\section{��������� ���������� �������}\label{sec_algorithms}
�������������� ������ � ������������� ��������������� ������ �������������� � ���������� ���������, ������� ������������� ��� ������ ������������ ���������. � ��������� �������� ����� ��������� ���������, �������� � �������� �������� COVID-19 ������������� ��������������� �������������� �������� � ������������� �������. � �������~\ref{sec_DirectPr} ��������� ��������� ���������� ������� ������ �����, � ������� ��� �������� ������������������ ���������� � ��������� �������� ��������� ���������� ������������� ��������� ��������� ��������� (�������������, ��������������, �������������������, ���������� � �.�.) � ������� ����� ������� �������������. � �������~\ref{sec_InversePr} ����������� ��������� ���������� ������� �������� �����, � ������� ��������� ���������� ����������� ��������� ������� �� �������������� ���������� � ���������� ���������� ��������������, ����������������, ������������������� � ������� � ������������� ������� �������.

\subsection{������ ������}\label{sec_DirectPr}
������ ������ ��� ������ ������������� ������� � ����������� ���������� ��� ��������� �������������, ����������������, ��������������, ������������������� � �.�. ����� ��������� �� �������� ������������������ ������������� � ��������� ��������. ��������� ������ ������� ������ ����� ��� �������������� �������, ���������� �� ���������������� ���������� (������~\ref{sec_equation_models}), ��������������� �������-���������� ���������� (������ ������, �������� ���������, ���������, �������). ���������� ��������� ������� ������������� � ��������� ������� ������������� (�� �������, �� ������������ � �������). ����� ��������� ������� ������� ����� ��� �������� ���� �������� � �������~\cite{Achdou_2010, Achdou_2013, Shaydurov_2020}.

� ��������� �������� COVID-19 ��� ���������� ������� ������ ����� ������������:
\begin{itemize}
    \item ��� ������� SIRC\textsubscript{r} � SEIR-HCD: ����� �����-����� 4-�� �������.
    \item ��� �������� �������: ������ ������, �����-����� � ����������� ��������� Covasim~\cite{Kerr_2021}.
    \item ��� ������� ���: ����� �������� ��������� ������� �����, �������� �������.
\end{itemize}

\subsection{�������� ������}\label{sec_InversePr}
��������� ������� � ������������� (������ ����������� ������ $\mathcal{R}_0(t)$, ����������� ��������������, ������������, �������������, ���������� ������������� ��������� � �.�.) ������ ����������� � ��������� � ��������� � ������ ���������� ������� ��� ���������� �������� ������������� � ��������������� ��������������� ��������. � ���� ����� �� ������ �������� ������, ������� ������� � ����������� ������� ����������� ���������� $\mathbf{q}$ �������������� ������ ������������� �� �������������� ���������� $f_k^i$ � ���������� ���������� ($i=1$), ������������������� ($i=2$), ������� ($i=3$) � ������������� ������� ������� $t_k$, $k=1,\ldots, K$ (��������� � ���������� �������� ����� ��� ������� SEIR-HCD � ��� ��.~�������~\ref{sec_inv_SEIR} �~\ref{sec_inv_ABM} ��������������). �������� ������ ����� ���� �������������� � ���� ������ ����������� �������� �����������~\cite{Kaltenbacher_2008, Kabanikhin_2009}:
\begin{eqnarray}
    J(\mathbf{q}) = \left< A(\mathbf{q}) - \mathbf{f}, A(\mathbf{q}) - \mathbf{f}\right>.
\end{eqnarray}
����� $A$~-- ���������� �������� �������� ������, $\mathbf{f} = \left\{ f_k^i \right\}_{\substack{i\in \mathcal{I}, \\k=\overline{1,K}}}$, $\mathcal{I}$~-- ��������� ���������� ��������� �������.

�������� ������ �������� ������������, � ������ �� ������� ����� ���� �������������� �/��� ������������~\cite{Tikhonov_1983, Tikhonov_1995, Kabanikhin_2009}. ��� ���������� ��������� ������������� ������� �������� ������ ���������� ������ ���������������� ����������, ������� ��������� �����������  ��������� $q_i$ �� ������� ���������������� �� ��������� � �������� ������ �������� ������~\cite{Hongyu_2011, Banks_2015, Andrianakis_2015, KOI_2020}.

