
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{517.95} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{35R30} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Единственность решения обратной задачи]{Единственность решения обратной задачи для модели сложного теплообмена}
\author{{Г.В. ГРЕНКИН}}%
\address{Gleb Vladimirovich Grenkin  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Vladivostok State University,
\newline\hphantom{iii} ul. Gogolya, 41,
\newline\hphantom{iii} 690014, Vladivostok, Russia}%
\email{glebgrenkin@gmail.com}%

\thanks{\sc Grenkin, G.V.,
Uniqueness of solution of an inverse problem for a complex heat transfer model}
\thanks{\copyright \ 2023 Гренкин Г.В}
\thanks{\it Поступила 1 января 2015 г., опубликована 31 декабря 2015 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } The steady-state complex heat transfer model within
the $P_1$-approximation of the radiative transfer equation is considered.
An inverse problem of reconstructing heat sources intensities with given
volume densities from the prescribed values of functionals of heat sources densities
on the temperature field calculated without taking account of radiative effects is investigated. The uniqueness of the inverse problem solution is proved.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} radiative heat transfer, inverse problem, integral overdetermination.
 \end{quote}
}


\section{Введение}


Моделирование переноса тепла, учитывающее эффекты, связанные с распространением
теплового излучения, актуально как благодаря математической новизне задач,
так и в связи с возможным применением результатов теоретического и численного
анализа на практике.

Обширное количество литературы посвящено математическому исследованию
уравнений сложного теплообмена в рамках $P_1$-приближения уравнения переноса излучения.
В работах \cite{Pinnau1, Pinnau2, GrenCheb1, GrenCheb2, KovtCheb1, KovtCheb3, Inhomog} исследована корректность стационарных и нестационарных моделей,
в \cite{KovtCheb2, GrenCheb3, Grenkin2} изучены задачи оптимального управления граничными коэффициентами для этих моделей.
В работах \cite{Grenkin1, ChebPin} рассмотрены обратные задачи восстановления зависящих от времени интенсивностей источников для нестационарных уравнений сложного теплообмена с интегральным переопределением, доказана их однозначная разрешимость, когда в качестве переопределения берется интеграл от температуры, умноженной на функцию, описывающую источники тепла.
Наконец, в статьях \cite{Overdeterm, Chebotarev2021} для стационарных моделей сложного теплообмена поставлены обратные задачи восстановления неизвестных интенсивностей источников тепла по известным их объемным плотностям и заданному
интегральному переопределению --- значениям функционалов источников на поле температуры.
Доказано, что по этим данным всегда восстанавливаются интенсивности источников вместе с полем температуры, но единственность такого восстановления установлена при достаточно большом коэффициенте температуропроводности.
Сходные обратные задачи, но для линейных уравнений, изучались, например, в работах
\cite{Pyatkov2010, PyatkovUvarova, KovtOxy}.

В настоящей работе обратная задача поставлена по-другому --- функционалы источников
вычисляются на специальном поле температуры, вычисляемом без учета радиационных эффектов.
Для такой постановки показано, что якобиан отображения интенсивностей источников в значения функционалов является $P$-матрицей, отсюда из теоремы Гейла\,--\,Никайдо вытекает однозначность этого отображения. Таким образом, установлена единственность решения обратной задачи.


\section{Постановка обратной задачи}

Пусть $\Omega \subset \mathbb R^3$ --- липшицева ограниченная область с границей $\Gamma$, в которой
происходит процесс радиационно-кондуктивного теплообмена, описываемый функциями
$\theta$ --- установившееся поле температуры, $\varphi$ --- поле интенсивности
излучения, усредненной по всем направлениям. Установившийся процесс описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
\begin{gather}
\label{prob1}
-a\Delta\theta + b\kappa_a(|\theta|^3\theta - \varphi) = \sum_{i=1}^m q_if_i,
\\
\label{prob2}
-\alpha\Delta\varphi + \kappa_a(\varphi - |\theta|^3\theta) = 0
\end{gather}
с краевыми условиями
\begin{gather}
\label{prob3}
a\frac{\partial\theta}{\partial n} + \beta(\theta - \theta_b) = 0,
\quad
\alpha\frac{\partial\varphi}{\partial n} + \gamma(\varphi - \theta_b^4) = 0 \mbox{\;\;на $\Gamma$}.
\end{gather}
Здесь величины $\theta$ и $\varphi$ являются нормированными. Положительные постоянные параметры $a, b, \alpha, \kappa_a$ характеризуют радиационно-термические свойства среды, граничные функции $\beta, \gamma$ характеризуют отражающие свойства границы \cite{GrenCheb1}. Через $\partial/\partial n$ обозначена производная в направлении внешней нормали.

