
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{517.956.8} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{35G55,~35Q86} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Замечание}
\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Об интегральных свойствах стационарных мер]{Об интегральных свойствах стационарных
мер для стохастической системы модели Лоренца бароклинной атмосферы}
\author{{Ю.Ю. КЛЕВЦОВА}}%
\address{Yulia Yur'evna Klevtsova  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
%\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
%\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
%\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia
%}%
%\email{yy\_klevtsova@ngs.ru}%
\newline\hphantom{iii} Siberian State University of Telecommunications and Information Science,
\newline\hphantom{iii} ul. Kirova, 86,
\newline\hphantom{iii} 630102, Novosibirsk, Russia}%
\email{yy\_klevtsova@ngs.ru}%


\thanks{\sc Klevtsova, Yu.Yu.,
On integral properties of stationary measures  for the stochastic system of the Lorenz model describing a baroclinic atmosphere}
\thanks{\copyright \ 2022 Клевцова Ю.Ю}
%\thanks{\rm Работа поддержана РФФИ (грант 03-01-11111)}
\thanks{\it Поступила 14 ноября 2022 г., опубликована   2022 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. }
The paper is concerned with a~nonlinear system of partial differential equations with parameters which describes the
two-layer quasi-\allowbreak solenoidal Lorenz model for a~baroclinic atmosphere
on a~rotating two-\allowbreak dimensional sphere.
The right-hand side of the system is perturbed
by white noise. We give some upper   bounds and a lower bound for some moments of these measures in terms of the set of  parameters, an external force and  numerical characteristics of white noise.
These bounds show, in particular,
that these
moments are finite.
We will prove a number of integral equalities, which can be considered
as laws of conservation of these stationary measures.
Under certain conditions, these estimates and equalities do not depend on
the coefficient of kinematic viscosity $\nu>0$, which leads to the possibility of
passing to the limit as $\nu \to 0$ and
studing with their help the properties of limiting measures, which will be done
in subsequent work.
 As it is well known, the coefficient of kinematic viscosity $\nu$ in practice is extremely small.
 In addition, these results are obtained for one similar baroclinic atmosphere system and the barotropic atmosphere equation.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} the two-layer quasi-solenoidal Lorenz model for a baroclinic atmosphere, white noise perturbation, integral properties of  stationary measures.
 \end{quote}
}


\section{Введение}

Следуя~\cite{1}--\cite{52}, в~настоящей работе мы продолжаем рассматривать систему уравнений двухслойной квазисоленоидальной модели Лоренца бароклинной атмосферы
\begin{equation}
\label{eq1.1}
\frac{\partial}{\partial t}A_1 u+\nu A_2u+A_3u+B(u)=g,
\qquad t>0,
\end{equation}
заданную на вращающейся единичной
двумерной сфере~$S$ с~центром в~нуле в~сферической системе координат
$$
(\lambda,\varphi),
\qquad
  \lambda \in [0, 2\pi),
\quad
 \varphi \in\biggl[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\biggr],
 \quad \mu =\sin \varphi.
$$
Здесь $\nu>0$~-- коэффициент кинематической вязкости,
 $u(t,x,\omega)=(u_1(t,x,\omega),\allowbreak u_2(t,x,\omega))^{\mathrm T}$~-- %!!!!!!!!!!!!
неизвестная и $g(t,x,\omega)=(g_1(t, x,\omega),g_2(t, x,\omega))^{\mathrm T}$~-- заданная случайные вектор"=функции, $x=(\lambda,\mu)$, $\omega \in \Omega $, $(\Omega, F, {\mathbb P})$~-- полное вероятностное пространство. Операторы, входящие в~уравнение~\eqref{eq1.1}, определены на сфере $S$ и задаются соотношениями
\begin{gather*}
A_1=\begin{pmatrix}
-\Delta & 0
\\
0 & -\Delta+\gamma 	I
\end{pmatrix},
\qquad
A_2=\begin{pmatrix}
\Delta ^2 & 0
\\
0 & \Delta ^2	
\end{pmatrix},
\\
A_3=\begin{pmatrix}
-k_0\Delta & 2k_0\Delta
\\
k_0\Delta & -(2k_0+k_1+\nu \gamma)\Delta+\rho 	I
\end{pmatrix},
\\
B(u)=\bigl(J(\Delta u_1+2\mu,u_1)+J (\Delta u_2, u_2),\,
J(\Delta u_2 -\gamma u_2, u_1)+J(\Delta u_1+2\mu, u_2)\bigr)^{\mathrm T}.
\end{gather*}
Здесь $\gamma,\rho, k_0, k_1\ge 0$~-- числовые параметры, $I$~-- единичный оператор,
$$
J(\psi,\theta)=\psi_{\lambda}\theta_{\mu} - \psi_{\mu}\theta_{\lambda}
$$
-- якобиан и
$$
\Delta \psi=((1-\mu ^2)\psi_\mu)_\mu+(1 - \mu ^2)^{-1} \psi_{\lambda \lambda}
$$
-- оператор Лапласа--Бельтрами (см., например,~\cite[\S\,1]{4}).
В~\cite{1} в~качестве правой части системы~\eqref{eq1.1} рассматривалась случайная вектор-функция
\begin{equation}
\label{eq1.2}
g=f+\eta,
\end{equation}
где случайная внешняя сила
$$
f^\omega (t, x)=\bigl(f_1^\omega (t, x), f_2^\omega (t, x)\bigr)^{\mathrm T}
$$
почти наверное является локально квадратично суммируемой по $t$ и случайная вектор-функция
$$
\eta ^\omega (t, x)=\bigl(\eta_1^\omega (t,x),\eta_2^\omega (t,x)\bigr)^{\mathrm T}
$$
-- белый шум по $t$. Подробнее о модели Лоренца см. в~\cite[\S\,2]{52}. Стохастический форсинг очень простым способом моделирует неразрешенные масштабы движения.  Для этой системы в~\cite{1} было доказано существование единственного решения задачи Коши со случайными начальными данными в~некоторых функциональных пространствах и была приведена оценка непрерывной зависимости этого решения от совокупности случайных начальных данных и внешней силы на конечном отрезке изменения переменной $t$. А в~\cite{2} и~\cite{3} при некоторых дополнительных ограничениях на параметры и правую часть были получены соответственно существование и единственность стационарной меры для системы \eqref{eq1.1}, \eqref{eq1.2}, когда $f$ не зависит от
$t$ и $\omega$.  В~\cite{52} была получена оценка скорости сходимости распределений всех решений из некоторого класса системы \eqref{eq1.1}, \eqref{eq1.2} к~указанной стационарной мере при $t \to+\infty$ и был несколько усилен результат работы~\cite{3}. В настоящей работе
будут приведены ряд оценок сверху и одна оценка снизу на  некоторые моменты  этих мер (предполагается, что достаточные условия  единственности меры из~\cite{3} и~\cite{52} могут быть не выполнены)
 через совокупность параметров, внешней силы и  числовых характеристик белого шума.
 Эти оценки показывают, в частности,
конечность этих
моментов.
Мы докажем  ряд интегральных равенств, которые можно рассматривать
в качестве законов сохранения этих стационарных мер.
%А также получены некоторые интегральные равенства для этих мер.
Заметим, что если
$f \sim \nu$ и $\eta \sim \sqrt{\nu}$, то эти оценки сверху не зависят от  $\nu$, и если дополнительно $k_0, k_1, \rho \sim \nu$, то оценка снизу
не зависит от  $\nu$.  Независимость от  коэффициента кинематической вязкости $\nu$ приводит к возможности перехода  в этих оценках  к пределу при $\nu \to 0$ и возможности исследования с помощью них свойств предельных мер. Как хорошо известно, на практике коэффициент кинематической вязкости $\nu$ чрезвычайно мал. Вопрос о предельных мерах будет исследоваться в последующих работах. Оценки сверху
%и интегральные равенства
остаются справедливыми для инвариантных мер
%(подробнее см. в~\cite[\S\,4, замечание 2]{2})
в детерминированном случае, когда $\eta = 0$, оценка снизу обращается в нуль и поэтому не имеет смысла в детерминированном случае.  В~предисловии к~книге В.\,П.~Дымникова~\cite{5} подробно описывается необходимость исследования вопроса о свойствах стационарных мер у~систем уравнений, описывающих динамику атмосферы, для изучения проблемы предсказуемости климата.
  Дополнительно будет получен аналогичный результат об интегральных свойствах стационарных мер  для одной близкой системы бароклинной атмосферы и уравнения баротропной атмосферы (см.\ \S\,\ref{s11}).


\subsection*{Благодарности}
Автор выражает благодарность В.\,П.~Дымникову и В.\,Н.~Крупчатникову за постановку
задачи и поддержку, С.\,И. Кабанихину, М.\,А. Шишленину за поддержку, А.\,Р.~Ширикяну, В.\,В.~Нерсесяну за полезные дискуссии, рецензентам за полезные замечания.



\section{Предварительные сведения}
\label{s3}

\subsection{Функциональные пространства}
\label{s3.1}
Везде ниже
$X$~-- банахово пространство с~нормой ${\|\cdot \|}_X$, $B_{X}(R)$~-- замкнутый шар в~пространстве $X$ с~центром в~нуле радиуса $R$.

Обозначим через $C(\mathbb R_{+};X)$
пространство всех непрерывных функций
$\psi \colon \mathbb R_{+} \to X$. Снабженное метрикой
$$
d(\psi,\theta)=\sum_{i=1}^\infty 2^{-i}
\frac{\max_{t\in [0,i]}\|\psi (t) - \theta (t)\|_X}{1+\max_{t\in [0,i]}\|\psi (t) - \theta (t)\|_X}
$$
пространство~$C(\mathbb R_{+};X)$ является полным метрическим пространством.

Обозначим через $C_0^\infty(S)$ пространство таких бесконечно гладких функций $\psi \colon S\to {\mathbb R}$, для которых выполнено
\begin{equation}
\label{eq3.300}
\int_S \psi \, dS=0.
\end{equation}
Введем в~пространстве $C_0^\infty(S)$ семейство норм
$$
\|\psi\|_{p}=((-\Delta)^p \psi,\psi)^{1/2},
\qquad p\in {\mathbb Z},
$$
где $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$~-- скалярное произведение в~$L_2(S)$.
Для каждого $p\in {\mathbb Z}$ обозначим через $h^p$ пространство, полученное пополнением по норме $\|\cdot \|_p$ пространст\-ва~$C_0^\infty(S)$. %!!!!!!!!
Имеют место следующие вложения:
$$
\dotsb \subset h^2\subset h^1\subset h^0 \subset h^{-1}\subset h^{-2}\subset\dotsb,
$$
где операторы вложения компактны и, следовательно, непрерывны.
Заметим, что $h^p$ плотно и компактно вложено в~$h^q$ при $q<p$ (см., например,~\cite[гл.~I, \S\,3, лемма 1.6]{15}).

Положительно определенный оператор $-\Delta $, действующий на пространстве $C^\infty (S)$ со скалярным произведением $(\,\cdot \,{,}\,\cdot\,)$, может быть расширен до самосопряженного оператора
$$
-\Delta \colon D(-\Delta)=h^{p+2}\subset h^p\to h^p,
\qquad p\in {\mathbb Z},
$$
где $D(A)$~-- область определения оператора $A$. Тогда
$$
\|\psi\|_{p}=\bigl((-\Delta)^{p/2} \psi, (-\Delta)^{p/2}\psi\bigr)^{1/2}
\quad
\text{для любого }\ \psi \in h^p,
\quad p\in {\mathbb Z}.
$$

Заметим, что имеет место обобщенное неравенство Коши--Буня\-ковского
\begin{equation}
\label{eq3.1}
|(\psi,\theta)| \le \|\psi \|_{p}\,\|\theta \|_{-p}
\quad \text{для любых }\ \psi \in h^{p},
\quad\theta \in h^{-p},
\quad p\in {\mathbb Z},
\end{equation}
где скалярное произведение $(\,\cdot \,{,}\,\cdot\,)$ продолжено на $h^p\times h^{-p}$ следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq3.2}
(\psi,\theta)=\bigl((-\Delta)^{p/2}\psi, (-\Delta)^{-p/2}\theta\bigr),
\qquad p\in {\mathbb Z}.
\end{equation}



Обозначим норму на $H^p:=h^p\times h^p$, $p\in {\mathbb Z}$, через
\begin{gather*}
|\mspace{-1mu}\|\psi |\mspace{-1mu}\|_{p}=\langle A_0^{p/2} \psi, A_0^{p/2}\psi\rangle ^{1/2},
\\
p\in {\mathbb Z},
\quad
A_0=\begin{pmatrix}
-\Delta & 0\\
0 & -\Delta 	
\end{pmatrix},
\quad
\langle \psi,\theta \rangle=\int_{S}\langle \psi,\theta \rangle_{{\mathbb R}^2} \, dS,
\end{gather*}
где $\langle \psi,\theta \rangle_{{\mathbb R}^2}$~-- скалярное произведение в~${\mathbb R}^2$. Пусть
$$
\varkappa := C({\mathbb R}_{+}; H^2)\cap L_{2, {\rm loc}} ({\mathbb R}_{+}; H^3).
$$

Введем обозначения
\begin{equation}
\label{eq3.3}
l^+_2:=\bigl\{\{b_i\}_{i=1}^\infty \in l_2\colon b_i \ge 0,\,i=1, 2,\dots\bigr\},
\qquad
\mathrm\bigcap b :=\|\{b_i\}_{i=1}^\infty \|_{l_2}=\biggl(\sum_ {i=1}^{\infty} b_i^2\biggr)^{1/2}.
\end{equation}

Подробнее о введенных пространствах см.\ в~\cite[п.~2.1]{3}.


\subsection{Необходимые сведения из теории вероятностей}
\label{s3.2}
Пусть $\Omega $~-- произвольное множество, $F$~-- $\sigma$-алгебра подмножеств $\Omega $. Измеримое пространство будем обозначать $(\Omega, F)$. Пусть ${\mathbb P}$~-- вероятностная мера на измеримом пространстве $(\Omega, F)$. В дальнейшем полагаем, что $(\Omega, F, {\mathbb P})$~-- полное вероятностное пространство.

Обозначим через ${\rm N}_{(\Omega, F, {\mathbb P})}$
семейство таких подмножеств ${\mathrm M}_1\subset \Omega$,
что существует подмножество ${\mathrm M}_2\subset \Omega$,
${\mathrm M}_2\in F$, такое, что ${\mathrm M}_1\subset {\mathrm M}_2$ и
${\mathbb P}({\mathrm M}_2)=0$.
%Заметим, что наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая некоторую совокупность подмножеств $\Omega$, всегда существует (доказательство см., например,
%~\cite [гл.~II, \S\,2, п.~1, лемма~1]{21}).

Будем говорить, что фильтрация $\{F_t\}_{t\ge 0}$ в~$(\Omega, F, {\mathbb P})$ удовлетворяет \textit{обычным условиям}, если $\{F_t\}_{t\ge 0}$~-- непрерывная справа фильтрация такая, что все множества ${\mathbb P}$-меры нуль $\sigma $-алгебры $F$ содержатся в~$F_0$.

