\section{Заключение}\label{sec_conclusion}
В данном разделе будет проведен анализ численных расчетов для АОМ и SEIR-HCD модели в Новосибирской области (Раздел~\ref{sec_num_results}), влияние социальной дистанции на распространение эпидемии в Новосибирской области на основе ИСП (Раздел~\ref{sec_num_res_MFG}), выводы (Раздел~\ref{sec_num_conclusion}) и направления дальнейшей работы (Раздел~\ref{sec_future_work}).

\subsection{Анализ расчета сценариев распространения COVID-19}\label{sec_num_results}
Численные расчеты данного раздела приведены для Новосибирской области. Данные, использованные при анализе и построении моделей, описаны в Приложении \ref{sec_app_data}.

В Табл.~\ref{tab:reconstr_param} приводятся восстановленные параметры $\alpha$ (АОМ) и $\alpha_I, \alpha_E, \varepsilon_{HC}, \mu$ (SEIR-HCD), характеризующие распространение COVID-19 в Новосибирской области. Дата изменения $\alpha_d(t)$ параметров (результат решения обратной задачи для АОМ, см.~Раздел~\ref{sec_inv_ABM}) коррелируют с ограничительными мерами, принятыми в регионе (с интервалом 5-14 дней). Например, возобновление удаленного режима с 1 ноября 2020 года в учебных заведениях повлекло уменьшение значений параметра контагиозности $\alpha$ в структурах с 14 ноября 2020 года.

В последней колонке Табл.~\ref{tab:reconstr_param} приведены 95\% доверительные интервалы (95\% CI) полученных значений, вычисленные по 30 испытаниям оптимизационного алгоритма OPTUNA. В АОМ параметр контагиозности вируса $\alpha (t)$ имеет различные значения для каждой структуры контактов (домохозяйства, образовательные учреждения, работа и общественные места). В SEIR-HCD модели восстановленные значения параметров являются усредненными в регионе, так как разделения на структуры контактов не подразумевалось. 

