\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{517.968} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{45D05} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том X, стр. X (2023) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2023.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ 45D05 \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[СВЗ с ядрами, зависящими от фундаментальных решений ИДУ]{Сингулярно возмущенные задачи с ядрами, зависящими от фундаментальных решений интегро-дифференциальных уравнений}
\author{{А.А.БОБОДЖАНОВ, М.А.БОБОДЖАНОВА, В.Ф. САФОНОВ}}%
\address{Abdukhafiz Abdurasulovich Bobodzhanov, Mashura Abdukhafizovna Bobodzhanova, Valery Fedorovich Safonov % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} National Research University "Moscow Power
Engineering Institute",
\newline\hphantom{iii} 111250, Moscow, Russia, Krasnokazarmennaya Street,14}%
\email{bobojfnova@mpei.ru, Singsaf@yandex.ru}%


\thanks{\sc Сингулярно возмущенные задачи с ядрами, зависящими от фундаментальных решений интегро-дифференциальных уравнений }
\thanks{\copyright \ 2015 А.А.Бободжанов, М.А.Бободжанова, В.Ф. Сафонов}
\thanks{\rm  Работа поддержана грантом Российского научного фонда (проект №23-21-00496).}
\thanks{\it Поступила 1 февраля 2023 г., опубликована 31 мая 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } The paper considers a system of two \textbf{ }singularly perturbed
\textbf{ }integro-differential equations (IDEs), the first of which is a homogeneous equation,
and the second is an inhomogeneous one, with an integral operator whose kernel contains the fundamental solution
 of the first IDE. The classical case, when the kernel depends on a rapidly changing scalar exponential,
 is the subject of a large number of papers (see bibliography at the end of the article). The case of the dependence
  of the kernel on the fundamental solutions of differential systems was studied in detail in the monograph
  by A.A. Bobodzhanov and V.F. Safonov “Singularly perturbed integral and integro-differential equations with
  rapidly changing kernels and equations with digonal degeneration of the kernel”, published by Sputnik+ in 2017.
  As shown in this paper, the difficulty of constructing a regularized (in the sense of Lomov) asymptotics of IDEs is due to the complex structure of asymptotic solutions of fundamental solutions of homogeneous differential equations. The problem of constructing the asymptotics of the fundamental solution of a homogeneous IDE and its influence through the kernel on the regularized asymptotics of a nonhomogeneous IDE has not been studied so far. In the present work, this gap is filled. It first constructs a regularized asymptotics of the fundamental solution of a homogeneous IDE, and then develops an algorithm for constructing an asymptotic solution of a nonhomogeneous IDE. It is shown that (in contrast to the asymptotics with a kernel depending on the fundamental solution of a homogeneous differential equation), the asymptotics of the solution of an inhomogeneous IDE will contain, in addition to rapidly changing terms, also slowly changing components induced by the asymptotics of the fundamental solution.

\noindent{\bf Keywords:} singularly perturbed, integro-differential equations, regularization,
fundamental solution asymptotics.
 \end{quote}
}


\section{Введение}
Рассмотрим сингулярно возмущенную систему
\[\begin{array}{l} {\varepsilon \frac{dV\left(t,s,\varepsilon \right)}{dt} =a\left(t\right)V\left(t,s,\varepsilon \right)+\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right)V\left(x,s,\varepsilon \right) dx,} \\ {v\left(s,s,\varepsilon \right)=1,\, 0\le s\le t\le 1, } \end{array}                       \eqno(1)\]
\[\begin{array}{l} {\varepsilon \frac{dy\left(t,\varepsilon \right)}{dt} =b\left(t\right)y\left(t,\varepsilon \right)+\int _{0}^{t}V\left(t,s,\varepsilon \right)K\left(t,s\right) y\left(s,\varepsilon \right)ds+h\left(t\right),} \\ {y\left(0,\varepsilon \right)=y^{0} ,\, 0\le t\le 1 } \end{array}                  \eqno(2)\]
состоящую из двух интегро-дифференциальных уравнений, первое из которых описывает фундаментальное решение однородного ИДУ, а второе~--- неоднородное, с ядром, зависящим от фундаментального решения первого ИДУ
(здесь единица в неравенстве для $s$ и $t$ взята ради простоты; можно было бы взять $0\le s\le t\le T,$ где $T$ -- любое фиксированное положительное число). Роль быстро убывающей экспоненты
 $\exp \left(\frac{1}{s} \int _{s}^{t}\mu \left(\theta \right)d\theta  \right),$ которая входила в ядро интегро-дифференциальных систем ранее рассмотренных работ [2,3,6,8], в задаче (2) играет фундаментальное
 решение $v\left(t,s,\varepsilon \right)$ интегро-дифференциального уравнения (1). Задача (1)--(2) является обобщением сингулярно возмущенной системы уравнений
\[\begin{array}{l} {\varepsilon \frac{dZ\left(t,s,\varepsilon \right)}{dt} =B\left(t\right)Z\left(t,s,\varepsilon \right),\, Z\left(s,s,\varepsilon \right)=I,\, 0\le s\le t\le 1,\, \, \, \, \, \, } \\ {\varepsilon \frac{dy\left(t,\varepsilon \right)}{dt} =A\left(t\right)y\left(t,\varepsilon \right)+\int _{0}^{t}K\left(t,s\right)Z\left(t,s,\varepsilon \right) y\left(s,\varepsilon \right)ds+h\left(t\right),} \\ {y\left(0,\varepsilon \right)=y^{0} ,\, 0\le t\le 1, } \end{array}\]
рассмотренной в [9], в которой первая система является дифференциальной, а не интегро-дифференциальной. Как будет показано ниже, наличие интегрального слагаемого в первом уравнении (1) приводит к тому, что в решении уравнения (2), кроме медленных
составляющих, индуцирумых неоднородностью $h(t),$  будут появляться и медленные составляющие, индуцируемые ядром $K_0(t,s)$ первого уравнения, что сильно усложняет построение регуляризованного асимптотического решения
задачи (2).


\section{ Регуляризация задачи (1)}

\textbf{     }Задачу (1) будем рассматривать при следующих условиях:

      1) функция $ $ $a\left(t\right)\in C^{\infty } \left[0,1\right],$ ядро $K_{0} \left(t,s\right)\in C^{\infty } \left(0\le s\le t\le 1\right);$

  2) ${\rm Re}\, a\left(t\right)\le 0,\, a\left(t\right)\, \ne 0\, \, \forall t\in \left[0,1\right].$


\textbf{     }Следуя  методу регуляризации С.А. Ломова [2,7], введем дополнительную переменную
\[\eta =\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t}a\left(\theta \right) d\theta \equiv \frac{\varphi \left(t,s\right)}{\varepsilon }                                                         \eqno(3)\]
и вместо задачи (1) рассмотрим «расширенную» задачу
\[\begin{array}{l} {\varepsilon \frac{\partial \tilde{V}\left(t,s,\eta ,\varepsilon \right)}{\partial t} +a\left(t\right)\frac{\partial \tilde{V}\left(t,s,\eta ,\varepsilon \right)}{\partial \eta } =a(t)\tilde{V}\left(t,s,\eta ,\varepsilon \right)+} \\ {+\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right) \tilde{V}\left(x,s,\frac{\varphi \left(x,s\right)}{\varepsilon } ,\varepsilon \right)dx,\, \tilde{V}\left(s,s,0,\varepsilon \right)=1} \end{array}                         \eqno(4)\]
для функции $\tilde{V}\left(t,s,\eta ,\varepsilon \right)$ такой, что функция $V\left(t,s,\varepsilon \right)=\tilde{V}\left(t,s,\frac{\varphi \left(t,s\right)}{\varepsilon } ,\varepsilon \right)$  является точным решением задачи (1). Однако задачу (4) нельзя считать полностью регуляризованной, так как в ней не произведена регуляризация интегрального оператора


\[\begin{array}{l} {J\tilde{V}\left(t,s,\eta ,\varepsilon \right)\equiv J\left(\tilde{V}\left(t,s,\eta ,\varepsilon \right)|_{t=x,\eta =\frac{\varphi \left(x,s\right)}{\varepsilon } } \right)=\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right) \tilde{V}\left(x,s,\frac{\varphi \left(x,s\right)}{\varepsilon } ,\varepsilon \right)dx.} \\ {} \end{array}                   (5)\]
Как было показано в [1], для его регуляризации надо ввести пространство $M_{\varepsilon } ,$ инвариантное относительно интегрального оператора $J$  (см. [1],  стр. 62). Делается это так. Введем сначала так называемое пространство «безрезонансных решений»:
\[\begin{array}{l} {U=\{ v\left(t,s,\eta \right):\, v\left(t,s,\eta \right)=v_{1} \left(t,s\right)e^{\eta } +v_{0} \left(t,s\right),} \\ {v_{0} \left(t,s\right),v_{1} \left(t,s\right)\in C^{\infty } \left(0\le s\le t\le 1,{\rm C}\right)\} .} \end{array}                               \eqno(6)\]
В качестве $M_{\varepsilon } $ возьмем класс $U|_{\eta =\frac{\varphi \left(t,s\right)}{\varepsilon } } .$ Надо показать, что образ
\[Jv\left(t,s,\eta \right)\equiv J\left(v\left(t,s,\eta \right)|_{t=x,\eta =\varphi \left(x,s\right)/\varepsilon } \right)=\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right) v\left(x,\frac{\varphi \left(x,s\right)}{\varepsilon } \right)ds,                            \eqno(7)\]
представляется  рядом вида $\sum _{k=0}^{\infty } \varepsilon ^{k} \left(z^{\left(k\right)} (t,s){\kern 1pt} e^{\eta } +{\kern 1pt} z_{0}^{(k)} (t,s)\right)|_{\eta =\frac{\varphi \left(t,s\right)}{\varepsilon } } ,$асимптотически сходящимся к $Jv$ при $\varepsilon \to +0$ (равномерно по $\left(t,s\right)\in \left\{0\le s\le t\le 1\right\}).$

