
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}

\usepackage[matrix,arrow,curve]{xy}




\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{amscd}
\usepackage[dvips]{graphicx}



\usepackage[usenames]{color}

\def\udcs{512.53, 512.58, } %Здесь автор определяет УДК своей работы

\def\mscs{20M30, 18M05} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы

\setcounter{page}{1}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Утверждение}
\newtheorem{example}{Пример}
\newtheorem{remark}{Замечание}



%\newtheorem{lemma}{Lemma}
%\newtheorem{theorem}{Theorem}
%\newtheorem{definition}{Definition}
%\newtheorem{corollary}{Corollary}
%\newtheorem{proposition}{Proposition}
%\newtheorem{example}{Example}
%\newtheorem{remark}{Remark}





\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 19, стр. 1--1 (2022) \hspace{59mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
        {\rm\small DOI~10.17377/semi.2017.14.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}


\usepackage{pb-diagram}

\begin{document}


\renewcommand{\refname}{References}
\renewcommand{\proofname}{Доказательство.}
\renewcommand{\figurename}{Fig.}


\thispagestyle{empty}


\title[О пространствах Чу над категорией $SS-Act$]{О пространствах Чу над категорией $SS-Act$}



\author{Е.Е. Скурихин, А.А. Степанова, А.Г. Сухонос${}^1$}


\address{E.E. Skurikhin   % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Institute of Applied Mathematics,
\newline\hphantom{iii} Radio, 7,
\newline\hphantom{iii} 690041, Vladivostok, Russia
\newline\hphantom{iii} Far-Eastern Federal University,
\newline\hphantom{iii} b.Ayaks-10,
\newline\hphantom{iii} 690920, Vladivostok, Russia}%
\email{eeskur@gmail.com}%



\address{A. A. Stepanova   % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Far-Eastern Federal University,
\newline\hphantom{iii} b.Ayaks-10,
\newline\hphantom{iii} 690920, Vladivostok, Russia}%
\email{stepltd@mail.ru}%

\address{A.G. Sukhonos   % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Far-Eastern Federal University,
\newline\hphantom{iii} b.Ayaks-10,
\newline\hphantom{iii} 690920, Vladivostok, Russia}%
\email{agsukh@mail.ru}%


\thanks{\sc  E.E. Skurikhin, A. A. Stepanova, A.G. Sukhonos.
On Chu spaces over $SS-Act$ category}
\thanks{\copyright \ 2022   E.E. Skurikhin, A. A. Stepanova, A.G. Sukhonos}
\thanks{\rm The research was funded by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (agreement No. 075-02-2022-880)}
\thanks{\it Received  November, 27, 2022, published  December, 1,  2022.}%



\emph{}



\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract.} We prove the general properties of morphisms of Chu spaces and functors with a value in the category of Chu spaces. As a consequence, the existence of coproducts and some products is proved; monomorphisms and epimorphisms of $Chu(SS-Act)$ and $Chu(SS-Act,D)$ categories of Chu spaces  over $SS-Act$  category are characterized; characteristics of separable and complete separable Chu spaces are given.



\noindent{\bf Keywords:} Cartesian Closed Category, $S$-Act, Chu spaces, limits of functors.

\end{quote}
}


\section{Введение}

Конструкция Чу \cite{Barr1,BW}, позволяющая по заданной симметрической
моноидальной замкнутой категории и фиксированному объекту в ней
построить новую категорию с дополнительными свойствами, привела к формированию понятия
пространства Чу и появления целых направлений исследования категорий
пространств Чу и свойств выделенных объектов и морфизмов.
Если $\mathcal{V}$ категория, $\otimes: \mathcal{V}\times\mathcal{V}\longrightarrow \mathcal{V}$
функтор, рассматриваемый как произведение на категории $\mathcal{V}$, то пространством Чу над $\mathcal{V}$
называется любой морфизм $r: A\otimes X\longrightarrow D$
категории $\mathcal{V}$, где $A,X,D\in Ob(\mathcal{V})$. Категория $Chu(\mathcal{V},D)$, где $D$
фиксированный объект $\mathcal{V}$, определяется так \cite{BW,Pr}: объекты её --- это пространства Чу
$r: A\otimes X\longrightarrow D$, а морфизмом из $r$ в $r': A'\otimes X'\rightarrow D$ является произвольная пара
$(f,g)$ морфизмов $f:A\rightarrow A'$, $g:X'\rightarrow X$ категории
$\mathcal{V}$ такая,
что $r\circ(1_{A}\otimes g)=r'\circ(f\otimes 1_{X'})$.

В работе \cite{SSS1} введена категория $Chu(\mathcal{V})$, объекты которой --- это всевозможные
пространства Чу $r: A\otimes X\longrightarrow D$, а морфизмом из $r$ в $r': A'\otimes X'\rightarrow D'$ является произвольная тройка
$(f,g, h)$ морфизмов $f:A\rightarrow A'$, $g:X'\rightarrow X$, $h:D\rightarrow D'$  категории
$\mathcal{V}$ такая,
что $h\circ r\circ(1_{A}\otimes g)=r'\circ(f\otimes 1_{X'})$. В работах \cite{SSS1, SSS3} обе эти категории изучались для случая, когда $\mathcal{V}=S-Act$ --- категория $S$-полигонов,
где $S$ --- коммутативный моноид, а произведением является тензорное произведение. В предлагаемой
работе в качестве $\mathcal{V}$ рассматривается категория $SS-Act$, введённая в работе \cite{SSS4}, а качестве произведения в этой категории рассматривается декартово произведение.
Категория $SS-Act$ декартово замкнута, кроме того, функтор вложения $S-Act\rightarrow SS-Act$ обладает сопряжённым слева. Используя это, мы доказываем общие свойства морфизмов пространств Чу и функторов со значением в категории пространств Чу. В качестве следствий доказывается существование копроизведений, некоторых произведений, характеризуются мономорфизмы и эпиморфизмы категорий $Chu(SS-Act)$ и $Chu(SS-Act,D)$, даются характеристики отделимых и полных отделимых пространств Чу.



\section{Предварительные сведения}

Пусть $S$ --- моноид, $1$ --- единица моноида $S$. Левым $S$-полигоном, или просто полигоном
называется множество $A$, на котором зафиксировано левое действие моноида $S$, т.е. такое отображение
$(s,a)\mapsto sa$ множества $S\times A$ в $A$, что для любых $a\in A$ и $s,t\in S$, $1a=a$ и $s(ta)=(st)a$.
Отображение $f:A\longrightarrow B$ называется гомоморфизмом
$S$-полигонов, если для
любых $a\in A$, $s\in S$, $f(sa)=sf(a)$ \, \cite{GMPS, KKM}.

Категория, объектами которой являются полигоны, морфизмами --- гомоморфизмы полигонов, а композиция 2 морфизмов
определяется как суперпозиция соответствующих отображений, обозначается $S-Act$, так что $Ob(S-Act)$ это класс всех $S$-полигонов,
$Hom_{S-Act}(A,B)$ --- это множество всех гомоморфизмов из полигона $A$ в полигон $B$. Единицами категории  $S-Act$ являются  тождественные отображения $1_A \in Hom_{S-Act}(A, A)$.

Категория $ SS-Act $ определяется следующим образом  \cite{SSS4}.
Объекты её --- это $S$-полигоны, морфизмом из $A$ в $B$ называется любой гомоморфизм $S$-полигонов $u:S\times A\rightarrow Hom_{S-Act}(A,B)$. Таким образом, $$Ob(SS-Act)=Ob(S-Act),\,\,\,Hom_{SS-Act}(A,B)= Hom_{S-Act}(S\times A, B).$$
Если $ u\in Hom_{SS-Act}(A, B)$, $v\in Hom_{SS-Act}(B,C)$, то их композиция $v\cdot u\in Hom_{SS-Act}(A, C)$
определяется равенством $$(v\cdot u)(s,a){=}v(s,u(s,a)).$$ Единицами категории  $SS-Act$ являются морфизмы $e_A \in Hom_{SS-Act}(A, A)$, где $e_A(s,a)=a$.

В категории $ SS-Act $ имеются произведения и копроизведения \,\cite{SSS4}.

\begin{proposition}\label{prod}

1) Произведением полигонов $A_i$ $(i\in I)$ в категории $SS-Act$ является полигон $\prod\limits_{i\in I}{A_i}$ вместе с морфизмами $p_i\in Hom_{ SS-Act}(\prod\limits_{i\in I}{A_i}, A_i)$, задаваемыми равенствами $p_i( s,a)=a(i)$ для  любых $a\in \prod\limits_{i\in I}{A_i}$, $i\in I$.
	
2) Копроизведением полигонов  $A_i$ $(i\in I)$  в категории $SS-Act$ является полигон
$\coprod\limits_{i\in I}A_i$ вместе с морфизмами $q_i\in Hom_{ SS-Act}(A_i,\coprod\limits_{i\in I}{A_i})$, задаваемыми равенствами $q_i( s,a_i)=a_i$ для  любых $a_i\in A_i$, $i\in I$.
\end{proposition}




Пространством Чу над категорией $SS-Act$   называется набор
$(A,X,D,r)$, где  $A, X, D\in Ob(SS-Act)$,  $r\in Hom_{SS-Act}( A\times X,D)$. Если это не приводит к недоразумениям, будем сокращать обозначение пространства Чу $(A,X,D,r)$ до $r\in Hom_{SS-Act}( A\times X,D)$.
В соответствии с общими определениями, категория $Chu(SS-Act)$ задаётся так.
Пусть $r\in Hom_{SS-Act}( A\times X,D)$, $r'\in Hom_{SS-Act}( A'\times X',D')$. Морфизмом
или преобразованием  Чу $r$ в $r'$ называется
тройка $(f, g , h)$ морфизмов $f\in Hom_{SS-Act}(A, A')$, $g\in Hom_{SS-Act}(X', X)$, $h\in Hom_{SS-Act}(D, D')$, если она удовлетворяет условию
$$h\cdot r\cdot(e_A\times g)=r'\cdot(f\times e_{X'}).$$
Будем писать в этом случае $(f, g, h):r\rightarrow r'$.