� ��������� �������� \textit{SBRAS-COVID-19} ��� ���������� ������� �������� ����� ������������:
\begin{itemize}
    \item ����� ����������� �������� �����������: ������������ ��������, ����� ���������������� ��������, ����� �������� ������, ����� ��� ������, ����� ����������� ������ �������, ��������� �����������, �������������� ����������� �����, �������� ��������� ����, �������� � �������������.
    \item ��� ��������� ��������: ������ ����������� ������, ������������� ������, ����������-����������, ��������-��������-���������-�����, �������-����.
\end{itemize}

��� ������������ ������ � �������� ����� ������������ ��������� \textit{SBRAS-COVID-19} ������������ ������������� ����������:
\begin{enumerate}
    \item SIR-������:
    \begin{itemize}
        \item ������ ���������� ����������� ��������� ��������� � ��������� � ������������ ������������� -- ��������� ������������, ������������ � ����������� ������� �������, �������������� � �������� ������������, ���������� ���������� �������� � ������� �������.
        \item ������������ �������� ����� -- �.�.~�������~\cite{Tikhonov_1943}, �.�.~����������~\cite{Lavrentiev_1953}, �.�. �������~\cite{Godunov_1992}, �.�. ���������~\cite{Kabanikhin_2013}.
        \item ������ ������������������ -- ����������� (���������������� �������, ������������ �������, ���������� � ��� �������) � ������������ (�����-�����, �������������� �������)~\cite{Hongyu_2011}.
        \item ������ ������� ����������������: �������������, ������������ ����������, ����������� ��������~\cite{Hongyu_2011, Banks_2015, KOI_2020}.
        \item ������ ������������� -- ������ �.�.~�����������~\cite{Lavrentiev_1962}, �.�.~��������~\cite{Tikhonov_1963} � �.�.~�������~\cite{Ivanov_1963}, ������������ �������������~\cite{KSI_2015, KSI_Zhang_2020}.
        \item ������ ����� ��������� ���������� -- �.�.~������, �.�.~�����, �.�.~�����.
        \item ������������ ���������� ��������������� ���������� -- ������� �������������� ����������~\cite{Giglyavskiy_1991}.
        \item ������ ������� ������ -- ��������� ����������~\cite{Tyrtyshnikov_1993, Oseledets_2011, Zheltkov_2013, Zheltkova_2018}.
\end{itemize}
    \item �������� ������:
    \begin{itemize}
        \item ������ ������� ���������������� -- ���������� �������, ������������� ������~\cite{Andrianakis_2015, KOI_JIIP_2021}.
        \item ������ ���������������������� ���������� -- �������������� ����������, MPI.
    \end{itemize}
\end{enumerate}

\subsubsection{�������� ������� �������� ������ ��� SEIR-HCD}\label{sec_inv_SEIR}
�����������, ��� �������� �������������� ���������� � ���������� ���������� ���������� ������� $(1-b_k)h_k$, ����������� $C_k$ � ������� $g_k$ � SEIR-HCD ������ � ������������� ������� ������� $t_k$, $k=1,\ldots, K$:
\begin{eqnarray}\label{eq:SEIR-HCD_data}
    E(t_k; \mathbf{q}) = (1-b_k) h_k,\; C(t_k; \mathbf{q}) = C_k,\; D(t_k; \mathbf{q}) = g_k,\quad k=1,\ldots, K.
\end{eqnarray}
����� $\mathbf{q}=(\alpha_E(t), \alpha_I(t), \varepsilon_{HC}, \mu, E_0, I_0)$~-- ������ ����������� ���������� ������, $h_k$~-- ���������� ���������� ������� � ������������� ������� (��. ���.~\ref{fig:Nsk_stat_data} � ����������~\ref{sec_app_data}), $b_k$~-- ������� ������������� ������� �� ����������� ���.

�������� ������ ��� SEIR-HCD ������~(\ref{eq:SEIR-HCD})-(\ref{eq:SEIR-HCD_init_cond}),~(\ref{eq:SEIR-HCD_data}) ������� � ����������� ������� ���������� $\mathbf{q}$ �� �������������� ����������~(\ref{eq:SEIR-HCD_data}). �������� ������ ��� SEIR-HCD ������ ���� ������� � ������ ����������� �������� ����������� 
\begin{eqnarray}\label{eq:J_SEIRHCD}
\begin{array}{ll}
    J(\mathbf{q}) = &\sum\limits_{k=1}^{K} \dfrac{1}{(1-b_k)^2h_k^2}\left( \dfrac{1}{t_{inc}} E(t_{k-1};\mathbf{q}) - (1-b_k)h_k \right)^2 +\\[4mm]
    &+\dfrac{(C(t_k;\mathbf{q}) - C_k)^2}{C_k^2} + \dfrac{(D(t_k;\mathbf{q}) - g_k)^2}{g_k^2}.
\end{array}
\end{eqnarray}

����� ������ ��������� $t_{inc}^{-1}E(t_{k-1};\mathbf{q})$ ��������� ���������� ������������� ��������� ������ COVID-19, ������� � ���� $t_k$ �������� � ��������� ���������� ���������� �������������� (��.~���.~\ref{fig:SEIR-HCD_scheme}�). � ���������� $J(\mathbf{q})$ ����� �������� ���������� � ����������� $C(t_k;\mathbf{q})$ � ������� $D(t_k;\mathbf{q})$ � ���������� �OVID-19 �������, ���������� � ������� �������� � �������� ���������� (��.~����������~\ref{sec_app_data}).