     Подставляя элемент $v\left(t,s,\eta \right)=v_{1} \left(t,s\right)e^{\eta } +v_{0} \left(t,s\right)$ пространства  (6) в (7), будем иметь
\[Jv\left(t,s,\eta \right)=\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right) v_{0} \left(x,s\right)dx+\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right) v_{1} \left(x,s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{x}a\left(\theta \right)d\theta  } dx                      \eqno(8)\]
Стоящий здесь второй интеграл разложим в асимптотический ряд. Применяя операцию интегрирования по частям, будем иметь
\[\begin{array}{l} {\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right) v_{1} \left(x,s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{x}a\left(\theta \right)d\theta  } dx=\varepsilon \int _{s}^{t}\frac{K_{0} \left(t,x\right)}{a\left(x\right)}  v_{1} \left(x,s\right)d_{x} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{x}a\left(\theta \right)d\theta  } =} \\ {=\varepsilon \left[\frac{K_{0} \left(t,x\right)}{a\left(x\right)} v_{1} \left(x,s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{x}a\left(\theta \right)d\theta  } |_{x=s}^{x=t} \right]-\varepsilon \int _{s}^{t}\frac{\partial }{\partial x} \left(\frac{K_{0} \left(t,x\right)}{a\left(x\right)} v_{1} \left(x,s\right)\right) e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{x}a\left(\theta \right)d\theta  } dx=} \\ {=\varepsilon \left[\frac{K_{0} \left(t,t\right)}{a\left(t\right)} v_{1} \left(t,s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t}a\left(\theta \right)d\theta  } -\frac{K_{0} \left(t,s\right)}{a\left(s\right)} v_{1} \left(s,s\right)\right]-} \\ {-\varepsilon \int _{s}^{t}\frac{\partial }{\partial x} \left(\frac{K_{0} \left(t,x\right)}{a\left(x\right)} v_{1} \left(x,s\right)\right) e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{x}a\left(\theta \right)d\theta  } dx.} \end{array}\]
\textbf{}

Продолжая этот процесс далее, получим ряд
\[\begin{array}{l} {\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right) v_{1} \left(x,s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{x}a\left(\theta \right)d\theta  } dx=} \\ {=\sum _{m=0}^{\infty }\left(-1\right)^{m} \varepsilon ^{m+1}  [\left(I^{m} \left(K_{0} \left(t,x\right)v_{1} \left(x,s\right)\right)\right)_{x=t} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{x}a\left(\theta \right)d\theta  } -} \\ {-\left(I^{m} \left(K_{0} \left(t,x\right)v_{1} \left(x,s\right)\right)\right)_{x=s} ],} \end{array}                                     \eqno(9)\]
где введены операторы:
\[I^{0} =\frac{1}{a\left(x\right)} ,\, I^{1} =\frac{1}{a\left(x\right)} \frac{\partial }{\partial x} I^{0} ,I^{m} =\frac{1}{a\left(x\right)} \frac{\partial }{\partial x} I^{m-1} ,\, m\ge 2.\]
Нетрудно показать (см., например, [10], стр. 291--293 ), что ряд, стоящий в правой части равенства (9), сходится асимптотически при $\varepsilon \to +0$ к интегралу $$\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right) v_{1} \left(x,s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{x}a\left(\theta \right)d\theta  } dx$$ (равномерно по $\left(t,s\right)\in \left\{0\le s\le t\le 1\right\}$). Тем самым,  показано, что класс $M_{\varepsilon } {\kern 1pt} = {=} {\kern 1pt} U|_{\tau =\frac{\psi (t)}{\varepsilon } } $ асимптотически инвариантен относительно оператора $J.$

     Класс $M_{\varepsilon } ,$ инвариантный относительно оператора $J,$  позволяют произвести регуляризацию этого оператора, используя его образ на элементе класса $M_{\varepsilon } .$ Делается это так. Введем операторы


\[\begin{array}{l} {R_{0} \left(v\left(t,s,\eta \right)\right)=\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right) v_{0} \left(x,s\right)dx,} \\ {R_{m+1} \left(v\left(t,s,\eta \right)\right)=\left(-1\right)^{m} [\left(I^{m} \left(K_{0} \left(t,x\right)v_{1} \left(x,s\right)\right)\right)_{x=t} e^{\eta } -} \\ {-\left(I^{m} \left(K_{0} \left(t,x\right)v_{1} \left(x,s\right)\right)\right)_{x=s} ],\, m\ge 0.} \end{array}                          \eqno(10)\]
Эти операторы называют \textit{ операторами порядка (по $\varepsilon );$} они являются коэффициентами при соответствующей степени $\varepsilon ^{m+1} $ в $Jv\left(t,\tau ,\eta \right).$  Используя $R_{m} ,$ оператор $Jv\left(t,\tau ,\eta \right)$ можно записать короче:
\[Jv\left(t,s,\eta \right)={\kern 1pt} \left(R_{0} v\left(t,s,\eta \right)+{\kern 1pt} \sum _{m=0}^{\infty } \varepsilon ^{m+1} R_{m+1} v\left(t,s,\eta \right)\right)_{\eta =\frac{\varphi \left(t,s\right))}{\varepsilon } } .\]
Пусть теперь $\tilde{v}(t,s,\eta ,\varepsilon )$~--- произвольная непрерывная по
\[(t,s,\eta )\in \left\{0\le s\le t\le 1\right\}{\kern 1pt} \times \; \Pi {\kern 1pt} \, \, \, (\Pi =\{ \eta :{\rm Re}\,
 \eta \le 0\} )\]
функция, имеющая асимптотическое разложение
\[\tilde{v}(t,s,\eta ,\varepsilon ){\kern 1pt} ={\kern 1pt} \sum _{k=0}^{\infty } \varepsilon ^{k} v_{k} (t,s,\eta ),{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \, \, \, \, \, v_{k} (t,s,\eta )\in U,                             \eqno(11)\]
сходящееся при $\varepsilon \to +0$ (равномерно по $(t,s,\eta )\in \left\{0\le s\le t\le 1\right\}\times \Pi ).$ Тогда образ $J\tilde{v}(t,s,\eta ,\varepsilon )$  разлагается в асимптотический ряд
\[J\tilde{v}(t,s,\eta ,\varepsilon )={\kern 1pt} \sum _{k=0}^{\infty } \varepsilon ^{k} Jv_{k} (t,s,\eta ){\kern 1pt} ={\kern 1pt} \sum _{r=0}^{\infty } \varepsilon ^{r} \sum _{k=0}^{r} R_{r-k} v_{k} (t,s,\eta )|_{\eta =\frac{\varphi \left(t,s\right))}{\varepsilon } } .                        \eqno(12)\]
Равенство (12) является основанием для введения следующего понятия.

\begin{definition}\textit{ Формальным расширением оператора $J$} назовем оператор $\tilde{J},$ действующий на каждую функцию  $\tilde{v}(t,s,\eta ,\varepsilon )\in C(\left\{0\le s\le t\le 1\right\}\times \; \Pi )$ $\left(\varepsilon \to +0\right)$  вида (6) по закону
\[\tilde{J}\tilde{v}(t,\tau ,\varepsilon ){\kern 1pt} \equiv {\kern 1pt} \tilde{J}(\sum _{k=0}^{\infty } \varepsilon ^{k} v_{k} (t,\tau ))\mathop{=}\limits^{def} \sum _{r=0}^{\infty } \varepsilon ^{r} \sum _{k=0}^{r} R_{r-k} v_{k} (t,\tau ).                          \eqno(13)\]
\end{definition}
Из (12) следует асимптотическое равенство
\[(\tilde{J}\tilde{v}(t,\tau ,\varepsilon )|_{\eta =\frac{\psi (t)}{\varepsilon } } {\kern 1pt} =J\tilde{v}(t,\eta ,\varepsilon ){\kern 1pt} {\kern 1pt} (\varepsilon \to +0),\]
которое показывает, что введенный нами оператор $\tilde{J}$ действительно является расширением оператора $J.$ Хотя оператор $\tilde{J}$ определен формально, его полезность очевидна, так как на практике обычно строят $N$-е приближение асимптотического решения (11), в котором будут участвовать лишь $N$-e частичные суммы ряда (11), имеющие не формальный, а истинный смысл. Теперь можно записать задачу, полностью регуляризованную по отношению к исходной задаче (2):
\[\begin{array}{l} {\varepsilon \frac{\partial \tilde{V}\left(t,s,\eta ,\varepsilon \right)}{\partial t} +a\left(t\right)\frac{\partial \tilde{V}\left(t,s,\eta ,\varepsilon \right)}{\partial \eta } =a(t)\tilde{V}\left(t,s,\eta ,\varepsilon \right)+} \\ {+\tilde{J}\tilde{V}\left(t,s,\eta ,\varepsilon \right),\, \tilde{V}\left(s,s,0,\varepsilon \right)=1,} \end{array}                          \eqno(14)\]
где $\tilde{J}\tilde{V}\left(t,s,\eta ,\varepsilon \right)$ имеет вид (13).

\section{{Разрешимость итерационных задач}}

Определяя решение этой задачи (14)  в виде ряда (11), получим следующие итерационные задачи:
\[{\bf L}\, v_{0} (t,s,\eta )\equiv a(t)\frac{\partial v_{0} }{\partial \eta } {\kern 1pt} -{\kern 1pt} a(t)v_{0} {\kern 1pt} -{\kern 1pt} R_{0} v_{0} {\kern 1pt} ={\kern 1pt} 0,{\kern 1pt} v_{0} (s,s,0){\kern 1pt} ={\kern 1pt} 1;                      \eqno\left(15_{0} \right)\]
\[{\bf L}\, v_{1} (t,s,\eta )=-\frac{\partial v_{0} }{\partial t} {\kern 1pt} +{\kern 1pt} R_{1} v_{0} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} v_{1} (s,s,0){\kern 1pt} ={\kern 1pt} 0;                                    \eqno \left(15_{1} \right)\]
\[{\bf L}\, v_{2} (t,s,\eta ){\kern 1pt} ={\kern 1pt} -\frac{\partial v_{1} }{\partial t} {\kern 1pt} +{\kern 1pt} R_{1} v_{1} {\kern 1pt} +{\kern 1pt} R_{2} v_{0} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} v_{2} (s,s,0){\kern 1pt} ={\kern 1pt} 0;                            \eqno\left(15_{2} \right)\]
\[\cdots \]
\[\begin{array}{l} {{\bf L}\, v_{k} (t,s,\eta ){\kern 1pt} ={\kern 1pt} -\frac{\partial v_{k-1} }{\partial t} {\kern 1pt} +{\kern 1pt} R_{1} v_{k-1} {\kern 1pt} +R_{2} v_{k-2} +\ldots +R_{k} v_{0} ,} \\ {v_{k} (s,s,0)=0,k\ge 2.} \end{array}                   \eqno\left(15_{k} \right)\]
Перейдем к исследованию их разрешимости в пространстве $U.$ Каждую из задач $\left(15_{k} \right)$ можно предствить в виде
\[{\bf L}\, v(t,s,\eta )\equiv a(t)\frac{\partial v}{\partial \eta } {\kern 1pt} -{\kern 1pt} a(t)v{\kern 1pt} -{\kern 1pt} R_{0} v{\kern 1pt} ={\kern 1pt} H(t,s,\eta ),{\kern 1pt} y_{0} (0,0){\kern 1pt} ={\kern 1pt} b,                   \eqno(16)\]
где $H\left(t,s,\eta \right)=H_{1} \left(t,s\right)e^{\eta } +H_{0} \left(t,s\right)\in U$~--- известная правая часть задачи (16), а $R_{0} $ -- оператор, действующий на каждую функцию (6) пространства $U$ по закону:
\[R_{0} \left(v_{1} \left(t,s\right)e^{\eta } +v_{0} \left(t,s\right)\right)\buildrel\Delta\over= \int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right)v_{0} \left(x,s\right) dx.\]
 В пространстве  $U$ введем скалярное (при каждом $\left(t,s\right)\in \left\{0\le s\le t\le 1\right\}$ ) произведение
\[\begin{array}{l} {\left\langle v,w\right\rangle \equiv \left\langle v_{1} \left(t,s\right)e^{\eta } +y_{0} \left(t,s\right),w_{1} \left(t,s\right)e^{\eta } +w_{0} \left(t,s\right)\right\rangle \buildrel\Delta\over= } \\ {\buildrel\Delta\over= v_{1} \left(t,s\right)\cdot \bar{w}_{1} \left(t,s\right)+v_{0} \left(t,s\right)\cdot \bar{w}_{0} \left(t,s\right).} \end{array}\]
Имеет место следующее утверждение.

