\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{refcheck}

\def\udcs{517.95} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{35A05} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 19, стр. 144--144 (2022) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.17377/semi.2022.12.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}

\thispagestyle{empty}

\title[Стационарные решения уравнений многокомпонентных сред]{Стационарные решения краевой задачи\\ для уравнений баротропного течения многокомпонентных сред}
\author{{А.Е. Мамонтов, Д.А. Прокудин}}%
\address{Alexander Evgenyevich Mamontov, Dmitriy Alexeyevich Prokudin  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS,
\newline\hphantom{iii} pr. Lavrent'eva, 15,
\newline\hphantom{iii} 630090 Novosibirsk, Russia
\newline\hphantom{iii} and
\newline\hphantom{iii} Laboratory for Mathematical and Computer Modeling,
\newline\hphantom{iii} in Natural and Industrial Systems,
\newline\hphantom{iii} Faculty of Mathematics \& Information Technologies,
\newline\hphantom{iii} Federal State Institution of Higher Education <<Altai State University>>,
\newline\hphantom{iii} pr. Lenina 61,
\newline\hphantom{iii} 656049 Barnaul, Russia
\newline\hphantom{iii} and
\newline\hphantom{iii} Chair of Further Mathematics,
\newline\hphantom{iii} Federal State Institution of Higher Education <<Siberian State University of
\newline\hphantom{iii} Telecommunications and Information Science>>
\newline\hphantom{iii} st. Kirova, 86,
\newline\hphantom{iii} 630102 Novosibirsk, Russia}%
\email{aem@hydro.nsc.ru, prokudin@hydro.nsc.ru}%

\thanks{\sc Mamontov, A.E., Prokudin, D.A.,
Stationary solutions of a boundary value problem for equations of barotropic flow of multicomponent media}
\thanks{\copyright \ 2022 Мамонтов А.Е., Прокудин Д.А}
\thanks{\rm Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства науки и
высшего образования РФ по теме «Современные методы гидродинамики для
задач природопользования, индустриальных систем и полярной механики» (2020--23)
(номер темы: FZMW--2020--0008 от 24.01.2020).}
\thanks{\it Поступила 1 января 2022 г., опубликована 31 декабря 2022 г.}%

\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } The problem of steady barotropic motion of a multi\-compo\-nent medium consisting of viscous compressible fluids in a bounded domain of three-dimensional space is formulated. The solvability of the problem is proved. Viscosity matrices are assumed to be arbitrary (non-diagonal).\medskip

\noindent{\bf Keywords:} existence theorem, steady barotropic flow, viscous com\-pres\-sible multifluid, viscosity matrix.
 \end{quote}
}

Работа посвящена проблеме разрешимости уравнений, описывающих движение многокомпонентной среды, состоящей из вязких сжимаемых жидкостей. По поводу происхождения этой модели можно обратиться к монографиям \cite{mampr.nigm} и~\cite{mampr.raj}, а также, за уточнениями для подмодели, рассматриваемой в данной работе --- к статье \cite{mampr.france}. Смежные модели рассматривались в таких работах как \cite{mampr.blokhin} и~\cite{mampr.dorov92}. Несмотря на имеющиеся результаты о разрешимости для моделей динамики многокомпонентных сред, такие как \cite{mampr.frehsegm1}, \cite{mampr.frehsew}, \cite{mampr.france}, \cite{mampr.semi2016}, остается не изученным вариант стационарных трехмерных движений в случае, если матрицы вязкостей являются заполненными (не диагональными и не треугольными), а уравнение состояния (для давления) имеет достаточно общий вид. Именно этот случай будет рассматриваться в предлагаемой работе. Основным результатом статьи является теорема 4 о существовании слабого решения краевой задачи, поставленной в разделе 1.

\section{Постановка задачи и основной результат}

В замыкании $\overline{\Omega}$ ограниченной области $\Omega\subset {\mathbb R}^{3}$ ($\Omega$ --- область течения) с границей $\partial\Omega\in C^{2}$ требуется найти скалярное поле плотности многокомпонентной среды $\rho\geqslant 0$ и векторные поля скоростей $\boldsymbol{u}_{i}$ для каждой компоненты с номером $i=1, \ldots, N$ ($N\geqslant 2$), удовлетворяющие следующим уравнениям и краевым условиям:
\begin{equation}\label{240622eq1}
{\rm div\,}(\rho\boldsymbol{v})=0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{240622eq2}
{\rm div\,}(\rho_{i}\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{u}_{i})
+\alpha_{i}\nabla p(\rho)={\rm div\,}\mathbb{S}_{i}+\boldsymbol{J}_{i}+\rho_{i}\boldsymbol{f}_{i},\quad i=1,\ldots,N,
\end{equation}
\begin{equation}\label{240622eq3}
\boldsymbol{u}_{i}|_{\partial\Omega}=0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{240622eq4}
\int\limits_{\Omega}\rho\,d\boldsymbol{x}=m,\quad m={\rm const}>0.
\end{equation}
Предполагаются следующие соотношения, ограничения и обозначения:
\begin{itemize}
  \item $\displaystyle \boldsymbol{v}=\sum\limits_{j=1}^{N}\alpha_{j}\boldsymbol{u}_{j}$ --- средневзвешенная скорость многокомпонентной среды, где $\alpha_{j}={\rm const}$, $0<\alpha_{j}<1$, $j=1,\ldots,N$, $\displaystyle \sum\limits_{j=1}^{N}\alpha_{j}=1$;
  \item  $\rho_{i}=\alpha_{i}\rho$, $i=1,\ldots,N$ --- плотности компонент;
  \item $p$ --- давление в среде, которое определяется плотностью~$\rho$, т.~е. функция $p(\cdot)$ предполагается заданной, причем
%\newratio{240622rat1}\newratio{240622rat2}
\begin{multline}\label{240622eq5}
p\in C^{1}[0, +\infty), \quad p(0)=0,\\
\forall\, s\geqslant 0\quad \frac{1}{c_1}s^{\gamma-1}-c_2\leqslant p'(s)\leqslant c_1 s^{\gamma-1}+c_2\text{ и }p^{\prime}(s)\geqslant 0
\end{multline}
с некоторыми постоянными $c_1\geqslant 1,$ $c_2>0$ и $\displaystyle \gamma>3$ (простейшим примером ситуации, когда наложенные требования на давление выполнены, является политропный закон $p(\rho)=K\rho^\gamma$, $K={\rm const}>0$);
  \item $\mathbb{S}_{i}$, $i=1,\ldots,N$ --- тензоры вязких напряжений компонент, которые определяются равенствами
\begin{equation}\label{240622eq8}
{\mathbb S}_{i}=\sum\limits_{j=1}^{N}\left(\lambda_{ij}({\rm div\,}\boldsymbol{u}_{j})\mathbb{I}+2\mu_{ij}\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_{j})\right), \quad i=1,\ldots,N,
\end{equation}
где $\mathbb{I}$ --- единичный тензор, $\displaystyle \mathbb{D}(\boldsymbol{w})=\frac{1}{2}\left((\nabla\otimes\boldsymbol{w})+(\nabla\otimes\boldsymbol{w})^{T}\right)$ --- тензор скоростей деформаций векторного поля $\boldsymbol{w}$ ($T$ означает транспонирование), а числовые коэффициенты вязкостей $\lambda_{ij}$, $\mu_{ij}$,  $i, j=1,\ldots,N$
образуют соответственно матрицы $\displaystyle \boldsymbol{\Lambda}=\{\lambda_{ij}\}_{i,j= 1}^{N}$, $\displaystyle \textbf{M}=\{\mu_{ij}\}_{i, j = 1}^{N}$ такие, что
\begin{equation}\label{240622eq6}
\textbf{M}>0,\quad \boldsymbol{\Lambda}+2\textbf{M}> 0,
\end{equation}
при этом обозначим
$$\textbf{N}=\boldsymbol{\Lambda}+2\textbf{M},\quad\textbf{N}=\{\nu\}_{i, j=1}^{N};$$
\item векторные поля $\displaystyle \boldsymbol{J}_{i}=\sum\limits_{j=1}^{N}a_{ij}(\boldsymbol{u}_{j}-\boldsymbol{u}_{i})$, $i=1,\ldots,N$ отвечают за интенсивность обмена импульсом между компонентами, где постоянные $a_{ij}=a_{ji}>0$, $i, j=1,\ldots,N$;
 \item известные векторные поля внешних сил
\begin{equation}\label{240622eq7}
\boldsymbol{f}_{i}\in C(\overline{\Omega}),\quad i=1,\ldots,N.
\end{equation}
\end{itemize}

