
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{cmap}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\usepackage{rotating}
\usepackage{longtable}
\usepackage{multirow,makecell,array}

\def\udcs{519.688} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{65M32} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[О математическом моделировании пандемии COVID-19]{О математическом моделировании COVID-19}
\author{{О.И. КРИВОРОТЬКО, С.И. КАБАНИХИН}}%
\address{Olga Igorevna Krivorotko  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{krivorotko.olya@mail.ru}%

\thanks{\sc Krivorotko, O.I., Kabanikhin S.I.
On mathematical models of COVID-19 pandemic}
\thanks{\copyright \ 2022 Криворотько О.И., Кабанихин С.И}
\thanks{\rm Работа поддержана РНФ (грант 18-71-10044-П)}
\thanks{\it Поступила 1 декабря 2022 г., опубликована 31 декабря 2022 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract.} The mathematical models for analysis and forecasting of COVID-19 pandemic based on time-series models, differential equations (SIR models based on odinary, partial and stochastic differential equations), agent-based models, mean field games and its combinations are considered. Inverse problems for mathematical models in epidemiology of COVID-19 are formulated in the variational form. The numerical results of modeling and scenarios of COVID-19 propagation in Novosibirsk region are demonstrated and discussed. The epidemiology parameters of COVID-19 propagation in Novosibirsk region (contagiosity, hospitalization and mortality rates, asymptomatic cases) are identified. The combination of differential and agent-based models increases the quality of forecast scenarios.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} epidemiology, COVID-19, time-series models, SIR, agent-based models, mean field games, inverse problems, forecasting.
 \end{quote}
}


\section{Введение}

В работе изложены математические основы программного комплекса COVID-19, созданного в СО РАН совместно с коллегами из РФЯЦ-ВНИИТФ им. академ. Е.И.~Забабахина (Снежинск), ФИЦ КНТ (Красноярск), МФТИ и МГУ (Москва), а также коллегами из Болгарии, Великобритании, Казахстана, Китая, США. В основе комплекса программ лежит комбинация трех основных типов моделей: SIR, АОМ и ИСП.

В силу новизны и сложности заболевания COVID-19 параметры большинства математических моделей, как правило, неизвестны, и это приводит к необходимости рассматривать и решать обратные задачи. Основные проблемы моделирования распространения COVID-19:
\begin{enumerate}
    \item[1.] Данные для решения обратной задачи являются неполными и зашумленными, а также представляют собой большие данные (ежедневные сводки о заболевших, заразившихся, вакцинированных и т.д.).
    \item[2.] Параметры меняются со временем: контагиозность $\alpha (t)$, вероятность появления тяжелых случаев $1-\beta (t)$, смертность $\mu (t)$, процент бессимптомных случаев $\alpha_E(t)$ и т.д.
    \item[3.] Процесс распространения COVID-19 существенно изменяется при введении или отмене ограничительных мер (ношение масок, социальная дистанция, перевод на удаленный рабочий режим, закрытие школ, предприятий, районов и городов), появление каждого нового штамма (альфа, бета, гамма, дельта, \ldots).
\end{enumerate}
С учетом 1.-3. решение обратных задач требует новых подходов и методов, включая байесовский, стохастическую оптимизацию, природоподобные алгоритмы (генетический, имитации отжига, глубокие нейронные сети) и другие методы машинного обучения и искусственного интеллекта.
В работе будет приведен краткий обзор и анализ работ по указанных новым подходам.

Статья организована следующим образом. В разделе~\ref{sec_time_series} изложены методы анализа временных рядов, которые составляют основу статистических данных в эпидемиологии, а именно: статистические методы (подраздел~\ref{sec_regression}), методы на основе машинного обучения (подраздел~\ref{sec_ML_models}) и на базе фильтрации (подраздел~\ref{sec_filtr_models}). В разделе~\ref{sec_equation_models} приведен обзор математических моделей моделирования вспышки COVID-19, в основе которых лежат системы обыкновенных дифференциальных уравнений (подраздел~\ref{sec_ODE_models}) и уравнений в частных производных (подраздел~\ref{sec_conv-diff}). Ключевой характеристикой описания распространения эпидемии является индекс репродукции вируса $\mathcal{R}_0$, показывающий количество возможных инфицированных в результате контакта одного инфицированного с восприимчивой популяцией. Алгоритм вывода $\mathcal{R}_0$ в общем случае, а также для SEIR-HCD модели, представлен в разделе~\ref{sec_reproductionNo}. В разделе~\ref{sec_CA-ABM} приведено описание имитационных моделей, а именно: в Разделе~\ref{sec_cellular_automata} описаны математические модели, основанные на теории клеточных автоматов, в Разделе~\ref{sec_ABM} -- агентно-ориентированные модели (АОМ). Подробное построение агентной модели для описания распространения COVID-19 приведено в подразделе~\ref{sec_ABM_COVID}. Раздел~\ref{sec_MFG_model} посвящен моделям игр среднего поля (ИСП) с управляющим уравнением первого порядка. В разделе~\ref{sec_KFP} описано уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка (КФП), определяющее распределение агентов в моделях эпидемиологии, а в разделе~\ref{sec_GJB} -- уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана (ГЯБ), отвечающее за оптимальное управление. В разделе~\ref{sec_algorithms} приведены численные алгоритмы решения прямых (подраздел~\ref{sec_DirectPr}) и обратных (подраздел~\ref{sec_InversePr}) задач эпидемиологии. Результаты численных расчетов проанализированы в разделе~\ref{sec_num_results}. Также в подразделе~\ref{sec_num_conclusion} сформулированы выводы и в~\ref{sec_future_work} -- направления дальнейших исследований.

