\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}

\def\udcs{512.54} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{05C25} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{1}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\top
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том ??, стр. ?--? (2024) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
         \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}


\title{Элементарные абелевы $TI$-подгруппы порядка 4 в линейных группах}
\title{Элементарные абелевы $TI$-подгруппы порядка 4 в линейных группах}
\author{{Н. Д. Зюляркина, Т. Г. Ножкина}}
\address{Наталья Дмитриевна Зюляркина, Татьяна Геннадьевна Ножкина
\newline\hphantom{iii} Южно-Уральский Государственный Университет,
\newline\hphantom{iii} пр. Ленина, 76,
\newline\hphantom{iii} 454080, Челябинск, Россия}%
\email{toddeath@yandex.ru, nozhkinatg@susu.ru}%

\thanks{\sc Zyulyarkina, N.D., Nozhkina, T.G.,
  }


\top \vspace{1cm} \maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } In the paper, we prove that if $A$ is an elementary Abelian $TI$-subgroup of order 4 in a group $G$ such that $G=F^*\left(G\right)\cdot A$, and $F^*\left(G\right)$ is a quasi-simple group which covers the group $L_n(q)$ where $q$ is odd, then $F^*\left(G\right)\cong L_2(5).$



\noindent{\bf Keywords:} finite group, elementary Abelian $TI$-subgroup, centralizers of involutions and semi-involutions.
\end{quote} }

\section{Введение}
Многие задачи теории конечных групп связаны с описанием классов групп, содержащих подгруппы с рядом определённых свойств. В частности, 
большой интерес представляют так называемые плотно вложенные подгруппы и \linebreak
$TI$-подгруппы.

Подгруппа $H$ конечной группы $G$ называется плотно вложенной в $G$, если 
$\left|H\right|$  чётен, а $\left|H \cap H^g\right|$  нечётен для любого $g\in  G-N_G\left(H\right)$.

Подгруппа $A$ группы $G$ называется $TI$-подгруппой, если $A\cap A^g=1$ для любого $g\in G-N_G\left(A\right)$.

Заметим, что плотно вложенная 2-группа является $TI$-подгруппой.

Исследование плотно вложенных подгрупп началось с работы М. Судзуки \cite{s}, где были описаны группы, 
в которых силовская 2-подгруппа является \linebreak $TI$-подгруппой. Следующий важный результат в этом
направлении был получен Х. Бендером, который в \cite{b} описал группы с сильно вложенной подгруппой.
М. Ашбахером в \cite{a} изучались плотно вложенные подгруппы корневого типа.
При этом  остались неисследованными случаи,
когда силовская 2-подгруппа этой группы элементарная абелева или содержит
единственную инволюцию. 
Ввиду того, что в известных простых группах, содержащих плотно вложенную
подгруппу, эта подгруппа оказывается в большинстве случаев 2-группой,
особый интерес представляет изучение групп, содержащих 2-подгруппу,
являющуюся $TI$-подгруппой. Описанию таких групп посвящены многие работы
Ф.Тиммесфельда и его соавторов \cite{ht}, \cite{st}, \cite{t}.

А.А. Махневым в \cite{m} был изучен случай плотно вложенной подгруппы корневого типа с
неэлементарной циклической силовской 2-подгруппой $A$ при условии, что
слабое замыкание инволюции из $A$ в силовской 2-подгруппе является абелевой группой.
Там же показано, что при изучении плотно вложенных подгрупп с неэлементарной циклической
силовской 2-подгруппой можно ограничиться случаем, когда эта подгруппа  циклическая порядка 4.
Им же в \cite{mrt} был получен следующий результат для $TI$-подгрупп:


\begin{theorem}
Пусть 2-группа $A$ является $TI$-подгруппой конечной группы $G$ и $G_0=\left\langle A^G \right\rangle$.
Тогда выполнено одно из следующих условий:

\begin{enumerate}
\item $A$ является циклической или элементарной абелевой группой. 
\item  $\left[A, A^g \right]=1$ для любого $g \in G-N(A)$.
\item $\left\langle A^{G_0} \right\rangle\cong L_2 \left(2^n \right), Sz\left(2^n \right), U_3 \left(2^n \right)$ или $SU_3 \left(2^n \right)$, 
 $A$ является силовской 2-подгруппой в $\left\langle A^{G_0} \right\rangle$.
\item $A$ содержит подгруппу $A_0$ индекса 2, которая инвертируется элементом $x$ из $A-A_0$, $V=\left\langle A_0^G\right\rangle$ является абелевой группой и 
$\overline{G}_0=G_0/V$ порождается множеством нечётных транспозиций $\bar{x}^G$.
\item $A\cong Q_8 \times E_{2^n}$ или $A$ абелева группа порядка 4, группа $\left\langle \Omega \left(A\right)^G\right\rangle$ элементарная, и, для множества $D$ 
элементов из $G$ сопряжённых с элементами из $A-V$, $\bar{D}$ является множеством корневых инволюций в $\overline{G}_0=G/V$.
\item $A\cong Z_4 \times Z_4$ и $\left\langle A^{G_0}\right\rangle \cong L_3(4)$ или $SL_3(4)$.
\item $A\cong Q_8$ и $\left\langle A^{G_0}\right\rangle \cong G_2(2), G_2(3), M_{10}, M_{11}, M_{12}$ или
$\left\langle A^{G_0}\right\rangle$ является гомоморфным образом универсальной группы Шевалле $G^*$ над полем из трёх элементов, 
и $A$ есть образ $O^{2'} (K)$, где $K$ является фундаментальной подгруппой $G^*$, представленной длинными корнями; \linebreak 
$\left\langle A^{G_0} \right\rangle=G^*$, если $G^*$ -- ортогональная группа размерности не меньшей, чем 4.


\end{enumerate}
\end{theorem}

\noindent Из этой теоремы следует, что наименее
 иссследованы случаи, когда $TI$-подгруппа $A$ элементарная абелева или циклическая.  
В дальнейшем циклический случай исследовался А.А. Махнёвым и Н.Д. Зюляркиной  в работах \cite{z}, \cite{zm1}, \cite{zm2}. В частности, в \cite{z} было показано,
 что циклическая $TI$-подгруппа нормализует любую компоненту (если таковые имеются).

