\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{calrsfs}% рукописный шрифт

\def\udcs{519.633} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{65M12} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Замечание}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
        {\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}

\thispagestyle{empty}

\title[О сходимости локально-одномерных схем]{О сходимости локально-одномерных схем для дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка в многомерной области}
\author{{А.К. БАЗЗАЕВ}}%
\address{Alexander K. Bazzaev
\newline\hphantom{iii} 1) North Ossetian State University after K.L. Khetagurov,
\newline\hphantom{iii} Vatutina str. 44 --- 46,
\newline\hphantom{iii} 362025, North Ossetia - Alania, Vladikavkaz,
Russia,
\newline\hphantom{iii} 2) Vladikavkaz Institute of Management,
\newline\hphantom{iii} Borodinskaya str. 14,
\newline\hphantom{iii} 362025, North Ossetia - Alania, Vladikavkaz, Russia}%
\email{a.k.bazzaev@yandex.ru}%

\thanks{\sc Bazaev, A.K.,
On the convergence of locally one-dimensional schemes for the
differential equation in partial derivatives of fractional orders in
a multidimensional domain}
\thanks{\copyright \ 2023 Баззаев А.К}
\thanks{\rm Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации. Соглашение
\No\,075-02-2023-939}
\thanks{\it Поступила 25 января 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm} \maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } В работе построены локально-одномерные
схемы (ЛОС) для дифференциальных уравнений в частных производных
дробных порядков по времени и по пространству в многомерной области.
Установлена справедливость принципа максимума для решения разностной
задачи. На основании принципа максимума получена априорная оценка в
равномерной метрике, откуда следует устойчивость и сходимость
разностных схем.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} уравнение диффузии дробного порядка,
производная дробного порядка, устойчивость и сходимость разностных
схем, уравнение медленной диффузии, локально-одномерные схемы.
 \end{quote}
}

\section{Введение}
Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка
возникают при изучении многих физических процессов \cite{Chukbar}
--- \cite{Goloviznin3}, при изучении фильтрации жидкости в сильно-пористой (фрактальной)
среде \cite{Nigmatulin2}. Заметим, что порядок дробной производной
связан с размерностью фрактала \cite{Kobelev2}, \cite{Kobelev1}.
Простые формулы, связывающие размерность фрактала $d_f$ с порядком
дробной производной получены в работе \cite{ShogenovAkhkubekov}.

Как отмечается в \cite{Uchaikin_1} существуют достаточно много
подтверждений тому, что для диффузионного процесса характерно
нелинейное нарастание среднего квадратичного отклонения. Нарушения
проявляются во многих ситуациях, в том числе при движении частиц в
плазме \cite{ZaburdaevChukbar}, турбулентной диффузии частиц
\cite{KlafterShlesingerZumofen}. В качестве математических моделей
подобных процессов рассматриваются дифференциальные уравнения в
частных производных дробных порядков по пространству и времени
\cite{MainardiLuchko} --- \cite{Zhang}.

В работе \cite{Abrashina} для численного моделирования аномальной
диффузии в многомерной области применяется метод  приближенной
факторизации. Для первой начально-краевой задачи для
дифференциального уравнения с частными производными дробных порядков
по пространству и времени изучена чисто неявная схема на основе
метода приближенной факторизации, доказана устойчивость схемы для
рассматриваемого класса задач.

В работе \cite{Lazarov1} рассматривается первая начально-краевая
задача для одномерного уравнения параболического типа с дробной
производной Римана-Лиувилля по пространственной переменной
$$
u_t-\mathcal{D}_{x}^{\alpha}u=f,\ x\in D=(0,1),\ 0<t\leq  T,
$$
$$
u(0,t)=u(1,t)=0,\ 0<t\leq  T,
$$
$$
u(x,0)=v,\ x\in D,
$$
где $\alpha\in(1,2)$.\\
Рассматривается специальная полудискретная схема на основе метода
Галеркина, а также полностью дискретная схема, основанная на методе
Кранка-Николсона. Получены оценки для погрешности в нормах $L_2(D)$
и $H^{\alpha/2}(D)$ для полудискретной схемы и в норме $L_2(D)$ для
полностью дискретной схемы.

В работе \cite{Lazarov2} рассматривается вариационная формулировка
типа Петрова-Галеркина для одномерных краевых задач с дробной
производной Римана-Лиувилля порядка $\alpha\in\left(3/2,2\right)$.

В работе \cite{Lazarov3} рассматривается уравнение с производной
дробного порядка по времени с граничными условиями первого рода
$$
\displaystyle \partial^{\alpha}_{0t}u-\Delta u=f,\ x\in \Omega,\
0<t\leq  T,\ 0<\alpha<1,
$$
$$
u\big|_\Gamma=0,\ 0<t\leq  T, \Omega+\Gamma=\overline{\Omega},
$$
$$
u(x,0)=v,\ x\in \Omega.
$$

В работе получен дискретный аналог дробной производной по времени
порядка аппроксимации $O(\tau^{2-\alpha})$. Доказана сходимость
построенной схемы в норме $L_2(\Omega)$.

В работе \cite{Razn_met_for frakt_diffusion_eq} рассматриваются
разностные схемы для дифференциальных уравнений обыкновенных и с
частными производными второго порядка с дробной производной по
времени. Отдельно изучены стационарные и нестационарные задачи для
уравнения диффузии в одномерной и многомерной областях. Доказаны
устойчивость и сходимость разностных схем для рассматриваемых
уравнений.

В работах \cite{LOS_1_kr_zad} и \cite{Bazzaev03} были рассмотрены
локально-одномерные схемы для уравнения диффузии дробного порядка в
$p$-мерном параллелепипеде с краевыми условиями первого и третьего
рода соответственно, а в \cite{Bazzaev08} для уравнения
теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью. В
этих работах была доказана сходимость ЛОС в равномерной метрике при
$1/2<\alpha\leq 1$. В работе \cite{Bazzaev09} построены многомерные
разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка и доказана
сходимость разностных схем при всех $\alpha,\ 0<\alpha\leq 1$.
Работа \cite{Bazzaev11} посвящена рассмотрению локально-одномерных
разностных схем для уравнения диффузии дробного порядка с
переменными коэффициентами в области сложной формы. Доказаны
устойчивость и равномерная сходимость локально-одномерных схем для
рассматриваемой задачи.

%В \cite{Alikh:12} показано, что для получения априорных оценок при
%численном решении уравнения диффузии дробного порядка можно
%применять метод энергетических неравенств.
%
%В работе \cite{Diethelm1} приведен алгоритм экстраполяционного типа
%для численного решения дробно-дифференциальных уравнений первого
%порядка.
%
%Работа \cite{Diethelm2} посвящена исследованию существования,
%единственности и устойчивости решения нелинейных дифференциальных
%уравнений дробного порядка по времени.

В работах \cite{Povstenko1} --- \cite{Povstenko2} рассматриваются
дифференциальные уравнения теплопроводности дробного порядка с
краевыми условиями третьего рода.

Работа \cite{En:1} посвящена численному методу  второго порядка
точности решения дробного дифференциального уравнения диффузии.
Алгоритм численного решения, предложенный в данной работе, основан
на классическом методе Кранка-Николсона. Доказывается сходимость
предложенного метода.

Основополагающие элементы теории краевых задач для дифференциальных
уравнений с частными производными дробного порядка рассмотрены,
например, в монография \cite{Pskhu}.

В работах \cite{Luchko_1} --- \cite{Luchko_4} рассмотрена проблема
единственности решения начально-краевых задач для обобщенного
уравнения диффузии с дробной производной по времени в области $G
\times (0, T ), G \in R_n$. Доказывается принцип максимума для
рассматриваемой задачи. С помощью принципа максимума показано, что
рассматриваемая задача имеет единственное решение, зависящее от
входных данных задачи. Результаты этих работ использованы в работах
\cite{JuanJ.Nieto}, \cite{LiuAnhTurner} для доказательства принципа
максимума для дифференциального уравнения дробного порядка.

В работах \cite{MeerschaertMark} --- \cite{LinNg-2} рассматриваются
численные методы решения дифференциальных уравнений с дробной
производной Римана-Лиувилля по пространственной переменной, а также
вопросы устойчивости и сходимости.

В работе \cite{Bazzaev2017} построены разностные схемы для
дифференциальных уравнений дробного порядка по времени и по
пространству, а также построены локально-одномерные схемы для
многомерного дифференциального уравнения с дробной производной по
пространственной переменной.

В работе \cite{Alikh:2016} исследуется семейство разностных схем,
аппроксимирующих первую и третью краевые задачи для уравнения
диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами. Получены
достаточные условия устойчивости разностных схем. Методом
энергетических неравенств получены априорные оценки для
рассматриваемых краевых задач.