В дальнейшем полагаем, что фильтрация $\{F_t\}_{t\ge 0}$  удовлетворяет обычным условиям.

Рассмотрим два произвольных измеримых пространства $(\Omega_1,\sigma_1)$ и $(\Omega_2,\sigma_2)$.
Отображение $\psi \colon (\Omega_1,\sigma_1) \to (\Omega_2,\sigma_2)$ называют
\textit{$\sigma_1|\sigma_2$-измеримым}, если полный прообраз множества ${\mathrm M}$ при отображении $\psi $
$$
\psi ^{-1}({\mathrm M}):=\{\omega \in \Omega_1\colon \psi (\omega)\in {\mathrm M}\}
$$
принадлежит $\sigma_1$ для любого ${\mathrm M}\in \sigma_2$. Иногда, когда ясно, о каком пространстве $(\Omega_2,\sigma_2)$ идет речь, мы будем для удобства изложения говорить, что $\psi$ \textit{$\sigma_1$-измеримо}.
Пусть $\psi\colon(\Omega_1,\sigma_1)\to (\Omega_2,\sigma_2)$~-- $\sigma_1$-измеримое отображение. Обозначим через $\sigma (\text{некоторая совокупность множеств из }\Omega _1, \psi) \subset \sigma_1$ наименьшую $\sigma$-алгебру, содержащую эту совокупность множеств из $\Omega _1$ и полные прообразы множеств из $\sigma_2$ при отображении $\psi$.


Обозначим через $\sigma_{\mathrm T}$ борелевскую $\sigma $-алгеб\-ру топологического пространства ${\mathrm T}$. %!!!!!!!!!!!!!!


Пусть ${\mathrm P}(X)$~-- семейство вероятностных мер на измеримом пространстве $(X,\sigma_X)$.

Больше подробностей о математических объектах из теории вероятностей, используемых в~статье, можно найти в~\cite[п.~2.2]{3}. Для краткости изложения мы не станем повторять их в~настоящей статье.



Пусть $\{u^\omega (t, \vartheta),\, t\ge 0\}_{\vartheta \in X}$~-- семейство
 однородных марковских процессов относительно фильтрации $\{F_t\}_{t\ge 0}$, обладающих феллеровским свойством, с~одним и тем же семейством переходных операторов. Эти процессы имеют область значений в~сепарабельном банаховом пространстве $X$ и начальное условие $u^\omega(0,\vartheta)=\vartheta $, $\vartheta \in X$. Заметим, что в~\cite[\S\,3]{2} приведены все определения, связанные с~такими случайными процессами. Будем полагать, что траектории $u^\omega(t,\vartheta)$, $t\ge 0$, являются непрерывными для почти всех $\omega \in \Omega$ при любом $\vartheta \in X$ и
являются на конечном отрезке изменения переменной~$t$ непрерывными по $\vartheta \in X$
для почти всех $\omega \in \Omega$.  Пусть $P(t,\vartheta,\Gamma)$~-- переходная функция:
$$
P(t,\vartheta,\Gamma)={\mathbb P} \{\omega \in \Omega\colon u^\omega(t,\vartheta)\in \Gamma \},
\qquad
\vartheta \in X,
\quad \Gamma \in \sigma_X,
\quad t\ge 0.
$$
Рассмотрим полугруппу $P^*_t$:
\begin{equation}
\label{eq3.11}
P^*_t m (\Gamma)=\int_{X} P(t,\vartheta,\Gamma) \,m (d \vartheta),
\qquad
 m \in {\mathrm P}(X),
 \quad \Gamma \in \sigma_{X},
 \quad t\ge 0.
\end{equation}
Меру $m \in {\mathrm P}(X)$ называют \textit{стационарной мерой семейства} $\{u^\omega(t,\vartheta),\,t\,{\ge}\, 0\}_{\vartheta \in X}$, %!!!!!!!!!!!
если
\begin{equation}
\label{eq3.12}
P^*_tm=m,
\qquad t\ge 0.
\end{equation}

\section{Краткий обзор результатов из~\cite{1}--\cite{52}}
\label{s4}

Пусть заданы вектор-функция $f(x)\in H^{-1}$ и $F_0$-измеримая случайная век\-тор-функция $u^{\omega}_0(x)$, где
$u_0\in H^2$ почти наверное.
Снабдим систему \eqref{eq1.1}, \eqref{eq1.2} начальным условием
\begin{equation}
\label{eq4.1}
u(0)=u_0.
\end{equation}

Обозначим через $\{E_i\}_{i=1}^{\infty}$ ортонормированный базис пространства $H^0$.
В~качестве случайной вектор-функции $\eta $ рассмотрим
\begin{equation}
\label{eq4.2}
\eta ^{\omega} (t, x)=\frac{\partial}{\partial t}\zeta ^{\omega}(t,x),
\qquad
\zeta ^{\omega}(t, x)=\sum_ {i=1}^{\infty} b_i \beta_i^{\omega} (t)E_i,
\end{equation}
где $\{b_i\}_{i=1}^\infty \in l^+_2$, а $\{\beta_i^{\omega}(t)\}_{i=1}^{\infty}$, $t\ge 0$,~-- последовательность независимых вещественнозначных броуновских движений
относительно фильтрации $\{F_t\}_{t\ge 0}$. Тогда ряд в~\eqref{eq4.2} принадлежит пространству $C({\mathbb R}_+; H^0)$ для почти всех $\omega \in \Omega $ (см., например, доказательство теоремы 4.3 в~\cite[ч.~I, \S\,4.1]{19}).

Решение $u^{\omega}(t,x, u_0)$, $t\ge 0$, задачи Коши \eqref{eq1.1}, \eqref{eq1.2}, \eqref{eq4.1} определим так же, как в~определении 4.1 из~\cite[\S\,4]{3}.

\begin{definition}
\label{defin1}
Случайный процесс~$u^{\omega}(t,x,u_0)$, $t\geqslant 0$,
определенный на вероятностном пространстве $(\Omega,F,{\mathbb P})$,
со значениями в~$H^2$ будем называть
\textit{решением задачи Коши~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2},~\eqref{eq4.1}},
если он обладает следующими свойствами:

a) случайный процесс~$u(t)$, $t \geqslant 0$,
согласован с~фильтрацией~$\{F_t\}_{t \geqslant 0}$
и почти все его траектории принадлежат пространству~$\varkappa$;
%$C({\mathbb R}_{+}; H^2)\cap L_{2, \mathrm{loc}} ({\mathbb R}_{+}; H^3)$;

b) почти все траектории случайного процесса~$u(t)$, $t\geqslant 0$,
удовлетворяют равенству
%\begin{equation}
%\label{eq4.3}
$$
A_1u(t)+\int_{0}^t\bigl(\nu A_2u(s)+A_3u(s)+B(u(s))\bigr)\,ds=
A_1u_0+t f+\zeta(t), \qquad
t\ge 0,
$$
%\end{equation}
которое имеет место в~пространстве~$C({\mathbb R}_+;H^{-1})$.
\end{definition}

По теореме 2 из~\cite[\S\,3]{1} следует, что для любых $\nu >0$, $\gamma,\rho, k_0, k_1 \ge 0$, $\{b_i\}_{i=1}^{\infty}\in l^+_2$, $f\in H^{-1}$ и $F_0$-измеримой случайной вектор"=функции $u_0$, где $u_0\in H^2$ почти наверное, существует единственное решение задачи Коши \eqref{eq1.1}, \eqref{eq1.2}, \eqref{eq4.1}, и оно непрерывно зависит на конечном отрезке
изменения переменной~$t$ от начального данного $u_0$ для почти всех $\omega \in \Omega $.  По теореме 1 из~\cite[\S\,3]{2} следует, что решение задачи Коши \eqref{eq1.1}, \eqref{eq1.2}, \eqref{eq4.1} является однородным марковским процессом относительно фильтрации $\{F_t\}_{t \ge 0}$, обладающим феллеровским свойством. При этом при любом начальном данном $u_0\in H^2$ случайный процесс имеет одно и то же семейство переходных операторов. В~\cite[\S\,4]{2} (см.\ также~\cite[\S\,4, формулы~(4.4)--(4.6) и лемма 4.1]{3}) было доказано, что если
выполнено неравенство на числовые параметры
\begin{equation}
\label{eq4.3}
k_0<{\mathfrak F}(\nu,\gamma,\rho, k_1),
\end{equation}
где ${\mathfrak F}>0$~-- некоторая вещественнозначная функция аргументов $\nu $, $\gamma $, $\rho $, $k_1$, то существует стационарная мера семейства $\{u^{\omega}(t,x,\vartheta), \,t\ge 0\}_{\vartheta \in H^2}$ однородных марковских процессов, обладающих феллеровским свойством, определяемого решениями задачи Коши \eqref{eq1.1}, \eqref{eq1.2}, $u(0)=\vartheta$, $\vartheta \in H^2$.
В замечании 2~\cite[\S\,4]{2} было доказано, что если выполнено неравенство~\eqref{eq4.3} и рассматривается частный случай, когда
  $\{b_i\}_{i=1}^{\infty}=\mathbf{0}$  (система~\eqref{eq1.1}, ~\eqref{eq1.2},~\eqref{eq4.2}  детерминирована), то существует  инвариантная мера.

В теореме 4.3 из~\cite[\S\,4]{3} были сформулированы условия, при которых указанная выше стационарная мера для семейства $\{u^{\omega}(t,x,\vartheta),\,t\ge 0\}_{\vartheta \in H^2}$ единственна. В теореме 4.1 из~\cite[\S\,4]{52}  и теореме 6.3 из~\cite[п.~6.3]{52} были несколько ослаблены условия, при которых имеет место такой результат, а также в теореме 4.1 из~\cite[\S\,4]{52} была получена экспоненциальная оценка на скорость сходимости распределений всех решений системы~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2} из семейства $\{u^{\omega}(t,x,\vartheta),\,t\ge 0\}_{\vartheta \in H^2}$ к~этой стационарной мере при $t\to+\infty$. Отметим, что эти результаты в~\cite{3},~\cite{52} были получены при условии~\eqref{eq4.3} на числовые параметры.

Заметим, что диапазон на числовые параметры~\eqref{eq4.3} можно несколько расширить.
Имеет место следующая лемма. Отметим, что в ней мы считаем, что $f$ не зависит от $\omega$.

\begin{lemma}
\label{t4.1}
{\rm I}. Пусть выполнены
все условия теоремы 3 из~\cite[\S\,4]{2}, за исключением неравенства~\eqref{eq4.3}, вместо него будем использовать неравенство
\begin{equation}
\label{eq4.4}
k_0 < \min _{i=1, 2, \dots, i_*} \varsigma (i),
\end{equation}
где
$$
 \varsigma (i) = \frac{2}{(j(i) - \gamma )^2}
\biggl(3\nu j^2(i)(j(i) + \gamma) + \chi (j(i))
$$
\begin{equation}
\label{eq300.10}
+ \sqrt{\left(3\nu j^2(i)(j(i) + \gamma) + \chi (j(i))\right)^2 + (j(i) - \gamma )^2
\left(\nu ^2j^3(i)(j(i) + \gamma) +  \nu j(i)\chi (j(i))\right)}\biggr),
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq300.1}
\chi(y)=(k_1+\nu\gamma)(y^2+\gamma y)+\rho(\gamma+y),\qquad
j(y)=y(y+1), \qquad
y \geqslant 0,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq300.320}
i_*=\biggl[\frac{c_*}{(1+\sqrt{2})\nu}\biggl(\sqrt{1+\frac{2c_*}{(1+\sqrt{2})\nu}}
+1\biggr)^{-1}\biggr]\geqslant 1, \qquad
c_*=\begin{cases}
\varsigma(1), &\text{если} \ \gamma \ne 2,
\\
\varsigma(2), &\text{если} \ \gamma=2
\end{cases}
\end{equation}
(здесь и везде ниже будем считать, что $[r]$~-- целая часть вещественного числа~$r$, и, что если $j(p)=\gamma $, $p$~-- натуральное число, то
$1/(j(p)-\gamma)^2=+\infty$), тогда выполнены
все утверждения теоремы 3 из~\cite[\S\,4]{2} о существовании стационарной меры.

{\rm II}. Пусть выполнены
 все условия замечания 2  ~\cite[\S\,4]{2} для системы~\eqref{eq1.1}, ~\eqref{eq1.2},~\eqref{eq4.2}, за исключением неравенства~\eqref{eq4.3}, вместо него будем использовать неравенство~\eqref{eq4.4}, тогда выполнены
все утверждения замечания 2  ~\cite[\S\,4]{2}  о существовании инвариантной меры для этой системы, когда рассматривается частный случай --
 $\{b_i\}_{i=1}^{\infty}=\mathbf{0}$, т. е. система детерминирована.

{\rm III}. Пусть выполнены
  все условия теоремы 4.1 из~\cite[\S\,4]{52}, за исключением неравенства~\eqref{eq4.3}, вместо него будем использовать неравенство~\eqref{eq4.4}, тогда выполнены все утверждения теорем 6.3
% из~\cite[п.~6.3]{52}
и  4.1, предложения 4.1
%из~\cite[\S\,4]{52}
из~\cite{52}
о единственности стационарной меры и  сходимости к ней при $t\to+\infty$.

\end{lemma}

\begin{proof}
Доказательство сразу следует из того, что можно рассмотреть вместо неравенства (7.2) из~\cite[п. 7.1]{52}
\begin{equation}
\label{eq4.6}
\langle A_1\psi,A_3\psi\rangle\ge -\alpha_0|\mspace{-1mu}\|\psi|\mspace{-1mu}\|^2_3
\quad\text{для любого }\
\psi \in H^3,
\end{equation}
где $\alpha_0\in [0, \nu)$,
 неравенство
\begin{equation}
\label{eq4.7}
\langle A_1\psi,A_3\psi\rangle\ge -\alpha_0\langle A_1\psi, A_2\psi\rangle
\quad\text{для любого }\
\psi \in H^3,
\end{equation}
поскольку в силу
%$\alpha_0 < \nu$ (см. \cite{52}) и
~\eqref{eq4.7} и очевидного неравенства
$$
\langle A_1\psi, A_2\psi\rangle \ge |\mspace{-1mu}\|\psi|\mspace{-1mu}\|^2_3 \quad\text{для любого }\
\psi \in H^3
$$
будем иметь
\begin{equation}
\label{eq21.13}
\nu  \langle A_1u(s),A_2u(s)\rangle + \langle A_1u(s),A_3u(s)\rangle \ge (\nu - \alpha _0) \langle A_1u(s),A_2u(s)\rangle\ge  (\nu - \alpha _0)|\mspace{-1mu}\|u(s)|\mspace{-1mu}\|^2_3.
\end{equation}
Последнее неравенство совпадает с тем, которое получается, если мы оцениваем левую часть цепочки неравенств~\eqref{eq21.13}, используя (7.2) из~\cite[п. 7.1]{52} вместо~\eqref{eq4.7}, как это было сделано в статье~\cite{52}.
Поэтому
все ранее полученные оценки из~\cite{52} будут выполнены, где требовалось это неравенство. А также рассуждая аналогично будут выполнены подобные оценки и в более ранних работах \cite{2}--\cite{3}. Отметим, что основные результаты работ~\cite{2}--\cite{52} были основаны на оценках на решения задач Коши для уравнения~\eqref{eq1.1}, либо подобных~\eqref{eq1.1}, где всегда присутствовала сумма операторов $\nu A_2+ A_3$. В этих оценках всегда соответствующая этой сумме операторов левая часть цепочки неравенств~\eqref{eq21.13} оценивалась той величиной, которая стоит в правой части этой цепочки неравенств.  Поэтому изменение~\eqref{eq4.7} не меняет основные результаты работ~\cite{2}--\cite{52}. Указанное изменение лишь влияет на диапазон на числовые параметры, который становится несколько шире.

