\section{������ <<���� �������� ����>>}\label{sec_MFG_model}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
� ������ ������� ��������� �������� ���������� SIR-������ (� ������ ���������������� ��������������) � �������� ������. ������������� ������� � ���������������� SIR-������ ����������� ���������� �����������-�������-������ (���)~(\ref{eq_8}) (������~\ref{sec_KFP}), � ���������� ������� ����������� ���������� ����������-�����-�������� (���)~(\ref{eq_23}) (������~\ref{sec_GJB}). ���������� ������������ ��� � ��� �������� ������� ��������� ��� �������� ���� (���) (������~\ref{sec_MFG}).

\subsection{��������}
J.M. Smith � G.R. Price � 1973 ����~\cite{SmithPrice_1973} ����������� ��������� ������������ ���������� ���������, ������� �������� ����������� ���������� ������ ���. ����� B.~Jovanovic � R.W.~Rosenthal � 1988 ����~\cite{JovanovicRosenthal_1988} �������� ������������� ���������� � ��������� ���������������� �����. ������ � 2006-2007 ����� J.-M.~Lasry � P.-L.~Lions~\cite{Las} ���������� � ���������� ��������� ���, ������� ������������ � ������, ���������, ������������, ���������� � ������������� ���������. �������� ������, ������� ��������������� � ������ ���:\\
-- ������������ ������������� � �������������� ������� ���, ��� ���� ��� ������������� � ���� ������� ���� ��������� � ������� ����������� ������� ������� � ������ ���������� ��� ��������� ������������ �������, ������������ ��� ������ ��������� ���, ���������������� ������ ��������� ������� (��������� ��.~������~\ref{sec_MFG});\\ 
-- ���������� ������������� ���������� � ���� ��������� ����� �������;\\
-- ������������ ���������� ������������ ���������� � ����� ��������� ����� ��� � ������� ��� ��� ���������� ����� ������� � �������������;\\
-- ������ ���������� ������������������ ����� ��� ������ ����������� ���.

� ������~\cite{Kolokoltsov_2013b} ����������� ���������� ������� ��� ��� � ����������� ���������� ����������� ���� � ����������� ��������������. ��������� ��� ��������� �� ����������� ������ �������� ���� � ����������� ����������� ����������~\cite{Andersson_2011, Buckdahn_2009}

� 2015 ���� ������������ ��������� �����, ������������ ��� ��� �������� ������������� ��������� ��������������� ������, ������ ������������� �������� ��������, �OVID-19~\cite{Laguzet_2015, Lee_2020, Tembine_2020, Osher_2021}.

\subsection{��������� �����������-�������-������}\label{sec_KFP}
���������� ���������� ���������� ��������� �������� � $\mathbb {R} ^{n}$, ��� ������� �������� ���������� ������������ ������� ���������� ���������� $p(t,x,y)$. ������� �������� $\mathbf{Q}$, ����������� �� ������� $f(x)$ � $\mathbb {R} ^{n}$:
\[(\mathbf{Q}f)(x) = \int\limits_{\mathbb {R}^n} q(x,y)f(y)\, dy.\]
���� ���������� ������ (���������� �������)
\[q(x,y)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{p(h,x,y)-\delta(x-y)}{h},\]
�� ��������� ����������� ��������� ���:
\[\dfrac{\partial p(t,x,y)}{\partial t} = \int\limits_{\mathbb {R}^n} p(t,x,z)q(z,y)\, dz.\]

� ������, ����� $\mathbf{Q}$~-- ���������������� �������� ������� ������� � ������������ �������������� (��� ��������, ��� $q(x,y)$ ���� �������� ���������� ������ � ������ ����������� $\delta (x-y)$ � ������������ ��������������), � ������� ������������� $\sigma^{ij}$ ����� ������� ������������ �������� ������������ � ������������ ������������ � ������ �����, �� ��������� ����������� ����� ��������� � ���������� �������-������~\cite{Bogoluybov_1939}:
\begin{eqnarray}\label{eq_KFP_common}
    \dfrac{\partial p(t,x,y)}{\partial t} = \dfrac{1}{2}\sum\limits_{i,j}^M\dfrac{\partial ^2}{\partial y^i \partial y^j} (\sigma^{ij}(y)p(t,x,y)) - \sum\limits_j^M \dfrac{\partial}{\partial y^j} (b^j(y)p(t,x,y)).
\end{eqnarray}
������ $b^{j}$ � ���������� ���������� ���������� �������� �����, � ������� $\sigma^{ij}$~-- �������� ��������.