  \begin{theorem}\textit{Пусть выполнены условия 1), 2) и правая часть }$H\left(t,s,\eta \right)= {=}H_{1} \left(t,s\right)e^{\eta } +H_{0} \left(t,s\right)$\textit{ уравнения (16) принадлежит пространству $U.$ Тогда для разрешимости уравнения (16) в пространстве $U$ необходимо и достаточно, чтобы}
\[\left\langle H\left(t,s,\eta \right),\, e^{\eta } \right\rangle \equiv 0\, \Leftrightarrow H_{1} \left(t,s\right)\equiv 0\, \left(\forall \left(t,s\right)\in \left\{0\le s\le t\le 1\right\}\right).                          \eqno(17)\]
\end{theorem}
   \begin{proof}Подставим элемент (6) пространства $U$ в уравнение (16); получим равенство
\[\begin{array}{l} {a\left(t\right)v_{1} \left(t,s\right)e^{\eta } -a\left(t\right)v_{1} \left(t,s\right)e^{\eta } -a\left(t\right)v_{0} \left(t,s\right)-} \\ {-\int _{s}^{t}K_{0}  \left(t,x\right)v_{0} \left(x,\,s\right)dx=H_{1} \left(t,s\right)e^{\eta } +H_{0} \left(t,s\right).} \end{array}\]
Приравнивая здесь отдельно свободные члены и коэффициенты при экспоненте, получим уравнения
\[0\cdot v_{1} \left(t,s\right)=H_{1} \left(t,s\right),\, \, -a\left(t\right)v_{0} \left(t,s\right)-\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right) v_{0} \left(x,s\right)dx=H_{0} \left(t,s\right).                           \eqno(18)\]
Второе уравнение (18) является интегральным уравнением типа Вольтерра; оно однозначно разрешимо в пространстве $C^{\infty } \left(0\le s\le t\le 1,{\rm C}\right)$ . Для разрешимости первого уравнения (18) в этом пространстве необходимо и достаточно, чтобы $H_{1} \left(t,s\right)\equiv 0,$ т. е. чтобы выполнялось условие (17).\end{proof}

\textbf{     Замечание 1.} При выполнении условий 1) и 2), а также условия 17 уравнение (17) имеет следующее решение в пространстве $U$ :
\[v\left(t,s,\eta \right)=\alpha \left(t,s\right)e^{\eta } +v_{0} \left(t,s\right),                                                          \eqno(19)\]
где $\alpha \left(t,s\right)\in C^{\infty } \left(0\le s\le t\le 1,{\rm C}\right)$~--- произвольная функция, $v_{0} \left(t,s\right)$~--- решение интегрального уравнения (18).

      Не будем формулировать теорему об однозначной разрешимости общей итерационной задачи (16). Заметим, что применение теоремы 1 к двум последовательным итерационным задачам  $\left(15_{k} \right)$ и $\left(15_{k+1} \right)$ приводит к однозначному вычислению решения итерационной задачи  $\left(15_{k} \right)$ в пространстве $U.$ Покажем это на примере задач  $\left(15_{0} \right)$, $\left(15_{1} \right)$ и $\left(15_{2} \right)$.

        Решение уравнения $\left(15_{0} \right)$ имеет вид суммы (19). Поскольку в $\left(15_{0} \right)$    отсутствует неоднородность $H(t,s,\eta ),$ то интегральное уравнение (18) будет однородным и поэтому $v_{0} \left(t,s\right)\equiv 0,$ а само решение (19) принимает вид $v_{0} \left(t,s,\eta \right)=\alpha \left(t,s\right)e^{\eta } .$ Подчиняя его начальному условию $v_{0} (s,s){\kern 1pt} ={\kern 1pt} 1,$ найдем, что $\alpha \left(s,s\right)=1.$ Таким образом, решение задачи $\left(15_{0} \right)$ будет записано в виде $v_{0} \left(t,s,\eta \right)=\alpha \left(t,s\right)e^{\eta } ,$ где функция $\alpha \left(t,s\right)$ найдена лишь в точке $\left(t,s\right)=\left(s,s\right).$ Для окончательного ее вычисления перейдем к уравнению $\left(15_{1} \right)$:
\[\begin{array}{l} {{\bf L}\, v_{1} (t,s,\eta )=-\frac{\partial v_{0} }{\partial t} {\kern 1pt} +{\kern 1pt} R_{1} v_{0} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} v_{1} (s,s,0){\kern 1pt} ={\kern 1pt} 0\Leftrightarrow } \\ {\Leftrightarrow {\bf L}\, v_{1} (t,s,\eta )=-\frac{\partial \alpha \left(t,s\right)}{\partial t} e^{\eta } +\left[\frac{K_{0} \left(t,t\right)}{a\left(t\right)} \alpha \left(t,s\right)e^{\eta } -\frac{K_{0} \left(t,s\right)}{a\left(s\right)} \right].} \end{array}       \eqno(20)\]


По теореме 1 это уравнение разрешимо в пространстве $U$ тогда и только тогда, когда выполняется условие $-\frac{\partial \alpha \left(t,s\right)}{\partial t} +\frac{K_{0} \left(t,t\right)}{a\left(t\right)} \alpha \left(t,s\right)\equiv 0.$  Присоединяя к нему начальное условие $\alpha \left(s,s\right)=1,$ найдем однозначно функцию  $\alpha \left(t,s\right)= {=}\exp \left\{\int _{s}^{t}\frac{K_{0} \left(x,x\right)}{a\left(x\right)} dx \right\}$ , а значит однозначно построим решение $v_{0} \left(t,s,\eta \right)=\alpha \left(t,s\right)e^{\eta } $ задачи $\left(15_{0} \right)$ в пространстве $U.$ При этом задача $\left(15_{1} \right)$ будет уже неоднородной:
\[\begin{array}{l} {{\bf L}\, v_{1} (t,s,\eta )=-\frac{\partial \alpha \left(t,s\right)}{\partial t} e^{\eta } +\left[\frac{K_{0} \left(t,t\right)}{a\left(t\right)} \alpha \left(t,s\right)e^{\eta } -\frac{K_{0} \left(t,s\right)}{a\left(s\right)} \right]\equiv } \\ {\equiv -\frac{K_{0} \left(t,s\right)}{a\left(s\right)} ,\, v_{1} (s,s,0)=0.} \end{array}\]
Поскольку в правой части этого уравнения отсутствует коэффициент при экспоненте $e^{\eta } ,$ то условие  (17) выполнено и мы можем вычислить решение этого уравнения (см. формулу (19)):
\[v_{1} (t,s,\eta )=\alpha _{1} \left(t,s\right)e^{\eta } +v_{0} \left(t,s\right),                                       \eqno(21)\]
где $\alpha _{1} \left(t,s\right)\in C^{\infty } \left(0\le s\le t\le 1,{\rm C}\right)$~--- произвольная функция, $v_{0} \left(t,s\right)$ решение интегрального уравнения типа Вольтерра:
\[\begin{array}{l} {-a\left(t\right)v_{0} \left(t,s\right)-\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right) v_{0} \left(x,s\right)dx=-\frac{K_{0} \left(t,s\right)}{a\left(s\right)} \Leftrightarrow } \\ {\Leftrightarrow v_{0} \left(t,s\right)=\int _{s}^{t}\frac{K_{0} \left(t,x\right)}{-a\left(t\right)}  v_{0} \left(x,s\right)dx+\frac{K_{0} \left(t,s\right)}{a\left(t\right)a\left(s\right)} .} \end{array}                               \eqno(22)\]
Оно существует, единственно и принадлежит классу $C^{\infty } \left(0\le s\le t\le 1,{\rm C}\right)$. Подчиняя (21) начальному условию $v_{1} (s,s,0){\kern 1pt} ={\kern 1pt} 0,$ получим уравнение
\[\alpha _{1} \left(s,s\right)+\frac{K_{0} \left(s,s\right)}{a^{2} \left(s\right)} =0\Leftrightarrow \alpha _{1} \left(s,s\right)=-\frac{K_{0} \left(s,s\right)}{a^{2} \left(s\right)} .                                  \eqno(23)\]
Для окончательного вычисления функции (21) надо перейти к следующей задаче $\left(15_{2} \right)$:
\[{\bf L}\, v_{2} (t,s,\eta ){\kern 1pt} ={\kern 1pt} -\frac{\partial v_{1} }{\partial t} {\kern 1pt} +{\kern 1pt} R_{1} v_{1} {\kern 1pt} +{\kern 1pt} R_{2} v_{0} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} v_{2} (s,s,0){\kern 1pt} ={\kern 1pt} 0.\]
Учитывая вид операторов $R_{1} $ и $R_{2} $:
\[\begin{array}{l} {R_{1} \left(v_{1} (t,s)e^{\eta } +v_{0} (t,s)\right){\kern 1pt} =\frac{K_{0} \left(t,t\right)}{a\left(t\right)} v_{1} \left(t,t\right)e^{\eta } -\frac{K_{0} \left(t,s\right)}{a\left(s\right)} v_{1} \left(s,s\right)} \\ {R_{2} \left(v_{1} (t,s)e^{\eta } +v_{0} (t,s)\right)=-\left(I^{1} \left(K_{0} \left(t,x\right)v_{1} (x,s)\right)\right)_{x=t} e^{\eta } +} \\ {+\left(I^{1} \left(K_{0} \left(t,x\right)v_{1} (x,s)\right)\right)_{x=s} ,} \end{array}\]
выделим в правой части уравнения $\left(15_{2} \right)$ коэффициент при экспоненте $e^{\eta } .$ Он будет таким:
\[-\frac{\partial }{\partial t} \alpha _{1} \left(t,s\right)+\frac{K_{0} \left(t,t\right)}{a\left(t\right)} \alpha _{1} \left(t,s\right)-\left(I^{1} \left(K_{0} \left(t,x\right)\alpha (x,s)\right)\right)_{x=t} =0,\]
где $\alpha \left(t,s\right)=\exp \left\{\int _{s}^{t}\frac{K_{0} \left(x,x\right)}{a\left(x\right)} dx \right\}$~--- известная функция. Присодиняя к этому уравнению начальное условие (23), найдем однозначно функцию $\alpha _{1} \left(t,s\right)$ и значит, построим однозначно решение (21) задачи $\left(15_{1} \right)$. Аналогично вычисляются решения в пространстве $U$  следующих итерационных задач $\left(15_{k} \right)$ при $k\ge 2.$