В работе \cite{AlikhApekovKhibiev:2021} рассматривается первая
краевая задача для уравнения Аллера дробного по времени порядка с
обобщенными функциями памяти. Для численного решения поставленной
задачи построены две разностные схемы повышенного порядка
аппроксимации. В случае переменных коэффициентов предложена
разностная схема второго порядка аппроксимации, как по времени, так
и по пространству. А для обобщенного уравнения Аллера с постоянными
коэффициентами предложена компактная разностная схема четвертого
порядка аппроксимации по пространственной переменной и второго
порядка по времени. Методом энергетических неравенств получены
априорные оценки для решений предложенных разностных схем. Доказана
их безусловная устойчивость и сходимость. Также показано, что
скорость сходимости совпадает с порядком погрешности аппроксимации в
случае достаточно гладкого решения исходной задачи.

Данная работа посвящена построению локально-одномерных схем для
уравнения диффузии с частными производными дробных порядков по
пространству и по времени в многомерной области. Для построенных ЛОС
доказан принцип максимума, а также устойчивость и равномерная
сходимость в случае, когда порядок дробной производной по времени
$\alpha\in\big(1/2;\ 1\big]$.

\section{Постановка задачи} В цилиндре $Q_{T}=G\times (0;\
T] $, основанием которого является $p$-мерный параллелепипед
$G=\{x=(x_1,x_2,\ldots,\ x_p): 0< x_k<\ell_k,\ k=1,\ 2,\ \ldots,
p\}$ с границей $\Gamma$, рассмотрим задачу:
\begin{equation}\label{FractionalDifferentialEquation}
\displaystyle \partial^{\alpha}_{0t}u =Lu + f(x,t),\ (x,t)\in Q_{T},
\end{equation}
где\\
$ Lu=\sum\limits_{k=1}^{p} L^{\beta_k}_k u,\ L^{\beta_k}_k
u=\partial_{0x_k}^{\beta_k}u + q_k(x,t)u,
\\\partial_{0x_k}^{\beta_k}u=\dfrac{1}{\Gamma(2-\beta_k)}\int\limits_{0}^{x_k}\dfrac{u_{\eta\eta}(x_1,
\ldots,x_{k-1},\eta,x_{k+1},\ldots,
x_p,t)}{(x_k-\eta)^{\beta_k-1}}d\eta $
--- дробная производная Капуто порядка $\beta_k,\ 1<\beta_k\leq 2$ по пространственной координате
$x_k$,\\
$u_{xx}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$,
$\partial^{\alpha}_{0t}u=\dfrac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int
\limits_0^t\dfrac{\dot{u}(x,\eta)}{(t-\eta)^{\alpha}}d\eta$ ---
дробная производная Капуто порядка $\alpha$, \ $0<\alpha<1$,
$\dot{u}=\dfrac{\partial u}{\partial t}$, $q_k\geq  q_{*}>0$.

К уравнению (\ref{FractionalDifferentialEquation}) присоединим
начальное и краевые условия
\begin{equation}\label{KraevieUsloviyaofFractionalDifferentialEquation}
\begin{cases}
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial u}{\partial
x_k}=\lambda_{-k}u-\mu_{-k}(x,t), \ x_k=0,\\

-\dfrac{\partial u}{\partial x_k}=\lambda_{+k}u-\mu_{+k}(x,t), \
x_k=\ell_k,
\end{array}
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}\label{fractional diffusion equation nachalnoe uslovie}
u(x,0)=u_0(x),\ x\in \overline{G},
\end{equation}
где $\lambda_{\pm k}\geq \lambda_*>0$.

В дальнейшем будем полагать, что задача
(\ref{FractionalDifferentialEquation}) --- (\ref{fractional
diffusion equation nachalnoe uslovie}) имеет единственное достаточно
гладкое решение, а также и входные данные задачи обладают
необходимой гладкостью.

\section{Локально-одномерная схема}
Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению
$Ox_k$ с шагом $h_k=\ell_k/N_k, \ k=1,\ 2,\ \ldots,\ p$:
$$
\overline{\omega}_{h_k}=\{x_k^{(i_k)}=(i_k h_k:
i_k=0,1,\ldots,N_k)\},\
\overline{\omega}=\prod\limits_{k=1}^{p}\overline{\omega}_{h_k}.
$$
На отрезке $[0;\ T]$ введем равномерную сетку
$$
\overline{\omega}_{\tau}=\{0,t_{j+k/p}=\left(j+k/p\right)\tau, \
j=0,1, \ldots,j_0-1,\ k=1,2, \ldots,p\},
$$
содержащую наряду с узлами $t_j=j\tau$ фиктивные узлы $t_{j+k/p}\ ,
\ k=1,2,\ldots ,p-1$. Будем обозначать через $\omega_{\tau}$ ---
множество узлов сетки $\overline{\omega}_{\tau}$, для которых $t>0$.

В работе \cite{Razn_met_for frakt_diffusion_eq} показано, что
дискретный аналог дробной производной Капуто порядка $\alpha, \
0<\alpha<1$ имеет вид \cite{LOS_1_kr_zad}:
\begin{equation}\label{DiskretniiAnalogDlyaMnogomernogoSluchaya}
\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int
\limits_0^{t_{j+k/p}}\frac{\dot{u}(x,\eta)}{(t_{j+k/p}-\eta)^{\alpha}}d\eta=\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\sum_{s
=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+(k-s+1)/p}-t^{1-\alpha}_{j+(k-s)/p}\right)u^{s/p}_{\overline{t}}+
O\left(\frac{\tau}{p}\right),
\end{equation} где
$u^{s/p}_{\overline{t}}=\dfrac{u^{s/p}-u^{(s-1)/p}}{\tau/p}$,
$u(t)\in C^2[0, T]$.

По аналогии с работой \cite {Alikh:2016} покажем, что этот результат
можно улучшить, если $u(t)\in C^3[0, T]$. Справедлива

\begin{lemma}\label{Lemma1} Если $u(t)\in C^2[0, T]$, то
\begin{equation}\label{DiskretniiAnalogDlyaMnogomernogoSluchaya}
\frac{1}{\Gamma(1-k)} \int
\limits_0^{t_{j+k/p}}\frac{\dot{u}(x,\eta)}{(t_{j+k/p}-\eta)^{\alpha}}d\eta=\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\sum_{s
=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+(k-s+1)/p}-t^{1-k}_{j+(k-s)/p}\right)u^{s/p}_{\overline{t}}+
O\left(\frac{\tau}{p}\right)^{2-\alpha},
\end{equation} где
$u^{s/p}_{\overline{t}}=\dfrac{u^\frac{s}{p}-u^{(s-1)/p}}{\tau/p}$.
\end{lemma}

\begin{proof}
$$
\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int
\limits_0^{t_{j+k/p}}\frac{\dot{u}(x,\eta)}{(t_{j+k/p}-\eta)^{\alpha}}d\eta=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\int
\limits_{t_{\frac{s-1}{p}}}^{t_{\frac{s}{p}}}\frac{\dot{u}(x,\eta)}{(t_{j+k/p}-\eta)^{\alpha}}d\eta=
$$
$$
=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\int
\limits_{t_{\frac{s-1}{p}}}^{t_{\frac{s}{p}}}\frac{\dot{u}(x,\overline{t})+(\eta-\overline{t})\ddot{u}(x,\overline{t})+O((\eta-\overline{t})^2)}{(t_{j+k/p}-\eta)^{\alpha}}d\eta=
$$
$$
=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\int
\limits_{t_{\frac{s-1}{p}}}^{t_{\frac{s}{p}}}\frac{\dot{u}(x,\overline{t})}{(t_{j+k/p}-\eta)^{\alpha}}d\eta+
\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\int
\limits_{t_{\frac{s-1}{p}}}^{t_{\frac{s}{p}}}\frac{(\eta-\overline{t})\ddot{u}(x,\overline{t})}{(t_{j+k/p}-\eta)^{\alpha}}d\eta+
O\left(\left(\frac{\tau}{p}\right)^2\right),
$$
$$
=\dfrac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\sum_{s =1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+(k-s+1)/p}-t^{1-\alpha}_{j+(k-s)/p}\right)u^{s/p}_{\overline{t}}+
$$
\begin{equation}\label{VivodDiskrAnalog}
+\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\int
\limits_{t_{\frac{s-1}{p}}}^{t_{\frac{s}{p}}}\frac{(\eta-\overline{t})\ddot{u}(x,\overline{t})}{(t_{j+k/p}-\eta)^{\alpha}}d\eta+
O\left(\left(\frac{\tau}{p}\right)^2\right).
\end{equation}
где $\overline{t}=t_{\frac{s}{p}-\frac{1}{2p}}$.