��������� ���~(\ref{eq_KFP_common}) ������������ ��� ������� ��������� ����������� � ���:
\begin{eqnarray}\label{eq_SDE_common}
    d{\mathbf{X}}_{t}={\boldsymbol {b}}({\mathbf{X}}_{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}({\mathbf{X}}_{t},t)\,d{\mathbf{B}}_{t}.
\end{eqnarray}
����� $\mathbf{X}_{t}\in \mathbb{R}^{M}$~-- ������� ��������� �������, � $\mathbf{B}_{t}\in \mathbb{R} ^{M}$~-- ����������� $M$-������ ����������� ��������. � ����� ������ ������ $\mathbf{X}_{t}$ ��������� ��������� ������� � ������ �� ����� � �������� �������� �������~(\ref{eq_SDE_common}). ����� �������� ��. �������~(\ref{eq_3}). ���� ��������� ������������� ������ ��� $\mathbf{X}_{0}\sim p({0, \mathbf{x}})$, �� ��������� ����������� $p(t, {\mathbf{x}})$ ��������� ������� $\mathbf{X}_{t}$ �������� �������� ��������� ���~(\ref{eq_KFP_common}).

\subsection{��������� ����������-�����-��������}\label{sec_GJB}
��������� ���~-- ���������������� ��������� � ������� �����������, �������� ����������� ���� � ������ ������������ ����������. ���������� ������ ������������ ���������� �� ���������� ������� $[0,T]$:
\[\psi=\min _{u}\left\{\int_{0}^{T}C[x(t),u(t)]\,dt+G[x(T)]\right\}.\]
����� $C$ � $G$~-- ������-����������� ������� ���������, ������������ �������������� ������������ � ������������ ����� �����������, $x(t)$~-- ������, ������������ ��������� ������� � ������ ������ ������� � �������� ��������� ��������� $x(0)$, $u(t)$~-- ������ ����������.

�������� ������� ��� ��������� ���������� $u(t)$ ����������� ��������� �������:
\[\dot {x}(t)=F[x(t),u(t)],\]
� ��������� ��� ��������� ��������� ���:
\begin{eqnarray}\label{eq_GJB_common}
    \dfrac{\partial{\psi}(x,t)}{\partial t}+\min _{u}\left\{\nabla \psi(x,t)\cdot F(x,u)+C(x,u)\right\}=0,
\end{eqnarray}
� ��������� ��������� � �������� ������ ������� $T$
\begin{eqnarray}\label{eq_GJB_init_cond}
    \psi(x,T)=G(x).
\end{eqnarray}
����������� � ���� ��������� ������������� ������� �������� $\psi(x,t)$, ���������� ������������� ��������, ������� ����� ��������, ���� ������� �� ��������� $(x,t)$ ����������� ������� �� ������� ������� $T$. ����� ����������� ������� � ��������� ������ �������~-- �������� $\psi = \psi(x(0), 0)$.

���������~(\ref{eq_GJB_common}) ���������� ���������� ��������~\cite{Bellman_1957}, ����� ��������� ��� ��������� ������������� ����������������. ����� ��������� ���� ������� ������� \textit{�������� �������������}: ����������� ��������� ����� ��������, ��� ������ �� �� ���� ��������� ��������� � ��������� �������, ����������� ������� ������ ���������� ����������� ���� �������� �� ��������� � ���������, ����������� � ���������� ������� �������. ����� �������, ����������� ��������� ������� ������ �� �������� ��������� � ����, � �� ������� �� �����������.

��� ������������ ������ � ����������� �������� ���������� ��������� ����� ��������������� ��� ����������� ����� ������ ����� � ������� ������������� ��������, ��������� � ���������� ����������-�����.