\section{Асимптотическая сходимость формальных решений уравнения (1) к точному}
     Применяя теорему 1  к итерационным задачам $(15_{k} ),$ вычислим однозначно их решения $v_{k} (t,{\kern 1pt} s,{\kern 1pt} \eta )$ в пространстве $U.$ Обозначим $N-$ ую частичную сумму ряда (11) через $S_{N} (t,{\kern 1pt} s,{\kern 1pt} \eta ,\varepsilon )$ а через $v_{\varepsilon N} (t,s){\kern 1pt} ={\kern 1pt} S_{N} (t,{\kern 1pt} s,\frac{\varphi \left(t,s\right)}{\varepsilon } ,{\kern 1pt} \varepsilon )$~--- сужение этой суммы на регуляризирующей перменной (3) (т.е. при $\eta {\kern 1pt} ={\kern 1pt} \frac{\varphi \left(t,s\right)}{\varepsilon }) .$ Нетрудно доказать следующее утверждение (см. [1], c. 143).

\begin{lemma}\textit{ Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда функция $v_{\varepsilon N} (t,s)$ является формальным асимптотическим решением задачи (1) порядка $N,$ т.е. она удовлетворяет задаче }
\[\begin{array}{l} {\varepsilon \frac{dv_{\varepsilon N} }{dt} =a(t)v_{\varepsilon N} +\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right) v_{\varepsilon N} \left(x,s\right)ds+\varepsilon ^{N+1} F_{N} (t,{\kern 1pt} s,\varepsilon ),\, } \\ {v_{\varepsilon N} \left(s,s\right)=1,\, \left(s,t\right)\in \left\{0\le s\le t\le 1\right\},} \end{array}                            \eqno(24_0)\]
\textit{где $||F_{N} (t,{\kern 1pt} s,\varepsilon )||_{C\left(0\le s\le t\le 1\right)} {\kern 1pt} \le \bar{F}(\bar{F}>0-$ постоянная, не зависящая от $\varepsilon $ при $\varepsilon \in (0,{\kern 1pt} \varepsilon _{0} ],{\kern 1pt} \varepsilon _{0} -$ достаточно мало).}
\end{lemma}
     Для оценки разности $V\left(t,s,\varepsilon \right)-v_{\varepsilon N} \left(t,s\right)$ между точным и приближенным решением задачи (1) надо рассмотрть интегро-дифференциальную задачу
\[\varepsilon \frac{dz}{dt} {\kern 1pt} ={\kern 1pt} a(t){\kern 1pt} z{\kern 1pt} +\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right) z\left(x,s,\varepsilon \right)dx{\kern 1pt} +{\kern 1pt} H(t,s,{\kern 1pt} \varepsilon ),{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \, z(s,s,{\kern 1pt} \varepsilon ){\kern 1pt} ={\kern 1pt} 0,                            \eqno(24)\]
где $H(t,s,{\kern 1pt} \varepsilon )\in C\left(0\le s\le t\le 1,{\rm C}\right)$-- известная функция. Эта задача при каждом $\varepsilon >0$ имеет единственное решение $z=z\left(t,s,\varepsilon \right)\in C^{1} \left(0\le s\le t\le 1,{\rm C}\right)$ и надо оценить норму  решения   через правую часть $H\left(t,s,\varepsilon \right).$ Введем еще одну неизвестную функцию
\[u(t,s,\varepsilon )=\int _{s}^{t}K_{0} \left(t,x\right) z\left(x,s,\varepsilon \right)dx{\kern 1pt} .\]
Дифференцируя ее по $t,$ получим интегро-дифференциальную задачу:
\[\begin{array}{l} {\frac{du(t,s,\varepsilon )}{dt} =K_{0} \left(t,t\right)z\left(t,s,\varepsilon \right)+\int _{s}^{t}\frac{\partial K_{0} \left(t,x\right)}{\partial t}  z\left(x,s,\varepsilon \right)dx,} \\ {u\left(s,s,\varepsilon \right)=0.} \end{array}                           \eqno(25)\]
В итоге для вектор-функции $\omega =\left\{z,u\right\}$ получим интегро-дифференциальную задачу
\[\begin{array}{l} {\varepsilon \frac{d\omega (t,s,\varepsilon )}{dt} =\left(\begin{array}{cc} {a(t)} & {1} \\ {0} & {0} \end{array}\right)\omega (t,s,\varepsilon )+\varepsilon \left(\begin{array}{c} {0} \\ {K_{0} \left(t,t\right)z\left(t,s,\varepsilon \right)} \end{array}\right)+} \\ {+\varepsilon \int _{s}^{t}\left(\begin{array}{c} {0} \\ {\frac{\partial K_{0} \left(t,x\right)}{\partial t} z\left(x,s,\varepsilon \right)dx} \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} {H\left(t,s,\varepsilon \right)} \\ {0} \end{array}\right),\omega \left(s,s,\varepsilon \right)=0.} \end{array}                     \eqno(26)\]
Обозначим через $Y\left(t,x,\varepsilon \right)$ матрицу Коши дифференциальной задачи
\[\varepsilon \frac{dY(t,x,\varepsilon )}{dt} =\left(\begin{array}{cc} {a(t)} & {1} \\ {0} & {0} \end{array}\right)Y(t,x,\varepsilon ),\, Y(x,x,\varepsilon )=I,0\le s\le t\le 1.\]
Матрица $A\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc} {a(t)} & {1} \\ {0} & {0} \end{array}\right)$ является матрицей простой структуры со спектром $\left\{a\left(t\right),0\right\}.$
 Так как спектр $\left\{a\left(t\right),0\right\}$  матрицы $A\left(t\right)$  лежит в полуплоскости ${\rm Re}\, \lambda \le 0,$ то матрица $Y\left(t,x,\varepsilon \right)$ равномерно ограничена (см., например, [10], стр. 119--120), т. е.
\[\left\| Y\left(t,x,\varepsilon \right)\right\| \le c_{0} ={\rm const\; }\left(\forall \left(t,x,\varepsilon \right)\in \left\{0\le s\le t\le 1\right\}\times \left\{\varepsilon >0\right\}\right).\]
Обратим с помощью этой матрицы систему (26); получим интегральную систему
\[\begin{array}{l} {\omega (t,s,\varepsilon )=\int _{s}^{t}Y\left(t,x,\varepsilon \right) \left(\left(\begin{array}{c} {0} \\ {K_{0} \left(x,x\right)z\left(x,s,\varepsilon \right)} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {0} \\ {\frac{\partial K_{0} \left(x,\xi \right)}{\partial t} z\left(\xi ,s,\varepsilon \right)d\xi } \end{array}\right)\right)dx=} \\ {+\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t}Y\left(t,x,\varepsilon \right) \left(\begin{array}{c} {H\left(x,s,\varepsilon \right)} \\ {0} \end{array}\right)dx.} \end{array}\]
Переходя здесь к нормам, получим интегральное неравенство относительно нормы $\left\| \omega (t,s,\varepsilon )\right\| .$  Учитывая равномерную ограниченность матрицы $Y\left(t,x,\varepsilon \right),$ а также непрерывность функций $K_{0} \left(t,s\right)$ и $\frac{\partial K_{0} \left(x,\xi \right)}{\partial t} $ (а значит, их ограниченность)  и применяя
неравенство Гронуолла-Беллмана, получим при достаточно малых $\varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{0} \right]$    оценку
\[\left\| \omega (t,s,\varepsilon )\right\| _{C\left(\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]\right)} \le \frac{1}{\varepsilon } \left\| \left(\begin{array}{c} {H\left(x,s,\varepsilon \right)} \\ {0} \end{array}\right)\right\| _{C\left(\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]\right)} ,\]
  из которой вытекает оценка
\[\left\| z(t,s,\varepsilon )\right\| _{C\left(\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]\right)} \le \frac{c_{1} }{\varepsilon } \left\| H\left(x,s,\varepsilon \right)\right\| _{C\left(\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]\right)} .                                 \eqno(27)\]
Доказано следующее утверждение.

\begin{lemma}\textit{ Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда решение }$z(t,s,\varepsilon )$\textit{  задачи (25) существует, единственно  при достаточно малых }$\varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{0} \right]$\textit{ и удовлетворяет оценке (27),}
\textit{где постоянная $c_{1} >0$ не зависит от $\varepsilon $ при достаточно малых $\varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{0} \right].$}   \textit{  }
\end{lemma}
     Применим эту лемму для доказательства следующего утверждения.
\begin{theorem} \textit{Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда задача (1) однозначно разрешима в классе ${\rm C}^{1} ([0,1],{\kern 1pt} {\rm C})$ и для ее решения $V(t,s,{\kern 1pt} \varepsilon )$ справедлива оценка }
\[||V(t,s,\varepsilon ){\kern 1pt} -{\kern 1pt} v_{\varepsilon N} (t,s)||_{C\left(0\le s\le t\le 1\right)} \le c_{N} {\kern 1pt} \varepsilon ^{N+1} ,{\kern 1pt} N{\kern 1pt} ={\kern 1pt} 0,{\kern 1pt} 1,{\kern 1pt} 2,...,\]
\textit{где постоянная $c_{N} >0$ не зависит от $\varepsilon $ при $\varepsilon \in (0,{\kern 1pt} \varepsilon _{0} ]{\kern 1pt} (\varepsilon _{0} >0$~--- достаточно мало).}
\end{theorem}
\begin{proof} Задача (1) однозначно разрешима, так как она приводится к задаче (24) заменой $V-{\kern 1pt} 1{\kern 1pt} ={\kern 1pt} z.$ Для разности $\Delta _{N} (t,{\kern 1pt} s,\varepsilon ){\kern 1pt} = V(t,s,\varepsilon ){\kern 1pt} -{\kern 1pt} v_{\varepsilon N} (t,s)$ получаем задачу
\[\begin{array}{l} {\varepsilon \frac{\Delta _{N}(t,{\kern 1pt} s,\varepsilon ) }{dt} {\kern 1pt} ={\kern 1pt} a(t){\kern 1pt} \Delta _{N} (t,{\kern 1pt} s,\varepsilon ){\kern 1pt} +{\kern 1pt} \int _{s}^{t} K(t,x)\Delta _{N} (x,s,{\kern 1pt} \varepsilon )dx{\kern 1pt} -{\kern 1pt} } \\ {-{\kern 1pt} \varepsilon ^{N+1} F_{N} (t,s,{\kern 1pt} \varepsilon ),\Delta _{N} (s,s,{\kern 1pt} \varepsilon ){\kern 1pt} ={\kern 1pt} 0.} \end{array}\]
Она имеет вид задачи (24) с неоднородностью $H(t,{\kern 1pt} s,\varepsilon ){\kern 1pt} \equiv {\kern 1pt} -\varepsilon ^{N+1} {\kern 1pt} F_{N} (t,{\kern 1pt} s,\varepsilon ).$ По лемме 2 справедлива оценка
\[\begin{array}{l} {||\Delta _{N} (t,s,{\kern 1pt} \varepsilon )||_{C\left(0\le s\le t\le 1\right)} {\kern 1pt} \equiv {\kern 1pt} ||V(t,s,\varepsilon ){\kern 1pt} -{\kern 1pt} v_{\varepsilon N} (t,s)||_{C\left(0\le s\le t\le 1\right)} \le {\kern 1pt} } \\ {\le {\kern 1pt} \frac{c_{2} }{\varepsilon } \varepsilon ^{N+1} ||F_{N} (t,s,{\kern 1pt} \varepsilon )||_{C\left(0\le s\le t\le 1\right)} \le {\kern 1pt} \bar{c}_{0} {\kern 1pt} \bar{F}_{N} {\kern 1pt} \varepsilon ^{N} {\kern 1pt} \equiv {\kern 1pt} \bar{c}_{N-1} {\kern 1pt} \varepsilon ^{N} ,} \end{array}\]
а значит для $\Delta _{N+1} (t,{\kern 1pt} s,\varepsilon ){\kern 1pt} ={\kern 1pt} V(t,s,\varepsilon ){\kern 1pt} -{\kern 1pt} v_{\varepsilon ,N+1} (t,s)$ будет иметь место оценка
\[||\Delta _{N+1} (t,s,{\kern 1pt} \varepsilon )||_{C\left(0\le s\le t\le 1\right)} {\kern 1pt} \equiv\]