\begin{longtable}{|p{1.5cm}|p{1.23cm}|p{1.5cm} p{2cm} p{1.7cm}| p{2.8cm}|}
%\begin{tabular}
 \hline
 {\textbf{Дата изменения}} & {\textbf{Символ}} & \multicolumn{3}{c|}{\textbf{Восстановленное значение}} & \textbf{Доверительный интервал} \\ 
  \cline{3-5}
   & & \textbf{Домохоз-ва} & \textbf{Образование и работа} & \textbf{Обществ. места} & \\ 
  \hline
\multirow{3}{*}{23-05-2020} & $\alpha$ & 0.02524 & 0.00505 & 0.00252 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.06383} & (0.02879, 0.09887) \\
    (начало & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.09348} & (0.03673, 0.15023) \\
    периода) & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.00824} & (0.00452, 0.01196) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.22189} & (0.06458, 0.3792)\\
\hline
\multirow{4}{*}{17-06-2020} & $\alpha$ & 0.0223 & 0.00446 & 0.00223 &\\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.06701} & (0.0409, 0.09313) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.08834} & (0.02224, 0.15445) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.01607} & (0.01461, 0.01753) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.24682} & (0.09869, 0.39495)\\
\hline
\multirow{4}{*}{12-07-2020} & $\alpha$ & 0.02788 & 0.00558 & 0.00279 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.0643} & (0.04158, 0.08702) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.07852} & (0.02035, 0.13669) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.00896} & (0.00812, 0.0098) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.2681} & (0.10798, 0.42823)\\
\hline
\multirow{4}{*}{06-08-2020} & $\alpha$ & 0.02181 & 0.00436 & 0.00218 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.04452} & (0.03538, 0.05367) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.03547} & (0.00641, 0.06453) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.00208} & (0.00133, 0.00283) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.21982} & (0.07017, 0.36946)\\
\hline
\multirow{4}{*}{31-08-2020} & $\alpha$ & 0.02466 & 0.00493 & 0.00247 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.06572} & (0.04372, 0.08773) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.08158} & (0.02038, 0.14278) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.00115} & (0.00103, 0.00128) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.24302} & (0.08012, 0.40592)\\
\hline
\multirow{4}{*}{25-09-2020} & $\alpha$ & 0.02948 & 0.0059 & 0.00295 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.07915} & (0.03855, 0.11974) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.13327} & (0.05215, 0.2144) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.00854} & (0.00784, 0.00925) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.22748} & (0.07004, 0.38493)\\
\hline
\multirow{4}{*}{20-10-2020} & $\alpha$ & 0.02948 & 0.0059 & 0.00295 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.09853} & (0.05844, 0.13862) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.13321} & (0.05673, 0.20969) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.00979} & (0.00929, 0.01029) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.25076} & (0.07987, 0.42165)\\
\hline
\multirow{4}{*}{14-11-2020} & $\alpha$ & 0.02754 & 0.00551 & 0.00275 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.07429} & (0.04941, 0.09917) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.09587} & (0.0368, 0.15495) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.01365} & (0.01239, 0.01491) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.22794} & (0.08333, 0.37254)\\
\hline
\multirow{4}{*}{09-12-2020} & $\alpha$ & 0.02447 & 0.00489 & 0.00245 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.066} & (0.03925, 0.09274) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.09382} & (0.02578, 0.16187) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.01057} & (0.00983, 0.01131) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.2593} & (0.09546, 0.42313)\\
\hline
\multirow{4}{*}{03-01-2021} & $\alpha$ & 0.02447 & 0.00489 & 0.00245 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.11286} & (0.09334, 0.13239) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.05064} & (0.00117, 0.1001) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.00995} & (0.00948, 0.01043) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.20234} & (0.06234, 0.34234)\\
\hline
\multirow{4}{*}{28-01-2021} & $\alpha$ & 0.02332 & 0.00466 & 0.00233 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.06664} & (0.04204, 0.09123) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.07783} & (0.01485, 0.1408) \\
& $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.01158} & (0.01093, 0.01223) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.2535} & (0.11234, 0.39465)\\
\hline
\multirow{4}{*}{22-02-2021} & $\alpha$ & 0.02332 & 0.00466 & 0.00233 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.05395} & (0.02886, 0.07904) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.1069} & (0.03337, 0.18044) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.00858} & (0.00796, 0.0092) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.24984} & (0.1092, 0.39048)\\
\hline
\multirow{4}{*}{19-03-2021} & $\alpha$ & 0.0398 & 0.00796 & 0.00398 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.05269} & (0.03706, 0.06832) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.07891} & (0.03338, 0.12445) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.0084} & (0.00773, 0.00906) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.25176} & (0.11776, 0.38576)\\
\hline
\multirow{4}{*}{13-04-2021} & $\alpha$ & 0.02788 & 0.00558 & 0.00279 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.04975} & (0.02219, 0.07731) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.10684} & (0.03534, 0.17834) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.00381} & (0.00222, 0.00539) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.27165} & (0.11115, 0.43214)\\
\hline
\multirow{4}{*}{08-05-2021} & $\alpha$ & 0.02175 & 0.00435 & 0.00217 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.05668} & (0.03625, 0.0771) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.09091} & (0.03979, 0.14203) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.00271} & (0.00195, 0.00346) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.28275} & (0.14527, 0.42023)\\
\hline
\multirow{4}{*}{02-06-2021} & $\alpha$ & 0.0406 & 0.00812 & 0.00406 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.08184} & (0.04872, 0.11495) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.09535} & (0.02064, 0.17007) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.00527} & (0.00333, 0.0072) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.20956} & (0.07153, 0.34758)\\
\hline
\multirow{4}{*}{27-06-2021} & $\alpha$ & 0.03063 & 0.00613 & 0.00306 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.09507} & (0.06195, 0.12818) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.08282} & (0.02295, 0.14268) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.02107} & (0.02011, 0.02203) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.22876} & (0.07595, 0.38158)\\
\hline
\multirow{4}{*}{22-07-2021} & $\alpha$ & 0.02843 & 0.00569 & 0.00284 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.06641} & (0.04038, 0.09245) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.08157} & (0.02461, 0.13852) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.00774} & (0.00641, 0.00907) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.25786} & (0.0942, 0.42151)\\
\hline
\multirow{4}{*}{16-08-2021} & $\alpha$ & 0.02449 & 0.0049 & 0.00245 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.05153} & (0.02638, 0.07667) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.08968} & (0.0224, 0.15697) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.00366} & (0.00232, 0.005) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.21537} & (0.09108, 0.33965)\\
\hline
\multirow{4}{*}{10-09-2021} & $\alpha$ & 0.03273 & 0.00655 & 0.00327 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.06993} & (0.04723, 0.09263) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.0706} & (0.01428, 0.12692) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.01063} & (0.00999, 0.01128) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.24317} & (0.07392, 0.41242)\\
\hline
\multirow{4}{*}{08-10-2021} & $\alpha$ & 0.04294 & 0.00859 & 0.00429 & \\
\cline{3-6}
    & $\alpha_I$ & \multicolumn{3}{c|}{0.08198} & (0.05147, 0.11248) \\
    & $\alpha_E$ & \multicolumn{3}{c|}{0.13857} & (0.0659, 0.21124) \\
    & $\varepsilon_{HC}$ & \multicolumn{3}{c|}{0.01178} & (0.01126, 0.01231) \\
    & $\mu$ & \multicolumn{3}{c|}{0.24395} & (0.09619, 0.3917)\\
\hline
% \end{tabular}
\caption{Восстановленные параметры распространения COVID-19 в Новосибирской области с 13.03.2020 по 30.09.2021.\\ Здесь $\alpha$~-- параметр контагиозности, $\alpha_E$~-- доля заражения между бессимптомной и восприимчивой группами населения, $\alpha_I$~-- доля заражения между инфицированным и восприимчивым населением, $\varepsilon_{HC}$~-- доля госпитализированных случаев, которым требуется подключение ИВЛ, $\mu$~-- доля смертельных случаев в результате COVID-19.}
\label{tab:reconstr_param}
\end{longtable}