В данной работе авторы исследуют линейные группы на предмет наличия в них элементарных абелевых $TI$-подгрупп порядка 4. Основные определения и обозначения, используемые в работе, взяты из \cite{asch}.
Основной результат:
\begin{theorem}
Пусть $G=F^*\left(G\right)\cdot A$, где $F^*\left(G\right)$ -- квазипростая группа, являющаяся накрывающей группой для $L_n(q)$, где $q$ нечётно,  $A$ -- элементарная абелева $TI$-подгруппа порядка 4.
Тогда $F^*\left(G\right)\cong L_2(5).$

\end{theorem}

\begin{corollary}
Любая компонента группы $G$, являющаяся накрывающей для $L_n(q)$, где $q$ нечётно и содержащая элементарную абелеву $TI$-подгруппу порядка 4, изоморфна $L_2(5)$.
\end{corollary}

Заметим, что исключительный случай $F^*\left(G\right)\cong L_2(5)$ возникает из п. 3) теоремы 1 в силу изоморфизма $L_2(4)\cong L_2(5)$.



\section{Предварительные результаты}
В дальнейшем будем считать, что $A\cong {{\mathbb Z}}_2\times {{\mathbb Z}}_2=\left\{e, a_0, b_0, a_0b_0\right\}$ --  $TI$-подгруппа конечной группы $G$.
\begin{lemma}
 Пусть $x$ -- элемент нечётного порядка из $C_G \left(a_0\right)$. Тогда $x\in C_G \left(A\right)$.
\end{lemma}

{\bf Доказательство.}
Пусть $\left|x\right|=2n+1$. Так как $A$ являетя $TI$-подгруппой группы $G$, то $x\in N_G \left(A\right)$.
Если $x\notin C_G\left(A\right)$, то $a_0^x=a_0, b_0^x=a_0b_0, \left(a_0b_0\right)^x=b_0$. Тогда
$$
b_0=b_0^{x^{2n+1}}=\left(b_0^{x^{2n}}\right)^x=b_0^x=a_0b_0.
$$
Из полученного противоречия, следует, что $x\in C_G\left(A\right)$.

Лемма доказана.


\begin{lemma}
 Пусть $A$ -- элементарная абелева $TI$-подгруппа порядка 4 конечной группы $G$. Тогда $A\unlhd C_G \left(a\right)$ для любого элемента $a\in A, a\neq e$.
\end{lemma}

{\bf Доказательство.}
Пусть $x\in C_G \left(a\right)$. Тогда для $a\in A, \quad a\neq e$, имеем \linebreak $a=a^x\in A^x\cap A$, следовательно, $A^x=A$ и $A\unlhd C_G \left(a\right)$.

Лемма доказана.


\begin{corollary}
 Если $L$ -- компонента из $C_G(a)$, то $A$ централизует $L$.
\end{corollary}


Следующая лемма показывает, что если конечная группа $G$ содержит элементарную абелеву $TI$-подгруппу $A$ порядка 4, то $A$ нормализует любую компоненту из $G$, если таковые имеются.
\begin{lemma}
 Пусть $A$ -- элементарная абелева $TI$-подгруппа порядка 4 конечной группы $G$, $L$  компонента из $G$. Тогда $A\leq N_G \left(L\right)$.
\end{lemma}

{\bf Доказательство.}

Пусть $G$ -- контрпример к лемме наименьшего порядка.  Очевидно, что тогда 
$\left\langle L^A\right\rangle=L\cdot L^{a_0}\cdot L^{b_0}\cdot L^{a_0b_0}\leq G$ и $G=\left\langle L^A \right\rangle\cdot A$.

Случай 1. $\left\langle L^A\right\rangle=L\cdot L^{a_0}\cdot L^{b_0}\cdot L^{a_0b_0}$ -- центральное произведение четырёх различных компонент. 
Введём следующие обозначения: 
$$L=L_1,\quad  L^{a_0}=L_2,\quad  L^{b_0}=L_3,\quad  L^{a_0b_0}=L_4,$$ 
  $$H_{1,2}=\left\{ll^{a_0}\left| l\in L_1, l^{a_0}\in L_2\right.\right\},\quad 
  H_{3,4}=\left\{l^{b_0}l^{a_0b_0}\left| l^{b_0}\in L_3, l^{a_0b_0}\in L_4\right.\right\}.$$
Для диагонали $H_{1,2}=\left\{ll^{a_0}\left| l\in L_1, l^{a_0}\in L_2 \right.\right\}$ 
выполняется равенство \linebreak 
$\left(ll^{a_0}\right)^{a_0}=l^{a_0}l=ll^{a_0}$, поэтому $H_{1,2}\leq C_G\left( a_0\right)$ и, следовательно, $H_{1,2}\leq N_G\left( A\right)$.
Так как $H_{1,2}$  порождается элементами нечётного порядка, то, по лемме 1,  $H_{1,2}\leq C_G \left(A\right)$.
Но, в то же время  $H_{1,2}^{b_0}=H_{3,4}$ и, следовательно, $H_{1,2}=H_{3,4}$, что невозможно, так как  $H_{1,2}$ и $H_{3,4}$ различны в указанном центральном произведении.