\subsection{������ ���� �������� ����}\label{sec_MFG}
�������������, ��� ������ � ��������� ����������� (�� ���� �������� ������������ ���������� � ��������� $X(t)$ � ����� ����������� ��� ��������), ��������� ������������� ������ ���������� � ������� ����������� ����������. �������� ���������� ����������� ������������� ����������������� ��������� ���
\begin{equation*}
    dX^N_i(t) = b (t,X^N_i(t),\theta^N(t, X^N_i(t)),u_i)dt + \sigma (t,X^N_i(t),\theta^N(t, X^N_i(t))) dW^N_i(t).
\end{equation*}
����� $i \in {1,..,N},\; W^N_i $ -- ����������� ����������� ����������� ��������, $u_i(t,X^N_i(t))$ -- ��������� $i-$�� ������ � $\theta^N(t,X^N_i(t))$~-- ������������ ���� ������������� ������� � ������� � ������ ������� $t$~\cite{Fis}. � �������������, ��� ������� $b$ � $\sigma$ ���������� �� ������� � ��������� ��� ���� �������, � ������ \cite{Fis} ��������, ��� ����� ���������� ������� � ������� ����������� ������ $N \rightarrow \infty$, �� ����� �������� ����� ��������� ��������� ���������������� �������, ��������� �������� ������������ ��������� ����������
\begin{equation}\label{eq_3}
    dX(t) = b (t,X(t),p(t),u(t, X(t)))dt + \sigma (t,X(t),p(t, X(t))) dW(t).
\end{equation}
����� $X(t):[0,T]\rightarrow \Omega$; $p(t,X(t)):\theta^N(t, X^N_i(t))\overset{N \rightarrow \infty}{\rightarrow} p(t, X(t))$~-- ��� ������������� ������ �� ������������ ��������� $\Omega$ � ������ ������� $t$ � $u(t, X(t))$ -- ��������� ����������������� ������, �������������� ���������� �� ���� ������� ����������������� ������� (�� ���� ����� �� ����� ��������� �������, ������� ���� ���������, ���� ������ ������ ����� ��������� �� ������) � �������������� ����������
\begin{equation}\label{eq_4}
    J(p, u) = \mathbf{E}\left[ \int_0^T C\left(t,X(t),p(t, X(t)),u(t, X(t))\right)dt + G \left(X(T),p(T, X(T))\right)\right].
\end{equation}

������ ������ � �������� ��� ���������� � ������� ����������� ����������������� ������� ������� �������� ���~\cite{Las, Ben, Fis}. ������ ��� ������������, ��� ������ ����� �������� ���� ������������ ��������� $u(t,x)$ � ������ ������ ��������� � ������������� $p(t,x): [0,T]\times \Omega \rightarrow \mathrm{R}$ ������ �������. � ������~\cite{Ben} ���� ��������, ��� ��� ���������� $\sigma$ � ���������~\eqref{eq_3}, ��������������� �������������� �������� ���������� �������� �������������� �������, ������������� ������� $p(t,x)$ ����������� ��������� ���  
\begin{equation}\label{eq_5}
    \dfrac{\partial p}{\partial t} - \dfrac{1}{2}\sigma^2\Delta p + \nabla (p u) = 0 \;\; \text{ � } [0,T]\times \Omega
\end{equation}
� ���������� ��������� 
\begin{equation}\label{eq_6}    
    p(0,x) = p_0(x) \;\;\text{ �� } \Omega
\end{equation}
� ���������� ��������� ���� ������� 
\begin{equation}\label{eq_7}
    \dfrac{\partial p}{\partial x} = 0 \;\; \forall t \text{ � } x \in \Gamma_\Omega.  
\end{equation}

����������� ������ � ��������� ������� ������, ���������� ���������� ����� � ����������� �������� � �������� ������ ���������~\cite{Gomes_2013}, � ����� ���������� ��������� ������ ����~\cite{Kolokoltsov_2011, Kolokoltsov_2013}. � ���� ������ ���������~(\ref{eq_5}) � ��� ���������� �� ���������� ����������� ������ �����������. �������������� ������ � ��� ���������� ������������� � ������ � ������������� ������ ���������� ��� ������������ �������, ����������� ���������� ���������� ���������. � ���� ������ �������� � ������������ ����� �������� ������� �� ������������� ������� � ������� ������ �������. ������������� ������� ������������ �� ������� ������ �����������~\cite{Carmona_2013}.

����������� �������������� ������� �������� ����������� ����������� ������� �� ������ �������������� �������������� ������������. ���� ���������� �������� ���������� ����������� ������, � ������ �������� ������ ������ ������� ��� �������� � ������� ���� ������������ ����� ���, ��� ���� �������� ������������ �������������� ����������� ����������.

��� ���������� �����, ����� ���������� ������������ �������������� ��� ��������������� ��������, ��� ������� ��������� ������� ������ ����������� � ������ ���, ����������� ��������� �������, � ��������� ���� ����������� � ������ ������� (�����������, ������������ �������������), ����������� ���������� �������~\cite{Tembine_2020, Osher_2021}. � ��������� �������� ��������� ��������� ��� � ��� ��� �������� ������������� � ���������� SIR-������ ��������������� ��������.

\subsubsection{��������� ��� ��� SIR-������}
��� ���������� ������� ($N\to\infty$) ��������� SIR-������ ����� ���������������� ��� ����������� �������� ���� ������������� ������ ���������� ��������~\cite{Berec_2002, Schimit_2009}. ������� ������ ��������-������� ������ ��� ��������� ���~(\ref{eq_5})-(\ref{eq_7}) � ������ SIR-������~(\ref{model_KermackMackendrick}).