 \[{\equiv} ||(V(t,s,\varepsilon ){\kern 1pt} -{\kern 1pt} v_{\varepsilon N} (t,s)){\kern 1pt} -{\kern 1pt} \varepsilon ^{N+1} v_{N+1} (t,{\kern 1pt} s,\frac{\varphi \left(t,s\right)}{\varepsilon } )||_{C\left(0\le s\le t\le 1\right)} \le \bar{c}_{N} {\kern 1pt} \varepsilon ^{N+1} .\]
Отсюда получаем, что
\[\bar{c}_{N} {\kern 1pt} \varepsilon ^{N+1} {\kern 1pt} \ge {\kern 1pt} ||V(t,s,\varepsilon ){\kern 1pt} -{\kern 1pt} v_{\varepsilon N} (t,s)||_{C\left(0\le s\le t\le 1\right)} {\kern 1pt} -{\kern 1pt} \varepsilon ^{N+1} ||v_{N+1} (t,{\kern 1pt} s,\frac{\varphi \left(t,s\right)}{\varepsilon } )||_{C\left(0\le s\le t\le 1\right)} ,\]
или
\[||V(t,s,\varepsilon ){\kern 1pt} -{\kern 1pt} v_{\varepsilon N} (t,s)||_{C\left(0\le s\le t\le 1\right)} {\kern 1pt} \le {\kern 1pt} c_{N} {\kern 1pt} \varepsilon ^{N+1} ,{\kern 1pt} \]
где $c_{N} {\kern 1pt} ={\kern 1pt} \bar{c}_{N} {\kern 1pt} +{\kern 1pt} \bar{v}_{N} >0,||v_{N+1} (t,{\kern 1pt} s,\frac{\varphi \left(t,s\right)}{\varepsilon } )||_{C\left(0\le s\le t\le 1\right)} \le {\kern 1pt} {\kern 1pt} \bar{v}_{N} ,$ причем постоянная $c_{N} $ не зависит от $\varepsilon \in (0,{\kern 1pt} \varepsilon _{0} ],$ где $\varepsilon _{0} >0$~--- достаточно мало. \end{proof}

\section{ Построение регуляризованного асимптотического решения задачи (2)}
     Рассмотрим теперь задачу (2). Подставим в нее асимптотическое решение
\[v\left(t,s,\eta ,\varepsilon \right)=\sum _{k=0}^{\infty } \varepsilon ^{k} \left(v_{1}^{\left(k\right)} \left(t,s\right)e^{\eta } +v_{0}^{\left(k\right)} \left(t,s\right)\right)                        \eqno(28)\]
задачи (1). Получим интегро-дифференциальная уравнение
\[\begin{array}{l} {\varepsilon \frac{dy}{dt} =b\left(t\right)y+\sum _{k=0}^{\infty } \varepsilon ^{k} \int _{0}^{t}\left(v_{1}^{\left(k\right)} \left(t,s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t}a\left(\theta \right) } d\theta +v_{0}^{\left(k\right)} \left(t,s\right)\right) \times } \\ {\times K\left(t,s\right)y\left(s,\varepsilon \right)ds+} \\ {+h\left(t\right),{\kern 1pt} y\left(0,\varepsilon \right)=y^{0} \Leftrightarrow } \end{array}                     \eqno(29)\]
Введем обозначения:
\[\begin{array}{l} {K\left(t,s\right)v_{1}^{\left(k\right)} \left(t,s\right)\equiv K_{1,k} \left(t,s\right),} \\ {\, K\left(t,s\right)v_{0}^{\left(k\right)} \left(t,s\right)\equiv K_{0,k} \left(t,s\right),\, k=0,1,2,...\, .} \end{array}\]
Тогда задача (29) перепишется в виде
\[\begin{array}{l} {\varepsilon \frac{dy}{dt} =b\left(t\right)y+} \\ {+\sum _{k=0}^{\infty } \varepsilon ^{k} \int _{0}^{t}e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t}a\left(\theta \right)d\theta  }  K_{1,k} \left(t,s\right)y\left(s,\varepsilon \right)ds+} \\ {+\sum _{k=0}^{\infty } \varepsilon ^{k} \int _{0}^{t}K_{0,k} \left(t,s\right)y\left(s,\varepsilon \right)ds +h\left(t\right),y\left(0,\varepsilon \right)=y^{0} .} \end{array}                       \eqno(30)\]
Получена интегродифференциальная система с быстро и медленно изменяющимися  ядрами интегрального оператора. Эта система более общая, чем система, рассмотренная в [6], так как в ней ядра являются асимптотическими рядами по $\varepsilon $ (тогда как в [6] в ядре  стоит только одно  слагаемое $k\left(t,s\right)$). Задачу (30) будем рассматривать при условиях 1)--2).  Кроме того, будем предполагать, что выполнены требования:

    3) функции $b\left(t\right)\in C^{\infty } \left(\left[0,1\right]\right){\kern 1pt} $ и $h\left(t\right)\in C^{\infty } \left(\left[0,1\right]\right);$

   4)$\, a\left(t\right)\ne b\left(t\right){\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} a\left(t\right),b\left(t\right)\ne 0,\, \, {\rm Re}\,a\left(t\right)\, ,Re\, b\left(t\right)\le 0\, \forall t\in \left[0,1\right].$

Обозначим $a\left(t\right)\equiv \lambda _{2} \left(t\right){\kern 1pt} ,\, \, \, b\left(t\right)\equiv \lambda _{1} \left(t\right)$  и введем регуляризирующие переменные
\[\tau _{j} =\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t} \lambda _{j} \left(x\right)dx\equiv \frac{\psi _{j} \left(t\right)}{\varepsilon } ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \, j=1,2.\]
Для расширения $\widetilde{y}=\widetilde{y}\left(t,\tau ,\varepsilon \right)$ решения уравнения (30) получим следующую задачу:
\[\begin{array}{l} {\varepsilon \frac{\partial \tilde{y}}{\partial t} +\sum _{j=1}^{2}\lambda _{j} \left(t\right) \frac{\partial \tilde{y}}{\partial \tau _{j} } -\sum _{k=0}^{\infty } \varepsilon ^{k} J_{k} \tilde{y}\left(s,\frac{\psi \left(s\right)}{\varepsilon } ,\varepsilon \right)=h\left(t\right),} \\ {\tilde{y}\left(0,\varepsilon \right)=y^{0} ,} \end{array}                                  \eqno(31)\]
где обозначено:
\[\begin{array}{l} {J_{k} \widetilde{y}\left(t,\tau ,\varepsilon \right)=J_{1,k} \widetilde{y}\left(t,\tau ,\varepsilon \right)+J_{0,k} \widetilde{y}\left(t,\tau ,\varepsilon \right),} \\ {J_{1,k} \widetilde{y}\left(t,\tau ,\varepsilon \right)=\int _{0}^{t} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t}\lambda _{2} \left(\theta \right)d\theta  } K_{1,k} \left(t,s\right)\tilde{y}\left(s,\frac{\psi \left(s\right)}{\varepsilon } ,\varepsilon \right)ds,{\kern 1pt} } \\ {J_{0,k} \widetilde{y}\left(t,\tau ,\varepsilon \right)=\int _{0}^{t} K_{0,k} \left(t,s\right)\tilde{y}\left(s,\frac{\psi \left(s\right)}{\varepsilon } ,\varepsilon \right)ds,{\kern 1pt} \, \, k\ge 0,} \end{array}\]
или, более подробно,
$$\begin{array}{l} {\varepsilon \frac{\partial \tilde{y}}{\partial t} +\sum _{j=1}^{2}\lambda _{j} \left(t\right)\frac{\partial \tilde{y}}{\partial \tau _{j} }  -} \\ {-\sum _{k=0}^{\infty } \varepsilon ^{k} \int _{0}^{t}e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t}a\left(\theta \right)d\theta  }  K_{1,k} \left(t,s\right)\tilde{y}\left(s,\frac{\psi \left(s\right)}{\varepsilon } ,\varepsilon \right)ds-} \\ {-\sum _{k=0}^{\infty } \varepsilon ^{k} \int _{0}^{t}K_{0,k} \left(t,s\right)\tilde{y}\left(s,\frac{\psi \left(s\right)}{\varepsilon } ,\varepsilon \right)ds =h\left(t\right),} \\ {\tilde{y}\left(0,0\varepsilon \right)=y^{0} .} \end{array}                             \eqno(31a)$$

Однако здесь не произведена регуляризация интегральных операторов $J_{1,k} \widetilde{y}\left(t,\tau ,\varepsilon \right)$ и $J_{0,k} \widetilde{y}\left(t,\tau ,\varepsilon \right).$ Для регуляризации  этих операторов введем пространство $\hat{M}_{\varepsilon } ,$ асимптотически инвариантное относительно оператора $J_{i,k} \widetilde{y}\left(s,\tau ,\varepsilon \right)\, (k=0,1)$(см. [1; гл. 2,${\rm \S }$ 6]).

