
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{517.95} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{35R30} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Единственность решения обратной задачи]{Единственность решения обратной задачи для модели сложного теплообмена}
\author{{Г.В. ГРЕНКИН}}%
\address{Gleb Vladimirovich Grenkin  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Vladivostok State University,
\newline\hphantom{iii} ul. Gogolya, 41,
\newline\hphantom{iii} 690014, Vladivostok, Russia}%
\email{glebgrenkin@gmail.com}%

\thanks{\sc Grenkin, G.V.,
Uniqueness of solution of an inverse problem for a complex heat transfer model}
\thanks{\copyright \ 2023 Гренкин Г.В}
\thanks{\it Поступила 1 января 2015 г., опубликована 31 декабря 2015 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } The steady-state complex heat transfer model within
the $P_1$-approximation of the radiative transfer equation is considered.
An inverse problem of reconstructing heat sources intensities with given
volume densities from the prescribed values of functionals of heat sources densities
on the field of total energy is investigated. The uniqueness of the inverse problem solution is proved.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} radiative heat transfer, inverse problem, integral overdetermination.
 \end{quote}
}


\section{Введение}


Моделирование переноса тепла, учитывающее эффекты, связанные с распространением
теплового излучения, актуально как благодаря математической новизне задач,
так и в связи с возможным применением результатов теоретического и численного
анализа на практике.

Обширное количество литературы посвящено математическому исследованию
уравнений сложного теплообмена в рамках $P_1$-приближения уравнения переноса излучения.
В работах \cite{Pinnau1, Pinnau2, GrenCheb1, GrenCheb2, KovtCheb1, KovtCheb3, Inhomog} исследована корректность стационарных и нестационарных моделей,
в \cite{KovtCheb2, GrenCheb3, Grenkin2} изучены задачи оптимального управления граничными коэффициентами для этих моделей.
В работах \cite{Grenkin1, ChebPin} рассмотрены обратные задачи восстановления зависящих от времени интенсивностей источников для нестационарных уравнений сложного теплообмена с интегральным переопределением, доказана их однозначная разрешимость, когда в качестве переопределения берется интеграл от температуры с весовой функцией, равной объемной плотности источника тепла.
Наконец, в статьях \cite{Overdeterm, Chebotarev2021} для стационарных моделей сложного теплообмена поставлены обратные задачи восстановления неизвестных интенсивностей источников тепла по известным их объемным плотностям и заданному
интегральному переопределению --- значениям функционалов источников на поле температуры.
Доказано, что по этим данным всегда восстанавливаются интенсивности источников вместе с полем температуры, но единственность такого восстановления установлена при достаточно большом коэффициенте температуропроводности.
Сходные обратные задачи, но для линейных уравнений, изучались, например, в работах
\cite{Pyatkov2010, PyatkovUvarova}.

В настоящей работе обратная задача поставлена по-другому --- функционалы источников
вычисляются не на поле температуры, а на специально определенном поле суммарной энергии, выраженной в единицах температуры. Для такой постановки показано, что якобиан отображения интенсивностей источников в значения функционалов является $P$-матрицей, отсюда из теоремы Гейла\,--\,Никайдо вытекает однозначность этого отображения. Таким образом, установлена единственность решения обратной задачи.