������ ��������� $p_i(t,x):[0,T]\times[0,1]\rightarrow \mathrm{\textbf{R}}$ ������������� ������� � ������� $S$, $I$ � $R$, ��� $i \in\{S,I,R\}$. ���������� $x\in\Omega = [0,1]$ ������������� ���������� ��������������� ��������� �������: $x=0$ ��������, ��� ����� ������� ��������� ���������� ���������, � $x=1$ �������� ���������������. ��������� ������� $u_i(t,x):[0,T]\times[0,1]\rightarrow \mathrm{\textbf{R}}$, $i \in\{S,I,R\}$, ������� ��������� �������� ����������� � ���������������� ������� ����������������� ������ � ������ ������ ���������. �������� �� �������� �������������� �������� �������������� �������~(\ref{eq_3}), ��������� ���~\eqref{eq_5}-\eqref{eq_7} ��� ������� $p_i(t,x)$ ��������� � ���� ������� ��������� � ������� �����������:
\begin{equation}\label{eq_8}
 \hspace{-4mm}\left\{ \begin{aligned}
   & \dfrac{\partial {p}_{S}}{\partial t}+\nabla \left( {{p}_{S}}{{u}_{S}} \right)+\alpha {{p}_{S}}{{p}_{I}}-{\sigma _{S}^{2}\Delta {{p}_{S}}}/{2}\;=0, \\ 
  & \dfrac{\partial {p}_{I}}{\partial t}+\nabla \left( {{p}_{I}}{{u}_{I}} \right)-\alpha {{p}_{S}}{{p}_{I}}+\beta {{p}_{I}}-{\sigma _{I}^{2}\Delta {{p}_{I}}}/{2}\;=0, \\ 
 & \dfrac{\partial {p}_{R}}{\partial t}+\nabla \left( {{p}_{R}}{{u}_{R}} \right)-\beta {{p}_{I}}-{\sigma _{R}^{2}\Delta {{p}_{R}}}/{2}\;=0.
\end{aligned} \right.
\end{equation}
����� $\sigma_i \geqslant 0$, $i \in \{S,I,R,C\}$. ���������~(\ref{eq_6}) � ���������~(\ref{eq_7}) ������� �������� ��� ���������
\begin{equation}\label{eq_9}
    p_i (0,x)=p_{i0}(x)\quad \; \forall x\in[0,1]. 
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq_10}
    \dfrac{\partial p_i}{\partial x} = 0\quad \;\forall t \in [0,T] \;\text{ � } \;x = 0,1.  
\end{equation}

��������� ������� $p_{i0}$ ��������� � ���������� ����������� ������������� �� �������, ��������������� ���������� ��������� ���������� ���������, � ����������, ����������� ��������� ���������� �����������. ��������, ������������� ��������� $m_S$ �� ������� ��������� �����������, ������� ������� � ������������� ��������� � 1, � �������������� $m_I$, ��������, ��������� ��������� ����������� � ��������.

�������, ��� �������~(\ref{eq_8}) ������������� ������ ���������� ����, � ������
\[\dfrac{\partial}{\partial t}\int\limits_0^1 \left( p_S(t,x)+p_I(t,x)+p_R(t,x)\right)\, dx = 0.\]

\subsubsection{��������� ��� ��� SIR-������}
��������� ������� ����������~(\ref{eq_4}) ��������� �������~\cite{Lee_2020}:
\begin{eqnarray}\label{eq_HJB_SIRmodel}
\begin{array}{ll}
    J(p, u) = &\int\limits_0^T \int\limits_0^1 \left(\sum\limits_{i\in\{S,I,R\}} \dfrac{r_i}{2}p_i|u_i|^2 + \dfrac{c}{2} (p_S + p_I + p_R)^2\right) dxdt  +\\
    &+\dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 p_I^2(T,x) dx.
\end{array}
\end{eqnarray}
����� $r_i$ � $c$ ��������������� ���������. ������ ���������, ��������������� ������������ �������, ��������� ���� ����������� ������� �� ��������� $u_i$ �� ���� ���������� ������� $[0,T]$. ��� ���� �������� $r_i$, ��� ����� �������� ������� ������������ ����� �������� (��������, $r_S=r_R=1$, $r_I=10$ ��������, ��� ������� �� �������������� ������ ������� �������������). ������ ��������� �~(\ref{eq_HJB_SIRmodel}) ������������ ��������� ����� ��������� � ����� �����. ��� ����� �������� ���� ������� ����������� � �� ����� �������� � �������� ���������������.

