
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{???.?} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{??X??} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК 517.956.6}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ 35M13, 35R25 }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Некорректная начально-краевая задача]{Некорректная начально-краевая задача для уравнения смешанного типа высокого порядка}
\author{{К.С. ФАЯЗОВ}}%
\address{Fayazov Kudratillo Sadridinovich
\newline\hphantom{iii} Turin Polytechnic University in Tashkent,
\newline\hphantom{iii} Kichik Khalka Yuli Str. 17, 
\newline\hphantom{iii} 100195, Tashkent,  Uzbekistan}%
\email{kudratillo52@mail.ru}%

\author{{И.О. ХАЖИЕВ}}%
\address{Ikrombek Ozodovich Khajiev
\newline\hphantom{iii} National University of Uzbekistan, Turin Polytechnic University in Tashkent,
\newline\hphantom{iii} Universitet Str. 4, 
\newline\hphantom{iii} 100174, Tashkent, Uzbekistan}%
\email{kh.ikrom04@gmail.com}%

\thanks{\sc Fayazov, K.S., Khajiev, I.O.,
Ill-posed initial-boundary value problem for a high-order mixed-type equation}
\thanks{\copyright \ 2023 Фаязов К.С., Хажиев И.О.}
\thanks{\it Поступила 1 января 2023 г., опубликована 31 декабря 2023 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } This work is devoted to the study of an ill-posed boundary value problem for an inhomogeneous high-order mixed-type equation. An a priori estimate of the solution is obtained depending on the initial data. The uniqueness and conditional stability of the solution are proved. \medskip

\noindent{\bf Keywords:} mixed-type equation, ill-posed problem, a priori estimate, uniqueness, stability, set of correctness.
 \end{quote}
}


\section{Введение. Постановка задачи}

Работа посвящена исследованию начально-краевой задачи для неоднородного уравнения смешанного типа высокого порядка.

Пусть ${{Q}_{T}}=\left\{ (x,y,t):\,\left( x,y \right)\in \Omega ,\,0<t<T \right\}$, $\Omega =\left\{ (x,y):\,\left| x \right|<l,\,0<y<d \right\}$, $\bar{\Omega }=\Omega \cup \partial \Omega $.

\textbf{Задача.} Найти решение $u(x,y,t)$ уравнения
\begin{equation}
\partial _{t}^{n}u + sgn (x)\,\partial _{x}^{2}u+\partial _{y}^{2m}u=f(x,y,t)
\end{equation}
в области ${{Q}_{T}}\cap \left\{ x\ne 0 \right\}$ и удовлетворяющее следующим условиям: \\  начальным 
\begin{equation}
{{\left. \partial _{t}^{p}u \right|}_{t=0}}={{\varphi }_{p}}(x,y), \,\, p=0,1,...,n-1., \,\, \left( x,y \right)\in \bar{\Omega },
\end{equation}
граничным
\begin{equation}
\begin{array}{c}
   {{\left. u \right|}_{x=-l}}={{\left. u \right|}_{x=l}}=0,\,\,0\le y\le d,\,0\le t\le T, \\ 
  {{\left. \partial _{y}^{2q}u \right|}_{y=0}}={{\left. \partial _{y}^{2q}u \right|}_{y=d}}=0,\,\,q=0,1,...,(m-1),\,-l\le x\le l,\,\,0\le t\le T, \\ 
\end{array}
\end{equation}
и условиям склеивания
\begin{equation}
{{\left. u \right|}_{x=-0}}={{\left. u \right|}_{x=+0}},\,\,{{\left. {{u}_{x}} \right|}_{x=-0}}={{\left. {{u}_{x}} \right|}_{x=+0}},\,0\le y\le d,\,0\le t\le T,
\end{equation}
где $n={{2}^{s}}$, $s,m\in N$, ${{\varphi }_{j}}(x,y)$- достаточные гладкие функции и удовлетворяют условиям согласования, $p=0,1,...,n-1.$, $f(x,y,t)$ - функция источника.

Уравнение (1) относиться к классу уравнений смешанного типа и исследуемая задача некорректна в смысле Ж.Адамара.
	
	В данной работе доказывается условная корректность задачи (1)-(4) на множестве корректности. 

Исследование условной кооректности краевых задач началось с работ [1-2]. В работах [3-5] исследуется некорректные краевые задачи для уравнений высокого порядка смешанного и составного типа.   Заметим, что некорретные задачи для абстрактных дифференциальных уравнений исследовались в работах S. Agmon, L.Nirenberg, F. John, R.J. Knops, L.E. Payne, A.P. Calderon, С.Г. Крейн, H.A.Levine, К.С.Фаязов.

Так как задача (1)-(4) относиться к классу некорректно поставленных задач математической физики возникает необходимость нахождения априорных оценок для решения уравнения (1), блогодаря которым нам удается доказать теоремы о единственности и условной устойчивости решения искомой задачи на множестве корректности. 

\section{Вспомогательные факты}
Для решения задачи (1)-(4) нам понадобиться результаты следующей спектральной задачи.

\textbf{Спектральная задача.} Найти такие значения $\lambda $ при которых задача 
\begin{equation}
\begin{array}{c}
   sgn x\,\partial _{x}^{2}\omega +\partial _{y}^{2m}\omega +\lambda \omega =0,\,\,(x,y)\in \Omega \cap \left\{ x\ne 0 \right\} , \\ 
  \omega (-l,y)=\omega (l,y)=0,\,\,y\in [0;\,d], \\ 
  {{\left. \partial _{y}^{2q}\omega  \right|}_{y=0}}={{\left. \partial _{y}^{2q}\omega  \right|}_{y=d}}=0,\,\,q=0,1,...,(m-1),\,\,\,x\in [-l;\,l], \\ 
  \omega (-0,y)=\omega (+0,y),\,\,{{\omega }_{x}}(-0,y)={{\omega }_{x}}(+0,y),\,\,y\in [0;\,d] \\ 
\end{array}	
\end{equation}
имеет нетривиальное решение.
	