Оценим второе слагаемое в (\ref{VivodDiskrAnalog}):
$$
\Bigg|\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\int
\limits_{t_{\frac{s-1}{p}}}^{t_{\frac{s}{p}}}\frac{(\eta-\overline{t})\ddot{u}(x,\overline{t})}{(t_{j+k/p}-\eta)^{\alpha}}d\eta\Bigg|=
\Bigg|\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\ddot{u}(x,\overline{t})\int
\limits_{t_{\frac{s-1}{p}}}^{t_{\frac{s}{p}}}\frac{\eta-\overline{t}}{(t_{j+k/p}-\eta)^{\alpha}}d\eta\Bigg|\leq
$$
$$
\leq \Bigg|\frac{M}{\Gamma(1-\alpha)}\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\int
\limits_{t_{\frac{s-1}{p}}}^{t_{\frac{s}{p}}}\frac{\eta-\overline{t}}{(t_{j+k/p}-\eta)^{\alpha}}d\eta\Bigg|=
$$
$$
=\frac{M}{\Gamma(1-\alpha)}\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\Bigg|\int
\limits_{\overline{t}}^{t_{\frac{s}{p}}}\frac{\eta-\overline{t}}{(t_{j+k/p}-\eta)^{\alpha}}d\eta-\int
\limits^{\overline{t}}_{t_{\frac{s-1}{p}}}\frac{\overline{t}-\eta}{(t_{j+k/p}-\eta)^{\alpha}}d\eta\Bigg|=
$$
$$
=\frac{2^\alpha
M}{4\Gamma(1-\alpha)}\left(\frac{\tau}{p}\right)^{2-\alpha}\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\Bigg(\int
\limits_{0}^{1}\frac{z\, dz}{(2(pj+k-s)+1-z)^\alpha}-\int
\limits_{0}^{1}\frac{z\, dz}{(2(pj+k-s)+1+z)^\alpha}\Bigg)=
$$
$$
=\frac{2^\alpha
M}{4\Gamma(1-\alpha)}\left(\frac{\tau}{p}\right)^{2-\alpha}\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\Bigg(\int
\limits_{0}^{1}\frac{1}{(2(pj+k-s)+1-z)^\alpha}-\int
\limits_{0}^{1}\frac{1}{(2(pj+k-s)+1+z)^\alpha}\Bigg)z\, dz=
$$
$$
=\frac{2^\alpha
M}{4\Gamma(1-\alpha)}\left(\frac{\tau}{p}\right)^{2-\alpha}\int
\limits_{0}^{1}z\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\Bigg(\frac{1}{(2(pj+k-s)+1-z)^\alpha}-\int
\limits_{0}^{1}\frac{1}{(2(pj+k-s)+1+z)^\alpha}\Bigg) dz=
$$
$$
=\frac{2^\alpha
M}{4\Gamma(1-\alpha)}\left(\frac{\tau}{p}\right)^{2-\alpha}\int\limits_{0}^{1}\left(
\frac{z}{(3-z)^\alpha}-\frac{z}{(2(pj+k)+1+z)^\alpha}\right)dz-
$$
$$
-\frac{2^\alpha
M}{4\Gamma(1-\alpha)}\left(\frac{\tau}{p}\right)^{2-\alpha}\int\limits_{0}^{1}z\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\left(\frac{1}{(2(pj+k-s)+1-z)^\alpha}-\frac{1}{(2(pj+k+1)+1+z)^\alpha}\right)
dz\leq
$$
$$
\leq \frac{2^\alpha
M}{4\Gamma(1-\alpha)}\left(\frac{\tau}{p}\right)^{2-\alpha}\int\limits_{0}^{1}\frac{z\,dz}{(3-z)^\alpha}=\frac{2^\alpha
[(\alpha-4)2^{1-\alpha}+3^{2-\alpha}]
M}{4\Gamma(3-\alpha)}\left(\frac{\tau}{p}\right)^{2-\alpha},
$$
где $M=\max\limits_{0\leq  t\leq T}^{}|\ddot{u}(x,\overline{t})|$.

Лемма доказана.
\end{proof}

Аналогичный результат можно получить и для дробной производной
Капуто порядка $\beta,\ 1<\beta\leq 2$, по пространственной
переменной $x$. В работе \cite{Bazzaev2017} построен дискретный
аналог дробной производной порядка $\beta,\ 1<\beta\leq 2$, по
пространственной переменной $x$:
$$
\Delta^\beta_{0x_i}v=\dfrac{1}{\Gamma(3-\beta)}\sum\limits_{s=1}^{i}\left(x^{2-\beta}_{i-s+1}-x^{2-\beta}_{i-s}\right)v_{\overline{x}x,s},\
1<\beta\leq  2, \ v_{\overline{x}x,s} =\dfrac{u_{s+1} -
2u_{s}+u_{s-1}}{h^2},
$$
а также показано, что
\begin{equation}\label{Lemma2}
\partial^\beta_{0x_i}v=\Delta^\beta_{0x_i}v+O(h),
\end{equation}
при условии, что $v(x) \in C^3[0, \ell]$. Как и выше покажем, что
этот результат также можно улучшить при $v(x) \in C^{4}[0, \ell]$.

Итак, справедлива
\begin{lemma}\label{Lemma:2} Для любой функции $v(x) \in C^{4}[0, \ell]$ справедливо равенство
$$\displaystyle
\partial^{\beta_{k}}_{0x_{i_{k}}}v_{k} =
\dfrac{1}{\Gamma(3-\beta_{k})}\sum\limits_{s=1}^{i_{k}}\left(x^{2-\beta_{k}}_{i_{k}-s+1}-x^{2-\beta}_{i_{k}-s}\right)v_{\overline{x_{k}}x_{k},s}
+ O(h_{k}^{3-\beta_{k}}),\ 1<\beta_{k}\leq  2.
$$
\end{lemma}

\begin{proof}
$$
\displaystyle
\partial^{\beta_{k}}_{0x_{i_{k}}}v_{k}=\dfrac{1}{\Gamma(2-\beta_{k})}\int\limits_{0}^{x_{i_{k}}}\dfrac{v^{''}(\xi)d\xi}{(x_{i_{k}}-\xi)^{\beta_{k}-1}}=
\dfrac{1}{\Gamma(2-\beta_{k})}\sum\limits_{s=1}^{i_{k}}\int\limits_{x_{s-1}}^{x_s}\dfrac{v^{''}(\xi)d\xi}{(x_{i_{k}}-\xi)^{\beta_{k}-1}}=
$$
$$
=\dfrac{1}{\Gamma(2-\beta_{k})}\sum\limits_{s=1}^{i_{k}}\int\limits_{x_{s-1}}^{x_s}\dfrac{v^{''}(x_{s-1/2})+v^{'''}(x_{s-1/2})(\xi-x_{s-1/2})+O((\xi-x_{s-1/2})^2)}{(x_{i_{k}}-\xi)^{\beta_{k}-1}}d\xi=
$$
$$
=\dfrac{1}{\Gamma(2-\beta_{k})}\sum\limits_{s=1}^{i}v_{\overline{x_{k}}x_{k},s-1/2}\int\limits_{x_{s-1}}^{x_s}\dfrac{d\xi}{(x_{i_{k}}-\xi)^{\beta_{k}-1}}+
$$
$$
+\dfrac{1}{\Gamma(2-\beta_{k})}\sum\limits_{s=1}^{i_{k}}v^{'''}(x_{s-1/2})\int\limits_{x_{s-1}}^{x_s}\dfrac{(\xi-x_{s-1/2})}{(x_{i_{k}}-\xi)^{\beta_{k}-1}}d\xi
+ O(h^2).
$$