Если $(f', g' , h'):r'\rightarrow r''$, то композиция преобразований Чу определяется следующим образом:
$$(f', g' , h')\circ(f, g , h)=(f'\cdot f,g\cdot g',h'\cdot h):r\rightarrow r''.$$

\section{Основная лемма}

Если $u:S\times A\rightarrow B$ гомоморфизм полигонов, то отображение $tu:S\times A\rightarrow B$, задаваемое равенством $(tu)(s,a)=u(st,a)$, также является гомоморфизмом, так что множество $Hom_{SS-Act}(A,B)$ наделяется структурой $S$-полигона. По аналогии с отображениями множеств введем обозначение:
$$Hom_{SS-Act}(A,B)=B^A.$$

В работе \cite{SSS4} доказано, что категория $SS-Act$ декартово замкнута, т.е. функторы
$Hom_{SS-Act}(\bullet\times \bullet,\bullet)$ и
$Hom_{SS-Act}(\bullet,\mathcal{H}^{SS}(\bullet,\bullet))$ изоморфны для некоторого функтора
$$\mathcal{H}^{SS}:(SS-Act)^o\times(SS-Act)\rightarrow SS-Act.$$

Функтор
$\mathcal{H}^{SS}$
определяется так. Если $A, B, A', B' \in Ob(SS-Act),$ $f\in
Hom_{SS-Act}(A',A)$, $g\in Hom_{SS-Act}(B,B')$, то
$$\mathcal{H}^{SS}(A,B)=B^A=Hom_{SS-Act}(A,B),$$ отображение
$$g^f=\mathcal{H}^{SS}(f,g)\in Hom_{SS-Act}(B^A,B'^{A'})$$ задаётся равенством
$g^f(s,w)=\mathcal{H}^{SS}(f,g)(s,w)=(sg)\cdot w\cdot(sf),$
если $(s,w)\in S\times B^A$.

Обозначим через $p_{A,X,D}:Hom_{SS-Act}(A\times X,D)\rightarrow Hom_{SS-Act}(A,D^X)$ отображение такое, что
$$((p_{A,X,D}(r))(s,a))(t,x)=r(ts,(ta,x)),$$ где $r\in Hom_{SS-Act}(A\times X,D)$, $s,t\in S$, $a\in A$, $x\in X$.

В работе \cite{SSS4} доказано, что каждое отображение $p_{A,X,D}$ биективно и для любых $v\in
Hom_{SS-Act}(A',A)$, $g\in Hom_{SS-Act}(X',X)$, $h\in Hom_{SS-Act}(D,D')$, любого $r\in Hom_{SS-Act}(A\times X,D)$
выполняется равенство
$$p_{A',X',D'}(h\cdot r\cdot(v\times g))=h^g\cdot p_{A,X,D}(r)\cdot v,\leqno(\ast)$$
и это означает, что семейство отображений
$$P^{SS}=\{ p_{ A, X, D}\mid A, X, D\in Ob(SS-Act)\}$$
является изоморфизмом функторов
$$P^{SS}:Hom_{SS-Act}(\bullet\times \bullet,\bullet)\rightarrow Hom_{SS-Act}(\bullet,\mathcal{H}^{SS}(\bullet,\bullet)).$$
Соотношение $(\ast)$ эквивалентно
$$p_{A,X',D'}(h\cdot r\cdot(e_A\times g))=h^g\cdot p_{A,X,D}(r)\;\;\text{и}\;\; p_{A',X,D}(r\cdot(v\times e_X))=p_{A,X,D}(r)\cdot v.\leqno{(\ast\ast)}$$



Для $r\in Hom_{SS-Act}(A\times X,D)$ введем обозначение:
$$\hat r=p_{A,X,D}(r).$$ Будем также обозначать через $r_{XD}\in Hom_{SS-Act}(D^X\times X,D)$
пространство Чу, задаваемое равенством
$$p_{D^X,X,D}(r_{XD})=\widehat{r_{XD}}=e_{D^X},$$ где $e_{D^X}:S\times D^X\rightarrow D^X$ --- единица категории $SS-Act$.
Отметим, что $\hat r\in Hom_{SS-Act}(A, D^X)$.


\begin{lemma}\label{mainlemma} (Основная лемма)
	
1) Пусть $f\in Hom_{SS-Act}(A,A')$, $g\in Hom_{SS-Act}(X',X)$, $h\in Hom_{SS-Act}(D,D')$,
$r\in Hom_{SS-Act}(A\times X,D)$, $r'\in Hom_{SS-Act}(A'\times X',D')$. Тогда
$$(f,g, h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r')\Leftrightarrow h^g\cdot p_{A,X,D}(r)=p_{A',X',D'}(r')\cdot f\Leftrightarrow
h^g\cdot \hat{r}=\hat{r'}\cdot f;\leqno{(a)}$$
$$(h^g,g,h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r_{XD},r_{X'D'});\leqno{(b)}$$
$$(\hat{r},e_X,e_D)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{XD});\leqno{(c)}$$
$$(f,g, h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{X'D'})\Leftrightarrow f=h^g\cdot p_{A,X,D}(r)\Leftrightarrow f=
h^g\cdot\hat{r},\leqno{(d)}$$ при этом
$$(f,g, h)=(h^g,g,h)\circ(\hat{r},e_X,e_D).\leqno{(e)}$$
	
2) Для любого $w\in Hom_{SS-Act}(A,D^X)$
$$p_{A,X,D}(r_{XD}\cdot(w\times e_X))=w.$$
	
3) Имеет место равенство $$r=r_{XD}\cdot(\hat{r}\times e_X)\leqno{(f)}$$ и, если $w\in Hom_{SS-Act}(A,D^X)$ и
$r=r_{XD}\cdot(w\times e_X)$, то $w=\hat{r}$.
	
4) Для любого  $w\in Hom_{SS-Act}(A,D^X)$ следующие условия эквивалентны для любого:
$$p_{A,X,D}(r)=w;\leqno{(g)}$$
$$(w,e_X,e_D)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{XD});\leqno{(h)}$$
$$r=r_{XD}\cdot(w\times e_X).\leqno{(i)}$$
\end{lemma}

\begin{proof} Докажем 1).
	
	$(a)$ По определению морфизмов пространств Чу,
	$$(f, g , h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r')\Leftrightarrow h\cdot r\cdot(e_A\times g)=r'\cdot(f\times e_{X'}).$$
	Так как отображение $p_{A, X' , D'}$ биективно, то
$$h\cdot r\cdot(e_A\times g)=r'\cdot(f\times e_{X'})\Leftrightarrow p_{A, X' , D'}(h\cdot r\cdot(e_A\times g))=
p_{A, X', D'}(r'\cdot(f\times e_{X'})).$$
	В силу соотношения $(\ast\ast)$
	$$p_{A, X' , D'}(h\cdot r\cdot(e_A\times g))=h^g\cdot p_{A,X,D}(r)=h^g\cdot\hat{r},$$
	$$p_{A, X' , D'}(r'\cdot(f\times e_{X'}))=p_{A',X',D'}(r')\cdot f=\hat{r'}\cdot f,$$ откуда и
	получается нужный результат.
	
	$(b)$ Так как $p_{X^D,X,D}(r_{XD})=e_{D^X}$ и  $p_{D'^{X'},X',D'}(r_{X'D'})=e_{D'^{X'}}$, то применяя $(a)$
	получаем
	$$(f, g , h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r_{XD},r_{X'D'})\Leftrightarrow h^g\cdot p_{D^X,X,D}(r_{XD})=
	p_{D'^{X'},X',D'}(r_{X'D'})\cdot f\Leftrightarrow h^g=f.$$
	
	$(c)$ По $(a)$ имеем
	$$(f,e_X,e_D)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{XD})\Leftrightarrow p_{A,X,D}(r)=p_{D^X,S,D}(r_{XD})\cdot f\Leftrightarrow
	\hat{r}=f.$$
	
	
	$(d)$, $(e)$ Так как $p_{D'^{X'},X',D'}(r_{X'D'})=e_{D'^{X'}}$,
	то применяя $(a)$ получаем
	$$(f, g , h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{X'D'})\Leftrightarrow h^g\cdot p_{A,X,D}(r)=p_{A',X',D'}(r_{X'D'})\cdot f
	\Leftrightarrow h^g\cdot p_{A,X,D}(r)=f.$$ По $(b)$ и $(c)$ $(h^g,g,h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r_{XD},r_{X', D'})$,
	$(\hat{r},e_X,e_D)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{XD})$, следовательно,
	$$(h^g,g,h)\circ(\hat{r},e_X,e_D)=(h^g\cdot\hat{r}, g \cdot e_X, e_D\cdot h)=(f, g , h).$$
	
	Докажем 2). В силу соотношения $(\ast\ast)$ $p_{A',X,D}(r\cdot(v\times e_X))=p_{A,X,D}(r)\cdot v,$ где
	$v\in Hom_{SS-Act}(A',A)$. Полагая $v=w\in Hom_{SS-Act}(A,D^X)$ и $r=r_{XD}$ получаем
	$$p_{A,X,D}(r_{XD}\cdot(w\times e_X))=p_{D^X,X,D}(r_{XD})\cdot w=w.$$
	
	Докажем 3). Пусть $r\in Hom_{SS-Act}(A\times X,D)$. Полагая в 2) $w=p_{A,X,D}(r)=\hat{r}$
	получаем $p_{A,X,D}(r_{XD}\cdot(\hat{r}\times e_X))=\hat{r}=p_{A,X,D}(r)$. Так как $p_{A,X,D}$ инъективное отображение, то
	$r_{XD}\cdot(\hat{r}\times e_X)=r$.
	