	Используя результаты работы [6]  можно доказать, что задача (5) имеет ${{\bar{\lambda }}_{k,j}}=\mu _{k}^{+}+{{(-1)}^{m+1}}{{\left( \frac{\pi j}{d} \right)}^{2m}},\,\,{{\tilde{\lambda }}_{k,j}}=\mu _{k}^{-}+{{(-1)}^{m+1}}{{\left( \frac{\pi j}{d} \right)}^{2m}}$, $\left\{ {{{\bar{\lambda }}}_{k,j}} \right\}_{k,j=1}^{\infty },\,\,\left\{ {{{\tilde{\lambda }}}_{k,j}} \right\}_{k,j=1}^{\infty }$ собственные значения и соответствующие им собственные функции $\left\{ {{{\bar{\omega }}}_{k,j}} \right\}_{k,j=1}^{\infty }$, $\left\{ {{{\tilde{\omega }}}_{k,j}} \right\}_{k,j=1}^{\infty }$, где $\mu _{k}^{+}$, $-\mu _{k}^{-}$ образуют неубывающие последовательности и являются решениями трансцендентного уравнения $tg\sqrt{\pm \mu _{k}^{\pm }}l+th\sqrt{\pm \mu _{k}^{\pm }}l=0$.

Обозначим $\left( u,v \right)=\int\limits_{\Omega }{u\,v}\,d\Omega$ скалярное произведение и $\left\| u \right\|=\sqrt{(u,u)}$ в ${{L}_{2}}(\Omega )$. Согласно [6], имеем
\begin{equation}
\left\| u(x,y,t) \right\|_{0}^{2}=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{\left( sgn (x)\,u,\,{{{\bar{\omega }}}_{k,j}} \right)}^{2}}}}+\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{\left( sgn (x\,)u,\,{{{\tilde{\omega }}}_{k,j}} \right)}^{2}}}}.
\end{equation}

Собственные функции задачи (5) образуют базис Рисса в ${{H}_{0}}$ и норма в пространстве ${{L}_{2}}(\Omega )$, определенная равенством (6), эквивалентна исходной.

Под обобщенным решением краевой задачи (1) - (4) назовем функцию $u(x,y,t)$, принадлежащую $W_{2}^{1,2m-1,n}({{Q}_{T}})$ и удовлетворяющую тождеству
\begin{equation}
\begin{array}{c}
   \int\limits_{{{Q}_{T}}}{\left( sgn x\,u\,\partial _{t}^{n}V-{{u}_{x}}{{V}_{x}}-sgn x\,\partial _{y}^{2m-1}u\,{{\partial }_{y}}V \right)d{{Q}_{T}}}= \\ 
 \sum\limits_{p=1}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{p+1}}\int\limits_{\Omega }{sgn x{{\left. \partial _{t}^{p-1}V \right|}_{t=0}}{{\left. \partial _{t}^{n-p}u \right|}_{t=0}}}d\Omega }-\int\limits_{{{Q}_{T}}}{sgn x\,f\,Vd{{Q}_{T}}} \\ 
\end{array}
\end{equation}
для любой функции $V(x,y,t)\in W_{2}^{2,2m,n}\left( {{Q}_{T}} \right)$, удовлетворяющей условиям ${{\left. \partial _{t}^{p}V \right|}_{t=T}}=0$, $p=0,1,...,n-1$, ${{\left. \partial _{y}^{2q}V \right|}_{y=0}}={{\left. \partial _{y}^{2q}V \right|}_{y=d}}=0$, $q=0,1,...,(m-1)$, ${{\left. V \right|}_{x=-l}}={{\left. V \right|}_{x=l}}=0$.

Пусть решение задачи (1) - (4) существует и тогда он имеет вид
\[u(x,y,t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{{\bar{u}}}_{k,j}}(t){{{\bar{\omega }}}_{k,j}}(x,y)}}+\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{{\tilde{u}}}_{k,j}}(t){{{\tilde{\omega }}}_{k,j}}(x,y)}}\]
где ${{\bar{u}}_{k,j}}(t)=\int\limits_{\Omega }{sgn x\,u(x,y,t){{{\bar{\omega }}}_{k,j}}(x,y)d\Omega }$, ${{\tilde{u}}_{k,j}}(t)=-\int\limits_{\Omega }{sgn x\,u(x,y,t){{{\tilde{\omega }}}_{k,j}}(x,y)d\Omega }$.