Оценим величину
$$
\left|\dfrac{1}{\Gamma(2-\beta_{k})}\sum\limits_{s=1}^{i_{k}}v^{'''}(x_{s-1/2})\int\limits_{x_{s-1}}^{x_s}\dfrac{(\xi-x_{s-1/2})}{(x_{i_{k}}-\xi)^{\beta_{k}-1}}d\xi\right|\leq
$$
$$
\leq
\dfrac{M_{k}}{\Gamma(2-\beta)}\sum\limits_{s=1}^{i_{k}}\left|\,\int\limits_{x_{s-1}}^{x_s}\dfrac{(\xi-x_{s-1/2})}{(x_{i_{k}}-\xi)^{\beta_{k}-1}}d\xi\right|
=
$$
$$
=
\dfrac{M_{k}}{\Gamma(2-\beta_{k})}\sum\limits_{s=1}^{i_{k}}\left|\,\int\limits_{x_{s-1/2}}^{x_s}\dfrac{\xi-x_{s-1/2}}{(x_i-\xi)^{\beta_{k}-1}}d\xi
 - \int\limits_{x_{s-1}}^{x_{s-1/2}}\dfrac{x_{s-1/2} - \xi}{(x_{i_{k}}-\xi)^{\beta_{k}-1}}d\xi\,\right| =
$$
$$
=
\dfrac{2^{\beta_{k}-1}h^{3-\beta_{k}}\,M_{k}}{4\Gamma(2-\beta_{k})}\sum\limits_{s=1}^{i_{k}}\left|\,\int\limits_{0}^{1}\dfrac{zdz}{(2(i_{k}-s)+1-z)^{\beta_{k}-1}}
 - \int\limits_{0}^{1}\dfrac{zdz}{(2(i_{k}-s)+1+z)^{\beta_{k}-1}}\,\right| =
$$
$$
=
\dfrac{2^{\beta_{k}-1}h_{k}^{3-\beta}\,M_{k}}{4\Gamma(2-\beta_{k})}\int\limits_{0}^{1}z\sum\limits_{s=0}^{i_{k}-1}\left(\dfrac{1}{(2s+1-z)^{\beta_{k}-1}}
 - \dfrac{1}{(2s+1+z)^{\beta_{k}-1}}\,\right) dz =
$$
$$
=
\dfrac{2^{\beta_{k}-1}h_{k}^{3-\beta_{k}}\,M_{k}}{4\Gamma(2-\beta_{k})}\int\limits_{0}^{1}z\left(\dfrac{1}{(1-z)^{\beta_{k}-1}}
 - \dfrac{1}{(2i_{k}-1+z)^{\beta_{k}-1}}\right) dz+
$$
$$
+
\dfrac{2^{\beta_{k}-1}h_{k}^{3-\beta_{k}}\,M_{k}}{4\Gamma(2-\beta_{k})}\int\limits_{0}^{1}z\sum\limits_{s=1}^{i_{k}-1}\left(\dfrac{1}{(2s-1+z)^{\beta_{k}-1}}
- \dfrac{1}{(2s+1-z)^{\beta_{k}-1}}\right) dz =
$$
$$
=
\dfrac{2^{\beta_{k}-1}h^{3-\beta_{k}}\,M_{k}}{4\Gamma(2-\beta_{k})}\int\limits_{0}^{1}\left(\dfrac{z}{(1-z)^{\beta_{k}-1}}
 - \dfrac{z}{(2i-1+z)^{\beta_{k}-1}}\right) dz -
$$
$$
-
\dfrac{2^{\beta_{k}-1}h_{k}^{3-\beta_{k}}\,M_{k}}{4\Gamma(2-\beta_{k})}\int\limits_{0}^{1}z\sum\limits_{s=1}^{i_{k}-1}\left(\dfrac{1}{(2s-1+z)^{\beta_{k}-1}}
- \dfrac{1}{(2s+1-z)^{\beta_{k}-1}}\right)dz \leq
$$
$$
\leq
\dfrac{2^{\beta_{k}-1}h_{k}^{3-\beta_{k}}\,M_{k}}{4\Gamma(2-\beta_{k})}\int\limits_{0}^{1}\left(\dfrac{z}{(1-z)^{\beta_{k}-1}}
 - \dfrac{z}{(2i_{k}-1+z)^{\beta_{k}-1}}\right) dz =
$$
$$
=
\dfrac{2^{\beta_{k}-1}h_{k}^{3-\beta_{k}}\,M_{k}}{4\Gamma(2-\beta_{k})}\int\limits_{0}^{1}\dfrac{zdz}{(1-z)^{\beta_{k}-1}}
-
\dfrac{2^{\beta_{k}-1}h^{3-\beta_{k}}\,M_{k}}{4\Gamma(2-\beta_{k})}\int\limits_{0}^{1}\dfrac{z
dz}{(2i_{k}-1+z)^{\beta_{k}-1}} \leq
$$
$$
\leq
\dfrac{2^{\beta_{k}-1}h_{k}^{3-\beta_{k}}\,M_{k}}{4\Gamma(2-\beta_{k})}\int\limits_{0}^{1}\dfrac{zdz}{(1-z)^{\beta_{k}-1}}=
$$
$$
=
\dfrac{2^{\beta_{k}-1}h_{k}^{3-\beta_{k}}\,M_{k}}{4\Gamma(2-\beta_{k})}\,\dfrac{1}{(2-\beta_{k})(3-\beta_{k})}
=
\dfrac{2^{\beta_{k}-1}\,M_{k}}{4\Gamma(4-\beta_{k})}\,h_{k}^{3-\beta_{k}},
$$
где $ M_{k} = \max\limits_{0\leq x_{k}\leq
\ell_{k}}^{}|v^{'''}(x_{k})|$.

Лемма доказана.
\end{proof}

По аналогии с (\cite{TRS}, с. 522) уравнению
(\ref{FractionalDifferentialEquation}) поставим в соответствие
цепочку одномерных уравнений
$$
\mathcal{P}_k u=0,\ \text{где}\ \mathcal{P}_k
u=\frac{1}{p}\,\displaystyle
\partial^{\alpha}_{0t}u-L_k^{\beta_k} u-f_k,\
\sum\limits_{k=1}^{p}f_k=f.
$$
Уравнение (\ref{FractionalDifferentialEquation}) перепишем в виде
$$
\mathcal{P} u=\displaystyle \partial^{\alpha}_{0t}u-Lu-f=0,
$$
или
$$
\sum\limits_{k=1}^{p}\mathcal{P}_{k}u=0, \quad \mathcal{P}_{k}u =
\frac{1}{p}\partial^{\alpha}_{0t}u-L_k u-f_k.
$$

На каждом полуинтервале $\Delta_{k}=\big(t_{j+(k-1)/p},\
t_{j+k/p}\big],\ k=1,2, \ldots,\ p$,\ будем последовательно решать
задачи
\begin{equation}\label{OdnomernoeFractionalDifferentialEquation}
\mathcal{P}_{k}v_{(k)}=\frac{1}{p}\,\displaystyle
\partial^{\alpha}_{0t}v_{(k)}-L_k^{\beta_k}
v_{(k)}-f_k=0,\ t\in\Delta_{k},\ k=1,2,\ldots,p,
\end{equation}

\begin{equation}\label{OdnomernieKraevieUsloviyalForFractionalDifferentialEquation}
\begin{cases}
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial v_{(k)}}{\partial
x_k}=\lambda_{-k}v_{(k)}-\mu_{-k}(x,t), \  x_k=0, \\

-\dfrac{\partial v_{(k)}}{\partial
x_k}=\lambda_{+k}v_{(k)}-\mu_{+k}(x,t), \ x_k=\ell_k,
\end{array}
\end{cases}
\end{equation}
полагая при этом следующее:
\begin{equation}\label{usl_soglasovania}
\begin{array}{c}
v_{(1)}(x,0)=u_0(x),\\
v_{(k)}(x,t_{j+(k-1)/p})=v_{(k-1)}(x,t_{j+(k-1)/p}),
\ k=2,3,\ \ldots,\ p,\\

v_{(1)}(x,t_j)=v_{(p)}(x,t_j),\ j=1,2,\ \ldots ,\ j_0-1.\\
\end{array}
\end{equation}

Каждое из уравнений (\ref{OdnomernoeFractionalDifferentialEquation})
номера $k$ аппроксимируем неявной двухслойной схемой
\begin{equation}\label{LOS:FractionalDifferentialEquation}
\Delta_{0t_{j+k/p}}^\alpha y = \Lambda_k \left(\sigma_k
y^{j+k/p}+(1-\sigma_k)y^{j+(k-1)/p}\right)+\varphi^{j+k/p}_k,\
k=1,2,\ldots,p,
\end{equation}
где
$$
\Delta_{0t_{j+k/p}}^\alpha y =
\dfrac{1}{p}\dfrac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\left(t^{1-\alpha}_{j+(k-s+1)/p}-t^{1-\alpha}_{j+(k-s)/p}\right)y^\frac{s}{p}_{\overline{t}},
$$
$$
\Lambda_k
y=\dfrac{1}{\Gamma(3-\beta_k)}\sum\limits_{s=1}^{i_k}\left(x_{i_k-s+1}^{2-\beta_k}-x_{i_k-s}^{2-\beta_k}\right)
y_{\overline{x}_k x_k,s} - d_k y,
$$
$$
y^{(\sigma_k)}=\sigma_k y^{j+k/p}+(1-\sigma_k)y^{j+(k-1)/p},\ 0\leq
\sigma_k\leq 1,
$$
\begin{equation}\label{LOS:KraevieUusloviyaForFractionalDifferentialEquation}
\begin{cases}
\begin{array}{c}
\left(y^{j+k/p}_{x_k,0} - \lambda_{-k}y^{j+k/p}_{0}\right)^{\sigma_k} = -\mu_{-k},\ x_k=0,\\

-\left(y^{j+k/p}_{\overline{x}_k,N_k} -
\lambda_{+k}y^{j+k/p}_{N_k}\right)^{\sigma_k} = -\mu_{+k},\
x_k=\ell_k,
\end{array}
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}\label{LOS:NachalnoeUusloviye}
y(x,0)=u_0(x).
\end{equation}

Среди неявных схем наибольшее распространение в вычислительной
практике получили симметричная схема ($\sigma_k = 0,5$) и чисто
неявная схема ($\sigma_k = 1$) (см., например,
\cite{Vabishevich-VichTeploperedacha} стр. 248). В дальнейшем для
простоты будем рассматривать случай чисто неявных схем.