%\begin{zam}\label{250622zam1}
{\bfseries Замечание 1}. Из условий \eqref{240622eq5}, в частности, вытекает, что при всех $s\geqslant 0$ верны оценки
\begin{equation}\label{250622eq1}
\frac{1}{c_1\gamma}s^{\gamma}-c_2s\leqslant p(s)\leqslant \frac{c_1}{\gamma} s^{\gamma}+c_2s,
\end{equation}
из которых, в свою очередь, следует
%\begin{equation}\label{250622eq2}
$$B_{1}s^{\gamma}-B_{2}\leqslant s\int\limits_{1}^{s}\frac{p(\eta)}{\eta^{2}}\,d\eta\leqslant B_{3}s^{\gamma}+B_{4},$$
%\end{equation}
где положительные постоянные $B_{1}$, $B_{2}$, $B_{3}$, $B_{4}$ зависят только от $c_1$, $c_2$ и $\gamma$ (условимся через $B_k(\cdot)$, $k\in{\mathbb N}$, обозначать величины, принимающие конечные положительные значения и зависящие от объектов, указанных в скобках или перечисленных в комментариях).
%\end{zam}

%\begin{zam}\label{240622zam1}
{\bfseries Замечание 2}. Ввиду равенства (см. \eqref{240622eq3})
%\begin{multline}\label{240622eq10}
$$\sum\limits_{i=1}^{N} \int\limits_{\Omega} \mathbb{S}_{i}:(\nabla\otimes\boldsymbol{u}_{i})\,d\boldsymbol{x}=$$
$$=\sum\limits_{i,j=1}^N \int\limits_\Omega\mu_{ij}({\rm rot\,}\boldsymbol{u}_{i})\cdot({\rm rot\,}\boldsymbol{u}_{j})\,d\boldsymbol{x}
+\sum\limits_{i,j=1}^N \int\limits_\Omega\left(\lambda_{ij}+2\mu_{ij}\right)
({\rm div\,}\boldsymbol{u}_{i})({\rm div\,}\boldsymbol{u}_{j})\,d\boldsymbol{x},$$
%\end{multline}
условия \eqref{240622eq6} обеспечивают оценку
\begin{equation}\label{240622eq11}
 \sum\limits_{i=1}^{N} \int\limits_\Omega {\mathbb S}_{i}:(\nabla\otimes\boldsymbol{u}_{i})\,d\boldsymbol{x}\geqslant B_{5}({\bf M},\boldsymbol{\Lambda})
\sum\limits_{i=1}^{N} \int\limits_\Omega|\nabla\otimes\boldsymbol{u}_{i}|^2 \,d\boldsymbol{x}.
\end{equation}
%\end{zam}

%\begin{opr}\label{240622opr1}
{\bfseries Определение 3}. Пусть в уравнениях \eqref{240622eq2} (с уточняющими соотношениями \eqref{240622eq8}) давление удовлетворяет ограничениям \eqref{240622eq5}, коэффициенты вязкостей --- условиям \eqref{240622eq6}, а входные данные задачи \eqref{240622eq1}--\eqref{240622eq4} удовлетворяют условиям \eqref{240622eq7}. Слабым решением задачи \eqref{240622eq1}--\eqref{240622eq4} называется набор функций
$$\rho\in L_{2\gamma}(\Omega),\quad \rho\geqslant 0, \quad \boldsymbol{u}_{i}\in \overset{\circ}{W^1_2}(\Omega),\quad i=1,\dots,N,$$
удовлетворяющих \eqref{240622eq4} и  следующим условиям:

\medskip

$1)$ Плотность $\rho$ удовлетворяет уравнению неразрывности \eqref{240622eq1} в том смысле, что
$\forall\,\psi\in W^{1}_{\frac{6\gamma}{5\gamma-3}}\big(\Omega\big)$ выполняется интегральное тождество
$$
\int\limits_{\Omega}\rho\boldsymbol{v}\cdot\nabla\psi
\,d\boldsymbol{x}
=0;
$$

$2)$ Скорости $\boldsymbol{u}_{i}$, $i=1,\ldots,N$ удовлетворяют уравнениям импульсов \eqref{240622eq2}\linebreak
  (с~определяющими уравнениями \eqref{240622eq8}) в том смысле, что $\forall\,\boldsymbol{\varphi}_{i}\in \overset{\circ}{W^{1}_{2}}\big(\Omega\big)$,\linebreak
  $i=1,\ldots,N$ выполнены интегральные тождества (при $i=1,\ldots,N$)
$$\int\limits_{\Omega}\Big( (\rho_{i} \boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{u}_{i}):(\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}_{i})+\alpha_{i}p\,{\rm div\,}
\boldsymbol{\varphi}_{i} -{\mathbb S}_{i}:(\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}_{i})+\boldsymbol{J}_{i}\cdot\boldsymbol{\varphi}_{i}
+\rho_{i}\boldsymbol{f}_{i}\cdot\boldsymbol{\varphi}_{i}\Big)\,d\boldsymbol{x}=0$$
\big(краевые условия \eqref{240622eq3} выполнены автоматически --- в смысле функционального класса $\overset{\circ}{W^1_2}(\Omega)$\big).
%\end{opr}

\medskip

Основным результатом статьи является следующая

\medskip

%\begin{theorem}\label{12102022theorem1}
{\bfseries Теорема 4}. Пусть $\Omega\subset {\mathbb R}^{3}$ --- ограниченная область с границей $\partial\Omega\in C^{2}$. Тогда для любых входных данных класса, описанного в определении~3, и при оговоренных в нем условиях на параметры уравнений, существует по крайней мере одно слабое решение задачи \eqref{240622eq1}--\eqref{240622eq4}.
%\end{theorem}

\smallskip

Доказательству этой теоремы посвящена оставшаяся часть статьи.

\section{Формулировка приближенной задачи и ее разрешимость}

Будем искать слабое решение задачи \eqref{240622eq1}--\eqref{240622eq4} как предел приближенных решений, а именно, решений следующей краевой задачи (индекс $\varepsilon$ у величин, зависящих от $\varepsilon$, мы пока опускаем):
\begin{equation}\label{270622eq1}
-\varepsilon\Delta\rho+{\rm div}(\rho\boldsymbol{v})+\varepsilon\rho=
\varepsilon\frac{m}{|\Omega|},
\end{equation}
\begin{multline}\label{040722eq1}
\frac{\varepsilon}{2}\rho_{i}\boldsymbol{u}_{i}+\frac{\varepsilon}{2}\frac{m}{|\Omega|}\alpha_{i}\boldsymbol{u}_{i}+\frac{1}{2}\rho_{i}(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}_{i}+
\frac{1}{2}{\rm div}(\rho_{i}\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{u}_{i})+\alpha_{i}\nabla p(\rho)=\\
={\rm div\,}\mathbb{S}_{i}+\boldsymbol{J}_{i}+\rho_{i}\boldsymbol{f}_{i},\quad i=1,\ldots,N,
\end{multline}
\begin{equation}\label{040722eq2}
\boldsymbol{u}_{i}|_{\partial\Omega}=0,\quad\,i=1,\ldots,N,\quad \nabla\rho\cdot\boldsymbol{n}|_{\partial\Omega}=0.
\end{equation}
Здесь $\varepsilon\in(0,1]$~--- параметр, который  впоследствии будет устремлен к нулю; $|\Omega|={\rm meas}(\Omega)$; $\boldsymbol{n}$ --- вектор единичной внешней нормали к $\partial\Omega$.

