
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}

\def\udcs{519.17} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{	05C25  } %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{problem}{Гипотеза}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 12, стр. 144--144 (2015) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.17377/semi.2015.12.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}

\thispagestyle{empty}

\title[О ГРАФАХ С МАССИВОМ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$]
{О ДИСТАНЦИОННО РЕГУЛЯРНЫХ ГРАФАХ С МАССИВАМИ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$}
\author{{И.Н. Белоусов, М.П. Голубятников, А.А. Махнев}}%

\address{Ivan Nikolaevich Belousov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
	\newline\hphantom{iii} N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences,
	\newline\hphantom{iii} str. S.Kovalevskaya, 16,
	\newline\hphantom{iii} 620990,  Yekaterinburg, Russia}%
\email{i\_belousov@mail.ru}

\address{Mikhail Petrovich Golubyatnikov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
	\newline\hphantom{iii} N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences,
	\newline\hphantom{iii} str. S.Kovalevskaya, 16,
	\newline\hphantom{iii} 620990,  Yekaterinburg, Russia}%
\email{mike\_ru1@mail.ru}

\address{Aleksandr Alekseevich Makhnev  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
	\newline\hphantom{iii} N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences,
	\newline\hphantom{iii} str. S.Kovalevskaya, 16,
	\newline\hphantom{iii} 620990,  Yekaterinburg, Russia}%
\email{makhnev@imm.uran.ru}

\thanks{\sc Belousov, I.N., Golubyatnikov M.P., Makhnev, A.A.,
On distance-regular graphs with intersection arrays $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$}
\thanks{\copyright \ 2022 Белоусов И.Н., Голубятников М.П., Махнев А.А.}
%\thanks{\rm Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-71-10067).}
\thanks{\it Поступила 6 августа 2022 г., опубликована  ?? ноября 2022 г.}%

\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract.} 
There is infinite sequence of formally self-dual classical distan\-ce-regular graphs $\Gamma$ with $b=2$,
$\alpha=1$, $\beta=n-1$, $v=n^3$ $(n>5)$ (A. Brouwer). Graph 
$\Gamma$ has intersection array 
$\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ and realized when $n$ is a power of 2 by a biliniar forms graph.
We suggested that $\Gamma$ does not exist if $n$ is not a power of 2. It is true if $n\ge 94$.  
Finally distance-regular graph with intersection array 
$\{56,42,20;1,6,28\}$ does not exist.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} distance-regular graph, formally self-dual graph, geometric graph, biliniar forms graph.
 \end{quote}
}
\medskip

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для
вершины $a$ графа $\Gamma$ через $\Gamma_i(a)$ обозначим $i$-окрестность
вершины $a$, то есть, подграф, индуцированный $\Gamma$ на множестве всех
вершин, находящихся на расстоянии $i$ от $a$. Положим $[a]=\Gamma_1(a)$,
$a^\bot=\{a\}\cup [a]$.

Граф $\Sigma$ называется $r$-накрытием графа $\Gamma$, если имеется гомоморфизм
$\varphi$, отображающий $\Sigma$ на $\Gamma$, при котором $|\varphi^{-1}(u)|=r$
для оюбой вершины $u\in \Gamma$ и для $w\in \varphi^{-1}(u)$ граф $\varphi(\Sigma(w))$ 
изоморфен $\Gamma(u)$.

Если вершины $u,w$ находятся на расстоянии $i$ в $\Gamma$, то через
$b_{i}(u, w)$ (через $c_i(u,w)$) обозначим число вершин в пересечении
$\Gamma_{i+1}(u)$ ($\Gamma_{i-1}(u)$) с $[w]$. Граф $\Gamma$ диаметра
$d$ называется {\it дистанционно регулярным с массивом пересечений}
$\{b_0,b_1,\dots,b_{d-1};c_1,\dots,c_d\}$, если значения $b_{i}(u, w)$ и
$c_i(u,w)$ не зависят от выбора вершин $u,w$ на расстоянии $i$ в $\Gamma$
для любого $i=0,...,d$. Положим $a_i=k-b_i-c_i$. Заметим, что для
дистанционно регулярного графа $b_0$ --- это степень графа, $c_1=1$. Далее, через 
$p_{ij}^l(x,y)$ обозначим число вершин в подграфе $\Gamma_i(x)\cap \Gamma_j(y)$ для 
вершин $x,y$, находящихся на расстоянии $l$ в графе $\Gamma$. В дистанционно
регулярном графе числа $p_{ij}^l(x,y)$ не зависят от выбора вершин $x,y$,
обозначаются $p_{ij}^l$ и называются числами пересечений графа $\Gamma$ \cite{BCN}.

