\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\usepackage{mathtools}
\usepackage{enumitem}

\usepackage[numbers,sort&compress]{natbib}

\def\udcs{517.5} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{31B10} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Замечание}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\newcommand{\abs}[1]{\left| \, #1 \, \right|}
\newcommand{\Ball}[1]{B \left( #1 \right)}
\newcommand{\contmod}[3]{M \left( #1, #2, #3 \right)}
\newcommand{\diam}[1]{\text{\normalfont diam}\left(#1\right)}
\newcommand{\dist}[2]{\left| \, #1 - #2 \, \right|}
\renewcommand{\d}{\,\mathrm{d}\,}
\newcommand{\Ds}[1]{\mathfrak{D}_{\, #1}^{\, \alpha}}
\newcommand{\Hom}[1]{H^{\, \omega (\cdot)} \left( #1 \right)}
\newcommand{\hsi}{D^{\,\alpha}}
\newcommand{\pow}[2]{#1^{\,#2}}
\newcommand{\set}[2]{\left\{\, #1: \, #2 \,\right\}}

\newenvironment{myitemize}
{ \begin{itemize}
    \setlength{\topsep}{10pt}
    \setlength{\itemsep}{10pt}
    \setlength{\parskip}{0pt}
    \setlength{\parsep}{0pt}     }
{ \end{itemize}                  } 

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[К исследованию весовой гельдеровости ГСИ]{
    К исследованию весовой обобщенной гельдеровости гиперсингулярного интеграла на метрическом пространстве
    с мерой
    }
\author{{Ю.Е. ДРОБОТОВ, Б.Г. ВАКУЛОВ}}%
\address{Yuri Evgenievich Drobotov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences named after I.~I.\,Vorovich,
\newline\hphantom{iii} ul. Milchakova, 8a,
\newline\hphantom{iii} 344090, Rostov-on-Don, Russia
\newline\hphantom{iii} North-Caucasus Center for Mathematical Research of the Vladikavkaz Scientific Centre of the Russian Academy of Sciences, 
\newline\hphantom{iii} ul. Vil'yamsa, 1,
\newline\hphantom{iii} 363110, RSO-Alaniya, Prigorodnyj rajon, s.Mihajlovskoe, Russia
\newline\hphantom{iii} Don State Technical University, 
\newline\hphantom{iii} Gagarina squ., 1,
\newline\hphantom{iii} 344000, Rostov-on-Don, Russia} 
\email{yu.e.drobotov@yandex.ru}%

\address{Boris Grigorievich Vakulov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences named after I.~I.\,Vorovich,
\newline\hphantom{iii} Milchakova str., 8a,
\newline\hphantom{iii} 344090, Rostov-on-Don, Russia}%
\email{bvak1961@bk.ru}%

\thanks{\sc Drobotov Yu. E., Vakulov B. G.,
On the weighted generalized H\"older continuity of a hypersingular integral on a metric space}
\thanks{\copyright \ 2022 Дроботов Ю. Е., Вакулов Б. Г}
\thanks{\rm Работа Дроботова Ю. Е. поддержана РФФИ и ТУБИТАК (грант 20-51-46003).}
\thanks{\rm Работа Дроботова Ю. Е. выполнена в Северо-Кавказском центре математических исследований ВНЦ РАН при поддержке Минобрнауки России, соглашение № 075-02-2024-1379.}
\thanks{\it Поступила 1 января 2015 г., опубликована 31 декабря 2015 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } 
     Получены весовые оценки типа Зигмунда
     для гиперсингулярного интеграла на 
     почти однородном метрическом пространстве
     и, на их основе, теоремы о действии данного оператора 
     в весовом пространстве обобщенной переменной гёльдеровости.
     В качестве веса рассматривается представитель класса степенных функций.
     Показано, что гиперсингулярный интеграл <<ухудшает>> характеристику
     обобщенного пространства Гёльдера на порядок гиперсингулярного интеграла.
     Условия представленных теорем сформулированы 
     в терминах класса Бари--Стечкина, а также специального аналога условия Дини.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} bounded operator, continuity, 
                         generalized H\"older spaces, 
                         hypersingular integral, integral equations, 
                         local modulus of continuity, modulus of sub\-metry,
                         Zygmund-type estimates
 \end{quote}
}


\section*{Введение}

Как известно, риссово дробное интегродифференцирование 
функций многих вещественных переменных 
определяет производную через гиперсингулярный интеграл \cite[с.~483]{SKM} 
(см. также \cite{Samko1976, Samko1977}),
в том числе и на однородных пространствах, например -- сфере \cite{Samko1977_Sphere}. 
Кроме того, всякий однородный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами
может быть выражен гиперсингулярным интегралом 
с характеристикой специального вида \cite[с.~530]{SKM}, 
что вызывает особый интерес к исследованию таких операторов 
в контексте задач математической физики.

Один из основных вопросов качественной теории интегральных операторов 
состоит в отыскании способа формализации их гладкости,
содержательно характеризующего устойчивость соответствующих уравнений.
На этом пути неизбежны обобщения классических функциональных пространств, 
в том числе пространств гёльдеровского типа, 
введение которых еще в теории эллиптических уравнений в частных производных 
мотивировано тем же вопросом.
В качестве простой аналогии можно отметить, что потребность в 
описании континуальных свойств функций с помощью условия Гёльдера
возникает еще при исследовании классического уравнения Пуассона \cite[с.~51]{GT}, 
в то время как гиперсингулярный интеграл на $n$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$ 
реализует дробные степени оператора Лапласа. 

\subsection*{Обзор исследования}
В настоящей работе рассмотрены операторы гиперсингулярного интегрирования по 
множеству почти однородного метрического пространства. 
Исследуется отображение такими операторами функций, удовлетворяющих 
условию типа Гёльдера с локальным модулем непрерывности, 
представления о котором подробно раскрываются.

Говоря конкретно, в Теореме \ref{b_theorem} 
доказана ограниченность 
гиперсингулярного интеграла $D^{\,\alpha}$, 
заданного Определением \ref{HSI}, 
при отображении функций из весового пространства
обобщенной переменной гёльдеровости 
$H_0^{\,\omega(\cdot)} (\Omega, w_a)$, 
введенного в Определении \ref{H0_space},
в случае, когда вес является степенной функцией вида
\begin{equation} \label{weight} \tag{$w_a$}
    \begin{array}{ccc}
        w_a (x) := \pow{d}{r} (a, x), 
        & a, x \in \Omega, 
        & 0 < r \leq 1,
    \end{array}
\end{equation}
где $d (a, x)$ означает расстояние на открытом множестве $\Omega$ 
(подробнее см. далее).
Это достигается за счет построения оценки типа Зигмунда, 
представленной Теоремой \ref{Zygmund_estimate}
в терминах локального модуля непрерывности, определенного через понятие субметрии:
представляя самостоятельную ценность, подобные неравенства
могут быть востребованы в исследовании устойчивости решений интегральных уравнений первого рода.

Приведенные результаты дополняют полученные авторами ранее в работе \cite{Drobotov2024} 
для степенных весов с показателем, большим единицы.
Технически <<малость>> показателя $r$ у веса \eqref{weight}
обнаруживает свою специфику в выборе вспомогательных
неравенств, используемых при доказательстве 
Теоремы \ref{Zygmund_estimate}, что, в качестве полезного следствия, 
влечет за собой, вообще говоря, иные значения ограничивающих констант, 
которые часто удается оценить точно.

Если $\hsi$ выражает дифференциальный оператор (как в случае $X = \pow{\mathbb{R}}{n}$),
условия полученной здесь теоремы о действии могут рассматриваться как 
достаточные условия весовой квалифицированной гладкости функции $f$
и быть соотнесены с классическими результатами.

\subsection*{Обзор тематической области}
Раздел риссовых интегралов и производных дробного порядка получил развитие методами спектральной теории
в таких известных работах С.~Г. Самко, как \cite{Samko1976, Samko1977, Samko1977_Sphere}.
Основным их результатом явилось описание пространства риссовых потенциалов на $\mathbb{R}^n$ 
в терминах разностных сингулярных интегралов, 
особенность которых доминирует над размерностью пространства \cite{Samko1980}.
Результаты об обращении потенциалов Рисса такими, гиперсингулярными, интегралами доказывались
на функциях из $L^p$--пространства, в том числе --- в весовых терминах.

Подходы, основанные на исследовании символов интегральных операторов на сфере, 
позволили качественно обобщить теоретические результаты относительно операторов типа потенциала, 
в сущности породив самостоятельное направление анализа сферических сверток. 
В этом отношении стоит отметить работу \cite{Samko1983}, 
где рассматривались спектры некоторых наиболее часто встречающихся операторов сферической свертки, 
а также \cite{Vakulov1986}, пионерскую с точки зрения классификации таких операторов
на основании асимптотического поведения на бесконечности их мультипликаторов Фурье--Лапласа. 
В ней же был поставлен вопрос о гладкости сферических сверток в терминах обобщенных пространств Гёльдера, 
предпосылки к чему имеют довольно богатую историю;
значимым же результатом в этом отношении является теорема об изоморфизме вида
\begin{equation*} 
    \pow{A}{\alpha} \left( \pow{H}{\varphi} \left( \pow{\mathbb{S}}{n-1} \right) \right) = 
        \pow{H}{\varphi_\alpha} \left( \pow{\mathbb{S}}{n-1} \right),
\end{equation*}
где $\pow{\mathbb{S}}{n-1}$ --- единичная сфера в $\pow{\mathbb{R}}{n}$, 
$\pow{A}{\alpha}$ --- оператор сферической свертки вида 
\begin{equation*}
    \begin{array}{cc}
        A^\alpha f (x) := \displaystyle\int\limits_{\pow{\mathbb{S}}{n-1}} k(x \, \cdot \, \sigma) \, f(\sigma) \, \d \sigma,
            & x \in \pow{\mathbb{S}}{n-1},
    \end{array}
\end{equation*}
спектр которого ${\left\{ k_m \right\}}_{m = 0}^\infty$ в разложении по сферическим гармоникам 
(мультипликатор Фурье--Лапласа)
имеет заданную асимптотику при $m \to \infty$, 
а $\varphi (h)$ и $\varphi_\alpha (h)$ есть мажоранты модуля непрерывности, 
характеризующие обобщенную гёльдеровость рассматриваемых функций.

Стоит напомнить, что гладкость как свойство непрерывной дифференцируемости функций
может вводиться весьма разнообразными способами. 
Например, работы \cite{Dzh1985, Gadzh, Petrova} определяли пространство гладких функций на сфере
как частный случай пространств Бесова. 
В то же время, альтернативная точка зрения предполагала введение гладкости в терминах
дифференцируемости по декартовым координатам \cite{Nik}.
Однако работы \cite{Vakulov1987, Samko2000, Vakulov2001} показали возможность эквивалентной нормировки
пространств Гёльдера, возникающих в этих двух различных подходах.

Свое развитие тематика обобщенно-гёльдеровских пространств получила в
работах \cite{Dzh1966, GusMuht, Rust}, предлагавших использовать в качестве мажоранты
модуля непрерывности произвольный, 
не обязательно степенной, функциональный параметр.
Гармонический анализ в таких пространствах пополнился результатами в области теории потенциала
\cite{Shank, Vakulov1999, Vakulov2001_1, Vakulov2003_1}, 
в том числе и в последние годы: 
так, исследования \cite{Vakulov2021_IGI, Vakulov2021_Springer, Drobotov2022}, 
развивая результаты работы \cite{Vakulov1986}, 
представили условия ограниченности оператора типа потенциала Рисса 
со степенно-ло\-га\-риф\-ми\-чес\-ким ядром на сфере, а также связанного с ним стереографической проекцией
пространственного потенциала. 
В частных случаях оператор осуществляет изоморфизм обобщенных пространств Гёльдера, 
причем обратный оператор выражается композицией с гиперсингулярным интегралом.
В работе \cite{Drobotov2023} описаны классы однозначно разрешимых
(в пространствах обобщенной гёльдеровости)
интегральных уравнений первого рода, ядро оператора в которых имеет слабую особенность. 