	Если $r_{XD}\cdot(w\times e_X)=r_{XD}\cdot(\hat{r}\times e_X)$  для некоторого $w\in Hom_{SS-Act}(A,D^X)$,
	то в силу 2) получаем
	$$w=p_{A,X,D}(r_{XD}\cdot(w\times e_X))=p_{A,X,D}(r_{XD}\cdot(\hat{r}\times e_X))=\hat{r}.$$
	
	Докажем 4). Эквивалентность условий $(g)$ и $(i)$ доказана в 2), а эквивалентность условий $(g)$ и $(h)$ проверено при доказательстве соотношения $(c)$.
\end{proof}

\section{Мономорфизмы и эпиморфизмы в категории $Chu(SS-Act)$}

Нам понадобятся следующие результаты, доказанные в работе \cite{SSS4}.

\begin{proposition} \label{epi}

	Пусть $u:S\times A\to B$ --- морфизм категории $S-Act$. Следующие условия эквивалентны:
	
	1) $u$ является эпиморфизмом категории $SS-Act$;
	
	2) для каждого $s\in S$ отображение $u_s:A\to B$, задаваемое равенством $u_s(a)=u(s,a)$,
	сюръективно;
	
	3) отображение $\bar{u}:S\times A\to S\times B$, задаваемое равенством $\bar u(s, a)=(s,u( s,a))$, является эпиморфизмом категории $S-Act$.
\end{proposition}



\begin{proposition} \label{mono}
	Пусть $u:S\times A\to B$ --- морфизм категории $S-Act$ и для каждого $s\in S$ отображение $u_s:A\to B$, задаваемое равенством $u_s(a)=u(s,a)$,
	инъективно. Тогда $u$ является мономорфизмом категории $SS-Act$.
\end{proposition}

Приведем характеризацию эпиморфизмов и мономорфизмов категории $Chu(SS-Act)$.



\begin{theorem} \label{epi Chu} Пусть $r\in Hom_{ SS-Act} (A\times X, D)$ и $r'\in Hom_{ SS-Act}
	(A'\times {X'},{D'})$.
	Морфизм $(f,g,h)\in Hom_{Chu( SS-Act)} (r ,r')$ является эпиморфизмом  тогда и только тогда, когда
	$f\in Hom_{ SS-Act}(A, A')$ --- эпиморфизм, $g\in Hom_{ SS-Act} ({X'}, X)$ --
	мономорфизм и $h\in Hom_{ SS-Act}(D ,{D'})$ --- эпиморфизм.
\end{theorem}

\begin{proof}  {\bf Необходимость.} Пусть $(f,g,h)\in Hom_{Chu( SS-Act)} (r ,r')$ --- эпиморфизм.
	
	Покажем, что $f$ --- эпиморфизм категории $SS-Act$.
	Пусть $f_1,f_2\in Hom_{ SS-Act}(A',E)$  такие, что $f_1\cdot f=f_2\cdot f$. Необходимо показать, что $f_1=f_2$. Определим   $w\in Hom_{ SS-Act}( (E\times A')\times {X'}, D')$ и  $(f_1',e_{X'},e_{D'}),(f_2',e_{X'},e_{D'})\in Hom_{Chu( SS-Act)} (r' ,w)$ следующим образом:
	$w(s, ((e , a'), x'))=r'(s,(a', x'))$, $f'_1(s, a')=(f_1(s, a'), a')$, $f'_2(s, a')=(f_2(s, a'), a')$, где $s\in S$, $a'\in A'$, $x'\in X'$, $e\in E$. 	Корректность определения морфизмов $(f_1',e_{X'},e_{D'})$, $(f_2',e_{X'},e_{D'})$ следует из
	равенств:
	$$e_{D'}(s,r'(s,(a', e_{X'}(s,x'))))=r'(s,(a',x'))=w(s, ((f_1(s, a') , a'), x'))=$$
	$$=w(s, ((f_2(s, a') , a'), x'))=w(s, (f'_1(s,a'), x'))=w(s, (f'_2(s, a'), x')),$$
	где $s\in S$, $a'\in A'$, $x'\in {X'}$. Покажем, что $f_1'\cdot f=f_2'\cdot f$. Действительно,
	$$(f'_1\cdot f)(s,a)=f'_1(s,(f(s,a)))=(f_1(s,f(s,a)), f(s,a))=((f_1\cdot f)(s,a), f(s,a))=$$
	$$=((f_2\cdot f)(s,a), f(s,a))=(f_2(s,f(s,a)), f(s,a))=f'_2(s,(f(s,a)))=(f'_2\cdot f)(s,a),$$
	где $s\in S$, $a\in A$.
	Следовательно, $(f_1',e_{X'},e_{D'})\cdot(f,g,h)=(f_2',e_{X'},e_{D'})\cdot(f,g,h)$.
	Поскольку $(f,g,h)$ --- эпиморфизм категории $Chu(SS-Act)$, то
	$f'_1=f'_2$ и значит $f_1=f_2$ и  $f$ --- эпиморфизм категории $SS-Act$.

	
	
	Покажем, что $h$ --- эпиморфизм категории $SS-Act$.  По утверждению \ref{epi}  достаточно показать, что морфизм $\bar h:S\times D\to S\times{D'}$ категории $S-Act$ является эпиморфизмом, где $\bar h$ определяется следующим образом: $\bar h(s,d)=(s,h(s,d))$ для любых $s\in S$, $d\in D$.
	Предположим, что
	$D'_1\neq S\times{D'}$, где $D'_1=\bar h(S\times D)$. Через $D'_0$ обозначим фактор-полигон
	полигона $S\times{D'}$ по конгруэнции Риса $\rho_{D'_1}$. Определим
	$w\in Hom_{SS-Act}(\Theta\times {X'},{D'_0})$ и $(f',e_{X'},h_1)$,
	$(f',e_{X'},h_2)\in Hom_{Chu( SS-Act)} (r', w)$ следующим
	образом: $w(s,(\theta, x'))=D'_1$, $f'(s,a')=\theta$, $h_1(s,d')=D'_1$,
	$h_2(s,d')=(s,d')/\rho_{D'_1}$, где $s\in S$, $a'\in A'$, $x'\in {X'}$, $d'\in{D'}$. Ясно, что $h_1\ne h_2$.
	Корректность определения морфизма $(f',e_{X'},h_1)$ следует из
	равенств
	$$h_1(s,r'(s,(a', e_{X'}(s,x'))))=D'_1=w(s,(f'(s,a'),x')),$$
	где $s\in S$, $a'\in A'$, $x'\in {X'}$.
	Покажем корректность определения морфизма $(f',e_{X'},h_2)$. Пусть
	$s\in S$,	$a'\in A'$, $x'\in {X'}$. Поскольку $f$ --- эпиморфизм, то по утверждению \,\cite{SSS4} отображение $f_s$, задаваемое равенством $f_s(a)=f(s,a)$ для любого $a\in A$, сюръективно. Поэтому $a'=f(s,a)$ для  некоторого $a\in A$. Так как $(f,g,h)$ --- морфизм категории  $Chu(SS-Act)$, то 	
	$r'(s,(a',	x'))=r'(s,(f(s,a), x'))=h(s,r(s,(a,g(s,x'))))$. Тогда
	$$(s,r'(s,(a',	x')))=(s,h(s,r(s,(a,g(s,x')))))=\bar h(s,r(s,(a,g(s,x'))))\in{D'}_1.$$
	Следовательно,
	$$h_2(s,r'(s,(a', e_{X'}(s,x'))))=h_2(s,r'(s,(a',	x')))=D'_1=w(s,(f'(s,a'), x'),$$
	т.е. морфизм $(f',e_{X'},h_2)$ определен корректно. Поскольку $(s,h(s,d))=\bar h(s, d)\in{D'}_1$ для любого $d\in D$, то
	$$(h_1\cdot h)(s,d)=h_1(s,h(s,d))=D'_1=(s,h(s,d))/\rho_{D'_1}= $$
	$$
	=h_2(s,h(s,d))=(h_2\cdot h)(s,d),$$
	т.е.  $h_1\cdot h=h_2\cdot h$. Следовательно,  $(f',e_{X'},h_1)\cdot(f,g,h)=(f',e_{X'},h_2)\cdot(f,g,h)$.
	Поскольку $(f,g,h)$ --- эпиморфизм категории $Chu(SS-Act)$, то
	$h_1=h_2$. Противоречие. Следовательно,  $h$ --- эпиморфизм категории $SS-Act$.
	