Порядок клики в дистанционно регулярном графе степени $k$, имеющем наименьшее
собственное значение $-m$ не больше $1+k/m$. Клика $K$ с $1+k/m$ вершинами называется
кликой Дельсарта. Дистанционно регулярный граф называется {\it геометрическим}, если
он содержит такое семейство $S$ клик Дельсарта, что каждое ребро графа содержится в 
единственной клике из $S$.

Дистанционно регулярный граф называется формально самодуальным, если первая и вторая матрицы
его собственных значений совпадают.

Пусть $V=F^d$, $W=F^e$, $d\le e$ и $B$ --- линейное пространство размерности $de$ над полем $F=F_q$
билинейных форм $f$ из $V\times W$ в $F$. Нулевое пространство $f$ в $V$ --- это
$\{v\in V\ |\ f(v,W)=0\}$. Рангом формы $f$ называется произведение коразмерностей нулевых
пространств в $V$ и $W$. Формы $f$ и $g$ смежны в графе билинейных форм $H_q(d,e)$, если ранг
$f-g$ равен 1. 
%b=q=2,\alpha+1=q,\beta+1=q^e=n,v=n^3 
\medskip

Имеется бесконечное семейство формально самодуальных дистанционно регулярных графов $\Gamma$ с классическими 
параметрами $b=2$, $\alpha=1$, $\beta=n-1$, $v=n^3$ $(n>5)$ (\cite[стр. 425]{BCN}). Граф $\Gamma$ имеет массив 
пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ и реализуется как граф билинейных форм $H_2(3,e)$, когда $n=2^e$.  
Графы $H_q(d,e)$ охарактеризованы массивом пересечений (Метш, 1999) в случаях $q=2,e\ge d+4$ и $q\ge 3,e\ge d+3$ \cite{M}.
Гаврилюк и Кулен рассмотрели случай $q=2,e=d$ \cite{GK}. Таким образом, графы $H_q(3,e)$ распознаются по массиву пересечений, 
за исключением случаев $q=2,e\in \{4,5,6\}$ (случаев $n\in \{16,32,64\}$) и $q\ge 3,e\in \{4,5\}$.

При $n=6$ получим массив пересечений $\{35,24,8;1,6,28\}$, а при $n=7$ получим массив пересечений 
$\{42,30,12;1,6,28\}$. С помощью тройных чисел пересечений было доказано, что оба графа не существуют 
(\cite{JV} и \cite{BM} соответственно). Гаврилюк и Кулен с помощью изучения собственных значений локальных
подграфов получили другое доказательство несуществования графа с массивом пересечений 
$\{35,24,8;1,6,28\}$ \cite[теорема 5.1]{GK}. В (см. \cite[раздел 5]{GK}) доказано, что в дистанционно регулярном
графе с массивом пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ окрестность никакой вершины не может быть 
$7\times (n-1)$-решеткой в случаях $n=6$ и $n=7$.

\begin{proposition} 
Дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ имеет спектр
$(7n-7)^1,(3n-7)^{7n-7},(n-7)^{7(n-1)(n-2)},-7^{(n-1)(n-2)(n-4)}$, дуальную матрицу собственных значений 
$$
Q=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 7n-7 & 7(n-1)(n-2) & (n-1)(n-2)(n-4) \\
1 & 3n-7 & (n-2)(n-7) & -(n-2)(n-4) \\
1 & n-7 & -3n+14 & 2n-8 \\
1 & -7 & 14 & -8
\end{array}\right),
$$
и числа пересечений

$(1)$ $p^1_{11}=n+4$, $p^1_{21}=6n-12$, $p^1_{22}=3(n+1)(n-2)$,
$p^1_{32}=4(n-2)(n-4)$, $p^1_{33}=(n-2)(n-4)(n-5)$;

$(2)$ $p^2_{11}=6$, $p^2_{21}=3n+3$, $p^2_{22}=n^2+24n-86$,
$p^2_{31}=4n-16$, $p^2_{32}=6(n-4)^{2}$, $p^2_{33}=(n^{2}-9n+22)(n-4)$;

$(3)$ $p^3_{21}=28$, $p^3_{22}=42n-168$, $p^3_{31}=7n-35$,
$p^3_{32}=7n^{2}-63n+154$, $p^3_{33}=n^{3}-14n^2+70n-128$. 
\end{proposition}

Предложение 1 доказывается с помощью вычислений из \cite{V}. 
 