В приложении~\ref{sec_app_data} изложено описание эпидемиологических данных распространения COVID-19 в Новосибирской области, используемые в численных расчетах. В приложении~\ref{sec_app_software} приведено описание комплекса программ и характеристики численных расчетов.

В качестве иллюстрации в работе приведены результаты расчетов по трем моделям: SEIR-HCD -- камерная модель, основанная на системе из 7 обыкновенных дифференциальных уравнений (Раздел~\ref{sec_R0-SEIR-HCD}), агентная (Раздел~\ref{sec_ABM_COVID}) и модель игры среднего поля (Раздел~\ref{sec_MFG_model}).

%%% Параграф 2 - временные ряды
\input{1time_series.tex}

%%% Параграф 3 - SIR модели
\input{2equation_based_model.tex}

%%% Параграф 4 - АОМ модели
\input{3CA_ABM.tex}

%%% Параграф 5 - ИСП модели
\input{4MFG_model.tex}

%%% Параграф 6 - Алгоритмы
\input{5algorithms.tex}

%%% Параграф 7 - Численные расчеты и заключение
\input{6conclusion.tex}


\bigskip
%\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).


%\bibitem{1} D.G. Northcott,
%{\it Ideal Theory}, Cambridge University Press, Cambridge, 1953.

%\bibitem{2} I.I. Ivanov,
%{\it Some properties of commutative algebras}, Siberian Electronic
%Mathematical Reports, {\bf 1} (2004), 142--143.

%\bibitem{3} A.V. Tetenov, M. Samuel, D.A. Vauilin,
%{\it On dendrites generated by polyhedral systems and their ramification points}, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, \textbf{23}:4 (2017), 281--291.

%\end{thebibliography}

\begin{thebibliography}{800}

\bibitem{Kondratiev_2013} М.А. Кондратьев, \textit{Методы прогнозирования и модели распространения заболеваний}, Компьютерные исследования и моделирование, \textbf{5}:5 (2013), 863-882.

\bibitem{Zaharov_2021} В.В. Захаров, Ю.Е. Балыкина, \textit{Балансовая модель эпидемии {COVID-19} на основе процентного прироста}, Информатика и автоматизация, \textbf{20}:5 (2021), 1034-1064.

\bibitem{Burkom_2007} H.S. Burkom, S.P. Murphy, G. Shmueli, \textit{Automated time series forecasting for biosurveillance}, Statistics in Medicine, \textbf{26}:22 (2007), 4202-4218.

\bibitem{Serfling_1963} R.E. Serfling, \textit{Methods for current statistical analysis of excess pneumonia-influenza deaths}, Public Health Reports, \textbf{78}:6 (1963), 494-506.

\bibitem{Boks_1974} Д. Бокс, Г. Дженкинс, \textit{Анализ временных рядов: прогноз и управление}, Выпуск \textbf{1}, Мир, Москва (1974).

\bibitem{SARIMA_2017} P.P. Dabral, M.Z. Murry, \textit{Modelling and forecasting of rainfall time series using SARIMA}, Environmental Processes, \textbf{4} (2017), 399-419 .

\bibitem{Box_1964} G.E.P. Box, D.R. Cox., J. Roy, \textit{An analysis of transformations. (With discussion)}, Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), \textbf{26} (1964), 211-252.

\bibitem{HoltWinters_1987} T. Williams, \textit{Adaptive Holt-Winters forecasting, The Journal of the Operational Research Society}, \textbf{38} (1987), 553-560.

\bibitem{Sebastiani_2006} P. Sebastiani, K.D. Mandl, P. Szolovits, I.S. Kohane, M.F. Ramoni, \textit{A Bayesian dynamic model for influenza surveillance}, Statistics in Medicine, \textbf{25}:11 (2006), 1803-1816.

\bibitem{Strat_1999} Y.Le Strat, F. Carrat, \textit{Monitoring epidemiologic surveillance data using hidden Markov models}, Statistics in Medicine, \textbf{18}:24 (1999), 3463-3478.

\bibitem{Wieczorek_2020} M. Wieczorek, J. Silka, M. Wo?niak, \textit{Neural network powered COVID-19 spread forecasting model}, Chaos, Solitons \& Fractals, \textbf{140} (2020), 110203.