	
	Покажем, что $g$ --- мономорфизм категории $SS-Act$. Пусть $g_1,g_2\in Hom_{SS-Act}(Z, {X'})$ такие, что $g\cdot g_1=g\cdot g_2$. Необходимо показать, что $g_1=g_2$. Пусть $s\in S$, $a'\in A'$, $z\in Z$. Покажем, что $r'(s,(a', g_1(s,z)))=r'(s,(a', g_2(s,z)))$. Поскольку $f$ --- эпиморфизм категории $SS-Act$, то по утверждению \ref{epi} отображение $f_s$ является эпиморфизмом. Следовательно, $a'=f(s, a)$ для некоторого $a\in A$. Тогда
	$$r'(s,(a', g_1(s,z)))=r'(s,(f(s, a), g_1(s,z)))=h(s, r(s,(a, g(s, g_1(s, z)))))=$$
	$$=h(s, r(s,(a, (g\cdot g_1)(s,z))))=h(s, r(s,(a, (g\cdot g_2)(s,z))))=$$
	$$=h(s, r(s,(a, g(s, g_2(s, z)))))=r'(s,(f(s, a), g_2(s,z)))=r'(s,(a', g_2(s,z))),$$
	т.е. $r'(s,(a', g_1(s,z)))=r'(s,(a', g_2(s,z)))$. 	
	Определим   $w\in Hom_{ SS-Act} (A'\times Z, D')$ следующим образом:
	$w(s,(a' , z))=r'(s,(a' , g_1(s,z)))$. Покажем, что $(e_{A'}, g_1, e_{D'}), (e_{A'}, g_2, e_{D'})\in Hom_{Chu( SS-Act)} (r', w)$. Действительно,
	$$e_{D'}(s, r'(s,(a' , g_2(s, z))))=r'(s,(a' , g_2(s, z)))=r'(s,(a' , g_1(s, z)))=$$
	$$=e_{D'}(s, r'(s,(a' , g_1(s, z))))=w(s,(a' , z)),$$
	где $s\in S$, $a'\in A'$, $z\in Z$. Поскольку $g\cdot g_1=g\cdot g_2$, то $(f,g,h)\cdot(e_{A'},g_1,e_{D'})=(f,g,h)\cdot(e_{A'},g_2,e_{D'})$.  Поскольку
	$(f,g,h)$ --- эпиморфизм категории $Chu(SS-Act)$, то $g_1=g_2$.
	
	
	
	{\bf  Достаточность.} Пусть  $(f,g,h)\in Hom_{Chu( SS-Act)} (r ,r')$, где  $f$ и $h$ --
	эпиморфизмы, $g$ --- мономорфизм  категории $SS-Act$. Пусть $w\in Ob(Chu(SS-Act))$ и  $(f_1,g_1,h_1)$, $(f_1,g_1,h_1)\in Hom_{Chu( SS-Act)} (r' , w)$ такие,
	что $(f_1,g_1,h_1)\cdot (f,g,h)=(f_2,g_2,h_2)\cdot (f,g,h)$. Тогда $f_1\cdot f=f_2\cdot f$,
	$g\cdot g_1=g\cdot g_2$ и $h_1\cdot h=h_2\cdot h$. Поскольку $f$ и
	$h$ --- эпиморфизмы категории $SS-Act$, то $f_1=f_2$ и $h_1=h_2$; поскольку $g$ --- мономорфизм  категории $SS-Act$, то $g_1=g_2$,
	т.е. $(f_1,g_1,h_1)=(f_2,g_2,h_2)$. Следовательно, морфизм
	$(f,g,h): r \to r'$ является эпиморфизмом
	категории $Chu(SS-Act)$.
\end{proof}


Из доказательства теоремы \ref{epi Chu} получаем
\begin{corollary}
	Пусть $r\in Hom_{ SS-Act, D} (A\times X, D)$ и $r'\in Hom_{SS-Act}
	(A'\times {X'},{D})$.
	Морфизм 	$(f,g)\in Hom_{Chu( SS-Act, D)} (r ,r')$ является эпиморфизмом  тогда и только тогда, когда
	$f\in Hom_{ SS-Act}(A, A')$ --- эпиморфизм и  $g\in Hom_{ SS-Act} ({X'}, X)$ --
	мономорфизм.
\end{corollary}

\begin{theorem} \label{mono Chu}
	Пусть $r\in Hom_{ SS-Act} (A\times X, D)$ и $r'\in Hom_{ SS-Act}
	(A'\times {X'},{D'})$.
	Морфизм 	$(f,g,h)\in Hom_{Chu( SS-Act)} (r ,r')$ является мономорфизмом  тогда и только тогда, когда
	$f\in Hom_{ SS-Act}(A, A')$ --- мономорфизм, $g\in Hom_{ SS-Act} ({X'}, X)$ --
	эпиморфизм и $h\in Hom_{ SS-Act}(D ,{D'})$ --- мономорфизм.
\end{theorem}


\begin{proof} {\bf Необходимость.} Пусть $(f,g,h)\in Hom_{Chu( SS-Act)} (r ,r')$ --- мономорфизм.
	
	Покажем, что $h$ --- мономорфизм категории $SS-Act$. Пусть $h_1,h_2\in Hom_{ SS-Act}(E, D)$ такие, что $h\cdot h_1=h\cdot h_2$. Необходимо показать, что $h_1=h_2$.
	Определим  $w\in Hom_{SS-Act}(A\times X, E\sqcup
	D)$ и $(e_A,e_X,h'_1)$, $(e_A,e_X,h'_2)\in Hom_{Chu( SS-Act)} (w ,r)$ следующим образом: $w(s,(a,x))=r(s,(a,x))$, $h'_1(s,e)=h_1(s,e)$, $h'_2(s,e)=h_2(s,e)$, $h_1(s,d)=h_2(s,d)=d$
	для любых $s\in S $, $a\in A$, $x\in X$, $e\in E$, $d\in D$. Корректность определения морфизмов $(e_A,e_X,h'_1)$, $(e_A,e_X,h'_2)$ следует из равенств:
	$$h'_1(s,w(s,(a,e_X(s,x))))=h'_2(s,w(s,(a,e_X(s,x))))=$$
	$$=w(s,(a,x))=r(s,(a,x))=r(s,(e_A(s,a),x)),$$
	где $s\in S $,  $a\in A$, $x\in X$. Так как $h\cdot h_1=h\cdot h_2$, то
	$(f,g,h)\cdot(e_A,e_X,h'_1)=(f,g,h)\cdot(e_A,e_X,h'_2)$. Поскольку
	$(f,g,h)$ --- мономорфизм категории $Chu(SS-Act)$, то $h'_1=h'_2$. Следовательно, $h_1=h_2$.
	
	
	Покажем, что $g$ --- эпиморфизм категории $SS-Act$. По утверждению \ref{epi} достаточно показать, что морфизм $\bar g:S\times {X'}\to S\times X$ категории $S-Act$ является эпиморфизмом, где $\bar g$ определяется следующим образом: $\bar g(s,x')=(s,g(s,x'))$ для любых $s\in S$, $x'\in {X'}$.
	Предположим, что
	$X_1\neq S\times X$, где $X_1=\bar g(S\times {X'})$. Через $X_0$ обозначим фактор-полигон
	полигона $S\times X$ по конгруэнции Риса $\rho_{X_1}$. Определим
	$w\in Hom_{ SS-Act}(A\times (X_0\times X), D)$ и
	$(e_A,g_1,e_D)$, $(e_A,g_2,e_D)\in Hom_{Chu( SS-Act)} (w, r)$ следующим образом: $w(s,(a,(x_0, x)))=r(s,(a,x))$, $g_1(s,x)=(X_1,x)$, $g_2(s,x)=((s,x)/\rho_{X_1},x)$,
	где $s\in S$, $a\in A$, $x\in X$, $x_0\in X_0$. Ясно, что $g_1\ne g_2$. Из определения пространства Чу $w$ следуют равенства
	$$e_D(s,w(s,(a, g_1(s,x))))=e_D(w(s,(a, g_2(s,x))))=r(s,(a,x))=r(s,(e_A(s,a),x)),$$
	где $s\in S$, $a\in A$, $x\in X$,  что доказывает корректность определения морфизмов
	$(e_A,g_1,e_D)$, $(e_A,g_2,e_D)$. Покажем, что $g_1\cdot g=g_2\cdot g$. Действительно,
	$$(g_1\cdot g)(s,x')=g_1(s,g(s,x'))=(X_1,g(s,x'))=(\bar g(s,x')/\rho_{X_1}, g(s,x'))=$$
	$$=((s,g(s,x'))/\rho_{X_1}, g(s,x'))=g_2(s,g(s,x'))=(g_2\cdot g)(s,x')$$
	для любых $s\in S$, $x'\in {X'}$.
	Тогда
	$(f,g,h)\cdot(e_A,g_1,e_D)=(f,g,h)\cdot(e_A,g_2,e_D)$. Поскольку
	$(f,g,h)$ --- мономорфизм категории $Chu(SS-Act)$, то $g_1=g_2$.
	Противоречие. Следовательно,  $g$ --- эпиморфизм категории $SS-Act$.
	