������ ������������������ ������~(\ref{eq:SEIR-HCD})-(\ref{eq:SEIR-HCD_init_cond}),~(\ref{eq:SEIR-HCD_data}) �������, ��� �������� $\beta$, ����������� ���� �������������� ������������, ������� ��������� ����������� ��� ����������, �������� �������� ����������������~\cite{Vavilov_ident}, ������� � �������� �������������� ���������� ������������ ������ ������������ ������ <<�������>> (��. ����������~\ref{sec_app_data}), ������� � ������� ���� �������� ������������ ������� �������� ������.

��� ���������� ������� ������ ����������� $J(\mathbf{q})$~(\ref{eq:J_SEIRHCD}) �������������� ��������� ������������������ �����: 
\begin{enumerate}
\itemsep0em 
    \item ���������� � ��������� �������� ������ ��� ���������� �������� ������:
    \begin{enumerate}
    \itemsep0em
        \item[1.1.] ������ �� ����� ���������� ������� ��������� COVID-19 $h_k$, ����������� (��������� ����������� �������� ���) $C_k$ � ������� $g_k$.
        \item[1.2.] ������ �� �������� ������������� ���������� ������� $b_k$ �� ������ ����� ���������� ������� ��������� COVID-19, � ����� ��� ������� �� ������ �������������, ������������ � ������� ��������� ����� (��. ������~\ref{sec_ML_models}).
        \item[1.3.] ������ ������������ �� ������� $a(t)$, � ����� ��� ������� �� ������ �������������, ������������ � ������� ��������� ����� (��. ������~\ref{sec_ML_models}).
        \item[1.4.] ������ �� �������� ������������ � ���������� � COVID-19 �� ������������ ������ <<�������>> $\beta (t)$, � ����� ��� ������� �� ������ �������������, ������������ � ������� ��������� ����� (��. ������~\ref{sec_ML_models}). 
    \end{enumerate}
    \item ����������� ������ ���������� ��� �������� ������� $\mathbf{q}$ (��.~�������~\ref{tab_parameters}, ������� 3).
    \item ��������� ������� ����������� ���������� $\mathbf{q}$ ���� ������� �������� ������ ���������� �������� ������. �������� ������ �������� ��� ������� 30-�������� ������� �������� ������ (������������� ������). �����, �� ��������������� ���������� $\mathbf{q}$ ��� �������� 30-�������� ������� �������������� ������� ������������������ ������ �� ��������� 7 ���� (������������� ������). ������� �������������� ���� ������� ������ ������~(\ref{sec_R0-SEIR-HCD}) �� �����, ��������� �� ���.~\ref{fig:data-driven} ��� ����������� ������ ��������������� �� ��������� ��������� ���������� ���������� $\mathbf{q}$. ����� ����� ������������� � ������������� ������� ��������� �� 7 ���� � ��� ���� �������� �������� ����� �������� ������. � ��� ����� �� ��� ��� ���� �� ���������� �������� ������.
    \begin{figure}[h!]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/train_test.png}
    \caption{�������� �������� ������ ��� ������� �������� ������ ��� SEIR-HCD ������~(\ref{eq:SEIR-HCD})-(\ref{eq:SEIR-HCD_init_cond}),~(\ref{eq:SEIR-HCD_data}). ������������� ������ (30 ����) -- ��������� ���������� $\mathbf{q}$. ������� (7 ����) �������������� ��� ��������� $\mathbf{q}$. ����� ������ ���������� �� 7 ���� � ����� �������� �������� ������.}
    \label{fig:data-driven}
\end{figure}
    \begin{enumerate}
    \itemsep0em 
        \item[3.1.] ��� ������� ������ ����������� �������� �����������~(\ref{eq:J_SEIRHCD}) ������������� ����� ���������� ����������� {OPTUNA} ({https://optuna.org/}), � ���������� �������� ����� ��������������� ���������, ����� ����������� ������ ������� � ��������� �����������. 
        \item[3.2.] ���������� �� ���������� ���� ���������� ������� ��������� � ������� ��������� ������� ������������ ����~\cite{KSI_2015}.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection{�������� ������� �������� ������ ��� ���}\label{sec_inv_ABM}
�����������, ��� ��� ���, ��������� � �������~\ref{sec_ABM_COVID}, �������� �������������� ���������� � ���������� ��������� ���������� ������� $h_k$, ����������� ���-������ � ������� $T(t_k)$, ����������� $C_k$ � ������� $g_k$ ������� � ������������� ������� ������� $t_k, k=1,\ldots, K$. �������� ������ ��� ������ ��� ������� � ����������� ������� ���������� $\mathbf{q}=(\alpha, \alpha_d(t), \alpha_c(t), p(t), E_0)$ �� �������������� ���������� $h_k, T(t_k), C_k, g_k$, $k=1,\ldots, K$. ����� $\alpha$~-- �������� �������������� ������, $\alpha_d(t)$~-- ��� ��������� ��������� $\alpha$, $\alpha_c(t)$~-- ��������, �� ������� ���������� �������� $\alpha$ � ��� $\alpha_d(t_k)$, $p(t)$~-- ���� ���� ���������������� (������� �� ���������� ������), $E_0$~-- ��������� ���������� ������������� ��������������.