 \bibitem{Shmueli_2006} G. Shmueli, S.E. Fienberg, \textit{Current and potential statistical methods for monitoring multiple data streams for biosurveillance}, Statistical Methods in Counterterrorism: Game Theory, Modeling. Syndromic Surveillance, and Biometric Authentication, Springer Science + Business Media, New York, (2006), 109-140.

\bibitem{Gardner_1985} E.S. Gardner, \textit{Exponential smoothing: the state of the art}, Journal of Forecasting, \textbf{4}:1 (1985), 1-28.

\bibitem{Hamilton_1994} J.D. Hamilton, \textit{Time Series Analysis}, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1994, 820.

\bibitem{Bernoulli_1760} D. Bernoulli, \textit{Essai d’une nouvelle analyse de la mortalit? caus?e par la petite v?role et des avantages de l’inoculation pour la pr?venir}, Mem. Math. and Phys. de l’Acad. Roy. Sci., in: Hist. de l’Acad. Roy. Sci., Ann., Paris, 1760.

\bibitem{Bacaer_2011} N. Baca\''{e}r, \textit{A Short History of Mathematical Population Dynamics}, Springer, London, 2011.

\bibitem{Brauer_2017} F. Brauer, \textit{Mathematical epidemiology: Past, present, and future}, Infectious Disease Modelling, \textbf{2} (2017), 113–127.

\bibitem{Ross_1911} R. Ross, \textit{The Prevention of Malaria} - 2nd edn, John Murray, London, 1911.

%\bibitem{Yule_1925} G.U. Yule. A mathematical theory of evolution, based on the conclusions of Dr. J. C. Willis, F.R.S. \textit{Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. B} \textbf{213}, 21–87 (1925).

\bibitem{Lotka_1920} A.J. Lotka, \textit{Undamped oscillations derived from the law of mass action}, J. Amer. Chem. Soc., \textbf{42} (1920), 1595–1599.

\bibitem{Volterra_1926} V. Volterra, \textit{Fluctuations in the abundance of a species considered mathematically}, Nature, \textbf{118} (1926), 558–560.

\bibitem{McKendrick_1926} A.G. McKendrick, \textit{Applications of mathematics to medical problems}, Proc. Edinb. Math. Soc, \textbf{13} (1926), 98–130.

\bibitem{KermackMcKendrick_1927} W.O. Kermack, A.G. McKendrick, \textit{A contribution to the mathematical theory of epidemics}, Proc. R. Soc. Lond. A, \textbf{115} (1927), 700–721.

\bibitem{Pelinovsky_2020} E. Pelinovsky, A. Kurkin, O. Kurkina, M. Kokoulina, A. Epifanova, \textit{Logistic equation and COVID-19}, Chaos, Solitons \& Fractals, \textbf{140} (2020), 110241.

\bibitem{Wang_2020} P. Wang, X. Zheng, J. Li, B. Zhu, \textit{Prediction of epidemic trends in COVID-19 with logistic model and machine learning technics}, Chaos, Solitons \& Fractals, \textbf{139} (2020), 110058.

\bibitem{Koltcova_2020} E.M. Koltsova, E.S. Kurkina, A.M. Vasetsky, \textit{Mathematical modeling of the spread of COVID-19 in Moscow}, Computational nanotechnology, \textbf{7}:1 (2020), 99-105. In Russian.

\bibitem{Cheng_2020} Y. Chen, J. Cheng, Y. Jiang, K. Liu, \textit{A time delay dynamical model for outbreak of 2019-nCoV and the parameter identification}, Journal of Inverse and Ill-posed Problems, \textbf{28}:2 (2020), 243-250.

\bibitem{Tamm_2020} M.V. Tamm, \textit{COVID-19 in Moscow: prognoses and scenarios}, FARMAKOEKONOMIKA. Modern Pharmacoeconomic and Pharmacoepidemiology, \textbf{13}:1 (2020), 43-51.

\bibitem{Unlu_2020} E. Unlu, H. Leger, O. Motornyi, A. Rukubayihunga, T. Ishacian, M. Chouiten, \textit{Epidemic analysis of COVID-19 Outbreak and Counter-Measures in France}, MedRxiv, 2020.

\bibitem{KOI_KSI_2020} O.I. Krivorotko, S.I. Kabanikhin, N.Y. Zyatkov et al, \textit{Mathematical modeling and forecasting of COVID-19 in Moscow and Novosibirsk region}, Numer. Analys. Appl., \textbf{13} (2020), 332–348.

\bibitem{Borovkov_2020} A.I. Borovkov, M.V. Bolsunovskaya, A.M. Gintciak, T.Yu. Kudryavtseva, \textit{Simulation modelling application for balancing epidemic and economic crisis in the region}, International Journal of Technology, \textbf{11}:8 (2020), 1579-1588.

\bibitem{Yang_2021} H.M. Yang, L.P. Junior Lombardi, F.F.M. Castro, A.C. Yang, \textit{Mathematical modeling of the transmission of SARS-CoV-2—Evaluating the impact of isolation in S\~ao Paulo State (Brazil) and lockdown in Spain associated with protective measures on the epidemic of CoViD-19}, PLoS ONE, \textbf{16}:6 (2021), e0252271.