%, каким образом получается условие~\eqref{eq4.4} из ~\eqref{eq4.7}.

Заметим, что имеет место следующая лемма.
%, которая является аналогом леммы 6 из~\cite[\S\,4]{2}.

\begin{lemma}
\label{l100}
Условие~\eqref{eq4.7} эквивалентно следующему условию на
константы $\nu $, $\gamma $, $\rho $, $k_0$, $k_1$:
$$
k_0 \le \inf_{i=1, 2, \dots} \frac{2}{(j(i)-\gamma)^2}
\biggl(3\alpha_0 j^2(i)(j(i) + \gamma)+\chi (j(i))
$$
$$
+\Bigl(\bigl(3\alpha_0 j^2(i)(j(i) + \gamma)+\chi (j(i))\bigr)^2
$$
\begin{equation}
\label{eq4.113}
+(j(i)-\gamma)^2
\bigl(\alpha_0 ^2j^3(i)(j(i) + \gamma) +  \alpha_0 j(i)\chi (j(i))\bigr)\Bigr)^{\frac{1}{2}}\, \biggr).
\end{equation}
\end{lemma}


\begin{proof}
Пусть $\psi \in H^3$. По определению операторов $A_1$ и
$A_3$ из равенства \eqref{eq3.2} получим
\begin{align}
\nonumber
\langle A_1\psi, A_3\psi \rangle
&=\left\langle
\begin{pmatrix}
-\Delta \psi_1\\ -\Delta \psi_2+\gamma \psi_2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} -k_0\Delta \psi_1+2k_0 \Delta \psi_2\\
k_0\Delta \psi_1-(2k_0+k_1+\nu \gamma)\Delta \psi_2+\rho \psi_2
\end{pmatrix}\right\rangle
\\
\nonumber
&=k_0\|\psi_1\|_2^2-3k_0 (\Delta \psi_1, \Delta \psi_2)+\gamma k_0
(\Delta \psi_1, \psi_2)+(2k_0+k_1+\nu \gamma)\|\psi_2\|_2^2
\\
&\qquad
+(\rho+\gamma (2k_0+k_1+\nu \gamma))\|\psi_2\|_1^2+\gamma \rho \|\psi_2\|_0^2.
\label{eq4.115}
\end{align}
Разложим функции $\psi_1, \psi_2 \in h^3$ по ортонормированному базису
$\{e_i\}^{\infty}_{i=1}$ гильбертова пространства $h^0\supset h^3$, состоящему
из собственных функций оператора Лапласа--\allowbreak Бельтрами
(см., например,~\cite[гл.~XIII]{101} и~\cite[\S\,31]{110}):
\begin{gather*}
\psi_1=\sum_{i=1}^{\infty} c_{1i} e_i, \qquad
\|\psi_1 \|^2_3=\sum_{i=1}^{\infty} c^2_{1i} \lambda ^3_i<\infty,
\\
\psi_2=\sum_{i=1}^{\infty} c_{2i} e_i, \qquad
\|\psi_2 \|^2_3=\sum_{i=1}^{\infty} c^2_{2i} \lambda ^3_i<\infty,
\\
 -\Delta e_i=\lambda_i e_i, \qquad \lambda _i > 0, \qquad i=1, 2, \dots,
\\
(e_i, e_j)=\delta_{ij},\qquad
\delta_{ij}\text{~-- символ Кронекера},\qquad i, j=1, 2, \dots \,.
\end{gather*}
Здесь $\{\lambda_i\}_{i=1}^{\infty}$~-- неубывающая последовательность
собственных значений минус оператора Лапласа--Бельтрами с учетом их кратностей.
Если $\alpha_0>0$, то из равенства~\eqref{eq4.115} имеем
\begin{align*}
&\langle A_1\psi, A_3\psi \rangle+\alpha_0\langle A_1\psi, A_2\psi\rangle
\\
&\quad=\sum_{i=1}^\infty c^2_{1i} \lambda ^2_i(k_0+\alpha _0 \lambda_i)-2
\sum_{i=1}^\infty c_{1i} \lambda_i \sqrt{k_0+\alpha_0 \lambda_i} c_{2i}\frac{(3\lambda_i+\gamma)k_0}{2\sqrt{k_0+\alpha_0 \lambda_i}}
\\
&\quad\qquad
+\sum_{i=1}^\infty c^2_{2i} \bigl((\lambda_i^2+\gamma \lambda_i) (2k_0+k_1+\nu \gamma)
+\rho (\gamma+\lambda_i)+\alpha_0 \lambda_i^2(\gamma+\lambda_i)\bigr)
\\
&\quad
=\sum_{i=1}^\infty \biggl(c_{1i} \lambda_i \sqrt{k_0+\alpha _0\lambda_i}
-c_{2i}\frac{(3\lambda_i+\gamma)k_0}
{2\sqrt{k_0+\alpha _0\lambda_i}}\biggr)^2
\\
&\,\,\qquad
+\sum_{i=1}^\infty c^2_{2i} \Biggl((\lambda_i^2+\gamma \lambda_i) (2k_0+k_1+\nu \gamma)
+\rho (\gamma+\lambda_i)
+\alpha_0 \lambda_i^2(\gamma+\lambda_i)
\\
&\,\,\,\qquad
- \biggl(\frac{(3\lambda_i+\gamma)k_0}{2\sqrt{k_0+\alpha_0 \lambda_i}}\biggr)^2\Biggr).
\end{align*}
Отсюда  в~силу произвольности $\psi $ нетрудно получить, что неравенство
~\eqref{eq4.7} имеет место тогда и только тогда, когда выполнено
\begin{equation}
\label{eq4.120}
(2k_0+k_1+\nu \gamma)(\lambda_i^2+\gamma \lambda_i)+\rho (\gamma+\lambda_i)
+\alpha_0 \lambda_i^2(\gamma+\lambda_i)
- \biggl(\frac{(3\lambda_i+\gamma)k_0}{2\sqrt{k_0+\alpha _0\lambda_i}}\biggr)^2 \ge 0,
\quad i=1, 2, \dots \,.
\end{equation}

Заметим, что множество собственных значений минус оператора Лапласа--
Бельт\-рами
состоит из неотрицательных целых чисел вида
$i(i+1)$, $i=0, 1, \dots $ (см., например,~\cite[\S\,31]{110}).
При этом поскольку для функций из пространства $h^0$
выполнено ~\eqref{eq3.300}, то в~ортонормированном базисе
$\{e_i\}^{\infty}_{i=1}$ пространства $h^0$ нет собственной
функции, отвечающей нулевому собственному значению.
Поэтому, анализируя квадратное неравенство относительно
$k_0$, получим, что нера\-венство~\eqref{eq4.120} эквивалентно неравенству
~\eqref{eq4.113}. Тогда
условие~\eqref{eq4.7} эквивалентно условию~\eqref{eq4.113}.

Если $\alpha_0=0$, то, рассуждая аналогично, получим, что
условие~\eqref{eq4.7} эквивалентно условию~\eqref{eq4.113} при $\alpha_0=0$.

Лемма доказана.
\end{proof}

%Заметим, что неравенство~\eqref{eq4.4} отличается от~\eqref{eq4.113} строгим знаком неравенства и тем, что в~\eqref{eq4.4} минимум рассматривается по конечному множеству, вместо $\alpha_0$ стоит $\nu$.
%Для того, чтобы поставить $\nu $ вместо $\alpha_0$ и знак изменить на строгий  необходимо провести рассуждения аналогичные лемме 7 из~\cite[\S\,4]{2}. Для того, чтобы показать, что инфинум по бесконечному множеству равен минимуму по конечному множеству и получить формулу для $i_*$, нужно провести рассуждения аналогичные рассуждениям в доказательстве  леммы 4.1 из~\cite[\S\,4]{3}, при этом
%нужно заменить вещественное число $4$ на вещественное число $2(1+\sqrt{2})$, это уменьшит $i_*$.
%А именно,
%следуя тому, как было получено условие~(4.4)--(4.7) в~\cite[\S 4]{3}, используя~\eqref{eq4.6} (см. также леммы 6 и 7 из~\cite[\S\,4]{2}),   полностью аналогично получается условие~\eqref{eq4.4}, используя~\eqref{eq4.7}.
% Отметим, что в доказательстве аналога леммы 4.1 из~\cite[\S\,4]{3}
%нужно заменить вещественное число $4$ на вещественное число $2(1+\sqrt{2})$, это уменьшит $i_*$.

Докажем еще две  леммы, из которых следует, что, если мы рассматриваем диапазон на параметры~\eqref{eq4.4}, то, в частности, имеет место теорема 2 об оценке на решение задачи Коши~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2}~\eqref{eq4.1} из~\cite[\S\,4]{2} в силу рассуждений вначале доказательства леммы~\ref{t4.1}, и следовательно, выполнена теорема 3 о существовании стационарной меры из~\cite[\S\,4]{2}
и замечание 2  ~\cite[\S\,4]{2} о существовании инвариантной меры, когда рассматривается частный случай --
 $\{b_i\}_{i=1}^{\infty}=\mathbf{0}$, т. е. система~\eqref{eq1.1}, ~\eqref{eq1.2},~\eqref{eq4.2} детерминирована. Эти результаты будут использоваться чуть ниже в п.~\ref{s7.1}, где описан основной результат настоящей статьи, и поэтому мы их особо выделили в доказательстве леммы~\ref{t4.1}. Для других  результатов работ~\cite{2}--\cite{52} нужно провести аналогичные рассуждения.
%, которая является аналогом леммы 7 из~\cite[\S\,4]{2}.

\begin{lemma}
\label{l111}
Если константы $\nu $, $\gamma $, $\rho $, $k_0$, $k_1$ удовлетворяют условию
\begin{equation}
\label{eq4.205}
k_0<\inf_{i=1, 2, \dots} \varsigma(i),
\end{equation}
где $\varsigma(i)$ определено в~\eqref{eq300.10},
то существуют такие вещественные числа $\alpha_0 $ и $\alpha_1 $, что вы\-пол\-не\-но
\begin{equation}
\label{eq4.230}
\alpha_0 \in \left[0, \left(1-\frac{\alpha_1}{2}\right)\nu\right), \qquad \alpha_1 \in (0, 2),
\end{equation}
и неравенство~\eqref{eq4.7}.
\end{lemma}

\begin{proof}
Если
\begin{equation}
\label{eq301.1}
k_0 \le \inf_{i=1, 2, \dots} \frac{4\chi (j(i))}{(j(i)-\gamma)^2},
\end{equation}
то положим $\alpha_0=0$ и $\alpha_1=1$.
Тогда такие $\alpha _0$, $\alpha_1$ удовлетворяют~\eqref{eq4.230} и
в~силу леммы~\ref{l100} будет выполнено~\eqref{eq4.7}.
Если
$$
k_0>\inf _{i=1, 2, \dots} \frac{4\chi (j(i))}{(j(i)-\gamma)^2}
$$
и $k_0$ удовлетворяет неравенству
~\eqref{eq4.205}, то в~силу непрерывности функции
$$
\psi (\alpha)
=\inf _{i=1, 2, \dots} \frac{2}{(j(i)-\gamma)^2}
\biggl(3\alpha j^2(i)(j(i) + \gamma)+\chi (j(i))
$$
$$
+\Bigl(\bigl(3\alpha j^2(i)(j(i) + \gamma)+\chi (j(i))\bigr)^2
$$
$$
+(j(i)-\gamma)^2
\bigl(\alpha^2j^3(i)(j(i) + \gamma) +  \alpha j(i)\chi (j(i))\bigr)\Bigr)^\frac{1}{2}\,\biggr)
$$
существует такое $\alpha_*$, что $k_0=\psi (\alpha_*)$,
$0<\alpha_*<\nu$. Положим $\alpha_0=\alpha_*$ и
$\alpha_1=(\nu -\alpha_*)/\nu$. Тогда такие $\alpha_0$, $\alpha_1$
удовлетворяют~\eqref{eq4.230} и в~силу леммы~\ref{l100} будет выполнено
~\eqref{eq4.7}.

Лемма доказана.
\end{proof}

Заметим, что инфинум по бесконечному множеству в~\eqref{eq4.205} равен минимуму по конечному множеству.

\begin{lemma}
\label{lem4.1}
Имеет место равенство
\begin{equation}
\label{eq4.400}
\inf_{i=1,2,\dots}\varsigma(i)=\min_{i=1,2,\dots,i_*}\varsigma(i),
\end{equation}
где~$\varsigma(i)$ и $i_*$ определены соответственно в~\eqref{eq300.10} и~\eqref{eq300.320}.
\end{lemma}

\begin{proof}
Нетрудно доказать, что выполнено неравенство
\begin{equation}
\label{eq4.223}
\varsigma(i) \geqslant 2(1+\sqrt{2})\nu j(i), \qquad
i=1,2,\dots,
\end{equation}
где~$j$ определено в~\eqref{eq300.1}. Поэтому $i_* \geqslant 1$.

Пусть $\gamma \ne 2$. Тогда,
решив квадратное неравенство
\begin{equation}
\label{eq4.227}
\varsigma(1) < 2(1+\sqrt{2}) \nu j(i)=2(1+\sqrt{2})\nu i(i+1)
\end{equation}
относительно~$i$, получим, что минимальное натуральное число~$i$,
которое ему удовлетворяет, равно вещественному числу~$i_*+1$,
где~$i_*$ определено в~\eqref{eq300.320}. В~силу~\eqref{eq4.223} и того,
что~$j$ является возрастающей функцией от~$i$,
справедливо равенство~\eqref{eq4.400}.

Аналогично доказывается равенство~\eqref{eq4.400} в~случае, когда $\gamma=2$,
если вместо неравенства~\eqref{eq4.227} рассмотреть неравенство
$$
\varsigma(2) < 2(1+\sqrt{2}) \nu j(i).
$$

Лемма доказана.
\end{proof}


Лемма~\ref{t4.1} доказана.
\end{proof}


Для некоторых режимов циркуляции атмосферы выполнено неравенство \text{$k_0 \le 4k_1$} (см., например,~\cite{13}). Тогда нерaвенство~\eqref{eq4.4} можно упростить.

\begin{corollary}
\label{c4.1}
Пусть выполнены условия леммы~\ref{t4.1}, за исключением неравенства~\eqref{eq4.4},
и дополнительно $k_0 \le 4k_1$.