\begin{definition} Будем говорить, что вектор-функция $w(t,\tau )=\left\{w_{1} ,...,w_{n} \right\}$ принадлежит пространству $Y,$ если она представима в виде суммы
\[\begin{array}{l} {w(t,\tau )=w_{0} \left(t\right)+w_{1} \left(t\right)e^{\tau _{1} } +w_{2} \left(t\right)e^{\tau _{2} } ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} w_{j} \left(t\right)\in C^{\infty } \left(\left[0,1\right]\right),} \\ {j=0,1,2.} \end{array}                               \eqno(32)\]
\end{definition}
    Заметим, что здесь  $\tau _{2} =\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t} a\left(x\right)dx=\frac{\varphi \left(t,0\right)}{\varepsilon } .$ Подставим вместо $\tilde{y}$ эту функцию в каждый интегральный оператор, входящий в $J_{i,k} \widetilde{y}\left(s,\tau ,\varepsilon \right).$ Будем иметь
\[\begin{array}{l} {J_{1,k} w(t,\tau )\equiv } \\ {\equiv \int _{0}^{t} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t} \lambda _{2} \left(x\right)dx} K_{1,k} \left(t,s\right)\left(w_{0} \left(s\right)+w_{1} \left(s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s} \lambda _{1} \left(x\right)dx} +w_{2} \left(s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s} \lambda _{2} \left(x\right)dx} \right)ds=} \\ {=\int _{0}^{t} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t} \lambda _{2} \left(x\right)dx} K_{1,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)ds+e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t} \lambda _{2} \left(x\right)dx} \int _{0}^{t}K_{1,k} \left(t,s\right)w_{2} \left(s\right)ds+ } \end{array}\]
\[+\int _{0}^{t} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t} \lambda _{2} \left(x\right)dx} K_{1,k} \left(t,s\right)w_{1} \left(s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s} \lambda _{1} \left(x\right)dx} ds=\]
\[\begin{array}{l} {=e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t} \lambda _{2} \left(x\right)dx} \int _{0}^{t}K_{1,k} \left(t,s\right)w_{2} \left(s\right)ds+ \int _{0}^{t} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t} \lambda _{2} \left(x\right)dx} K_{1,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)ds+} \\ {+e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t} \lambda _{2} \left(x\right)dx} \int _{0}^{t} e^{-\, \frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s} \lambda _{2} \left(x\right)dx} K_{1,k} \left(t,s\right)w_{1} \left(s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s} \lambda _{1} \left(x\right)dx} ds} \end{array}\]

Применяя операцию интегрирования по частям, получим
\[\begin{array}{l} {\int _{0}^{t}e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t}\lambda _{2} \left(x\right)dx } K_{1,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)ds =} \\ {=-\varepsilon \int _{0}^{t}\frac{K_{1,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)}{\lambda _{2} \left(s\right)} de^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t}\lambda _{2} \left(x\right)dx }  =} \\ {=\varepsilon \left[\frac{K_{1,k} \left(t,0\right)w_{0} \left(0\right)}{\lambda _{2} \left(0\right)} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t}\lambda _{2} \left(x\right)dx } -\frac{K_{1,k} \left(t,t\right)w_{0} \left(t\right)}{\lambda _{2} \left(t\right)} \right]+} \end{array}\]
\[\begin{array}{l} {+\varepsilon \int _{0}^{t}e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t}\lambda _{2} \left(x\right)dx } \frac{\partial }{\partial s} \frac{K_{1,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)}{\lambda _{2} \left(s\right)} ds =} \\ {=\varepsilon \left[\frac{K_{1,k} \left(t,0\right)w_{0} \left(0\right)}{\lambda _{2} \left(0\right)} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t}\lambda _{2} \left(x\right)dx } -\frac{K_{1,k} \left(t,t\right)w_{0} \left(t\right)}{\lambda _{2} \left(t\right)} \right]+} \end{array}\]
\[\begin{array}{l} {+\varepsilon ^{2} [\left(\frac{1}{\lambda _{2} \left(s\right)} \frac{\partial }{\partial s} \frac{K_{1,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)}{\lambda _{2} \left(s\right)} \right)_{s=0} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t}\lambda _{2} \left(x\right)dx } -} \\ {-\left(\frac{1}{\lambda _{2} \left(s\right)} \frac{\partial }{\partial s} \frac{K_{1,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)}{\lambda _{2} \left(s\right)} \right)_{s=t} ]+} \\ {+\varepsilon ^{2} \int _{0}^{t}e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t}\lambda _{2} \left(x\right)dx } \frac{\partial }{\partial s} \left(\frac{1}{\lambda _{2} \left(s\right)} \frac{\partial }{\partial s} \frac{K_{1,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)}{\lambda _{2} \left(s\right)} \right)ds =} \end{array}\]
\[\begin{array}{l} {=\sum _{m=0}^{\infty }\varepsilon ^{m+1} [\left(I_{2}^{m} \left(K_{1,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)\right)\right)_{s=0} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t}\lambda _{2} \left(x\right)dx } - } \\ {-\left(I_{2}^{m} \left(K_{1,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)\right)\right)_{s=t} ]} \end{array}\]
где введены операторы:
\[\begin{array}{l} {I_{2}^{0} =\frac{1}{\lambda _{2} \left(s\right)} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} I_{2}^{1} =\frac{1}{\lambda _{2} \left(s\right)} \frac{\partial }{\partial s} I_{1}^{0} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \\ {I_{2}^{m} =\frac{1}{\lambda _{2} \left(s\right)} \frac{\partial }{\partial s} I_{2}^{m-1} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} m\ge 2.} \end{array}                                          \eqno(33)\]
Далее имеем:
\[e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t} \lambda _{2} \left(x\right)dx} \int _{0}^{t} e^{-\, \frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s} \lambda _{2} \left(x\right)dx} K_{1,k} \left(t,s\right)w_{1} \left(s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s} \lambda _{1} \left(x\right)dx} ds=\]
\[\begin{array}{l} {\begin{array}{l} {\begin{array}{l} {-e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t} \lambda _{2} \left(x\right)dx} \int _{0}^{t} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s} (\lambda _{1} \left(x\right)-\lambda _{2} \left(x\right))dx} \left(\frac{\partial }{\partial s} \frac{K_{1,k} \left(t,s\right)w_{1} \left(s\right)}{\lambda _{1} \left(s\right)-\lambda _{2} \left(s\right)} \right)ds=} \\ {=\sum _{m=0}^{\infty } \varepsilon ^{m+1} \left(-1\right)^{m} [\left(I_{1,2}^{m} \left(K_{1,k} \left(t,s\right)w_{1} \left(s\right)\right)_{s=t} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t} \lambda _{1} \left(x\right)dx} \right)_{s=t} -} \end{array}} \\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \end{array}} \\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} -\left(I_{1,2}^{m} \left(K_{1,k} \left(t,s\right)w_{1} \left(s\right)\right)_{s=0} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t} \lambda _{2} \left(x\right)dx} \right)],} \end{array}\]
где введены операторы:
\[\begin{array}{l} {I_{1,2}^{0} =\frac{1}{\lambda _{1} \left(s\right)-\lambda _{2} \left(s\right)} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} I_{1,2}^{1} =\frac{1}{\lambda _{1} \left(s\right)-\lambda _{2} \left(s\right)} \frac{\partial }{\partial s} I_{1,2}^{0} ,{\kern 1pt} } \\ {{\kern 1pt} I_{1,2}^{\nu } =\frac{1}{\lambda _{1} \left(s\right)-\lambda _{2} \left(s\right)} \frac{\partial }{\partial s} I_{1,2}^{\nu -1} ,{\kern 1pt} \nu \ge 2.} \end{array}                         \eqno(34)\]
Таким образом, для произвольной вектор-функции (32) будем иметь
\[\begin{array}{l} {J_{1,k} w(t,\tau )=e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t} \lambda _{2} \left(x\right)dx} \int _{0}^{t}K_{1,k} \left(t,s\right)w_{2} \left(s\right)ds+ } \\ {+\sum _{m=0}^{\infty }\varepsilon ^{m+1} \left(-1\right)^{m} [\left(I_{2}^{m} \left(K_{1,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)\right)\right)_{s=0} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t}\lambda _{2} \left(x\right)dx } - } \\ {-\left(I_{2}^{m} \left(K_{1,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)\right)\right)_{s=t} ]+} \\
 {+\sum _{m=0}^{\infty } \varepsilon ^{m+1} \left(-1\right)^{m} [\left(I_{1,2}^{m} \left(K_{1,k} \left(t,s\right)w_{1} \left(s\right)\right)_{s=t} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t} \lambda _{1} \left(x\right)dx} \right)_{s=t} -} \\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} -\left(I_{1,2}^{m} \left(K_{1,k} \left(t,s\right)w_{1} \left(s\right)\right)_{s=0} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t} \lambda _{2} \left(x\right)dx} \right)].} \end{array}\eqno(35)\]
Произведем теперь регуляризацию интеграла с медленно изменяющимся ядром:
\[\begin{array}{l} {J_{0,k} \widetilde{y}\left(t,\tau ,\varepsilon \right)=\int _{0}^{t} K_{0,k} \left(t,s\right)\tilde{y}\left(s,\frac{\psi \left(s\right)}{\varepsilon } ,\varepsilon \right)ds=} \\ {=\int _{0}^{t} K_{0,k} \left(t,s\right)\left(w_{0} \left(s\right)+\sum _{j=1}^{2}w_{j} \left(s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s} \lambda _{j} \left(x\right)dx}  \right)ds=} \\ {=\int _{0}^{t} K_{0,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)ds+} \\ {+\int _{0}^{t} K_{0,k} \left(t,s\right)\left(\sum _{j=1}^{2}w_{j} \left(s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s} \lambda _{j} \left(x\right)dx}  \right)ds.} \end{array}\]
Вновь используя операцию интегрирования по частям, придем к следующему ряду:
\[\begin{array}{l} {\int _{0}^{t} K_{0,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)ds+} \\ {+\int _{0}^{t} K_{0,k} \left(t,s\right)\left(\sum _{j=1}^{2}w_{j} \left(s\right)e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{s} \lambda _{j} \left(x\right)dx}  \right)ds=} \\ {=\int _{0}^{t} K_{0,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)ds+} \\ {=\sum _{j=1}^{2}\sum _{m=0}^{\infty }\left(-1\right)^{m} \varepsilon ^{m+1}   [\left(I_{j}^{m} \left(K_{0,k} \left(t,s\right)w_{j} \left(s\right)\right)\right)_{s=t} e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{0}^{t}\lambda _{j} \left(x\right)dx } -} \\ {-\left(I_{j}^{m} \left(K_{0,k} \left(t,s\right)w_{j} \left(s\right)\right)\right)_{s=0} ],} \end{array}                             \eqno(36)\]
где введены операторы:
\[\begin{array}{l} {I_{j}^{0} =\frac{1}{\lambda _{j} \left(s\right)} ,\, \, {\kern 1pt} {\kern 1pt} I_{j}^{1} =\frac{1}{\lambda _{j} \left(s\right)} \frac{\partial }{\partial s} I_{0,j}^{0} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \\ {I_{j}^{m} =\frac{1}{\lambda _{j} \left(s\right)} \frac{\partial }{\partial s} I_{j}^{m-1} ,{\kern 1pt} \, \, j=1,2,{\kern 1pt} \, \, m\ge 2.} \end{array}                                            \eqno(37)\]
Нетрудно показать, что ряды, стоящие в правых частях равенств (35) и (36),  асимптотически сходятся при $\varepsilon \to +0$ к соотвествующим интегралам (равномерно по $t\in \left[0,1\right]$). Обозначая через $R_{m,k} :Y\to Y$операторы порядка (по $\varepsilon ),$ действующие на каждую функцию (32) по закону
\[\begin{array}{l} {R_{0,k} w\left(t,\tau \right)=e^{\tau _{2} } \int _{0}^{t}K_{1,k} \left(t,s\right)w_{2} \left(s\right)ds+ } \\ {+\int _{0}^{t} K_{0,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)ds;} \end{array}\]
\[\begin{array}{l} {R_{m+1,k} w\left(t,\tau \right)=[\left(I_{2}^{m} \left(K_{1,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)\right)\right)_{s=0} e^{\tau _{2} } -} \\ {-\left(I_{2}^{m} \left(K_{1,k} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)\right)\right)_{s=t} ]+} \\ {+\left(-1\right)^{m} [\left(I_{1,2}^{m} \left(K_{1,k} \left(t,s\right)w_{1} \left(s\right)\right)_{s=t} e^{\tau _{1} } \right)_{s=t} -} \\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} -\left(I_{1,2}^{m} \left(K_{1,k} \left(t,s\right)w_{1} \left(s\right)\right)_{s=0} e^{\tau _{2} } \right)]+} \end{array}                           \eqno(38)\]
\[\begin{array}{l} {+\sum _{j=1}^{2}\left(-1\right)^{m} [\left(I_{j}^{m} \left(K_{0,k} \left(t,s\right)w_{j} \left(s\right)\right)\right)_{s=t} e^{\tau _{j} }  } \\ {-\left(I_{j}^{m} \left(K_{0,k} \left(t,s\right)w_{j} \left(s\right)\right)\right)_{s=0} ]}, \end{array}\]где операторы $I_{2}^{m},\,\,I_{1,2}^{m}$   и  $I_{j}^{m}$  вычисляются по формулам (33),(34) и (37) соответственно.
Тогда образ $J_{k} w\left(t,\tau \right)$ можно записать кратко в форме
\[J_{k} w\left(t,\tau \right)\equiv J_{1,k} w\left(t,\tau \right)+J_{0,k} w\left(t,\tau \right)=\sum _{m=0}^{\infty } \varepsilon ^{m+1} R_{m+1,k} w\left(t,\tau \right).\]
     Пусть теперь некоторая вектор-функция $\widetilde{y}\left(t,\tau ,\varepsilon \right),$ непрерывная по $\left(t,\tau \right)\in {\in} \left[0,T\right]\times \Pi {\kern 1pt} \left(\Pi =\left\{{\rm Re}\,\tau _{j} \le 0,{\kern 1pt} j=1,2\right\}\right),$ представляется в виде ряда
\[\begin{array}{l} {\widetilde{y}\left(t,\tau ,\varepsilon \right)=\sum _{l=0}^{\infty } \varepsilon ^{l} y_{l} \left(t,\tau \right),{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \\ {y_{l} \left(t,\tau \right)=w_{0}^{\left(l\right)} \left(t\right)+\sum _{j=1}^{2}w_{j}^{\left(l\right)} \left(t\right)e^{\tau _{j} }  \in Y,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \end{array}                                          \eqno(39)\]
сходящегося асимптотически при $\varepsilon \to +0$ (равномерно по$\left(t,\tau \right)\in \left[0,1\right]\times \Pi $). Подставляя ее в интегральные операторы системы (31), будем иметь
\[\begin{array}{l} {\sum _{k=0}^{\infty } \varepsilon ^{k} J_{k} \tilde{y}\left(s,\frac{\psi \left(s\right)}{\varepsilon } ,\varepsilon \right)=} \\ {\equiv \sum _{k=0}^{\infty }\sum _{l=0}^{\infty }\varepsilon ^{k+l}   J_{k} y_{l} \left(t,\tau \right)=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }R_{0k} y_{l} \left(t,\tau \right)+  } \\ {+\sum _{r=1}^{\infty }\varepsilon ^{r}  \sum _{k+l+m+1=r}R_{m+1,k} y_{l} \left(t,\tau \right) =} \\ {=\sum _{r=0}^{\infty }\varepsilon ^{r}  \sum _{k+l+m+1=r}R_{m+1,k} y_{l} \left(t,\tau \right) ,} \end{array}\]
где $\tau =\psi \left(t\right)/\varepsilon .$