Используя выражения  $V={{\vartheta }_{k,j}}(t){{\bar{\omega }}_{k,j}}(x,y)$, $V={{\vartheta }_{k,j}}(t){{\tilde{\omega }}_{k,j}}(x,y)$ из равенство (7), условия $\partial _{t}^{p}{{\vartheta }_{k,j}}(T)=0$, $p=0,1,...,n-1.$, ${{\vartheta }_{k,j}}(t)\in W_{2}^{n}(0,\,T)$ и обозначения
${{\bar{\varphi }}_{{{p}_{k,j}}}}=\int\limits_{\Omega }{sgn x\,{{\varphi }_{p}}(x,y){{{\bar{\omega }}}_{k,j}}(x,y)d\Omega }$, ${{\tilde{\varphi }}_{{{p}_{k,j}}}}=-\int\limits_{\Omega }{sgn x\,{{\varphi }_{p}}(x,y){{{\tilde{\omega }}}_{k,j}}(x,y)d\Omega }$,
${{\bar{f}}_{_{k,j}}}(t)=\int\limits_{\Omega }{sgn x\,f(x,y,t){{{\bar{\omega }}}_{k,j}}(x,y)d\Omega }$, ${{\tilde{f}}_{_{k,j}}}(t)=-\int\limits_{\Omega }{sgn x\,f(x,y,t){{{\tilde{\omega }}}_{k,j}}(x,y)d\Omega }$,
$p=0,1,...,n-1.$, заметим, что функции ${{\bar{u}}_{k,j}}(t)$, ${{\tilde{u}}_{k,j}}(t)$ при каждом $k\in N,\,j\in N$ являются решением следующих задач, соответственно
\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{l}
   \frac{{{d}^{n}}}{d{{t}^{n}}}\left\{ {{{\bar{u}}}_{k,j}} \right\}-{{{\bar{\lambda }}}_{k,j}}{{{\bar{u}}}_{k,j}}={{{\bar{f}}}_{k,j}}, \\ 
  {{\left. \frac{{{d}^{p}}}{d{{t}^{p}}}\left\{ {{{\bar{u}}}_{k,j}} \right\} \right|}_{t=0}}={{{\bar{\varphi }}}_{{{p}_{k,j}}}},\,p=0,1,...,n-1., \\ 
\end{array} \right.
\end{equation}
и
\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{l}
   \frac{{{d}^{n}}}{d{{t}^{n}}}\left\{ {{{\tilde{u}}}_{k,j}} \right\}-{{{\tilde{\lambda }}}_{k,j}}{{{\tilde{u}}}_{k,j}}={{{\tilde{f}}}_{k,j}}, \\ 
  {{\left. \frac{{{d}^{p}}}{d{{t}^{p}}}\left\{ {{{\tilde{u}}}_{k,j}} \right\} \right|}_{t=0}}={{{\tilde{\varphi }}}_{{{p}_{k,j}}}},\,p=0,1,...,n-1. \\ 
\end{array} \right.
\end{equation}
\section{Априорная оценка}
\begin{lemma}
Для решения уравнения
$$\frac{{{d}^{n}}v(t)}{d{{t}^{n}}}-{{b}^{\frac{n}{2}}}v(t)=g(t), \,\, n={{2}^{s}}, \,\, s\in N$$
при $b>0$, $b$ - некоторая константа, $0<t<T$, справедлива оценка
\begin{multline}
{{\left| v(t) \right|}^{2}}\le 2n{{\left( n\sum\limits_{k=0}^{n-1}{{{b}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}v(0) \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{1-\frac{t}{T}}} \times \\ {{\left( n\sum\limits_{k=0}^{n-1}{{{b}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}v(T) \right|}^{2}}+{{\alpha }^{2}}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+n{{\alpha }^{2}}.
\end{multline}
где $\alpha ={{b}^{\frac{1-n}{2}}}\int\limits_{0}^{T}{\left| g(t) \right|}dt$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Доказательство данного неравенство приведем последовательно, начиная с уравнения первого порядка.

1. Пусть $\upsilon (t)$ решение уравнения ${{\upsilon }_{t}}-a\upsilon =h(t)$, где $a$- некоторая константа. Тогда легко заметить, что для функции $\upsilon (t)$ справедлива оценка
\begin{equation}
\left| \upsilon (t) \right|\le {{\left( \left| \upsilon (0) \right|+{{\alpha }_{1}} \right)}^{1-\frac{t}{T}}}{{\left( \left| \upsilon (T) \right|+{{\alpha }_{1}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+{{\alpha }_{1}},
\end{equation}
где ${{\alpha }_{1}}=\int\limits_{0}^{T}{\left| h(t) \right|}dt$.

2. При $s=1$ рассмотрим дифференциальное уравнение ${{v}_{tt}}-bv=g(t)$.
Введем обозначения $\frac{1}{\sqrt{b}}\frac{dv}{dt}=w$, $\rho =v+w$, $\sigma =v-w$. Тогда после некоторых преобразований имеем
$$\begin{array}{l}
   {{\rho }_{t}}-\sqrt{b}\rho ={{b}^{-1/2}}g(t)  \\
   \rho (0)=v(0)+{{b}^{-1/2}}{{v}_{t}}(0)  \\
\end{array}$$    и   $$\begin{array}{l}
   {{\sigma }_{t}}+\sqrt{b}\sigma =-{{b}^{-1/2}}g(t)  \\
   \sigma (0)=v(0)-{{b}^{-1/2}}{{v}_{t}}(0)  \\
\end{array}.$$
Применяя неравенство (11) получим, что для функции $v(t)$ верно неравенство
\begin{equation}
\begin{array}{c}
   {{\left| v(t) \right|}^{2}}\le {{\left( \left| v(0)+{{b}^{-\frac{1}{2}}}{{v}_{t}}(0) \right|+\alpha  \right)}^{2\frac{T-t}{T}}}{{\left( \left| v(T)+{{b}^{-\frac{1}{2}}}{{v}_{t}}(T) \right|+\alpha  \right)}^{2\frac{t}{T}}}+{{\alpha }^{2}}+ \\ 
 {{\left( \left| v(0)-{{b}^{-\frac{1}{2}}}{{v}_{t}}(0) \right|+\alpha  \right)}^{2\frac{T-t}{T}}}{{\left( \left| v(T)-{{b}^{-\frac{1}{2}}}{{v}_{t}}(T) \right|+\alpha  \right)}^{2\frac{t}{T}}}+{{\alpha }^{2}}.
\end{array}
\end{equation}
Используя неравенство ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$, для решения уравнения ${{v}_{tt}}-bv=g(t)$ получаем
\begin{multline}
  {{\left| v(t) \right|}^{2}}\le 4{{\left( 2\left( {{\left| v(0) \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{-1}}{{\left| {{v}_{t}}(0) \right|}^{2}} \right)+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\frac{T-t}{T}}}\times  \\ 
 {{\left( 2\left( {{\left| v(T) \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{-1}}{{\left| {{v}_{t}}(T) \right|}^{2}} \right)+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+2{{\alpha }^{2}}
\end{multline}
где $\alpha ={{\left| b \right|}^{-1/2}}\int\limits_{0}^{T}{\left| g(t) \right|}dt$.