Если при $\gamma \neq 2$ вместо~\eqref{eq4.4} имеет место неравенство
$$
k_0<\frac{2}{(2 - \gamma)^2}
\Bigl(12\nu (2+\gamma)+\chi+\sqrt{(12\nu (2+\gamma)+\chi )^2+2\nu (2 - \gamma)^2(4\nu (2+\gamma)+ \chi )}\Bigr),
$$
где $\chi=(2(k_1+\nu \gamma)+\rho)(2+\gamma)$,
то справедливы утверждения леммы ~\ref{t4.1}.
% и предложения 4.1 из~\cite[\S\,4]{52}.

Если $\gamma=2$, то для выполнения утверждений леммы~\ref{t4.1}
%и предложения 4.1 из~\cite[\S\,4]{52}
достаточно одного неравенства $k_0 \le 4k_1$.
\end{corollary}

\begin{proof}
Заметим, что в силу $k_0 \le 4k_1$
в~неравенстве~\eqref{eq4.120}, домноженном на $4(k_0+\alpha_0\lambda_i)$, коэффициенты перед
$\lambda_i$, $\lambda ^2_i$, $\lambda ^3_i$, $\lambda ^4_i$ будут неотрицательными.
Поэтому в~\eqref{eq4.113} и~\eqref{eq4.205} инфинум
достигается при $i=1$. Тогда из леммы~\ref{t4.1}
сразу получим утверждение следствия~\ref{c4.1}.

Следствие~\ref{c4.1} доказано.
\end{proof}

Для семейства $\{u^{\omega}(t,x,\vartheta),\, t\ge 0\}_{\vartheta \in H^2}$ мы сохраним все обозначения из п.~\ref{s3.2}, которые вводились для семейства $\{u^{\omega}(t,\vartheta),\, t\ge 0\}_{\vartheta \in X}$.

\section{Интегральные свойства стационарных мер для системы~\eqref{eq1.1}, \eqref{eq1.2}}
%Доказательство теоремы~\ref{t6.1}}
\label{s7}

\subsection{Формулировка  основного результата}
\label{s7.1}

Имеет место следующая теорема.
\begin{theorem}
\label{l7.6}
Пусть $\alpha_*\in [0,2)$~-- произвольное вещественное число.
%Пусть $\alpha_0 \ge 0$, $\alpha_1,\alpha_2>0$~-- произвольные вещественные числа такие, что выполнено ~\eqref{eq7.1}.
Для любых  $\nu >0$, $\gamma,\rho, k_0, k_1\ge 0$ таких, что
вместо неравенства ~\eqref{eq4.4}
%имеет место то же неравенство, в котором  $\nu$ заменено нулем и знак $<$  заменен на $\le $,
имеет место более жесткое неравенство
\begin{equation}
\label{eq7.70}
k_0\le \min\left\{4k_1, \frac{4(2+\gamma)}{(2-\gamma)^2}(2k_1+\rho)\right\},
\end{equation}
%выполнено неравен\-ство ~\eqref{eq4.4}, %!!!!!!!!!!
$\{b_i\}_{i=1}^{\infty}\,{\in}\, l^+_2$
и  $f \in  H^{-1}$
%существует стационарная мера $\mu \in {\mathrm P}(H^2)$ для
%системы~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2}.
%семейства $\{u^{\omega}(t,x,\vartheta),\, t\ge 0\}_{\vartheta \in H^2}$.
%Кроме того, если
%и знак меньше заменен на знак меньше или равно,
%то
%\begin{equation}
%\label{eq7.3}
% \frac{2+\gamma }{4}  \left(\sup _{i\ge 1} b_i\right)^2 \kappa <2,
%\end{equation}
любая стационарная мера  $m \in {\mathrm P}(H^2)$ для
системы~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2} удов\-лет\-во\-ряет неравенствам
\begin{equation}
\label{eq7.23}
 \int_{H^2} \langle A_2\vartheta, A_1 \vartheta\rangle  \, m (d\vartheta )
\le  \hat{C},
%\frac{1}{(2-\alpha_*)\nu}\Bigl({\rm b}^2+\frac{2+\gamma }{2\alpha_* \nu } E|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1} \Bigr),
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq7.47}
 \int_{H^2} |\mspace{-1mu}\|\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{2}  \, m (d\vartheta )
\le \check{C},
% \frac{1}{(2-\alpha_*)\nu}\Bigl(\sum_{i=1}^\infty b_i^2 |\mspace{-1mu}\|E_i|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}+\frac{1}{\alpha_* \nu } E|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-2} \Bigr),
\end{equation}
где
$$
\hat{C}=\frac{1}{8\nu}\left(\sqrt{4{\rm b}^2+\frac{2+\gamma }{\nu } |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}}+\sqrt{\frac{2+\gamma }{\nu }} |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|_{-1}\right)^2,
$$
$$
\check{C} = \frac{1}{4\nu}\left(\sqrt{2\sum_{i=1}^\infty b_i^2 \langle A^{-1}_1 E_i, E_i \rangle +
\frac{1}{ \nu } |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-2}
}+\frac{1}{ \sqrt{\nu }} |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|_{-2}\right)^2,
$$
${\mathrm b}$ определено в~\eqref{eq3.3},
%Пусть $\alpha_*\in [0,2)$~-- произвольное вещественное число.
%При тех же условиях, за исключением того, что  $f\in  H^{-1}$~-- детерминированная вектор-функция, любая стационарная мера  $m \in {\mathrm P}(H^2)$
удовлетворяет
равенствам
\begin{equation}
\label{eq7.27}
 \int_{H^2} \langle (\nu A_2 + A_3)\vartheta, A_1 \vartheta\rangle \, m (d\vartheta )
=  \frac{{\rm b}^2}{2}+\int_{H^2} \langle f , A_1 \vartheta\rangle \, m (d\vartheta ),
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq7.48}
 \int_{H^2} \langle (\nu A_2 + A_3)\vartheta,  \vartheta\rangle \, m (d\vartheta )
=  \frac{1}{2}\sum_{i=1}^\infty b_i^2 \langle A^{-1}_1 E_i, E_i \rangle +\int_{H^2} \langle f ,  \vartheta\rangle \, m (d\vartheta ),
\end{equation}
при этом
$$
\langle A_3\vartheta, A_1 \vartheta\rangle \ge 0\quad \text{и }
\quad \langle A_3\vartheta,  \vartheta\rangle \ge 0\quad \text{для любого }\ \vartheta \in H^2,
$$
и  для любого вещественного числа
$\kappa _*>0$ такого, что
\begin{equation}
\label{eq7.26}
 \frac{2+\gamma }{2}  \left(\sup _{i\ge 1} b_i\right)^2 \kappa_*\le \alpha_*,
\end{equation}
%при тех же условиях для любой стационарной меры  $m \in {\mathrm P}(H^2)$ для
%системы~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2} выполнены неравенства
удовлетворяет неравенствам
\begin{equation}
\label{eq7.19}
\int_{H^2} \exp\left(\kappa _*\nu |\mspace{-1mu}\|A_1\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{0}\right)\,m (d\vartheta) \le
{C}(\hat{c}(\kappa_*)),
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq7.50}
\int_{H^2} \exp\left(\kappa _*\nu  \langle A_1\vartheta,  \vartheta\rangle \right)\,m (d\vartheta) \le
{C}(\check{c}(\kappa_*)),
\end{equation}
где
\begin{equation}
\label{eq13.1}
{C}(y) = \frac{(\sqrt{y^2+4y}+ y)^2}{4y}\exp\left(\frac{\sqrt{y^2+4y}+ y}{2}\right), \qquad y> 0, \quad {C}(0) =1,
\end{equation}
$$
\hat{c} (\kappa_*) = \frac{(2+\gamma)\kappa_*}{4(2-\alpha_*)^2}\left(\sqrt{(2-\alpha_*){\mathrm b}^2+\frac{2+\gamma}{2\nu}|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}}+\sqrt{\frac{2+\gamma}{2\nu}}|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|_{-1}\right)^2,
$$
%для любого вещественного числа
%$\kappa _*>0$ такого, что
%\begin{equation}
%\label{eq7.49}
% \frac{1}{2}  \left(\sup _{i\ge 1} b_i\right)^2 \kappa_*\le \alpha_* \alpha_{**},
%\end{equation}
$$
\check{c}(\kappa_*) = \frac{(2+\gamma)\kappa_*}{4(2-\alpha_*)^2}\left(\sqrt{(2-\alpha_*)\sum_{i=1}^\infty b_i^2 \langle A^{-1}_1 E_i, E_i \rangle + \frac{1}{\nu} |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-2}}+\frac{1}{\sqrt{\nu}} |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|_{-2}\right)^2.
$$
\end{theorem}

Заметим, что в условиях теоремы~\ref{l7.6} стационарная мера существует по лемме~\ref{t4.1}. Из теоремы~\ref{l7.6} нетрудно получить следующее неравенство.
\begin{corollary}
\label{c1}
%Пусть $\alpha_*\in (0,2)$, $\alpha _{**}\in (0,1)$~-- произвольные вещественные числа.
 Для любых  $\nu >0$, $\gamma,\rho, k_0, k_1\ge 0$ таких, что выполнено неравен\-ство ~\eqref{eq7.70}, %!!!!!!!!!!
$\{b_i\}_{i=1}^{\infty}\,{\in}\, l^+_2$ и
$f \in  H^{-1}$
любая стационарная мера  $m \in {\mathrm P}(H^2)$ удов\-лет\-во\-ряет неравенствам
\begin{equation}
\label{eq8.10}
 \int_{H^2} |\mspace{-1mu}\|\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{1} \, m (d\vartheta )
\le {\rm c}_0,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq8.20}
 \int_{H^2} |\mspace{-1mu}\|\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{1} \, m (d\vartheta )
\ge 4{\rm c}^2_1
\left(\sqrt{{\rm c}_2^2+ \frac{4}{\nu }{\rm c}_1 {\rm c}_3 } + {\rm c}_2\right)^{-2},
\end{equation}
где
$$
{\rm c}_0=\frac{1}{8\nu}\left(\sqrt{2\sum_{i=1}^\infty b_i^2 \langle A^{-1}_1 E_i, E_i \rangle +
\frac{1}{ \nu } |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-2}
}+\frac{1}{ \sqrt{\nu} } |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|_{-2}\right)^2,
$$
$$
{\rm c}_1=\frac{1}{2\nu} \left(\sum_{i=1}^\infty b_i^2   \langle A^{-1}_1 E_i, E_i \rangle\right),
$$
$$
{\rm c}_2= \sqrt{\frac{{\rm b}^2}{2\nu}+\left(\sqrt{\frac{2+\gamma}{8}}\frac{1}{\nu}|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|_{-1}\right)^2}+ \left(1+ \sqrt{\frac{2+\gamma}{8}}\right)\frac{1}{\nu}|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|_{-1},
$$
$$
{\rm c}_3=\frac{1}{2}\left(3k_0+k_1+\nu\gamma +\frac{\rho}{2}+\sqrt{\left(k_0+k_1+\nu\gamma +\frac{\rho}{2}\right)^2+9k_0^2}\right).
$$
В  неравенстве~\eqref{eq8.20} считаем, что $f$ и $\{b_i\}_{i=1}^\infty $ таковы, что не выполняется одновременно $f=0$ и $b_i=0$ для всех $i=1,2,\ldots$.
\end{corollary}

\begin{remark}
\label{rem}
В условиях теоремы~\ref{l7.6} константы в неравенствах \eqref{eq7.23}, \eqref{eq7.47}, \eqref{eq7.19} и \eqref{eq7.50} можно упростить, оценив их сверху, используя очевидные неравенства
\begin{equation}
\label{eq200.201}
(a+b)^2\le 2 (a^2+b^2) \quad\text{ и } \quad \sqrt{a+b} \le \sqrt{a}+\sqrt{b}
\end{equation}
при $a,b\ge 0$:
%\begin{equation}
%\label{eq7.23}
$$
\hat{C}
\le \frac{1}{\nu}{\rm b}^2+\frac{2+\gamma }{2\nu^2 } |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1},
% \frac{1}{8\nu}\left(\sqrt{4{\rm b}^2+\frac{2+\gamma }{\nu } E|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}}+\sqrt{\frac{2+\gamma }{\nu } E|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}}\right)^2,
%\frac{1}{(2-\alpha_*)\nu}\Bigl({\rm b}^2+\frac{2+\gamma }{2\alpha_* \nu } E|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1} \Bigr),
%\end{equation}
$$
%\begin{equation}
%\label{eq7.47}
$$
\check{C}
\le \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^\infty b_i^2 \langle A^{-1}_1 E_i, E_i \rangle +
\frac{1}{ \nu ^2} |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-2},
% \frac{1}{(2-\alpha_*)\nu}\Bigl(\sum_{i=1}^\infty b_i^2 |\mspace{-1mu}\|E_i|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}+\frac{1}{\alpha_* \nu } E|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-2} \Bigr),
%\end{equation}
$$
\begin{equation}
\label{eq200.210}
C(y) \le \left(1+\sqrt{y}+y\right) \exp\left(\sqrt{y}+y\right),
\end{equation}
$$
\hat{c} (\kappa_*)\le \frac{(2+\gamma)\kappa_*}{2}\left(\frac{1}{2-\alpha_*}{\mathrm b}^2+\frac{2+\gamma}{(2-\alpha_*)^2\nu}|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}\right),
$$
$$
\check{c}(\kappa_*)\le \frac{(2+\gamma)\kappa_*}{2}\left(\frac{1}{2-\alpha_*}\sum_{i=1}^\infty b_i^2 \langle A^{-1}_1 E_i, E_i \rangle + \frac{2}{(2-\alpha_*)^2\nu} |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-2}\right).
$$
В условиях следствия~\ref{c1} константы в неравенствах \eqref{eq8.10} и \eqref{eq8.20} можно упростить, оценив их сверху, используя  неравенства~\eqref{eq200.201}:
$$
{\rm c}_0 \le \frac{1}{2\nu}\left(\sum_{i=1}^\infty b_i^2 \langle A^{-1}_1 E_i, E_i \rangle +
\frac{1}{ \nu } |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-2}\right),
$$
\begin{equation}
\label{eq200.204}
\left(\sqrt{{\rm c}_2^2+ \frac{4}{\nu }{\rm c}_1 {\rm c}_3 } + {\rm c}_2\right)^{2} \le \frac{4}{\nu}{\rm b}^2 +
\frac{2}{\nu ^2} (7k_0+2k_1+2\nu\gamma+\rho)\sum_{i=1}^\infty b_i^2 \langle A^{-1}_1 E_i, E_i \rangle
\end{equation}
$$
+(22+3\gamma )
\frac{1}{\nu ^2}|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}.
$$
\end{remark}



\begin{remark}
\label{r}
{\rm I}. a). Правые части оценок~\eqref{eq7.23},~\eqref{eq7.47},~\eqref{eq7.19},~\eqref{eq7.50},~\eqref{eq8.10} не зависят от $\nu$, если $f \sim \nu$ и $b_i \sim \sqrt{\nu}$, $i=1,2,\ldots$.

b). Если дополнительно $k_0, k_1, \rho \sim \nu$, то правая часть оценки~\eqref{eq8.20} не зависит от $\nu$.