��� ������ ����������� ��������� ������������� ������� ��������� ��������~\cite{Ben}. ������ ������������ ������� ������� $\psi_i(t, x)\in C ^ {\infty} \left(\left[0, T \right] \times [0,1] \right)$, $i\in\{S,I,R\}$, � ������� ����������� ������ ��� ����������� ��������:
\begin{eqnarray}\label{eq:minmax_pr}
    \inf\limits_{p, u} \sup\limits_{\left(\psi\right)_{i\in\{S,I,R\}}} \mathcal{L}(p, u, \psi_i),
\end{eqnarray}
��� ���������� �������� ��������� �� �������� �����������~(\ref{eq_HJB_SIRmodel}) � ��������� ���~(\ref{eq_8}), ����������� �� ������� $\psi_i(t, x)$ � ������������������ �� $x$ � $t$:
\begin{eqnarray*}
    \begin{array}{cc}
         \mathcal{L}(p, u, \psi_i) = & J(p,u) - \int\limits_0^T\int\limits_0^1 \left[ \sum\limits_{i\in\{S,I,R\}} \psi_i\left( \dfrac{\partial p_i}{\partial t}+\nabla (p_iu_i)-\dfrac{\sigma_i^2}{2}\Delta p_i\right) +\right.\\
            & \left.+ \alpha p_Ip_S(\psi_I - \psi_S) + \beta p_I (\psi_R - \psi_I)\right]\, dxdt.
    \end{array}
\end{eqnarray*}
�����
\[\partial \psi_i/ \partial x = 0\; \quad\forall t \in [0,T] \;\text{ � } \;x = 0,1\; {\forall i \in \{S,I,R\}}\]
� 
\[\alpha_i(t,0) = \alpha_i(t,1) = 0\; \;\forall t \in [0,T] \; {\forall i \in \{S,I,R\}}.\]
�������� �������������� �� ������ � ��������� ��������� ������������� ������-����-�������, �������� ������� ��������� ��� ��� ������������ ���������� �������� �������~(\ref{eq_8}):
\begin{equation}\label{eq_23}
 \hspace{-5mm}\left\{ \begin{aligned}
   & \begin{aligned}
   \dfrac{\partial \psi_S}{\partial t}+\dfrac{\sigma_S^2}{2}\Delta\psi_S+u_S \cdot \nabla\psi_S + &\alpha p_I (\psi_I-\psi_S) =-\dfrac{r_S}{2}|u_S|^2+\\
   &+c(p_S+p_I+p_R),
   \end{aligned} \\
  & \begin{aligned}
  \dfrac{\partial \psi_I}{\partial t}+\dfrac{\sigma_I^2}{2}\Delta\psi_I + u_I \cdot \nabla\psi_I  +& \alpha p_S (\psi_I-\psi_S) + \beta (\psi_R-\psi_I) =\\
  &= -\dfrac{r_I}{2}|u_I|^2+c(p_S+p_I+p_R) - \delta(T-t)p_I,
  \end{aligned} \\ 
  & \dfrac{\partial \psi_R}{\partial t}+\dfrac{\sigma_R^2}{2}\Delta\psi_R + u_R \cdot \nabla\psi_R =-\dfrac{r_R}{2}|u_R|^2+c(p_S+p_I+p_R), \\ 
\end{aligned} \right.
\end{equation}
��� $\delta(T-t)$~-- ������-������� ������. ��������� ������� ��� ��������� ���~(\ref{eq_23})
\begin{equation}\label{eq_24}  
    \psi_i(T,x)=0\,\,\,\,\,\forall \text{ }x\in \left[ 0,1 \right],\quad i\in\{S,I,R\}.
\end{equation}

\subsection{������}
������ ��� �������� ��������������� �������� �������� � ���� ������������ SIR-������ � ������ ������������ ���������������� �������������� (��� �������� � ����� ����������), � ����� ��������� �������������� ������� � ������� ���������� (� ������, ������������� ����� �������� ����������� �� �������������� ��� ������ ������� ��������� � ����������� �� �� ������� ���������). � ������ �������, ������ ��� �������� ���������� ������� ��� � ������������ �������������� �������.

��� � ��� ������������� ����� �������, ������������ ���������, ����������� ������������������ �������������� ������������� ����������� � ����������� ���������, ����������. ���������� ������������� �������� ������ ��� ������ ��� � ����� ��������� �������������� ���������� � ���������� �������� ���������������.