\bibitem{Popivanov_2021} S. Margenov, N. Popivanov, I. Ugrinova, S. Harizanov, T. Hristov, \textit{Mathematical and computer modeling of COVID-19 transmission dynamics in Bulgaria by time-depended inverse SEIR model}, AIP Conference Proceedings, \textbf{2333}:090024, (2021).

\bibitem{Silva_2021} C.J. Silva, C. Cruz, D.F.M. Torres, et al, \textit{Optimal control of the COVID-19 pandemic: controlled sanitary deconfinement in Portugal}, Scientific Reports, \textbf{11}:3451 (2021).

\bibitem{Ndairou_2020} F. Ndairou, I. Area, J.J. Nieto, D.F.M. Torres, \textit{Mathematical modeling of COVID-19 transmission dynamics with a case study of Wuhan}, Chaos Solitons \& Fractals, \textbf{135}: 109846 (2020).

\bibitem{Kolpakov_2021} I.N. Kiselev, I.R. Akberdin, F.A. Kolpakov, \textit{A delay differential equation approach to model the COVID-19 pandemic}, MedRxiv (2021).

\bibitem{Fisher_1937} R.A. Fisher, \textit{The wave of advance of advantageous genes}, Ann. Eugen. \textbf{7} (1937) 355–369.

\bibitem{KolmPetrPiskunov_1937} A.N. Kolmogorov, I.G. Petrovskii, N.S. Piskunov, \textit{A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance, and its application to a biological problem}, Bull. Moscow Univ. Math. Mech., \textbf{1}:6 (1937), 1–26.

\bibitem{Viguerie_2020} A. Viguerie, A. Veneziani, G. Lorenzo et al, \textit{Diffusion–reaction compartmental models formulated in a continuum mechanics framework: application to COVID-19, mathematical analysis, and numerical study} Comput. Mech., \textbf{66} (2020) 1131–1152.

\bibitem{Aristov_2021} V.V. Aristov, A.V. Stroganov, A.D. Yastrebov, \textit{ Simulation of spatial spread of the COVID-19 pandemic on the basis of the kinetic-advection model}, Physics, \textbf{3}:1 (2021), 85-102.

\bibitem{Barwolff_2021} G. B\"{a}rwolff, \textit{A local and time resolution of the COVID-19 propagation -- a two-dimensional approach for Germany including diffusion phenomena to describe the spatial spread of the COVID-19 pandemic}, Physics, \textbf{3} (2021), 536-548.

\bibitem{Lau_2021_arXiv} Z. Lau, I.M. Griffiths, A. English, K. Kaouri, \textit{Predicting the spatially varying infection risk in indoor spaces using an efficient airborne transmission model}, ArXiv:2012.12267v3 (2021).

\bibitem{Capasso_1997} V. Capasso, R.E. Wilson, \textit{Analysis of a reaction-diffusion system modeling man-environment-man epidemics}, SIAM Journal on Applied Mathematics, \textbf{57}:2, (1997) 327–346.

\bibitem{Bratus_2010} A.S. Bratus’, V.P. Posvyanskii, A.S. Novozhilov,
\textit{Existence and stability of stationary solutions to spatially extended autocatalytic and hypercyclic systems under global regulation and with nonlinear growth rates}, Nonlinear Analysis: Real World Applications, \textbf{11}:3 (2010), 1897-1917.

\bibitem{May_Lloyd_2001} R.M. May, A.L. Lloyd, \textit{Infection dynamics on scale-free networks}, Phys. Rev. E Stat. Nonlin. Soft. Matter Phys, \textbf{64(6 Pt 2)}:066112 (2001).

\bibitem{Pastor_2001} R. Pastor-Satorras, A. Vespignani, \textit{Epidemic spreading in scale-free networks}, Physical Review Letters, \textbf{86}:14 (2001), 3200–3203.

\bibitem{Newman_2002} M.E. Newman, \textit{Spread of epidemic disease on networks}, Phys. Rev. E Stat. Nonlin. Soft. Matter Phys, \textbf{66}:(1 Pt 2) (2002), 016128.

\bibitem{Wong_Collins_2020} F. Wong, J.J. Collins, \textit{Evidence that coronavirus superspreading is fat-tailed}, In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, \textbf{117}:47 (2020), 29416–29418.

\bibitem{Allen2008} L.J.S. Allen, \textit{An Introduction to Stochastic Epidemic Models}, In: Brauer, F., van den Driessche, P., Wu, J. (eds) Mathematical Epidemiology. Lecture Notes in Mathematics, Springer, Berlin, Heidelberg, \textbf{1945} (2008).

\bibitem{Sazonov_2011} I. Sazonov, M. Kelbert, M.B. Gravenor, \textit{A two-stage model for the SIR outbreak: Accounting for the discrete and stochastic nature of the epidemic at the initial contamination stage}, Mathematical Biosciences, \textbf{234}:2 (2011), 108-117.