3. Теперь рассмотрим уравнение $\frac{{{d}^{4}}v}{d{{t}^{4}}}-{{b}^{2}}v=g(t)$, когда $s=2$. Введем обозначения $\frac{1}{b}\frac{{{d}^{2}}v}{d{{t}^{2}}}=w$, $\rho =v+w$, $\sigma =v-w$, тогда имеем
\begin{equation}
\begin{array}{l}
   {{\rho }_{tt}}-b\rho ={{b}^{-1}}g(t)  \\
   \rho (0)=v(0)+{{b}^{-1}}{{v}_{tt}}(0),\,{{\rho }_{t}}(0)={{v}_{t}}(0)+{{b}^{-1}}{{v}_{ttt}}(0),  \\
\end{array}
\end{equation}
и
\begin{equation}
\begin{array}{l}
   {{\sigma }_{tt}}+b\sigma =-{{b}^{-1}}g(t)  \\
   \sigma (0)=v(0)-{{b}^{-1}}{{v}_{tt}}(0),\,{{\sigma }_{t}}(0)={{v}_{t}}(0)-{{b}^{-1}}{{v}_{ttt}}(0).  \\
\end{array}
\end{equation}
Очевидно, что для решения задачи (14) согласно (13) верна оценка
\begin{multline*}
   {{\left| \rho (t) \right|}^{2}}\le 4{{\left( 2\left( {{\left| \rho (0) \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{-1}}{{\left| {{\rho }_{t}}(0) \right|}^{2}} \right)+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\frac{T-t}{T}}}\times  \\ 
 {{\left( 2\left( {{\left| \rho (T) \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{-1}}{{\left| {{\rho }_{t}}(T) \right|}^{2}} \right)+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+2{{\alpha }^{2}}.
\end{multline*}
где $\alpha ={{\left| b \right|}^{-3/2}}\int\limits_{0}^{T}{\left| g(t) \right|}dt$.

Уравнение  (15) перепишем в виде ${{\sigma }_{tt}}-{{i}^{2}}b\sigma =i{{b}^{-1}}g(t)$. Тогда из (11)
\begin{multline*}
   {{\left| \sigma (t) \right|}^{2}}\le 2{{\left( {{\left| \sigma (0)+i{{b}^{-\frac{1}{2}}}{{\sigma }_{t}}(0) \right|}^{2}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\left( 1-\frac{t}{T} \right)}}{{\left( {{\left| \sigma (T)+i{{b}^{-\frac{1}{2}}}{{\sigma }_{t}}(T) \right|}^{2}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+{{\alpha }^{2}} + \\ 
 2{{\left( {{\left| \sigma (0)-i{{b}^{-\frac{1}{2}}}{{\sigma }_{t}}(0) \right|}^{2}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\left( 1-\frac{t}{T} \right)}}{{\left( {{\left| \sigma (T)-i{{b}^{-\frac{1}{2}}}{{\sigma }_{t}}(T) \right|}^{2}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+{{\alpha }^{2}} \\ 
\end{multline*}
откуда
\begin{multline*}
{{\left| \sigma (t) \right|}^{2}}\le 4{{\left( 2\left( {{\left| \sigma (0) \right|}^{2}}+{{b}^{-1}}{{\left| {{\sigma }_{t}}(0) \right|}^{2}} \right)+{{\alpha }^{2}} \right)}^{1-\frac{t}{T}}} \times \\ {{\left( 2\left( {{\left| \sigma (T) \right|}^{2}}+{{b}^{-1}}{{\left| {{\sigma }_{t}}(T) \right|}^{2}} \right)+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+2{{\alpha }^{2}}.
\end{multline*}

Замечая, что ${{\left| v(t) \right|}^{2}}\leq\frac{1}{2}\left( {{\left| \rho (t) \right|}^{2}}+{{\left| \sigma (t) \right|}^{2}} \right)$ и учитывая начальные условия задачи (14), (15) можно получить следующую оценку для решения уравнения четвертого порядка
\begin{multline*}
{{\left| v(t) \right|}^{2}}\le 8 {{\left( 4\sum\limits_{k=0}^{3}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}v(0) \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{1-\frac{t}{T}}}\times \\ {{\left( 4\sum\limits_{k=0}^{3}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}v(T) \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+4{{\alpha }^{2}}.
\end{multline*}

4. Пусть $s=r$, $r\in N$, и рассмотрим уравнение $\frac{{{d}^{{{2}^{r}}}}v}{d{{t}^{{{2}^{r}}}}}-{{b}^{{{2}^{r-1}}}}v=g(t)$. Предполагаем, что следующая оценка верна
\begin{multline}
{{\left| v(t) \right|}^{2}}\le 2\cdot {{2}^{r}}{{\left( {{2}^{r}}\sum\limits_{k=0}^{{{2}^{r}}-1}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}v(0)}{d{{t}^{k}}} \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{1-\frac{t}{T}}} \times \\  {{\left( {{2}^{r}}\sum\limits_{k=0}^{{{2}^{r}}-1}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}v(T)}{d{{t}^{k}}} \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+{{2}^{r}}{{\alpha }^{2}},
\end{multline}
где $\alpha ={{\left| b \right|}^{\frac{1-{{2}^{r}}}{2}}}\int\limits_{0}^{T}{\left| g(t) \right|}dt$.

5. Теперь $s=r+1$ и рассмотрим уравнение 
$\frac{{{d}^{{{2}^{r+1}}}}v}{d{{t}^{{{2}^{r+1}}}}}-{{b}^{{{2}^{r}}}}v=g(t)$.
На основе метода математической индукции докажем, что справедлива оценка
\begin{multline}
   {{\left| v(t) \right|}^{2}}\le 2\cdot {{2}^{r+1}}{{\left( {{2}^{r+1}}\sum\limits_{k=0}^{{{2}^{r+1}}-1}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}v(0)}{d{{t}^{k}}} \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{1-\frac{t}{T}}} \times \\ 
 {{\left( {{2}^{r+1}}\sum\limits_{k=0}^{{{2}^{r+1}}-1}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}v(T)}{d{{t}^{k}}} \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+{{2}^{r+1}}{{\alpha }^{2}},
\end{multline}
где $\alpha ={{\left| b \right|}^{\frac{1-{{2}^{r+1}}}{2}}}\int\limits_{0}^{T}{\left| g(t) \right|}dt$.