{\rm II}. Оценка снизу~\eqref{eq8.20} обращается в нуль тогда и только тогда, когда $b_i =0$, $i=1,2,\ldots$ (т. е. рассматривается  невозмущенная белым шумом система).

{\rm III}. Теорема~\ref{l7.6} и следствие~\ref{c1}
включает в себя детерминированный случай, когда $\{b_i\}_{i=1}^{\infty}=\mathbf{0}$. В этом случае мы получим оценки и равенства для любой \textit{инвариантной меры} $m \in {\mathrm P}(H^2)$:
$$
m (\{u_0\in H^2: u(t,x,u_0) \in \Gamma\})=m (\Gamma) \quad \text{для любых }\
\Gamma \in \sigma_{H^2}\ \text{ и }\ t\ge 0.
$$
Заметим, что инвариантная мера существует по лемме~\ref{t4.1}.
А также в детерминированном случае будет выполнено утверждение пункта  {\rm I}, a), если $f \sim \nu$, и оценка снизу~\eqref{eq8.20} обратится в нуль.
%, если $f\ne 0$.
%(определение см. в~\cite[\S\,4, замечание 2]{2}).
\end{remark}

Доказательства теоремы~\ref{l7.6} и следствия~\ref{c1} будут приведены несколько позже в п.~\ref{s7.100} и п.~\ref{s7.102} соответственно.
Заметим, что предлагаемые схемы доказательств являются частично
аналогом схем доказательств теоремы 2.5.5
%оценки (5.4),  (5.6) и равенства (5.3), (5.5)
из~\cite[п.~2.5.2]{18}, которая была  доказана
для уравнения Навье--Стокса, возмущенного белым шумом, по переменным~$x$
в двумерной ограниченной области  или~двумерном торе,
и упражнения 2.5.7 из~\cite[п.~2.5.2]{18}, оценки (5.7) из~\cite[п.~5.1.1]{18}, которые были доказаны
для  уравнения Навье--Стокса, возмущенного белым шумом, по переменным~$x$
в~двумерном торе,
с~условием,
что решение и правая часть системы
представляют собой бездивергентную вектор-функцию по переменным~$x$.
В следующем пункте мы сформулируем ряд вспомогательных результатов, в частности, леммы~\ref{l7.4} и ~\ref{l7.5.5},  на которых будут основаны доказательства оценок~\eqref{eq7.19} и~\eqref{eq7.50}.
\subsection{Формулировки вспомогательных результатов}
\label{s7.0}

Нам будут необходимы при больших $t$ две оценки сверху на функции
$$
E \exp(\kappa \nu |\mspace{-1mu}\|A_1u(t)|\mspace{-1mu}\|^2_{0})
$$
и
$$
E \exp(\kappa \nu \langle A_1 u(t), u(t)\rangle)
$$
от решения задачи Коши \eqref{eq1.1}, \eqref{eq1.2}, \eqref{eq4.1}, \eqref{eq4.2}, где $\kappa$~-- некоторое положительное число.
%, чем оценка (4.3) из~\cite[\S\,4]{2}.

\begin{lemma}
\label{l7.4}
Пусть $\alpha_0, \alpha_1 \ge 0$, $\alpha_2>0$~-- произвольные вещественные числа такие, что выполнено
\begin{equation}
\label{eq7.1}
\alpha_0\in \biggl[0,\biggl(1 - \frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}\biggr)\nu \biggr),
\qquad \alpha_1+\alpha_2\in (0, 2).
\end{equation}

Тогда для любых $\nu >0$, $\gamma,\rho, k_0, k_1\ge 0$ таких, что выполнено неравенст\-во~\eqref{eq4.7},
%\begin{equation}
%\label{eq7.2}
%\langle A_1\psi,A_3\psi\rangle\ge -\alpha_0\langle A_1 \psi, A_2\psi\rangle
%\quad\text{для любого }\
%\psi \in H^3,
%\end{equation}
%!!!!!!!!!!
$\{b_i\}_{i=1}^{\infty}\,{\in}\, l^+_2$, любого $\kappa \ge 0$ такого, что
\begin{equation}
\label{eq7.3}
 \frac{2+\gamma }{2}  \left(\sup _{i\ge 1} b_i\right)^2 \kappa\le \alpha _1,
\end{equation}
$f\,{\in}\,  H^{-1}$, $F_0$-измеримой случайной вектор"=функции  %!!!!!!!!!!!
  $u_0$, где $u_0\colon \Omega \to H^2$~-- измеримая по Бохнеру и
%\begin{equation}
%\label{eq20.1}
$$
E\exp\left(\kappa\nu|\mspace{-1mu}\|A_1u_0|\mspace{-1mu}\|^2_{0}\right) <\infty
$$
%\end{equation}
(вектор-функции, отличающиеся на множествах ${\mathbb P}$-меры нуль,
отождествляются),
% \in L_2(\Omega ; H^2)$
решение $u(t)$, $t\ge 0$, задачи Коши \eqref{eq1.1}, \eqref{eq1.2}, \eqref{eq4.1}, \eqref{eq4.2} удов\-лет\-во\-ряет неравенству
при $t\ge 0$
\begin{equation}
\label{eq7.4}
E \exp(\kappa \nu |\mspace{-1mu}\|A_1u(t)|\mspace{-1mu}\|^2_{0})
\le e^{-\alpha_3 t} E\exp(\kappa \nu |\mspace{-1mu}\|A_1u_0|\mspace{-1mu}\|^2_{0})+\frac{C(\kappa, \alpha _3)}{\alpha_3},
\end{equation}
где
\begin{equation}
\label{eq7.5}
C(\kappa, \alpha_3) = \kappa \nu\Bigr(\frac{2+\gamma}{2\alpha_2 \nu} |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}
+ {\mathrm b}^2 + \frac{\alpha_3}{\kappa \nu}\Bigl)\exp\left(\frac{\kappa \nu \Bigr(\frac{2+\gamma}{2\alpha_2 \nu} |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}
+ {\mathrm b}^2 + \frac{\alpha_3}{\kappa \nu}\Bigl)}{\frac{4}{2+\gamma }(2\nu -2\alpha_0 - (\alpha_1 + \alpha_2)\nu)}\right),
\end{equation}
${\mathrm b}$ определено в~\eqref{eq3.3} и $\alpha_3>0$~-- произвольное вещественное число.
\end{lemma}



\begin{lemma}
\label{l7.5}
Если константы $\nu $, $\gamma $, $\rho $, $k_0$, $k_1$ удовлетворяют условию~\eqref{eq4.4},
то существуют такие $\alpha_0\ge 0$, $\alpha _1, \alpha_2 >0$, что выполнено~\eqref{eq7.1}, ~\eqref{eq4.7}.
%\begin{equation}
%\label{eq7.6}
%\alpha _1 + \alpha_2\le 1.
%\end{equation}
% и $2\nu -2\alpha_0 - (\alpha_1 + \alpha_2)\nu = \alpha_*\nu$, $\alpha_* \in (0, 2)$~-- не зависит от $\nu $.
\end{lemma}

Лемма~\ref{l7.5} сразу следует из лемм~\ref{l111} и~\ref{lem4.1}.

\begin{lemma}
\label{l7.5.5}
Пусть $\alpha_0, \alpha_1 \ge 0$, $\alpha_2>0$~-- произвольные вещественные числа такие, что выполнено~\eqref{eq7.1}.

Тогда для любых $\nu >0$, $\gamma,\rho, k_0, k_1\ge 0$ таких, что выполнено неравенст\-во
\begin{equation}
\label{eq7.40}
\langle A_3\psi, \psi\rangle\ge -\alpha_0 |\mspace{-1mu}\|\psi|\mspace{-1mu}\|_2^2
\quad\text{для любого }\
\psi \in H^2,
\end{equation}
%!!!!!!!!!!
$\{b_i\}_{i=1}^{\infty}\,{\in}\, l^+_2$, любого $\kappa \ge 0$ такого, что
$$
 \frac{1}{2}  \left(\sup _{i\ge 1} b_i\right)^2 \kappa\le \alpha _1,
$$
$f\,{\in}\,  H^{-1}$, $F_0$-измеримой случайной вектор"=функции  %!!!!!!!!!!!
  $u_0$, где $u_0\colon \Omega \to H^2$~-- измеримая по Бохнеру и
$$
E\exp\left(\kappa\nu \langle A_1 u_0, u_0\rangle \right) <\infty
$$
(вектор-функции, отличающиеся на множествах ${\mathbb P}$-меры нуль,
отождествляются),
% \in L_2(\Omega ; H^2)$
решение $u(t)$, $t\ge 0$, задачи Коши \eqref{eq1.1}, \eqref{eq1.2}, \eqref{eq4.1}, \eqref{eq4.2} удов\-лет\-во\-ряет неравенству
при $t\ge 0$
$$
E \exp(\kappa \nu \langle A_1 u(t), u(t)\rangle)
\le e^{-\alpha_3 t} E\exp(\kappa \nu \langle A_1 u_0, u_0\rangle)+\frac{\widetilde{C}(\kappa, \alpha _3)}{\alpha_3},
$$
где
$$
\widetilde{C}(\kappa, \alpha_3) = \widetilde{c}(\kappa, \alpha_3)\exp\left(\frac{\widetilde{c}(\kappa, \alpha_3)}{\frac{4}{2+\gamma }(2\nu -2\alpha_0 - (\alpha_1 + \alpha_2)\nu)}\right),
$$
$$
\widetilde{c}(\kappa, \alpha_3)=
\kappa \nu\Bigr(\frac{1}{\alpha_2 \nu} |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-2}
+ \sum_{i=1}^\infty b_i^2 \langle A^{-1}_1 E_i, E_i \rangle + \frac{\alpha_3}{\kappa \nu}\Bigl),
$$
 $\alpha_3>0$~-- произвольное вещественное число.
\end{lemma}


\begin{lemma}
\label{l7.5.6}
Если константы $\nu $, $\gamma $, $\rho $, $k_0$, $k_1$ удовлетворяют условию
\begin{equation}
\label{eq7.45}
k_0 < \min _{i=1, 2, \dots, \widetilde{i}_*} \widetilde{\varsigma} (i),
\end{equation}
где
$$
 \widetilde{\varsigma} (i) = \frac{2}{j(i)}
\biggl(\widetilde{\chi }(j(i))
+ \sqrt{\widetilde{\chi}^2 (j(i)) +  \nu j^2(i)\left(\widetilde{\chi} (j(i)) - 2\nu j^2(i)\right)}\biggr),
$$
$$
\widetilde{\chi}(y) = 3\nu y^2+ (k_1+\nu\gamma)y +\rho,\qquad
y \geqslant 0,
$$
$$
 \widetilde{i}_*=\biggl[\frac{\widetilde{\varsigma} (1)}{(3+\sqrt{10})\nu}\biggl(\sqrt{1+\frac{2\widetilde{\varsigma} (1)}{(3+\sqrt{10})\nu}}
+1\biggr)^{-1}\biggr]\geqslant 1,
$$
%(здесь и везде ниже $[r]$~-- целая часть вещественного числа~$r$),
 $j$  определено в~\eqref{eq300.1}, то существуют такие $\alpha_0\ge 0$, $\alpha _1, \alpha_2 >0$, что выполнено~\eqref{eq7.1}, ~\eqref{eq7.40}.
%\begin{equation}
%\label{eq7.6}
%\alpha _1 + \alpha_2\le 1.
%\end{equation}
% и $2\nu -2\alpha_0 - (\alpha_1 + \alpha_2)\nu = \alpha_*\nu$, $\alpha_* \in (0, 2)$~-- не зависит от $\nu $.
\end{lemma}

Доказательство леммы~\ref{l7.5.6} полностью аналогично доказательству лемм~\ref{l111} и~\ref{lem4.1}.


\subsection{Предварительные сведения для доказательства лемм~\ref{l7.4} и~\ref{l7.5.5}}

Введем следующее определение процесса Ито с~постоянной диффузией
в~сепарабельном гильбертовом пространстве
из~\cite[Appendix, \S\,7, определение~A.7.1]{18}.

\begin{definition}
\label{def5.2}
Случайный процесс~$\xi(t)$, $t\geqslant 0$,
определенный на вероятностном пространстве $(\Omega,F,{\mathbb P})$,
будем называть \textit{процессом Ито
в~сепарабельном гильбертовом пространстве~$H$ с~постоянной диффузией},
если он согласован с~фильтрацией~$\{F_t\}_{t\geqslant 0}$
и может быть представлен в~виде
$$
\xi(t)=\xi(0)+\int_0^t h(s)\,ds+\sum_{i=1}^\infty \beta_i(t)\upsilon_i
,\quad t\geqslant 0,\quad\text{почти наверное},
$$
где последовательность $\{\upsilon_i\}_{i=1}^\infty \subset H$
удовлетворяет условию
$$
\sum_{i=1}^\infty\|\upsilon_i\|^2_H < \infty
$$
и~$h(t)$, $t\geqslant 0$,~-- это $H$-значный случайный процесс,
прогрессивно измеримый по отношению
к~фильтрации~$\{F_t\}_{t\geqslant 0}$, такой, что
$$
{\mathbb P}\biggl\{\int_0^T \|h(t)\|^2_H\,dt < \infty
\quad \text{для любого} \ T>0 \biggr\}=1.
$$
\end{definition}


Для доказательства лемм~\ref{l7.4} и~\ref{l7.5.5} нам будет необходима следующая теорема  о замене переменной в стохастическом дифференциальном уравнении для гильбертовых пространств, формулировка и доказательство которой сразу следует из
формулировки  и доказательства теоремы A.7.5 из~\cite[Appendix, \S\,7]{18}.

\begin{theorem}
\label{theor1}
Пусть $H$, $V$~-- сепарабельные гильбертовы пространства, $H^*$ и $V^*$~-- сопряженные пространства с пространствами соответственно $H$ и $V$, $V$ плотно непрерывно вложено\footnote{Отождествляя по теореме Ф. Рисса о представлении линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве (см., например, ~\cite[гл. III, \S 6]{51})  сопряженное пространство $H^*$ с пространством $H$, имеем
$$
V\subseteq H\subseteq V^*.
$$} в $H$.