\begin{definition}Оператор $\widetilde{J}\widetilde{y}=\sum _{r=0}^{\infty } \varepsilon ^{r} \sum _{k+l+m+1=r}R_{m+1,k} y_{l} \left(t,\tau \right) {\kern 1pt} {\kern 1pt} $ будем называть \textit{формальным расширением интегрального оператора} $$\sum _{k=0}^{\infty } \varepsilon ^{k} J_{k} \tilde{y}\left(s,\frac{\psi \left(s\right)}{\varepsilon } ,\varepsilon \right).$$
\end{definition}
     Теперь можно записать задачу, полностью регуляризованную по отношению по отношению к (30):
\[\varepsilon \frac{\partial \widetilde{y}}{\partial t} +\sum _{j=1}^{2} \lambda _{j} \left(t\right)\frac{\partial \widetilde{y}_{0} }{\partial \tau _{j} } -\lambda _{1} \left(t\right)\widetilde{y}-\widetilde{J}\widetilde{y}=h\left(t\right),\, \, \, \, {\kern 1pt} \widetilde{y}\left(0,0,\varepsilon \right)=y^{0} .{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}                           \eqno(40)\]
Подставляя ряд (39) в (40) и производя приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях $\varepsilon $, получим следующие итерационные задачи:
\[Fy_{0} \equiv \sum _{j=1}^{2}\lambda _{j} \left(t\right)\frac{\partial y_{0} }{\partial \tau _{j} }  -\lambda _{1} \left(t\right)y_{0} -R_{0,0} y_{0} =h\left(t\right),y_{0} \left(0,0\right)=y^{0} ;                                   \left(41_{0} \right)\]
\[Fy_{1} =-\frac{\partial y_{0} }{\partial t} +R_{1,0} y_{0} ,y_{1} \left(0,0\right)=0;                                                    \eqno\left(41_{1} \right)\]
\[Fy_{1} =-\frac{\partial y_{1} }{\partial t} +R_{2,0} y_{0} +R_{1,1} y_{0} +R_{1,0} y_{1} ,y_{2} \left(0,0\right)=0;                                           \eqno\left(41_{2} \right)\]
...
\[Fy_{r} =-\frac{\partial y_{r-1} }{\partial t} +\sum _{k+l+m+1=r}R_{m+1,k} y_{l} \left(t,\tau \right),y_{r} \left(0,0\right)=0 ,                                       \eqno\left(41_{r} \right)\]
Каждую пару итерационных задач $\left(41_{r} \right),\left(41_{r+1} \right)$ можно записать в виде
\[F{\kern 1pt} y\equiv \sum _{j=1}^{2} \lambda _{j} \left(t\right)\frac{\partial y}{\partial \tau _{j} } -\lambda _{1} \left(t\right)y-R_{0,0} y=f\left(t,\tau \right),{\kern 1pt} y\left(0,0\right)=y_{*} ,{\kern 1pt}                 \eqno(42)                                       \]
\[F{\kern 1pt} v=-\frac{\partial y}{\partial t} +R_{1,0} y+g\left(t,\tau \right),{\kern 1pt}                                                               \eqno(43)\]
где $f\left(t,\tau \right)=f_{0} \left(t\right)+\sum _{j=1}^{2}f_{j} \left(t\right)e^{\tau _{j} }  ,\, g\left(t,\tau \right)=g_{0} \left(t\right)+\sum _{j=1}^{2}g_{j} \left(t\right)e^{\tau _{j} }  $-- известные функции класса $Y.$ Здесь так же, как и в п.1, нетрудно доказать следующий результат.

\begin{theorem} \textit{Пусть выполнены условия 1)--4) и функция $f\left(t,\tau \right)\in Y.$Тогда для разрешимости системы (42) в пространстве $Y$необходимо и достаточно, чтобы}
\[{\left\langle f\left(t,\tau \right) \mathrel{\left| \vphantom{f\left(t,\tau \right) e^{\tau _{1} } }\right.\kern-\nulldelimiterspace} e^{\tau _{1} }  \right\rangle} {\kern 1pt} \equiv 0{\kern 1pt} \Leftrightarrow f_{1} \left(t\right)\equiv 0\, \forall t\in \left[0,1\right].                                            \eqno(44)\]
\textit{При выполнении условий (44) и при дополнительном требовании}
\[{\left\langle -\frac{\partial y}{\partial t} +R_{1,0} y+g\left(t,\tau \right) \mathrel{\left| \vphantom{-\frac{\partial y}{\partial t} +R_{1,0} y+g\left(t,\tau \right) e^{\tau _{1} } }\right.\kern-\nulldelimiterspace} e^{\tau _{1} }  \right\rangle} {\kern 1pt} \equiv 0                                            \eqno(45)\]
\textit{задача (42) однозначно разрешима в пространстве $Y.$}\end{theorem}

     Здесь через ${\left\langle * \mathrel{\left| \vphantom{* *}\right.\kern-\nulldelimiterspace} * \right\rangle} $ обозначено скалярное (при каждом $t\in \left[0,1\right]$) произведение в $Y:$
\[{\left\langle f\left(t,\tau \right) \mathrel{\left| \vphantom{f\left(t,\tau \right) g\left(t,\tau \right)}\right.\kern-\nulldelimiterspace} g\left(t,\tau \right) \right\rangle} \buildrel\Delta\over= \sum _{j=0}^{2}f_{j} \left(t\right)\bar{g}\left(t\right) .\]
Обращаем внимание на то, что в (31) и (32) в умножении участвуют только функция $e^{\tau _{1} } ,$ так как функции типа $q_{2} \left(t\right)e^{\tau _{2} } \, $ не входят в ядро оператора $F{\kern 1pt} y\equiv {\equiv}\sum _{j=1}^{2} \lambda _{j} \left(t\right)\frac{\partial y}{\partial \tau _{j} } -\lambda _{1} \left(t\right)y.$

      И, наконец, обозначая через $y_{\varepsilon N} \left(t\right)=\sum _{r=1}^{N} \varepsilon ^{r} y_{r} \left(t,\frac{\psi \left(t\right)}{\varepsilon } \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} $сужение $N$-й частичной суммы ряда (39) при $\tau =\psi \left(t\right)/\varepsilon \equiv \left(\psi _{1} \left(t\right)/\varepsilon ,\, \, \psi _{2} \left(t\right)/\varepsilon \right),$ докажем ( так же, как и в [10], стр. 303--308) оценку
\[\left\| y\left(t,\varepsilon \right)-y_{\varepsilon N} \left(t\right)\right\| _{C\left[0,T\right]} \le M_{N} \varepsilon ^{N+1} ,{\kern 1pt} \, \, \, \, {\kern 1pt} M=0,1,2,...,\]
где постоянная $M_{N} >0{\kern 1pt} $не зависит от $\varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{0} ]{\kern 1pt} \right. $($\varepsilon _{0} >0-$достаточно мало).