Случай 2.$\left\langle L^A\right\rangle =L\cdot L^{a}$ --  центральное произведение двух различных компонент, $a\in A$, $a\neq e$.
Без ограничения общности, можно считать, что $a=a_0$. Введём обозначения: $L=L_1,\quad  L^{a_0}=L_2$.
Как было показано выше, $ll^{a_0}\in C_G\left(A\right)$. 
Заметим, что в этом случае одна из инволюций, содержащихся в $A$ будет нормализовать компоненту $L_1$, а две другие будут переставлять $L_1$ и $L_2$.
Обозначим через $x$ инволюцию из $A$, нормализующую $L_1$. Если $x$ централизует $L_1$, то, так как $L_1$ порождается элементами нечётного порядка, получаем
$L_1\leq C_G\left(A\right)$, что невозможно, так как $\left\langle L^A\right\rangle =L\cdot L^{a}$.
Следовательно, $x$ не централизует $L_1$.
Пусть $p$ -- простое число, делящее порядок $L_1$, для которого в $L_1$ существуют $p$-элементы, не лежащие в центре $L_1$.
Поскольку $L_1$ является компонентой, совокупность всех таких $p$-элементов будет порождать $L_1$. 
Так как $x$ не централизует $L_1$, то существует $p$-элемент $h$ такой, что $h\notin C_G(x)$.
Для него, с одной стороны,  $\left( hh^{a_0}\right)^x=hh^{a_0}$, а с другой,  $\left( hh^{a_0}\right)^x=h^x\left( h^{a_0}\right)^x$.
Отсюда \linebreak
$hh^{a_0}=h^x\left( h^{a_0}\right)^x$.
Так как произведение $L_1 L_2$  центральное, то
$\left\{ \begin{array}{c}
h^x=hz \\
{\left(h^{a_0}\right)}^x=z^{-1}h^{a_0}, \end{array}
\right.$ 
$z\in Z\left(L_1\right)\cap Z\left(L_2\right)$. 
Следовательно, $z$ является не единичным $p$-элементом из центра $L_1$.
В силу выбора $p$, 
порядок центра $L_1$ делится на все простые делители $\left|L_1\right|$.
Центры квазипростых групп и их порядки полностью описаны в \cite{g} и  таких групп нет. Следовательно, случай 2 невозможен и мы получаем
$\left\langle L^A\right\rangle=L$, $G=L\cdot A$, и $A\leq N_G\left(L\right)$.

Лемма доказана.

Лемма 3 показывает, что при исследовании групп, содержащих компоненты, вопрос сводится к изучению групп вида
$G=F^*(G)\cdot A$, где $F^*(G)$ это обобщённая подгруппв Фиттинга группы $G$, являющаяся квазипростой группой.

\begin{lemma}
Пусть $G$ -- группа из формулировки теоремы 2. Тогда \linebreak $A\cap Z\left(G\right)=\left\{e\right\}$.
 
\end{lemma}
{\bf Доказательство.}
Пусть $A\cap Z\left(G\right)=x$ и $x\neq e$, тогда $A\trianglelefteq G$ и, ввиду строения $G$, $A\leq Z\left(G\right)$. Что невозможно, так как $Z\left(G\right)$ циклический.

Лемма доказана.

\section{Линейные группы}

Ввиду того, что классические группы Шевалле можно представить как группы автоморфизмов векторных пространств, нам понадобятся сведения об инволюциях и полуинволюциях в таких группах.



Пусть $V$  векторное пространство размерности $n$ над полем $k=GF\left(q\right)$, \linebreak
$q$ нечетно, $\tilde{Y}={GL}_n\left(k\right)$ и $Y\le \tilde{Y}$. Обозначим через $I_V$ тождественный автоморфизм пространства $V$, а через $\gamma I_V\ \ \left(\gamma \in k^*\right)$  автоморфизм, при котором каждый вектор из $V$ умножается на $\gamma $. Неединичный элемент $\omega $  из $Y$ назовём полуинволюцией, если ${\omega }^2=\gamma I_V$. 
Ясно, что инволюции из $Y$ -- это полуинволюции. Полуинволюции, не являющиеся инволюциями, называются истинными.

Как показано в разделе 3A из \cite{h}, каждой инволюции $\omega \in Y$  соответствуют два подпространства $V^+_{\omega }$ и  $V^-_{\omega }$ из  $V$:

\[V^+_{\omega }=C_V\left(\omega \right)=\left\{v\in V\ |\ \omega \left(v\right)=v\right\},  
 V^-_{\omega }=\left[V,\omega \right]=\left\{v\in V|\omega \left(v\right)=-v\right\}.\]
Тогда имеет место разложение  $V=V^+_{\omega }\bigoplus V^-_{\omega }$, и тип инволюции $\omega $ определяется как ${\dim  V^-_{\omega } \ }$. Для инволюции $\omega $ типа $m$ базис в $V$ называется стандартным, если в нем первые  $n-m$ векторов выбраны из $V^+_{\omega }$, а последние $m$ векторов  из $V^-_{\omega }$. Если $\omega$ -- инволюция типа $m$, то из раздела 3А \cite{h} 
$C_{GL_n(q)}\left(\omega\right)$ содержит нормальную подгруппу изоморфную 
$$
\underbrace{{SL}_{n-m}\left(q\right)}_{\mbox{$L_1$}}\times \underbrace{{SL}_m\left(q\right)}_{\mbox{$L_2$}}.
$$
Пусть рассматривается группа $H=GL_n(q)/Z_1$, где $\left|Z_1 \right|$ чётен и $m=\frac{n}{2}$. Обозначим $\overline{\omega}=\omega Z_1$. Тогда полный прообраз
$C_H\left(\overline{\omega}\right)$ в $GL_n(q)$  содержит подгруппу изоморфную 
$$
(\underbrace{{SL}_{m}\left(q\right)}_{\mbox{$L_1$}}\times 
\underbrace{{SL}_m\left(q\right)}_{\mbox{$L_2$}})\cdot \left\langle \tau\right\rangle,
$$
где $\tau$ действует на стандартном базисе  следующим образом: 
$\tau\left( e_i\right)=e_{m+i}$, $\tau\left( e_{m+i}\right)=e_i$ при $1\leq i\leq m$.

Пусть теперь $\omega \in Y$ истинная полуинволюция и  ${\omega }^2=\gamma I_V$.
Если $\gamma ={\beta }^2$ для некоторого элемента $\beta $ из $k$, то $\omega =\beta I_V{\omega }_1$, где ${\omega }_1$  инволюция из $\tilde{Y}$. Определим в этом случае тип $\omega $ как минимум из типов двух инволюций ${\omega }_1$ и $-I_V{\omega }_1$. Стандартный базис для $\omega $ определяется как стандартный базис той из инволюций ${\omega }_1$ или $-I_V{\omega }_1$, тип которой минимален.
Если $\gamma \notin {\left(k^*\right)}^2$, то тип для $\omega $ считается равным 0.
Тогда для централизатора смежного класса, содержащего $\omega$, в некотором частном группы $GL_n(q)$, его полный прообраз в $GL_n(q)$ состоит из блочных матриц вида:
$$
\begin{pmatrix}
	A& \gamma B\\
	B& A
	\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
	0& E\\
	E& 0
	\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
	\gamma B& A\\
	A& B
	\end{pmatrix},
$$
где $A$ и $B$ квадратные матрицы размерности $m$, $E$ -- единичная матрица той же размерности.