Для нахождения неизвестных интенсивностей источников тепла $q_i$ для поля температуры задается интегральное переопределение:
\begin{equation}
\label{prob4}
(f_j,S\theta) = r_j, \; j = 1, \dots, m.
\end{equation}
Здесь $f_j \in V'$ --- заданные функционалы, выражающие объемные плотности источников,
$S$ --- оператор, который по полю температуры $\theta$ дает поле температуры, вычисленное без учета радиационных эффектов, он будет определен ниже.

Для формализации краевой задачи будем использовать пространство Соболева $V = H^1(\Omega)$.
Через $(f, v)$ обозначаем значение функционала $f \in V'$ на элементе $v \in V$
и скалярное произведение в $L^2(\Omega)$, если $f, v \in L^2(\Omega)$.
Будем предполагать, что исходные данные удовлетворяют условиям:

(i)\;\;$\beta,\gamma \in L^\infty(\Gamma)$, $\beta \geq \beta_0 > 0$, $\gamma \geq \gamma_0 > 0$, $0 \leq \theta_b \in L^\infty(\Gamma)$,

(ii)\;$f_j \in V'$, $f_j$ линейно независимы.

Определим операторы $A_1, A_2 \colon V \to V'$ и функционалы $h_1, h_2 \in V'$ по формулам:
$$
(A_1\theta, v) = a(\nabla\theta, \nabla v) + \int_\Gamma \beta\theta v\,d\Gamma,\quad
(A_2\varphi, v) = \alpha(\nabla\varphi, \nabla v) + \int_\Gamma \gamma\varphi v\,d\Gamma,
$$
$$
(h_1, v) = \int_\Gamma \beta\theta_b v\,d\Gamma, \quad (h_2, v) = \int_\Gamma \gamma \theta_b^4 v\,d\Gamma.
$$

\begin{definition}
Пара $\{\theta,\varphi\}$ называется слабым решением задачи (\ref{prob1})--(\ref{prob3}),
если
$$
A_1\theta + b\kappa_a(|\theta|^3\theta - \varphi) = \sum_{i=1}^m q_if_i + h_1,
\quad
A_2\varphi + \kappa_a(\varphi - |\theta|^3\theta) = h_2.
$$
\end{definition}

\begin{theorem} \cite{Inhomog}
Пусть выполнены условия (i), (ii). Для любых чисел $q_j$ слабое решение задачи (\ref{prob1})--(\ref{prob3}) существует и единственно.
\end{theorem}

Определим поле температуры $\eta$, вычисляемое без учета радиационных эффектов, которое подчиняется уравнению
$$
A_1\eta = \sum_{i=1}^m q_i f_i + h_1.
$$
Можно показать, что при известных полях $\theta, \varphi$ поле $\eta$ можно найти по формуле $\eta = \theta + bA_1^{-1}(A_2\varphi - h_2)$. Следовательно, можно определить нелинейный оператор $S \colon V \to V$, который заданному полю $\theta$ сопоставляет поле $\eta$:
$$
\eta = S\theta = \theta + b\kappa_aA_1^{-1}A_2(A_2 + \kappa_aI)^{-1}(|\theta|^3\theta) - b\kappa_aA_1^{-1}(A_2 + \kappa_aI)^{-1}h_2.
$$


\begin{definition}
Вектор $\mathbf q = (q_1, \dots, q_m)$ вместе с парой $\{\theta, \varphi\}$ есть решение обратной задачи (\ref{prob1})--(\ref{prob4}), если для слабого решения $\{\theta = \theta(\mathbf q), \varphi = \varphi(\mathbf q)\}$ выполняются равенства
\begin{equation}
\label{nonlin-sys}
F_j(\mathbf q) \equiv (f_j, S\theta) = r_j, \; j = 1, \dots, m.
\end{equation}
\end{definition}