Пусть $\Phi \colon {\mathbb R}_+\times H \to {\mathbb R}$~-- непрерывно дифференцируемая функция по первой переменной $t\in {\mathbb R}_+$ и дважды непрерывно дифференцируемая по Фреше функция по второй переменной $v \in H$. Будем полагать, что эта функция равномерно непрерывна вместе со своими производными $\Phi_t (t, v )$, $\Phi_v (t, v )$ первого и $\Phi _{v v}(t, v)$ второго  порядков на любом ограниченном множестве в ${\mathbb R}_+\times H$.
А также будем полагать, что функция $\Phi $ удовлетворяет следующим условиям:

{\rm a)}  для любого $T>0$ существует положительная непрерывная функция $\widetilde{C}_T(r)$, $r\ge0$, такая, что
$$
\left|\Phi _v (t,v; \upsilon )\right| \le \widetilde{C}_T(\|v\|_H)\|v\|_V\|\upsilon\|_{V^*}, \qquad
t \in [0, T], \quad v \in V, \quad \upsilon\in H;
$$

{\rm b)} для любой последовательности $\{v _k\}_{k=1}^\infty \subset V$, сходящейся к $v \in V$ при \mbox{$k \to \infty$} в топологии  пространства $V$,
и для любых $t \ge 0$ и $\upsilon \in V^*$
имеет место сходимость\footnote{Заметим, что в силу условия {\rm a)}  линейный непрерывный оператор $\Phi_v (t, v)$, определенный на пространстве $H$,
допускает единственное непрерывное расширение на пространство $V^*$ для любого $v\in V$ и неравенство в условии~{\rm a)}
будет выполнено для $\upsilon\in V^*$.}
$$
\Phi _v (t, v _k; \upsilon) \to \Phi_v (t, v ; \upsilon) \quad \mbox {при}\ \ k\to \infty .
$$


Предположим, что   случайный процесс  $\xi (t)\colon \Omega \to H$, $t\ge 0$, удовлетворяет следующим условиям:

{\rm c)}  почти все траектории случайного процесса $\xi (t)$, $t\ge 0$, принадлежат пространству
$C({\mathbb R}_{+}; H)\cap L_{2, {\rm loc}} ({\mathbb R}_{+}; V)$;

{\rm d)} $\xi (t)$, $t\ge 0$,~--  процесс Ито в пространстве $V^*$ с постоянной диффузией такой, что
в определении ~\ref{def5.2} последовательность $\{\upsilon_i\}_{i=1}^\infty $ лежит в пространстве $H$ (а не в $V^*$) и
$$
\sum\limits_{i=1}^\infty \|\upsilon_i\|^2_H < \infty .
$$

%Будем полагать, что выполнено неравенство
%\begin{equation}
%\label{eq4.8}
%\sum_{i=1}^{\infty }E\int _0^{t} |\Theta _i(s)|^2\,ds < \infty \quad \text{для любого }t\ge 0,
%\end{equation}
%где

Тогда
почти наверное  имеет место формула Ито
$$
\Phi(t\wedge \tau_n(\xi), \xi (t\wedge \tau_n(\xi))) = \Phi (0, \xi (0)) + \int _0 ^{t\wedge \tau_n(\xi)}
\Theta _0(s)\,ds
$$
$$
+ \sum_{i=1}^{\infty }\int _0^{t\wedge \tau_n(\xi)} \Theta _i(s)\,d\beta _i (s), \qquad t\ge 0,
$$
%$$
%n=0, 1, \dots ,
%$$
где
$$
\Theta _0(t) = \Phi _t (t, \xi (t)) + \Phi _v (t, \xi (t); h(t)) + \frac{1}{2}
\sum_{i=1}^\infty \Phi _{v v} (t, \xi (t); \upsilon_i),
$$
$$
\Theta _i(t) = \Phi _v (t, \xi (t); \upsilon_i), \qquad i=1, 2, \dots ,
$$
$$
\tau_n (\xi)=\inf \{t\ge 0: \|\xi (t)\|_H>n\}, \qquad
t \wedge \tau_n (\xi)=\min \{t, \tau_n(\xi)\},\qquad n=0,1,\dots\,.
$$
%и случайный процесс $\sum_{i=1}^{\infty }\int _0^{t} \Theta _i(s)\,d\beta _i (s)$, $t \ge 0$, имеет почти наверное непрерывные траектории.
\end{theorem}

В параграфе 3 из~\cite{1} была доказана следующая лемма.

\begin{lemma}
\label{l500.3}
Пусть выполнено одно из условий:
\begin{gather*}
\theta,\xi \in h^2,\quad
\chi \in h^0;
\qquad
\chi,\theta \in h^2,\quad \xi \in h^0;
\qquad
\xi,\chi \in h^2,\quad \theta \in h^0;
\\
\theta,\xi \in h^1,\quad \chi \in h^2;
\qquad
\chi,\theta \in h^1,\quad \xi \in h^2;
\qquad
\xi,\chi \in h^1,\quad \theta \in h^2.
\end{gather*}
Тогда якобиан $J$ обладает следующими свойствами:
\begin{gather}
\nonumber
(J(\theta,\xi),\chi)=- (J(\xi,\theta),\chi),
\qquad
(J(\theta,\xi),\chi)=(J(\chi,\theta),\xi)=(J(\xi,\chi),\theta).
\end{gather}
Если $\theta \in h^2$, $\xi \in h^0$ или $\theta \in h^1$, $\xi \in h^2$, то
$$
(J(\theta,\xi),\theta)=0.
$$
Если $\theta \in h^2$, то
$$
(J(\theta,\mu),\Delta\theta)=0.
$$
\end{lemma}


\subsection{Доказательство леммы~\ref{l7.4}}
\label{s7.2}

Обозначим
$$
h(t)=f - (\nu A_2+A_3)u(t) - B(u(t)),
\qquad t\ge 0.
$$
В следствии  из~\cite[\S\,3]{1} показано, что случайный процесс $u(t)$, $t\ge 0$, является прогрессивно измеримым по отношению к~фильтрации $\{F_t\}_{t\ge 0}$. Тогда
случайный процесс $h(t)$, $t\ge 0$, является $H^{-1}$-значным прогрессивно измеримым по отношению к~фильтрации $\{F_t\}_{t\ge 0}$. Поэтому по определению~\ref{def5.2} случайный процесс $A_1 u(t)$, $t\ge 0$, представляет собой процесс Ито в~$H^{-1}$ с постоянной диффузией, так как в~силу~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2},~\eqref{eq4.1},~\eqref{eq4.2} его можно представить в~виде
$$
A_1 u(t)=A_1 u_0+\int_0^t h(t) \, dt+\sum_ {i=1}^{\infty} b_i \beta_i (t)E_i,
\qquad t\ge 0,
\quad \text{почти наверное},
$$
причем в силу способа построения решения $u(t)$, $t\ge 0$, и оценок (3.31), (3.32) из~\cite[\S\,3]{1} случайный процесс $h(t)$, $t\ge 0$,
удовлетворяет соотношению
$$
{\mathbb P}\biggl\{\int_0^T |\mspace{-1mu}\|h(t)|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}\, dt<\infty
\ \text{для любого}\  T>0\biggr\}=1.
$$

В теореме~\ref{theor1}  рассмотрим пространства $H=H^0$, $V=H^1$, функционал $F (t, v)=e^{\alpha_3 t}\exp (\kappa \nu |\mspace{-1mu}\|v|\mspace{-1mu}\|^2_{0})$  и в~качестве случайного процесса $u(t)$, $t\ge 0$, возьмем процесс Ито с~постоянной диффузией $A_1 u(t)$, $t\ge 0$. Нетрудно показать, что в~силу леммы~\ref{l500.3}  выполнено равенство
$$
\langle B(\psi ), A_1\psi\rangle=0\quad\text{для любого }\ \psi\in H^3.
$$
Тогда, учитывая~\eqref{eq3.1} и~\eqref{eq3.2},
\begin{gather*}
F_t (t, v)=\alpha_3 F(t, v),\\
F_{v} (t,  v; \upsilon)=2 \kappa \nu F(t, v) \langle v,\upsilon \rangle,
\quad
F_{v v}(t, v; \upsilon)=2 \kappa \nu F(t, v)(|\mspace{-1mu}\|\upsilon|\mspace{-1mu}\|^2_{0}+ 2 \kappa \nu  \langle v,\upsilon \rangle ^2),
\end{gather*}
$v,\upsilon \in H^0$,  и включение $u(t)\in \varkappa $ почти наверное,
с помощью формулы Ито из теоремы~\ref{theor1}  получим почти наверное равенство
\begin{align*}
&
F(t\wedge\tau_n, A_1u(t \wedge \tau_n))
=F(0, A_1u_0)
+\int_0^{t \wedge \tau_n} \Theta _0 (s)\, ds +
M(t\wedge \tau_n),
\end{align*}
где
$$
\Theta _0 (t) = 2 \kappa \nu F(t, A_1 u(t)) \Biggl(\frac{\alpha_3}{2 \kappa \nu } -  \langle  (\nu A_2+A_3)u(t), A_1u(t)\rangle + \langle f, A_1u(t)\rangle + \frac{{\mathrm b}^2}{2}
$$
$$
+ \kappa \nu  \sum_{i=1}^{\infty} b_i^2 \langle E_i, A_1u(t)\rangle ^2  \Biggr),
%%%%%%%%
$$
$$
M(t)=2\kappa \nu \sum_{i=1}^\infty b_i\int_0^{t}F(s, A_1u(s))\langle E_i,A_1u(s)\rangle\,d\beta_i(s),\qquad t\ge 0,
$$
 $\mathrm b$ определено в~\eqref{eq3.3}, причем здесь и везде ниже $\tau_n=\tau_n (A_1u)$.
В силу неравенств
%$$
%|\mspace{-1mu}\|A_1\psi |\mspace{-1mu}\|^2_{1}
%\le \biggl(1+\frac{\gamma}{2}\biggr)^2|\mspace{-1mu}\|\psi |\mspace{-1mu}\|_{3}^2
%\quad \text{для любого }\ \psi \in H^3
%$$
%(доказательство см.\ в~доказательстве теоремы 2 из~\cite[\S\,4]{2}),
~\eqref{eq3.1} при $p=1$ и
$$
2ab \leqslant a^2c^2+b^2c^{-2}, \qquad
a,b,c \in {\mathbb R}, \quad
c\ne 0,
$$
выполнена оценка
\begin{equation}
\label{eq7.10}
2|\langle f, A_1 u(s)\rangle | \le  \frac{2\alpha_2 \nu}{2+\gamma}|\mspace{-1mu}\| A_1u(s)|\mspace{-1mu}\|^2_{1}+\frac{2+\gamma}{2\alpha_2 \nu} |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}.
\end{equation}
Поскольку
% имеют место неравенство
%\begin{equation}
%\label{eq7.11}
%\|\psi \|^2_p \le 2^{-(q-p)}\|\psi \|^2_q \quad \text{для любого }\ \psi \in h^q,\quad p, q \in {\mathbb Z},\quad q>p
%\end{equation}
%(см.\ неравенство (16) в~\cite{30}),
%, ~\eqref{eq3.1} при $p=0$ и
%\begin{align}
%\notag
%|\mspace{-1mu}\|\psi |\mspace{-1mu}\|_{2}^2
%&\le |\mspace{-1mu}\|A_1\psi |\mspace{-1mu}\|^2_{0}
%\le \frac{(2+\gamma )^2}{4} |\mspace{-1mu}\|\psi |\mspace{-1mu}\|_{2}^2
%\label{eq7.12}
%\end{align}
%для любого $\psi \in H^2$ (см. неравенство (7.9) в~\cite{52}),
$\{E_i\}_{i=1}^{\infty}$~-- ортонормированный базис пространства $H^0$ и имеет место равенство Парсеваля (см., например,~\cite[гл.~III, \S\,4, теорема 2]{51}), то
$$
\sum_{i=1}^\infty \langle E_i, A_1u(s)\rangle ^2=
|\mspace{-1mu}\|A_1 u(s)|\mspace{-1mu}\|^2_{0}.
%\le \frac{1}{2}|\mspace{-1mu}\|A_1 u(s)|\mspace{-1mu}\|^2_{1}.
$$
Отсюда следует
\begin{equation}
\label{eq7.14}
\sum_{i=1}^\infty b_i^2\langle E_i, A_1u(s)\rangle ^2 \le
%\frac{1}{2}
 \left(\sup _{i\ge 1} b_i\right)^2 |\mspace{-1mu}\|A_1 u(s)|\mspace{-1mu}\|^2_{0}.
\end{equation}
Тогда из~\eqref{eq7.10},~\eqref{eq7.14}, ~\eqref{eq7.3},~\eqref{eq4.7} и
\begin{equation}
\label{eq7.15}
\|\psi \|^2_p \le 2^{-(q-p)}\|\psi \|^2_q \quad \text{для любого }\ \psi \in h^q,\quad p, q \in {\mathbb Z},\quad q>p
\end{equation}
(см.\ неравенство (16) в~\cite{30}), неравенства
$$
\langle A_1\psi , \psi \rangle=|\mspace{-1mu}\|\psi |\mspace{-1mu}\|_{1}^2+\gamma \|\psi_2\|^2_0
\le \frac{2+\gamma }{2} |\mspace{-1mu}\|\psi |\mspace{-1mu}\|_{1}^2
$$
для любого $\psi \in H^1$, которое имеют место в~силу определения оператора~$A_1$, \eqref{eq3.2} и
~\eqref{eq7.15},
%получим
%Взяв от обеих частей этого равенства математическое ожидание, из неравенства~\eqref{eq4.7}
%$$
%|\mspace{-1mu}\|\psi |\mspace{-1mu}\|^2_{3} \le \langle A_2 \psi, A_1 \psi \rangle
%\quad\text{для любого }\ \psi \in H^3
%$$
%(см.~\cite[\S\,3, неравенство (3.23)]{1})
будем иметь почти наверное
$$
F (t \wedge\tau_n, A_1u(t \wedge\tau_n))- \kappa \nu   \int_0^{t\wedge\tau_n} F(s, A_1 u(s)) \Bigl(\frac{4}{2+\gamma }(2\alpha_0 + (\alpha_1 + \alpha_2)\nu  - 2\nu ) |\mspace{-1mu}\|A_1u(s)|\mspace{-1mu}\|^2_{0}
$$
$$
%\label{eq7.17}
+\frac{2+\gamma}{2\alpha_2 \nu} |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}
+ {\mathrm b}^2 + \frac{\alpha_3}{\kappa \nu}\Bigr) \, ds \le
 F(0, A_1u_0) + M(t\wedge\tau_n).
$$
Взяв от обеих частей этого неравенства математическое ожидание, получим
$$
EF (t \wedge\tau_n, A_1u(t \wedge\tau_n))- \kappa \nu   E\int_0^{t\wedge\tau_n} F(s, A_1 u(s)) \Bigl(\frac{4}{2+\gamma }(2\alpha_0 + (\alpha_1 + \alpha_2)\nu
$$
\begin{equation}
\label{eq7.8}
- 2\nu ) |\mspace{-1mu}\|A_1u(s)|\mspace{-1mu}\|^2_{0}
+\frac{2+\gamma}{2\alpha_2 \nu} |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}
+ {\mathrm b}^2 + \frac{\alpha_3}{\kappa \nu}\Bigr) \, ds \le
 EF(0, A_1u_0) + EM(t\wedge\tau_n).
\end{equation}

%$$
%F (t\wedge\tau_n, A_1u(t \wedge\tau_n))- 2 \kappa \nu   \int_0^{t\wedge\tau_n} F(s, A_1 u(s)) \Bigl(\frac{\alpha_3}{2 \kappa \nu } + (\alpha_0 - \nu ) \langle A_1 u(s), A_2 u(s) \rangle
%$$
%\begin{equation}
%\label{eq7.8}
%+ \langle f, A_1u(s)\rangle + \frac{{\mathrm b}^2}{2} + \kappa \nu  \sum_{i=1}^\infty b_i^2\langle E_i,A_1u(s)\rangle ^2\Bigr) \, ds \le
% F(0, A_1u_0)+  M(t\wedge\tau_n).
%\end{equation}

Докажем, что
\begin{equation}
\label{eq7.9}
E M(t\wedge \tau_n)=0.
\end{equation}

Напомним определение марковского момента из~\cite[гл.~I, \S\,5, определение~5.3]{333}.

\begin{definition}
\label{d8}
Отображение $\tau \colon \Omega \to [0, \infty ]$ назовем \textit{марковским моментом относительно фильтрации}
$\{F_t\}_{t\ge 0}$, если
для каждого $t \ge 0$ имеет место включение $\{\omega\in\Omega\colon \tau (\omega) \le t\} \in F_t$.
\end{definition}

В примере 5.1 из \cite[гл.~I, \S\,5]{333} доказано, что, если
$M\subset {\mathbb R}$~-- произвольное открытое множество,
$\xi (t)\colon \Omega \to {\mathbb R}$, $t \ge 0$,~--
%непрерывный
%справа
согласованный с~фильтрацией $\{F_t\}_{t\ge 0}$ случайный процесс, имеющий почти наверное непрерывные справа траектории,
то случайная величина
$$
\inf \{t\ge 0: \xi (t) \in M\}
$$
является марковским моментом относительно фильтрации $\{F_t\}_{t\ge 0}$.
Тогда очевидно, что $\tau_n$~-- марковский момент относительно фильтрации $\{F_t\}_{t\ge 0}$.