По предложению 1 любой граф с массивом пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ имеет 
наименьшее собственное значение $-7$ и порядок клики Дельсарта в нем равен $n$. Если $C$
-- клика Дельсарта, то любая вершина вне $C$ смежна с 0 или $n-b_1/(\theta_3+1)=2$ вершинами
из $C$ (\cite[предложение 4.4.6]{BCN}).

\begin{problem} 
Дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ не существует, 
если $n$ не является степенью $2$.
\end{problem}

В \cite{GK} отмечается, что гипотеза справедлива, если $n\ge 134$. Следующий результат показывает, что гипотеза справедлива, если $n\ge 94$. 
Теорема 1 достаточно просто выводится из  предложения 2.2 \cite{M}.

\begin{theorem}%theorem1 
Если дистанционно регулярный граф $\Gamma$ с массивом пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ 
существует и $n\ge 94$, то $n=2^e$ и $\Gamma$ --- граф билинейных форм $H_2(3,e)$.
\end{theorem}

\begin{corollary} 
Пусть $\Gamma$ --- дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$, $e$ -- максимальная степень
вершины в $\mu$-подграфах из $\Gamma$, $s$ -- неотрицательное целое число. Назовем прямой
максимальная клику $C$ с $|C|\ge n+6-(s-1)e$. Тогда выполняются следующие утверждения:

$(1)$ если $n>70$, то каждая вершина графа $\Gamma$ лежит на $s$ прямых, а каждое ребро графа $\Gamma$ лежит на единственной 
прямой;
 
$(2)$ если $n>72$ и $\Gamma$ не является геометрическим графом, то $s=8,e=5$ и $\Gamma$ не содержит клик Дельсарта.
\end{corollary}

При конкретных значениях $q=2$, $d=3$, $s=r=7$, $\beta=n-1$ получено существенное усиление результата Метша (предложение 2.2 из \cite{M}). 

\begin{theorem}%theorem2 
Пусть $\Gamma$ --- геометрический граф с массивом пересечений  
$\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$. Если $n>72$, то $n=2^e$ и $\Gamma$ --- граф билинейных форм $H_2(3,e)$. 
\end{theorem}
\medskip

В \cite[проблема 9]{Ma} сформулирована проблема существования
дистанционно регулярного графа с массивом пересечений $\{56,42,20;1,6,28\}$ (случай $n=9$). Эта проблема решена в следующей теореме.

\begin{theorem} 
Дистанционно регулярный граф $\Gamma$ с массивом пересечений 
$\{56,\\42,20;1,6,28\}$ не существует.
\end{theorem}

В доказательстве теоремы 3 используются тройные числа пересечений \cite{CJ}.

Пусть $\Gamma$ --- дистанционно регулярный граф диаметра $d$. Если $u_1,u_2,u_3$ --- вершины
графа $\Gamma$, $r_1,r_2,r_3$ --- неотрицательные целые числа, не большие $d$, то
$\left\{u_1u_2u_3\atop r_1r_2r_3\right\}$ --- множество вершин $w\in \Gamma$ таких, что $d(w,u_i)=r_i$,
$\left[u_1u_2u_3\atop r_1r_2r_3\right]=|\left\{u_1u_2u_3\atop r_1r_2r_3\right\}|$.
Числа $\left[u_1u_2u_3\atop r_1r_2r_3\right]$ называются тройными числами пересечений.
Для фиксированной тройки вершин $u_1,u_2,u_3$ вместо $\left[u_1u_2u_3\atop r_1r_2r_3\right]$ будем писать
$[r_1r_2r_3]$. К сожалению, для чисел $[r_1r_2r_3]$ нет общих формул. Однако, в \cite{CJ} предложен метод
вычисления некоторых чисел $[r_1r_2r_3]$.

Пусть $u,v,w$ --- вершины графа $\Gamma$, $W=d(u,v),U=d(v,w),V=d(u,w)$. Так как имеется точно одна вершина
$x=u$ такая, что $d(x,u)=0$, то число $[0jh]$ равно 0 или 1. Отсюда $[0jh]=\delta_{jW}\delta_{hV}$.
Аналогично, $[i0h]=\delta_{iW}\delta_{hU}$ и $[ij0]=\delta_{iU}\delta_{jV}$.

Другое множество уравнений можно получить, фиксируя расстояние между двумя вершинами из $\{u,v,w\}$,
и сосчитав число вершин всех расстояний от третьей, получим: 

$\sum_{l=1}^d[ljh]=p_{jh}^U-[0jh]$, 
$\sum_{l=1}^d[ilh]=p_{ih}^V-[i0h]$, $\sum_{l=1}^d[ijl]=p_{ij}^W-[ij0]$.

При этом некоторые тройки исчезают. При $|i-j|>W$ или $i+j<W$ имеем $p_{ij}^W=0$, поэтому $[ijh]=0$
для всех $h\in \{0,...,d\}$.

Положим $S_{ijh}(u,v,w)=\sum_{r,s,t=0}^d Q_{ri}Q_{sj}Q_{th}\left[uvw\atop rst\right]$.
Если параметр Крейна $q_{ij}^h=0$, то $S_{ijh}(u,v,w)=0$.