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: $X$ -- частное группы $SL_n(q)$ по некоторой центральной подгруппе; через $X^*$ обозначим множество таких расширений группы $X$, что для любой группы $\tilde{X}$ из $X^*$ любой элемент из $\tilde{X}-X$ индуцирует на $X$ внешний внутренне-диагональный автоморфизм.
Пусть $g\in GL_n(q)$.
Если $g\in Z\left(GL_n(q)\right)\cdot SL_n(q)$, то через $\overline{g}$ будем обозначать смежный класс в этом частном, который содержит элемент $gz\in SL_n(q)$, $z\in Z\left(GL_n(q)\right)$.
Если $g\notin Z\left(GL_n(q)\right)\cdot SL_n(q)$, то через $\overline{g}$ будем обозначать внешний автоморфизм, индуцируемый элементом $g$ на $X$.

 
Разобьём доказательство теоремы 2 на четыре леммы.


Пусть  $G=XA$,   $X=F^* \left(G\right)$ -- частное $SL_n (q)$, 
$n\geq 2$,  $q$ нечётно. 



\begin{lemma}
Случай $G \in X^* $ при $n\geq 3$ невозможен.
 
\end{lemma}

{\bf Доказательство.}

Допустим, что существует элементарная абелева $TI$-подгруппа $A$ из $G$.
Классы сопряжённых инволюций в частном $SL_n\left(q\right)$ описаны в \cite{h}.
Возможны два случая:

\begin{enumerate}
\item  $a_0$ соответствует инволюции $u$ типа $m$,

\item  $a_0$ соответствует полуинволюции $u$ типа 0.
\end{enumerate}


 Случай 1.

Пусть $a_0$ соответствует инволюции $u$ типа $m$, которая действует на стандартном базисе  следующим образом:
$u\left( e_i\right)=e_i$ при $1\leq i\leq n-m$, $u\left( e_i\right)=-e_i$ при $n-m+1\leq i\leq n$.
Если $m\ne \frac{n}{2}$ или частное берётся по центральной подгруппе нечётного порядка, то
$$
\underbrace{{SL}_{n-m}\left(q\right)}_{\mbox{$L_1$}}\times \underbrace{{SL}_m\left(q\right)}_{\mbox{$L_2$}}\leq C_{GL_n\left( q\right)}\left(u\right),
$$
$L_1$ и $L_2$  нормальные подгруппы в централизаторе инволюции $u$.
Допустим, $m\geq 2$ и $n-m\geq 2$. Если $q\neq 3$, то $L_1$ и $L_2$ являются компонентами, поэтому $A$ централизует $L_1$ и $L_2$.
Если $m = 2$ $\left(n-m = 2\right)$ и $q = 3$, то соответствующая подгруппа $L_i\cong SL_2\left(3\right)$, которая порождается элементами нечётного порядка. 
Тогда по лемме 1, $A$ централизует $L_i$.


Обозначим через $v$ элемент из $GL_n\left(q\right)$, соответствующий инволюции $b_0\in A$. Тогда, аналогично,
$v\in C_{{GL}_n\left(q\right)}\left(L_1\right)$, $v\in C_{{GL}_n\left(q\right)}\left(L_2\right)$ и
$v$ действует на стандартном базисе:
$v\left( e_i\right)=\gamma e_i$ при $1\leq i\leq n-m$, $v\left( e_i\right)=-\gamma e_i$ при $n-m+1\leq i\leq n$.
Тогда $uv\in Z\left(GL_n\left(q\right)\right)$ и, следовательно, $a_0b_0\in Z\left( G\right)$, что невозможно в силу леммы 4.


Пусть теперь $m=\frac{n}{2}$,  $X={{SL}_n(q)}/{Z_1}$,  порядок $Z_1$  чётен.

\noindent По разделу 3А из \cite{h} полный прообраз $C_{GL_n(q)/Z_1} (a_0)$ в $GL_n(q)$
при естественном гомоморфизме содержит подгруппу:

$$
(\underbrace{{SL}_{m}\left(q\right)}_{\mbox{$L_1$}}\times 
\underbrace{{SL}_m\left(q\right)}_{\mbox{$L_2$}})\cdot \left\langle \tau\right\rangle .
$$
Инволюция $\tau$, которая действует на стандартном базисе следующим образом: 
$\tau\left( e_i\right)=e_{m+i},\quad \tau\left( e_{m+i}\right)=e_i$ при $1\leq i\leq m$,
переставляет $L_1$ и $L_2$.
Если $m\geq 2$, то $L_1$ и $L_2$ либо являются компонентами, либо порождаются элементами нечётного порядка, поэтому они централизуются подгруппой $A$.
Повторяя рассуждения, аналогичные случаю $m\neq \frac{n}{2}$, также получим, что $A$  подгруппа центра $G$, что невозможно.

Если $m=1$ или $n-m=1$, то данная ситуация разбирается аналогично.


Случай 2. Пусть $a_0$ соответствует полуинволюции $u$ типа 0 из ${GL}_n(q)$. Тогда $u^2=\gamma I_V$ 
для некоторого $\gamma \in k^*-{\left(k^*\right)}^2$,  $n=2m$.
В данном случае $U=\left\langle Z, u\right\rangle$ -- циклическая и $C_{GL_n(q)}\left(U\right)=C_{GL_n(q)}(u)\cong GL_m\left( q^2\right)$.
Тогда из раздела 3А \cite{h} следует, что существует элемент $x\in GL_n(q)$, действующий на стандартном базисе  следующим образом:
$x\left( e_i\right)=e_{m+i},\quad x\left( e_{m+i}\right)=-e_i$ при $1\leq i\leq m,\quad det\left( x\right)=\left( -1\right)^m, \quad
\left| x\right|=2,\quad u^x=-u$, такой, что
\[C_{{{GL}_n\left(q\right)}/{Z}}\left(u\right)=\left({{GL}_m\left(q^2\right)}/{Z}\right)\cdot \left\langle x\right\rangle ,\]
где $x$ индуцирует полевой автоморфизм порядка 2 на ${{GL}_m\left(q^2\right)}/{Z}$.
Тогда в централизаторе инволюции $a_0$ есть компонента $L\cong {SL}_m\left(q^2\right)$.
Подгруппа $A$ централизует $L$, что невозможно ввиду того, что $Z\left(C_{{{GL}_n\left(q\right)}/{Z}}\left(u\right)\right)$ -- циклический.