Интерес к операторам дробного интегродифференцирования переменного порядка 
\cite{Samko1993, Samko1995, Vakulov2010, Vakulov2011, Vakulov2011_1}
был естественно сопряжен с рассмотрением функциональных пространств, 
определяющие параметры которых также имеют функциональную природу. 
Отметим исследования \cite{Samko1998, Vakulov2005_3, Samko2007_1, Samko2007_2}, в которых 
были доказаны, в том числе, теоремы типа Соболева в случае пространств Лебега с переменным показателем;
работы \cite{Ginsburg, Ross, Vakulov2005, Vakulov2005_1, Vakulov2005_2, Vakulov2006, Vakulov2020}, 
в которых рассматривались пространства $H^{\lambda (x)}$ переменной гёльдеровости 
и действие в них сферических, а затем и пространственных потенциалов постоянного и переменного 
(включая комплексные) порядков, 
и, наконец, \cite{Vakulov2009, Samko2010}, описывающие действие операторов типа потенциала
и гиперсингулярных интегралов, определенных на однородных пространствах, в $H^{\lambda (x)}$ 
в безвесовом и случае специального веса.

Стоит заметить, что ослабление требований к множеству интегрирования
за счет введения интегралов на множествах почти однородных квазиметрических пространств
\cite{Vakulov2009, Samko2010, Samko2013}, 
является существенной проблемой.
Отличие подхода, применяемого в этом случае, от известных в классической теории 
состоит в необходимости локализации аналитических свойств функций на таких пространствах 
на основании более общих геометрических соображений.
Неприменимы более замечательные следствия евклидовой метризации пространства:
например, тождество параллелограмма, которое, в случае сферы, приводит исследование
в область сферических сверток.
Получение оценок типа Зигмунда затруднено отсутствием формулы Каталана, 
что потребовало создания аналогичного аппарата в работах \cite{Vakulov2009, Samko2010}
(здесь он также используется в виде Лемм \ref{Lemma_1} и \ref{Lemma_2}).
Наконец, оценки вблизи особых точек, например <<весовой>> точки $a$, 
требует применения специальных неравенств, выводимых, как правило, 
непосредственно из неравенства треугольника или, в случае квазиметрических пространств, 
его обобщения. 
Немаловажно, что при этом параметризация констант, с которыми ограничены соответствующие интегралы, 
усложняется и в качественном аспекте: 
они теперь становятся зависимы от постулируемых характеристик самого множества интегрирования,
что, конечно, играет свою роль в приложении полученных результатов для решения уравнений.

В настоящее время наибольший интерес представляют пространства обобщенной переменной гёльдеровости,
введенные впервые в работе \cite{Vakulov2006_1}.
Исследования их с точки зрения риссова интегродифференцирования переменного порядка в 
\cite{Samko2011, Vakulov2017},
ставили задачу на гиперсфере и гиперплоскости многомерного евклидова пространства;
известны также результаты для этих пространств 
в нестандартном анализе голоморфных функций \cite{Kar2021}.
Большую значимость имеют современные исследования классов Никольского--Бесова, 
осуществляемые с введением нового модуля непрерывности \cite{Kosov2017, Kosov2019}.

В завершение обзора следует заметить, что генерализация известных функциональных пространств 
затрагивает не только отдельные пространства 
квалифицированной гладкости.
Так, большой интерес представляет развитие анализа в пространствах Морри и их обобщениях
\cite{Goldman2020, Samko2020, Avsyankin2021, Bur2021, Bur2021_1, Eki2022}, 
причем спектр подходов к постановке и решению соответствующих задач 
демонстрирует разнообразие даже в такой небольшой выборке референтных работ. 
Стоит отметить интенсивное развитие теории гранд-пространств, которая 
результатами ряда современных исследований 
\cite{Um2014, Um2015, Drobotov2018, Um2020, Um2021, Samko2021, Samko2022, Raf2022_1, Raf2022_2, Um2022} 
превращена в самодостаточную область анализа.
Во многом такой широкий спрос на новые результаты в анализе на нестандартных пространствах
продиктован приложениями в математической физике 
и задачах математического моделирования --- такими, как обсуждались, например, в \cite{Tarasov, Parinov}.

\section*{Предварительные сведения}
\subsection*{Основные определения}
Пусть $(X, d, \mu)$ --- произвольное метрическое пространство, 
где $d(x, \sigma)$ означает расстояние, а $\mu (\sigma)$ --- меру для всяких $x, \sigma \in X$. 
Будем предполагать $(X, d, \mu)$ таковым, что все его открытые шары 
$$ B(x, h) := \set{\sigma \in X}{d(x, \sigma) < h} $$
измеримы и удовлетворяют следующему условию роста:
\begin{equation} \label{growing_condition} \tag{B}
    \begin{array}{cccc}
        \forall x \in X: & \mu \, B(x, h) 
        \leq
        K\,\pow{h}{\nu}, 
            & \text{когда} \quad h \rightarrow 0,
            & K > 0,
    \end{array}
\end{equation}
где $K$ не зависит от $x$, а показатель $\nu > 0$ полагается действительным в рамках данной статьи.
Будем полагать также, что все сферы в $X$ удовлетворяют условию
\begin{equation*}
    \begin{array}{cc}
        \mu \, S(x, h) = 0, 
        & S(x, h) := \set{\sigma \in X}{d(x, \sigma) = h}.
    \end{array}
\end{equation*}
Условимся обозначать замкнутые шары в $X$ символом $B[x, h]$.

Метрику $d(x, y)$ будем полагать симметричной и удовлетворяющей классическому прямому неравенству треугольника: 
\begin{equation} \label{tr_in} \tag{$\Delta_1$}
    d(x, \sigma) \leq d(x, y) + d(y, \sigma).
\end{equation}
В дальнейшем используется также обратное неравенство треугольника,
\begin{equation} \label{inv_tr_in} \tag{$\Delta_2$}
    \begin{array}{cc}
        \dist{d(x, y)}{d(y, \sigma)} \leq d(x, \sigma), 
        & x, y, \sigma \in X,
    \end{array}
\end{equation}
эквивалентное \eqref{tr_in} для симметричных метрик.
 Наконец, условимся рассматривать произвольно выбранное множество $\Omega$ такое, что
\begin{equation} \label{Omega} \tag{$\Omega$}
    \begin{array}{ccc}
        \Omega \subset X, & 0 < \diam{\Omega} < \infty,
        & \Omega \text{ --- открытое.}
    \end{array}
\end{equation}

\begin{definition} \label{HSI}
     Пусть 
     выбрано число, понимаемое как порядок гиперсингулярного интеграла:
     $$ \alpha \in \mathbb{C}: \quad 0 < \Re \alpha < 1. $$
     Гиперсингулярный интеграл определим следующим выражением:
     \begin{equation*} 
          \begin{array}{cc}
              \hsi f (x) := \displaystyle \int\limits_\Omega \frac{f(\sigma) - f(x)}{\pow{d}{\nu + \alpha}(x, \sigma)} \d\sigma, 
              & x \in \Omega.
          \end{array}
      \end{equation*}
    Здесь и далее символ $\d\sigma$ указывает на интегрирование по мере $\mu(\sigma)$
    в смысле главного значения:
      \begin{equation*}
          \displaystyle \int\limits_\Omega \varphi (x, \sigma) \d\sigma = \lim_{h \to +0} 
            \displaystyle \int\limits_{\Omega \setminus B [x, h]} \varphi (x, \sigma) \d \sigma.
      \end{equation*}
\end{definition}
\noindent Отметим, что в дальнейшем будем опускать явное указание меры, пользуясь ее свойствами имплицитно через Леммы \ref{Lemma_1} и \ref{Lemma_2}, а также Теорему \ref{b_theorem}.

Напомним, далее, что отображение $\varphi$ между метрическими пространствами $M$ и $N$ 
называется субметрией, 
если для каждой точки $x \in M$ образ всякого замкнутого шара
при отображении $\varphi$
является замкнутым шаром того же радиуса с центром в точке $\varphi (x)$ \cite{Berestovskiy}. 
Оттолкнувшись от этого понятия, введем следующую характеристику для случая, 
когда в качестве $\varphi$ рассматривается функция:

\begin{definition} \label{subm_m}
    Будем называть модулем субметрии функции $f$,
    определенной на $\Omega$,
    функцию
\begin{equation*} 
    \begin{array}{ccc}
        \omega_{\, \Omega} (f, x, h) := \sup\limits_{\sigma \in \Omega \cap B[x, h]} \abs{f(x) - f(\sigma)}, & x \in \Omega, & h > 0.
    \end{array}
\end{equation*}
\end{definition}
\noindent Наряду с Определением \ref{subm_m} рассмотрим, 
вслед за \cite[с.~49]{GusMuht}, общее определение 
модуля непрерывности, адаптировав его под текущую постановку задачи:
\begin{definition} \label{ContMod}
    Пусть выбрано число $l:$ $0 < l \leq \diam{\Omega}$.
    Функцию 
    \begin{equation*}
        \begin{array}{ccc}
            M(x, h), & x \in \Omega, 
            & 0 < h \leq l,
        \end{array}
    \end{equation*}
    будем называть локальным модулем
    непрерывности, если она
    удовлетворяет следующим четырем условиям:
    \begin{enumerate}[label=(3.\arabic*)]
        \item $\forall x \in \Omega: \quad M(x, 0) = 0$;
        \item $M(x, h)$ является неубывающей функцией от $h$ равномерно по $x$;
        \item $M(x, h)$ полуддитивна по $h$, т.е.
        \begin{equation*}
            \begin{array}{cc}
                 \forall x \in \Omega: 
                 & M(x, h_1 + h_2) \leq 
                    M(x, h_1) + M(x, h_2);
            \end{array}
        \end{equation*}
        \item $M(x, h)$ есть непрерывная по $h$ функция
              для всякого $x \in \Omega$.
    \end{enumerate}
\end{definition}