Введем обозначения $\frac{1}{{{b}^{{{2}^{r-1}}}}}\frac{{{d}^{{{2}^{r}}}}v}{d{{t}^{{{2}^{r}}}}}=w$, $\rho =v+w$, $\sigma =v-w$, тогда имеем
\begin{equation}
\begin{array}{l}
   \frac{{{d}^{{{2}^{r}}}}\rho }{d{{t}^{{{2}^{r}}}}}-{{b}^{{{2}^{r-1}}}}\rho ={{b}^{-{{2}^{r-1}}}}g(t), \\ 
  {{\left. \frac{{{d}^{k}}\rho }{d{{t}^{k}}} \right|}_{t=0}}={{\left. \frac{{{d}^{k}}v}{d{{t}^{k}}} \right|}_{t=0}}+{{b}^{-{{2}^{r-1}}}}{{\left. \frac{{{d}^{{{2}^{r}}+k}}v}{d{{t}^{{{2}^{r}}+k}}} \right|}_{t=0}},\,\,k=0,1,\,{{...,2}^{r}}-1.
\end{array}
\end{equation}
и
\begin{equation}
\begin{array}{l}
  \frac{{{d}^{{{2}^{r}}}}\sigma }{d{{t}^{{{2}^{r}}}}}+{{b}^{{{2}^{r-1}}}}\sigma =-{{b}^{-{{2}^{r-1}}}}g(t), \\ 
 {{\left. \frac{{{d}^{k}}\sigma }{d{{t}^{k}}} \right|}_{t=0}}={{\left. \frac{{{d}^{k}}v}{d{{t}^{k}}} \right|}_{t=0}}-{{b}^{-{{2}^{r-1}}}}{{\left. \frac{{{d}^{{{2}^{r}}+k}}v}{d{{t}^{{{2}^{r}}+k}}} \right|}_{t=0}},\,\,k=0,1,\,{{...,2}^{r}}-1.
\end{array}
\end{equation}
Применяя (16) для (18) имеем оценку
\begin{multline*}
   {{\left| \rho (t) \right|}^{2}}\le 2\cdot {{2}^{r}}{{\left( {{2}^{r}}\sum\limits_{k=0}^{{{2}^{r}}-1}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}\rho (0)+{{b}^{-{{2}^{r-1}}}}\frac{{{d}^{{{2}^{r}}+k}}}{d{{t}^{{{2}^{r}}+k}}}\rho (0) \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{1-\frac{t}{T}}}\times  \\ 
 {{\left( {{2}^{r}}\sum\limits_{k=0}^{{{2}^{r}}-1}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}\rho (T)+{{b}^{-{{2}^{r-1}}}}\frac{{{d}^{{{2}^{r}}+k}}}{d{{t}^{{{2}^{r}}+k}}}\rho (T) \right|}^{2}}+{{\alpha }^{2}}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+{{2}^{r}}{{\alpha }^{2}}\le 
\end{multline*}
\begin{multline*}
  {{2}^{r+1}}{{\left( {{2}^{r}}{{\sum\limits_{k=0}^{{{2}^{r}}-1}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left( \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}\rho (0) \right)}^{2}}+{{\left| b \right|}^{-{{2}^{r}}-k}}\left( \frac{{{d}^{{{2}^{r}}+k}}}{d{{t}^{{{2}^{r}}+k}}}\rho (0) \right)}}^{2}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{1-\frac{t}{T}}}\times  \\ 
 {{\left( {{2}^{r}}{{\sum\limits_{k=0}^{{{2}^{r}}-1}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left( \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}\rho (T) \right)}^{2}}+{{\left| b \right|}^{-{{2}^{r}}-k}}\left( \frac{{{d}^{{{2}^{r}}+k}}}{d{{t}^{{{2}^{r}}+k}}}\rho (T) \right)}}^{2}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+{{2}^{r}}{{\alpha }^{2}}\le
\end{multline*}
$${{2}^{r+1}}{{\left( {{2}^{r}}\sum\limits_{k=0}^{{{2}^{r+1}}-1}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}\rho (0) \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{1-\frac{t}{T}}}{{\left( {{2}^{r}}\sum\limits_{k=0}^{{{2}^{r+1}}-1}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}\rho (T) \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+{{2}^{r}}{{\alpha }^{2}},$$
где $\alpha ={{\left| b \right|}^{\frac{1-{{2}^{r}}}{2}}}\int\limits_{0}^{T}{\left| {{b}^{-{{2}^{r-1}}}}g(t) \right|}dt={{\left| b \right|}^{\frac{1-{{2}^{r+1}}}{2}}}\int\limits_{0}^{T}{\left| g(t) \right|}dt$.