Лемма доказана.

\begin{lemma}
Пусть $G \in X^* $ и $n=2$, тогда $q=5$.

\end{lemma}

{\bf Доказательство.}

\begin{enumerate}
	\item Пусть   $A=\left\{e,\\a_0,\\b_0,\\a_0b_0\right\}$ является $TI$-подгруппой группы $G$ и $G\in X^*$, 
	$X$ -- частное $SL_2 (q)$ по подгруппе $Z_1$ и все инволюции из $A$ соответствуют инволюциям типа 1. 
	Зафиксируем инволюцию 
	$a_0=\overline{\begin{pmatrix}
	1& 0\\
	0& -1
	\end{pmatrix}}$.
	Если $\left|Z_1\right|$ нечётен (то есть $X=SL_2(q)$), то из \cite{h} 
	$C_G \left(a_0\right)=\left\{e; 
	\overline{\begin{pmatrix}
	\alpha& 0\\
	0& \beta
	\end{pmatrix}}\right\}$.
	Так как инволюция
	$b_0\in A$ должна централизовать $a_0$, то 
	$b_0=\overline{\begin{pmatrix}
	-1& 0\\
	0& 1
	\end{pmatrix}}$,
	и 
	$a_0b_0=\overline{\begin{pmatrix}
	-1& 0\\
	0& -1
	\end{pmatrix}}\in Z\left( G\right)$, что невозможно в силу леммы 4.
	
	Пусть $\left|Z_1\right|$ чётен (то есть $X=L_2(q)$). Тогда 
	$$
	C_G \left(a_0\right)=\left\{\left.e; 
	\overline{\begin{pmatrix}
	\alpha& 0\\
	0& \beta
	\end{pmatrix}};
	\overline{\begin{pmatrix}
	0& \gamma\\
	\gamma& 0
	\end{pmatrix}};
	\overline{\begin{pmatrix}
	0& \alpha\gamma\\
	\beta\gamma& 0
	\end{pmatrix}}\right| \alpha, \beta \in F_5^* \right\}.
	$$
	Из строения $C_G\left(a_0\right)$ следует, что в качестве инволюции $b_0$ можно взять инволюцию типа 1 вида 
	$b_0=\overline{\begin{pmatrix}
	0& \lambda\\
	\frac{1}{\lambda}& 0
	\end{pmatrix}}$,
	так как из 
	$\begin{pmatrix}
	0& u\\
	v& 0
	\end{pmatrix}^2=
	\begin{pmatrix}
	1& 0\\
	0& 1
	\end{pmatrix}$
	следует $uv=1$ и $v=\frac{1}{u}$.
	Тогда 
	$a_0b_0=\overline{\begin{pmatrix}
	0& \lambda\\
	-\frac{1}{\lambda}& 0
	\end{pmatrix}}$,
	$\left(a_0b_0\right)^2=-E$.
	Если $\left(-1\right)\notin\left(F^*_q\right)^2$, то $a_0b_0$ -- полуинволюция типа 0, что в этом случае невозможно.
	Пусть $\left(-1\right)\in\left(F^*_q\right)^2$, тогда $a_0b_0$ -- инволюция типа 1, $q\equiv 1(4)$ и 
	$$
	A=\left\{e; 
	\overline{\begin{pmatrix}
	1& 0\\
	0& -1
	\end{pmatrix}};
	\overline{\begin{pmatrix}
	0& \lambda\\
	\frac{1}{\lambda}& 0
	\end{pmatrix}};
	\overline{\begin{pmatrix}
	0& \lambda\\
	-\frac{1}{\lambda}& 0
	\end{pmatrix}}\right\}.
	$$
	Обозначим $s_1=
	\overline{\begin{pmatrix}
	\alpha& 0\\
	0& \beta
	\end{pmatrix}}\in C_G\left(a_0\right)$.
	Так как $A\unlhd C_G\left(a_0\right)$, то \linebreak
	$b_0^{s_1}=
	\overline{\begin{pmatrix}
	0& \frac{\lambda\beta}{\alpha}\\
	\frac{\alpha}{\lambda\beta}& 0
	\end{pmatrix}}\in A$, отсюда $\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\beta}{\alpha}$ или $\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{\beta}{\alpha}$. Эти равенства эквивалентны системе уравнений $\alpha^2=\pm\beta^2$.
	Рассмотрим количество решений уравнений $\alpha^2=\pm\beta^2$. Из теоремы 6.26 \cite{ln}, для невырожденной квадратичной формы $f$ от чётного числа переменных над полем $F_q$, 
	где $q$ нечётно, число решений уравнения $f\left(x_1,\ldots, x_n\right)=b$, для любого $b\in F_q$, в $F_q^n$ равно
	$$
	q^{n-1}+v(b)\cdot q^{\frac{n-2}{2}}\cdot\eta\left(\left(-1\right)^{\frac{n}{2}} \cdot \Delta\right),
	$$
	где $\Delta=\det(f)$,
	$$
	v(b)=\left\{
	\begin{aligned}
	-1\quad \mbox{при}\quad b\in F^*_q\\
	q-1\quad \mbox{при}\quad b=0,\\
	\end{aligned}
	\right.
	\quad\quad
	\eta(c)=\left\{
	\begin{aligned}
	-1\quad \mbox{при}\quad c\notin\left(F^*_q\right)^2\\
	1\quad \mbox{при}\quad c\in\left(F^*_q\right)^2.\\
	\end{aligned}
	\right.
	$$
	Тогда уравнение $\alpha^2=\beta^2$ имеет $N=q+q-1=2q-1$ решений, среди которых ненулевых и с условием $\alpha\neq\beta$: $N=2q-1-1-(q-1)=q-1$. Уравнение $\alpha^2=-\beta^2$ имеет также 
	$N=2q-1$ решений, среди них \linebreak $N=2q-2$ ненулевых. Таким образом, количество различных ненулевых решений уравнений $\alpha^2=\pm\beta^2$ с условием $\alpha\neq\beta$ равно $3q-3$.
	Так как в $F^*_q$ количество пар $(\alpha,\,\beta)$ равно $A^2_{q-1} = \frac{(q-1)!}{(q-3)!}=q^2-3q+2$, то из $q^2-3q+2\leq 3q-3$ следует, что $q\leq 5$. 
	То есть, при $q>5$ в $F^*_q$ всегда существует пара $(\alpha,\, \beta)$ которая не является решением уравнений $\alpha^2=\pm\beta^2$ и $A$ не является нормальной подгруппой в 
	$C_G\left(a_0\right)$.
	