\bibitem{Sazonov_2016} I. Sazonov, M. Kelbert, M.B. Gravenor, \textit{Random migration processes between two stochastic epidemic centers}, Mathematical Biosciences, \textbf{274} (2016), 45-57.

\bibitem{Sazonov_2021_HIV_num} I. Sazonov, D. Grebennikov, A. Meyerhans, G. Bocharov, \textit{Markov Chain-Based Stochastic Modelling of HIV-1 Life Cycle in a CD4 T Cell}, Mathematics, \textbf{9} (2021), 2025.

\bibitem{Kolokoltsov_2012_arXiv} V.N. Kolokoltsov, J. Li., W. Yang, \textit{Mean field games and nonlinear Markov processes}, ArXiv:1112.3744 (2012).

\bibitem{Kampen_1990} Н.Г. Ван Кампен, \textit{Стохастические процессы в физике и химии}, Москва, Высшая школа (1990).

\bibitem{Lotova_2020} G.Z. Lotova, G.A. Mikhailov, \textit{Numerically statistical investigation of the partly super-exponential growth rate in the COVID-19 pandemic (throughout the world)}, J. Inverse Ill-Posed Probl, \textbf{28}:6 (2020), 877-879.

\bibitem{Lotova_2021} G.Z. Lotova, G.A. Mikhailov, \textit{Numerical-statistical and analytical study of asymptotics for the average multiplication particle flow in a random medium}, Comput. Math. and Math. Phys, \textbf{61} (2021), 1330-1338.

\bibitem{R0_wiki} https://en.wikipedia.org/wiki/Basic\_reproduction\_number

\bibitem{Driessche_2008} P. van den Driessche, J. Watmough, \textit{Further notes on the basic reproduction number}, In: Brauer F., van den Driessche P., Wu J. (eds) Mathematical epidemiology, Springer, (2008), 159–178.

\bibitem{Berman_1970} A. Berman, R.J. Plemmons, \textit{Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences}, Academic, New York (1970).

\bibitem{Schelling_1971} T.C. Schelling, \textit{Dynamic models of segregation}, J. Math. Sociol, \textbf{1}:2 (1971), 143–186.

\bibitem{Mitchell_1993} M. Mitchell, P.T. Hraber, J.P. Crutchfield, \textit{Revisiting the edge of chaos: Evolving cellular automata to perform computations}, Complex Systems, \textbf{7} (1993), 89-130.

\bibitem{Schimit_2021} P.H.T. Schimit, \textit{A model based on cellular automata to estimate the social isolation impact on COVID-19 spreading in Brazil}, Computer Methods and Programs in Biomedicine, \textbf{200} (2021), 105832.

\bibitem{Dai_2021} J. Dai, C. Zhai, J. Ai, J. Ma, J. Wang, W. Sun, \textit{Modeling the Spread of Epidemics Based on Cellular Automata}, Processes, \textbf{9} (2021), 55.

\bibitem{Patlolla_2004} P. Patlolla, V. Gunupudi, A.R. Mikler, R.T. Jacob, \textit{Agent-Based Simulation Tools in Computational Epidemiology}, In: 4th International Workshop, International Conference on Innovative Internet Community Systems (I2CS '04), Springer Berlin/Heidelberg (2004), 212–223.

\bibitem{Adarchenko_2020} V.A. Adarchenko, S.A. Baban, A.A. Bragin, K.F. Grebenkin et al, \textit{Modeling the development of the coronavirus epidemic using differential and statistical models}, Preprint, RFNC-VNIITF, , \textbf{264} (2020).

\bibitem{Romanuykha_2020} A.I. Vlad, T.E. Sannikova, A.A. Romanyukha, \textit{Transmission of acute respiratory infections in a city: agent-based approach}, Mathematical Biology and Bioinformatics, \textbf{15}:2 (2020), 338-356.

\bibitem{Kerr_2021} C.C. Kerr, R.M. Stuart, D. Mistry, R.G. Abeysuriya, K. Rosenfeld, G.R. Hart, et al, \textit{Covasim: An agent-based model of COVID-19 dynamics and interventions}, PLoS Comput. Biol., \textbf{17}:7 (2021), e1009149.

\bibitem{Aleta_2020} A. Aleta, D. Martin-Corral, Y. Pastore, A. Piontti, M. Ajelli, M. Litvinova, et al, \textit{Modelling the impact of testing, contact tracing and household quarantine on second waves of COVID-19}, Nat. Hum. Behav., \textbf{4}:9 (2020), 964-971.

\bibitem{Lau_2020} M.S.Y. Lau, B. Grenfell, M. Thomas, M. Bryan, K. Nelson, B. Lopman, \textit{Characterizing superspreading events and age-specific infectiousness of SARS-CoV-2 transmission in Georgia, USA}, Proc. Natl. Acad. Sci. U S A, \textbf{117}:3) (2020), 22430-22435.