%\begin{opr}\label{040722opr1}
{\bfseries Определение 5}. Сильным решением задачи \eqref{270622eq1}--\eqref{040722eq2} называются неотрицательная функция $\rho\in W^{2}_{\sigma_{1}}(\Omega)$ с некоторым $\sigma_{1}>3$, и векторные поля $\boldsymbol{u}_{i}\in W^{2}_{\sigma_{1}}(\Omega)$, $i=1,\ldots,N$ такие, что уравнения \eqref{270622eq1}, \eqref{040722eq1} выполнены п.~в. в $\Omega$, и п.~в. на $\partial\Omega$ верны краевые условия \eqref{040722eq2}.
%\end{opr}

Существование сильного решения краевой задачи \eqref{270622eq1}--\eqref{040722eq2} доказывается стандартными рассуждениями на основании теоремы о неподвижных точках Лерэ--Шаудера, как это сделано, например, в аналогичной ситуации в статье~\cite{mampr16}. Для доказательства разрешимости исходной краевой задачи \eqref{240622eq1}--\eqref{240622eq4} (см. определение~3) совершим предельный переход по параметру $\varepsilon$, отличающему задачу \eqref{270622eq1}--\eqref{040722eq2} от исходной задачи \eqref{240622eq1}--\eqref{240622eq4}. Для этого сначала получим оценки, равномерные по параметру $\varepsilon$.

\section{Оценки решений приближенной задачи}

Умножим \eqref{040722eq1} скалярно на $\boldsymbol{u}_{i}$, проинтегрируем по $\Omega$ (пользуясь граничными условиями \eqref{040722eq2}) и просуммируем по $i=1,\ldots,N$, выведем
\begin{equation}\label{130722eq4}
\begin{array}{c}\displaystyle
\sum\limits_{i=1}^N \int\limits_\Omega {\mathbb S}_{i}:(\nabla\otimes\boldsymbol{u}_{i})\,d\boldsymbol{x}+\frac{\varepsilon}{2}\sum\limits_{i=1}^N \int\limits_\Omega
\rho_{i} |\boldsymbol{u}_{i}|^2 \,d\boldsymbol{x}+\frac{\varepsilon m}{2|\Omega|}\sum\limits_{i=1}^N \alpha_{i}\int\limits_\Omega |\boldsymbol{u}_{i}|^2 \,d\boldsymbol{x}+\\ \\
\displaystyle +\frac{1}{2}\sum\limits_{i, j=1}^N a_{ij}\int\limits_\Omega |\boldsymbol{u}_{i}- \boldsymbol{u}_{j}|^{2}\,d\boldsymbol{x}=
\int\limits_{\Omega}p(\rho){\rm div\,}\boldsymbol{v}\,d\boldsymbol{x}+\sum\limits_{i=1}^N \int\limits_\Omega \rho_{i}\boldsymbol{f}_{i}\cdot \boldsymbol{u}_{i}\,d\boldsymbol{x}.
\end{array}
\end{equation}

Проинтегрируем теперь уравнение \eqref{270622eq1} по области $\Omega$, получим равенство
\begin{equation}\label{130722eq5}
\int\limits_{\Omega}\rho\, d\boldsymbol{x}=m.
\end{equation}

Умножая далее уравнение \eqref{270622eq1} на функцию $G'(\rho)$, где $G:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}$ --- произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция, после элементарных преобразований приходим к равенству
\begin{multline}\label{140722eq1}
\varepsilon G''(\rho)|\nabla\rho|^{2}-\varepsilon{\rm div}(G'(\rho)\nabla\rho)+(\rho G'(\rho)-G(\rho)){\rm div\,}\boldsymbol{v}+\\
+{\rm div\,}(G(\rho)\boldsymbol{v})+\varepsilon \rho G'(\rho)=\varepsilon\frac{m}{|\Omega|}G'(\rho).
\end{multline}
Полагая в \eqref{140722eq1} $\displaystyle G(\rho)=(\rho+l)\int\limits_{1}^{\rho+l}\frac{p(\eta)}{\eta^{2}}\,d\eta$ с произвольным $l\in(0, 1]$, выведем равенство
$$ \int\limits_{\Omega}p(\rho+l)\,{\rm div}\boldsymbol{v}\,d\boldsymbol{x}=l\int\limits_{\Omega}\frac{p(\rho+l)}{\rho+l}{\rm div\,} \boldsymbol{v}\,d\boldsymbol{x}+
l\int\limits_{\Omega}\left(\int\limits_{1}^{\rho+l}\frac{p(\eta)}{\eta^{2}}\,d\eta\right){\rm div\,} \boldsymbol{v}\,d\boldsymbol{x}-$$
$$-\varepsilon\int\limits_{\Omega}\rho \left(\int\limits_{1}^{\rho+l}\frac{p(\eta)}{\eta^{2}}\,d\eta\right)d\boldsymbol{x}-\varepsilon\int\limits_{\Omega}\frac{\rho p(\rho+l)}{\rho+l}\,d\boldsymbol{x}-\varepsilon\int\limits_{\Omega}\frac{p'(\rho+l)}{\rho+l}|\nabla\rho|^{2}\,d\boldsymbol{x}+$$
$$+\varepsilon\frac{m}{|\Omega|}\int\limits_{\Omega}\left(\int\limits_{1}^{\rho+l}\frac{p(\eta)}{\eta^{2}}\,d\eta\right)d\boldsymbol{x}
+\varepsilon\frac{m}{|\Omega|}\int\limits_{\Omega}\frac{p(\rho+l)}{\rho+l}\,d\boldsymbol{x},$$
из которого после элементарных оценок (с учетом \eqref{240622eq5} и замечания~1) и последующего предельного перехода по $l\rightarrow +0$ следует неравенство
\begin{multline}\label{250722eq1}
\int\limits_{\Omega}p(\rho)\,{\rm div\,} \boldsymbol{v}\,d\boldsymbol{x}\leqslant\\
\leqslant-\frac{\varepsilon}{2}\left(B_{1}+\frac{1}{c_1\gamma}\right)\int\limits_{\Omega}\rho^{\gamma}\,d\boldsymbol{x}+B_{6}(B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, c_1, c_2, m, \gamma, \Omega).
\end{multline}

Из соотношения \eqref{130722eq4}, в силу \eqref{240622eq11} и \eqref{250722eq1}, следует соотношение
%\begin{equation}\label{270722eq1}\begin{array}{c}\displaystyle
$$B_{5} \sum\limits_{i=1}^N \int\limits_\Omega |\nabla\otimes\boldsymbol{u}_{i}|^{2}\,d\boldsymbol{x}+\frac{\varepsilon}{2}\sum\limits_{i=1}^N \int\limits_\Omega
\rho_{i} |\boldsymbol{u}_{i}|^2 \,d\boldsymbol{x}+\frac{\varepsilon m}{2|\Omega|}\sum\limits_{i=1}^N \alpha_{i}\int\limits_\Omega |\boldsymbol{u}_{i}|^2 \,d\boldsymbol{x}+$$
$$+\frac{\varepsilon}{2}\left(B_{1}+\frac{1}{c_1\gamma}\right)
\int\limits_{\Omega}\rho^{\gamma}\,d\boldsymbol{x}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i, j=1}^N a_{ij}\int\limits_\Omega |\boldsymbol{u}_{i}- \boldsymbol{u}_{j}|^{2}\,d\boldsymbol{x} \leqslant
\sum\limits_{i=1}^N \int\limits_\Omega \rho_{i}\boldsymbol{f}_{i}\cdot \boldsymbol{u}_{i}\,d\boldsymbol{x}+B_{6},$$
%\end{array}\end{equation}
из которого ввиду неравенств
$$
B_{5} \sum\limits_{i=1}^N \int\limits_\Omega |\nabla\otimes\boldsymbol{u}_{i}|^{2}\,d\boldsymbol{x}\geqslant B_{7}(B_{5}, \Omega) \sum\limits_{i=1}^{N}\|\boldsymbol{u}_{i}\|^{2}_{W^{1}_{2}(\Omega)},
$$
$$
\sum\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{\Omega}\rho_{i}\boldsymbol{f}_{i}\cdot\boldsymbol{u}_{i}\,d\boldsymbol{x}\leqslant\frac{B_{7}}{2}
\sum\limits_{i=1}^{N}\|\boldsymbol{u}_{i}\|^{2}_{W^{1}_{2}(\Omega)}+
B_{8}\left(B_{7}, \{\|\boldsymbol{f}_{i}\|_{C(\overline{\Omega})}\}, \Omega\right)\|\rho\|^{2}_{L_{\frac{6}{5}}(\Omega)}
$$
получаем оценку
\begin{equation}\label{270722eq2}
\sum\limits_{i=1}^N \|\boldsymbol{u}_{i}\|^{2}_{W^{1}_{2}(\Omega)}\leqslant B_{9}\left(B_{6},B_{7}, B_{8}\right)\left(\|\rho\|^{2}_{L_{\frac{6}{5}}(\Omega)}+1\right).
\end{equation}