Модуль субметрии из Определения \ref{subm_m}
не обязательно является локальным модулем непрерывности в смысле Определения \ref{ContMod}, 
поскольку свойство (3.3) полуаддитивности по $h$, 
вообще говоря, не гарантировано. 
В то же время, важное следствие свойства (3.3) составляет 
\begin{lemma} 
    Пусть $x \in \Omega$, $0 < l \leq \diam{\Omega}$,
    $M(x, h)$ --- локальный модуль непрерывности
    в смысле Определения \ref{ContMod}.
    Имеет место оценка:
    \begin{equation} \label{cont_mod_prop01} \tag{M.1}
        \begin{array}{cc}
            \displaystyle\frac{M(x, h_2)}{h_2} \leq
                2\,\displaystyle\frac{M(x, h_1)}{h_1}, 
            & 0 < h_1 \leq h_2 \leq l.
        \end{array}
    \end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}
    Рассуждения в основе доказательства леммы ничем принципиально не отличаются от классического случая, 
    изложенного в \cite[с.~50]{GusMuht}.
    Прежде всего, из свойства (3.3) в Определении \ref{ContMod} следует, что
    \begin{equation} \label{cont_mod_prop02} \tag{M.2}
        \begin{array}{cc}
            \forall x \in \Omega: \quad
            M(x, n\,h) \leq n\,M(x, h),
            & n \in \mathbb{N}.
        \end{array}
    \end{equation}
    Положим: 
    \begin{equation*}
        \begin{array}{cc}
            h_2 = h_1 + h, 
            & 0 \leq (n_0 - 1)\,h_1 \leq h \leq n_0\,h_1,
        \end{array}
    \end{equation*}
    % где $n_0$ --- некоторое натуральное число.
    где $n_0 = 1 + [h / h_1]$
    и (причем только в этом контексте) через $[k]$ обозначена целая часть числа $k$.
    Тогда имеем в силу свойства (3.3) и оценки \eqref{cont_mod_prop02}, 
    зафиксировав некоторую точку $x \in \Omega$:
    \begin{multline*}
        \displaystyle\frac{M(x, h_2)}{h_2} \leq
        \frac{M(x, h_1)}{h_1 + h} + 
            \frac{M(x, h)}{h_1 + h} \leq \\
        \leq
        \frac{M(x, h_1)}{h_1} + 
            \frac{M(x, n_0\,h_1)}{h_1 + (n_0 - 1)\,h_1}
        \leq 
        2\,\frac{M(x, h_1)}{h_1}.
    \end{multline*}
\end{proof}
\noindent Отметим, что из свойства \eqref{cont_mod_prop02}, а также (3.3) полуаддитивности и (3.2) неубывания по $h$ 
следует следующая оценка с произвольным $k > 0$:
\begin{equation} \label{cont_mod_prop03} \tag{M.3}
    \begin{multlined}
        M(f, x, k\,h) \leq [k] \, M(f, x, h) + 
            M(f, x, \lambda \, h) \leq \\
        \leq (k + 1) \, M(f, x, h), 
    \quad k = [k] + \lambda, 
    \quad 0 \leq \lambda < 1.
    \end{multlined}
\end{equation}

Укажем частного представителя класса локальных модулей непрерывности, 
который составляет интерес в дальнейшем изложении:
\begin{equation} \label{M} \tag{$M_\Omega$}
    \begin{array}{ccc}
        M_\Omega (f, x, h) := 
            \sup\limits_{\substack{\sigma_1, \sigma_2 \in 
                \Omega \cap B[x, l]: \\ 
                d(\sigma_1, \sigma_2) \leq h}}
            \dist{f(\sigma_1)}{f(\sigma_2)}, 
        & x \in \Omega, 
        & 0 < h \leq l < \infty.
    \end{array}
\end{equation}
\noindent Если $f$ непрерывна, 
свойства (3.1), (3.2) и (3.4) из Определения \ref{ContMod}, очевидно, выполнены для \eqref{M}; 
свойство (3.3) легко проверяется:
пусть 
\begin{equation*}
    \begin{array}{ccc}
        \sigma_k \in \Omega \cap B[x, l], 
        & h_k := d(x, \sigma_k), 
        & k = 1, 2,
    \end{array}
\end{equation*}
тогда, согласно \eqref{tr_in}, 
$d(\sigma_1, \sigma_2) \leq h_1 + h_2$, и справедливо:
\begin{multline*}
    \dist{f(\sigma_1)}{f(\sigma_2)} \leq
    \dist{f(\sigma_1)}{f(x)} + \dist{f(x)}{f(\sigma_2)} 
        \leq \\
    \leq \sum\limits_{k = 1}^2
        {\sup\limits_{\substack{\sigma_1', \sigma_2' 
            \in \Omega \cap B[x, l]: \\ 
                d(\sigma_1', \sigma_2') \leq h_k}}}
        \dist{f(\sigma_1')}{f(\sigma_2')} = 
    M_\Omega (f, x, h_1) + M_\Omega (f, x, h_2).
\end{multline*}

\subsection*{Вспомогательный аппарат}
Раздел введения завершим, напомнив
\begin{definition}
    Будем говорить, что неотрицательная функция $L(x, t)$, определенная на 
    $\Omega \times \left[ 0, l \right]$, $0 < l < \infty$,
    почти возрастает по $t$ равномерно по $x$, если найдется константа $c_L \geq 1$
    такая, что выполнено неравенство
    \begin{equation*}
        L(x, t) \leq c_L \, L(x, \tau) \quad \text{для всех} \quad 0 < t < \tau \leq l.
    \end{equation*}
\end{definition}

Для оценки возникающих далее интегральных конструкций
используются следующие леммы: 
\begin{lemma} \label{Lemma_1}
    Пусть $L(x, t)$ -- неотрицательная функция на $\Omega \times \left[ 0, l \right]$, 
    $0 < l < \infty$, почти возрастающая по $t$ равномерно по $x$ 
    и удовлетворяющая неравенству
    \begin{equation*}
        \begin{array}{cc}
            L (x, 2\,t) \leq C \,L(x, t), & 0 < C < \infty.
        \end{array}
    \end{equation*}
    Для всякого $\lambda$, $0 \leq \lambda < \infty$, 
    имеет место оценка:
    \begin{equation*}
        \begin{array}{cc}
            \displaystyle \int\limits_{B (x, h)} \frac{L \left( x, d(x, \sigma) \right)}{\pow{\left[ d(x, \sigma) \right]}{\lambda}} \d\sigma \leq 
                c_0 \, \displaystyle \int\limits_0^h \frac{\pow{t}{\nu-1} L(x, t)}{\pow{t}{\lambda}} \d t, &
                    0 < c_0 < \infty,
        \end{array}
    \end{equation*}
    где $x \in \Omega$, $0 < h < l$, 
    постоянные $C$ и $c_0$ не зависят от $x$.
\end{lemma}

\begin{lemma} \label{Lemma_2}
    Пусть выполнены предпосылки Леммы \ref{Lemma_1}. 
    Тогда 
    \begin{equation*}
        \begin{array}{cc}
            \displaystyle \int\limits_{\Omega \backslash B(x, h)} \frac{L \left( x, d(x, \sigma) \right)}{\pow{\left[ d(x, \sigma) \right]}{\lambda}} \d\sigma \leq 
            c_0 \, \displaystyle \int\limits_h^l \frac{\pow{t}{\nu-1} L(x, t)}{\pow{t}{\lambda}} \d t, &
                0 < c_0 < \infty,
        \end{array}
    \end{equation*}
    где $0 < h < \displaystyle l \, / \, k$, $k > 1$, постоянная $c_0$ не зависит от $x \in \Omega$.
\end{lemma}

Леммы \ref{Lemma_1} и \ref{Lemma_2} доказаны в работе
\cite{Samko2010} в более общем случае, когда 
вместо $\lambda$ может быть рассмотрена неотрицательная, 
ограниченная на $\Omega$ функция.
Их роль для анализа на произвольных метрических, а также квазиметрических пространствах 
аналогична роли следствий из формул типа Каталана
в случае пространств евклидовых. 
Небезынтересно отметить, что константа $c_0$ в обеих леммах допускает точную оценку, 
связанную с постулируемыми свойствами пространства $X$.

В работах \cite{Vakulov2009, Samko2010} Леммы  \ref{Lemma_1} и \ref{Lemma_2} (в указанном выше обобщенном виде) были использованы для 
доказательства оценок типа Зигмунда и теорем об ограниченности гиперсингулярного интеграла переменного порядка $\alpha (\cdot)$ 
при отображении функций из $\Hom{\Omega}$.
Одна из этих теорем используется в завершающем отделе статьи --- в релевантной поставленным задачам формулировке.

\section*{Оценка типа Зигмунда}

Прибавив и вычтя под знаком интеграла в $D^{\,\alpha}$ произведение $w(\sigma) f(\sigma)$, 
    получаем следующее представление, справедливое для произвольного веса $w$:
    \begin{equation} \label{repr_01}
        \begin{multlined}
        w(x) \int_\Omega \frac{f(\sigma) - f(x)}{\pow{d}{\nu+\alpha} (x, \sigma)} \d\sigma = 
            \int_\Omega \frac{f_w (\sigma) - f_w (x)}{\pow{d}{\nu+\alpha} (x, \sigma) } \d\sigma + \\
                + \int_\Omega \frac{w(x) - w(\sigma)}{w(\sigma)} \frac{f_w (\sigma)}{\pow{d}{\nu+\alpha}(x, \sigma)} \d\sigma,
        \end{multlined}
    \end{equation}
    где обозначено: 
    \begin{equation*}
        \begin{array}{cc}
            f_w (x) := w(x) f(x), & x \in \Omega.
        \end{array}
    \end{equation*}
    Введем в рассмотрение интегральный оператор 
    \begin{equation*} \label{D_op} \tag{$\Ds{\Omega}$}
        \Ds{\Omega} f_w (x) := \int_\Omega \frac{w (x) - w (\sigma)}{w (\sigma)} \frac{f_{w} (\sigma) - f_{w} (a)}{\pow{d}{\nu+\alpha}(x, \sigma)} \d\sigma.
    \end{equation*}
    Если вес $w$ является степенной функцией вида \eqref{weight}, 
    то $f_{w} (a) = 0$, и из общего представления \eqref{repr_01} имеем
    \begin{equation} \label{repr_02}
        \begin{array}{cc}
            w (x) \, \hsi f (x) = \hsi f_{w} (x) + \Ds{\Omega} f_{w} (x), & x \in \Omega.
        \end{array}
    \end{equation}
\noindent Для оператора $\Ds{\Omega}$ докажем следующий результат:

\begin{theorem} \label{Zygmund_estimate} 
    Пусть $0 < l < \infty$, 
    а под $M (f, x, h)$ подразумеваются:
    \begin{itemize}
        \item модуль субметрии $\omega_\Omega (f, x, h)$, 
        если он полуаддитивен по $h$;
        \item минимальная мажоранта модуля
        $\omega_\Omega$ из класса локальных модулей непрерывности, если $\omega_\Omega (f, x, h)$ 
        не обладает
        свойством полуаддитивности по $h$ для данной функции $f$ на $\Omega$;
        \item определенный выше локальный модуль непрерывности \eqref{M}.
    \end{itemize}
    Имеет место оценка типа Зигмунда:
    \begin{multline*}  
        \dist{\Ds{\Omega} f_w (x)}{\Ds{\Omega} f_w (y)} \leq 
        c\,\left\{ \sum\limits_{z \in \{ a, x, y \}}
            \displaystyle\int\limits_0^h \frac{M \left( f_w, z, t \right)}{\pow{t}{1 + \Re{\alpha}}} \d t \right. + \\[10pt]
        + \left. \pow{h}{r} \, \sum\limits_{z \in \{ a, x \}} \, \displaystyle\int\limits_h^l \frac{M (f_w, z, t)}{\pow{t}
            {1 + r + \Re{\alpha}}} \d t \right\}, 
    \quad y \in B[x, h], 
    \quad 0 < h < l, 
    \quad 0 < c < \infty.
    \end{multline*}
\end{theorem}

\begin{proof}
Отметим, что в условиях теоремы выполнено:
\begin{equation} \label{assumption} \tag{A}
    \begin{array}{cc}
        x, y \in \Omega: \quad d(x, y) \leq h < k\,h, & k > 1.
    \end{array}
\end{equation} 
Имеет место следующая декомпозиция множества $\Omega$:
\begin{equation*}
    \Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2 \cup \left( \Omega_3 \cap \Omega_4 \right),
\end{equation*}
где введены подмножества 
\footnote{Здесь и далее запись вида <<$a \, \vert \, b$>> употребляется для обозначения выбора из двух вариантов, условия которого очевидны или явно представлены.}
\begin{equation} \label{general_decomp} \tag{$\Omega_s$}
    \begin{array}{c}
        \Omega_{1 \, \vert \, 2} := \set{\sigma \in \Omega}{d(x \, \vert \, a, \sigma) < k \, h}, \\ 
        \Omega_{3 \, \vert \, 4} := \set{\sigma \in \Omega}{d(x \, \vert \, a, \sigma) \geq k \, h}. 
    \end{array}
\end{equation}