В дальнейшем нам будут необходимы два свойства стохастических интегралов.
Пусть $\psi (t)$, $t\ge 0$,~-- действительный измеримый случайный процесс,
согласованный с~фильтрацией $\{F_t\}_{t\ge 0}$, и для любого $T>0$
$$
E\biggl(\int_0^T \psi ^2(s) \, ds\biggr)<\infty.
$$
Тогда если $\tau $~-- марковский момент, $\beta (t, \omega)$, $t\ge 0$,~--
действительное броуновское движение, определенное на вероятностном
пространстве $(\Omega, F, {\mathbb P})$, относительно фильтрации
$\{F_t\}_{t\ge 0}$, то выполнены следующие два свойства
(см., например, доказательства равенств (1.13) и (1.16) из~\cite[гл.~II, \S\,1]{333}):
\begin{gather}
\label{eq7.90}
E \int_0^{t\wedge \tau} \psi (s) \, d\beta (s)=0,
\\
\label{eq7.100}
E \biggl(\int_0^{t\wedge \tau} \psi (s) \, d\beta (s) \biggr)^2
=E\int_0^{t\wedge \tau} \psi ^2 (s) \, ds.
\end{gather}

Заметим, что в~силу теоремы о монотонной сходимости,
неравенства Бесселя, равенства~\eqref{eq7.100}
при $\tau=\tau_n$, оценки
$$
|\mspace{-1mu}\|A_1u(s)|\mspace{-1mu}\|_{0} \le n,
\qquad 0\le s\le t\wedge \tau_n,
$$
случайная величина
$$
\sum_{i=1}^{\infty} \biggl(\int_0^{t\wedge \tau_n} F(s, A_1u(s))\langle E_i, A_1 u(s)\rangle \,
d \beta_i(s)\biggr)^2
$$
имеет конечное математическое ожидание. Значит, в~силу неравенства
Коши--\allowbreak Буняковского конечное математическое ожидание имеет и величина
$$
\biggl(\sum_{i=1}^{\infty} \biggl(\int_0^{t\wedge \tau_n} F(s, A_1u(s))\langle E_i, A_1 u(s)
\rangle \, d \beta_i(s)\biggr)^2\biggr)^{1/2}.
$$
Поскольку абсолютную величину частичных сумм ряда в~\eqref{eq7.9}
можно по неравенству Коши--Буняковского для пространства ${\mathbb R}^N$
оценить интегрируемой случайной величиной
$$
\biggl|\sum_{i=1}^{N} b_i \int_0^{t\wedge \tau_n} F(s, A_1u(s))\langle E_i, A_1 u(s)\rangle \, d \beta_i(s)\biggr|
$$
$$
\le {\mathrm b}\biggl(\sum_{i=1}^{\infty} \biggl(\int_0^{t\wedge \tau_n}
F(s, A_1u(s))\langle E_i, A_1 u(s)\rangle \, d \beta_i(s)\biggr)^2\biggr)^{1/2},
$$
где $N=1, 2, \dots $,
то по теореме Лебега о мажорируемой сходимости для математических ожиданий справедливо
$$
E\sum_{i=1}^{\infty} b_i \int_0^{t\wedge \tau_n} F(s, A_1u(s))\langle E_i, A_1 u(s)\rangle \, d \beta_i(s)
$$
$$
=\sum_{i=1}^{\infty} b_i E\int_0^{t\wedge \tau_n} F(s, A_1u(s))\langle E_i, A_1 u(s)\rangle \, d \beta_i(s).
$$
Учитывая, что в~силу~\eqref{eq7.90} при $\tau=\tau_n$
имеем
$$
E\int_0^{t\wedge \tau_n} F(s, A_1u(s))\langle E_i, A_1 u(s)\rangle \, d \beta_i(s)=0,
\qquad i=1, 2, \dots \,,
$$
отсюда получим равенство~\eqref{eq7.9}.

Из~\eqref{eq7.8} и ~\eqref{eq7.9} будем иметь
$$
EF (t \wedge\tau_n, A_1u(t \wedge\tau_n))- \kappa \nu   E\int_0^{t\wedge\tau_n} F(s, A_1 u(s)) \Bigl(\frac{4}{2+\gamma }(2\alpha_0 + (\alpha_1 + \alpha_2)\nu
$$
\begin{equation}
\label{eq7.17}
- 2\nu ) |\mspace{-1mu}\|A_1u(s)|\mspace{-1mu}\|^2_{0}
+\frac{2+\gamma}{2\alpha_2 \nu} |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}
+ {\mathrm b}^2 + \frac{\alpha_3}{\kappa \nu}\Bigr) \, ds \le
 EF(0, A_1u_0).
\end{equation}
%Рассуждая аналогично доказательству (4.5) в~\cite[\S\,4]{2}, нетрудно получить, что
%\begin{equation}
%\label{eq7.9}
%E M(t\wedge \tau_n)=0.
%\end{equation}
Нетрудно показать, что для любого $s\ge 0$
$$
\kappa \nu  F(s, A_1 u(s)) \Bigl(\frac{4}{2+\gamma }(2\alpha_0 + (\alpha_1 + \alpha_2)\nu  - 2\nu ) |\mspace{-1mu}\|A_1u(s)|\mspace{-1mu}\|^2_{0}
+\frac{2+\gamma}{2\alpha_2 \nu} |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}
+ {\mathrm b}^2 + \frac{\alpha_3}{\kappa \nu}\Bigr)
$$
$$
\le C(\kappa , \alpha_3)e^{\alpha_3 s},
$$
где $C(\kappa , \alpha_3)$ определена в ~\eqref{eq7.5}.
Поэтому из ~\eqref{eq7.17} имеем
%в силу~\eqref{eq7.1}
\begin{equation}
\label{eq7.18}
EF (t\wedge\tau_n , A_1u(t \wedge\tau_n))\le C(\kappa , \alpha_3) E\frac{e^{\alpha_3 (t\wedge\tau_n)} -1}{\alpha_3} +
E F(0, A_1u_0).
\end{equation}


Поскольку $u(t) \in C({\mathbb R}_+; H^2)$ почти наверное,
то $\tau_n \to \infty $ при $n \to \infty $ почти наверное.
Следовательно, переходя к~пределу в~неравенстве~\eqref{eq7.18} и используя теорему о монотонной сходимости и лемму Фату
(см., например,~\cite[гл.~II, \S\,6, п.~4, теоремы 1,\,a) и 2,\,a)]{21}),
получим
$$
%\label{eq7.18}
EF (t, A_1u(t))\le C(\kappa , \alpha_3)  \frac{e^{\alpha_3 t} -1}{\alpha_3} +
E F(0, A_1u_0).
$$
Отсюда сразу следует~\eqref{eq7.4}.


%Тогда из~\eqref{eq7.11} имеем~\eqref{eq7.4}.

Лемма~\ref{l7.4} доказана.



\subsection{Доказательство леммы~\ref{l7.5.5}}
%\label{s7.2}
Доказательство леммы~\ref{l7.5.5} полностью аналогично доказательству леммы~\ref{l7.4}, поэтому мы не будем его приводить. Отметим лишь, что
%некоторые отличия от доказательства леммы~\ref{l7.4}.
в теореме~\ref{theor1}  необходимо рассмотреть пространства $H=H^{-1}$, $V=H^0$,  функционал $F (t, v)=e^{\alpha_3 t}\exp (\kappa \nu \langle A_1^{-1}v, v\rangle )$, вместо $V^*$ рассмотреть пространство $H^{-2}$  и в~качестве случайного процесса $u(t)$, $t\ge 0$, взять процесс Ито в $H^{-2}$  с~постоянной диффузией $A_1 u(t)$, $t\ge 0$. А также при построении доказательства необходимо учесть, что в~силу леммы~\ref{l500.3} выполнено равенство
\begin{equation}
\label{eq7.51}
\langle B(\psi), \psi \rangle = 0\quad\text{для любого }\ \psi\in H^2.
\end{equation}


\subsection{Доказательство теоремы~\ref{l7.6}}
\label{s7.100}
%Существование стационарной меры для системы~\eqref{eq1.1}, ~\eqref{eq1.2} сразу следует из
%доказательства теоремы 3 из~\cite[\S\,4]{2} и
%рассуждений в доказательстве леммы~\ref{t4.1}.