\section{Единственность решения обратной задачи}

Метод исследования единственности решения нелинейной системы (\ref{nonlin-sys})
состоит в анализе якобиана системы. Мы покажем, что якобиан данной системы
равен определителю матрицы Грама относительно скалярного произведения, порожденного положительным оператором, откуда следует положительная определенность якобиана. Далее применяется теорема о глобальной однозначности отображения с положительной матрицей Якоби.

\begin{lemma}
Справедлива формула
$$
\frac{\partial F_j(\mathbf q)}{\partial q_i} = \left(f_i, P[\theta(\mathbf q)](S'_\theta[\theta(\mathbf q)])^*f_j\right),
$$
где $P[\theta] \colon V' \to V$ --- оператор, который по функции $g$ дает решение $p_1 = P[\theta]g$ сопряженной задачи
\begin{equation*}
%\label{adj}
A_1p_1 + 4\kappa_a|\theta|^3(bp_1 - p_2) = g, \quad A_2p_2 + \kappa_a(p_2 - bp_1) = 0,
\end{equation*}
$S'_\theta[\theta] \colon V \to V$ --- оператор, действующий по формуле
$S'_\theta[\theta] h = h + 4b\kappa_aA_1^{-1}A_2(A_2 + \kappa_aI)^{-1}(|\theta|^3h)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Составляя и дифференцируя стандартным образом функцию Лагранжа
$$
\mathcal L(\theta, \mathbf q, p) = (f_j, S\theta) + (\mathcal F(\theta, \mathbf q), p),
$$
где $\mathcal F(\theta, \mathbf q) = 0$ --- уравнение, связывающее $\theta$ и $\mathbf q$,
$$
(\mathcal F(\theta, \mathbf q), v) = (A_1\theta, v) + b\kappa_a\left(|\theta|^3\theta - (A_2 + \kappa_aI)^{-1}(b\kappa_a|\theta|^3\theta), v\right) - \sum_{i=1}^m q_i(f_i, v),
$$
получим выражение для градиента функционала $F_j(\mathbf q)$ \cite[с. 63]{Hinze}:
$$
\frac{\partial F_j(\mathbf q)}{\partial q_i} = \mathcal L'_{\mathbf q}(\theta(\mathbf q), \mathbf q, p(\mathbf q)),
$$
где $p(\mathbf q)$ --- решение сопряженной задачи
$$
\mathcal L'_\theta(\theta(\mathbf q), \mathbf q, p) = 0.
$$
Отсюда получаем условие леммы. Отметим, что требуемое условие непрерывной обратимости
оператора $\mathcal F'_\theta(\theta, \mathbf q)$ следует из результатов \cite{Grenkin2}.
\end{proof}

\begin{corollary}
Справедлива формула
$$
\frac{\partial F_j(\mathbf q)}{\partial q_i} = \left(f_j, S'_\theta[\theta(\mathbf q)] P[\theta(\mathbf q)]^*f_i\right) = \left(f_j, A_1^{-1}f_i\right),
$$
где $P[\theta]^* \colon V' \to V$ --- оператор, который по функции $g$ дает решение $u = P[\theta]^*g$ линеаризованной задачи
\begin{equation*}
%\label{lin}
A_1u + b\kappa_a(4|\theta|^3u - z) = g, \quad A_2z + \kappa_a(z - 4|\theta|^3u) = 0.
\end{equation*}
\end{corollary}

\begin{corollary}
Якобиан $\dfrac{\partial F_j(\mathbf q)}{\partial q_i}$ является $P$-матрицей в любой точке $\mathbf q$.
\end{corollary}
%\begin{proof}
%Достаточно доказать, что $(y, Ry) > 0$ для любого $y \neq 0$, где
%$R \colon V' \to V$ --- оператор, определяемый формулой
%$R = S'_\theta[\theta(\mathbf q)] P[\theta(\mathbf q)]^*$.
%Для этого покажем, что $(A_1Ry, y) > 0$ для любого $y \neq 0$.