Далее умножим уравнения \eqref{040722eq1} скалярно на $\boldsymbol{\varphi}$, где $\boldsymbol{\varphi}$ --- решение задачи
%\begin{equation}\label{02102022eq1}
$${\rm div\,}\boldsymbol{\varphi}=\rho^{\gamma}-\frac{1}{|\Omega|}\int\limits_{\Omega}\rho^{\gamma}\,d\boldsymbol{x},\quad \boldsymbol{\varphi}|_{\partial \Omega}=0,$$
%\end{equation}
и проинтегрируем по $\Omega$, это даст тождества
\begin{equation}\label{02102022eq2}\begin{array}{c}\displaystyle
\alpha_{i}\int\limits_{\Omega}p(\rho)\rho^{\gamma}\,d\boldsymbol{x}=\\ \\
\displaystyle =\frac{\alpha_{i}}{|\Omega|}\left(\int\limits_{\Omega}p(\rho)\,
d\boldsymbol{x}\right)\left(\int\limits_{\Omega}\rho^{\gamma}\,d\boldsymbol{x}\right)+\int\limits_{\Omega}\left({\mathbb{S}_{i}-
\frac{1}{2}\rho_{i}\boldsymbol{v}}\otimes\boldsymbol{u}_{i}\right):\left(\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}\right)\,d\boldsymbol{x}+\\ \\
\displaystyle +\frac{1}{2}\int\limits_{\Omega}[\rho_{i}(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}_{i}]\cdot\boldsymbol{\varphi}\,d\boldsymbol{x}-
\int\limits_{\Omega}\left(\boldsymbol{J_{i}}+\rho_{i}\boldsymbol{f}_{i}\right)\cdot\boldsymbol{\varphi}\, d\boldsymbol{x}
+\frac{\varepsilon}{2}\int\limits_{\Omega}\rho_{i}\boldsymbol{u}_{i}\cdot\boldsymbol{\varphi}\, d\boldsymbol{x}+\\ \\
\displaystyle
+\frac{\varepsilon}{2}\frac{m\alpha_{i}}{|\Omega|}\int\limits_{\Omega}\boldsymbol{u}_{i}\cdot\boldsymbol{\varphi}\, d\boldsymbol{x},\qquad i=1, \ldots, N.
\end{array}\end{equation}

Благодаря равномерным по $\varepsilon$ оценкам (верным для всех $i=1,\ldots,N$)
%\begin{equation}\label{02102022eq3}
$$\|\boldsymbol{\varphi}\|_{L_{6}(\Omega)}+\|\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}\|_{L_{2}(\Omega)}\leqslant B_{10}(\Omega)\|\rho\|^{\gamma}_{L_{2\gamma}(\Omega)},$$
%\end{equation}
%\begin{equation}\label{02102022eq4}
$$\|{\mathbb S}_{i}\|_{L_{2}(\Omega)}\leqslant B_{11}(B_{9}, \boldsymbol{\Lambda}, \textbf{M}, N, \gamma,\Omega)\left(1+\|\rho\|_{L_{2\gamma}(\Omega)}\right),$$
%\end{equation}
%\begin{equation}\label{02102022eq5}
$$\|\rho_{i}\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{u}_{i}\|_{L_{2}(\Omega)}+
\|\rho_{i}(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}_{i}\|_{L_{\frac{6}{5}}(\Omega)}\leqslant B_{12}(B_{9}, N, \gamma, \Omega)
\|\rho\|_{L_{2\gamma}(\Omega)}\left(1+\|\rho\|^{2}_{L_{2\gamma}(\Omega)}\right),$$
%\end{equation}
%\begin{equation}\label{02102022eq6}
$$\|\boldsymbol{J}_{i}+\rho_{i}\boldsymbol{f}_{i}\|_{L_{2}(\Omega)}\leqslant B_{13}\left(B_{9},\{\|\boldsymbol{f}_{i}\|_{ C(\overline{\Omega})}\}, \{a_{ij}\}, N, \gamma, \Omega\right)\left(1+\|\rho\|_{L_{2\gamma}(\Omega)}\right),$$
%\end{equation}
из \eqref{02102022eq2} следует, что (см. \eqref{250622eq1}, \eqref{130722eq5})
%\begin{equation}\label{03102022ocenka}\displaystyle
$$\|\rho\|_{L_{2\gamma}(\Omega)}^{2\gamma}\leqslant B_{14}\left(\|\rho\|_{L_{2\gamma}(\Omega)}^{\gamma+3}+\|\rho\|_{L_{2\gamma}(\Omega)}^{\frac{4\gamma(\gamma-1)}{2\gamma-1}}+1\right),$$
%\end{equation}
где $B_{14}$ зависит от $B_{9}$, $B_{10}$, $B_{11}$, $B_{12}$, $B_{13}$, $\{\alpha_{i}\}$, $m$, $c_1$, $c_2$, $\gamma$ и $\Omega$. Отсюда получаем оценку
\begin{equation}\label{03102022equat1}
\|\rho\|_{L_{2\gamma}(\Omega)}\leqslant B_{15}(B_{14}, \gamma),
\end{equation}
и ввиду \eqref{270722eq2}, также и оценки
\begin{equation}\label{03102022equat2}
\|\boldsymbol{u}_{i}\|_{W^{1}_{2}(\Omega)} \leqslant B_{16}(B_{9}, B_{15}, \gamma, \Omega),\quad i=1,\ldots,\,N.
\end{equation}
Наконец, из \eqref{270622eq1}, \eqref{040722eq2}, \eqref{03102022equat1}  и \eqref{03102022equat2} следует, что
\begin{equation}\label{03102022equat3}
\sqrt{\varepsilon}\,\|\nabla\rho\|_{L_{2}(\Omega)} \leqslant B_{17}\left(B_{15}, B_{16}, N, m, \gamma, \Omega\right).
\end{equation}

\section{Предельный переход всюду кроме давления}

Далее решения задач \eqref{270622eq1}--\eqref{040722eq2} будем обозначать с употреблением индекса~$\varepsilon$.

В силу оценок \eqref{03102022equat1}--\eqref{03102022equat3}, из семейства $\rho^{\varepsilon}$, $\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}$, $i=1,\ldots,N$, $\varepsilon\in(0,1]$, решений краевых задач \eqref{270622eq1}--\eqref{040722eq2} может быть выделена последовательность (которую мы обозначим так же), для которой при $\varepsilon\rightarrow +0$ имеют место сходимости
\begin{equation}\label{03102022pred_eps2}
\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}\rightarrow \boldsymbol{u}_{i}\;\;\text{слабо в}\;\;\overset{\circ}{W^{1}_{2}}(\Omega),\quad i=1,\ldots,N,
\end{equation}
\begin{equation}\label{03102022pred_eps1}
\rho^{\varepsilon}\rightarrow\rho\;\;\text{слабо в}\;\; L_{2\gamma}(\Omega), \;\;
\rho\geqslant 0\;\;\text{п.~в. в}\;\;\Omega,
\end{equation}
\begin{equation}\label{03102022pred_eps3}
\varepsilon\nabla \rho^{\varepsilon}\rightarrow 0\;\;\text{сильно в}\;\;L_2(\Omega),
\end{equation}
\begin{equation}\label{03102022pred_eps5}
p(\rho^{\varepsilon})\rightarrow\overline{p(\rho)}\;\;\text{слабо в}\;\; L_{2}(\Omega),\quad
\overline{p(\rho)}\geqslant 0\;\;\text{п.~в. в}\;\;\Omega,
\end{equation}
где $\overline{p(\rho)}$ обозначает слабый предел последовательности $p(\rho^{\varepsilon})$ в $L_{2}(\Omega)$. Заметим, что из \eqref{03102022pred_eps2} сразу следуют сильные сходимости $\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}\rightarrow\boldsymbol{u}_{i}$, $i=1, \ldots, N$ в $L_{\sigma_{2}}(\Omega)$ при всех $\sigma_{2}\in[1,6)$.