Зафиксируем вершины $u,v,w$ дистанционно регулярного графа $\Gamma$ диаметра $3$ и положим 
$\{ijh\}=\left\{uvw\atop ijh\right\}$, $[ijh]=\left[uvw\atop ijh\right]$, $[ijh]'=\left[uvw\atop ihj\right]$, 
$[ijh]^*=\left[uvw\atop jih\right]$ и $[ijh]^\sim=\left[uvw\atop hji\right]$.  Вычисление $[ijh]'$, 
$[ijh]^*$ и $[ijh]^\sim$ (симметризация массива тройных
чисел пересечений) может дать новые соотношения, позволяющие доказать несуществование графа.


\section{Характеризация графов билинейных форм $H_2(3,e)$}

Следующий результат получен Метшем (см. предложение 2.2 из \cite{M}).

\begin{proposition} 
Пусть $\Gamma$ --- дистанционно регулярный граф c классическими параметрами 
$(d,q,\alpha,\beta)$, $d\ge 3$, $r=q^d-1$ и $\alpha=q-1\ge 1$. Предположим, что существует
целое число $s\ge r$ такое, что

$(1)$ если $q=2$ и $d=3$, то $s=r=7$,
 
$(2)$ $(s+1)(\lambda+1)-s(s+1)(q^2+q-1)/2>r\beta$,
 
$(3)$ $\lambda+1>s(q^3+q^2+2q-1)-q^2(q^2+q+1)$.

Тогда $q$ --- степень простого числа, $\beta=q^e-1$ и $\Gamma$ --- граф билинейных форм $H_q(d,e)$.
\end{proposition} 

Пусть $\Gamma$ --- дистанционно регулярный граф с массивом пересечений 
$\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$. Тогда $a_1=n+4$ и $\Gamma$ имеет классические параметры 
$(3,2,1,n-1)$. Далее, $s=r=7$. Если $n\ge 94$, то выполнены неравенства
$8(n+5)-140>7(n-1)$, $n+5>7(8+4+4-1)-4(4+2+1)$ и по педложению Метша $n=2^e$ и $\Gamma$ --- граф билинейных форм $H_2(3,e)$.
%n>93,n+5>7 15-28=77

Теорема 1 доказана.

\section{Геометричность некоторых графов с массивом пересечений 
$\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$}

Следующий результат является частным случаем следствия 1.3 из \cite{M1}.

\begin{proposition} 
Пусть $\Gamma$ --- реберно регулярный граф c параметрами \\ $(v,k,\lambda)$, $e,s$ --- неотрицательные целые числа, и максимальная клика 
$C$ с $|C|\ge \lambda+2-(s-1)e$ называется прямой. Если выполняются условия:

$(1)$ $|[u]\cap [y]\cap [z]|\le e$ для любых двух несмежных верщин $y,z$ и дюбой вершины
$u\in [y]\cap [z]$,
 
$(2)$ $\lambda+1>(2s-1)e$,
 
$(3)$ либо порядок коклики в окрестности любой вершины не больше $s$, либо $k<(s+1)(\lambda+1)-s(s+1)e/2$,

то каждая вершина графа $\Gamma$ лежит на $s$ прямых, а каждое ребро графа $\Gamma$ лежит на единственной 
прямой.
\end{proposition} 

Пусть $\Gamma$ --- дистанционно регулярный граф с массивом пересечений 
$\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$. 
%a_1=n+4 

\begin{lemma} %лемма 1.
Пусть $e$ -- максимальная степень вершины в $\mu$-подграфах графа $\Gamma$, $s=7$. Тогда выполнятся следующие утверждения:

$(1)$ если $e\le 3$, то в случае $n\ge 38$ граф $\Gamma$ является геометрическим;

$(2)$ если $e\le 4$, то в случае $n\ge 66$ граф $\Gamma$ является геометрическим.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Положим $s=7$. Если $e=3$, то неравенства $n+5>39$ и $7(n-1)<8(n+5)-84$ выполняются при $n\ge 38$. %7 37=259<8 43-84=260
В этом случае по предложению 3 каждая вершина графа $\Gamma$ лежит на 7 прямых и $\Gamma$ является геометрическим графом.

Если $e=4$, то неравенства $n+5>52$ и $7(n-1)<8(n+5)-112$ выполняются при $n\ge 66$. %455<8 71-112=456
В этом случае по предложению 3 каждая вершина графа $\Gamma$ лежит на 7 прямых и граф $\Gamma$ является геометрическим.
\end{proof}

\begin{lemma} %лемма 2.
Если $n>72$ и граф $\Gamma$ не является геометрическим, то $s=8$, $e=5$ и $\Gamma$ не содержит клик Дельсарта.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Пусть $s$ -- максимальный порядок коклики в окрестности любой вершины из $\Gamma$. 
Максимальную клику размера не меньше $n+6-se$ назовем прямой. Для доказательства леммы 2 достаточно установить, что $e\le 4$.