\section{Постановка обратной задачи}

Пусть $\Omega \subset \mathbb R^3$ --- липшицева ограниченная область, в которой
происходит процесс радиационно-кондуктивного теплообмена, описываемый функциями
$\theta$ --- установившееся поле температуры, $\varphi$ --- поле интенсивности
излучения, усредненной по всем направлениям. Установившийся процесс описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
\begin{gather}
\label{prob1}
-a\Delta\theta + b\kappa_a(|\theta|^3\theta - \varphi) = \sum_{i=1}^m q_if_i,
\\
\label{prob2}
-\alpha\Delta\varphi + \kappa_a(\varphi - |\theta|^3\theta) = 0
\end{gather}
с краевыми условиями
\begin{gather}
\label{prob3}
a\frac{\partial\theta}{\partial n} + \beta(\theta - \theta_b) = 0,
\quad
\alpha\frac{\partial\varphi}{\partial n} + \gamma(\varphi - \theta_b^4) = 0.
\end{gather}
Для нахождения неизвестных интенсивностей источников тепла $q_i$ для поля температуры задается интегральное переопределение:
\begin{equation}
\label{prob4}
(f_j,S\theta) = r_j, \; j = 1, \dots, m.
\end{equation}
Здесь $f_j \in V'$ --- заданные функционалы, выражающие объемные плотности источников,
$S$ --- оператор, который по полю температуры $\theta$ дает поле суммарной энергии, выраженной в единицах температуры, он будет определен ниже.

Для формализации краевой задачи будем использовать пространство Соболева $V = H^1(\Omega)$.
Через $(f, v)$ обозначаем значение функционала $f \in V'$ на элементе $v \in V$
и скалярное произведение в $L^2(\Omega)$, если $f, v \in L^2(\Omega)$.
Будем предполагать, что исходные данные удовлетворяют условиям:

(i)\;\;$\beta,\gamma \in L^\infty(\Gamma)$, $\beta \geq \beta_0 > 0$, $\gamma \geq \gamma_0 > 0$, $0 \leq \theta_b \in L^\infty(\Gamma)$,

(ii)\;$f_j \in V'$, $f_j$ линейно независимы.

Определим операторы $A_1, A_2 \colon V \to V'$ и функционалы $h_1, h_2 \in V'$ по формулам:
$$
(A_1\theta, v) = a(\nabla\theta, \nabla v) + \int_\Gamma \beta\theta v\,d\Gamma,\quad
(A_2\varphi, v) = \alpha(\nabla\varphi, \nabla v) + \int_\Gamma \gamma\varphi v\,d\Gamma,
$$
$$
(h_1, v) = \int_\Gamma \beta\theta_b v\,d\Gamma, \quad (h_2, v) = \int_\Gamma \gamma \theta_b^4 v\,d\Gamma.
$$

\begin{definition}
Пара $\{\theta,\varphi\}$ называется слабым решением задачи (\ref{prob1})--(\ref{prob3}),
если
$$
A_1\theta + b\kappa_a(|\theta|^3\theta - \varphi) = \sum_{i=1}^m q_if_i + h_1,
\quad
A_2\varphi + \kappa_a(\varphi - |\theta|^3\theta) = h_2.
$$
\end{definition}

\begin{theorem} \cite{Inhomog}
Пусть выполнены условия (i), (ii). Для любых чисел $q_j$ слабое решение задачи (\ref{prob1})--(\ref{prob3}) существует и единственно.
\end{theorem}

Определим нелинейный оператор $S \colon V \to V$, действующий по формуле
$S\theta = \theta + b\kappa_aA_1^{-1}A_2(A_2 + \kappa_aI)^{-1}(|\theta|^3\theta)$.
Физический смысл этого оператора состоит в нахождении по полю температуры $\theta$ поля суммарной энергии тепла и излучения, выраженной в единицах температуры. Например, в частном случае $\dfrac{1}{a}A_1 = \dfrac{1}{\alpha}A_2$ имеем
$S\theta = \dfrac{1}{a}(a\theta + b\alpha\varphi)$, где $\varphi = (A_2 + \kappa_aI)^{-1}(\kappa_a|\theta|^3\theta)$. В общем случае $S\theta = \theta + u$, где $u$ --- решение задачи
\begin{gather*}
A_1u + b\kappa_a(|\theta|^3\theta - \varphi) = 0, \quad A_2\varphi + \kappa_a(\varphi - |\theta|^3\theta) = 0.
\end{gather*}
Здесь поле $u$ отражает количество энергии излучения, перешедшее в тепло в результате поглощения излучения средой.