\section{Погрешность аппроксимации ЛОС}

Подставляя $y^{j+k/p}=z^{j+k/p}+u^{j+k/p}$ в уравнение
(\ref{LOS:FractionalDifferentialEquation}), получим уравнение для
погрешности $z^{j+k/p}$:
\begin{equation}\label{LOS:PogreshnostOfFractionalDifferentialEquation}
\Delta_{0t_{j+k/p}}^\alpha z=\Lambda_k z^{j+k/p}+\psi^{j+k/p}_k,\
k=1,2,\ldots,p,
\end{equation}
где
$$
\psi^{j+k/p}_k=\Lambda_k
u^{j+k/p}+\varphi^{j+k/p}_k-\Delta_{0t_{j+k/p}}^\alpha u.
$$
Обозначив через
$$
{\mathop{\psi}\limits^\circ}_{k}=\left(L_k^{\beta_k}
u+f_k-\dfrac{1}{p}\partial^{\alpha}_{0t}u\right)^{j+1/2}
$$
заметим, что
$$
\sum\limits_{k =1}^{p}{\mathop{\psi}\limits^\circ}_{k}=0, \
\text{если} \ \sum\limits_{k =1}^{p}f_k=f.
$$
Представим $\psi_k=\psi^{j+k/p}_k$ в виде
$$
\psi_k={\mathop{\psi}\limits^\circ}_{k}+{\mathop{\psi}\limits^*}_{k},
$$
тогда
$$
\psi^{j+k/p}_k=\left(\Lambda_k u^{j+k/p}+\varphi^{j+k/p}_k
-\Delta_{0t_{j+k/p}}^\alpha u\right)-
$$
$$
- \left(L_k^{\beta_k}
u+f_k-\dfrac{1}{p}\partial^{\alpha}_{0t}u\right)^{j+1/2}+{\mathop{\psi}\limits^\circ}_{k}=
$$
$$
=\left(\Lambda_k u^{j+k/p}-\left(L_k^{\beta_k}
u\right)^{j+1/2}\right)+\left(\varphi^{j+k/p}_k-f^{1+1/2}_k\right)-
$$
$$
-\left(\Delta_{0t_{j+k/p}}^\alpha u -
\dfrac{1}{p}\left(\partial^{\alpha}_{0t}u\right)^{j+1/2}\right)+{\mathop{\psi}\limits^\circ}_{k}={\mathop{\psi}\limits^\circ}_{k}+{\mathop{\psi}\limits^*}_{k},
$$
где
$$
{\mathop{\psi}\limits^*}_{k}=\left(\Lambda_k
u^{j+k/p}-\left(L_k^{\beta_k}
u\right)^{j+1/2}\right)+\left(\varphi^{j+k/p}_k-f^{j+1/2}_k\right)-
$$
$$
- \left(\Delta_{0t_{j+k/p}}^\alpha
u-\dfrac{1}{p}\left(\partial^{\alpha}_{0t}u\right)^{j+1/2}\right).
$$
Из определения $\Lambda_k$ и $\varphi_k$ следует, что $$
{\mathop{\psi}\limits^*}_{k}=O(h^{3-\beta_k}_k+\tau^{2-\alpha}), \
{\mathop{\psi}\limits^\circ}_{k}=O(1),$$ $$\sum\limits_{k=1}^p
{\mathop{\psi}\limits^\circ}_{k}=0.$$

Таким образом,
$$
\psi=\sum\limits_{k=1}^p\psi_k=\sum\limits_{k=1}^p({\mathop{\psi}\limits^\circ}_{k}+{\mathop{\psi}\limits^*}_{k})=
\sum\limits_{k=1}^p{\mathop{\psi}\limits^*}_{k}=O\left(|h|^{3-\beta_k}+\tau^{2-\alpha}\right).
$$

Граничные условия запишем в виде
\begin{equation}\label{LOS:PogreshnostOfKraevieUusloviyaForFractionalDifferentialEquation}
\left\{
  \begin{array}{ll}
   z^{j+k/p}_{x_k,0}-\lambda_{-k}z^{j+k/p}_{0}=\psi_{-k},\ \psi_{-k}=
\lambda_{-k}u_0^{j+k/p}-u^{j+k/p}_{x_k,0}-\mu_{-k},\\
    z^{j+k/p}_{\overline{x}_k,N_k}-\lambda_{+k}z^{j+k/p}_{N_k}=\psi_{+k},\ \psi_{+k}=
\lambda_{+k}u_{N_k}^{j+k/p}-u^{j+k/p}_{\overline{x}_k,N_k}-\mu_{+k},
  \end{array}
\right.
\end{equation}
\begin{equation}\label{LOS:PogreshnostOfNachalnoeUusloviyeZ}
z(x,0)=0,
\end{equation}
где $$\psi_{-k},\ \psi_{+k}=O(h).$$

Таким образом, схема (\ref{LOS:FractionalDifferentialEquation}) ---
(\ref{LOS:NachalnoeUusloviye}) обладает суммарной аппроксимацией
$$
\psi=\sum\limits_{k=1}^p\psi_k=\sum\limits_{k=1}^p({\mathop{\psi}\limits^\circ}_{k}+{\mathop{\psi}\limits^*}_{k})=
\sum\limits_{k=1}^p{\mathop{\psi}\limits^*}_{k}=O\left(|h|+\tau^{2-\alpha}\right).
$$

\section{Устойчивость ЛОС}\label{Stability}

Чтобы получить оценку для решения разностной задачи
(\ref{LOS:FractionalDifferentialEquation}) ---
(\ref{LOS:NachalnoeUusloviye}), приведем уравнение и граничные
условия к каноническому виду (\cite{URS}, стр. 339):
\begin{equation}\label{KanonicheskiiVidObshegoRaznostnogoUravneniya}
\begin{array}{cc}
A(P)y(P)=\sum\limits_{Q\in\text{Ш}'(P)}^{}B(P,Q)y(Q)+F(P),\
P\in\omega,\\

A(P)>0,\ B(P,Q)>0,\
D(P)=A(P)-\sum\limits_{Q\in\text{Ш}'(P)}^{}B(P,Q)\geq 0 \ \text{для
всех}\ P\in\omega,
\end{array}
\end{equation}
$\omega$ --- множество узлов сетки в некоторой ограниченной области
$n$ - мерного евклидова пространства.

Каноническую форму уравнения
(\ref{LOS:FractionalDifferentialEquation}) запишем в виде
$$
\left(\dfrac{2\tau^\alpha}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}-\dfrac{(2^{2-\beta_{k}}-1)\tau^\alpha}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}+\dfrac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
+
d_k\right)y_{i_{k}}^{j+k/p}=\dfrac{\tau^\alpha}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}y_{i_{k}+1}^{j+k/p}+
$$
$$
+\left(\dfrac{\tau^\alpha}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}-\dfrac{2(2^{2-\beta_{k}}-1)\tau^\alpha}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}+\dfrac{\tau^\alpha(3^{2-\beta_{k}}-2^{2-\beta_{k}})}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}\right)y_{i_{k}-1}^{j+k/p}+
$$
$$
+\left(\dfrac{\tau^\alpha(2^{2-\beta_{k}}-1)}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}-\dfrac{2\tau^\alpha(3^{2-\beta_{k}}-2^{2-\beta_{k}})}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}+\dfrac{\tau^\alpha(4^{2-\beta_{k}}-3^{2-\beta_{k}})}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}\right)y_{i_{k}-2}^{j+k/p}+\ldots+
$$
$$
+\Bigg(\dfrac{\tau^\alpha[(i_{k}-3)^{2-\beta_{k}}-(i_{k}-4)^{2-\beta_{k}}]}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}-\dfrac{2\tau^\alpha[(i_{k}-2)^{2-\beta_{k}}-(i_{k}-3)^{2-\beta_{k}}]}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}+
$$
$$
+\dfrac{\tau^\alpha[(i_{k}-1)^{2-\beta_{k}}-(i_{k}-2)^{2-\beta_{k}}]}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}\Bigg)y_{3}^{j+k/p}+\Bigg(\dfrac{\tau^\alpha[(i_{k}-2)^{2-\beta_{k}}-(i_{k}-3)^{2-\beta_{k}}]}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}-
$$
$$
-\dfrac{2\tau^\alpha[(i_{k}-1)^{2-\beta_{k}}-(i_{k}-2)^{2-\beta_{k}}]}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}+\dfrac{\tau^\alpha[i_{k}^{2-\beta_{k}}-(i_{k}-1)^{2-\beta_{k}}]}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}\Bigg)y_{2}^{j+k/p}+
$$
$$
+\Bigg(\dfrac{\tau^\alpha[(i_{k}-1)^{2-\beta_{k}}-(i_{k}-2)^{2-\beta_{k}}]}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}-\dfrac{2\tau^\alpha[i_{k}^{2-\beta_{k}}-(i_{k}-1)^{2-\beta_{k}}]}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^{\beta_{k}}}+
$$
$$
+(1-\lambda_{-k}h_{k})\dfrac{\tau^\alpha[i_{k}^{2-\beta_{k}}-(i_{k}-1)^{2-\beta_{k}}]}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^\beta}\Bigg)y_{1}^{j+k/p}+
$$
$$
+\dfrac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\Big\{\left[(j+1)^{1-\alpha}-j^{1-\alpha}\right]y_{i_{k}}^{0}+\left[-(j+1)^{1-\alpha}+2j^{1-\alpha}-(j-1)^{1-\alpha}\right]y_{i_{k}}^{1}+
$$
\begin{equation}\label{KanonicheskiiVidRaznostnogoUravneniya}
+\ldots+(-2^{1-\alpha}+2)y_{i_{k}}^{j+(k-1)/p}\Big\}+\varphi_{i_{k}}\tau^\alpha+\dfrac{\mu_{-k}h_{k}}{1+\lambda_{-k}h_{k}}\dfrac{\tau^\alpha(x_{i_{k}}^{2-\beta_{k}}-x_{i_{k}-1}^{2-\beta_{k}})}{\Gamma(3-\beta_{k})h_{k}^2}.
\end{equation}