Пусть $s=7$. Условие $n>60$ обеспечивает выполнение неравенства $n+5>13e$. Ввиду предложения 3 
размер любой максимальной клики равен $n$ и граф $\Gamma$ является геометрическим. 

Пусть $s=9$. Ввиду границы Кулена-Пака \cite{KP} имеем
$5\cdot 36\ge 9(n+5)-7(n-1)$ и $2n\le 128$, противоречие. 

Пусть $s=8$. Тогда cредний размер прямой равен $7(n-1)/8+1$ и неравенство $n>70$ равносильно $n+5>5(2s-1)=75$. 
Ввиду границы Кулена-Пака \cite{KP} имеем $5\cdot 28\ge 8(n+5)-7(n-1)$ и $n\le 93$. Граф $\Gamma$ является 
геометрическим, если каждая максимальная клика размера не меньше $n-29$ имеет размер $n$. 

При $n=73$ имеем $k=504$ и cредний размер прямой равен $64$. Если $L$ -- прямая размера 50 из $u^\bot$, то для 
$w\in L-\{u\}$ подграф $[u]\cap [w]$ содержит 48 вершин из $L$ и 29 отличных от $u$ вершин из остальных семи прямых. 
Поэтому $|[w]\cap (N-\{u\})|=5$ для прямой $N$ из $u^\bot$, $|[w]\cap (K-\{u\})|=5$ для других прямых, и для любой 
вершины $z\in N-[w]$ подграф $[z]$ не пересекает $L-\{u\}$. Теперь число ребер между $L-\{u,w\}$ и $N-\{u\}$ не больше 
20 и некоторая вершина из $L-\{u,w\}$ смежна не более чем с одной вершиной из $N-\{u\}$, противоречие.   

Пусть $M,N$ -- прямые из $u^\bot$ и для $w\in M-\{u\}$ имеем $|[w]\cap (N-\{u\})|=5$. Тогда для любой вершины $z\in N-[w]$ 
подграф $[z]$ не пересекает $M-\{u\}$. Положим $|N|=63+i$, $i\le 9$. Тогда любая вершина из $N-[w]$ смежна с $61+i$ вершинами 
из $N$, 0 вершинами из $M-\{u\}$ и $16-i$ вершинами из остальных шести прямых. Число ребер между $N-[w]$ и 
остальными шестью прямыми равно $(57+i)(16-i)$, поэтому число ребер между $N-[y]$ и некоторой из этих шести прямых не меньше 
$(57+i)(16-i)/6$. При $i\le 8$ получим $(57+i)(16-i)/6\ge 86.6$ и некоторая вершина из этой прямой смежна более чем с одной 
вершиной из $N-[w]$, противоречие. Значит, $i=9$ и общее число отличных от $u$ вершин на этих прямых не меньше 405. 
Противоречие с тем, что $|M\cup N-\{u\}|\ge 121$. Итак, для любых двух прямых $M,N$ из $u^\bot$ и для $w\in M-\{u\}$ имеем 
$|[w]\cap (N-\{u\})|\le 4$.

Докажем, что негеометрический граф $\Gamma$ не содержит клик Дельсарта. 
Допустим, что $L$ -- клика Дельсарта из $u^\bot$. 
%возможные размеры остальных прямых из $u^\bot$ -- например, одна прямая размера 59 и 6 прямых размера 62. 
Пусть $N$ -- прямая из $u^\bot$ размера $|N|=63-i$. Тогда любая вершина из $N-\{u\}$ смежна с $61-i$ вершинами 
из $N$, вершиной из $L-\{u\}$ и $15+i$ отличными от $u$ вершинами из остальных шести прямых. Отсюда $i\le 9$. Пусть вершина 
$w\in N-\{u\}$ смежна с 4 отличными от $u$ вершинами на некоторой прямой $M$ из $u^\bot$. Тогда для $|M|=63+\beta$ и вершины 
$z\in M-[w]$ подграф $[u]\cap [z]$ содержит $61+\beta$ вершин из $M$, не более одной вершины из $L-\{u\}$, из $N-\{u\}$ и не 
менее $14-\beta$ вершин из оставшихся 5 прямых. Число ребер между $M-[w]$ и этими пятью 
прямыми не меньше $(58+\beta)(14-\beta)=812-44\beta-\beta^2$. Если $\beta\le 1$, то число ребер между $M-[w]$ и 
некоторой из пяти прямых не меньше 128. Противоречие с тем, что некоторая вершина из этой прямой смежна с двумя вершинами из 
$M-[w]$. Значит, $|M|\ge 65$. Если $i=9$, то $k\ge 72+53+6\cdot 64=509$, противоречие. 
%Отсюда в $u^\bot$ найдется прямая $K$ такая, что любая вершина из $N-\{u\}$ смежна не более чем с 3 вершинами из $K-\{u\}$.