Таким образом получаем, что предельные функции $\rho$, $\boldsymbol{u}_{i}$, $i=1,\ldots,N$, удовлетворяют уравнению
\begin{equation}\label{03102022pred_operator29}
\int\limits_{\Omega}\rho\boldsymbol{v}\cdot\nabla\psi\,d\boldsymbol{x}=0\quad  \forall\, \psi\in W^{1}_{\frac{6\gamma}{5\gamma-3}}\big(\Omega\big)
\end{equation}
--- это слабая форма уравнения \eqref{240622eq1}, в котором $\displaystyle \boldsymbol{v}=\sum\limits_{j=1}^{N}\alpha_{j}\boldsymbol{u}_{j}$; уравнениям
\begin{equation}\label{03102022momentum_delta}\begin{array}{c}
\displaystyle \int\limits_{\Omega}\Big((\rho_{i} \boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{u}_{i}):(\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}_{i})+
\alpha_{i} \overline{p(\rho)}{\rm div\,}\boldsymbol{\varphi}_{i}
+\boldsymbol{J}_{i}\cdot\boldsymbol{\varphi}_{i}+\rho_{i}\boldsymbol{f}_{i}\cdot\boldsymbol{\varphi}_{i}\Big)\,d\boldsymbol{x}=\\
\displaystyle =\int\limits_{\Omega}{\mathbb S}_{i}:(\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}_{i}) \,d\boldsymbol{x}\quad
\forall\,\boldsymbol{\varphi}_{i}\in \overset{\circ}{W^1_2}(\Omega),\quad i=1, \ldots, N
\end{array}\end{equation}
--- это слабая форма уравнений \eqref{240622eq3}, в которых $\rho_{i}=\alpha_{i}\rho$,
$\displaystyle \boldsymbol{J}_{i}=\sum\limits_{j=1}^{N}a_{ij}(\boldsymbol{u}_{j}-\boldsymbol{u}_{i})$,\linebreak
$\displaystyle {\mathbb S}_{i}=\sum\limits_{j=1}^{N}\left(\lambda_{ij}({\rm div\,}\boldsymbol{u}_{j})\mathbb{I}+2\mu_{ij}\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_{j})\right)$, $i=1,\ldots,N$, а вместо $p(\rho)$ пока стоит $\overline{p(\rho)}$; а также интегральному условию \eqref{240622eq4} для плотности.

При переходе к пределу по $\varepsilon\rightarrow +0$ в уравнениях \eqref{040722eq1} использовались следующие тождества (первое из которых опирается на \eqref{270622eq1}):
\begin{equation}\label{08102022newsootnforeps1}\begin{array}{c}
\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}+
\frac{\varepsilon}{2}\frac{m}{|\Omega|}\alpha_{i}\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}+\frac{1}{2}\rho_{i}^{\varepsilon}(\boldsymbol{v}^{\varepsilon}
\cdot\nabla)\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}+
\frac{1}{2}{\rm div}(\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{v}^{\varepsilon}\otimes\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon})=\\ \\
\displaystyle =\varepsilon\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}+{\rm div}(\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{v}^{\varepsilon}\otimes\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon})-
\frac{\varepsilon}{2}(\Delta\rho_{i}^{\varepsilon})\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon},\quad i=1, \ldots, N,
\end{array}
\end{equation}
\begin{equation}\label{08102022newsootnforeps2}
(\Delta\rho_{i}^{\varepsilon})\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}={\rm div\,}((\nabla\rho_{i}^{\varepsilon})\otimes\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon})-
(\nabla\rho_{i}^{\varepsilon}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon},\quad i=1, \ldots, N.
\end{equation}

%\begin{zam}\label{08102022newzam}
{\bfseries Замечание 6}. При выводе формул \eqref{03102022pred_operator29} и \eqref{03102022momentum_delta} сначала берутся бесконечно гладкие пробные функции, а затем (после предельного перехода по $\varepsilon$) стандартным образом доказывается справедливость этих формул для всех пробных функций указанного класса.
%\end{zam}

%\begin{zam}\label{08102022zam2}
{\bfseries Замечание 7}. Как известно из теории уравнений переноса и Навье--Стокса (см., например, \cite{novstrs04}, Раздел 3.1.3, стр. 159--163),
все решения уравнения \eqref{03102022pred_operator29} (т.~е. \eqref{240622eq1}) рассматриваемого класса автоматически являются так называемыми ренормализованными решениями,
т.~е. удовлетворяют ренормализованному уравнению \eqref{240622eq1}, формально получающемся из \eqref{240622eq1} умножением на $b^\prime(\rho)$
для всех функций $b$ определенного класса (а именно, обладающими достаточной гладкостью и свойствами роста в нуле и на бесконечности --- более точно эти свойства будут сформулированы в разделе~\ref{finanal}).
%\end{zam}

\section{Предельный переход в давлении}

Для завершения предельного перехода по $\varepsilon\rightarrow +0$ осталось доказать, что
 \begin{equation}\label{08102022pressurelimits}
\overline{p(\rho)}=p(\rho)\;\;\text{п.~в. в}\;\; \Omega.
\end{equation}

\subsection{Предварительные построения}

Рассмотрим так называемые эффективные вязкие потоки компонент смеси
$$\alpha_{i}p(\rho)-\sum\limits_{j=1}^N \nu_{ij}{\rm div}\boldsymbol{u}_{j},\qquad i=1, \ldots, N,$$
соответствующие величины для регуляризованной задачи
$$\alpha_{i}p(\rho^{\varepsilon})-\sum\limits_{j=1}^N \nu_{ij}{\rm div}\boldsymbol{u}_{j}^{\varepsilon},\qquad i=1, \ldots, N,$$
и их слабые пределы в $L_{2}(\Omega)$:
$$\alpha_{i}\overline{p(\rho)}-\sum\limits_{j=1}^N \nu_{ij}{\rm div}\boldsymbol{u}_{j},\qquad i=1, \ldots, N.$$

Будем использовать оператор~$\Delta^{-1}$, действующий по формуле\linebreak
$\displaystyle(\Delta^{-1}v)(\boldsymbol{x})=-\frac{1}{4\pi}\int\limits_{{\mathbb R}^3}\frac{v(\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{y}}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}$,
применяя его к функциям $v\in L_{\sigma_{3}}(\Omega)$, $\displaystyle \sigma_{3}>\frac{3}{2}$, продолженным нулем за пределы~$\Omega$.
При этом $\Delta^{-1}:\>L_{\sigma_{3}}(\Omega)\rightarrow W^2_{\sigma_{3}}(\Omega)$, и $\Delta\circ\Delta^{-1}=I$.