\bibitem{Kucharski_2020} A.J. Kucharski, P. Klepac, A.J.K. Conlan, S.M. Kissler, M.L. Tang, H. Fry, et al, \textit{Effectiveness of isolation, testing, contact tracing, and physical distancing on reducing transmission of SARS-CoV-2 in different settings: a mathematical modelling study}, Lancet Infect. Dis., \textbf{20}:1 (2020), 1151-1160.

\bibitem{Hoertel_2020} N. Hoertel, M. Blachier, C. Blanco, M. Olfson, M. Massetti, M.S. Rico, et al, \textit{A stochastic agent-based model of the SARS-CoV-2 epidemic in France}, Nat. Med., \textbf{26}:9 (2020), 1417-1421.

\bibitem{Nielsen_2020} B.F. Nielsen, K. Sneppen, \textit{COVID-19 superspreading suggests mitigation by social network modulation}, medRxiv, \textbf{2020.09.15.20195008} (2020).

\bibitem{Loginov2021} K.K. Loginov, N.V. Pertsev, \textit{Direct statistical modeling of spread of epidemic based on a stage-dependent stochastic model}, Mat. Biolog. Bioinform., \textbf{16}:2 (2021), 169-200.

\bibitem{Hellewell_2020} J. Hellewell, S. Abbott, A. Gimma, N.I. Bosse, C.I. Jarvis, T.W. Russell, et al, \textit{Feasibility of controlling COVID-19 outbreaks by isolation of cases and contacts}, Lancet. Glob. Health, \textbf{8}:4 (2020), e488-e496.

\bibitem{covasim_doc} Covasim documentation: {https://docs.idmod.org/projects/covasim/en/latest/index.html}

\bibitem{UN} Household Size, 2019, UN.
{https://population.un.org/Household/\#/countries/840}

\bibitem{Howard_masks_2021} J. Howard, A. Huang, Z. Li et al, \textit{An evidence review of face masks against COVID-19}, Proceedings of the National Academy of Sciences, \textbf{118}:4 (2021), e2014564118.

\bibitem{masks_GDP_2020} J. Hatzius, D. Struyven, I. Rosenbery, \textit{Face masks and GDP}, https://www.goldmansachs.com/insights/pages/face-masks-and-gdp.html. 

\bibitem{Lauer_2020} S.A. Lauer, K.H. Grantz, Q. Bi et al, \textit{The incubation period of coronavirus disease 2019 (COVID-19) from publicly reported confirmed cases: estimation and application}, Ann. Intern. Med., \textbf{172}:9 (2020), 577-582.

\bibitem{Wofel_2020} R. W?lfel, V.M. Corman, W. Guggemos et al, \textit{Virological assessment of hospitalized patients with COVID-2019}, Nature, \textbf{581} (2020), 465-469.

\bibitem{Verity_2020} R. Verity, L.C. Okell, I. Dorigatti et al, \textit{Estimates of the severity of coronavirus disease 2019: a model-based analysis}, The Lancet Infectious Diseases, \textbf{20}:6 (2020), 669-677.

\bibitem{Wang_2020_clinic} D. Wang, B. Hu, C. Hu et al, \textit{Clinical characteristics of 138 hospitalized patients with 2019 novel coronavirus-infected pneumonia in Wuhan, China}, JAMA, \textbf{323}:11 (2020), 1061-1069.

\bibitem{age_Novosibirsk} Федеральная служба государственной статистики, Новосибирская область, {https://novosibstat.gks.ru/folder/31729}.

\bibitem{SmithPrice_1973} M.J. Smith, G.R. Price, \textit{The logic of animal conflict}, Nature, \textbf{246} (1973), 15-18.

\bibitem{JovanovicRosenthal_1988} B. Jovanovic, R.W. Rosenthal, \textit{Anonymous sequential games}, Journal of Mathematical Economics, \textbf{17}:1 (1988), 77-87.

\bibitem{Las} J.-M. Lasry, P.-L. Lions, \textit{Mean field games}, Jpn. J. Math., \textbf{2}:1 (2007), 229–260.

\bibitem{Kolokoltsov_2013b} В.Н. Колокольцов, М.С. Троева, В. Янг, \textit{Игры среднего поля, связанные с процессами устойчивого типа}, МТИП, \textbf{5}:4 (2013), 33-65.

\bibitem{Andersson_2011} D. Andersson, B. Djehiche, \textit{A maximum principle for SDEs of meanfield type}, Appl. Math. Optim., \textbf{63} (2011), 341-356.

\bibitem{Buckdahn_2009} R. Buckdahn, B. Djehiche, J. Li, S. Peng, \textit{Mean-field backward stochastic differential equations: a limit approach}, Ann. Prob., \textbf{37}:4 (2009), 1524-1565.

\bibitem{Laguzet_2015} L. Laguzet, G. Turinici., \textit{Global optimal vaccination in the SIR model: Properties of the value function and application to cost-effectiveness analysis}, Mathematical Biosciences, \textbf{263} (2015), 180-197.

\bibitem{Lee_2020} W. Lee, S. Liu, H. Tembine, W. Li, S. Osher, \textit{Controlling propagation of epidemics via mean-field control}, ArXiv:2006.01249 (2020).