На рисунке \ref{result1} представлены численные результаты моделирования распространения ежедневно выявленных случаев. Зелеными точками отмечены реальные данные с 12.03.2020 по 16.10.2021, которые участвовали в решении обратной задачи. Красной линией представлены результаты для АОМ, синей -- для камерной SEIR-HCD модели. При моделировании был сделан прогноз на 40 дней (с 17.10.2021 по 26.11.2021) с учетом сохранения карантинных мер. Результат прогнозирования был сравнен с реальными данными 08.11.2021: количество выявленных случаев согласно реальным данным -- 400 человек, результатам АОМ -- 362, камерной SEIR-HCD модели -- 387.
\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{images/ABM_and_SEIR_results.jpg}
    \caption{Моделирование распространения ежедневно выявленных случаев COVID-19 в Новосибирской области с 12.03.2020 по 30.11.2021 (расчеты проведены 16.10.2021).\\ {Синяя линия} -- SEIR-HCD модель, {красная линия} -- АОМ, {зеленая линия} -- реальные данные с 12.03.2020 по 16.10.2021.}
    \label{result1}
\end{figure}

Для анализа эффективности ограничительных мер были изучены следующие сценарии распространения ежедневно выявленных случаев COVID-19 (рис.~\ref{result2}):
\begin{itemize}
    \item Нерабочие дни с 30.10 по 07.11, в течение которых уменьшается на 40\% людей на работе и учебе, потом увеличивается заболеваемость из-за привезенных случаев в 2 раза –- {синяя линия};
    
    \item Локдаун с 30.10.2021 по 14.11.2021, в течение которого полностью закрыты образовательные учреждения, 50\% общественных мест и 50\% рабочих переведены на удаленный режим работы –- {красная линия};
    
    \item Ничего не предпринимать (базовый сценарий) -- {зеленая линия}.
\end{itemize}