\noindent В терминах \eqref{general_decomp} имеет место представление
\begin{multline*}
    \Ds{\Omega} f_w (x) - \Ds{\Omega} f_w (y) = \Ds{\Omega_1 \cup \Omega_2} f_w (x) - \Ds{\Omega_1 \cup \Omega_2} f_w (y) + \\[15pt]
    + \int\limits_{\Omega_3 \cap \Omega_4} \frac{\left(w(x) - w(y) \right) + \left(w(y) - w(\sigma) \right)}{w(\sigma)} \, \frac{f_w (\sigma) - f_w (a)}{\pow{d}{\nu + \alpha} (x, \sigma)} \d \sigma - \\
    - \int\limits_{\Omega_3 \cap \Omega_4} \frac{w(y) - w(\sigma)}{w(\sigma)} \, \frac{f_w (\sigma) - f_w (a)}{\pow{d}{\nu + \alpha} (y, \sigma)} \d \sigma,
\end{multline*}
из которого следует оценка
\begin{equation}
\begin{multlined} \label{general_repr}
    \abs{\Ds{\Omega} f_w (x) - \Ds{\Omega} f_w (y)} \leq \abs{\Ds{\Omega_1 \cup \Omega_2} f_w (x)} + 
    \abs{ \Ds{\Omega_1 \cup \Omega_2} f_w (y)} + \\[10pt]
    + \abs{w(x) - w(y)} \cdot \abs{I} + \abs{J},
\end{multlined}
\end{equation}
где явно выделены следующие интегралы:
\begin{equation*}
    \begin{array}{c}
        I := \displaystyle \int\limits_{\Omega_3 \cap \Omega_4} \frac{f_w (\sigma) - f_w (a)}{w(\sigma) \, \pow{d}{\nu + \alpha} (x, \sigma)} \d \sigma, \\[20pt]
        J := \displaystyle \int\limits_{\Omega_3 \cap \Omega_4} \frac{w(y) - w(\sigma)}{w(\sigma)} \, \left( \frac{1}{\pow{d}{\nu + \alpha} (x, \sigma)} - \frac{1}{\pow{d}{\nu + \alpha} (y, \sigma)} \right) \, f_w (\sigma) \d \sigma.
    \end{array}
\end{equation*}
Будем последовательно оценивать слагаемые из правой части \eqref{general_repr}, 
конструируя мажоранты необходимого вида.

\subsection*{Оценка первого слагаемого.} 
Множество $\Omega_1 \cup \Omega_2$ предполагает четыре взаимоисключающих варианта 
расположения точек $x$ и $a$:
\begin{equation} \label{Gs_1}
    \begin{array}{c}
        \Lambda_{1 \, \vert \, 2} = 
            \Lambda_{1 \, \vert \, 2} (x) := 
            \set{\sigma \in \Omega}{d\left( a \, \vert \, x, \sigma \right) \leq 
                d \left(x \, \vert \, a, \sigma \right) < k\,h }, \\[15pt]
         \Theta_{1 \, \vert \, 2} = 
            \Theta_{1 \, \vert \, 2} (x) := \set{\sigma \in \Omega}{d\left(a \, \vert \, x, \sigma \right) < 
                k\,h \leq d \left(x \, \vert \, a, \sigma \right) },
    \end{array}
\end{equation}
где принципиально важным является соотношение $d(a, \sigma)$ и $d(x, \sigma)$. 
Исходя из двух вариантов последнего, а именно:
$$ \Lambda_1 (x) \cup \Theta_1 (x) \quad \text{и} \quad \Lambda_2 (x) \cup \Theta_2 (x), $$
составим мажоранту как сумму соответствующих интегралов.

\subsubsection*{Оценка интеграла по $\Lambda_1 \cup \Theta_1$}
Очевидно неравенство:
\begin{equation*}
    \begin{array}{cc}
    \dist{f_w (\sigma)}{f_w (a)} \leq 
        M \left( f_w, a, d(a, \sigma) \right),
    & \sigma \in \Lambda_1 \cup \Theta_1.
   \end{array}
\end{equation*}
\noindent Имея в виду соотношение расстояний вида
$d(a, \sigma) \leq d(x, \sigma)$, 
характерное для $\Lambda_1 \cup \Theta_1$, 
запишем, применив Лемму \ref{Lemma_1}:
\begin{equation}
\begin{multlined} \label{general_01_01}
        \abs{\Ds{\Lambda_1 \cup \Theta_1} f_w (x)} \leq   
            \int\limits_{\Lambda_1 \cup \Theta_1}  
                \frac{\abs{f_w (\sigma) - f_w (a)}}{\pow{d}{r}(a, \sigma) \pow{\left[d (x, \sigma) \right]}{- r + \nu + \Re \alpha}} \d\sigma \leq \\
            \leq \int\limits_{B (a, k\,h)} \frac{M \left( f_w, a, d(a, \sigma) \right)}{\pow{\left[ d (a, \sigma) \right]}{\nu + \Re \alpha}} \d\sigma \leq
                c_0 \, c_1 \, \displaystyle \int\limits_0^h \frac{M \left( f_w, a, \tau \right)}{\pow{\tau}{1 + \Re \alpha}} \d \tau,
\end{multlined}
\end{equation}
где использована замена $t = k\,\tau$, $\tau \in (0, h)$,
вследствие чего константа $c_1$ выражается исходя из 
свойства \eqref{cont_mod_prop02} 
как $c_1 = \pow{k}{1-\Re\alpha}$ 
в случае натурального $k$ и, 
согласно \eqref{cont_mod_prop03},
как
$c_1 = (k+1)\,\pow{k}{-\Re\alpha}$ 
в общем случае.

\subsubsection*{Оценка интеграла по $\Lambda_2 \, \cup \, \Theta_2$}
Для интеграла по $\Lambda_2 (x) \, \cup \, \Theta_2 (x)$ рассуждения во многом аналогичны.
Выше модуль субметрии вычислялся в точке $a$, поскольку $d(a, \sigma)$ полагалось минимальным. 
Теперь же оценим числитель подынтегрального выражения, 
ориентируясь на гладкостные свойства функции $f_w$ в окрестности точки $x$:
\begin{equation}
    \begin{multlined} \label{important_techno}
        \abs{f_w (\sigma) - f_w (a)} \leq \abs{f_w (\sigma) - f_w (x)} + \abs{f_w (x) - f_w (a)} \leq \\[10pt]
            \leq 3\,M \left( f_w, x, d(a, \sigma) \right), 
                \quad d(x, \sigma) \leq d(a, \sigma).
    \end{multlined}
\end{equation}
Поясним, что для второго слагаемого требуемая оценка
следует из неравенства
\begin{equation*} 
    d(x, a) \leq d(x, \sigma) + d(a, \sigma) \leq 2\,d(a, \sigma), 
\end{equation*}
и свойства \eqref{cont_mod_prop02}:
\begin{equation*} % \label{techno_01_02}
    \dist{f_w (x)}{f_w (a)} \leq M \left( f_w, x, d(x, a) \right) \leq 2\,M \left( f_w, x, d(a, \sigma) \right).
\end{equation*}

Далее, в силу свойства \eqref{cont_mod_prop01} модуля непрерывности имеет место:
\begin{equation} \label{techno_01}
    \begin{array}{cc}
        \displaystyle \frac{M \left( f_w, x, d(a, \sigma) \right)}{d(a, \sigma)} \leq 
             2 \, \frac{M \left( f_w, x, d(x, \sigma) \right)}{d(x, \sigma)}, & d(x, \sigma) \leq d(a, \sigma),
    \end{array}
\end{equation}
а значит, вновь применив Лемму \ref{Lemma_1}, имеем:
\begin{multline*}
    \abs{\Ds{\Lambda_2 \, \cup \, \Theta_2} f_w (x)} \leq 
        3\,\int\limits_{\Lambda_2 \, \cup \, \Theta_2} \displaystyle\frac{M \left( f_w, x, d(a, \sigma) \right)}{\pow{d}{r} (a, \sigma) \pow{d}{\nu - r + \Re \alpha} (x, \sigma)} \d\sigma \leq \\
            \leq 6\,\int\limits_{B(x, kh)} \displaystyle\frac{M \left( f_w, x, d(x, \sigma) \right)}{\pow{d}{\nu + \Re \alpha} (x, \sigma)} \d\sigma \leq
                C_1 \, \displaystyle \int\limits_0^h \frac{M \left( f_w, a, t \right)}{\pow{t}{\Re \alpha + 1}} \d t,
        \quad C_1 = 6\,c_0\,c_1.
\end{multline*}

Таким образом, мажоранта первого слагаемого из генерального представления \eqref{general_repr} имеет вид:
\begin{equation} \label{result_01} \tag{$R_1$}
    \abs{\Ds{\Omega_1 \cup \Omega_2} f_w (x)} \leq
            C_1 \, 
            \left\{ \,
                \displaystyle \int\limits_0^h \frac{M (f_w, x, t)}{\pow{t}{\Re \alpha + 1}} \d t + 
                \displaystyle \int\limits_0^h \frac{M (f_w, a, t)}{\pow{t}{\Re \alpha + 1}} \d t
                \,
            \right\}.
\end{equation}

\subsection*{Оценка второго слагаемого.} 
В силу \eqref{assumption} и \eqref{tr_in} имеет место:
\begin{equation*}
    \begin{array}{cc}
        d(y, \sigma) \leq d(x, y) + d(x, \sigma) \leq (k+1) \, h, & \forall \sigma \in \Omega_1,
    \end{array}
\end{equation*}
а значит 
\begin{equation*}
    \begin{array}{cc}
        \Omega_1 \subseteq \set{\sigma \in \Omega}{d(y, \sigma) \leq (k+1) \, h} =: G, 
        & G \cup \Omega_2 =  \bigcup\limits_{i = 1}^2 \Lambda_i (y) \cup \Theta_i (y) ,
    \end{array}
\end{equation*}
где $\Lambda_i (y)$ и $\Theta_i (y)$ заданы выражением \eqref{Gs_1}. 
Повторив рассуждения из предыдущего пункта, приходим к искомой оценке вида \eqref{result_01}:
\begin{equation} \label{result_02} \tag{$R_2$}
    \abs{ \Ds{\Omega_1 \cup \Omega_2} f_w (y)} \leq 
        C_1 \, 
        \left\{ \,
                \displaystyle \int\limits_0^h \frac{M (f_w, y, t)}{\pow{t}{\Re \alpha + 1}} \d t + 
                \displaystyle \int\limits_0^h \frac{M (f_w, a, t)}{\pow{t}{\Re \alpha + 1}} \d t
                \,
            \right\}.
\end{equation}

\subsection*{Оценка третьего слагаемого.} 
Прежде всего отметим неравенство
\begin{equation} \label{w_in} % \tag{w:1}
    \dist{w(x_1)}{w(x_2)} = \dist{\pow{d}{r}(x_1, a)}{\pow{d}{r}(x_2, a)} \leq \pow{d}{r} (x_1, x_2),
\end{equation}
следующее из \eqref{inv_tr_in}, а также числового результата 
\begin{equation*} 
    \begin{array}{ccc}
        \abs{\pow{d_1}{r} - \pow{d_2}{r}} \leq \pow{\dist{d_1}{d_2}}{r}, 
            & d_1, d_2 \geq 0, & 0 < r \leq 1,
    \end{array}
\end{equation*}
известного, например, из работы \cite[с.~27]{GusMuht}.
Применив \eqref{w_in}, имеем:
\begin{equation} \label{I_3}
    \abs{w(x) - w(y)} \cdot \abs{I} \leq 
    \pow{k}{r}\,\pow{h}{r} \, \displaystyle\int\limits_{\Omega_3 \cap \Omega_4} \frac{\dist{f_w(\sigma)}{f_w (a)}}{w(\sigma) \, \pow{d}{\nu + \alpha} (x, \sigma)} \d \sigma.
\end{equation}

Множество $\Omega_3 \cap \Omega_4$ оставляет два равновозможных варианта расположения 
точек $x$ и $a$ относительно $y$:
\begin{equation} \label{Hs} \tag{$H_s$}
    \begin{array}{cc}
        H_{1 \, \vert \, 2} := \set{\sigma \in \Omega}{kh \leq d(a \, \vert \, x, \sigma) 
            \leq d(x \, \vert \, a, \sigma)}, \\[10pt]
        \Omega_3 \cap \Omega_4 = H_1 \cup H_2.
    \end{array}
\end{equation}
Представим интеграл в правой части \eqref{I_3} 
суммой интегралов с тем же подынтегральным выражением, 
но взятых по $H_1$ и $H_2$ соответственно; обозначим последние через $I_1$ и $I_2$.