Умножим уравнения \eqref{040722eq1} (для функций $\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}$, $\rho_{i}^{\varepsilon}$, $i=1,\ldots,N$) скалярно на функцию
$\tau\boldsymbol{r}^{\varepsilon}$, где $\boldsymbol{r}^{\varepsilon}=\nabla\Delta^{-1}\rho^{\varepsilon}$, и
\begin{equation}\label{08102022psitau}\tau\in C^{\infty}_{0}(\Omega),\end{equation}
и проинтегрируем по $\Omega$. Тогда, учитывая \eqref{08102022newsootnforeps1} и \eqref{08102022newsootnforeps2}, придем к равенствам
\begin{equation}\label{08102022comutator1}\begin{array}{c}\displaystyle
\int\limits_{\Omega}\Big(\tau\alpha_{i}p(\rho^{\varepsilon})\rho^{\varepsilon}-{\mathbb S}_{i}^{\varepsilon}:[\nabla\otimes
(\tau\boldsymbol{r}^{\varepsilon})]\Big)\,d\boldsymbol{x}=\\ \\
\displaystyle =-\alpha_{i}\int\limits_{\Omega}p(\rho^{\varepsilon})\nabla\tau
\cdot\boldsymbol{r}^{\varepsilon}\,d\boldsymbol{x}-\int\limits_{\Omega}\tau(\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{v}^{\varepsilon}\otimes\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}):
(\nabla\otimes\boldsymbol{r}^{\varepsilon})\,d\boldsymbol{x}-\\ \\
\displaystyle
-\int\limits_{\Omega}(\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{v}^{\varepsilon}\otimes\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}):
((\nabla\tau)\otimes\boldsymbol{r}^{\varepsilon})\,d\boldsymbol{x}
-\int\limits_{\Omega}\tau(\boldsymbol{J}_{i}^{\varepsilon}+\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{f}_{i})\cdot\boldsymbol{r}^{\varepsilon}\,d\boldsymbol{x}+\\ \\
\displaystyle +\varepsilon\int\limits_{\Omega}\tau\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}\cdot\boldsymbol{r}^{\varepsilon}\,d\boldsymbol{x}
+\frac{\varepsilon}{2}\int\limits_{\Omega}((\nabla\rho_{i}^{\varepsilon})\otimes\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}):
(\nabla\otimes(\tau\boldsymbol{r}^{\varepsilon}))\,d\boldsymbol{x}+\\ \\
\displaystyle +\frac{\varepsilon}{2}\int\limits_{\Omega}\tau[(\nabla\rho_{i}^{\varepsilon}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}]
\cdot\boldsymbol{r}^{\varepsilon}\,d\boldsymbol{x},
\quad i=1,\ldots,N.
\end{array}
\end{equation}

C другой стороны, приняв в \eqref{03102022momentum_delta} в качестве тестовых функций векторные поля $\boldsymbol{\varphi}_{i}=\tau\boldsymbol{r}$
(см. \eqref{08102022psitau}), где $\boldsymbol{r}=\nabla\Delta^{-1}\rho$, выводим тождества
\begin{equation}\label{08102022comutator2}\begin{array}{c}\displaystyle
\int\limits_{\Omega}\left(\tau\alpha_{i}\overline{p(\rho)}\rho-{\mathbb S}_{i}:[\nabla\otimes(\tau\boldsymbol{r})]\right)\,d\boldsymbol{x}=\\ \\
\displaystyle =-\alpha_{i}\int\limits_{\Omega}\overline{p(\rho)}\nabla\tau
\cdot\boldsymbol{r}\,d\boldsymbol{x}-\int\limits_{\Omega}\tau(\rho_{i}\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{u}_{i}):(\nabla\otimes\boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{x}-\\
\displaystyle
-\int\limits_{\Omega}(\rho_{i}\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{u}_{i}):((\nabla\tau)\otimes\boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{x}
-\int\limits_{\Omega}\tau(\boldsymbol{J}_{i}+\rho_{i}\boldsymbol{f}_{i})\cdot\boldsymbol{r}\,d\boldsymbol{x},\quad i=1,\ldots,N.
\end{array}\end{equation}

Из \eqref{03102022pred_eps1} и компактности вложения $W^{1}_{2\gamma}(\Omega)$ в $C(\overline{\Omega})$ следует, что
%\begin{equation}\label{08102022comutator3}
$\boldsymbol{r}^{\varepsilon}\rightarrow\boldsymbol{r}$ при $\varepsilon\rightarrow +0$ в $C(\overline{\Omega})$.
%\end{equation}

Вычитая из \eqref{08102022comutator1} равенства \eqref{08102022comutator2} и переходя к пределу при $\varepsilon\rightarrow +0$, получим соотношения
\begin{multline}\label{08102022comutator4}
\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow +0}\int\limits_{\Omega}\Big(\tau\alpha_{i}p(\rho^{\varepsilon})\rho^{\varepsilon}-{\mathbb S}_{i}^{\varepsilon}:[\nabla\otimes
(\tau\boldsymbol{r}^{\varepsilon})]\Big)\,d\boldsymbol{x}- \\
-\int\limits_{\Omega}\left(\tau\alpha_{i}\overline{p(\rho)}\rho-{\mathbb S}_{i}:[\nabla\otimes(\tau\boldsymbol{r})]\right)\,d\boldsymbol{x}=\\
=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow+0}\int\limits_{\Omega}\tau\Big((\rho_{i}\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{u}_{i}):(\nabla\otimes\boldsymbol{r})
-(\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{v}^{\varepsilon}\otimes\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}):(\nabla\otimes\boldsymbol{r}^{\varepsilon})\Big)\,d\boldsymbol{x},\quad i=1,\ldots,N.
\end{multline}

\subsection{Анализ \eqref{08102022comutator4}}

Докажем, что правая часть \eqref{08102022comutator4} равна нулю. Для этого введем в рассмотрение оператор ${\rm Comm}$, действующий по
формуле
$${\rm Comm}(\boldsymbol{\beta},\zeta)=\zeta(\nabla{\rm div}\Delta^{-1}\boldsymbol{\beta})-(\nabla\otimes\nabla\Delta^{-1}\zeta)\boldsymbol{\beta},$$
о котором известно (см. \cite{coifman}, \cite{lions98}, \cite{novstrs04}, \cite{tartar}) следующее: если $\boldsymbol{\beta}_k\rightarrow\boldsymbol{\beta}$
слабо в $L_{\sigma_{4}}(\Omega)$, $\zeta_k\rightarrow\zeta$ слабо в $L_{\sigma_{5}}(\Omega)$, где
$\displaystyle \frac{1}{\sigma_{4}}+\frac{1}{\sigma_{5}}<1$, то ${\rm Comm}(\boldsymbol{\beta}_k,\zeta_k)\rightarrow {\rm Comm}(\boldsymbol{\beta},\zeta)$
слабо в $L_{\sigma_{6}}(\Omega)$, где $\displaystyle \frac{1}{\sigma_{6}}=\frac{1}{\sigma_{4}}+\frac{1}{\sigma_{5}}$.

Преобразуем правую часть \eqref{08102022comutator4} (учитывая равенство \eqref{03102022pred_operator29}):
\begin{equation}\label{08102022comutator6}\begin{array}{c}\displaystyle
\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow+0}\int\limits_{\Omega}\tau\Big((\rho_{i}\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{u}_{i}):(\nabla\otimes\boldsymbol{r})-
(\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{v}^{\varepsilon}\otimes\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}):(\nabla\otimes\boldsymbol{r}^{\varepsilon})\Big)\,d\boldsymbol{x}=\\
\displaystyle
=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow +0}\int\limits_{\Omega}\boldsymbol{v}^{\varepsilon}\cdot
{\rm Comm}(\tau\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon},\rho^{\varepsilon})\,d\boldsymbol{x}
-\int\limits_{\Omega}\boldsymbol{v}\cdot{\rm Comm}(\tau\rho_{i}\boldsymbol{u}_{i},\rho)\,d\boldsymbol{x}-\\
\displaystyle -\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow +0}\int\limits_{\Omega}\tau\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}\cdot\nabla\Delta^{-1}{\rm div}(\rho^{\varepsilon}\boldsymbol{v}^{\varepsilon})\,d\boldsymbol{x},\quad i=1,\ldots,N.
\end{array}\end{equation}
Из \eqref{03102022pred_eps2} и \eqref{03102022pred_eps1} следует, что
$\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon}\rightarrow\rho_{i}\boldsymbol{u}_{i}$, $i=1,\ldots,N$ слабо в $L_{\sigma_{7}}(\Omega)$ при всех
$\displaystyle \sigma_{7}<\frac{6\gamma}{\gamma+3}$, а следовательно при всех $\displaystyle \sigma_{7}\in\left(\frac{2\gamma}{2\gamma-1},\frac{6\gamma}{\gamma+3}\right)$ имеем
$${\rm Comm}(\tau\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon},\rho^{\varepsilon})\rightarrow
{\rm Comm}(\tau\rho_{i}\boldsymbol{u}_{i},\rho),\quad i=1,\ldots,N,\qquad \text{слабо в } L_{\sigma_{8}}(\Omega),$$
где
$\displaystyle \sigma_{8}=\frac{2\sigma_{7}\gamma}{2\gamma+\sigma_{7}}$.
Поскольку вложение $L_{\sigma_{8}}(\Omega)$ в $W^{-1}_{2}(\Omega)$ компактно (при дополнительном условии $\displaystyle \sigma_{7}>\frac{6\gamma}{5\gamma-3}$, заведомо совместном
с наложенными выше), то
${\rm Comm}(\tau\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon},\rho^{\varepsilon})\rightarrow {\rm Comm}(\tau\rho_{i}\boldsymbol{u}_{i},\rho)$,
$i=1,\ldots,N$ сильно в $W^{-1}_{2}(\Omega)$. Полученные соотношения вместе с \eqref{03102022pred_eps2} влекут равенства
$$\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow+0}\int\limits_{\Omega}\boldsymbol{v}^{\varepsilon}\cdot
{\rm Comm}(\tau\rho_{i}^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_{i}^{\varepsilon},\rho^{\varepsilon})\,d\boldsymbol{x}
=\int\limits_{\Omega}\boldsymbol{v}\cdot{\rm Comm}(\tau\rho_{i}\boldsymbol{u}_{i},\rho)\,d\boldsymbol{x},\quad i=1,\ldots,N.$$
Из уравнения \eqref{270622eq1} получим тождество
$$\nabla\Delta^{-1}{\rm div}(\rho^{\varepsilon}\boldsymbol{v}^\varepsilon)=\varepsilon\nabla\Delta^{-1}\Delta\rho^{\varepsilon}+\varepsilon\nabla\Delta^{-1}
\left(\frac{m}{|\Omega|}-\rho^{\varepsilon}\right),$$
из которого ясно, что последнее слагаемое в правой части \eqref{08102022comutator6} обращается в~нуль. При этом использовано представление
$\varepsilon\nabla\Delta^{-1}\Delta\rho^{\varepsilon}=\nabla\otimes\nabla\Delta^{-1}(\varepsilon\nabla\rho^{\varepsilon})$, соотношение \eqref{03102022pred_eps3} и ограниченность оператора Рисса $\nabla\otimes\nabla\Delta^{-1}$ в $L_2(\Omega)$ (см., например, \cite{feir02}, стр. 348).