Число ребер между $N-\{u,w\}$ и $M\cap [w]-\{u\}$ не больше $4\cdot 3=12$, поэтому $(62-i)-13$ вершин из $N$ несмежны с
вершинами из $M\cap [w]-\{u\}$. Если каждая из этих вершин смежна по крайней мере с двумя вершинами из $M-[w]$, то число
ребер между $M-[w]$ и $N-\{u\}$ не меньше $98-2i$, противоречие. Значит, некоторая вершина из $N-\{u,w\}$ смежна не более чем 
с одной вершиной из $L,M$, не более чем с тремя вершинами из $K$ и по крайней мере с $11+i$ отличными от $u$ вершинами из 
остальных четырех прямых. Значит, $i\le 5$, $|N|\ge 58$ и $k\ge 72+57+5\cdot 64+57=506$, противоречие. 
%57+72+320+57=506

При $n>73$ отсутствие клик Дельсарта доказывается еще проще.
\end{proof}

По лемме 2 выполняется следствие 1.

\section{О геометрических графах с массивами пересечений 
$\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$}

В этом разделе мы докажем теорему 2.
Доказательство проводится модификацией рассуждений Метша из доказательства предложения 2.2 \cite{M}. 
Имеем $q=2$, $d=3$, $s=r=7$, $\beta=n-1$, неравенство 

(3) $lambda+1>s(q^3+q^2+2q-1)-q^2(q^2+q+1)$ (при $s=7, q=2, lambda=n+4$)

равносильно тому, что $n>72$, а неравенство 

(2) снова дает ограничение $n>72$. Для смежных вершин $u,w$ через $uw$ обозначим единственную прямую (клику Дельсарта), 
проходящую через $u,w$. Если $d(u,w)=2$, то через $[u,w]$ обозначим множество прямых, проходящих через $u$ и
пересекающих $[w]$.   

Леммы 2.3--2.9 из \cite{M} проверяются непосредственно, при этом неравенство $n>72$ существенно используется.

\begin{lemma} %лемма 3.
Рассмотрим вершину $p\in \Gamma$ и прямую $L$ с $d(p,L)=1$. 
Тогда $[p,u]=[p,w]$ для любых вершин $u,w\in L\cap \Gamma_2(p)$.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Повторяем доказательство леммы 2.10 из \cite{M}.
\end{proof}

Здесь используется неравенство (3) из предложения 2.2 \cite{M}, равносильное $n>72$.

\begin{lemma} %лемма 4.
Если вершины $v,v'\in \Gamma$ смежны, то подграф $[v]\cap [v']-vv'$ является кликой.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Пусть вершины $v,v'\in \Gamma$ смежны, $X=[v]\cap [v']-vv'$ и $x\in X$.
Положим $L=vx$. Тогда найдется вершина $p\in L$ с $d(p,v')=2$. Если $x'\in X$, $d(p,x')=2$,
то вершины $x,x'$ смежны (повторение рассуждений из доказательства леммы 2.11 \cite{M}).
Так как для любой вершины $x'\in X-\{x\}$ найдется вершина $p\in L$ с $d(p,v')=d(p,x')=2$, 
то $X$ является кликой.
\end{proof}

По лемме 4 граф $\Gamma$ является локально решетчатым и по теореме 1.2 из \cite{GK} имеем
$n=2^e$ и $\Gamma$ --- граф билинейных форм $H_2(3,e)$. Теорема 2 доказана.    


\section{Граф с массивом пересечений 
$\{56,42,20;1,6,28\}$.}

Пусть $\Gamma$ --- дистанционно регулярный граф с массивом пересечений 
$\{56,42,20;\\1,6,28\}$. По предложению $\Gamma$ имеет спектр %a_2-c_3=2
$56^1,20^{56},2^{392},-7^{280}$, $1+56+392+280=729$ вершин, дуальную матрицу собственных значений 
$$
Q=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 56 & 392 & 280 \\
1 & 20 & 14 & -35 \\
1 & 2 & -13 & 10 \\
1 & -7 & 14 & -8
\end{array}\right),
$$
и числа пересечений

$(1)$ $p^1_{11}=13$, $p^1_{21}=42$, $p^1_{22}=210$,
$p^1_{32}=140$, $p^1_{33}=140$;

$(2)$ $p^2_{11}=6$, $p^2_{21}=30$, $p^2_{22}=211$,
$p^2_{31}=20$, $p^2_{32}=150$, $p^2_{33}=110$;

$(3)$ $p^3_{21}=28$, $p^3_{22}=210$, $p^3_{31}=28$,
$p^3_{32}=154$, $p^3_{33}=97$. 