Результаты численных расчетов для сценариев развития представлены на рисунке~\ref{result2}. Так, введенная мера о нерабочих днях (синяя линия) может привести к самому неблагоприятному сценарию развития ситуации, при которой к 8 ноября ожидается 416 выявленных случаев. Базовый сценарий развития (зеленая линия) предполагает 356 выявленных случаев к 8 ноября, в рамках которого количество людей в общественных местах уменьшится из-за введения QR-кодов. Наиболее оптимистичный сценарий стоит ждать в случае более серьезного локдауна (красная линия), при котором к 8 ноября ожидается 349 выявленных случаев.
\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{images/scenarios_res.png}
    \caption{Сценарии распространения ежедневно выявленных случаев COVID-19 в Новосибирской области с 17.10.2021 по 30.11.2021.\\
    {Синяя линия} -- нерабочие дни с 30.10 по 07.11 с учетом оттока 40\% населения в эндемичные районы, {красная линия} -- локдаун с 30.10.2021 по 14.11.2021, {зеленая линия} -- базовый сценарий на 16.10.2021.\\
    {Синие точки} -- реальные данные выявленных случаев COVID-19 по 16.10.2021, используемые в моделировании, черные точки -- реальные данные выявленных случаев COVID-19 с 17.10.2021 по 08.11.2021, используемые для валидации.}
    \label{result2}
\end{figure}

Для каждого из сценариев были проведены расчеты индекса репродукции вируса $\mathcal{R}_0$ для АОМ, описанного в разделе \ref{sec_reproductionNo}. Результаты численных расчетов представлены на рис.~\ref{result3}. В случае сценария <<объявления нерабочей недели>> индекс репродукции ожидается наибольшим по значению, что впоследствии может привести к повышенному числу выявленных и умерших случаев, а также нагрузку на систему здравоохранения ({синяя линия}). Более серьезные ограничения до 14.11 ({красная линия}) значительно уменьшат значение индекса репродукции, однако через 2 недели он снова может увеличиться и переступить порог в 1. Базовый сценарий развития ({черная линия}) к 30 ноября предполагает стабильную ситуацию в регионе.
\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{images/r_eff_res.jpg}
    \caption{Сценарии изменения индекса репродукции вируса $\mathcal{R}_0(t)$ для Новосибирской области с 17.10.2021 по 30.11.2021. \\
    {Синяя линия} -- объявление нерабочих дней с 30.10 по 07.11 и отток 40\% населения из региона, {красная линия} -- закрытие учебных заведений и 50\% общественных и рабочих мест с 30.10.2021 по 14.11.2021, {черная линия} -- базовый сценарий на 16.10.2021.}
    \label{result3}
\end{figure}


\subsection{Анализ влияния социальной дистанции на распространение эпидемии}\label{sec_num_res_MFG}
На основе SIR-модели была введена модель {SIRC\textsubscript{r}}~\cite{Casagrandi_2006}, в которой $C_r(t)$~-- группа населения, имеющая перекрестный иммунитет (т.е. иммунную память к коронавирусу):
\begin{eqnarray}\label{model_SIRC}
\left\{\begin{array}{ll}
    \dfrac{dS}{dt} = -\alpha S(t)I(t) + \gamma C_r(t), & t> 0,\\[5pt]
    \dfrac{dI}{dt} = \alpha S(t)I(t) + \varepsilon \alpha C_r(t)I(t) - \beta I(t),\\[5pt]
    \dfrac{dR}{dt} = (1-\varepsilon) \alpha C_r(t)I(t) + \beta I(t) - \delta R(t), \\[5pt]
    \dfrac{dC_r}{dt} = \delta R(t) - \alpha C_r(t)I(t) - \gamma C_r(t).
\end{array}\right.
\end{eqnarray}
Значения параметров для Новосибирской области, определенные с помощью решения обратной задачи для модели~(\ref{model_SIRC}) по дополнительной информации о количестве ежедневно выявленных в результате ПЦР-теста $h_k$ и вылеченных от COVID-19 $R_k$, $k=1,\ldots, 100$, с 1 мая 2020 года по 8 августа 2020 года приведены в Табл.~\ref{tab:param_SIRC}.
\begin{table}[!ht]
\centering
\begin{tabular}{|p{6.5cm}|p{1.6cm}|p{3cm}| } 
 \hline
 \textbf{Описание параметров} & \textbf{Символ} & \textbf{Среднее значение} \\ 
  \hline
  Скорость передачи инфекции & $\alpha$ & 0.2821\\
  \hline
  Скорость выздоровления инфицированного населения & $\beta$ & 0.253\\
   \hline
  Вероятность приобретения перекрестного иммунитета & $\delta$ & 0.0889\\
  \hline
  Скорость, с которой перекрестно-иммунная популяция снова становится восприимчивой & $\gamma$ & 0.0376\\
 \hline
 Средняя вероятность повторного заражения человека с перекрестным иммунитетом & $\varepsilon$ & 0.0928\\
 \hline
 \end{tabular}
 \caption{Эпидемиологические параметры для SIRC\textsubscript{r} модели~(\ref{model_SIRC}) для Новосибирской области с 01.05.2020 по 08.08.2020, полученные с помощью решения обратной задачи.}
\label{tab:param_SIRC}
\end{table}