	
	Покажем, что $f$ --- мономорфизм категории $SS-Act$. Пусть $f_1,f_2\in Hom_{ SS-Act}(E, A)$ такие, что $f\cdot f_1=f\cdot f_2$. Необходимо показать, что $f_1=f_2$.  Определим  $r_1,r_2\in Hom_{SS-Act}(E\times {X'}, D)$ следующим образом: $r_1( s,(e,x'))=r( s,(f_1(s, e), g(s, x')))$, $r_2( s,(e,x'))=r( s,(f_2(s, e), g(s, x')))$ для любых $x'\in {X'}$, $s\in S$, $e\in E$. Поскольку  $(f,g,h)\in Hom_{Chu( SS-Act)}( r,r')$, то
	$$(h\cdot r_1)( s,(e,x'))=h( s,r_1( s,(e,x')))=h( s,r( s,(f_1(s, e), g(s, x'))))=$$
	$$=r'( s,(f (s,f_1(s, e) ), x'))=r'( s,((f\cdot f_1)(s, e), x'))$$ для любых $x'\in {X'}$, $s\in S$, $e\in E$.
	Аналогично, $(h\cdot r_2)( s,(e,x'))=r'( s,((f\cdot f_2)(s, e) ), x')$ для любых $x'\in {X'}$, $s\in S$, $e\in E$. Так как $f\cdot f_1=f\cdot f_2$, то $(h\cdot r_1)( s,(e,x'))=(h\cdot r_2)( s,(e,x'))$, т.е. $h\cdot r_1=h\cdot r_2$. Морфизм  $h$ является  мономорфизмом категории $SS-Act$. Следовательно, $r_1=r_2$, т.е.
	$$r( s,(f_1(s, e), g(s, x')))=r( s,(f_2(s, e), g(s, x')))$$
	для любых $x'\in {X'}$, $s\in S$, $e\in E$. Пусть  $x\in X$, $s\in S$, $e\in E$. Покажем, что $r( s,( f_1 (s,e), x))=r( s,( f_2(s,e), x))$.  	
	Так как  $g$ --- эпиморфизм категории $SS-Act$, то по утверждению  \ref{epi} $g_s$ --- сюръекция и  $x=g(s,x')$ для некоторого $x'\in {X'} $. Тогда
	$$r( s,( f_1 (s,e), x))=r( s,(f_1(s, e), g(s, x')))=$$
	$$=r( s,(f_2(s, e), g(s, x')))=r( s,( f_2(s,e), x)).$$
	Определим  $w\in Hom_{SS-Act}(E\times X, D)$ следующим образом: $w(s,(e,x))=r(s,(f_1 (s, e), x))$. Покажем, что $(f_1,e_X,e_D),(f_2,e_X,e_D)\in Hom_{Chu( SS-Act)}(w, r)$. Действительно,
	$$r( s,( f_2(s,e), x))=r( s,( f_1(s,e), x))=w(s, (e, x))=e_D(s,w( s, ( e, e_X( s,x)))).$$
	Ясно, что
	$(f,g,h)\cdot(f_1,e_X,e_D)=(f,g,h)\cdot(f_2,e_X,e_D)$.
	Поскольку $(f,g,h)$ --- мономорфизм категории $Chu(SS-Act)$, то
	$f_1=f_2$.
	
	
	{\bf  Достаточность.}
	Пусть  $(f,g,h)\in Hom_{Chu( SS-Act)}(r , r')$, где  $f$ и $h$ --- мономорфизмы, $g$ --- эпиморфизм  категории $SS-Act$.
	Предположим, что пространство Чу $w$ и  $(f_1,g_1,h_1)$,
	$(f_1,g_1,h_1)\in Hom_{Chu( SS-Act)} (w , r)$ такие, что $(f,g,h)\cdot (f_1,g_1,h_1)=(f,g,h)\cdot (f_2,g_2,h_2)$. Тогда $f\cdot
	f_1=f\cdot  f_2$, $g_1\cdot g=g_2\cdot  g$ и $h\cdot
	h_1=h\cdot  h_2$.
	Поскольку $f$ и $h$ --- мономорфизмы категории $SS-Act$, то $f_1=f_2$ и $h_1=h_2$; поскольку $g$ ---  эпиморфизм категории $SS-Act$, то $g_1=g_2$, т.е.
	$(f_1,g_1,h_1)=(f_2,g_2,h_2)$. Следовательно, преобразование
	$(f,g,h): r \to r'$ является мономорфизмом
	категории $Chu(SS-Act)$.
\end{proof}

Из доказательства теоремы \ref{mono Chu} получаем
\begin{corollary}
	Пусть $r\in Hom_{ SS-Act} (A\times X, D)$ и $r'\in Hom_{ SS-Act}
	(A'\times {X'},{D})$.
	Морфизм 	$(f,g)\in Hom_{Chu( SS-Act, D)} (r ,r')$ является мономорфизмом  тогда и только тогда, когда
	$f\in Hom_{ SS-Act}(A, A')$ --- мономорфизм и $g\in Hom_{ SS-Act} ({X'}, X)$ --
	эпиморфизм.
\end{corollary}

\section{Отделимые и полные отделимые пространства Чу}

Пространство Чу $r\in Hom_{SS-Act}(A\times X,D)$
называется \emph{отделимым} (\emph{полным отделимым}), если
$\hat{r}=p_{A,X,D}(r)\in Hom_{SS-Act}(A,D^X)$ является мономорфизмом (изоморфизмом) категории
$SS-Act$.

\begin{proposition}\label{sepChu} (Об отделимых и полных отделимых пространствах)

1) Для пространства Чу $r\in Hom_{SS-Act}(A\times X,D)$ следующие условия эквивалентны:

(a) $r$ является отделимым;

(b) $(\hat{r},e_X,e_D)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{XD})$ является мономорфизмом категории $Chu(SS-Act)$;

(b') существует  мономорфизм $w\in Hom_{SS-Act}(A,D^X)$ категории $SS-Act$ такой, что
$(w,e_X,e_D)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{XD})$;

(c) существует  морфизм $(f,g,h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{X, D})$ такой, что $f$
является мономорфизмом категории $SS-Act$.

2) Пусть $(f,g,h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r')$ морфизм пространств Чу. Если
$f$ является мономорфизмом категории $SS-Act$ и пространство $r'$ отделимо, то пространство $r$ отделимо.

3) Для пространства Чу $r\in Hom_{SS-Act}(A\times X,D)$ следующие условия эквивалентны:

(d) $r$ является полным отделимым;

(e) $(\hat{r},e_X,e_D)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{XD})$ является изоморфизмом категории $Chu(SS-Act)$.

(f) $r$ изоморфно $r_{X',D'}$ для некоторых $X',D'\in Ob(SS-Act)$.
\end{proposition}
\begin{proof}
 	
	Докажем 1). $(a) \Rightarrow (b)$ По  лемме 1 п. $(c)$ $(p_{A,X,D}(r),e_X,e_D)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{XD})$.
Так как
$p_{A,X,D}(r)$ --- мономорфизм, а $e_X,e_D$ --- изоморфизмы категории $SS-Act$, то $(p_{A,X,D}(r),e_X,e_D)$ является мономорфизмом категории $Chu(SS-Act)$.


$(b)\Rightarrow (b')$ Так как $(\hat{r},e_X,e_D)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{XD})$ является мономорфизмом категории $Chu(SS-Act)$, то по теореме \ref{mono Chu} $\hat{r}$ является мономорфизмом категории $SS-Act$ и, полагая $w=\hat{r}$, получаем $(b')$.

$(b')\Rightarrow (c)$  очевидно.

$(c) \Rightarrow (a)$ По  лемме 1 п. $(d)$
$h^g\cdot \hat{r}=f$. Так как по условию $f$ мономорфизм, то и
$\hat{r}$ мономорфизм, так что $r$ является отделимым.


Докажем 2). Пусть $r'\in Hom_{SS-Act}(A'\times X',D')$.
Так как $r'$ отделимо, то по $(b')$ существует
мономорфизм $w'\in Hom_{SS-Act}(A' , D'^{ X'})$ категории $SS-Act$ такой, что
$(w',e_{X'},e_{D'})\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r',r_{X' D'})$. Тогда
$(w'\cdot f,g,h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{X' D'})$. По лемме 1 п. $(d)$ $w'\cdot f=h^g\cdot \hat r$. Поскольку $w'\cdot f$ --- мономорфизм, то $\hat r$ также является мономорфизмом. Следовательно, пространство $r$ отделимо.

Докажем 3). $(d)\Rightarrow(e)$ По  лемме 1 п. $(c)$ $(\hat{r},e_X,e_D)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{XD})$. Так как $r$ --- полное отделимое пространство Чу, то
$\hat{r}$ и $e_X,e_D$ --- изоморфизмы. Следовательно $(\hat{r},e_X,e_D)$ изоморфизм категории $Chu(SS-Act)$.

$(e)\Rightarrow(f)$ очевидно.

$(f)\Rightarrow(d)$ Пусть $(f,g,h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{XD})$ --- изоморфизм в
категории $Chu(SS-Act)$. Тогда $f,g$ и $h$ являются изоморфизмами в  категории $SS-Act$, а значит и $h^g$ --- изоморфизм. По  лемме 1 п. $(d)$
$f=h^g\cdot\hat{r}$. Следовательно, $\hat{r}$ --- изоморфизм, т.е.
$r$ --- полное отделимое пространство Чу.
\end{proof}

\section{Функторы со значениями в категории $Chu(SS-Act)$}



Рассмотрим функторы
$$P_1:Chu(SS-Act)\rightarrow (SS-Act),\, P_2:Chu(SS-Act)\rightarrow
(SS-Act)^o,$$
$$P_3:Chu(SS-Act)\rightarrow (SS-Act),\,P_{23}:Chu(SS-Act)\rightarrow (SS-Act)^o\times (SS-Act),$$
которые сопоставляют каждому
пространству Чу
$$(A,X,D,r),\,\,\,r\in Hom_{SS-Act}(A\times X,D)$$ объекты
$$P_1(A,X,D,r)=A,\,P_2(A,X,D,r)=X,\,P_3(A,X,D,r)=D,\,P_{23}(A,X,D,r)=(X,D)$$
и каждому морфизму
$( f,g,h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r')$ морфизмы
$$P_1( f,g,h)=f,\,P_2( f,g,h)=g,\, P_3( f,g,h)=h,\,P_{23}( f,g,h)=(g,h).$$ Тот факт, что это функторы, прямо следует из определения композиции преобразований Чу.