Отсюда граф $\Gamma_2$ сильно регулярен с параметрами (729,392,211,210)
и собственными значениями 392, 14, -13. Максимальный порядок клики в 
$\Gamma_2$ не больше 31.

Пусть $u,v,w$ --- вершины графа $\Gamma$, $[rst]=\left[uvw\atop rst\right]$. 

Положим $\Delta=\Gamma_3(u)$, $\Lambda=\Delta_2$. Тогда 
$\Lambda$ -- регулярный граф степени 154 на 280 вершинах. 

\begin{lemma} %лемма5.
Пусть $d(u,v)=d(u,w)=3,d(v,w)=1$. Тогда для тройных чисел пересечений выполняются равенства:

$[122]=2r_{6}-24$, 
$[123]=[132]=-2r_{6}+52$, $[133]=2r_{6}-24$;

$[211]=r_{6}-14$, $[212]=[221]=-r_{6}+42$, $[222]=114$, 
$[223]=[232]=r_{6}+54$, $[233]=-r_{6}+100$;
 
$[311]=-r_{6}+27$, $[312]=[321]=r_{6}$, $[322]=-2r_{6}+120$,  
$[323]=[332]=r_{6}+34$, $[333]=-r_{6}+63$,

где $r_{6}\in \{14,15,...,26\}$.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Упрощения формул (+) с учетом равенств $S_{313}(u,v,w)=S_{331}(u,v,w)=S_{133}(u,v,w)=0$ и свободной переменной
$r_{6}=[312]$.
\end{proof}

По лемме 5 имеем 
$68\le \left[uvw\atop 322\right]=-2r_{6}+120\le 92$.

\begin{lemma} %лемма6.
Пусть $d(u,v)=d(u,w)=d(v,w)=3$. Тогда для тройных чисел пересечений выполняются равенства:

$[122]=-2r_{17}/9+112/3$, 
$[123]=[132]=2r_{17}/9-28/32$, $[133]=-2r_{17}/9+112/3$;

$[213]=2r_{17}/9-28/3$, $[212]=[221]=-2r_{17}/9+112/3$, $[222]=r_{17}$, 
$[223]=[232]=-7r_{17}/9+518/3$, $[233]=5r_{17}/9-28/3$;
 
$[313]=-2r_{17}/9+112/3$, $[312]=[321]=2r_{17}/9-28/3$, $[322]=-7r_{17}/9+518/3$, $[331]=-2r_{17}/9+112/3$, 
$[323]=[332]=5r_{17}/9-28/3$, 
$[333]=-r_{17}/3+68$,

где $r_{17}/3$ сравнимо с $1$ по модулю $3$,
$r_{17}\in \{48,57,66,75,...,159\}$.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Упрощения формул (+) с учетом равенств $S_{313}(u,v,w)=S_{331}(u,v,w)=S_{133}(u,v,w)=0$ и свободной переменной
$r_{17}=[222]$.
\end{proof}

По лемме 6 имеем 
$42\le \left[uvw\atop 322\right]=-7r_{17}/9+518/3\le 49$.

Напомним, что $p^3_{31}=28$, $p^3_{32}=154$, $p^3_{33}=97$.
Число $d$ ребер между $\Lambda(w)$ и $\Lambda-(\{w\}\cup \Lambda(w))$ удовлетворяет неравенствам 
$5978=28\cdot 68+97\cdot 42\le d\le 28\cdot 92+97\cdot 49 =7329$.

С другой стороны, $d=154(153-\lambda)$, где $\lambda$ --- среднее значение параметра $\lambda(\Lambda)$. 
Поэтому $23.54\le 153-\lambda\le 47.60$ и 
$105.40\le \lambda\le 129.46$.

\begin{lemma} %лемма7.
Пусть $d(u,v)=d(u,w)=3,d(v,w)=2$. Тогда для тройных чисел пересечений выполняются равенства:

$[122]=-4r_{15}-2r_{16}+184$, 
$[123]=[132]=4r_{15}+2r_{16}-156$, 
$[133]=-4r_{15}-2r_{16}+184$;

$[211]=-(5r_{15}+2r_{16})/3+64$, 
$[212]=[221]=r_{15}$, 
$[213]=[231]=(2r_{15}+2r_{16})/3-36$, 
$[222]=3r_{15}+3r_{16}-96$, 
$[223]=[232]=-4r_{15}-3r_{16}+306$, 
$[233]=(10r_{15}+7r_{16})/3-116$;
 