	Если $q=5$, то 
	$a_0=\overline{\begin{pmatrix}
	2& 0\\
	0& 3
	\end{pmatrix}}$, \quad
	$b_0=\overline{\begin{pmatrix}
	0& 2\\
	2& 0
	\end{pmatrix}}$, \quad
	$a_0b_0=\overline{\begin{pmatrix}
	0& 4\\
	1& 0
	\end{pmatrix}}$. \linebreak
	Но, так как $L_2(5)\cong A_5$ можно считать, что 
	$$A=V_4=\left\{e;\, (1\, 2)(3\, 4);\, (1\,3)(2\, 4);\, (1\, 4)(3\, 2)\right\}.$$
	Пусть $x\in G-N_G\left(A\right)$,\: $A\cap A^x=u_0,\: u_0\in V_4,\: u_0\neq e$.
	Так как \linebreak
	$\left|C_{A_5}\left(u_0\right)\right|=\frac{60}{15}=4$, то $A=A^x$ и, следовательно, $A$ является \linebreak $TI$-подгруппой в группе $G$.
	
			
	\item В $A$ есть элемент, соответствующий полуинволюции типа 0.
	Рассмотрим $GL_2(q) / Z_1$, где  $\left|Z_1\right|$ чётен.
	
	\noindent Пусть $a_0=\overline{\begin{pmatrix}
	0& 1\\
	\gamma& 0
	\end{pmatrix}}, \quad \gamma \notin k^2, \quad q\geq 5$, тогда $b_0\in C_G\left( a_0\right)$, где
	$$
	C_G\left( a_0\right)=\left\{\left. e,\overline{\begin{pmatrix}
	\alpha& \beta\\
	\gamma\beta& \alpha
	\end{pmatrix}},  \overline{\begin{pmatrix}
	1& 0\\
	0& -1
	\end{pmatrix}},  \overline{\begin{pmatrix}
	\alpha& -\beta\\
	\gamma\beta& -\alpha
	\end{pmatrix}}\right|\alpha, \beta\in F_q, \alpha^2-\gamma\beta^2\neq 0\right\}.
	$$
	Непосредственный подсчёт показывает, что 
	$b_0=\overline{\begin{pmatrix}
	1& 0\\
	0& -1
	\end{pmatrix}}$, \linebreak
	$a_0b_0=\overline{\begin{pmatrix}
	0& -1\\
	\gamma& 0
	\end{pmatrix}}$ (или наоборот).
	
	\noindent Пусть $s_1=\overline{\begin{pmatrix}
	\alpha& \beta\\
	\gamma\beta& \alpha
	\end{pmatrix}}\in C_{GL_2(q)/Z_1}\left( a_0\right)$, 
	тогда $$b_0^{s_1}=\frac{1}{\alpha^2-\gamma\beta^2}\overline{\begin{pmatrix}
	\alpha^2+\gamma\beta^2& 2\alpha\beta\\
	-2\alpha\beta\gamma& -\alpha^2-\gamma\beta^2
	\end{pmatrix}}.$$
	\noindtnt Например, при $\alpha =1, \beta =2 \quad b_0^{s_1}\notin A$. То есть $A\ntrianglelefteq C_G\left( a_0\right)$ и,
	следовательно, $A$ не является $TI$-подгруппой в группе $G$.
\end{enumerate}

Лемма доказана.

\begin{lemma}
Случай $G\notin X^*$ при $n\geq 3$ невозможен.
 \end{lemma}

{\bf Доказательство.}

Обозначим через $\varphi$ полевой автоморфизм порядка 2, $\tau$ -- инверсно-транспони- \-рующий автоморфизм.
Как показано в лемме 4.27 \cite{h}, все автоморфизмы порядка 2 вида $g\varphi$, где $g$ индуцирует внутренне-диагональный автоморфизм, сопряжены в $G$ 
с полевым автоморфизмом $\varphi$ порядка 2, а все автоморфизмы порядка 2 вида $g\varphi\tau$ сопряжены с $\varphi\tau$, 
достаточно рассмотреть следующие варианты:
\begin{enumerate}
\item  $a_0=\varphi$  полевой автоморфизм порядка 2;

\item  $a_0=\varphi\tau$  графово-полевой автоморфизм порядка 2;

\item подгруппа  $A$ имеет вид $A=\left\{e; \overline{g}; \overline{g_1}\tau, \overline{g}\overline{g_1}\tau\right\}$, $g$ и $g_1$
соответствуют элементам из $GL_n(q)$.

\end{enumerate}

Если $a_0=\varphi$  полевой автоморфизм порядка 2, тогда из раздела 3А \cite{h} $C_X(a_0)$ содержит компоненту $L$, изоморфную частному ${SL}_n(q_0)$, где $q=q^2_0$.
Согласно следствию 1, подгруппа $A$ централизует $L$, что невозможно, так как $C_G\left(L\right)$ циклический.

Если $a_0=\varphi\tau$  графово-полевой автоморфизм порядка 2, тогда по лемме 4.27 из \cite{h} 
$C_X(a_0)$ содержит компоненту $L$, изоморфную ${SU}_n(q_0)$, где $q=q^2_0$, что невозможно, аналогично случаю 1.

Если подгруппа  $A$ имеет вид $A=\left\{e; \overline{g}; \overline{g_1}\tau, \overline{g}\overline{g_1}\tau\right\}$, $g$ и $g_1$
соответствуют элементам из $GL_n(q)$. Возможны два случая.