Если $Z$ --- категория,
$F:Z\rightarrow Chu(SS-Act)$ --- произвольный функтор, то будем использовать обозначения
$F_1$, $F_2$, $F_3$, $F_{23}=(F_2,F_3)$ для функторов, играющих роль координат $F$:
$$F_1=P_1\circ F:Z\rightarrow (SS-Act),\,
F_2=P_2\circ F:Z\rightarrow (SS-Act)^o,$$
$$F_3=P_3\circ F:Z\rightarrow (SS-Act),\,\,F_{23}=P_{23}\circ F:Z\rightarrow (SS-Act)^o\times (SS-Act).$$

\begin{theorem}\label{funct in Chu} (о функторах в $Chu(SS-Act)$)

1) Пусть $F:Z\rightarrow Chu(SS-Act)$ --- произвольный функтор. Тогда имеются однозначно определённые функторы
$F_1:Z\rightarrow SS-Act$, $F_2:Z\rightarrow (SS-Act)^o$, $F_3:Z\rightarrow SS-Act$, такие, что
для любого объекта  $z\in Ob(Z)$ и любого морфизма $a\in Hom_Z(z,z')$
$$F(z)=(F_1(z),F_2(z),F_3(z),r(z)),$$ где $r(z)\in Hom_{SS-Act}(F_1(z)\times F_2(z),F_3(z))$ и
$$F(a)=(F_1(a),F_2(a),F_3(a))\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r(z),r(z')).$$

2) Пусть $F_1:Z\rightarrow (SS-Act)$, $F_2:Z\rightarrow (SS-Act)^o$, $F_3:Z\rightarrow (SS-Act)$ --
произвольные функторы и для каждого $z\in Ob(Z)$ зафиксирован морфизм
$r(z)\in Hom_{SS-Act}(F_1(z)\times F_2(z),F_3(z))$. Тогда следующие условия эквивалентны:

(a) отображение, задаваемое равенствами
$$F(z)=(F_1(z),F_2(z),F_3(z),r(z)),\,F(a)=(F_1(a),F_2(a),F_3(a)),\eqno(1)$$ где $a\in Hom_Z(z,z')$,
является функтором $F:Z\rightarrow Chu(SS-Act)$;

(b) для каждого $a\in Hom_Z(z,z')$
$$(F_1(a),F_2(a),F_3(a))\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r(z),r(z')).\eqno{(2)}$$

(c) для каждого $a\in Hom_Z(z,z')$
$$F_3(a)^{F_2(a)}\cdot \widehat{r(z)}=\widehat{r(z')}\cdot F_1(a);\eqno{(3)}$$

(d) семейство
$$W=\{W(z)=\widehat{r(z)}\in Hom_{SS-Act}(F_1(z),F_3(z)^{F_2(z)})\mid z\in Ob(Z)\}$$ является гомоморфизмом функторов $W:F_1\rightarrow F_3^{F_2}=\mathcal{H}^{SS}\circ(F_2,F_3)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Докажем 1). Так как $F(z)$ является пространством Чу, то
$F(z)=(A,X,D,r(z))$ для некоторого $r(z)\in Hom_{SS-Act}(A\times X,D)$, так что в силу введённых выше обозначений, $A=P_1(F(z))=F_1(z)$, $X=P_2(F(z))=F_2(z)$, $D=P_3(F(z))=F_3(z)$. Если $a\in Hom_Z(z,z')$, то
$F(a)=(f,g,h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r(z),r(z'))$, значит $f=P_1(F(a))=F_1(a)$, $g=P_2(F(a))=F_2(a)$, $h=P_3(F(a))=F_3(a)$. Следовательно, $F(a)=(F_1(a),F_2(a),F_3(a))\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r(z),r(z')).$

Докажем 2). $(a)\Rightarrow(b)$ очевидно.

$(b)\Rightarrow(a)$ Так как $r(z)\in Hom_{SS-Act}(F_1(z)\times F_2(z),F_3(z))$,
то $F(z)\in Ob(Chu(SS-Act))$, и в силу (2) $F(a)=(F_1(a),F_2(a),F_3(a))\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r(z),r(z')).$
Если $b\in Hom_Z(z',z'')$, то из того, что $F_1$, $F_2$ и $F_3$ функторы и из определения
композиции преобразований Чу следует
$$F(b\circ a)=(F_1(b\circ a),F_2(b\circ a), F_3(b\circ a))=(F_1(b)\cdot F_1(a),F_2(a)\cdot F_2(b),
F_3(b)\cdot F_3(a))=$$
$$=(F_1(b),F_2(b),F_3(b))\circ (F_1(a),F_2(a),F_3(a))=F(b)\circ F(a),$$
$$F(e_z)=(F_1(e_z),F_2(e_z),F_3(e_z))=(1_{F_1(z)},1_{F_2(z)},1_{F_3(z)})=1_{F(z)},$$ так что  $F$ --- функтор.

Условия $(b)$ и $(c)$ эквивалентны в силу соотношения $(a)$ леммы \ref{mainlemma}.

Условия $(c)$ и $(d)$ эквивалентны по определению гомоморфизма (естественного преобразования) функторов.


\end{proof}

\section{Основная теорема о функторе $H$}

Рассмотрим функторы $$H_1=\mathcal{H}^{SS}:(SS-Act)^o\times (SS-Act)\rightarrow (SS-Act),$$
$$H_2:(SS-Act)^o\times (SS-Act)\rightarrow (SS-Act)^o,$$
$$H_3:(SS-Act)^o\times (SS-Act)\rightarrow (SS-Act),$$ где
$H_2(X,D)=X$, $H_2(g,h)=g$, $H_3(X,D)=D$, $H_3(g,h)=h$ для любых
$X,D\in Ob(SS-Act)$, $g\in Hom_{SS-Act}(X',X)$, $h\in Hom_{SS-Act}(D,D')$.

Тогда
$$r_{XD}\in Hom_{SS-Act}(D^X\times X,D)=Hom_{SS-Act}(H_1(X,D)\times H_2(X,D), H_3(X,D)),$$
и по пункту $(b)$ леммы \ref{mainlemma},
$$(H_1(g,h),H_2(g,h), H_3(g,h))=(h^g,g,h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r_{XD},r_{X'D'}).$$
Поэтому для категории $Z=(SS-Act)^o\times (SS-Act)$ и функторов $F_i=H_i$ выполняются условия пункта $(b)$ теоремы \ref{funct in Chu}, и следовательно, по пункту $(a)$ той же теоремы  отображение, задаваемое равенствами
$$H(X,D)=(D^X,X,D,r_{XD}),\,\,\,\,H(g,h)=(h^g,g,h),$$ является функтором
$$H:({SS-Act})^o\times ({SS-Act})\rightarrow Chu(SS-Act).$$


\begin{theorem}\label{functorHthjerem} (о функторе $H$)

1) Функтор $H$\emph{}  является полным и строгим.

2) Пусть $F:Z\rightarrow Chu(SS-Act)$ функтор, задаваемый равенством (1).
Существует канонический гомоморфизм функторов
$$V=\{V(z)\mid z\in Ob(Z)\}:F\rightarrow H\circ F_{23},$$ задаваемый равенством
$$V(z)=(W(z),e_{F_2(z)},e_{F_3(z)})\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r(z),r_{F_2(z)F_3(z)}),$$ где
$$W(z)=\widehat{r(z)}\in Hom_{SS-Act}(F_1(z),F_3(z)^{F_2(z)}).$$

3) Функтор $H$ сопряжён справа функтору $P_{23}$.

4) (a) Пусть $z\in Ob(Z) $. Тогда
\newline
$V(z)$ --- мономорфизм $\Leftrightarrow$ $W(z)$ --- мономорфизм $\Leftrightarrow$ $F(z)$ --- отделимое пространство Чу;
\newline
$V(z)$ --- изоморфизм $\Leftrightarrow$ $W(z)$ --- изоморфизм $\Leftrightarrow$ $F(z)$ --- полное отделимое пространство Чу.

(b) Гомоморфизм функторов $V:F\rightarrow H\circ F_{23}$ является изоморфизмом $\Leftrightarrow$
для всякого $z\in Ob(Z)$ пространство Чу $F(z)$ является полным отделимым.
\end{theorem}

\begin{proof} 1) Покажем, что $H$ --- полный строгий функтор,
т.е. отображение
$$Hom_{(SS-Act)^o\times (SS-Act)}((X,D),(X',D'))\rightarrow Hom_{Chu(SS-Act)}(r_{XD},r_{X'D'}),$$
 задаваемое равенством
$H(g,h)=(h^g,g,h)$, биективно.  Инъективность очевидна. Докажем сюръективность. Пусть $(f, g,h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r_{XD},r_{X'D'})$. Так как
$(h^g,g,h)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r_{XD},r_{X'D'})$, то по лемме \ref{mainlemma} п. $(d)$ имеем $f=h^g$, т.е.
$H(g,h)=(f, g,h)$. Биективность отображения
$(g,h)\mapsto(h^g,g,h)$, а значит  полнота и строгость функтора $H$ доказаны.