$[311]=(5r_{15}+2r_{16})/3-58$, 
$[312]=[321]=-r_{15}+30$, $[313]=(-2r_{15}-2r_{16})/3+56$, 
$[322]=r_{15}-r_{16}+123$, $[323]=[332]=r_{16}$, 
$[331]=-(2r_{15}+2r_{16})/3+56$, 
$[323]=[332]=5r_{17}/9-28/3$, 
$[333]=(2r_{15}-r_{16})/3+41$,

$ 2 \le r_{15} \le 28 $
$ 26 \le r_{16} \le 82 $

где $r_{15}+r_{16}$ делится на $3$, $2\le r_{15}\le 28$,
$26\le r_{16}\le 82$.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Упрощения формул (+) с учетом равенств $S_{313}(u,v,w)=S_{331}(u,v,w)=S_{133}(u,v,w)=0$ и свободных переменных
$r_{15}=[212]$, $r_{16}=[323]$.
\end{proof}

По лемме 7 имеем 
$43\le \left[uvw\atop 322\right]=r_{15}-r_{16}+123\le 125$.
%$105.40\le \lambda\le 129.46$.

Пусть $d(u,v)=3$. %$p^3_{31}=28$, $p^3_{32}=154$, $p^3_{33}=97$
Найдем число $f_1$ пар вершин $(y,z)$ на расстоянии 1, где 
$y\in \left\{uv\atop 31\right\}$ and $z\in \left\{uv\atop 32\right\}$.
По лемме 5 имеем $[321]=r_{6}$, где $r_{6}\in \{14,15,...,26\}$
и $392=28\cdot 14\le f_1\le 28\cdot 26=728$. 
С другой стороны, по лемме 7 имеем 
$[311]=(5r_{15}+2r_{16})/3-58$, поэтому 
$392\le f_1=\sum_i (5r_{15}^i+2r_{16}^i)-8932\le 728$,
$9324\le \sum_i (5r_{15}^i+2r_{16}^i)\le 9660$ и 
$60.54\le \sum_i (5r_{15}^i+2r_{16}^i)/154\le 62.73$.
Так как $2\le r_{15}\le 28$, $26\le r_{16}\le 82$, то
$62\le \sum_i (5r_{15}^i+2r_{16}^i)/154\le 62.73$.

Найдем число $f_2$ пар вершин $(y,z)$ на расстоянии 2, где 
$y\in \left\{uv\atop 31\right\}$ and $z\in \left\{uv\atop 32\right\}$.
По лемме 5 имеем $[322]=-2r_{6}+120$, где 
$r_{6}\in \{14,15,...,26\}$
и $1344=28\cdot 48\le f_1\le 28\cdot 92=2576$. 
С другой стороны, по лемме 7 имеем 
$[312]=-r_{15}+30$, поэтому 
$1344\le f_2=-\sum_i r_{15}^i+4620\le 2576$,
$2044\le \sum_i r_{15}^i\le 3276$ и 
$13.27\le \sum_i r_{15}^i/154\le 21.3$.
Противоречие с тем, что 
$13.27+52\le \sum_i (5r_{15}^i+2r_{16}^i)/154\le 62.73$.

Теорема 3 доказана.

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{BCN} A.E. Brouwer, A.M. Cohen, A. Neumaier, 
{\it Distance-Regular Graphs}, Springer-Verlag. Berlin Heidelberg New York, 1989.

\bibitem{V} J. Vidali {\it Description of the sage-drg package}, 
Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana,  Slovenia, 1--20.

\bibitem{M} K. Metsch, {\it On a Characterization of Bilinear Forms Graphs}, Europ. J. Comb.,
{\bf 20} (1999), 293-–306.

\bibitem{GK} A. Gavrilyuk, J. Koolen, {\it A characterization of the graphs of bilinear $d\times d$-forms 
over $F_2$}, Combinatorica, {\bf 39:2} (2019), 289-–321.

\bibitem{Ma} N. Maslova, {\it 2020 Ural workshop on group theory and combinatorics}, Trudy IMM UrO RAN, {\bf 27:1} (2021), 270-–282.

\bibitem{CJ} K. Coolsaet, A. Jurishich, 
{\it Using equality in the Krein conditions to prove nonexistence of sertain distance-regular graphs}, J. Comb. Theory, Series A., {\bf 115} (2008), 1086--1095.

%\bibitem{BK} J. Koolen, S. Bang, {\it On distance-regular graphs with smallest eigenvalue at least $-m$}, 
%Journal Comb. Theory, Series B, {\bf 100} (2010), 573-–584.

\bibitem{M1} K. Metsch, {\it Improvement of Bruck's Completion Theorem}, Designs, Codes and Cryptography, 
{\bf 1:2} (1991), 99--116.

\bibitem{KP} J. Koolen, J. Park, {\it Shilla distance-regular graphs}, Europ. J. Comb.,  {\bf 31:8} (2010), 2064--2073.

 
\end{thebibliography}
\end{document}