\subsubsection*{Оценка $I_1$.}
Интеграл по $I_1$ оценивается в тех же соображениях, 
что и слагаемое $\Ds{\Lambda_1 \cup \Theta_1} f_w (x)$, отсылая к \eqref{general_01_01}. 
Именно, поскольку $d(a, \sigma)$ минимально на $H_1$, запишем, применив Лемму \ref{Lemma_2}:
\begin{equation*}
    \begin{array}{cc}
        \abs{I_1} \leq \displaystyle \int\limits_{\Omega \backslash B(a, \, k\,h )} \frac{\contmod{f_w}{a}{d(a, \sigma)}}{\pow{\left[d(a, \sigma)\right]}{r + \nu + \Re \alpha}} \d\sigma 
            \leq C \, \displaystyle\int\limits_{h}^l \displaystyle\frac{M (f_w, a, t)}{\pow{t}{r + \Re \alpha + 1}} \d t, 
                & C = c_0 \, c_1.
    \end{array}
\end{equation*}

\subsubsection*{Оценка $I_2$.} 
Для оценки интеграла $I_2$ воспользуемся теми же рассуждениями,
что лежали
в основе оценки $\Ds{\Lambda_2 \cup \Theta_2} f_w (x)$. 
Обратимся к \eqref{important_techno} и затем \eqref{techno_01}:
\begin{equation*}
    \abs{I_2} \leq 
        3\,\displaystyle\int\limits_{H_2} \frac{M \left( f_w, x, d(a, \sigma) \right)}{\pow{d}{r} (a, \sigma) \pow{d}{\nu + \Re \alpha} (x, \sigma)} \d\sigma \leq
            6\,\displaystyle\int\limits_{\Omega \backslash B(x, kh)} \frac{M(f_w, x, d(x, \sigma))}{\pow{\left[d(x, \sigma)\right]}{\nu + r + \Re\alpha} } \d\sigma,
\end{equation*}
где осталось лишь применить Лемму \ref{Lemma_2}.

Таким образом, имеем для третьего слагаемого:
\begin{equation} \label{results_03} \tag{$R_3$}
    \abs{w(x) - w(y)} \cdot \abs{I} \leq 
        C_1 \, \pow{h}{r} \, 
        \left\{ \,
            \displaystyle\int\limits_{h}^l \displaystyle\frac{\omega_\Omega (f_w, x, t)}{\pow{t}{r + \Re \alpha + 1}} \d t +
            \displaystyle\int\limits_{h}^l \displaystyle\frac{\omega_\Omega (f_w, a, t)}{\pow{t}{r + \Re \alpha + 1}} \d t
        \, \right\}.
\end{equation}

\subsection*{Оценка четвертого слагаемого.} 
Для удобства обозначим $\lambda := \nu + \Re\alpha$.
Имеем следующую мажоранту:
\begin{equation*} 
        \abs{J} \leq \displaystyle\int\limits_{\Omega_3 \cap \Omega_4} 
            \displaystyle\frac{\dist{\pow{d}{r} (a, y)}{\pow{d}{r} (a, \sigma)}}{\pow{d}{r} (a, \sigma)} \,
                \left| \pow{d}{-\lambda} (x, \sigma) - \pow{d}{-\lambda}(y, \sigma) \right| \,
                 \dist{f_w (\sigma)}{f_w (a)} \d\sigma.
\end{equation*}

Для оценки отношения воспользуемся тем, что для всякой пары различных положительных чисел $d_1$ и $d_2$ имеет место следующая оценка:
\begin{equation} \label{num_01} 
    \begin{array}{cc}
         \dist{d_1^{\,r}}{d_2^{\,r}} \leq 
            r\,\left( d_1 \, \vert \, d_2 \right)^{\,r-1} \,
            \dist{d_1}{d_2},
        & 0 < r \leq 1,
    \end{array}
\end{equation}
которая является следствием классического двойного неравенства 
\begin{equation} \label{num_01_1}
    \begin{array}{cc}
        r\,\pow{t_1}{r-1}\,(t_1 - t_2) < 
            \pow{t_1}{r} - \pow{t_2}{r} < 
                r\,\pow{t_2}{r-1}\,(t_1 - t_2), 
    & 0 < r < 1,
    \end{array}
\end{equation}
приведенного в \cite[с.~39]{HLP} за ссылкой (2.15.2).
Поясним, что под произвольным выбором $d_1 \, \vert d_2$ в правой части $\eqref{num_01}$ подразумевается следующее рассуждение: пусть $d_2 > d_1$, тогда
\begin{equation*}
    0 < \pow{d_2}{r} - \pow{d_1}{r} = 
    \pow{d_2}{r} \, \left[ \pow{1}{r} - 
        \pow{\left(\displaystyle\frac{d_1}{d_2}\right)}{r} \right] \leq 
    r\,\pow{d_1}{r}\,\left( 1 - \displaystyle\frac{d_1}{d_2} \right) \leq r\,\pow{d_2}{r-1}\,(d_2 - d_1),
\end{equation*}
где воспользовались \eqref{num_01_1} для оценки выражения в квадратных скобках, а затем возрастанием функции $t^{\,r}$, $r > 0$. Заметим, что в \cite{Samko2010, Samko2011} аналогичный выражению \eqref{num_01_1} результат был получен применением к функции $t^{\,r}$ теоремы о среднем в интегральной форме. 
Таким образом, имеем:
\begin{equation} \label{J_01}
    \displaystyle\frac{\dist{\pow{d}{r} (a, y)}{\pow{d}{r} (a, \sigma)}}{\pow{d}{r} (a, \sigma)} \leq 
    r\,\displaystyle\frac{d(y, \sigma)}{d(a, \sigma)}.
\end{equation}

Напомним также известное неравенство С.\,Л.~Соболева \cite[с.~251]{Sobolev}:
\begin{equation} \label{num_02} % \tag{N:2}
    \begin{array}{cc}
        \dist{\displaystyle\frac{1}{\pow{d_1}{\gamma}}}{\displaystyle\frac{1}{\pow{d_2}{\gamma}}} \leq 
            c_\gamma\,\displaystyle\frac{\dist{d_1}{d_2} \, \pow{(d_1 + d_2)}{\gamma - 1}}{\pow{(d_1\,d_2)}{\gamma}}, 
        & \gamma > 0,
    \end{array}
\end{equation}
где положительная постоянная $c_\gamma$ зависит только от $\gamma$.
Применим \eqref{num_02} к оценке второго модуля в правой части мажоранты $\abs{J}$:
\begin{equation*} 
    \dist{\pow{d}{-\lambda} (x, \sigma)}
         {\pow{d}{-\lambda} (y, \sigma)} \leq
    \displaystyle\frac{c_\lambda \, k \, h}
                      {\pow{d}{\lambda} (x, \sigma) \,
                        d(y, \sigma)} \,
        \pow{\left[ 1 + \displaystyle\frac{d(x, \sigma)}{d(y, \sigma)} \right]}{\lambda - 1}.
\end{equation*}
Ясно, что при $\nu < 1 - \Re{\alpha}$, то есть $\lambda < 1$, последняя скобка мажорируется единицей. 
Покажем, что она ограничена и в противоположном случае. 

Принимая во внимание конструкцию множества интегрирования \eqref{general_decomp}, а также изначальное условие \eqref{assumption}, констатируем истинность двойного неравенства
\begin{equation*} 
    \begin{array}{cc}
        d(x, y) < k\,h \leq d(x, \sigma), & \sigma \in \Omega_3 \cap \Omega_4,
    \end{array}
\end{equation*}
а значит, и нижней оценки
\begin{equation*} 
    \begin{array}{cc}
        d(y, \sigma) \geq d(x, \sigma) - d(x, y) > 
        (k - 1)\,h, & \sigma \in \Omega_3 \cap \Omega_4.
    \end{array}
\end{equation*}
Как следствие представленных выше соотношений имеем
\begin{equation*} 
    \begin{array}{cc}
    \displaystyle\frac{d(x, \sigma)}{d(y, \sigma)} \leq 
        \displaystyle\frac{d(x, y) + d(y, \sigma)}{d(y, \sigma)} < 
            1 + \displaystyle\frac{k\,h}{d(y, \sigma)}
            < 1 + \displaystyle\frac{k}{k-1}, 
            & k > 1.
    \end{array}
\end{equation*}

Таким образом, в случае 
$\sigma \in \Omega_3 \cap \Omega_4$ 
справедлива оценка
\begin{equation} \label{J_02}
    \dist{\pow{d}{-\lambda} (x, \sigma)}
         {\pow{d}{-\lambda} (y, \sigma)} \leq 
    \displaystyle\frac{c_\lambda \, h}
        {\pow{d}{\lambda}(x, \sigma) \, d(y, \sigma)},
\end{equation}
в которой постоянная $c_\lambda$ зависит от параметров $\alpha$, $\nu$, а также значения $k > 1$.

Объединив теперь оценки \eqref{J_01} и \eqref{J_02}, имеем:
\begin{equation*} % \label{J_gen}
\begin{array}{cc}
    \abs{J} \leq C_2\,h\, \displaystyle\sum\limits_{s=1}^2 \, \int\limits_{H_s} \,
        \frac{\dist{f_w (\sigma)}{f_w (a)}}{d(a, \sigma)\,\pow{d}{\nu + \Re\alpha} (x, \sigma)} \d\sigma 
            = C_2\,h \, (J_1 + J_2),
    & C_2 = r \, c_0 \, c_\lambda,
\end{array}
\end{equation*}
где интегралы $J_1$ и $J_2$ имеют то же подынтегральное выражение, но взяты, соответственно, 
по множествам $H_1$ и $H_2$, определенным выражением \eqref{Hs}.