Заметим, что \cite{Razn_met_for frakt_diffusion_eq}
$$
-(j+1)^{1-\alpha}+2j^{1-\alpha}-(j-1)^{1-\alpha}>0,\ j\geq 1,
$$
$$
A(P)=\dfrac{2\tau^\alpha}{\Gamma(3-\beta_k)h_{k}^{\beta_k}}-\dfrac{(2^{2-\beta_k}-1)\tau^\alpha}{\Gamma(3-\beta_k)h_{k}^{\beta_k}}+\dfrac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
+ d_k>0
$$
и все коэффициенты, стоящие перед $y_{s}^{j+k/p},\ s=2,3,\ldots,
i_k+1$, положительны, а коэффициент при $y_1^{j+k/p}$ положителен
при малых $h_k$. При написании канонической формы
(\ref{KanonicheskiiVidRaznostnogoUravneniya}) был использован
разностный аналог граничного условия при $x_k=0,\
y_{x_k,0}=\lambda_{-k}y_0-\mu_{-k}$, или
$y_0=(1-\lambda_{-k}h_k)y_1+\dfrac{\mu_{-k}h_k}{1+\lambda_{-k}h_k},\
h_k<\dfrac{1}{\lambda_{-k}}$.

Нетрудно заметить, что
$$
D(P(x_{i_k},t_{j+1}))=\dfrac{\lambda_{-k}\tau^\alpha(x_{i_k}^{2-\beta_k}-x_{{i_k}-1}^{2-\beta_k})}{\Gamma(3-\beta_k)h_k}+d_k>0,
$$
$$
D(P(0,t_{j+1}))=\lambda_{-k},\ D(P(\ell_k,t_{j+1}))=\lambda_{+k},\
\beta_{\pm k}\geq \lambda_*>0.
$$

\begin{remark} В общем случае схемы с весами, когда
$0\leq \sigma_k\leq 1$, коэффициенты $B(P,Q)>0$, если
\begin{equation}\label{UslovieNaShagTau}
\tau^\alpha\leq
\dfrac{\Gamma(3-\beta_k)(2-2^{1-\alpha})h_k^{\beta_k}}{(1-\sigma_k)(3-2^{2-\beta_k})},
\end{equation}
Т.о., при условии (\ref{UslovieNaShagTau}) на шаг сетки по времени
принцип максимума сохраняется и в общем случае.

При $\alpha\rightarrow1, \beta_k\rightarrow2, \ k=1,2,\ldots, p,$
(\ref{UslovieNaShagTau}) переходит в хорошо известное условие
$$\tau\leq \dfrac{h_k^2}{2(1-\sigma_k)}.$$
\end{remark}


Итак, так как $D(P)>0$ на всей сетке
$\overline{\omega}_{h\tau}=\overline{\omega}_{h}\times\overline{\omega}_{\tau}$,
то при каждом $k=1,2,\ldots,p$ для решения задачи
(\ref{LOS:FractionalDifferentialEquation}) ---
(\ref{LOS:NachalnoeUusloviye}) из принципа максимума следует оценка
$$
\|y^{j+k/p}\|_{C_h}\leq
\|u_0(x)\|_{C_h}+\dfrac{2}{\lambda_*}\sum\limits_{k=1}^{p}\max\limits_{t\in\omega_{\tau}}^{}
\left(\|\mu_{-k}(t)\|_{C_{\gamma_k^-}}+\|\mu_{+k}(t)\|_{C_{\gamma_k^+}}\right)+
$$
\begin{equation}\label{LOS:ApriornayaOtsenkaLOS}
+\dfrac{\ell_k^{\beta_k-1}\Gamma(2-\beta_k)}{\lambda_*}\max\limits_{t\in\omega_{\tau}}^{}
\|\varphi_{k}^{j+k/p}\|_{C_{h}},
\end{equation}
где $\gamma_k^-$ --- множество левых граничных узлов, $\gamma_k^+$
--- множество правых граничных узлов,
$\gamma=\gamma_k^-+\gamma_k^+$, где
$\|y\|_{C_h}=\max\limits_{x\in\omega_h}^{}|y(x)|$.

Суммируя (\ref{LOS:ApriornayaOtsenkaLOS}) по всем $k$ от $1$ до $p$,
получим
$$
\sum\limits_{k=1}^{p}\|y^{j+k/p}\|_{C_h}\leq
p\|u_0(x)\|_{C_h}+\dfrac{2}{\lambda_*}\sum\limits_{k=1}^{p}\max\limits_{t\in\omega_{\tau}}^{}
\left(\|\mu_{-k}(t)\|_{C_{\gamma_k^-}}+\|\mu_{+k}(t)\|_{C_{\gamma_k^+}}\right)+
$$
$$
+\sum\limits_{k=1}^{p}\dfrac{\ell_k^{\beta_k-1}\Gamma(2-\beta_k)}{\lambda_*}\max\limits_{0\leq
j'\leq  j}^{} \|\varphi^{j'+k/p}\|_{C_{h}},
$$
или
$$
\|y^{j+1}\|_{C_h}\leq
p\|u_0(x)\|_{C_h}+\dfrac{2}{\lambda_*}\sum\limits_{k=1}^{p}\max\limits_{t\in\omega_{\tau}}^{}
\left(\|\mu_{-k}(t)\|_{C_{\gamma_k^-}}+\|\mu_{+k}(t)\|_{C_{\gamma_k^+}}\right)+
$$
\begin{equation}\label{LOS:ItogovayaApriornayaOtsenka}
+\sum\limits_{k=1}^{p}\dfrac{\ell_k^{\beta_k-1}\Gamma(2-\beta_k)}{\lambda_*}\max\limits_{0\leq
j'\leq  j}^{} \|\varphi^{j'+k/p}\|_{C_{h}}.
\end{equation}

Таким образом, справедлива следующая
\begin{theorem}\label{TheoremStabilityLOS} Локально-одномерная схема
(\ref{LOS:FractionalDifferentialEquation})
--- (\ref{LOS:NachalnoeUusloviye}) устойчива по начальным данным и правой части, так что для задачи (\ref{LOS:FractionalDifferentialEquation})
--- (\ref{LOS:NachalnoeUusloviye}) справедлива оценка (\ref{LOS:ItogovayaApriornayaOtsenka}).
\end{theorem}

\section{Равномерная сходимость ЛОС}
Обозначим через $z_{(k)}=z^{j+k/p}$ и представим решение задачи
(\ref{LOS:PogreshnostOfFractionalDifferentialEquation}) ---
(\ref{LOS:PogreshnostOfNachalnoeUusloviyeZ}) в виде суммы
$$
z_{(k)}=v_{(k)}+\eta_{(k)},
$$
где $\eta_{(k)}$ определяется условиями
$$
\dfrac{1}{p}\dfrac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\left(t^{1-\alpha}_{j+(k-s+1)/p}-t^{1-\alpha}_{j+(k-s)/p}\right)\eta^\frac{s}{p}_{\overline{t}}={\mathop{\psi}\limits^\circ}_{k},\
x\in\omega_{h_k}+\gamma_{h_k},\ k=1,2,\ldots,p,
$$
$$
\eta(x,0)=0.
$$
По аналогии с \cite{LOS_1_kr_zad}, \cite{Bazzaev03} доказывается,
что $$\eta^{j+k/p}_{(k)}=O(\tau^{\alpha}),\ k=1,2, \ldots, p,\quad
j=0,1,2, \ldots, j_{0}-1.$$