%Дальше допишу, там используется, что $(A_1Sy, y) = 0$, только когда $y = 0$ в
%силу единственности решения линеаризованной системы.

%\end{proof}

\begin{theorem}
Обратная задача (\ref{prob1})--(\ref{prob4}) имеет не более одного решения.
\end{theorem}

\begin{proof}
Из теоремы Гейла\,--\,Никайдо \cite{GaleNikaido} следует, что отображение $\mathbf q \mapsto \mathbf F(\mathbf q)$ однозначно.
\end{proof}


\section{Решение обратной задачи}

Применим результат анализа рассмотренной обратной задачи для решения обратной задачи в исходной постановке: найти неизвестные коэффициенты $q_i$, при которых выполняются условия интегрального переопределения:
$$
(f_j, \theta) = r_j,\;\; j = 1,\ldots, m.
$$

Для решения указанной задачи предлагается следующий алгоритм.
\begin{enumerate}
\item
Полагаем $s_j^{(1)} = r_j$ для $j = 1,\ldots,m$. Считаем $k = 1$.
\item
Решаем обратную задачу
\begin{gather*}
A_1\eta = \sum_{i=1}^m q_if_i + h_1,\\
(f_j, \eta) = s_j^{(k)},\;\; j = 1,\ldots,m,
\end{gather*}
находим коэффициенты $q_i = q_i^{(k)}$.
\item
Находим $\theta = \theta^{(k)}$, $\varphi = \varphi^{(k)}$,
где $\theta, \varphi$ --- решение задачи (\ref{prob1})--(\ref{prob3}) при $q_i = q_i^{(k)}$.
\item
Вычисляем $s_j^{(k+1)} = r_j + b(f_j, A_1^{-1}(A_2\varphi^{(k)} - h_2))$. Поскольку $(f_j, \theta^{(k)}) + b(f_j, A_1^{-1}(A_2\varphi^{(k)} - h_2)) = s_j^{(k)}$, то
$s_j^{(k+1)} = s_k^{(k)} + (r_j - (f_j, \theta^{(k)}))$.
\item
Переходим к шагу 2, увеличив $k$ на 1.
\end{enumerate}

По сравнению со стандартным методом Ньютона, который может быть использован для решения данной обратной задачи, представленной в качестве системы нелинейных алгебраических уравнений, в предлагаемом алгоритме на шаге 2 получается невырожденная система линейных уравнений для нахождения коэффициентов $q_i$.


\section{Выводы}

Таким образом, для корректной постановки обратной задачи можно отнести данные измерений не к самому полю температуры, а к специальному полю, вычисленному без учета радиационных эффектов. При таком выборе функционалов в переопределении обратная задача для уравнений сложного теплообмена обладает свойствами аналогичной обратной задачи для уравнения теплопроводности и является линейной. Поэтому для ее решения подойдут стандартные численные методы, ориентированные на системы линейных алгебраических уравнений.


%\begin{theorem}
%Формулировка теоремы.
%\end{theorem}

%\begin{proof}
%Текст доказательства.
%\end{proof}

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{Pinnau1}
R. Pinnau, 
{\it Analysis of optimal boundary control for radiative heat transfer modeled by $SP_1$-system,}
Commun. Math. Sci., {\bf 5}:4 (2007), 951--969.

\bibitem{Pinnau2}
O. Tse, R. Pinnau,
{\it Optimal control of a simplified natural convection–radiation model},
Commun. Math. Sci., {\bf 11}:3 (2013), 679--707.

\bibitem{GrenCheb1}
G.V. Grenkin, A.Yu. Chebotarev,
{\it Nonhomogeneous nonstationary problem of complex heat transfer},
Sib. Elektron. Mat. Izv., {\bf 12} (2015), 562--576.