Аналогичным образом для функции $\sigma(t)$ имеем оценку
\begin{multline*}
{{\left| \sigma (t) \right|}^{2}}\le {{2}^{r+1}}{{\left( {{2}^{r}}\sum\limits_{k=0}^{{{2}^{r+1}}-1}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}\sigma (0) \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{1-\frac{t}{T}}} \times \\ {{\left( {{2}^{r}}\sum\limits_{k=0}^{{{2}^{r+1}}-1}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}\sigma (T) \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+{{2}^{r}}{{\alpha }^{2}}.
\end{multline*}
Замечая, что ${{\left| v(t) \right|}^{2}}\leq\frac{1}{2}\left( {{\left| \rho (t) \right|}^{2}}+{{\left| \sigma (t) \right|}^{2}} \right)$ и можно получить следующую оценку для решения уравнения ${{2}^{r+1}}$ порядка
\begin{multline*}
   {{\left| v(t) \right|}^{2}}\le 2\cdot {{2}^{r+1}}{{\left( {{2}^{r+1}}\sum\limits_{k=0}^{{{2}^{r+1}}-1}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}v(0) \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{1-\frac{t}{T}}} \\ 
 {{\left( {{2}^{r+1}}\sum\limits_{k=0}^{{{2}^{r+1}}-1}{{{\left| b \right|}^{-k}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}v(T) \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+{{2}^{r+1}}{{\alpha }^{2}}.
\end{multline*}
Значить $\forall \,n={{2}^{s}},\,s\in N,\,s\ge 1$ верна оценка (10).
\end{proof}

Применяя лемму 1 для решения задач (8), (9) имеем соответствующие оценки
\begin{multline}
   {{\left| {{{\bar{u}}}_{k,j}}(t) \right|}^{2}}\le 2n{{\left( n\sum\limits_{r=0}^{n-1}{{{\left| {{{\bar{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{-\frac{2r}{n}}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}{{{\bar{u}}}_{k,j}}(0) \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{1-\frac{t}{T}}}\times  \\ 
 {{\left( n\sum\limits_{r=0}^{n-1}{{{\left| {{{\bar{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{-\frac{2r}{n}}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}{{{\bar{u}}}_{k,j}}(T) \right|}^{2}}+{{\alpha }^{2}}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+n{{\alpha }^{2}},
\end{multline}
\begin{multline}
   {{\left| {{{\tilde{u}}}_{k,j}}(t) \right|}^{2}}\le 2n{{\left( n\sum\limits_{r=0}^{n-1}{{{\left| {{{\tilde{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{-\frac{2r}{n}}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}{{{\tilde{u}}}_{k,j}}(0) \right|}^{2}}}+{{\alpha }^{2}} \right)}^{1-\frac{t}{T}}}\times \\
 {{\left( n\sum\limits_{r=0}^{n-1}{{{\left| {{{\tilde{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{-\frac{2r}{n}}}{{\left| \frac{{{d}^{k}}}{d{{t}^{k}}}{{{\tilde{u}}}_{k,j}}(T) \right|}^{2}}+{{\alpha }^{2}}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+n{{\alpha }^{2}}. 
\end{multline}
На основе (6) имеем
$$\left\| u(x,y,t) \right\|_{0}^{2}=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\left( {{\left| {{{\bar{u}}}_{k,j}}(t) \right|}^{2}}+{{\left| {{{\tilde{u}}}_{k,j}}(t) \right|}^{2}} \right)}}.$$
Заметим, что существуют такие положительные постоянные ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$, зависящие от  $l$ и $d$, что для любых $k,j$ справедливы оценки
$${{\left( \sqrt[n]{{{\left| {{{\bar{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{2}}} \right)}^{-k}}<{{C}_{1}}, \,\, {{\sqrt[n]{{{\left| {{{\tilde{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{2}}}}^{-k}}<{{C}_{2}}, \,\, k=1,...,n-1.$$
Суммируя неравенства (20) и (21) по $k$, $j$ и используя неравенство Гельдера, получим
\begin{multline*}
   \left\| u \right\|_{0}^{2}\le 4n{{\left( n{{C}_{3}}\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\sum\limits_{p=0}^{n-1}{\left( {{\left| {{{\bar{\varphi }}}_{{{p}_{k,j}}}} \right|}^{2}}+{{\left| {{{\tilde{\varphi }}}_{{{p}_{k,j}}}} \right|}^{2}} \right)}}}+\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\left( \bar{\alpha }_{k,j}^{2}+\tilde{\alpha }_{k,j}^{2} \right)}} \right)}^{1-\frac{t}{T}}}\times  \\ 
 {{\left( n{{C}_{3}}\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\sum\limits_{p=0}^{n-1}{\left( {{\left| \frac{{{d}^{p}}}{d{{t}^{p}}}{{{\bar{u}}}_{k,j}}(T) \right|}^{2}}+{{\left| \frac{{{d}^{p}}}{d{{t}^{p}}}{{{\tilde{u}}}_{k,j}}(T) \right|}^{2}} \right)}}}+\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\left( \bar{\alpha }_{k,j}^{2}+\tilde{\alpha }_{k,j}^{2} \right)}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+ \\ 
 n\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\left( \bar{\alpha }_{k,j}^{2}+\tilde{\alpha }_{k,j}^{2} \right)}}, \\ 
\end{multline*}
где ${{C}_{3}}=\max \left\{ 1,{{\left| {{{\bar{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{-1}},...,{{\left| {{{\bar{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{-(n-1)}},\,{{\left| {{{\tilde{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{-1}},...,{{\left| {{{\tilde{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{-(n-1)}} \right\},\,\forall k,j\in N.$, ${{\bar{\alpha }}_{k,j}}={{\left| {{{\bar{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{\frac{1-{{2}^{n}}}{2}}}\int\limits_{0}^{T}{\left| {{{\bar{f}}}_{k,j}}(t) \right|}dt,\,\,\,{{\tilde{\alpha }}_{k,j}}={{\left| {{{\tilde{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{\frac{1-{{2}^{n}}}{2}}}\int\limits_{0}^{T}{\left| {{{\tilde{f}}}_{k,j}}(t) \right|}dt$. 
Заметим, что
\begin{multline*}
  \sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\left( \bar{\alpha }_{k,j}^{2}+\tilde{\alpha }_{k,j}^{2} \right)}}\le  \\ 
 T\int\limits_{0}^{T}{\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\left( {{\left| {{{\bar{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{1-{{2}^{n}}}}{{\left| {{{\bar{f}}}_{k,j}}(t) \right|}^{2}}+{{\left| {{{\tilde{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{1-{{2}^{n}}}}{{\left| {{{\tilde{f}}}_{k,j}}(t) \right|}^{2}} \right)dt}}}\le \\ {{C}_{4}}T\int\limits_{0}^{T}{\left\| f(x,y,t) \right\|_{0}^{2}dt},
\end{multline*}
где ${{C}_{4}}=\max \left\{ {{\left| {{{\bar{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{1-{{2}^{n}}}},\,\,{{\left| {{{\tilde{\lambda }}}_{k,j}} \right|}^{1-{{2}^{n}}}} \right\}$. Тогда
\begin{multline}
   \left\| u(x,y,t) \right\|_{0}^{2}\le 4n{{\left( {{C}_{3}}n \sum\limits_{k=0}^{n-1}{{{\left\| {{\varphi }_{p}} \right\|}^{2}}}+{{C}_{4}}T\int\limits_{0}^{T}{\left\| f \right\|_{0}^{2}dt} \right)}^{1-\frac{t}{T}}}\times  \\ 
 {{\left( {{C}_{3}} n\sum\limits_{p=0}^{n-1}{{{\left\| \frac{{{d}^{p}}}{d{{t}^{p}}}u(x,y,T) \right\|}^{2}}}+{{C}_{4}}T\int\limits_{0}^{T}{\left\| f \right\|_{0}^{2}dt} \right)}^{\frac{t}{T}}}+{{C}_{4}}nT\int\limits_{0}^{T}{\left\| f \right\|_{0}^{2}dt}.
\end{multline}