2) Имеем $$(H\circ F_{23})(z)=r_{F_2(z)F_3(z)},$$
$$(H\circ F_{23})(a)=(F_3(a)^{F_2(a)},F_2(a)F_3(a));$$
$$F(z)=r(z);\,F(a)=(F_1(a),F_2(a),F_3(a)).$$
Для того, чтобы доказать, что $V$ ---
гомоморфизм функторов, нужно установить, что для любого $a\in Hom_Z(z,z')$ выполняется равенство
$$V(z')\circ F(a)=(H\circ F_{23})(a)\circ V(z).\eqno{(4)}$$
Так как
$$V(z')\circ F(a)=(W(z')\cdot F_1(a),e_{F_2(z')}\cdot F_2(a),e_{F_3(z')}\cdot F_3(a)),$$
$$(H\circ F_{23})(a)\circ V(z)=(F_3(a)^{F_2(a)}\cdot W(z),F_2(a)\cdot e_{F_2(z)},F_3(a)\cdot e_{F_3(z)}),$$
то равенство (4) означает одновременное выполнение трех равенств:
$$W(z')\cdot F_1(a)=F_3(a)^{F_2(a)}\cdot W(z);$$
$$\,e_{F_2(z')}\cdot F_2(a)=F_2(a)\cdot e_{F_2(z)};\,e_{F_3(z')}\cdot F_3(a)=F_3(a)\cdot e_{F_3(z)}.$$ Первое из них совпадает с равенством (3) теоремы \ref{funct in Chu} и поэтому выполняется, второе и третье очевидны.

3) Воспользуемся одним из стандартных признаков сопряжённости \cite{M} и для этого
докажем, что существуют единица и коединица сопряжения, т.е.  такие гомоморфизмы функторов
$$\eta:1_{Chu(SS-Act)}\rightarrow H\circ P_{23},\,\,\varepsilon:P_{23}\circ H\rightarrow1_{SS-Act^o\times SS-Act},$$
что $$H\varepsilon\circ\eta H=1_H,\,\,\varepsilon P_{23}\circ P_{23}\eta=1_{P_{23}},\eqno{(5)}$$
где  гомоморфизмы
функторов
$$H\varepsilon:H\circ P_{23}\circ H\rightarrow H\,\,\,\mbox{и}\,\,\eta H:H\rightarrow H\circ P_{23}\circ H$$
определяются так: $$(\eta H)(X,D)=\eta (H(X,D)):H(X,D)\rightarrow (H\circ P_{23})(H(X,D)),$$
$$(H\varepsilon)(X,D)=H(\varepsilon(X,D)):H((P_{23}\circ H)(X,D))\rightarrow H(X,D).$$


Заметим, что $P_{23}\circ H=1_{(Chu(SS-Act))^o\times Chu(SS-Act)}$.

Определим коединицу $\varepsilon$ сопряжения
как тождественный гомоморфизм
$$\varepsilon=\{\varepsilon(X,D)\in Hom_{(SS-Act)^o\times (SS-Act)}((X,D),(X,D))\mid X,D\in Ob(SS-Act)\},$$
$\varepsilon(X,D)=(e_X,e_D)$. Очевидно, что и гомоморфизмы
функторов $H\varepsilon$ и $\varepsilon P_2$ являются тождественными.

Для определения единицы $\eta$ сопряжения применим результат пункта 2) к случаю, когда $F=1_{Chu(SS-Act)}:Chu(SS-Act)\rightarrow Chu(SS-Act)$ --- тождественный функтор,
$Z=Chu(SS-Act)$. Тогда
$F_{23}=P_{23}$, и если  $r\in Hom_{ SS-Act}( A\times X,D)$, то
$H\circ P_{23}(r)=H(X,D)=r_{XD}$,
$$V(r)=(\hat{r},e_X,e_D)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r,r_{XD})$$ и
$V:1_{Chu(SS-Act)}\rightarrow H\circ P_{23}$ --- гомоморфизм функторов.
Полагаем $\eta=V$. Так как $\hat{r}_{XD}=e_{D^X}$, то
$(\eta H)(X,D)=V(r_{XD})=(e_{D^X},e_X,e_D)=1_H(X,D)\in Hom_{Chu(SS-Act)}(H(X,D),H(X,D))$, так что
$\eta H:H\rightarrow H=H\circ P_{23}\circ H$ --- тождественное преобразование функторов. Имеем также
$(P_{23}\eta)(r)=P_{23}(\hat{r},e_X,e_D)=(e_X,e_D)=1_{P_{23}(r)}\in Hom_{(SS-Act)^o\times (SS-Act)}(P_{23}(r),P_{23}(r))$;
следовательно,
$P_{23}\eta:P_{23}\rightarrow P_{23}=P_{23}\circ H\circ P_{23}$ --- тождественное преобразование функторов.

Таким образом, преобразования функторов $H\varepsilon,\,\,\eta H,\,\, \varepsilon P_{23},\,\,P_{23}\eta$
тождественны, значит выполняются равенства (5), откуда следует сопряжённость функторов $H$ и $P_{23}$.

4) прямо следует из теоремы \ref{funct in Chu} и общих свойств гомоморфизмов функторов.
\end{proof}

\section{Пределы, произведения и копроизведения в категории $Chu(SS-Act)$}

\begin{theorem} \label{lim} (о пределах)
Пусть $Z$ --- категория, $F:Z\rightarrow Chu(SS-Act)$ такой функтор, что
$F(z)$ --- полное отделимое пространство Чу  для любого $z\in Ob(Z)$. Если каждый функтор $Z\rightarrow SS-Act$ имеет предел и каждый функтор $Z^o\rightarrow SS-Act$ имеет копредел, то существует $lim F$, который является полным отделимым пространством Чу.
\end{theorem}

\begin{proof}

По теореме \ref{funct in Chu} имеются функторы $F_1:Z\rightarrow SS-Act$, $F_2:Z\rightarrow (SS-Act)^o$,
$F_3:Z\rightarrow SS-Act$$F$ такие, что
$$F(z)=(F_1(z),F_2(z),F_3(z),r(z)),\,F(a)=(F_1(a),F_2(a),F_3(a)),$$ где
$r(z)\in Hom_{SS-Act}(F_1(z)\times F_2(z),F_3(z))$, $a\in Hom_Z(z,z')$.
Обозначим  $$F_2^o:Z^o\rightarrow SS-Act$$ функтор, задаваемый равенствами
$$F_2^o(z)=F_2(z)$$ и если $a\in Hom_{Z^o}(z',z)$, то
$$F_2^o(a)=F_2(a)\in Hom_{(SS-Act)^o}(F_2(z),F_2(z'))=Hom_{SS-Act}(F^o_2(z'),F^o_2(z)).$$
По условию функтор $F^o_2$ имеет копредел, а функтор $F_3$ имеет предел, т.е. имеются универсальные конусы
$$\varphi^o_2=\{\varphi_2(z)\in Hom_{(SS-Act)^o}(F_2^o(z),X)) \mid z\in Ob(Z)\},$$
$$\varphi_3=\{\varphi_3(z)\in Hom_{SS-Act}(D,F_3(z))\mid z\in Ob(Z)\}$$ из которых первый ---
конус копредела, второй --- конус предела.
Таким образом, $X=colim F_2^o$, $D=lim F_3$. По свойствам дуальных категорий
$$\varphi_2=\{\varphi_2(z)\in Hom_{SS-Act}(X,F_2(z)) \mid z\in Ob(Z)\}$$ является конусом предела функтора
$F_2$, так что $X=lim F_2$  и, следовательно, по свойствам произведения категорий,
$$\varphi_{23}=\{(\varphi_2(z),\varphi_3(z))\in Hom_{(SS-Act)^o\times (SS-Act)}((X,D),F_{23}(z))\mid z\in Ob(Z)\}$$
является конусом предела функтора $F_{23}=(F_2,F_3).$

Так как функтор $H$ имеет сопряжённый слева, то он переводит конус предела
в конус предела, т.е. $H(\varphi_{23})=\{H(\varphi_{23}(z))\mid z\in Ob(Z)\}$, где
$$H(\varphi_{23}(z))=(\varphi_3(z)^{\varphi_2(z)},\varphi_2(z),
\varphi_3(z))\in Hom_{Chu(SS-Act)}(H(X,D),H(F_2(z),F_3(z)))$$ является конусом предела
функтора $H\circ F_{23}$. В частности, $$H(X,D)=r_{XD}=lim (H\circ F_{23}).$$

По теореме \ref{functorHthjerem} о функторе $H$ имеется канонический гомоморфизм функторов
$V:F\rightarrow H\circ F_{23}$ и, так как по условию каждое  $F(z)$ является полным отделимым пространством Чу,
то $V$ является изоморфизмом функторов и, следовательно,
$$\{V(z)^{-1}\circ H(\varphi_{23}(z))\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r_{XD},F(z))\mid z\in Ob(Z)\}$$
является конусом предела функтора $F$, откуда $lim F=r_{XD}$.
Поскольку
$$V(z)=(\widehat{r(z)},1_{F_2(z)},1_{F_3(z)})\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r(z),r_{F_2(z),F_3(z)}),$$ то
$$V(z)^{-1}=(\widehat{r(z)}^{-1},1_{F_2(z)},1_{F_3(z)})\in Hom_{Chu(SS-Act)}(r_{F_2(z)F_3(z)},r(z)),$$ т.е.
$$V(z)^{-1}\circ H(\varphi_{23})(z)=
(\widehat{r(z)}^{-1}\cdot\varphi_3(z)^{\varphi_2(z)},\varphi_2(z),
\varphi_3(z)).$$
\end{proof}