\bibitem{GrenCheb2}
G.V. Grenkin, A.Yu. Chebotarev,
{\it Nonstationary problem of free convection with radiative heat transfer},
Comput. Math. Math. Phys., {\bf 56}:2 (2016), 278--285.

\bibitem{KovtCheb1}
A.E. Kovtanyuk, A.Yu. Chebotarev,
{\it Stationary free convection problem with radiative heat exchange},
Differ. Equations, {\bf 50}:12 (2014), 1592--1599.

\bibitem{KovtCheb3}
A.E. Kovtanyuk, A.Yu. Chebotarev, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,
{\it Unique solvability of a steady-state
complex heat transfer model}, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., {\bf 20}:3 (2015), 776--784.

\bibitem{Inhomog}
A.Yu. Chebotarev, G.V. Grenkin, A.E. Kovtanyuk,
{\it Inhomogeneous steady-state problem of complex heat transfer},
ESAIM Math. Model. Numer. Anal., {\bf 51}:6 (2017), 2511--2519.

\bibitem{KovtCheb2}
A.E. Kovtanyuk, A.Yu. Chebotarev, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,
{\it Theoretical analysis of an optimal
control problem of conductive–convective–radiative heat transfer},
J. Math. Anal. Appl., {\bf 412}:1 (2014), 520--528.

\bibitem{GrenCheb3}
G.V. Grenkin, A.Yu. Chebotarev, A.E. Kovtanyuk, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann, 
{\it Boundary optimal
control problem of complex heat transfer model},
J. Math. Anal. Appl., {\bf 433}:2 (2016), 1243--1260.

\bibitem{Grenkin2}
A.Yu. Chebotarev, A.E. Kovtanyuk, G.V. Grenkin, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,
{\it Nondegeneracy of optimality conditions in control problems
for a radiative-conductive heat transfer model},
Appl. Math. Comput., {\bf 289} (2016), 371--380.


\bibitem{Grenkin1}
G.V. Grenkin, A.Yu. Chebotarev,
{\it Inverse problem for equations of complex heat transfer},
Comput. Math. Math. Phys., {\bf 59}:8 (2019), 1420--1430.

\bibitem{ChebPin}
A.Yu. Chebotarev, R. Pinnau,
{\it An inverse problem for a quasi-static approximate model of radiative heat transfer},
J. Math. Anal. Appl., {\bf 472}:1 (2019), 314--327.

\bibitem{Overdeterm}
A.Yu. Chebotarev, G.V. Grenkin, A.E. Kovtanyuk, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,
{\it Inverse problem with finite overdetermination for steady-state equations of radiative heat exchange},
J. Math. Anal. Appl., {\bf 460}:2 (2018), 737--744.

\bibitem{Chebotarev2021}
A.Yu. Chebotarev,
{\it Inverse problem for equations of complex heat transfer with Fresnel matching conditions},
Comput. Math. Math. Phys., {\bf 61}:2 (2021), 303--311.

\bibitem{Pyatkov2010}
S.G. Pyatkov,
{\it On some inverse problems for elliptic equations and systems},
J. Appl. Industr. Math., {\bf 13}:4 (2010), 83--96.

\bibitem{PyatkovUvarova}
S.G. Pyatkov, M.V. Uvarova,
{\it On determining the source function in heat and mass transfer problems under integral overdetermination conditions},
J. Appl. Industr. Math., {\bf 19}:4 (2016), 93--100.

\bibitem{KovtOxy}
A. Kovtanyuk, A. Chebotarev, V. Turova, I. Sidorenko, R. Lampe, {\it Inverse problem for a linearized model of oxygen transport in brain}, 2020 Days on Diffraction (DD), 44--49.

\bibitem{Hinze}
M. Hinze, R. Pinnau, M. Ulbrich, S. Ulbrich,
{\it Optimization with PDE constraints},
Springer, 2009.

\bibitem{GaleNikaido}
D. Gale, H. Nikaido,
{\it The Jacobian matrix and global univalence of mappings},
Mathematische Annalen, {\bf 159}:2 (1965), 81--93.

\end{thebibliography}
\end{document}
