mode of access:http://www.math.uoc.gr/~ictm2/Proceedings/pap252.pdf.
\bibitem{Elizarovbook} V.P. Elizarov, {\it Finite rings}, Gelios ARV, Moscow, 2006.
\bibitem{AntElizarov} V.G. Antipkin, V.P. Elizarov, {\it Rings of order $p^3$}, Siberian Mathematical Journal, {\bf 23} (1982), 457--464.
\bibitem{Elizarov} V.P. Elizarov, {\it  Nonnilpotent finite rings}, The manuscript of the dep. in the SB of the USSR Academy of Sciences (editorial board of the Siberian Mathematical Journal), {\bf 1472} (1985).
\bibitem{Derr-p4} J.B. Derr, G.F. Orr, P.S. Peck, {\it Noncommutative rings of order $p^4$}, Journal of Pure and Applied Algebra, {\bf 97} (1994), 109--116.
\bibitem{zhur1}  E.V. Zhuravlev,  {\it Local rings of order $p^6$ with 4-nilpotent radical of Jacobson}, Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bf 3} (2006), 15--29.
\bibitem{zhur2} E.V. Zhuravlev, {\it On the classification of finite commutative local rings}, Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bf 12} (2015), 625--638.
\bibitem{Chikunji1} C.J. Chikunji, {\it On a class of finite rings}, Communication in Algebra, {\bf 27}:10 (1999), 5049--5081.
\bibitem{Raghavendran} R. Raghavendran, {\it Finite associative rings}, Compositio  Math., {\bf 21} (1969), 195--229.
\end{thebibliography}


\end{document}


%В данной статье мы обсуждаем некоторые проблемы коммутативной алгебры.
%
%\begin{theorem}
%Формулировка теоремы.
%\end{theorem}
%
%\begin{proof}
%Текст доказательства.
%\end{proof}

%\bigskip
%\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).
%
%
%\bibitem{1} D.G. Northcott,
%{\it Ideal Theory}, Cambridge University Press, Cambridge, 1953.
%
%\bibitem{2} I.I. Ivanov,
%{\it Some properties of commutative algebras}, Siberian Electronic
%Mathematical Reports, {\bf 1} (2004), 142--143.
%
%\bibitem{3} A.V. Tetenov, M. Samuel, D.A. Vauilin,
%{\it On dendrites generated by polyhedral systems and their ramification points}, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, \textbf{23}:4 (2017), 281--291.
%
%\end{thebibliography}