\bibitem{Tembine_2020} H. Tembine, \textit{COVID-19: Data-Driven Mean-Field-Type Game Perspective}, Games, \textbf{11}:4 (2020), 51.

%\bibitem{Osher_2021} W. Lee, S. Liu, W. Li, S. Osher, \textit{Mean field control problems for vaccine distribution}, ArXiv:2104.11887v1, 2021.

\bibitem{Osher_2021} W. Lee, S. Liu, W. Li, S. Osher, \textit{Mean field control problems for vaccine distribution}, Research in the Mathematical Sciences, \textbf{9}:51, (2022).

\bibitem{Bogoluybov_1939} Н.Н. Боголюбов, Н.М. Крылов, \textit{Об уравнениях Фоккера-Планка, которые выводятся в теории возмущений методом, основанным на спектральных свойствах возмущённого гамильтониана} Записки кафедры математической физики Института нелинейной механики АН УССР, \textbf{4} (1939), 5-80.

\bibitem{Bellman_1957} R.E. Bellman, \textit{Dynamic Programming}, Princeton, NJ, 1957.

\bibitem{Berec_2002} L. Berec, \textit{Techniques of spatially explicit individual-based models: Construction, simulation, and mean-field analysis}, Ecological Modelling, \textbf{150}:1-2 (2002), 55-81.

\bibitem{Schimit_2009} P.H.T. Schimit, L.H.A, \textit{Monteiro. On the basic reproduction number and the topological properties of the contact network: An epidemiological study in mainly locally connected cellular automata}, Ecological Modelling, \textbf{220}:7 (2009), 1034-1042.

\bibitem{Fis} M. Fischer, \textit{On the connection between symmetric N-player games and mean field games}, The Annals of Applied Probability, \textbf{27}:2 (2017), 757-810.

\bibitem{Ben} A. Bensoussan, J. Frehse, Ph. Yam, \textit{Mean Field Games and Mean Field Type Control Theory}, Springer Briefs in Mathematics, Springer, New York, 2013.

\bibitem{Gomes_2013} D. Gomes, J. Mohr, R.R. Souza, \textit{Continuous time finite state mean-field games}, Appl. Math. and Opt., \textbf{68}:1 (2013), 99-143.

\bibitem{Kolokoltsov_2011} V.V. Kolokoltsov, J.J. Li, W. Yang, \textit{Mean field games and nonlinear Markov processes}, ArXiv:1112.3744v2 (2011).

\bibitem{Kolokoltsov_2013} V.V. Kolokoltsov, W. Yang, \textit{Sensitivity analysis for HJB equations with an application to a coupled backward-forward system}, ArXiv:1303.6234 (2013).

\bibitem{Carmona_2013} R. Carmona, F. Delarue, \textit{Probabilistic analysis of mean-field games}, SIAM J. Control Optim., \textbf{51}:4 (2013), 2705-2734.

\bibitem{Achdou_2010} Y. Achdou, I. Capuzzo-Dolcetta, \textit{Mean field games: numerical methods}, SIAM J. Numer. Anal., \textbf{48}:3 (2010), 1136-1162.

\bibitem{Achdou_2013} Y. Achdou, \textit{Finite difference methods for mean field games}, Hamilton-Jacobi Equations: Approximations, Numerical Analysis and Applications, Springer, 1-47 (2013).

\bibitem{Shaydurov_2020} V.V. Shaydurov, S. Zhang, V.S. Kornienko, \textit{A finite-difference solution of mean field problem with the fractional derivative for subdiffusion}, AIP Conference Proceeding, \textbf{2302}:110002 (2020).

\bibitem{Kaltenbacher_2008} B. Kaltenbacher, A. Neubauer, O. Scherzer, \textit{Iterative regularization methods for nonlinear ill-posed problems}, De Gruyter, NY, 2008.

\bibitem{Kabanikhin_2009} S. Kabanikhin, \textit{Definitions and examples of inverse and ill-posed problems}, J.Inverse Ill-Posed Probl, \textbf{16}:4 (2009), 317-357.

\bibitem{Tikhonov_1983} А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола, \textit{Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация}, Наука, Москва, 1983.

\bibitem{Tikhonov_1995} А.Н. Тихонов, А.С. Леонов, А.Г. Ягола, \textit{Нелинейные некорректные задачи}, Наука, Москва, 1995.

\bibitem{Hongyu_2011} M. Hongyu, X. Xiaohua, A.S. Perelson, W. Hulin, \textit{On identifiability of nonlinear ODE models and applications in viral dynamics}, SIAM Rev. Soc. Ind. Appl. Math., \textbf{53}:1 (2011), 3-39.

\bibitem{Banks_2015} B.M. Adams, H.T. Banks et. al, \textit{On HIV dynamics: modeling, data analysis, and optimal treatment protocols}, Journal of Computational and Applied Mathematics, \textbf{184} (2015), 10-49.