\begin{definition}
Вектор $\mathbf q = (q_1, \dots, q_m)$ вместе с парой $\{\theta, \varphi\}$ есть решение обратной задачи (\ref{prob1})--(\ref{prob4}), если для слабого решения $\{\theta = \theta(\mathbf q), \varphi = \varphi(\mathbf q)\}$ выполняются равенства
\begin{equation}
\label{nonlin-sys}
F_j(\mathbf q) \equiv (f_j, S\theta) = r_j, \; j = 1, \dots, m.
\end{equation}
\end{definition}


\section{Единственность решения обратной задачи}

Метод исследования единственности решения нелинейной системы (\ref{nonlin-sys})
состоит в анализе якобиана системы. Мы покажем, что якобиан данной системы
равен определителю матрицы Грама относительно скалярного произведения, порожденного положительным оператором, откуда следует положительная определенность якобиана. Далее применяется теорема о глобальной однозначности отображения с положительной матрицей Якоби.

\begin{lemma}
Справедлива формула
$$
\frac{\partial F_j(\mathbf q)}{\partial q_i} = \left(f_i, P[\theta(\mathbf q)](S'_\theta[\theta(\mathbf q)])^*f_j\right),
$$
где $P[\theta] \colon V' \to V$ --- оператор, который по функции $g$ дает решение $p_1 = P[\theta]g$ сопряженной задачи
\begin{equation*}
%\label{adj}
A_1p_1 + 4\kappa_a|\theta|^3(bp_1 - p_2) = g, \quad A_2p_2 + \kappa_a(p_2 - bp_1) = 0,
\end{equation*}
$S'_\theta[\theta] \colon V \to V$ --- оператор, действующий по формуле
$S'_\theta[\theta] h = h + 4b\kappa_aA_1^{-1}A_2(A_2 + \kappa_aI)^{-1}(|\theta|^3h)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Составляя и дифференцируя стандартным образом функцию Лагранжа
$$
\mathcal L(\theta, \mathbf q, p) = (f_j, S\theta) + (\mathcal F(\theta, \mathbf q), p),
$$
где $\mathcal F(\theta, \mathbf q) = 0$ --- уравнение, связывающее $\theta$ и $\mathbf q$,
$$
(\mathcal F(\theta, \mathbf q), v) = (A_1\theta, v) + b\kappa_a\left(|\theta|^3\theta - (A_2 + \kappa_aI)^{-1}(b\kappa_a|\theta|^3\theta), v\right) - \sum_{i=1}^m q_i(f_i, v),
$$
получим выражение для градиента функционала $F_j(\mathbf q)$ \cite[с. 63]{Hinze}:
$$
\frac{\partial F_j(\mathbf q)}{\partial q_i} = \mathcal L'_{\mathbf q}(\theta(\mathbf q), \mathbf q, p(\mathbf q)),
$$
где $p(\mathbf q)$ --- решение сопряженной задачи
$$
\mathcal L'_\theta(\theta(\mathbf q), \mathbf q, p) = 0.
$$
Отсюда получаем условие леммы. Отметим, что требуемое условие непрерывной обратимости
оператора $\mathcal F'_\theta(\theta, \mathbf q)$ следует из результатов \cite{Grenkin2}.
\end{proof}

\begin{corollary}
Справедлива формула
$$
\frac{\partial F_j(\mathbf q)}{\partial q_i} = \left(f_j, S'_\theta[\theta(\mathbf q)] P[\theta(\mathbf q)]^*f_i\right) = \left(f_j, A_1^{-1}f_i\right),
$$
где $P[\theta]^* \colon V' \to V$ --- оператор, который по функции $g$ дает решение $u = P[\theta]^*g$ линеаризованной задачи
\begin{equation*}
%\label{lin}
A_1u + b\kappa_a(4|\theta|^3u - z) = g, \quad A_2z + \kappa_a(z - 4|\theta|^3u) = 0.
\end{equation*}
\end{corollary}

\begin{corollary}
Якобиан $\dfrac{\partial F_j(\mathbf q)}{\partial q_i}$ является $P$-матрицей в любой точке $\mathbf q$.
\end{corollary}
%\begin{proof}
%Достаточно доказать, что $(y, Ry) > 0$ для любого $y \neq 0$, где
%$R \colon V' \to V$ --- оператор, определяемый формулой
%$R = S'_\theta[\theta(\mathbf q)] P[\theta(\mathbf q)]^*$.
%Для этого покажем, что $(A_1Ry, y) > 0$ для любого $y \neq 0$.