\section{Теоремы о единственности и условной устойчивости}
Пусть $M=\left\{ u:\sum\limits_{p=0}^{n-1}{{{\left\| {{\left. \frac{{{d}^{p}}u(x,y,t)}{d{{t}^{p}}} \right|}_{t=T}} \right\|}^{2}}}\le {{\theta}^{2}} \right\}.$
\begin{theorem}
Пусть решение задачи (1) - (4) существует и $u(x,y,t)\in M$. Тогда решение задачи (1) - (4) единственно.
\end{theorem}
\begin{proof}
Пусть ${{u}_{1}},\,{{u}_{2}}$ являются решениями задачи (1) - (4) с одинаковыми данными соответственно. Тогда $u={{u}_{1}}-{{u}_{2}}$ удовлетворяет задаче (1) - (4) с однородными начальными данными (2) и условиями (3), (4). Из (22) следует ${{\left\| u(x,y,t) \right\|}_{0}}\le 0\Rightarrow \,u(x,y,t)=0$ или ${{u}_{1}}(x,y,t)\equiv {{u}_{2}}(x,y,t)$ для $\forall (x,y,t)\in \Omega $.
\end{proof}
Введем обозначения: через $u(x,y,t)$ обозначим решение задачи (1) - (4) c точными данными, а через ${{u}_{\varepsilon }}(x,y,t)$ решение задачи (1) - (4) с приближенными данными.
\begin{theorem}
Пусть решение задачи (1) - (4) существует и $u(x,y,t),\,{{u}_{\varepsilon }}(x,y,t)\in M$. Пусть ${{\left\| {{\varphi }_{p}}(x,y)-{{\varphi }_{{{p}_{\varepsilon }}}}(x,y) \right\|}_{0}}\le \varepsilon $, $p=0,1,...,n-1.$, ${{\left\| f(x,y,t)-f(x,y,t) \right\|}_{0}}\le \varepsilon $. Тогда для любого решения задачи (1) - (4) при $\left( x,y,t \right)\in {{Q}_{T}}$ имеет место неравенство
$${{\left\| u(x,y,t)-{{u}_{\varepsilon }}(x,y,t) \right\|}_{0}}\leq\delta (\varepsilon ,\theta,t),$$
где $\delta (\varepsilon ,\theta,t)=4n{{\left( \left( {{C}_{3}}{{n}^{2}}+{{C}_{4}}{{T}^{2}} \right){{\varepsilon }^{2}} \right)}^{\frac{T-t}{T}}}{{\left( 4{{C}_{3}}n{{\theta}^{2}}+{{C}_{4}}{{T}^{2}}{{\varepsilon }^{2}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+{{C}_{4}}n{{T}^{2}}{{\varepsilon }^{2}}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Пусть решение задачи (1) - (4) существует. Рассмотрим разность $U(x,y,t)=u(x,y,t)-{{u}_{\varepsilon }}(x,y,t)$. Заметим, что $u(x,y,t),\,{{u}_{\varepsilon }}(x,y,t)\in M$. Функция $U(x,y,t)$ является решением уравнения в области ${{Q}_{T}}\cap \left\{ x\ne 0 \right\}$
$$\partial _{t}^{n}U + sgn (x)\partial _{x}^{2}U+\partial _{y}^{2m}U=f(x,y,t)-{{f}_{\varepsilon }}(x,y,t)$$
с начальными данными
$$\frac{{{d}^{p}}}{d{{t}^{p}}}U(x,y,0)={{\varphi }_{p}}(x,y)-{{\varphi }_{{{p}_{\varepsilon }}}}(x,y), \,\, p=0,1,...,n-1.,\,\, \left( x,y \right)\in \bar{\Omega },$$
граничными данными
$$\begin{array}{l}
   {{\left. U \right|}_{x=-l}}={{\left. U \right|}_{x=l}}=0,\,\,0\le y\le d,\,0\le t\le T, \\ 
  {{\left. \partial _{y}^{2q}U \right|}_{y=0}}={{\left. \partial _{y}^{2q}U \right|}_{y=d}}=0,\,\,q=0,1,...,(m-1),\,-l\le x\le l,\,\,0\le t\le T,
\end{array}$$
а также условиями склеивания
$${{\left. U \right|}_{x=-0}}={{\left. U \right|}_{x=+0}},{{\left. {{U}_{x}} \right|}_{x=-0}}={{\left. {{U}_{x}} \right|}_{x=+0}}, \,\, 0\le y\le d,\,0\le t\le T.$$
Из неравенства (22)  следует
\begin{multline*}
   \left\| U \right\|_{0}^{2}\le 4n{{\left( {{C}_{3}} n \sum\limits_{p=0}^{n-1}{\left\| {{\varphi }_{p}}-{{\varphi }_{p\varepsilon }} \right\|_{0}^{2}}+{{C}_{4}}T\int\limits_{0}^{T}{\left\| f-{{f}_{\varepsilon }} \right\|_{0}^{2}dt} \right)}^{1-\frac{t}{T}}}\times  \\ 
 {{\left( {{C}_{3}} n\sum\limits_{p=0}^{n-1}{\left\| {{\left. \frac{{{d}^{p}}U(x,y,t)}{d{{t}^{p}}} \right|}_{t=T}} \right\|_{0}^{2}}+{{C}_{4}}T\int\limits_{0}^{T}{\left\| f-{{f}_{\varepsilon }} \right\|_{0}^{2}dt} \right)}^{\frac{t}{T}}}+n{{C}_{4}}T\int\limits_{0}^{T}{\left\| f-{{f}_{\varepsilon }} \right\|_{0}^{2}dt}. 
\end{multline*}
Оценим каждый множитель правой части отдельно:
\begin{multline*}
\sum\limits_{p=0}^{n-1}{\left\| {{\varphi }_{p}}-{{\varphi }_{p\varepsilon }} \right\|_{0}^{2}}=\left\| {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{1\varepsilon }} \right\|_{0}^{2}+\left\| {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{2\varepsilon }} \right\|_{0}^{2}+...+ \\ \left\| {{\varphi }_{n-1}}-{{\varphi }_{n-1\varepsilon }} \right\|_{0}^{2} \le  {{\varepsilon }^{2}}+{{\varepsilon }^{2}}+...+{{\varepsilon }^{2}}=n{{\varepsilon }^{2}},
\end{multline*}
\begin{multline*}
   \sum\limits_{p=0}^{n-1}{\left\| {{\left. \frac{{{d}^{p}}U(x,y,t)}{d{{t}^{p}}} \right|}_{t=T}} \right\|_{0}^{2}}=\sum\limits_{p=0}^{n-1}{\left\| {{\left. \frac{{{d}^{p}}u}{d{{t}^{p}}} \right|}_{t=T}}-{{\left. \frac{{{d}^{p}}{{u}_{\varepsilon }}}{d{{t}^{p}}} \right|}_{t=T}} \right\|_{0}^{2}}\le  \\
 2\sum\limits_{p=0}^{n-1}{\left\| {{\left. \frac{{{d}^{p}}u}{d{{t}^{p}}} \right|}_{t=T}} \right\|_{0}^{2}+2\sum\limits_{p=0}^{n-1}{\left\| {{\left. \frac{{{d}^{p}}{{u}_{\varepsilon }}}{d{{t}^{p}}} \right|}_{t=T}} \right\|_{0}^{2}}}\le 4{{\theta}^{2}},
\end{multline*}
$$\int\limits_{0}^{T}{\left\| f-{{f}_{\varepsilon }} \right\|_{0}^{2}dt}\le T{{\varepsilon }^{2}}.$$
После несложных преобразований получим неравенство
$$\left\| U \right\|_{0}^{2}\leq 4n{{\left( {{C}_{3}}{{n}^{2}}{{\varepsilon }^{2}}+{{C}_{4}}{{T}^{2}}{{\varepsilon }^{2}} \right)}^{\frac{T-t}{T}}}{{\left( 4{{C}_{3}}n{{\theta}^{2}}+{{C}_{4}}{{T}^{2}}{{\varepsilon }^{2}} \right)}^{\frac{t}{T}}}+{{C}_{4}}n{{T}^{2}}{{\varepsilon }^{2}}.$$
Что и требовалось доказать.
\end{proof}