\bibitem{Andrianakis_2015} I. Andrianakis, I.R. Vernon, N. McCreesh, T.J. McKinley, J.E. Oakley, R.N. Nsubuga, M. Goldstein, R.G. White, \textit{Bayesian history matching of complex infectiousdisease models using emulation: a tutorial and a case study on HIV in Uganda}, PLOS Computational Biology, \textbf{11}:1 (2015), e1003968.

\bibitem{KOI_2020} O.I. Krivorotko, D.V. Andornaya, S.I. Kabanikhin, \textit{Sensitivity analysis and practical identifiability of some mathematical models in biology}, J. Appl. Ind. Math., \textbf{14} (2020), 115-130.

\bibitem{Tikhonov_1943} А.Н. Тихонов, \textit{Об устойчивости обратных задач}, Докл. АН СССР, \textbf{39}:5 (1943), 195-198.

\bibitem{Lavrentiev_1953} М.М. Лаврентьев, \textit{К вопросу об улучшении точности решения системы линейных уравнений}, Доклады Академии наук СССР, \textbf{92}:5 (1953), 885-886.

\bibitem{Godunov_1992} С.К. Годунов, А.Г. Антонов, О.П. Кирилюк, В.И. Костин, \textit{Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах}, Наука, Новосибирск, 1992.

\bibitem{Kabanikhin_2013} S.I. Kabanikhin, O.I. Krivorotko, \textit{Singular value decomposition in an inverse source problem}, Numerical Analysis and Applications, \textbf{5}:2 (2012), 168-174.

\bibitem{Tikhonov_1963} А.Н. Тихонов, \textit{О решении некорректно поставленных задач}, Докл. АН СССР, \textbf{151}:3 (1963), 501-504.

\bibitem{Lavrentiev_1962} М.М. Лаврентьев, \textit{О некоторых некорректных задачах математической физики}, Наука, Новосибирск, 1962.

\bibitem{Ivanov_1963} В.К. Иванов, \textit{О некорректно поставленных задачах}, Матем. сб., \textbf{61}:2 (1963), 211-223.

\bibitem{KSI_2015} S.I. Kabanikhin, O.I. Krivorotko, \textit{Identification of biological models described by systems of nonlinear differential equations}, J. Inverse Ill-Posed Probl, \textbf{23}:5 (2015), 519-527.

\bibitem{KSI_Zhang_2020} O. Krivorotko, S. Kabanikhin, Sh. Zhang, V. Kashtanova, \textit{Global and local optimization in identification of parabolic systems}, J. Inverse Ill-Posed Probl, \textbf{28}:6 (2020), 899-913.

\bibitem{Giglyavskiy_1991} А.А. Жиглявский, А.Г. Жилинскас, \textit{Методы поиска глобального экстремума}, Наука, Москва, 1991.

\bibitem{Tyrtyshnikov_1993} Е.Е. Тыртышников, \textit{Новые теоремы о распределении собственных и сингулярных чисел многоуровневых теплицевых матриц}, Доклады Академии наук, \textbf{333}:3 (1993), 300-303.

\bibitem{Oseledets_2011} I.V. Oseledets, \textit{Tensor-train decomposition}, SIAM J. Sci. Comput., \textbf{33} (2011), 2295-2317.

\bibitem{Zheltkov_2013}
Д.А. Желтков, И.В. Оферкин, Е.В. Каткова, А.В. Сулимов, В.Б. Сулимов, Е.Е. Тыртышников, \textit{TTDock: метод докинга на основе тензорных поездов}, Вычислительные методы и программирование, \textbf{14}:3 (2013), 279-291.

\bibitem{Zheltkova_2018}
V.V. Zheltkova, D.A. Zheltkov, Z. Grossman, G.A. Bocharov, E.E. Tyrtyshnikov, \textit{Tensor based approach to the numerical treatment of the
parameter estimation problems in mathematical immunology}, J. Inverse Ill-Posed Probl, \textbf{26}:1 (2018), 51-66.

\bibitem{KOI_JIIP_2021} O.I. Krivorotko, M.I. Sosnovskaia, I. Vashchenko, \textit{Agent-based mathematical model of COVID-19 spread in Novosibirsk region: identifiability, optimization and forecasting}, J. Inverse Ill-Posed Probl, In print (2021).

\bibitem{Vavilov_ident} O.I. Krivorotko, S.I. Kabanikhin, M.I. Sosnovskaya, D.V. Andornaya, \textit{Sensitivity and identifiability analysis of COVID-19 pandemic models}, Vavilov journal of genetics and breeding, \textbf{25}:1 (2021), 82-91.

\bibitem{Casagrandi_2006} R. Casagrandi, L. Bolzoni, S. Levin, V. Andreasen, \textit{The SIRC modeland influenza A}, Math. Biosci., \textbf{200} (2006), 152-169.

\bibitem{Petrakova_2021} V. Petrakova, O. Krivorotko, \textit{Mean field game for modeling of COVID-19 spread}, Journal of Mathematical Analysis and Applications, \textbf{514}:1 (2022), 126271.

\end{thebibliography}

%%% Приложения (данные и комплекс программ)
\input{Appendix.tex}
\end{document}