Численные расчеты данного раздела основываются на работе~\cite{Petrakova_2021}.
Для сведения модели~(\ref{model_SIRC}) к модели ИСП (см.~Раздел~\ref{sec_MFG}) вместо численности населения в каждой группе $S(t), I(t), R(t), C_r(t)$ введем плотность распределения людей внутри этих групп $p_S(t,x)$, $p_I(t,x)$, $p_R(t,x)$, $p_{C_r}(t,x)$. Переменная $x$ изменяется в пределах [0,1] и означает соблюдение карантинных мер: $x=1$ означает, что человек полностью придерживается карантинных ограничений, включая вакцинирование, а $x=0$ означает, что он не придерживается никаких ограничений.

Введем функции $u_S(t,x)$, $u_I(t,x)$, $u_R(t,x)$, $u_{C_r}(t,x)$, обозначающие изменение состояния человека в шкале соблюдения карантинных мер, вызываемое окружающей обстановкой, воздействием СМИ, вакцинацией и организационными мероприятиями. Тогда уравнения КФП~(\ref{eq_5})-(\ref{eq_7}) примут вид:
\begin{equation}\label{eq_KFP_SIRC}
 \hspace{-4mm}\left\{ \begin{aligned}
   & \dfrac{\partial {p}_{S}}{\partial t}+\nabla \left( {{p}_{S}}{{u}_{S}} \right)+\alpha {{p}_{S}}{{p}_{I}} - \gamma p_{C_r}-{\sigma _{S}^{2}\Delta {{p}_{S}}}/{2}\;=0, \\ 
  & \dfrac{\partial {p}_{I}}{\partial t}+\nabla \left( {{p}_{I}}{{u}_{I}} \right)-\alpha {{p}_{S}}{{p}_{I}} - \varepsilon\alpha p_{C_r}p_I+\beta {{p}_{I}}-{\sigma _{I}^{2}\Delta {{p}_{I}}}/{2}\;=0, \\ 
 & \dfrac{\partial {p}_{R}}{\partial t}+\nabla \left( {{p}_{R}}{{u}_{R}} \right)-(1-\varepsilon)\alpha p_{C_r}p_I-\beta {{p}_{I}}+\delta p_R-{\sigma _{R}^{2}\Delta {{p}_{R}}}/{2}\;=0,\\
 & \dfrac{\partial {p}_{C_r}}{\partial t}+\nabla \left( {{p}_{C_r}}{{u}_{C_r}} \right)-\delta p_R + \alpha p_{C_r}p_I+\gamma {{p}_{C_r}}-{\sigma _{C_r}^{2}\Delta {{p}_{C_r}}}/{2}\;=0
\end{aligned} \right.
\end{equation}
с начальными
\begin{equation}\label{eq_KFP_SIRC_initial}
    p_i(0,x) = \frac{A_i}{B_i} \left( exp\left(-\frac{(x-x_i^c)^2}{2 (\sigma^c_i)^2}\right)\bigg/{\sigma^c_i\sqrt{2\pi}} + a_ix^2 + b_i(1-x)^2 \right),\;\; x\in [0,1]
\end{equation}
и краевыми условиями
\begin{equation}\label{eq_KFP_SIRC_boundary}
    \dfrac{\partial p_i}{\partial x}(t,0)= \dfrac{\partial p_i}{\partial x}(t,1)=0,\qquad t\in [0,T],\;\; i\in \{S,I,R,C_r\}.
\end{equation}
Здесь $A_i$~-- доля текущей фракции по отношению к общей численности населения в начальный момент времени; $B_i$~-- коэффициент нормировки, равный интегралу по $[0,1]$ от выражения в скобках; $a_i = exp\left(-\frac{(1-x_i^c)^2}{2 (\sigma^c_i)^2}\right) (1-x^c_i)/(2(\sigma^c_i)^3\sqrt{2\pi})$ and $b_i = exp\left(-\frac{(x_i^c)^2}{2 (\sigma^c_i)^2}\right) (x^c_i)/(2(\sigma^c_i)^3\sqrt{2\pi})$ для обеспечения выполнения граничных условий \eqref{eq_7} для $p_{0i}$. В численных расчетах мы использовали следующие значения $A_i$, $x^c_i$ и $\sigma^c_i$
\begin{equation*}
\begin{aligned}
   & A_S = 0.999757;   & x_S^c = 0.8 ;\;\;\sigma_S^c = 0.1; \\
   & A_I = 0.000204;   & x_I^c = 0.2;\;\;\sigma_I^c =0.1 ; \\
   & A_R = 0.000039; & x_R^c = 0.7;\;\;\sigma_R^c =0.2 ;\\
   & A_{C_r} = 0.000000; &\;\;\;\;\; x_{C_r}^c = 0.3 ;\;\;\sigma_{C_r}^c = 0.2 .\\
\end{aligned}
\end{equation*}