Функция $v_{(k)}$ определяется условиями
\begin{equation}\label{ZadachaForV_alpha}
\dfrac{1}{p}\dfrac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\sum\limits_{s=1}^{pj+k}\left(t^{1-\alpha}_{j+(k-s+1)/p}-t^{1-\alpha}_{j+(k-s)/p}\right)\eta^\frac{s}{p}_{\overline{t}}=\Lambda_k
v_{(k)}+\widetilde{\psi}_k,\
\widetilde{\psi}_k=\Lambda_k\eta_{(k)}+{\mathop{\psi}\limits^*}_{k},
\end{equation}

\begin{equation}\label{KraevieUsloviyaForV_alpha}
\left\{
  \begin{array}{ll}
   v_{x_k,0}=\lambda_{-k}v_{0}+\widetilde{\psi}_{-k},\ \widetilde{\psi}_{-k}=
-\eta_{x_k,0}^{j+k/p}+\lambda_{-k}\eta_{(k)}-\psi_{-k},\\
   -v_{\overline{x}_k,N_k}=\lambda_{+k}v_{N_k}+\widetilde{\psi}_{+k},\ \widetilde{\psi}_{+k}=
\eta_{\overline{x}_k,N_k}^{j+k/p}+\lambda_{+k}\eta_{(k)}-\psi_{+k},
  \end{array}
\right.
\end{equation}
\begin{equation}\label{NachalnieUsloviyaForV_alpha}
v_{(k)}(x,0)=0.
\end{equation}

Воспользуемся теперь (\ref{LOS:ItogovayaApriornayaOtsenka}) для
оценки решения задачи (\ref{ZadachaForV_alpha}) --
(\ref{NachalnieUsloviyaForV_alpha}) $v_{(k)}$:
$$
\|v^{j+1}\|_{C_h}\leq
\dfrac{2}{\lambda_*}\sum\limits_{k=1}^{p}\max\limits_{t\in\omega_{\tau}}^{}
\left(\|\widetilde{\psi}_{-k}(t)\|_{C_{\gamma_k^-}}+\|\widetilde{\psi}_{+k}(t)\|_{C_{\gamma_k^+}}\right)+
$$
\begin{equation}\label{OtsenkaForV_alpha}
+\sum\limits_{k=1}^{p}\dfrac{\ell_k^{\beta_k-1}\Gamma(2-\beta_k)}{\lambda_*}\max\limits_{0\leq
j'\leq  j}^{} \|\widetilde{\psi}^{j'+k/p}\|_{C_{h}}.
\end{equation}

Если существуют непрерывные в замкнутой области $\overline{Q}_T$
производные $\dfrac{\partial^4u}{\partial x_k^2\partial
x_\beta^2}$,\\ $k\neq\beta$, то
$\Lambda_k\eta_{(k)}=-\tau^\alpha\Lambda_k\left({\mathop{\psi}\limits^\circ}_{k+1}+\ldots+{\mathop{\psi}\limits^\circ}_{p}\right)=O(\tau^\alpha)$,
$\widetilde{\psi}_{-k}=\widetilde{\psi}_{+k}=O(h)$.

Поэтому из оценки (\ref{OtsenkaForV_alpha}) получаем
$$
\|z^j\|_{C_h}\leq \|v^j\|_{C_h}\leq
M\left(\dfrac{h}{\tau^{1-\alpha}}+\tau^{2\alpha-1}\right),
$$
так как $\eta^j=0$ для всех $j=0,1,\ldots,j_0$.

Таким образом, имеет место следующая
\begin{theorem}\label{TheoremOSkhodimostLOS} Пусть задача (\ref{FractionalDifferentialEquation}) --- (\ref{fractional diffusion equation nachalnoe uslovie}) имеет единственное непрерывное в
$\overline{Q}_{T}$ решение $u(x,t)$ и существуют непрерывные в
$\overline{Q}_{T}$ производные
$$
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}, \
\frac{\partial^{4}u}{\partial x_{k}^{2}\partial x_{s}^{2}}, \
\frac{\partial^{2+\alpha}u}{\partial x_{k}^{2}\partial t^\alpha}, \
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}_{k}}, \ 1\leq  k, s\leq  p,\
k\neq s.
$$
Тогда локально-одномерная схема
(\ref{LOS:FractionalDifferentialEquation})
--- (\ref{LOS:NachalnoeUusloviye}) равномерно сходится  со скоростью
$$O\left(\dfrac{h}{\tau^{1-\alpha}}+\tau^{2\alpha-1}\right),\
h=O(\tau^{1-\alpha}),\ 1/2<\alpha\leq 1,$$ так что
$$
\|y^j-u^j\|_{C_h}\leq
M\left(\dfrac{h}{\tau^{1-\alpha}}+\tau^{2\alpha-1}\right),
$$
где $h=\max\limits_{k}^{}h_k$, $M>0$, $M$ --- не зависит от $h$ и
$\tau$.
\end{theorem}
%
%Для решения сеточного уравнения строится итерационный процесс (см.
%\cite{Shkhanukov1}, с. 747).




\bigskip
\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{Chukbar} K. V. Chukbar, “Stochastic transport and fractional derivatives,” Zh. Eksp. Teor. Fiz. 108 (11), 1875–1884 (1995).

\bibitem{Kobelev2} V. L. Kobelev, Ya. L. Kobelev, and E. P. Romanov, “Self-maintained processes in the case of nonlinear fractal diffusion,” Dokl. Phys. 44, 752–753 (1999).

\bibitem{Kobelev1} V. L. Kobelev, Ya. L. Kobelev, and E. P. Romanov, “Non-Debye relaxation and diffusion in fractal space,” Dokl. Phys. 43, 752–753 (1998).

\bibitem{Goloviznin2} V. M. Goloviznin, V. P. Kiselev, I. A. Korotkin, and Yu. P. Yurkov, “Pryamye zadachi klassicheskogo perenosa radionuklidov v geologicheskikh formatsiyakh,” Izv. Ross. Akad. Nauk, Energ., No. 4, 121–130 (2004).

\bibitem{Goloviznin3} V. M. Goloviznin, V. P. Kiselev, I. A. Korotkin, and Yu. P. Yurkov, “Pryamye zadachi klassicheskogo perenosa radionuklidov v geologicheskikh formatsiyakh,” Izv. Ross. Akad. Nauk, Energ., No. 4, 121–130 (2004).

\bibitem{Nigmatulin2} R. R. Nigmatulin, “Relaxation features in a system with remnant memory,” Fiz. Tverd. Tela 27 (5), 1583–1585 (1985).

\bibitem{ShogenovAkhkubekov} V. Kh. Shogenov, A. A. Akhkubekov, and R. A. Akhkubekov, “Fractional differentiation method in the theory of Brownian motion,” Izv. Vyssh. Uch. Zaved. Sev.-Kav. Reg., No. 1, 46–49 (2004).

\bibitem{Uchaikin_1} V. V. Uchaikin, “Anomalous diffusion of particles with a finite free-motion velocity,” Theor. Math. Phys. 115 (1), 496–501 (1998).

\bibitem{ZaburdaevChukbar} V. Yu. Zaburdaev and K. V. Chukbar, “Enhanced superdiffusion and finite velocity of Levy flights,” J. Exp. Theor. Phys. 94 (2), 252–259 (2002).

\bibitem{KlafterShlesingerZumofen} Klafter J., Shlesinger M.F., Zumofen G., Beyond Brownian Motion // Phys. Today. 1996. V. 49. \No
2. P. 33 --- 39.

\bibitem{MainardiLuchko} Mainardi F., Luchko Y., Pagnini G. The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation //
Fractional Calculus and Applied Analysis. 2002. Vol. 4. \No 2. P.
153 --- 192.

\bibitem{Scalas} Scalas E., Gorenflo R., Mainardi F. Uncoupled
continuous-time random walks: solution and limiting behaviour of the
master equation// Phys. Rev. E. --- 2004. Vol. 69. --- P.011107/1
--- 8.

\bibitem{Zhang} Zhang Y., Benson D.A., Meerschaert M.M., Scheffler
H.P., On using random walks to solve the space fractional
advectiona-dispersion equations // J. Stst. Phys. --- 2006. -- Vol.
123. \No 1. --- P. 89 --- 110.

\bibitem{Abrashina} N. G. Abrashina-Zhadaeva and I. A. Timoshchenko, “Finite-difference schemes for a diffusion equation with fractional derivatives in a multidimensional domain,” Differ. Equations 49 (7), 789–795 (2013).