\subsubsection*{Оценка $J_1$.}
На $H_1$ выполняется $d(a, \sigma) \leq d(x, \sigma)$, так что имеем, применив Лемму \ref{Lemma_2}:
\begin{equation*}
    J_1 \leq \displaystyle\int\limits_{\Omega \backslash B(a, kh)} 
        \frac{M (f_w, a, d(a, \sigma))}{\pow{d \left[ (a, \sigma) \right]}{\nu + \Re\alpha +1}} \d\sigma \leq
            c_0\,c_1\,\displaystyle\int\limits_h^l \frac{M (f_w, a, t)}{\pow{t}{\Re\alpha + 2}} \d t. 
\end{equation*}

\subsubsection*{Оценка $J_2$.}
На $H_2$ воспользуемся \eqref{important_techno}, \eqref{techno_01}
и Леммой \ref{Lemma_2}:
\begin{equation*}
    J_2 \leq 
        6\,\displaystyle\int\limits_{\Omega \backslash B(x, kh)} \frac{M \left(f_w, x, d(x, \sigma \right))}{\pow{d}{\nu + \Re\alpha + 1} (x, \sigma)} \d\sigma
            \leq C_1\,\displaystyle\int\limits_h^l \frac{M \left( f_w, x, d(x, \sigma) \right)}{\pow{d}{\Re\alpha + 2} (x, \sigma)} \d\sigma.
\end{equation*}
В заключение отметим, что 
\begin{equation*} 
    \begin{array}{ccc}
        \displaystyle\frac{h}{\pow{t}{\Re \alpha + 2}} \leq 
            \displaystyle\frac{\pow{h}{r} \, \pow{t}{1-r}}{\pow{t}{\Re \alpha + 2}} =
            \displaystyle\frac{\pow{h}{r}}{\pow{t}{r + \Re \alpha + 1}}, 
                & h \leq t, & r \leq 1.
    \end{array}
\end{equation*}

Таким образом, имеем для последнего слагаемого из представления \eqref{general_repr}:
\begin{equation} \label{result_04} \tag{$R_4$}
    \abs{J} \leq C_1\,C_2\,\pow{h}{r} \, 
        \left\{ \,
            \displaystyle\int\limits_{h}^l \displaystyle\frac{M (f_w, x, t)}{\pow{t}{r + \Re \alpha + 1}} \d t +
            \displaystyle\int\limits_{h}^l \displaystyle\frac{M (f_w, a, t)}{\pow{t}{r + \Re \alpha + 1}} \d t
        \, \right\}.
\end{equation}

\subsection*{Завершающие выводы.} 
Объединив полученные выше оценки 
\eqref{result_01} -- \eqref{result_04}, 
получаем утверждение доказываемой теоремы. 
Интересно отметить, что константа $c$, 
с которой оно справедливо, 
представляет собой произведение 
$C_1$ и $C_2$, значения которых 
могут быть исследованы в контексте конкретной задачи.
\end{proof}

\section*{Теоремы о действии}
Доказанные далее теоремы утверждают условия ограниченности интегральных операторов 
$D^{\,\alpha}$ (из Определения \ref{HSI}) и \eqref{D_op}, 
в пространствах обобщенной переменной, а также локальной обобщенной гёльдеровости 
со степенным весом \eqref{weight}.
Они существенно опираются на результат, полученный в \cite{Vakulov2009}, 
и сформулированы в контексте применяемых в этой работе понятий: восстановим последний.

\subsection*{Пространства обобщенной переменной гёльдеровости}
Пусть $\Omega$ удовлетворяет условиям \eqref{Omega}.
Востребовано
\begin{definition} \label{W}
    Будем говорить, что 
    \begin{equation*}
        \begin{array}{cc}
            \omega \in W_l (\Omega), 
            & \text{где} \quad 
                \omega: \Omega \times (0, l]
                    \rightarrow [0, \, \infty),
        \end{array}
    \end{equation*}
    если выполнены следующие условия:
    \begin{enumerate}
        \item $\forall x \in \Omega$: $\quad \omega (x, h)$ --- 
        непрерывная, почти возрастающая по $h \in (0, l]$, и 
        $$\lim\limits_{h \to +0} \omega (x, h) = 0;$$
        \item $\inf\limits_{x \in \Omega} \omega (x, h) > 0$ при $h > 0$.
    \end{enumerate}
\end{definition}
\noindent В дальнейшем будем использовать $\omega (x, h)$ как функциональный параметр, 
который называют \textit{характеристикой} обобщенного пространства Гёльдера.

\begin{definition}
    Будем называть пространством $\Hom{\Omega}$ обобщенной переменной гёльедровости
    линейное пространство функций, удовлетворяющих неравенству
    \begin{equation*} 
        \begin{array}{cccc}
            \forall (x, h) \in \Omega \times (0, l]:
            & M (f, x, h) \leq c \, \omega (x, h),
            & \omega \in W_l (\Omega),
            & 0 < c < \infty,
        \end{array}
    \end{equation*}
    где $M$ означает модуль субметрии $\omega_\Omega$, 
    если, для данных $f$ и $\Omega$, 
    он полуаддитивен по $h \in (0, l]$, 
    или его минимальную мажоранту 
    из класса локальных модулей непрерывности в смысле
    Определения \ref{ContMod}.
\end{definition}

Пространство $\Hom{\Omega}$ является банаховым относительно нормы
\begin{equation*} 
    {\Vert f \Vert}_{\Hom{\Omega}} = {\Vert f \Vert}_{C (\Omega)} + 
        \sup\limits_{\substack{x \in \Omega, \\ 
        h \in (0, l]}}\displaystyle\frac{M (f, x, h)}{\omega (x, h)},
\end{equation*}
где через $C (\Omega)$ обозначено пространство непрерывных на $\Omega$ функций. 
%которое можно определить в терминах модуля субметрии:
%\begin{equation*}
%    C(\Omega) := \set{f}{ 
%            \lim\limits_{h \to +0} \omega_\Omega (f, x, h) = 0, \quad \forall x \in \Omega
%    }.
%\end{equation*}

Весовое пространство $C(\Omega, w)$ определим обычным образом, 
но для работы с весом \eqref{weight} приведем
\begin{definition} \label{H0_space}
    Пусть $\Omega_0 \subset \Omega$.
    Функцию $f \in C(\Omega, w)$ отнесем к 
    $H_0^{\,\omega(\cdot)} (\Omega, w)$, 
    если
    \begin{equation*}
        w \, f \in \Hom{\Omega}
            \quad \text{и} 
        \quad \forall x \in \Omega_0: 
            \quad (w \, f)(x) = 0.
    \end{equation*}
\end{definition}
\noindent Докажем ограниченность гиперсингулярного интеграла $D^{\,\alpha}$ при отображении функции из 
$H_0^{\,\omega(\cdot)} (\Omega, w_a)$, 
считая $\Omega_0 = \left\{ a \right\}$.

\subsection*{Основной результат}
Спецификацией класса $W_l$ является класс Бари--Стечкина, 
который имеет следующее определение:
\begin{definition}
    Функция $\omega \in W_l (\Omega)$ принадлежит классу Бари--Стечкина
    $\Phi_{\, \beta}^{\,\delta}$,  
    $0 \leq\delta < \beta$,
    если одновременно выполнены следующие условия:
    \begin{equation} \label{B-St class}
        \begin{array}{cc}
            \displaystyle \int\limits_0^h \pow{\left( \frac{h}{t} \right)}{\delta} \frac{\omega (x, t)}{t} \d t \leq c \, \omega (x, h), &
            \displaystyle \int\limits_h^l \pow{\left( \frac{h}{t} \right)}{\beta} \frac{\omega (x, t)}{t} \d t \leq c \, \omega (x, h),
        \end{array}
    \end{equation}
    где $x \in \Omega$, $\displaystyle 0 < h \leq l$, постоянная $c > 0$ не зависит ни от $x$, ни от $h$.
\end{definition}

\begin{theorem} \label{b_theorem}
    Пусть гёльдеровская характеристика 
    \begin{equation} \label{B-St_cond}
        \begin{array}{cc}
            \omega \in \Phi_{\, 1 + \Re \alpha}^{\, \Re \alpha}, & 
                0 < \Re \alpha < 1,
        \end{array}
    \end{equation}
    а также удовлетворяет условию непрерывности типа Дини: 
    \begin{equation} \label{D_cond}
        \begin{multlined}
            c_1 \, \omega \left( y, d(x, y) \right) \leq 
                \omega \left( x, d(x, y) \right) 
                    \leq c_2 \, \omega \left( y, d(x, y) \right), \\
            \begin{array}{ccc}
                x, y \in \Omega, & 0 < c_1, c_2 < \infty.
            \end{array}
        \end{multlined}
    \end{equation}
    Тогда оператор $\pow{D}{\alpha}$ ограничен из $\pow{H}{\omega (\cdot)} (\Omega)$ 
    в $\pow{H}{\omega_{\,-\alpha} (\cdot)} (\Omega)$ 
    с характеристикой
    \begin{equation} \label{char} \tag{$\omega_\alpha$}
        \begin{array}{cc}
            \omega_{-\alpha} (x, h) := \pow{h}{-\Re \alpha} \, \omega (x, h), 
                & 0 < h \leq l < \infty.
        \end{array}
    \end{equation}
\end{theorem}

Теорема \ref{b_theorem} доказывалась в работе \cite{Samko2010}.
Новый результат представляет
\begin{theorem} \label{b_theorem_w}
    Пусть 
    характеристика $\omega (x, h)$ удовлетворяет условиям \eqref{B-St_cond} и \eqref{D_cond}, 
    а также, для всякого $h > 0$, условию
    \begin{equation} \label{omega_cond}
        \begin{array}{cc}
            \sup\limits_{x \in \Omega} \displaystyle\frac{\omega (a, h)}{\omega (x, h)} \leq c_\omega,
            & 0 < c_\omega < \infty.
        \end{array}
    \end{equation}
    Тогда оператор $\pow{D}{\alpha}$ ограничен из $\pow{H}{\omega (\cdot)} \left( \Omega, w_a \right)$
    в $\pow{H}{\omega_{\,-\alpha} (\cdot)} \left( \Omega, w_a \right)$
    с характеристикой \eqref{char} и степенным весом 
    \eqref{weight}.
\end{theorem}

\begin{proof}
    По предположению теоремы выполнено: 
    \begin{equation} \label{presup}
        \begin{array}{ccc}
            \forall x \in \Omega: \quad 
                M(w_a \, f, x, h) \leq C\,\omega(x, h),
            & h \in (0, l],
            & 0 < l \leq \diam{\Omega},
        \end{array}
    \end{equation}
    где в качестве $M$ выступает $\omega_\Omega$ 
    или его минимальная мажоранта из класса локальных модулей непрерывности.

    Воспользуемся аддитивным представлением \eqref{repr_02}.
    Ограниченность первого слагаемого в правой его части 
    утверждается Теоремой \ref{b_theorem}.
    Ограниченность же оператора $\Ds{\Omega}$ на функции $H_0^{\,\omega(\cdot)} (\Omega, w_a)$ 
    следует из оценки типа Зигмунда, 
    указанной в Теореме \ref{Zygmund_estimate}.

    Действительно, на основании \eqref{presup} имеет место неравенство:
    \begin{multline*}
            \displaystyle\frac{\dist{\Ds{\Omega} f_w (x)}{\Ds{\Omega} f_w (y)}}{\pow{h}{-\Re \alpha} \, \omega (x, h)} \leq 
            \displaystyle\frac{c}{\omega (x, h)}\,
                \left\{ \sum\limits_{z \in \{ a, x, y \}}  \displaystyle\int\limits_0^h \pow{\left( \frac{h}{t} \right)}{\Re\alpha} \frac{\omega (z, t)}{t} \d t + \right. \\[10pt]
                    \left. + \sum\limits_{z \in \{ a, x \}} \displaystyle\int\limits_h^l \pow{\left( \frac{h}{t} \right)}{r + \Re\alpha} \frac{\omega (z, t)}{t} \d t \right\}, 
        \quad 0 < c < \infty,
    \end{multline*}
    \noindent Справедливы следующие рассуждения:
    \begin{itemize}
        \item слагаемые с $z = a$ получают мажоранту нужного вида немедленно ввиду условия \eqref{omega_cond} доказываемой теоремы, которое влечет оценку
        \begin{equation*}
            \begin{array}{cc}
                \displaystyle\frac{c}{\omega (x, h)} \leq 
                    \displaystyle\frac{c}{\omega (a, h)} \,
                    \sup\limits_{x \in \Omega} \displaystyle\frac{\omega (a, h)}{\omega (x, h)} \leq
                        \frac{c\,c_\omega}{\omega (a, h)},
                & h > 0;
            \end{array}
        \end{equation*}
        \item слагаемые, где $z = x$, оцениваются непосредственно исходя из определения класса Бари--Стечкина;
        \item для оценки слагаемых, у которых $z = y$, учтем требование \eqref{D_cond}, которое сводит этот случай к предыдущему.
    \end{itemize}
\end{proof}

Заметим, что, если при всяком $h > 0$ функция $\omega (x, h)$
достигает минимума в точке $x = a$, то 
условие \eqref{omega_cond} может быть 
очевидным образом переформулировано с константой $c_\omega = 1$.