Случай 1. Элемент $g$ соответствует инволюции типа $m$ из $GL_n(q)$ и $q\geq 5$. Можно считать, что $m\geq 2$. Тогда
$SL_{n-m}(q)\times SL_m(q) \leq C_{GL_n(q)}(g)$.
Элемент $\overline{g_1}\tau$ централизует компоненту $SL_m(q)$, $\tau$ централизует элемент $g$ и, следовательно, $g_1$ также централизует $g$.
При этом 
$g_1=\left( \begin{array}{cc}
C & 0 \\
0 & B \end{array}
\right)$, где \linebreak $C\in GL_{n-m}\left(q\right), B\in GL_m\left(q\right)$.
Элемент $B\tau$ централизует компоненту $SL_m(q)$, что невозможно, так как $B$ индуцирует на $SL_m(q)$ внутренне-диагональный автоморфизм, а $\tau$ -- графовый автоморфизм.

Случай 2. Элемент $g$ соответствует полуинволюции типа 0 из $GL_n(q)$ и $q\geq 5$, $n=2m$. Тогда  $g$ действует на стандартном базисе следующим образом: \linebreak 
$g\left (e_i\right)=e_{m+i}, \quad g\left(e_{m+i}\right)=\gamma e_i, 1\leq i\leq m$,
$\gamma$ -- не квадрат в $GF(q)$, \linebreak $X=SL_n(q)/Z'$, центральная подгруппа $Z'$ содержит элемент $\gamma I$.
В этом случае $C_G(g)$ содержит компоненту, изоморфную $SL_m\left(q^2\right)$, которая централизуется подгруппой $A$.
Но централизатор этой компоненты циклический и, следовательно, этот случай невозможен.

Если $q=3$, то рассуждения, аналогичные случаю 1, можно применить при $n\geq 6$. Можно считать, что $m\geq 3$, тогда $SL_m(3)$ компонента в централизаторе инволюции $g$.
Остаются случаи $n=3; 4$.

При $n=3, m=2$ элемент $g=\left(\begin{matrix}
1& 0& 0\\
0& -1& 0\\
0& 0& -1
\end{matrix}\right)$.
$$
C_{GL_3(3)}(g)=\left\{\left.\left(\begin{matrix}
\alpha& 0\\
0& A
\end{matrix}\right)\right| A \in GL_2(3)\right\}.
$$
Так как элементы $g_1\tau$ и $\tau$ централизуют $g$, то $g_1 \in C_{GL_3(3)}(g)$.
  
\noindent В $C_{GL_3(3)}(g)$ есть подгруппа $H=\left\{\left.\left(\begin{matrix}
1& 0\\
0& B
\end{matrix}\right)\right|B \in SL_2(3)\right\}$, которая порождается элементами нечётного порядка и, следовательно, 
лежит в централизаторе элемента $g_1\tau$. 
Так как $A\tau$ централизует группу $SL_2(3)$, с помощью непосредственных вычислений получаем, что 
$A=\left(\begin{matrix}
0& -1\\
1& 0
\end{matrix}\right)$
или $A=\left(\begin{matrix} 
0& 1\\
-1& 0
\end{matrix}\right)$.
Тогда $g_1\tau=\left(\begin{matrix}
\alpha& 0& 0\\
0& 0& -1\\
0& 1& 0
\end{matrix}\right)\tau$,
$\left(g_1\tau\right)^2$ инволюция и, следовательно, $g_1\tau\notin A$, так как имеет порядок 4.

В случае $n=4$ элемент $g$ соответствует инволюции типа $m$, где $m=3$ или $m=2$. При $m=3$ ситуация аналогична случаю 1.
Если $m=2$, тогда
$$
\quad\quad\quad A=\left\{e; \overline{\left(\begin{matrix}
1& 0& 0& 0\\
0& 1& 0& 0\\
0& 0& -1& 0\\
0& 0& 0& -1
\end{matrix}\right)};\quad 
\overline{\left(\begin{matrix}
0& -1& 0& 0\\
1& 0& 0& 0\\
0& 0& 0& -1\\
0& 0& 1& 0
\end{matrix}\right)}\tau;\quad 
\overline{\left(\begin{matrix}
0& -1& 0& 0\\
1& 0& 0& 0\\
0& 0& 0& 1\\
0& 0& -1& 0
\end{matrix}\right)}\tau\right\}.
$$
Возьмём элемент 
$y=\left(\begin{matrix}
0& 1& 1& 1\\
1& -1& 0& -1\\
1& 0& -1& 0\\
1& -1& 0& 1
\end{matrix}\right)\in C_{SL_4(3)}(g_1\tau)$.
Тогда \linebreak
$\overline{g}^{\overline{y}}=\overline{\left(\begin{matrix}
0& 0& 1& 0\\
0& 0& 1& 1\\
1& 0& 0& 0\\
-1& 1& 0& 0
\end{matrix}\right)} \notin A$ и, следовательно, $A$ не $TI$-подгруппа.

Лемма доказана.




\begin{lemma}
Случай $G\notin X^*$ при $n=2$ невозможен.
 \end{lemma}

{\bf Доказательство.}

Пусть $X$ -- частное $SL_2(q)$,  $a_0=\varphi$ полевой автоморфизм порядка 2, тогда $q=q^2_0$, \quad
$C_{{GL}_2\left(q^2_0\right)}\left(a_0\right)\cong {GL}_2\left(q_0\right)$.
Если $q_0\ge 5$, то ${SL}_2\left(q_0\right)$  компонента из централизатора $a_0$. Подгруппа $A$ её централизует, что, по лемме 4, невозможно.  Следовательно, 
в этом случае группа не может содержать элементарных абелевых $TI$-подгрупп порядка 4.
Далее будем считать $q_0=3$.

\begin{enumerate}
\item  $A=\left\{e, \overline{g}, \varphi, \overline{g}\varphi\right\}$, где $g$  инволюция из ${PGL}_2(9)$.
С учётом того, что элемент $g$ в $C_{PGL_2(q)}\left(\varphi\right)$
сопряжён либо с $\left(\overline{\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \end{matrix}}\right)$, либо с $\left(\overline{\begin{matrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \end{matrix}}\right)$
для элемента $b=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1 \end{array}
\right)$ из $C_G(\varphi)$ имеем
$\left(\overline{\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \end{matrix}}\right)^{\overline{b}}=\left(\overline{\begin{matrix}
1 & 2 \\
0 & -1 \end{matrix}}\right)\notin A\ $ и  
$\left(\overline{\begin{matrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \end{matrix}}\right)^{\overline{b}}=\left(\overline{\begin{matrix}
-1 & -2 \\
1 & 1 \end{matrix}}\right)\notin A$. Следовательно,  $A$  не $TI$-подгруппа.