�������� ������ �������� � ������ ����������� �������� �����������:
\begin{eqnarray}\label{eq:J_ABM}
    J(\mathbf{q}) = \sum\limits_{k=1}^{K} \dfrac{|Y(t_k;\mathbf{q}) - h_k|}{h_k} + \dfrac{|C(t_k;\mathbf{q}) - C_k|}{C_k} + \dfrac{|D(t_k;\mathbf{q}) - g_k|}{g_k}.
\end{eqnarray}
����� $Y(t; \mathbf{q})$~-- ���������� ������������ ���������� ������� COVID-19 � ���������� ��� ������������.

���� ����������� ������������������ �������� ������ �� ������ ������������ �������~\cite{Andrianakis_2015} � ����� ������������ �����������: �������� �������������� $\alpha$, ��������� ���������� �������������� $E_0$ � �������� ������������ $p$ �� �������������� ������ � ���������� ���������� $h_k$, ������� $g_k$ � ���������� COVID-19 � ���������, ����������� � ��������� ����������� ������� $C_k$. � ���������� ������� ��������� ������� ������ ��������� $\alpha$ ����� ��� � 2 ����, � �� ����� ��� ������� ���������� $p$ � $E_0$ �������� �����������.

�������� ���������� ������� ������ ����������� ����������� $J(\mathbf{q})$~(\ref{eq:J_ABM}):
\begin{enumerate}
 \item ���������� � ��������� �������� ������ ��� ���������� �������� ������ (����� � ������� �������� �� ����� {http://covid19-modeling.ru/} � ������� "������"):
     \begin{enumerate}
     \item[1.1.] ���������� ��������� � ������ � ��������� ���������� �������, ����������� ���-������, ����������� � ������� �������� �������� � ������ �������������.
     \item[1.2.] ����������� ������ � ������� ������������ ������� ��� ���������� ���������� ������ ����� �������������� �� � ������� �������� ������.
     \end{enumerate}
 \item ��������� ������ ��������� ����������� ���������� $\mathbf{q}$ �������� ������� ����������������.
 \item ��������� �������������� ������� ���������� $\mathbf{q}$ � ����� 30 ����, � ���� �������� �������� �������-����������� ��������� $\alpha$ $(\alpha_d(t), \alpha_c(t))$ ���������� ��������������� ���� �� ������. ����� �������, �������� ����������, ��������������� �� ���������� ����, �������������� � ����������� ������� ��������� ����������� �����������, ������� ����������� ����� ���������� ������� ����������� (���������� {https://optuna.org/}{OPTUNA}) � ���������� (�����������) ������ �����������.
 \item ���������� ��������� ��������������� ���������� ���������� ������� COVID-19:
 \begin{enumerate}
     \item[4.1.] ������������� ���������� ��������� ���-������ � ������� $T(t)$ � ������� ������������� ������� SARIMA (������~\ref{sec_regression}) � ���������� � �������� ��������� �������� (������~\ref{sec_ML_models}) �� 45 ����.
     \item[4.2.] ��� ���������� ���������� � ��������������� ��� (�������� ��������������� ��� ������� � �������~\ref{sec_ABM_COVID}) ������ ������ ������.
     \end{enumerate}
    \item ���������� ������������� ����������:
    \begin{enumerate}
     \item[5.1.] ������ ������ ������ � ������������������� ����������� 10000 ��� � ������� ������ �����-����� (�������������� ����� ������� ������ ������ ��� ��� �� �������� ���������� 10 ���).
     \item[5.2.] ��� ������� ��� ������� �������� ������ 0.1, 0.5, 0.9 (������ ������� ������������� ��������� �������� ���������� ������� � �������� �� �������� � ������ 0.1, 0.5 � 0.9).
     \item[5.3.] �������� 3 ������� ����� � ����� ���� ����, �� ������� ������ ��������� �������� (�������� ������ 0.5, �������� ����� �� �������� � �������~\ref{sec_num_results}).
     \end{enumerate}
\end{enumerate}