\subsection*{Локальное обобщенное пространство Гёльдера}
Предложим одно обобщение локальной непрерывности по Гёльдеру 
в терминах введенного выше модуля \eqref{M}. 
Как и ранее, рассматривается метрическое пространство $X$ с мерой, 
которое удовлетворяет условиям \eqref{growing_condition}, 
\eqref{tr_in}, \eqref{inv_tr_in}.
\begin{definition}
    Пусть
    $\Omega \subset X$ удовлетворяет \eqref{Omega}.
    Будем понимать под локальным обобщенным пространством
    Гёльдера $\mathcal{H}^{\,\omega(\cdot)} (\Omega)$
    линейное пространство функций, 
    удовлетворяющих условию
    \begin{equation*}
        \begin{array}{cccc}
            M_\Omega (f, x, h) \leq c\,\omega(x, h), 
            & x \in \Omega, 
            & h \in (0, l],
            & 0 < c < \infty,
        \end{array}
    \end{equation*}
    где предполагается
    \begin{equation*}
        \begin{array}{cc}
            \omega \in W_l (\Omega),
            & 0 < l \leq \diam{\Omega}.
        \end{array}
    \end{equation*}
\end{definition}
\noindent Аналогично Определению \ref{H0_space} 
составим определение 
$\mathcal{H}^{\,\omega(\cdot)}_0 (\Omega, w)$.
В силу \eqref{cont_mod_prop02} выполнено следующее соотношение:
\begin{equation*}
        \begin{array}{ccc}
        \forall x \in \Omega: \quad
            \omega_\Omega (f, x, h) \leq
            2\,M_\Omega (f, x, h), 
            & h \in (0, l], 
            & 0 < l < \infty,
        \end{array}
\end{equation*}
что позволяет утверждать о теоретико-множественном включении 
$\mathcal{H}$-пространств в $H$-пространства 
хотя бы в том случае, когда $\omega_\Omega$ 
принадлежит классу локальных модулей непрерывности; 
обратное же не гарантировано.

Из Теоремы \ref{Zygmund_estimate} непосредственно 
следует ограниченность оператора $\Ds{\Omega}$ 
при отображении функции из $\mathcal{H}_0 (\Omega, w)$:
\begin{theorem} \label{b_theorem_01}
    Пусть выполнены условия Теоремы \ref{b_theorem_w}.
    Оператор $\Ds{\Omega}$ ограничен из 
    $\mathcal{H}^{\,\omega(\cdot)}_0 (\Omega, w_a)$ в
    $\mathcal{H}^{\,\omega_\alpha (\cdot)}_0 (\Omega, w_a)$, 
    где имеют место определения \eqref{char}, \eqref{weight}.
\end{theorem}
\noindent Рассуждения в основе доказательства Теоремы \ref{b_theorem_01} повторяют таковые для 
Теоремы \ref{b_theorem_w}, не представляя существенной новизны.
Относительно оператора $D^{\,\alpha}$ 
из Определения \ref{HSI} сформулируем, имея в виду методику получения оценок типа Зигмунда 
в безвесовом случае,
\begin{proposition}
    В предпосылках Теоремы \ref{b_theorem_w} гиперсингулярный интеграл $D^{\,\alpha}$ 
    ограничен из $\mathcal{H}^{\,\omega(\cdot)}_0 (\Omega, w_a)$ в
    $\mathcal{H}^{\,\omega_\alpha (\cdot)}_0 (\Omega, w_a)$.
\end{proposition}

\bigskip
\bibliographystyle{unsrtnat}
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии). 

% Введение

\bibitem{SKM} S. G. Samko, A. A. Marichev, O. I. Kilbas,
{\it Fractional integrals and derivatives: theory and applications}, 
Gordon and Breach Science Publishers, Philadelphia, PA, 1993.

\bibitem{GT} D. Gilbarg, N. S. Trudinger,
{\it Elliptic Partial Differential Equations of Second Order},
Springer-Verlag, 2001.

\bibitem{Drobotov2024} Yu. E. Drobotov, B. G. Vakulov, 
{\it Hypersingular integrals in power-weighted variable generalized H\"older spaces over metric measure spaces}, J Math Sci (2024)

% Обзор области

    % Дробное интегродифференцирование с точки зрения спектральных теорий

\bibitem{Samko1976} S. G. Samko,
{\it On spaces of Riesz potentials}, Izv. Math., {\bf 10}:5 (1976), 1089--1117.

\bibitem{Samko1977} S. G. Samko,
{\it Generalized Riesz potentials and hypersingular integrals, their symbols and inversion},
Dokl. Akad. Nauk SSSR, {\bf 232}:3 (1977), 528--531.

\bibitem{Samko1977_Sphere} S. G. Samko,
{\it Spherical potentials, spherical Riesz differentiation, and their applications},
Russian Math. (Iz. VUZ), {\bf 21}:2 (1977), 106--110.

\bibitem{Samko1980} S. G. Samko,
{\it Generalized Riesz potentials and hypersingular integrals with homogeneous characteristics; their symbols and inversion},
Proc. Steklov Inst. Math., {\bf 156} (1980), 173--243.

\bibitem{Samko1983} S. G. Samko,
{\it Singular integrals over a sphere and the construction of the characteristic from the symbol},
Russian Math. (Iz. VUZ), {\bf 27}:4 (1983), 35--52.

\bibitem{Vakulov1986} B. G. Vakulov,
{\it An operator of potential type on a sphere in generalized H\"older classes}, 
Russian Math. (Iz. VUZ), {\bf 30}:11 (1986), 90--94.

    % Пространства Гёльдера как пространства Бесова
\bibitem{Dzh1985} A. S. Dzhafarov, 
{\it Konstruktivnoe opisanie obobshhennyh klassov Besova na mnogomernoj sfere}, 
DAN SSSR, {\bf 285}: 3 (1985), 542--546.

\bibitem{Gadzh} A. D. Gadzhiev, H. P. Rustamov,
{\it Jekvivalentnaja normirovka v prostranstvah Besova na sfere i svojstva simvola mnogomernogo singuljarnogo integrala},
Izv. vuzov, Matemat., {\bf 9} (1984), 69--71.

\bibitem{Petrova} I. V. Petrova, 
{\it Teorema Dzheksona i prostranstva Besova na sfere}, DAN SSSR, Vol. 276, 3 (1984), 544--549.
   
    % Пространства Гёльдера через дифференцирование
\bibitem{Nik} S. M. Nikolsky, Lizorkin P. I.
{\it Priblizhenie spericheskimi polinomami}, Tr. MIAN SSSR, Moscow, 166, 1984, 186--200. 

    % Эквивалентные нормировки
\bibitem{Vakulov1987} B. G. Vakulov, S. G. Samko,
{\it Equivalent normings in spaces of functions of fractional smoothness on the sphere, of type $C^\lambda (\mathbb{S}_{n-1})$, $H^\lambda (\mathbb{S}_{n-1})$}, 
Russian Math. (Iz. VUZ), {\bf 31}: 12 (1987), 90--95. 

\bibitem{Samko2000} S. G. Samko, B. G. Vakulov,
{\it On equivalent norms in fractional order function spaces of continuous functions on the unit sphere}, 
Fract. Calc. Appl. Anal., {\bf 3}: 4 (2000), 401--433.

\bibitem{Vakulov2001} B. G. Vakulov, 
{\it Ob ekvivalentnyh normirovkah v prostranstvah funkcij kompleksnoj gladkosti na sfere}, 
Proceedings of the Institute of Mathematics, {\bf 9} (2001), 41--44. 
    
    % Обобщенная гёльдеровость
\bibitem{Dzh1966} A. S. Dzhafarov,
{\it Nailuchshee priblizhenie konechnymi sfericheskimi summami i nekotorye differencial'nye svojstva garmonicheskih v share funkcij}, 
Teoremy vlozheniya i ih prilozheniya. Trudy simpoziuma po teoremam vlozheniya. Baku, 1966 god, 
Nauka, 1970, 75--81.

\bibitem{GusMuht} A. I. Gusejnov, H. Sh. Muhtarov,
{\it Vvedenie v teoriyu nelinejnyh singulyarnyh integral'nyh uravnenij}, 
Nauka, Moscow, 1980.

\bibitem{Rust} H. P. Rustamov, 
{\it O tochnosti gladkostnyh svojstv simvola mnogomernogo singuljarnogo operatora s nepreryvnoj harakteristikoj}, Deponirovanie v VINITI, Baku, 1981,
№5014-81 DEP.

    % Операторы и обобщенная гёльдеровость
\bibitem{Shank} L. D. Shankishvili
{\it Operatory tipa sfericheskogo potenciala kompleksnogo porjadka v obobshhjonnyh prostranstvah Gjol'dera},
Deponirovanie v VINITI 23.03.98, №860-В98.

\bibitem{Vakulov1999} B. G. Vakulov, 
{\it Sfericheskie operatory tipa potenciala v obobshchennyh prostranstvah Gel'dera s vesom na sfere}, 
Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Severo-Kavkazskij region. Seriya: estestvennye nauki, 
{\bf 4} (1999), 5--10.

\bibitem{Vakulov2001_1} B. G. Vakulov, N. K. Karapetians, L. D. Shankisdvili,
{\it Spherical hypersingular operators of imaginary order and their multipliers}, 
Fractional Calculus and Applied Analysis, 
{\bf 4} : 1 (2001), 101.

\bibitem{Vakulov2003_1} B. G. Vakulov, N. K. Karapetjanc, L. D. Shankishvili,
{\it Spherical convolution operators with a power-logarithmic kernel in generalized H\"lder spaces}, 
Russian Math. (Iz. VUZ), {\bf 47}:2 (2003), 1--12.

\bibitem{Vakulov2018} B. G. Vakulov, G. S. Kostetskaya, Yu. E. Drobotov,
{\it Riesz potentials in generalized H\"older spaces}, 
Fractal Approaches for Modeling Financial Assets and Predicting Crises, 
IGI Global, 249--273.

\bibitem{Vakulov2021_IGI} B. G. Vakulov, Yu. E. Drobotov,
{\it Riesz potential with logarithmic kernel in generalized H\"older spaces}, 
Recent Applications of Financial Risk Modelling and Portfolio Management, 
IGI Global, 275--296.

\bibitem{Vakulov2021_Springer} B. G. Vakulov, Yu. E. Drobotov,
{\it The Riesz potential type operator with a power-logarithmic kernel in the generalized H\"older spaces on a sphere}, 
Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications, 
Springer International Publishing, Cham, 147--159.

\bibitem{Drobotov2022} Yu. E. Drobotov, B. G. Vakulov, 
{\it Smoothness properties of a Riesz potential type operator with logarithmic characteristic }, 
University News. North-Caucasus Region. Natural Sciences Series, \textbf{1} (2022), 4--11.

\bibitem{Drobotov2023} Yu. E. Drobotov, B. G. Vakulov,
{\it The Riesz potential type operator with a power-logarithmic kernel in the generalized H\"older spaces on a sphere},
Springer Proceedings in Materials, \textbf{20} (2023), 120--132.