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).


\bibitem{1} K. S. Fayazov, {\it A certain ill-posed Cauchy problem for first-order and second-order differential equations with operator coefficients}, Siberian Math. J., \textbf{35}:3 (1994), 631-–635.

\bibitem{2} K. S. Fayazov, {\it An ill-posed boundary value problem for a second-order equation of mixed type},  Uzbek Mathematical Journal, No.\textbf{2} (1995), 89–-93. (Russian)


\bibitem{3} K.S. Fayazov, I.O. Khajiev,  {\it Conditional Correctness of the Initial-Boundary Value Problem for a System of High-Order Mixed-Type Equations}, Russian Math. \textbf{66} (2022), 53-–63.

\bibitem{4} K. S. Fayazov, I. O. Khajiev, {\it Conditional correctness of boundary-value problem for composite fourth-order differential equation}, Russian Math.  \textbf{59}:4 (2015), 54–-62.  

\bibitem{5} K.S. Fayazov, I.O. Khajiev, Z.K. Fayazova, {\it Ill-posed boundary value problem for operator differential equation of fourth order}, Bulletin of National University of Uzbekistan: Mathematics and Natural Sciences, Volume \textbf{1}, Issue 2, (2018), 57--65.

\bibitem{6} I.O. Khajiev, {\it Estimation of the conditional stability of an ill-posed initial-boundary problem for a high-order mixed type equation}, Uzbek Mathematical Journal, Volume \textbf{65}, Issue 4 (2021), 48--61.

\bibitem{7} S.G. Pyatkov, {\it Properties of Eigen functions of a certain spectral problem and their
applications}, Some Applications of Functional Analysis to Equations of Mathematical
Physics, Inst. Mat., Novosibirsk, 1986, 65–-84.

\bibitem{8} M. M. Lavrent'ev, L. Ya. Savel'ev, {\it Operator theory and ill-posed problems}  2nd ed., Institut Matematiki im. S. L. Soboleva, Novosibirsk, 2010.


\end{thebibliography}
\end{document}