 \section{Построение главного члена асимптотики задачи (2)}
      Развитый нами алгоритм позволяет получать асимптотику решения исходной задачи любого порядка (по $\varepsilon $). Однако вычисление высших приближений связано с громоздкими выкладками. На практике обычно ограничиваются главным членом асимптотики, структура которого повторяет структуру точного решения задачи (2). В этом случае бывает достаточным рассмотреть уравнение\footnote{ Напомним, что    $\lambda _{1} \left(t\right)=b\left(t\right),\, \lambda _{2} \left(t\right)=a\left(t\right)$   и    $v_{1}^{\left(0\right)} \left(t,s\right)e^{\eta } +v_{0}^{\left(0\right)} \left(t,s\right)$~--- решение задачи   $\left(15_{0} \right).$  }
\[\begin{array}{l} {\varepsilon \frac{dy}{dt} =\lambda _{1} \left(t\right)y+} \\ {+\int _{0}^{t}e^{\frac{1}{\varepsilon } \int _{s}^{t}\lambda _{2} \left(\theta \right)d\theta  }  K\left(t,s\right)v_{1}^{\left(0\right)} \left(t,s\right)y\left(s,\varepsilon \right)ds+} \\ {+\int _{0}^{t}K\left(t,s\right)v_{0}^{\left(0\right)} \left(t,s\right)y\left(s,\varepsilon \right)ds +h\left(t\right),} \\ {y\left(0,\varepsilon \right)=y^{0} } \end{array}\eqno(46)\]
и рассмотреть только две первые итерационные задачи:
\[Fy_{0} \equiv \sum _{j=1}^{2} \lambda _{j} \left(t\right)\frac{\partial y_{0} }{\partial \tau _{j} } -\lambda _{1} \left(t\right)y_{0} -R_{00} y_{0} =h\left(t\right),{\kern 1pt} \, y_{0} \left(0,0\right)=y^{0} ;            \eqno(47_{0} )\]
\[Fy_{1} =-\frac{\partial y_{0} }{\partial t} +R_{1,0} y_{0} ,{\kern 1pt} y_{1} \left(0,0\right)=0,                                                         \eqno\left(47_{1} \right)\]
где
\[\begin{array}{l} {R_{0,0} y_{0} \left(t,\tau \right)\equiv R_{0,0} \left(y_{0}^{\left(0\right)} \left(t\right)+\sum _{j=1}^{2}y_{j}^{\left(0\right)} \left(t\right)e^{\tau _{j} }  \right)=} \\ {=e^{\tau _{2} } \int _{0}^{t}K_{1,0} \left(t,s\right)y_{2}^{\left(0\right)} \left(s\right)ds+ \int _{0}^{t} K_{0,0} \left(t,s\right)y_{0}^{\left(0\right)} \left(s\right)ds;} \end{array}\]
\[\begin{array}{l} {R_{1,0} y_{0} \left(t,\tau \right)\; =[\left(I_{2}^{0} \left(K_{1,0} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)\right)\right)_{s=0} e^{\tau _{2} } -} \\ {-\left(I_{2}^{0} \left(K_{1,0} \left(t,s\right)w_{0} \left(s\right)\right)\right)_{s=t} ]+} \\ {+[\left(I_{1,2}^{0} \left(K_{1,0} \left(t,s\right)w_{1} \left(s\right)\right)_{s=t} e^{\tau _{1} } \right)_{s=t} -} \\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} -\left(I_{1,2}^{0} \left(K_{1,0} \left(t,s\right)w_{1} \left(s\right)\right)_{s=0} e^{\tau _{2} } \right)]+} \\ {+\sum _{j=1}^{2}[\left(I_{j}^{0} \left(K_{0,0} \left(t,s\right)w_{j} \left(s\right)\right)\right)_{s=t} e^{\tau _{j} }  }- \\ {-\left(I_{j}^{0} \left(K_{0,0} \left(t,s\right)w_{j} \left(s\right)\right)\right)_{s=0} ]} \end{array}\]



Применяя разработанный алгоритм, построим главный член асимптотики решения задачи (2):
$${{y}_{\varepsilon 0}}\left( t \right)=y_{0}^{\left( 0 \right)}\left( t \right)+{{\alpha }_{1}}\left( t \right){{e}^{\frac{1}{\varepsilon }\int_{0}^{t}{{{\lambda }_{1}}}\left( x \right)dx}},\eqno(48)$$
где функция $y_{0}^{\left( 0 \right)}\left( t \right)$ удовлетворяет интегральному уравнению
$$-{{\lambda }_{1}}\left( t \right)y_{0}^{\left( 0 \right)}\left( t \right)-\int\limits_{0}^{t}{{{K}_{0}}\left( t,s \right)v_{0}^{\left( 0 \right)}\left( t,s \right)}y_{0}^{\left( 0 \right)}\left( s \right)ds=h\left( t \right),\eqno(49)$$
а функция ${{\alpha }_{1}}\left( t \right)$ вычисляется из условия
$\left\langle -\frac{\partial {{y}_{0}}}{\partial t}+{{R}_{1,0}}{{y}_{0}}\text{ }\left| \text{ }{{e}^{{{\tau }_{1}}}} \right. \right\rangle \equiv 0$
разрешимости уравнения $\left( {{47}_{1}} \right)$ в пространстве $Y.$
Здесь \[{{y}_{0}}\equiv {{y}_{0}}\left( t,\tau  \right)=y_{0}^{\left( 0 \right)}\left( t \right)+\sum\limits_{j=1}^{2}{y_{j}^{\left( 0 \right)}\left( t \right){{e}^{{{\tau }_{j}}}}}.\]


Из (48) видно, что влияние интегрального оператора на структуру главного члена асимптотики решения задачи (2) осуществляется через операторы $K_{1,0} \left(t,t\right)=K\left(t,t\right)v_{1}^{\left(0\right)} \left(t,t\right),\, K_{0,0} \left(t,t\right)=K\left(t,t\right)v_{0}^{\left(0\right)} \left(t,t\right),$ входящих в $R_{1,0}y_0(t,\tau)$ (т. е. в конечном счете через  диагональное ядро  $K(t,t)$). Если $K(t,t)\equiv 0,$ то уравнение (1) не оказывает никакого влияния на структуру главного члена асимптотики решения задачи (2), т. е в первом приближении интегродифференциальная система (2) ведет себя так же, как и дифференциальная система $\varepsilon \dot{y}=\lambda _{1} \left(t\right)y+h\left(t\right),{\kern 1pt} {\kern 1pt} y\left(0,\varepsilon \right)=y^{0} $ (влияние интегрального члена проявится при построении высших приближений).
Кроме того (в отличие от работы [9]) в асимптотике (48) на формирование медленной составляющей $y_{0}^{(0)}(t)$ влияет
 ядро $K_0(t,s)$ уравнения (1), о чем было сказано во введении. Отметим также, что уравнение (49) является вырожденным ($\varepsilon=0$) по отношению к исходному (46).






\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).


\bibitem{1}  S.A. Lomov, \textit{Introduction to the general theory of singular perturbations}, Nauka, Moskva, 1981.
Zbl 0514.34049
\bibitem{2} A.A. Bobodzhanov, V.F. Safonov,\textit{Volterra integral equations with rapidly varying kernels and
their asymptotic integration}, Math. Sb., \textbf{192:8} (2001), 53–78, Sb. Math., \textbf{192:8} (2001), 1139–1164
\bibitem{3} V.F. Safonov, B.T. Kalimbetov, \textit{Regularization method for systems with unstable spectral
  the value of the kernel of the integral operator}, Differ. Uravn., \textbf{31:4} (1995), Differ. Equ., \textbf{31:4} (1995),
   647–656.
\bibitem{4} S. A. Lomov, \textit{Single-valued solvability of some matrix partial differential equations},
Matem. zametki(1977),525–530, \textbf{21:4} (1977), Math. Notes, \textbf{21:4} (1977), 293–296
\bibitem{5} M.I. Imanaliyev \textit{Kolebaniya i ustoychivost' resheniy singulyarno vozmushchennykh
 integro-differentsial'nykh sistem}, Frunze: «Ilim», 1974
\bibitem{6} A. A. Bobodzhanov, V. F. Safonov, {\it Singularly perturbed nonlinear integro-differential systems
  with rapidly changing kernel},Matem. zametki, \textbf{72:5} (2002), 654–664, Math. Notes, \textbf{72:5} (2002), 605–614
\bibitem{7}  S.A. Lomov, I.S. Lomov, \textit{Osnovy matematicheskoy teorii pogranichnogo sloya}, Izdatel'stvo
Moskovskogo universiteta, Moskva, 2011.
\bibitem{8} V.F. Safonov, O.D., Tuychiyev, \textit{Regularization of singularly perturbed integral equations with
rapidly varying kernels and their asymptotics},Differents. uravneniya, \textbf{33:9 }(1997), 1199–1210; Differ. Equ.,
 \textbf{33:9} (1997), 1203-1215.
\bibitem{9} A.A. Bobodzhanov, V.F. Safonov, \textit{Asimptoticheskiye resheniya integro-differentsial'noy sistemy s
 bystro izmenyayushchimisya yadrami spetsial'nogo vida}, Vestnik MEI, \textbf{ №6}(2011), 47--56.
\bibitem{10} V.F. Safonov, A.A. Bobodzhanov,\textit{ Kurs vysshey matematiki. Singulyarno vozmushchennyye
zadachi i metod regulyarizatsii: uchebnoye posobiye,} Izdatel'skiy dom MEI, Moskva, 2012.

                                                                           \end{thebibliography}
\end{document}