Функционал стоимости организационных мероприятий и социально-экономических потерь
\begin{equation}\label{eq_J_SIRC}
    J(p_{sirc}, u_{sirc}) = \int\limits_0^T \int\limits_0^1 \left( \tilde{C}(t,x,u_{sirc}(t,x))+G(t,x,p_{sirc}(t,x)) \right)\, dxdt.
\end{equation}
Здесь $\tilde{C}(t,x,u_{sirc}(t,x))$~-- стоимость проводимых организационных мероприятий: вакцинация, карантинные мероприятия, введение QR-кодов и другие, $G(t,x,p_{sirc}(t,x))$~-- стоимость социальных и экономических потерь для группы населения в позиции $x$ на момент времени $t$, $p_{sirc}=(p_S, p_I, p_R, p_{C_r})$, $u_{sirc} = (u_S, u_I, u_R, u_{C_r})$.

Минимум функционала $J(p_{sirc}, u_{sirc})$~(\ref{eq_J_SIRC}) при выполнении уравнений КФП определяется методом множителей Лагранжа $\psi_S(t,x)$, $\psi_I(t,x)$, $\psi_R(t,x)$, $\psi_{C_r}(t,x)$, которые удовлетворяют системе ГЯБ типа~(\ref{eq_GJB_common}):
\begin{equation}\label{eq_GJB_SIRC}
 \hspace{-5mm}\left\{ \begin{aligned}
   & \dfrac{\partial \psi_S}{\partial t}+\dfrac{\sigma_S^2}{2}\Delta\psi_S+u_S \cdot \nabla\psi_S = \tilde{C}_S(t,x,p_{sirc}, \psi_{sirc}), \\
  & \begin{aligned}
  \dfrac{\partial \psi_I}{\partial t}+\dfrac{\sigma_I^2}{2}\Delta\psi_I + u_I \cdot \nabla\psi_I = \tilde{C}_I(t,x,p_{sirc}, \psi_{sirc}),
  \end{aligned} \\ 
  & \dfrac{\partial \psi_R}{\partial t}+\dfrac{\sigma_R^2}{2}\Delta\psi_R + u_R \cdot \nabla\psi_R =\tilde{C}_R(t,x,p_{sirc}, \psi_{sirc}), \\ 
  & \dfrac{\partial \psi_{C_r}}{\partial t}+\dfrac{\sigma_{C_r}^2}{2}\Delta\psi_{C_r} + u_{C_r} \cdot \nabla\psi_{C_r} =\tilde{C}_{C_r}(t,x,p_{sirc}, \psi_{sirc})
\end{aligned} \right.
\end{equation}
с начальными условиями на конце периода времени оптимизации $T$
\[\psi_i (T,x) = 0, \qquad x\in [0,1],\;\; i\in \{S,I,R,C_r\}\]
и краевыми условиями
\[\dfrac{\partial \psi_i}{\partial x}(t,0)= \dfrac{\partial \psi_i}{\partial x}(t,1)=0,\qquad t\in [0,T],\;\; i\in \{S,I,R,C_r\}.\]

Дифференциальные части задач КФП и ГЯБ сопряжены между собой и их коэффициенты связаны алгебраическими уравнениями
\begin{equation}\label{eq_connection}
    \dfrac{\partial \tilde{C}}{\partial u_i}(t,x,u_{sirc}) = -\dfrac{\partial \psi_i}{\partial x}(t,x),\quad i\in \{S,I,R,C_r\}
\end{equation}
из которых определяются параметры $u_S, u_I, u_R, u_{C_r}$, отражающие текущее изменение позиций групп населения по отношению к соблюдению карантинных мер.