Из доказанного следует, что существует произведение полных отделимых пространств Чу.

\begin{theorem}
Пусть $r_i\in Hom_{ SS-Act}( A_i\times X_i, D_i)$   $(i\in I)$ --- полные отделимые пространства Чу. Произведением пространств Чу $r_i$, $i\in I$, является полное отделимое пространство Чу
$r_{ X_0 D_0}$ вместе с преобразованиями Чу
$$((\hat{r}_i)^{-1}\cdot p_i^{q_i},q_i ,p_i )\in Hom_{Chu( SS-Act)}( r_{ X_0 D_0},r_i),$$	
где $X_0=\coprod\limits_{i\in
	I}X_i$, $D_0=\prod\limits_{i\in I}{D_i}$, $q_i (s,x_i)=x_i$, $p_i (s,d)=d(i)$  для любых
$x_i\in X_i$, $d\in \prod\limits_{i\in I} D_i$, $i\in I$.
\end{theorem}

\begin{proof} Рассмотрим дискретную категорию $Z$, объекты которой --- это элементы множества $I$. Тогда семейство
$\{r_i\in Hom_{SS-Act}( A_i\times X_i, D_i)\mid i\in I\}$ --- это то же самое, что функтор
$F:Z\rightarrow Chu(SS-Act)$, определяемый равенством $F(i)=r_i$, а предел функтора $F$ --- это то же самое,
что произведение указанного семейства. Поэтому доказываемый результат является частным случаем теоремы \ref{lim} о пределах.
\end{proof}

Следующая теорема показывает, что копроизведения в категории $Chu(SS-Act)$ существуют для любых пространств Чу.



\begin{theorem} Пусть $r_i\in Hom_{ SS-Act}( A_i\times X_i, D_i)$,  $i\in I$. Копроизведением пространств Чу $r_i$, $i\in I$, является пространство Чу
	$r\in Hom_{ SS-Act}(\coprod\limits_{i\in I}A_i\times \prod\limits_{i\in
		I}{X_i}, \coprod\limits_{i\in I} D_i)$ вместе с преобразованиями Чу
	$(f_i ,g_i ,h_i )\in Hom_{Chu( SS-Act)}( r_i,r)$,	
	где $r(s,(a_i, x))=r_i(s,(a_i, x(i)))$,  $f_i (s,a_i)=a_i$, $g_i (s,x)=x(i)$,
	$h_i (s,d_i)=d_i$  для любых
	$a_i\in A_i$, $x\in \prod\limits_{i\in I} X_i$, $d_i\in D_i$, $i\in I$.
\end{theorem}


\begin{proof}  Пусть условия теоремы выполнены и  $i\in
	I$. Корректность определения преобразования Чу $(f_i ,g_i ,h_i )$ следует из равенств:
	$$h_i (s,(r_i(s,(a_i,
	g_i (s,x)))))=r_i(s,(a_i,x(i)))=r(s,(a_i,x))=r(s,(f_i (s,a_i),
	x))$$
	для любых $a_i\in A_i$, $x\in \prod\limits_{i\in I} X_i$.
	
	
	Пусть  $t\in Hom_{ SS-Act} (B\times Y, D)$, $(f_i',g_i',h_i')\in Hom_{Chu( SS-Act)} (r_i, t)$. По утверждению \ref{prod} полигон $\coprod\limits_{i\in
		I}A_i$ вместе с морфизмами $f_i$, $i\in I$, и полигон $\coprod\limits_{i\in I} D_i$ вместе с морфизмами $h_i$, $i\in I$, являются копроизведениями
	полигонов $A_i$ $(i\in I)$ и $D_i$ $(i\in I)$ соответственно, а
	полигон $\prod\limits_{i\in I}{X_i}$ вместе с морфизмами $g_i$, $i\in I$, является произведением
	полигонов $X_i$ $(i\in I)$ в категории $SS-Act$. Тогда существуют и
	причем единственные морфизмы  $\tilde{f}\in Hom_{ SS-Act}( \coprod\limits_{i\in
		I}A_i, B)$, $\tilde{g}\in Hom_{ SS-Act}( Y ,\prod\limits_{i\in
		I}{X_i})$, $\tilde{h}\in Hom_{ SS-Act}( \coprod\limits_{i\in I} D_i, D)$ такие, что $f_i'=\tilde{f}\cdot f_i $,
	$g_i'=g_i \cdot \tilde{g}$  и $h_i'=\tilde{h}\cdot h_i $ для
	любого $i\in I$, т.е. $\tilde{f}(s,a_i)=f_{i}(s,a_i)$,
	$\tilde{g}(s,y)(i)=g_i'(s,y)$ и $\tilde{h}(s,d)=h_i'(s,d)$ для любых $a_i\in
	A_i$, $y\in Y$, $d\in D$, $i\in I$.
	
	Покажем, что $(\tilde{f},\tilde{g},\tilde{h})\in Hom_{Chu( SS-Act)}( r,t)$, т.е. для любых $a\in \coprod\limits_{i\in
		I}A_i$, $y\in Y$ имеет место равенство $\tilde{h}(s,r(s,(a,
	\tilde{g}(s,y))))=t(s,(\tilde{f}(s,a), y))$. Так как $(f_i ,
	g_i , h_i )\in Hom_{Chu( SS-Act)}( r_i,r)$, то
	$r(s,(f_i (s,a), \tilde{g}(s,y)))=h_i(s, r_i(s,(a,
	(g_i \cdot \tilde{g})(s,y))))$ для любых $a\in A_i$, $y\in Y$. Так
	как $h_i'=\tilde{h}\cdot h_i $ и $g_i'=g_i \cdot \tilde{g}$, то $\tilde{h}(s,r(s,(a,\tilde{g}(y))))=(\tilde{h}\cdot
	h_i )(s,r_i(s,(a, (g_i \cdot \tilde{g})(s,y))))=h_i'(s,r_i(s,(a,
	g_i'(s,y))))$ для любых $a\in A_i$, $y\in Y$. Так как $(f_i', g_i', h_i')\in Hom_{Chu( SS-Act)}(r_i,t)$, то $h_i'(s,r_i(s,(a,
	g_i'(s,y)))=t(s,(f_i'(s,a), y)))$ для любых $a\in A_i$, $y\in Y$.
	Поскольку $\tilde{f}(s,a)=f_i'(s,a)$, то $t(s,(f_i'(s,a),
	y))=t(s,(\tilde{f}(s,a), y))$ для любых $a\in A_i$, $y\in Y$. Таким
	образом, для любых $a\in \coprod\limits_{i\in I}A_i$, $y\in Y$
	имеет место равенство $\tilde{h}(s,r(s,(a,
	\tilde{g}(s,y))))=t(s,(\tilde{f}(s,a)\times y))$.
\end{proof}

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).


\bibitem[1]{Barr1}  M. Barr, *-Autonomous Categories, Lecture Notes in Math., 752, Springer-Verlag, Berlin,
1979. Zbl 0415.18008


\bibitem[2]{BW} M. Barr, C. Wells, Category Theory for Computing Science. Prentice Hall, London, 1995. Zbl
0841.18001

\bibitem[3]{GMPS} V. Gould, A.V. Mikhalev, E.A. Palyutin, A.A. Stepanova, Model-theoretic properties of free, projective, and flat S-acts, J. Math. Sci. New York, 164:2 (2010), 195-227. Zbl 1288.03026


\bibitem[4]{KKM} M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, acts and categories. With applications to wreath
products and graphs, Walter De Gruyter, Berlin, 2000. Zbl 0945.20036

\bibitem[5]{M} S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, Graduate Texts in Mathematics, 5,
Springer, New York, 1998. Zbl 0906.18001


\bibitem[6]{Pr} V.R. Pratt, Chu Spaces, School on category theory and applications. Lecture notes of courses, Coimbra, Portugal, July 13-17, 1999. Coimbra: Universidade de Coimbra, Departamento de
Matematica. Textos Mat., Ser. B., 21, Universidade de Coimbra, Coimbra. 1999, (39-100).
Zbl 0954.18002


\bibitem[7]{SSS1} A.A. Stepanova, E.E. Skurikhin, A.G. Sukhonos, Category of Chu spaces over S-Act category, Sib. Elektron. Mat. Izv., 14 (2017), 1220-1237. Zbl 1391.18010



\bibitem[8]{SSS2} A.A. Stepanova, E.E. Skurikhin, A.G. Sukhonos, Equalizers and coequalizers in categories of Chu spaces over S-Act categories, Sib. Elektron. Mat. Izv.,  16 (2019), 709-717. Zbl 1420.18021


\bibitem[9]{SSS3} A.A. Stepanova, E.E. Skurikhin, A.G. Sukhonos, Product of Chu spaces in the
category of Chu(S-Act), Sib. Elektron. Mat. Izv.,  17 (2020), 1352-1358.

\bibitem[10]{SSS4} E.E. Skurikhin, A.A. Stepanova A.G. Sukhonos, Extensions of the category S-Act, Sib. Elektron. Mat. Izv.,  18 (2021), 1332-1357.






\end{thebibliography}


\end{document}