\item   $A=\left\{e, \overline{g}\tau, \varphi, \overline{g}\varphi\tau\right\}$,  $\tau\in C_{\tilde{G}}\left(\varphi\right)$ где $\tilde{G}=Aut\ {GL}_2\left(q^2_0\right)$. 
Непосредственные вычисления показывают, что элементу $g$ соответствует 10 смежных классов в $PGL_2(9)$, которые, с учётом сопряжения, разбиваются на 5 классов.
В качестве представителей этих классов можно выбрать:
$$
g_1=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{array}
\right);\
g_2=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \end{array}
\right);\ 
g_3=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 1 \end{array}
\right);
$$
$$ 
g_4=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & -1 \end{array}
\right);\
g_5=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0 \end{array}
\right).
$$

\noindent Возьмём элемент $b=\left(\overline{\begin{matrix}
1 & 1 \\
0 & 1 \end{matrix}}\right)$ из $C_G(\varphi)$.
Для него получаем:
 
$$\left(\overline{g_1}\tau\right)^{\overline{b}} \sim \overline{g_5}\tau\notin A;\quad \left(\overline{g_2}\tau\right)^{\overline{b}}=\overline{g_4}\tau\notin A;$$
$$\left(\overline{g_3}\tau\right)^{\overline{b}}=-\overline{g_2}\tau\notin A;\quad \left(\overline{g_4}\tau\right)^{\overline{b}}=-\overline{g_3}\tau\notin A.$$

\noindent Если в качестве элемента $g$ выбран $g_5$, то рассмотрим элемент \linebreak
 $y\in C_{GL_2(9)}(g_5\tau)$, имеющий вид, 
$y=\left(\begin{matrix}
0& 1\\
-1& p 
\end{matrix}\right)$, где $p$ корень неприводимого над $F_3$  многочлена $f\left(x\right)=x^2+1$.
Тогда $\varphi^{\overline{y}}=\left(\overline{\begin{matrix}
1& 2p\\
0& 1
\end{matrix}}\right)\varphi\notin A$.
Таким образом, во всех случаях, $A$ не является $TI$-подгруппой.


\end{enumerate}

Доказательство леммы 8 завершает доказательство теоремы 2. Следствие из теоремы 2 получается с использованием леммы 3.









\begin{thebibliography}{999}

\bibitem{asch}
M. Aschbacher,  {\it Finite group theory}, Cambridge University Press 2000. \linebreak 
ISBN 0-521-78145-0 (hb) - ISBN 0-521-78675-4 (pbk.)

\bibitem{a}
M. Aschbacher,  {\it On finite groups of component type}, J. Match., 1975, N. 1, P. 87-115. \linebreak 
DOI: 10.1215/ijm/1256050927

\bibitem{b}
H. Bender,  {\it Transitive Gruppen gerader Ordung in denen jede Involution genau einen Punkt festlast}, J. Algebra,V.17 P. 527-554. 
doi.org/10.1016/0021-8693(71)90008-1

\bibitem{g}
Д. Горенстейн, {\it Конечные простые группы. Введение в их классификацию} Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 352 с. 

\bibitem{h}
M.E. Harris, {\it Finite groups containing an intrinsic $2$-component of
Chevalley type over field of odd order}, Transactions of the American
math.soc., {272}:1 (1982), 1--65. doi.org/10.2307/1998950

\bibitem{ht}
Y. Hochheim, F. Timmesfeld, {\it A note on $TI$-subgroups}, Arch.Math. 1988. V. 51. P. 97-103. 
doi.org/10.1007/BF01206465

\bibitem{ln}
Р. Лидл, Г. Нидеррайтер, {\it Конечные поля}: В 2-х т., Т.1. Пер. с англ. – М.: Мир, 1988. – 430с.

\bibitem{m}
А.А. Махнёв,  {\it О плотно вложенных подгруппах с циклическими силовскими 2-подгруппами}, Междунар. алгебр. конф: Тез. докл. Новосибирск, 1989, с. 76.

\bibitem{mrt}
A.A. Махнёв,  {\it Теорема редукции для $TI$-подгрупп}, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1991, том 55, выпуск 2, с. 303-317.
https://www.mathnet.ru/rus/im1011

\bibitem{s}
M. Suzuki, {\it Finite groups of even order in which Sylov 2-groups are independent}, Ann. Of Math. 1964. V.80. P. 58-77. 
doi.org/10.2307/1970491

\bibitem{st}
R. Solomon,  F. Timmesfeld, {\it A note on tightly embedded subgroups}, Arch.Math. 1979. V. 31. P. 217-223. 
doi.org/10.1007/BF01226440

\bibitem{t}
F. Timmesfeld, {\it On the structure of 2-local subgroups in finite groups}, Arch.Z. 1978. V. 161. P. 119-136. 
doi.org/10.1007/BF01214924

\bibitem{z}
Н.Д. Зюляркина, {\it Циклические $TI$-подгруппы порядка 4
в классических группах Шевалле нечетной характеристики}, 
Вопросы алгебры и логики. Труды ИМ СО РАН, (1996), 89--110. 
www.mathnet.ru/rus/mt392

\bibitem{zm1}
Н.Д. Зюляркина, А.А. Махнёв,  {\it Циклические $TI$-подгруппы порядка 4 в исключительных группах Шевалле}, Труды ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 1994, Т.3. с. 41-49. 
www.mathnet.ru/rus/timm361

\bibitem{zm2}
Н.Д. Зюляркина, А.А. Махнёв, {\it Циклические $TI$-подгруппы порядка 4 в известных группах}, 3 Междун. конф. по алгебре. Тез. докл. Красноярск, 1993, с. 130.



\end{thebibliography}



\end{document}