Таким образом, из \eqref{08102022comutator4} и \eqref{08102022comutator6} следует, что
\begin{multline}\label{10102022comutator10}
\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow +0}\int\limits_{\Omega}\Big(\tau \alpha_{i}p(\rho^{\varepsilon})\rho^{\varepsilon}-
{\mathbb S}_{i}^{\varepsilon}:[\nabla\otimes(\tau\boldsymbol{r}^{\varepsilon})]\Big)\,d\boldsymbol{x}=\\
=\int\limits_{\Omega}\left(\tau\alpha_{i}\overline{p(\rho)}\rho-{\mathbb S}_{i}:[\nabla\otimes(\tau\boldsymbol{r})]\right)\,d\boldsymbol{x},\quad i=1,\ldots,N.
\end{multline}

\subsection{Соотношения для эффективных вязких потоков}

Ввиду того, что при $i=1,\ldots,N$ имеем (см. \eqref{240622eq6})
\begin{equation}\label{12102022comutator11}\begin{array}{c}\displaystyle
\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow +0}\int\limits_{\Omega}{\mathbb S}_{i}^{\varepsilon}:[\nabla\otimes
(\tau\boldsymbol{r}^{\varepsilon})]\,d\boldsymbol{x}-\int\limits_{\Omega}{\mathbb S}_{i}:[\nabla\otimes(\tau\boldsymbol{r})]\,d\boldsymbol{x}=\\ \\
\displaystyle =\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow +0}\sum_{j=1}^{N}\nu_{ij}\int\limits_{\Omega}\tau
\rho^{\varepsilon}{\rm div}\,\boldsymbol{u}_{j}^{\varepsilon}\,d\boldsymbol{x}-\sum_{j=1}^{N}\nu_{ij}\int\limits_{\Omega}\tau\rho{\rm div}\,\boldsymbol{u}_{j}\,d\boldsymbol{x}+\\
 \displaystyle +\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow +0}\sum_{j=1}^{N}\nu_{ij}\int\limits_{\Omega}
({\rm div}\,\boldsymbol{u}_{j}^{\varepsilon})\Big(2\boldsymbol{r}^{\varepsilon}\cdot\nabla\tau+(\Delta\tau)\Delta^{-1}\rho^{\varepsilon}\Big)\,d\boldsymbol{x}-\\
\displaystyle
-\sum_{j=1}^{N}\nu_{ij}\int\limits_{\Omega}({\rm div}\,\boldsymbol{u}_{j})\Big(2\boldsymbol{r}\cdot\nabla\tau+(\Delta\tau)\Delta^{-1}\rho\Big)\,d\boldsymbol{x}-\\ \displaystyle
-\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow +0}\int\limits_{\Omega} {\mathbb S}_{i}^{\varepsilon}:\Big(\nabla\otimes[(\nabla\tau)\Delta^{-1}\rho^{\varepsilon}]\Big)\,d\boldsymbol{x}
\displaystyle
+\int\limits_{\Omega}{\mathbb S}_{i}:\Big(\nabla\otimes[(\nabla\tau)\Delta^{-1}\rho]\Big)\,d\boldsymbol{x},
\end{array}\end{equation}
и поскольку последние четыре интеграла в \eqref{12102022comutator11} взаимно уничтожаются, равенства \eqref{10102022comutator10} превращаются в следующие соотношения для эффективных вязких потоков компонент смеси:
\begin{multline}\label{12102022communicative_initial}
\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow +0}\int\limits_{\Omega} \tau\rho^{\varepsilon}\left(\alpha_{i}p(\rho^{\varepsilon})-\sum\limits_{j=1}^N
\nu_{ij}{\rm div}\boldsymbol{u}_{j}^{\varepsilon}\right)\,d\boldsymbol{x}=\\
=\int\limits_{\Omega} \tau \rho\left(\alpha_{i}\overline{p(\rho)}-\sum\limits_{j=1}^N \nu_{ij}{\rm div}\boldsymbol{u}_{j}\right)\,d\boldsymbol{x},
\end{multline}
$i=1, \ldots, N$. Тем самым, мы можем вывести из \eqref{12102022communicative_initial} такое следствие:
\begin{equation}\label{12102022communicative1}
\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow +0}\int\limits_{\Omega} \tau\rho^{\varepsilon}\big(\nu_{0}p(\rho^{\varepsilon})-{\rm div}\boldsymbol{v}^{\varepsilon}\big)\,d\boldsymbol{x}=
\int\limits_{\Omega} \tau \rho\left(\nu_{0}\overline{p(\rho)}-{\rm div}\boldsymbol{v}\right)\,d\boldsymbol{x},
\end{equation}
где $\displaystyle \nu_{0}=(\textbf{N}^{-1}\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha})>0$ (см. \eqref{240622eq6}), а $\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{N})^{T}$.

Ввиду произвольности $\tau$ (см. \eqref{08102022psitau}), равенство \eqref{12102022communicative1} выражает соотношение
\begin{align}\label{12102022mamprok.communicative2}
\nu_{0}\overline{\rho p(\rho)}-\overline{\rho {\rm div}\boldsymbol{v}}=\nu_{0}\rho\overline{p(\rho)}-{\rho {\rm div}\boldsymbol{v}}\quad\text{п.~в. в}\;\; \Omega.
\end{align}

\subsection{Завершающий анализ}\label{finanal}

Согласно замечанию~7, выполнены ренормализованные уравнения \eqref{240622eq1}.
В~частности, для функций $b\in C[0,\infty)\bigcap C^{1}(0,\infty)$ таких, что
$$\Big|b^{\prime}(s)\Big|\leqslant B_{18}s^{-\sigma_{9}}\quad\forall\; s\in(0, 1],\quad \sigma_{9}<1,$$
$$\Big|b^{\prime}(s)\Big|\leqslant B_{19}s^{\sigma_{10}}\quad\forall\, s\geqslant 1,\quad -1<\sigma_{10}\leqslant\gamma-1,$$
выполнены в ${\mathcal D}^{\prime}({\mathbb R}^{3})$ уравнения
${\rm div}(b(\rho)\boldsymbol{v})+(\rho b^{\prime}(\rho)-b(\rho)){\rm div}\boldsymbol{v}=0$, откуда при $b(s)=s\ln{s}$ следует равенство
\begin{align}\label{12102022mamprok.renormal}
\int\limits_{\Omega}\rho\,{\rm div}\boldsymbol{v}\,d\boldsymbol{x}=0.
\end{align}