Решение задач для уравнений КФП~(\ref{eq_KFP_SIRC})-(\ref{eq_KFP_SIRC_boundary}) и ГЯБ~(\ref{eq_GJB_SIRC}) совместно с уравнением связи~\ref{eq_connection} дает решение задачи оптимального поведения агентов при эпидемии с указанием строгости мер или возможности ослабления карантинных ограничений. На рис.~\ref{fig:SIRC} приведено сравнение результатов моделирования числа инфицированного населения для моделей SIRC\textsubscript{r}~(\ref{model_SIRC}) и ИСП~(уравнения КФП и ГЯБ) со статистическими данными в течение 100 дней с 1 мая по 8 августа 2020 года в Новосибирской области.
\begin{figure}[!ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{images/SIRC-MFG_res.png}
    \caption{Сравнение результатов моделирования числа выявленных случаев COVID-19 в Новосибирской области со статистическими данными с 01.05.2020 по 08.08.2020.\\
    Сплошная линия -- статистические данные, пунктирная линия -- SIRC\textsubscript{r} модель, линия с треугольниками -- ИСП модель.}
    \label{fig:SIRC}
\end{figure}

\subsection{Выводы}\label{sec_num_conclusion}
Сочетание моделей SIR и АОМ позволяет строить более разнообразные сценарии распространения пандемии COVID-19. А именно, используя результаты решения обратной задачи SEIR-HCD модели как дополнительную информацию для АОМ, мы уточняем сценарии с учетом ограничительных мер с помощью АОМ. Рассчитанные сценарии используются как дополнительная информации для дальнейшего уточнения параметров SEIR-HCD модели. Также можно перевести на материалистический язык разные с содержательной точки зрения сценарии и сравнить их.

При усложнении SIR-модели, вводя возрастные разграничения в популяции и пространственные перемещения, мы получим первое приближение АОМ.

Для более точных рекомендаций поддержки принятия решений и более комплексного моделирования мы применяем подход ИСП и ИСПУ (управление играми среднего поля, mean-field-type control). А именно, влияние вакцинации, характеризующее социальные настроения в регионе, учитывается при построении распределений населения в эпидемиологических группах.

История заболевания (временные ряды эпидемиологических данных) составляет обучающие множества для методов машинного обучения.

\subsection{Направления дальнейшей работы}\label{sec_future_work}
Необходимо совершенствовать методы искусственного интеллекта в приложении к моделированию COVID-19 и расчетов сценариев выхода из пандемии с учетом социальных, экономических и экологических процессов, включая анализ ситуации в различных регионах и группах, обработку данных, а также создавать комплексную модель на основе SIR, АОМ и ИСП (ИСПУ).

\section*{Финансовая поддержка}
Работа выполнена при поддержке Математического Центра в Академгородке, соглашение с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации \textnumero~075-15-2019-1675, Российского научного фонда (проект \textnumero~18-71-10044) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект \textnumero~20-51-54004).

\section*{Благодарности}
В различные годы исследования по моделированию в эпидемиологии (туберкулеза, ВИЧ, COVID-19) выполнялись по грантам:
\begin{itemize}
    \item Российского научного фонда (проект \textnumero~18-71-10044);
    \item Российского фонда фундаментальных исследований (проекты \textnumero~21-51-10003, \textnumero~20-51-54004, \textnumero~18-31-20019, \textnumero~17-51-540004);
    \item Президента РФ (\textnumero~МК-814.2019.1, \textnumero~МК-4994.2021.1.1);
    \item Мэрии города Новосибирска на предоставление грантов в форме субсидий в сфере научной и инновационной деятельности 2021;
    \item Министерства образования Республики Казахстан (\textnumero~ИРН AP09260317).
\end{itemize}