%Дальше допишу, там используется, что $(A_1Sy, y) = 0$, только когда $y = 0$ в
%силу единственности решения линеаризованной системы.

%\end{proof}

\begin{theorem}
Обратная задача (\ref{prob1})--(\ref{prob4}) имеет не более одного решения.
\end{theorem}

\begin{proof}
Из теоремы Гейла\,--\,Никайдо \cite{GaleNikaido} следует, что отображение $\mathbf q \mapsto \mathbf F(\mathbf q)$ однозначно.
\end{proof}



\section{Выводы}

Таким образом, для корректной постановки обратной задачи данные измерений
должны относиться не только к тепловой энергии, выраженной значением
функционала плотности источника тепла на поле температуры, но и к энергии
излучения, что приводит к необходимости задания значений функционалов
на поле суммарной энергии для обеспечения единственности решения обратной задачи.

Полученные результаты позволяют
применять для численного решения обратной задачи метод Ньютона, а также специально разработанные методы для монотонных отображений \cite{Monot1, Monot2, Monot3}.
Отметим, что в случае, когда в качестве функционалов берется результат
умножения поля температуры на произвольную весовую функцию, отличную от функции плотности источника, для обратной задачи
может быть нарушено существование решения.
Вопрос единственности решения, вообще говоря, является открытым.

В общем случае, при условии, что плотности весовых функций в интегральном переопределении знакопостоянны и, соответственно,
отображение интенсивностей источников в значения функционалов на поле суммарной энергии является покоординатно монотонным, для решения обратной задачи пригоден метод глобального поиска ---
метод переменных направлений, который производит поиск решения во всех
возможных направлениях.
%в сочетании с методом линеаризации, запускаемым в каждой области положительности якобиана отображения. %В дальнейшем возникает задача нахождения всех корней системы нелинейных уравнений с покоординатно монотонными функциями --- для этого планируется объединить метод линеаризации с методом переменных направлений, использующем метод бисекции.



%\begin{theorem}
%Формулировка теоремы.
%\end{theorem}

%\begin{proof}
%Текст доказательства.
%\end{proof}

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{Pinnau1}
R. Pinnau, 
{\it Analysis of optimal boundary control for radiative heat transfer modeled by $SP_1$-system,}
Commun. Math. Sci., {\bf 5}:4 (2007), 951--969.

\bibitem{Pinnau2}
O. Tse, R. Pinnau,
{\it Optimal control of a simplified natural convection–radiation model},
Commun. Math. Sci., {\bf 11}:3 (2013), 679--707.

\bibitem{GrenCheb1}
G.V. Grenkin, A.Yu. Chebotarev,
{\it Nonhomogeneous nonstationary problem of complex heat transfer},
Sib. Elektron. Mat. Izv., {\bf 12} (2015), 562--576.

\bibitem{GrenCheb2}
G.V. Grenkin, A.Yu. Chebotarev,
{\it Nonstationary problem of free convection with radiative heat transfer},
Comput. Math. Math. Phys., {\bf 56}:2 (2016), 278--285.

\bibitem{KovtCheb1}
A.E. Kovtanyuk, A.Yu. Chebotarev,
{\it Stationary free convection problem with radiative heat exchange},
Differ. Equations, {\bf 50}:12 (2014), 1592--1599.

\bibitem{KovtCheb3}
A.E. Kovtanyuk, A.Yu. Chebotarev, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,
{\it Unique solvability of a steady-state
complex heat transfer model}, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., {\bf 20}:3 (2015), 776--784.