\bibitem{Lazarov1} Bangti Jin, Raytcho Lazarov, Zhi Zhou, A Petrov-Galerkin finite element method for fractional
convection-diffusion equations, SIAM J. Nummer. Anal. Vol. 54, \No
1, (2014) pp. 481 --- 503.

\bibitem{Lazarov2} Bangti Jin, Raytcho Lazarov, Josef Pasciak, Zhi Zhou, Error analysis of a finite element method for the
space-fractional parabolic equation, SIAM J. Nummer. Anal. Vol. 52,
\No 5, (2016) pp. 2272 --- 2294.

\bibitem{Lazarov3} Bangti Jin, Raytcho Lazarov, An analysis of the $L_1$ scheme for the subdiffusion equation with nonsmooth data, IMA Journal of Numerical Analysis (2015) Page 1 of
25.

\bibitem{Razn_met_for frakt_diffusion_eq}  F. I. Taukenova and M. Kh. Shkhanukov-Lafishev, “Difference methods for solving boundary value problems for fractional differential equations,” Comput. Math. Math. Phys. 46 (10), 1785–1795 (2006).

\bibitem{LOS_1_kr_zad} M. M. Lafisheva and M. Kh. Shkhanukov-Lafishev, “Locally one-dimensional difference schemes for the fractional order diffusion equation,” Comput. Math. Math. Phys. 48 (10), 1875–1884 (2008).

\bibitem{Bazzaev03} A. K. Bazzaev and M. Kh. Shkhanukov-Lafishev, “Locally one-dimensional scheme for fractional diffusion equations with Robin boundary conditions,” Comput. Math. Math. Phys. 50 (7), 1141–1149 (2010).

\bibitem{Bazzaev08} A. K. Bazzaev, A. B. Mambetova, and M. Kh. Shkhanukov-Lafishev, “Locally one-dimensional scheme for fractional-order heat equation with concentrated heat capacity,” Comput. Math. Math. Phys. 52 (9), 1656–1665 (2012).

\bibitem{Bazzaev09} A. K. Bazzaev, “Difference schemes for fractional-order diffusion equation with Robin boundary conditions in a multidimensional domain,” Ufim. Mat. Zh. 5 (1), 11–16 (2013).

\bibitem{Bazzaev11} A. K. Bazzaev and M. Kh. Shkhanukov-Lafishev, “Locally one-dimensional schemes for the diffusion equation with a fractional time derivative in an arbitrary domain,” Comput. Math. Math. Phys. 56 (1), 106–115 (2016).

%\bibitem{Alikh:12}
%A.A. Alikhanov, {Boundary value problems for the diffusion equation
%of the variable order in differential and difference settings},
%{Appl. Math. Comput.} {219} (2012) {3938 --- 3946}.
%
%\bibitem{Diethelm1} K. Diethelm, G. Walz. Numerical solution of fractional order
%differential equations by extrapolation, Numer. Algorithms 16
%(1997), 231 --- 253.
%
%\bibitem{Diethelm2}  K. Diethelm, N. J. Ford. Analysis of fractional differential
%equations, J. Math. Anal. Appl. 265 (2002), 229 --- 248.

\bibitem{Povstenko1}Povstenko Y., Axisymmetric Solutions to Fractional Diffusion-Wave
Equation in a Cylinder Under Robin Boundary Condition, Eur. Phys.
J.-Spec. Top., 222:8 (2013), 1767 --- 1777.

\bibitem{Povstenko2}Povstenko Yu., Time-Fractional Heat Conduction in an Infinite Medium with a Spherical Hole Under Robin Boundary Condition, Fract. Calc. Appl. Anal., 16:2 (2013), 354 --- 369

\bibitem{En:1}Ch. Tadjeran, M. Meerschaert, H. Scheffler, A second-order accurate numerical approximation for
the fractional diffusion equation, Journal of Computational Physics
213 (2006) 205 --- 213.

\bibitem{Pskhu} \textit{А.В. Псху}, Уравнения в частных производных дробного порядка : [монография] / А. В. Псху; Рос. акад. наук, Кабард.-Балк. науч. центр, Науч.-исслед. ин-т прикладной математики и автоматизации. --- Москва:
Наука, 2005. --- 199 с. --- ISBN 5-02-033721-8.

\bibitem{Luchko_1} Yu. Luchko, Maximum principle for the generalized time-fractional diffusion equation. J. Math. Anal. Appl. 351 (2009), 218 --- 223.

\bibitem{Luchko_2} Yu. Luchko, Boundary Value Problems For The Generalized Time-Fractional Diffusion Equation Of Distributed Order. Fractional Calculus and Applied Analysis. Vol. 12, Number 4 (2009), 409 --- 422.

\bibitem{Luchko_3} Yu. Luchko, Maximum principle and its application for the time-fractional diffusion equations. Fractional Calculus and Applied Analysis. Vol. 14, Number 1 (2011), 409 --- 422.

\bibitem{Luchko_4} Yu. Luchko, Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized time-fractional diffusion equation. Computers and Mathematics with Applications  59
(2010) 1766 --- 1772.

\bibitem{JuanJ.Nieto} Juan J. Nieto, Maximum principles for fractional differential equations derived from Mittag - Leffler functions. Applied Mathematics Letters 23 (2010) 1248 --- 1251.

\bibitem{LiuAnhTurner} Ye, H., Liu, F., Anh, V., Turner, I. (2014) Maximum principle and numerical method for the multi-term time-space Riesz-Caputo fractional differential equations. Applied Mathematics and Computation, 227, pp. 531 --- 540.

\bibitem{MeerschaertMark} Meerschaert, Mark M. et al. “Finite difference methods for two-dimensional fractional dispersion equation.” Journal of Computational Physics 211 (2006): 249 --- 261.

\bibitem{TianZhouDeng} W.Tian, H.Zhou, W.Deng. A class of second order difference
approximation for solving space fractional diffusion equations.
Math. Comp. 84 1703 --- 1727 (2015).

\bibitem{JinLin} X.Q. Jin, F.R. Lin, Z. Zhao Preconditioned iterative methods for
two-dimensional space-fractional diffusion equations. Commun.
Comput. Phys. 18(2), 469 --- 488 (2015)

\bibitem{LinNg-1} X.L. Lin, M.K. Ng. A fast solver multidimensional time-space
fractional diffusion equation with variable coefficients. Comput.
Math. Appl. 78, 1477 --- 1489 (2017).

\bibitem{LinNg-2} X.L. Lin, M.K. Ng., H.W. Sun. Stability and convergence analysis of
finite difference schemes for time-dependent space-fractional
diffusion equation with variable diffusion coefficients. J. Sci.
Comput. 75, 1102 --- 1127 (2018).

\bibitem{Bazzaev2017}A. K. Bazzaev, M. Kh. Shhanukov-Lafishev, “On the convergence of difference schemes for fractional differential equations with Robin boundary conditions”, Comput. Math. Math. Phys., 57:1 (2017), 133 --- 144

\bibitem{AlikhApekovKhibiev:2021} A. A. Alikhanov, “Stability and convergence of difference schemes for boundary value problems for the fractional-order diffusion equation”, Comput. Math. Math. Phys., 56:4 (2016), 561 --- 575

\bibitem{Alikh:2016} А. А. Алиханов, А. М. Апеков, А. Х. Хибиев, “Разностная схема повышенного порядка аппроксимации для обобщенного уравнения Аллера дробного порядка”, Владикавк. матем. журн., 23:3 (2021), 5–15

\bibitem{URS} A. A. Samarskii and A. V. Gulin, Stability of Difference Schemes (Nauka, Moscow, 1973) [in Russian].

\bibitem{TRS} A. A. Samarskii, The Theory of Difference Schemes (Nauka, Moscow, 1977; Marcel Dekker, New York, 2001).

\bibitem{Vabishevich-VichTeploperedacha} A.A. Samarskiy, P.N. Vabishchevich,  Vychislitel'naya teploperedacha (Computational heat transfer). --- Moscow: Editorial URSS, 2003. --- 784 c.

%\bibitem {Shkhanukov1} \textit{ Шхануков М.Х.} О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с
%дробной производной. Докл. РАН. 1996, т. 348, N6, с.746$-$748.
\end{thebibliography}


















%\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).
%
%
%\bibitem{1} D.G. Northcott,
%{\it Ideal Theory}, Cambridge University Press, Cambridge, 1953.
%
%\bibitem{2} I.I. Ivanov,
%{\it Some properties of commutative algebras}, Siberian Electronic
%Mathematical Reports, {\bf 1} (2004), 142--143.
%
%\bibitem{3} A.V. Tetenov, M. Samuel, D.A. Vauilin,
%{\it On dendrites generated by polyhedral systems and their ramification points}, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, \textbf{23}:4 (2017), 281--291.
%
%\end{thebibliography}
\end{document}