    % Интегродифференцирование переменного порядка
\bibitem{Samko1993} S. G. Samko, B. Ross,
{\it Integration and differentiation to a variable fractional order}, 
Integral Transform. Spec. Funct, 1 (1993), 277--300.

\bibitem{Samko1995} S. G. Samko, 
{\it Fractional integration and differentiation of variable order}, Anal. Math., {\bf 21} (1995), 213--236.

\bibitem{Vakulov2010} B. G. Vakulov, E. S. Kochurov,
{\it Operatory drobnogo integrirovanija i differencirovanija peremennogo porjadka v prostranstvah Gjol'dera $H^{\omega (x, t)}$},
Vladikavkazskij matematicheskij zhurnal, {\bf 12}: 4 (2010), 3--11.

\bibitem{Vakulov2011} B. G. Vakulov, E. S. Kochurov,
{\it Ocenki tipa Zigmunda dlja operatorov drobnogo integrirovanija i differencirovanija peremennogo porjadka},
Izv. vuzov. Sev. Kavk. region. Estestv. nauki. Specvypusk (2011), 15--17.

\bibitem{Vakulov2011_1} B. G. Vakulov, E. S. Kochurov, N. G. Samko,
{\it Zygmund-type estimates for fractional integration and differentiation operators of variable order},
Russian Mathematics, {\bf 55}: 6 (2011), 20--28.

    % Переменная и обобщенная переменная гёльдеровость (и лебеговость)
\bibitem{Samko1998} S. G. Samko, 
{\it Differentiation and integration of variable order and the spaces $L^{p(x)}$}, 
Contemporary Mathematics, {\bf 212} (1998), 203--219.

\bibitem{Vakulov2005_3} B. G. Vakulov, S. G. Samko, 
{\it A weighted Sobolev theorem for spatial and spherical potentials in Lebesgue spaces with variable exponents}, 
Doklady Mathematics, {\bf 72} : 1 (2005), 487--490.

\bibitem{Samko2007_1} S. Samko,  E. Shargorodsky, B. Vakulov,
{\it Weighted Sobolev theorem with variable exponent for spatial and spherical potential operators, II}, 
Journal of Mathematical Analysis and Applicationsthis, {\bf 325}: 1 (2007), 745--751. 

\bibitem{Samko2007_2} N. G. Samko, S. G. Samko, B. G. Vakulov,
{\it Weighted Sobolev theorem in Lebesgue spaces with variable exponent}, 
Journal of Mathematical Analysis and Applicationsthis, {\bf 335}: 1 (2007), 560--583.

\bibitem{Ginsburg} A. I. Ginsburg, N. K. Karapetyants,
{\it Drobnoe integrodifferencirovanie v gel'derovskih klassah peremennogo porjadka},
 Doklady RAN, {\bf 339}: 4 (1994), 439--441.

\bibitem{Ross} B. Ross, S. G. Samko, 
{\it Fractional integration operator of a variable order in the H\"older spaces $H^{\lambda (x)}$}, 
Internat. J. Math. Math. Sci., {\bf 18} (1995), 777--788.

\bibitem{Vakulov2005} B. G. Vakulov,
{\it Sfericheskie operatory tipa potenciala v vesovyh prostranstvah Gjol'dera peremennogo porjadka}, 
Vladikavkazskij matematicheskij zhurnal, {\bf 7}: 2 (2005), 26--40. 

\bibitem{Vakulov2005_1} B. G. Vakulov,
{\it Spherical potentials in weighted H\"older spaces of variable order}, 
Doklady Mathematics, {\bf 71}: 1 (2005), 1--14. 

\bibitem{Vakulov2005_2} B. G. Vakulov,
{\it Spherical potentials of complex order in the variable order H\"older spaces}, 
Integral Transforms and Special Functions, {\bf 16}: 5-6 (2005), 489--497. 

\bibitem{Vakulov2006} B. G. Vakulov,
{\it Spherical convolution operators in spaces of variable H\"older order}, 
Mathematical Notes, {\bf 80}: 5--6 (2006), 645--657. 

\bibitem{Vakulov2020} B. G. Vakulov, Yu. E. Drobotov,
{\it Riesz potential with integrable density in H\"older-variable spaces}, 
Mathematical Notes, \textbf{108}:5 (2020), 669--678.

\bibitem{Vakulov2006_1} B. G. Vakulov,
{\it Spherical potentials of complex order in generalized H\"older spaces of variable order}, 
Doklady Akademii Nauk, \textbf{407}:1 (2006), 12--15.

\bibitem{Samko2011} N. Samko, B. Vakulov,
{\it Spherical fractional and hypersingular integrals of variable order in generalized H\"older spaces with variable characteristic}, 
Mathematische Nachrichten, {\bf 284}: 2--3 (2011), 355--369.

\bibitem{Vakulov2017} B. G. Vakulov, Yu. E. Drobotov,
{\it Variable order Riesz potential over $\mathbb{\dot{R}}^n$ on weighted generalized variable H\"older spaces}, 
Sibirskie Elektronnye Matematicheskie Izvestiya, \textbf{14} (2017), 647--656.

\bibitem{Vakulov2009} B. G. Vakulov, N. G. Samko, S. G. Samko, 
{\it Operatory tipa potenciala i gipersingulyarnye integraly v prostranstvah Gyol'dera peremennogo poryadka na odnorodnyh prostranstvah}, 
Izv. vuzov. Sev. Kavk. region. Estestv. nauki. Specvypusk, (2009), 40--45.

\bibitem{Samko2010} N. Samko, S. Samko, B. Vakulov,
{\it Fractional integrals and hypersingular integrals in variable order H\"older spaces on homogeneous spaces}, 
Journal of Function Spaces and Applications, {\bf 8}:3 (2010), 215--244.

\bibitem{Samko2013} S. G. Samko,
{\it Potential operators in generalized H\"older spaces on sets in quasi-metric
measure spaces without the cancellation property}, 
Nonlinear Analysis, {\bf 78} (2013), 130--140.

\bibitem{Kar2021} A. Karapetyants, S. Samko,
{\it Variable order fractional integrals in variable generalized H\"older spaces of holomorphic functions},
Analysis and Mathematical Physics, \textbf{11}:156 (2021).

\bibitem{Kosov2017} E. D. Kosov, 
{\it A Characterization of Besov Classes in Terms of a New Modulus of Continuity},
Doklady Mathematics, \textbf{96}:3 (2017), 587--590.

\bibitem{Kosov2019} E. D. Kosov, 
{\it Besov classes on finite and infinite dimensional spaces}, 
Sb. Math., \textbf{210}:5 (2019), 663--692.

    % Работы по пространствам Морри
\bibitem{Goldman2020} M. L. Gol'dman, E. G. Bakhtigareeva,
{\it Application of general approach to the theory of Morrey-type spaces}, 
Mathematical Methods in the Applied Sciences, \textbf{43}:16 (2020), 9435--9447.

\bibitem{Samko2020} S. G. Samko, S. M. Umarkhadzhiev,
{\it Grand Morrey type spaces}, 
Vladikavkaz Mathematical Journal, \textbf{22}:4 (2020), 104--118.

\bibitem{Avsyankin2021} O. G. Avsyankin, 
{\it On integral operators with homogeneous kernels in Morrey spaces},
Eurasian Math. J., \textbf{12}:1 (2021), 92–96

    
\bibitem{Bur2021} V. I. Burenkov, M. A. Senouci,
{\it Boundedness of the generalized Riesz potential in local Morrey type spaces}, 
Eurasian Math. J., \textbf{12}:4 (2021), 92--98.

\bibitem{Bur2021_1} V. I. Burenkov, E. D. Nursultanov, 
{\it Interpolation theorems for nonlinear operators in general Morrey-type spaces and their applications}, 
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematicsthis link is disabled, \textbf{312}:1 (2021), 124--149.
   
\bibitem{Eki2022} I. Ekincioglu, S. M. Umarkhadzhiev,
{\it Oscillatory integrals with variable Calderon-Zygmund kernel on generalized weighted Morrey spaces}, 
Transactions Issue Mathematics, Azerbaijan National Academy of Sciences, \textbf{42}:1 (2022), 99--110.

    % Гранд-пространства Лебега
\bibitem{Um2014} S. M. Umarkhadzhiev,
{\it Generalization of a notion of grand Lebesgue space}, 
Russian Math. (Iz. VUZ), \textbf{58}:4 (2014), 35--43.

\bibitem{Um2015} S. M. Umarkhadzhiev, Yu. E. Drobotov,
{\it Riesz potential in generalized grand Lebesgue space}, 
Bulletin of the Academy of Sciences of the Chechen Republic, \textbf{4}(29) (2015), 26--29.

\bibitem{Drobotov2018} Yu. E. Drobotov, S. M. Umarkhadzhiev, 
{\it Riesz potential with homogeneous kernel in grand Lebesgue spaces on semi-axis}, 
Bulletin of the Academy of Sciences of the Chechen Republic, \textbf{1}(38) (2018), 18--25.

\bibitem{Um2020} S. M. Umarkhadzhiev,
{\it On elliptic homogeneous differential operators in grand spaces}, 
Russian Mathematics, \textbf{64}:3 (2020), 57--65.

\bibitem{Um2021} S. M. Umarkhadzhiev,
{\it Unilateral ball potentials in grand Lebesgue spaces}, 
Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, \textbf{357} (2021), 569--576.

\bibitem{Samko2021} S. G. Samko, S. M. Umarkhadzhiev,
{\it Local grand Lebesgue spaces}, 
Vladikavkaz Mathematical Journal, \textbf{23}:4 (2021), 96--108.

\bibitem{Samko2022} S. G. Samko, S. M. Umarkhadzhiev,
{\it Weighted Hardy operators in grand Lebesgue spaces on $\mathbb{R}^n$}, 
J Math Sci (2022)

\bibitem{Raf2022_1} H. Rafeiro, S. Samko, S. Umarkhadzhiev,
{\it Grand Lebesgue space for $p = \infty$ and its application to Sobolev--Adams embedding theorems in borderline cases}, 
Mathematische Nachrichten, {\bf 295}: 5 (2022), 991--1007.

\bibitem{Raf2022_2} H. Rafeiro, S. Samko, S. Umarkhadzhiev,
{\it Local grand Lebesgue spaces on quasi-metric measure spaces and some applications}, 
Positivity, {\bf 26}: 3 (2022), 53.

    % Гранд-пространства Лебега и пространства Мори
\bibitem{Um2022} S. M. Umarkhadzhiev,
{\it Embedding of grand central Morrey-type spaces into local grand weighted Lebesgue spaces}, 
J Math Sci (2022)

    % Приложения

\bibitem{Tarasov} V. E. Tarasov 
{\it Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media}, Springer Berlin, Heidelberg, 2010.

\bibitem{Parinov} I. A. Parinov, S. V. Zubkov, A. S. Skaliukh, V. A. Chebanenko, A. V. Cherpakov , Yu. E. Drobotov, 
{\it Advanced Ferroelectric and Piezoelectric Materials: With Improved Properties and their Applications}, World Scientific, 2024.

% Основная часть

\bibitem{Berestovskiy} V. N. Berestovskii,
{\it Submetries of space-forms of negative curvature}, 
Siberian Mathematical Journal, {\bf 28} (1987), 552--562.

\bibitem{HLP} G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. P\'olya,
{\it Inequalities},
Cambridge University Press, 1934.

\bibitem{Sobolev} S. L. Sobolev, 
{\it Vvedenie v teoriyu kubaturnyh formul}, 
Nauka, Moscow, 1974.

\end{thebibliography}
\end{document}