C другой стороны, умножая \eqref{270622eq1}  на $\displaystyle {\rm \ln}(\rho^{\varepsilon}+l)+\frac{\rho^{\varepsilon}}{\rho^{\varepsilon}+l}$,
$l\in(0,1]$, интегрируя результат по $\Omega$, затем проводя элементарные оценки, и наконец переходя к~пределу (сначала по $l\rightarrow +0$, а затем по $\varepsilon\rightarrow +0$), получаем неравенство
\begin{align}\label{12102022mamprok.renormallim}\int\limits_{\Omega}\overline{\rho\,{\rm div}\boldsymbol{v}}\,d\boldsymbol{x}\leqslant 0.\end{align}

Комбинируя \eqref{12102022mamprok.renormal} и \eqref{12102022mamprok.renormallim}, приходим к неравенству
\begin{align}\label{12102022mamprok.renormallim1}
\int\limits_{\Omega}\Big(\overline{\rho\,{\rm div}\boldsymbol{v}}-\rho\,{\rm div}\boldsymbol{v}\Big)\,d\boldsymbol{x}\leqslant 0.
\end{align}

Ввиду монотонности функции $p(\cdot)$ верно поточечное неравенство
$$(\rho^\varepsilon-\rho)(p(\rho^{\varepsilon})-p(\rho))\geqslant 0,$$
благодаря которому и формулам \eqref{03102022pred_eps1}, \eqref{03102022pred_eps5} выводим
\begin{multline}\label{16102022new}
\underset{\varepsilon\rightarrow +0}{\lim\inf}\int\limits_{B}(p(\rho^{\varepsilon})\rho^{\varepsilon}-p(\rho^{\varepsilon})\rho)\,d\boldsymbol{x}=\\
=\underset{\varepsilon\rightarrow0}{\lim\inf}\int\limits_{B}(p(\rho^{\varepsilon})-p(\rho))(\rho^{\varepsilon}-\rho)\,d\boldsymbol{x}+
\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\int\limits_{B}p(\rho)(\rho^{\varepsilon}-\rho)\,d\boldsymbol{x}\geqslant 0,
\end{multline}
где $B$ --- произвольный шар в $\Omega$, поэтому $\overline{p(\rho)\rho}\geqslant \overline{p(\rho)}\rho$ п.~в. в $\Omega$.

Дальнейшие рассуждения следуют такой цепочке:
\begin{itemize}
  \item из \eqref{12102022mamprok.communicative2}, \eqref{16102022new} вытекает, что $\overline{\rho {\rm div}\boldsymbol{v}}-{\rho {\rm div}\boldsymbol{v}}\geqslant 0$ п.~в. в $\Omega$;
  \item  привлекая \eqref{12102022mamprok.renormallim1}, получаем $\overline{\rho {\rm div}\boldsymbol{v}}-{\rho {\rm div}\boldsymbol{v}}= 0$ п.~в. в $\Omega$;
  \item  теперь из \eqref{12102022mamprok.communicative2} выводим $\overline{p(\rho)\rho}= \overline{p(\rho)}\rho$ п.~в. в $\Omega$;
  \item  наконец, временно продолжая нечетным образом функцию $p$ на промежуток $(-\infty, 0]$ (сохраняя за ней прежнее обозначение), т.~е. принимая, что
$p(s):=p(|s|){\rm sign}(s)$, с целью применения леммы~3.39, стр. 188 из~\cite{novstrs04}, приходим к требуемому соотношению \eqref{08102022pressurelimits}.
\end{itemize}

Итак, показано, что функции $\rho$, $\boldsymbol{u}_{i}$, $i=1,\ldots,N$ являются слабым решением задачи \eqref{240622eq1}--\eqref{240622eq4} (см. определение~3).
Теорема~4 доказана.

\bigskip
\begin{thebibliography}{19} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).
\bibitem{mampr.blokhin} A.~M.~Blokhin, V.~N.~Dorovskii, {\it Problems of Mathematical Modeling in the Theory of a Multivelocity Continuum}, Izd. Inst. Geolog. Geofiz. Mineralog., Inst. Mat., Novosibirsk, 1994 (in Russian).

\bibitem{coifman} R.~Coifman, Y.~Meyer, {\it On commutators of singular integrals}, Trans. Amer. Math. Soc., {\bfseries 212} (1975), 315--331.

\bibitem{mampr.dorov92} V.~N.~Dorovskii, Yu.~V.~Perepechko, {\it Phenomenological Description of Two-Velocity Media with Relaxing Shear Stresses}, Prikl. Mekh. Tekhn. Fiz., 3 (1992), 97--104.

\bibitem{feir02} E.~Feireisl, A.~Novotny, \emph{Singular limits in thermodynamics of viscous fluids. Advances in Mathematical Fluid Mechanics}, Birkhauser, Basel, 2009.

\bibitem{mampr.frehsegm1} J.~Frehse, S.~Goj, J.~Malek, {\it On a Stokes-like system for mixtures of fluids}, SIAM J. Math. Anal., {\bfseries 36}:4 (2005), 1259--1281.

\bibitem{mampr.frehsew} J.~Frehse, W.~Weigant, {\it On quasi-stationary models of mixtures of compressible fluids}, Appl. Math., {\bfseries 53}:4 (2008), 319--345.

\bibitem{lions98} P.-L. Lions, \emph{Mathematical topics in fluid mechanics, v. 2: Compressible Models}, Oxford University Press, New York, 1998.

\bibitem{mampr.france} A.~E.~Mamontov, D.~A.~Prokudin, {\it Viscous compressible multi-fluids: modeling and multi-D existence}, Methods and Applications of Analysis,
{\bfseries 20}:2 (2013), 179--195.

\bibitem{mampr.semi2016} A.~E.~Mamontov, D.~A.~Prokudin, {\it Solubility of steady boundary value problem for the equations of polytropic motion of multicomponent viscous compressible fluids}, Siberian Electr. Math. Reports, {\bfseries 13} (2016), 664--693 (in Russian).

\bibitem{mampr16} A.~E.~Mamontov, D.~A.~Prokudin, {\it Solvability of the regularized steady problem of the spatial motions of multicomponent viscous compressible fluids},
Siberian Math. J., {\bfseries 57}:6 (2016), 1044--1054.

\bibitem{mampr.nigm} R.~I.~Nigmatulin, {\it Dynamics of multiphase media, Vol. 1}, Hemisphere, N.Y., 1990.

\bibitem{novstrs04} A.~Novotn\'y, I.~Stra\v skraba, {\it Introduction to the mathematical theory of compressible flow}, Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, {\bfseries 27}, Oxford University Press, Oxford, 2004.

\bibitem{mampr.raj} K.~L.~Rajagopal, L.~Tao, {\it Mechanics of mixtures, Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences}, {\bfseries 35}, World Scientific, River Edge, NJ, 1995.

\bibitem{tartar} L.~Tartar, {\it Compensated compactness and applications to partial differential equations}, Nonlinear analysis and mechanics, Res. Notes in Math.,
{\bfseries 39}, Pitman, Boston, MA, 1979, 136--212.
\end{thebibliography}
\end{document}

Аннотация: Сформулирована задача о стационарном баротропном движении многокомпонентной среды, состоящей из вязких сжимаемых жидкостей, в ограниченной области трехмерного пространства. Доказана разрешимость задачи. Матрицы вязкостей предполагаются произвольными (недиагональными).

Ключевые слова: теорема существования, стационарное баротропное течение, вязкая сжимаемая многокомпонентная жидкость, матрица вязкостей

Keywords: existence theorem, steady barotropic flow, viscous compressible multifluid, viscosity matrix

Название статьи на русском языке: Стационарные решения краевой задачи для уравнений баротропного течения многокомпонентных сред

Название статьи на английском языке: Stationary solutions of a boundary value problem for equations of barotropic flow of multicomponent media 