\bibitem{Inhomog}
A.Yu. Chebotarev, G.V. Grenkin, A.E. Kovtanyuk,
{\it Inhomogeneous steady-state problem of complex heat transfer},
ESAIM Math. Model. Numer. Anal., {\bf 51}:6 (2017), 2511--2519.

\bibitem{KovtCheb2}
A.E. Kovtanyuk, A.Yu. Chebotarev, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,
{\it Theoretical analysis of an optimal
control problem of conductive–convective–radiative heat transfer},
J. Math. Anal. Appl., {\bf 412}:1 (2014), 520--528.

\bibitem{GrenCheb3}
G.V. Grenkin, A.Yu. Chebotarev, A.E. Kovtanyuk, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann, 
{\it Boundary optimal
control problem of complex heat transfer model},
J. Math. Anal. Appl., {\bf 433}:2 (2016), 1243--1260.

\bibitem{Grenkin2}
A.Yu. Chebotarev, A.E. Kovtanyuk, G.V. Grenkin, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,
{\it Nondegeneracy of optimality conditions in control problems
for a radiative-conductive heat transfer model},
Appl. Math. Comput., {\bf 289} (2016), 371--380.


\bibitem{Grenkin1}
G.V. Grenkin, A.Yu. Chebotarev,
{\it Inverse problem for equations of complex heat transfer},
Comput. Math. Math. Phys., {\bf 59}:8 (2019), 1420--1430.

\bibitem{ChebPin}
A.Yu. Chebotarev, R. Pinnau,
{\it An inverse problem for a quasi-static approximate model of radiative heat transfer},
J. Math. Anal. Appl., {\bf 472}:1 (2019), 314--327.

\bibitem{Overdeterm}
A.Yu. Chebotarev, G.V. Grenkin, A.E. Kovtanyuk, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,
{\it Inverse problem with finite overdetermination for steady-state equations of radiative heat exchange},
J. Math. Anal. Appl., {\bf 460}:2 (2018), 737--744.

\bibitem{Chebotarev2021}
A.Yu. Chebotarev,
{\it Inverse problem for equations of complex heat transfer with Fresnel matching conditions},
Comput. Math. Math. Phys., {\bf 61}:2 (2021), 303--311.

\bibitem{Pyatkov2010}
S.G. Pyatkov,
{\it On some inverse problems for elliptic equations and systems},
J. Appl. Industr. Math., {\bf 13}:4 (2010), 83--96.

\bibitem{PyatkovUvarova}
S.G. Pyatkov, M.V. Uvarova,
{\it On determining the source function in heat and mass transfer problems under integral overdetermination conditions},
J. Appl. Industr. Math., {\bf 19}:4 (2016), 93--100.

\bibitem{Hinze}
M. Hinze, R. Pinnau, M. Ulbrich, S. Ulbrich,
{\it Optimization with PDE constraints},
Springer, 2009.

\bibitem{GaleNikaido}
D. Gale, H. Nikaido,
{\it The Jacobian matrix and global univalence of mappings},
Mathematische Annalen, {\bf 159}:2 (1965), 81--93.

\bibitem{Monot1}
M.V. Solodov, B.F. Svaiter,
{\it A globally convergent inexact Newton method for systems of monotone equations}, Reformulation: Nonsmooth, piecewise smooth, semismooth and smoothing methods, Springer, Boston, MA, 1998. 355--369.

\bibitem{Monot2}
W. Cheng,
{\it A PRP type method for systems of monotone equations},
Math. Comput. Model., {\bf 50}:1--2 (2009), 15--20.

\bibitem{Monot3}
X. Fang,
{\it A class of new derivative-free gradient type methods for large-scale nonlinear systems of monotone equations},
J. Inequal. Appl., {\bf 2020}:1 (2020), 1--13.

\end{thebibliography}
\end{document}