Докажем, что для любого $\kappa_*>0$ такого, что имеет место~\eqref{eq7.26}, выполнено неравенство~\eqref{eq7.19}.
%где $C(\kappa _*, \alpha _3)$ определено в~\eqref{eq7.5}, $\alpha_3>0$~-- произвольное вещественное число.
Для этого рассмотрим функцию $F_{r, \kappa}\colon H^2 \to {\mathbb R}$ при $r, \kappa >0$:
$$
F_{r,\kappa}(\vartheta) = \left\{
\begin{array}{ll}
\exp\left(\kappa \nu |\mspace{-1mu}\|A_1\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{0}\right), & |\mspace{-1mu}\|A_1\vartheta|\mspace{-1mu}\|_{0}\le r,\\
\exp\left(\kappa \nu r^2\right),& |\mspace{-1mu}\|A_1\vartheta|\mspace{-1mu}\|_{0}> r.
\end{array}
\right.
$$
%%%%%
Поскольку $m$~-- стационарная мера, то в силу~\eqref{eq3.11} и~\eqref{eq3.12}
%и теоремы Фубини--Тонелли из~\cite[введение, \S\,3]{51}
при любом $t\ge0$ имеет место равенство
$$
\int_{H^2} F_{r,\kappa}(\vartheta)\, m (d\vartheta)
%= \int_{H^2} F_{r,\kappa}(\upsilon) \int_{H^2}P(t, \vartheta, d\upsilon)\, m (d\vartheta)
= \int_{H^2}  F_{r,\kappa}(\vartheta ) \left.\left(\int_{H^2} P(t, \upsilon,  \Gamma)\, m (d\upsilon)\right)\right|_{\Gamma = d\vartheta}.
$$
По доказательству теоремы Фубини  из~\cite[гл. III, \S\,11, п. 9]{36}
$$
\int_{H^2} F_{r,\kappa}(\vartheta)\, m (d\vartheta)=
\int_{H^2}  \left(\int_{H^2}  F_{r,\kappa}(\vartheta ) P(t, \upsilon, d\vartheta )\right) \, m (d\upsilon).
$$
Поменяем для удобства изложения переменные интегрирования в правой части равенства $\vartheta$ на $\upsilon$ и $\upsilon$ на $\vartheta$:
\begin{equation}
\label{eq7.21}
\int_{H^2} F_{r,\kappa}(\vartheta)\, m (d\vartheta)=
\int_{H^2}  \left(\int_{H^2}  F_{r,\kappa}(\upsilon) P(t, \vartheta, d\upsilon )\right) \, m (d\vartheta).
\end{equation}
Оценим правую часть этого равенства.
По определению математического ожидания
$$
\int_{H^2} F_{r,\kappa}(\upsilon) P(t, \vartheta , d\upsilon ) \le E \exp\left(\kappa \nu |\mspace{-1mu}\|A_1u^\omega (t,x,\vartheta)|\mspace{-1mu}\|^2_{0}\right).
$$
Нетрудно показать, что
неравенство ~\eqref{eq4.4}, в котором  $\nu$ заменено нулем и знак $<$  заменен на $\le $, равносильно неравенству
%%%%%%%%%%
%$$
%k_0\le \frac{4(2+\gamma)}{(2-\gamma)^2}(2k_1+\rho).
%$$
~\eqref{eq7.70}.
А также нетрудно показать из доказательства леммы~\ref{l111}, что если выполнено
неравенство ~\eqref{eq301.1},
то существуют $\alpha_0,\alpha_1\ge 0$, $\alpha_2>0$ такие, что выполнено ~\eqref{eq7.1},~\eqref{eq4.7},
% где $\nu$ заменено на $(1-\alpha_*)\nu$,
 причем можно считать, что
$$
\alpha_0 =0,
\qquad \alpha_1=\alpha_*,
$$
$\alpha_2>0$~-- произвольное вещественное число такое, что
$$
\alpha_1+ \alpha_2\in (0,2).
$$
 В этом случае
\begin{equation}
\label{eq7.22}
2\nu -2\alpha_0
 - (\alpha_1 + \alpha_2)\nu  = (2-\alpha_*-\alpha_2) \nu.
\end{equation}
Заметим, что правая часть неравенства~\eqref{eq301.1} больше или равна правой части неравенства~\eqref{eq7.70}.
В силу леммы~\ref{l7.4} для любого $\kappa_*>0$ такого, что имеет место~\eqref{eq7.26}, выполнено неравенство
%и~\ref{l7.5} существуют $\alpha_0\ge 0$, $\alpha_1, \alpha_2,	\kappa_*>0$ такие, что
%выполнено~\eqref{eq7.2}, где $\nu$ заменено на $(1-\alpha_*)\nu$, ~\eqref{eq7.6} и
$$
E\exp\left(\kappa_*  \nu |\mspace{-1mu}\|A_1u^\omega (t,x,\vartheta)|\mspace{-1mu}\|^2_{0}\right) \le
e^{-\alpha_3 t} E\exp(\kappa_* \nu |\mspace{-1mu}\|A_1\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{0})+\frac{C(\kappa_* , \alpha _3)}{\alpha_3}, \qquad t\ge 0,
$$
где
%$C(\kappa _*, \alpha _3)$ определено в~\eqref{eq7.5},
$\alpha _3>0$~-- произвольное вещественное число.
%Очевидно, что из
%~\eqref{eq7.2}, где $\nu$ заменено на $(1-\alpha_*)\nu$, и $\alpha_1=\alpha_2=0.5\alpha_*$ следует неравенство
%$$
%2\nu -2\alpha_0 - (\alpha_1 + \alpha_2)\nu > 2\alpha_*(1 - \alpha_*)\nu .
%%%%%
%$$
%Заметим, что $\alpha_*(2 - \alpha_1 - \alpha_2)$ не зависит от $\nu$.
Тогда при таких $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$,	$\kappa_*$ и
$|\mspace{-1mu}\|A_1\vartheta|\mspace{-1mu}\|_{0} \le R$
$$
\int_{H^2} F_{r,\kappa_*}(\upsilon) P(t, \vartheta, d\upsilon) \le
e^{-\alpha_3 t} E\exp(\kappa _*\nu R^2)+\frac{C(\kappa _* , \alpha _3)}{\alpha_3}, \qquad t\ge 0.
$$
Отсюда  в силу  очевидного неравенства
$$
F_{r,\kappa}(\vartheta) \le \exp\left(\kappa \nu r^2\right) \quad \text{для любых }\  r, \kappa>0,
$$
и того, что $m$, $P(t, \vartheta, \cdot )$, $t\ge 0$,~-- вероятностные меры, имеем
$$
\int_{H^2}  \left(\int_{H^2}  F_{r,\kappa_*}(\upsilon) P(t, \vartheta, d\upsilon )\right) \, m (d\vartheta)
 \le
\exp\left(\kappa _*\nu r^2\right)m (\{\vartheta \in H^2\colon |\mspace{-1mu}\|A_1\vartheta|\mspace{-1mu}\|_{0}>R\})
$$
$$
+ e^{-\alpha_3 t} E\exp(\kappa _*\nu R^2)+\frac{C(\kappa _*, \alpha _3)}{\alpha_3}, \qquad t\ge 0.
$$
Правую часть равенства ~\eqref{eq7.21} оценили.  Из этой оценки, равенства ~\eqref{eq7.21} получим, переходя к пределу при $t\to+\infty$, неравенство
$$
\int_{H^2} F_{r,\kappa_*}(\vartheta)\, m (d\vartheta)\le \exp\left(\kappa_*\nu r^2\right)m (\{\vartheta \in H^2\colon |\mspace{-1mu}\|A_1\vartheta|\mspace{-1mu}\|_{0}>R\})
+ \frac{C(\kappa _*, \alpha _3)}{\alpha_3}.
$$
Переходя к пределу в этом неравенстве при $R\to +\infty$, будем иметь
$$
\int_{H^2} F_{r,\kappa_*}(\vartheta)\, m (d\vartheta)\le
\frac{C(\kappa _*, \alpha _3)}{\alpha_3}.
$$
Очевидно, что можно взять инфинум по $\alpha_2$ и $\alpha_3$.
% можно выбрать такими, чтобы величина справа в этом неравенстве была наименьшая.
Нетрудно показать, что инфинум правой части равен
${C}(\hat{c}(\kappa _*))$.
Переходя к пределу при $r\to +\infty$ по
лемме Фату
(см., например,~\cite[гл.~II, \S\,6, п.~4, теорема 2,\,a)]{21}), получим~\eqref{eq7.19}. Доказательство оценки~\eqref{eq7.50} полностью аналогично, в качестве
функции $F_{r, \kappa}\colon H^2 \to {\mathbb R}$ при $r, \kappa >0$ необходимо рассмотреть
$$
F_{r,\kappa}(\vartheta) = \left\{
\begin{array}{ll}
\exp\left(\kappa \nu \langle  A_1\vartheta, \vartheta\rangle\right), & \langle  A_1\vartheta, \vartheta\rangle \le r^2,\\
\exp\left(\kappa \nu r^2\right),& \langle  A_1\vartheta, \vartheta\rangle> r^2,
\end{array}
\right.
$$
воспользоваться леммой~\ref{l7.5.5} и учесть, что неравенство~\eqref{eq7.45}, в котором  $\nu$ заменено нулем и знак $<$  заменен на $\le $, равносильно
неравеству $k_0\le 4k_1$. Заметим, что полностью аналогично можно доказать, что
\begin{equation}
\label{eq7.52}
\int_{H^2} |\mspace{-1mu}\|\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{2} \, m (d\vartheta ) < \infty.
\end{equation}
Здесь в качестве
функции $F_{r, \kappa}\colon H^2 \to {\mathbb R}$ при $r, \kappa >0$ необходимо рассмотреть
$$
F_{r,\kappa}(\vartheta) = \left\{
\begin{array}{ll}
|\mspace{-1mu}\|A_1\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{0}, & |\mspace{-1mu}\|A_1\vartheta|\mspace{-1mu}\|_{0}\le r,\\
r^2,& |\mspace{-1mu}\|A_1\vartheta|\mspace{-1mu}\|_{0}> r,
\end{array}
\right.
$$
воспользоваться  леммой 7.4 из~\cite[п.~7.1]{52}, в которой была приведена оценка сверху величины $E|\mspace{-1mu}\|A_1u(t)|\mspace{-1mu}\|_{0}$ при $t\ge 0$,
%, где  решение задачи Коши~\eqref{eq1.1},~\eqref{1.2},~\eqref{4.1},~\eqref{eq4.2}
и воспользоваться рассуждениями в доказательстве леммы~\ref{t4.1}.


Докажем, что выполнена оценка~\eqref{eq7.23}.
Нетрудно показать из доказательства теоремы 2 из~\cite[\S\,4]{2} об оценке на решение задачи Коши~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2},
~\eqref{eq4.1},~\eqref{eq4.2}, рассуждений в доказательстве леммы~\ref{t4.1} и при получении равенства~\eqref{eq7.22}, что решение задачи Коши~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2},~\eqref{eq4.1},~\eqref{eq4.2}   удовлетворяет неравенству
$$
E|\mspace{-1mu}\|A_1u(t)|\mspace{-1mu}\|^2_{0}
 + (2-\beta)\nu E \int _0^t \langle  A_2 u(s), A_1 u(s)\rangle  \, ds
$$
\begin{equation}
\label{eq7.24}
\le E|\mspace{-1mu}\|A_1u_0|\mspace{-1mu}\|^2_{0} + t\Bigl({\rm b}^2
+ \frac{2+\gamma }{2\beta \nu }  |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}\Bigr)
\end{equation}
для любого $\beta \in (0,2)$  и, следовательно, в силу теорем о  монотонной и мажорируемой сходимости (см., например, ~\cite[гл.~II, \S\,6, п.~4, теоремы 1,\,a) и 3]{21}) равенству
$$
E|\mspace{-1mu}\|A_1u(t)|\mspace{-1mu}\|^2_{0} + 2E \int _0^t\langle (\nu A_2 + A_3)u(s), A_1 u(s)\rangle \, ds
$$
\begin{equation}
\label{eq7.25}
 = E|\mspace{-1mu}\|A_1u_0|\mspace{-1mu}\|^2_{0} + 2E \int _0^t \langle f , A_1 u(s)\rangle  \, ds  + t{\rm b}^2
\end{equation}
при $t\ge 0$, если $u_0 \in L_2(\Omega ; H^{2})$~-- $F_0$-измеримая случайная вектор-функция. Рассмотрим стационарную меру $m$ и выберем такие вероятностное пространство $(\Omega ', F', {\mathbb P}')$ и случайный элемент $\upsilon$, определенный на $(\Omega', F', {\mathbb P}')$ со значениями в $H^2$, что его распределение равно $m$ (доказательство существования такого вероятностного пространства и случайного элемента  см., например, в~\cite[гл.~I, \S\,4, задача 6]{50}).
Пополним $F'$. Под \textit{пополнением} $\sigma $-алгебры~$F'$
по вероятностной мере~${\mathbb P}'$ будем понимать наименьшую $\sigma$-алгебру, содержащую все множества из
$F' \cup {\rm N}_{(\Omega', F', {\mathbb P}')}$. Заметим, что наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая некоторую совокупность подмножеств $\Omega'$, всегда существует (доказательство см., например,
~\cite [гл.~II, \S\,2.1, лемма~1]{21}).  Доопределим на пополненной $\sigma$-алгебре вероятностную меру ${\mathbb P}'$ по правилу
${\mathbb P}' ({\mathrm M}_1\cup {\mathrm M}_2):={\mathbb P}' ({\mathrm M}_1)$, где ${\mathrm M}_1 \in F'$ и ${\mathrm M}_2 \in \mathrm N_{(\Omega', F', {\mathbb P}')}$ (корректность
определения см., например, в~\cite[гл.~I, \S\,4]{22} и~\cite[\S\,I.4, предложение I.4.5]{25}). Оставим за пополненным вероятностным пространством то же обозначение.
Очевидно, что на пополненном вероятностном пространстве  случайный элемент $\upsilon$ имеет тоже распределение $m$.
Рассмотрим в~качестве вероятностного пространства $(\mathbf{\Omega},\mathbf {F},\pmb {\mathbb P})$ прямое произведение вероятностных пространств    $(\Omega, F, {\mathbb P})$ и $(\Omega', F', {\mathbb P}')$ (см. определение прямого произведения вероятностных пространств, например, в~\cite[гл.~I, \S\,4, п.~1]{49}). Мы будем считать такое прямое произведение полным пространством. Если это не так, то пополним его аналогично тому, как мы пополнили пространство  $(\Omega ', F', {\mathbb P}')$.  Элементы множества $\mathbf{\Omega}$ будем обозначать ${\boldsymbol \omega}=(\omega ,\omega')$, где $\omega \in \Omega$, $\omega' \in \Omega'$. Рассмотрим задачу Коши~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2},~\eqref{eq4.1},~\eqref{eq4.2} на $(\mathbf{\Omega},\mathbf {F},\pmb {\mathbb P})$, где
$$
u_0^{\boldsymbol \omega}:= \upsilon^{\omega'},
%\qquad \eta ^{\boldsymbol \omega}:= \eta ^{\omega}
\qquad \eta ^{\boldsymbol\omega} (t, x):=\frac{\partial}{\partial t}\zeta ^{\boldsymbol \omega}(t,x),
$$
$$
\zeta ^{\boldsymbol \omega}(t,x):= \sum_ {i=1}^{\infty} b_i \beta_i^{\boldsymbol \omega} (t)E_i := \sum_ {i=1}^{\infty} b_i \beta_i^{\omega} (t)E_i.
$$
Очевидно, что случайный элемент $u_0^{\boldsymbol \omega}$ не зависит от случайного элемента  $\zeta ^{\boldsymbol \omega}$ по построению. Рассмотрим следующую фильтрацию на пространстве $(\mathbf{\Omega},\mathbf {F},\pmb {\mathbb P})$:
$$
{\mathbf F}_t:={\mathrm N}_{(\mathbf{\Omega},\mathbf {F},\pmb {\mathbb P})}\cup \sigma \bigl(\{{\mathrm M}\times\Omega '\}_{{\mathrm M}\in F_t}, u_0^{\boldsymbol \omega}\bigr), \qquad t\ge 0
$$
(доказательство того, что ${\mathbf F}_t$ при любом $t\ge 0$~-- $\sigma$-алгебра см., например, в~\cite[\S\,I.4, предложение I.4.5]{25}).
Тогда все условия теоремы 2 из~\cite[\S\,3]{1} о существовании единственного решения задачи Коши выполнены.
В силу теоремы 1 из~\cite[\S\,3]{2}, в частности, решение этой задачи Коши является однородным марковским случайным процессом. Поэтому из теоремы 1 в~\cite[\S\,8.2, п.~1]{28}, свойства 6 из~\cite[п.~4.2.2]{24} и~\eqref{eq3.11},~\eqref{eq3.12} следует, что решение этой задачи Коши является стационарным случайным процессом  (определение см., например, в~\cite[\S\,1.4, п.~3]{28}) с распределением при каждом фиксированном $t\ge 0$ равным вероятностной мере $m$.  Отсюда и из~\eqref{eq7.24}, учитывая~\eqref{eq7.52},
теоремы Фубини (см., например, \cite[гл.~V, \S\,6, п.~4, замечание]{23})
получим, что для почти всех $s\ge 0$ существует $E\langle  A_2 u(s), A_1 u(s)\rangle$ и выполнено неравенство
$$
 \int _0^t E\langle  A_2 u(s), A_1 u(s)\rangle  \, ds
\le \frac{t}{(2-\beta)\nu} \Bigl({\rm b}^2
+ \frac{2+\gamma }{2\beta \nu }  |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}\Bigr)
$$
для любого $\beta\in (0,2)$. Нетрудно найти инфинум правой части последнего неравенства при всех $\beta\in (0,2)$:
\begin{equation}
\label{eq7.60}
 \int _0^t E\langle  A_2 u(s), A_1 u(s)\rangle  \, ds
\le \frac{t}{8\nu}\left(\sqrt{4{\rm b}^2+\frac{2+\gamma }{\nu } |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}}+\sqrt{\frac{2+\gamma }{\nu } |\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}}\right)^2.
\end{equation}
Заметим, что $\sigma_{\mathbb R}$ совпадает с наименьшей $\sigma$-алгеброй, содержащей все интервалы вида $(r_1,r_2]$, $r_1<r_2$ (доказательство см., например, в~\cite[гл.~II, \S\,2, п.~2]{21}). Докажем, что  множество
$$
{{\rm M}}_{r_1, r_2}=\{\vartheta \in H^3\colon r_1<|\mspace{-1mu}\|\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_3\le r_2\}
$$
при любых $r_1$, $r_2$ таких, что $0\le r_1< r_2$, является  борелевским  в $H^2$.
%В силу непрерывности вложения $H^3$ в $H^2$
 Поскольку дополнение к открытому множеству является замкнутым множеством и наоборот, в силу  определения борелевской $\sigma$-алгебры  следует, что $\sigma _{H^2}$ совпадает с наименьшей
$\sigma$-алгеб\-рой, содержащей все замкнутые множества из $H^2$. Заметим, что имеет место равенство
\begin{equation}
\label{eq7.30}
{\rm M}_{r_1, r_2}=\left((B_{H^3}(\sqrt{r_2}))^c\cup B_{H^3}(\sqrt{r}_1)\right)^c ,\qquad 0\le r_1< r_2,
\end{equation}
где $\cdot ^c={\mathrm M}\setminus \cdot $~-- дополнение к~подмножеству $\cdot$ множества ${\mathrm M}$, в нашем случае ${\mathrm M}=H^2$.
%%%%%%
Из доказательства леммы 1.6  в~\cite[гл.~I, \S\,3]{15}, теоремы 1 в~\cite[п.~17.1.1]{24} и~\cite[гл.~III, \S\,5, п.~2]{23} следует, что $B_{{H}^3}(R)$~--
компактное множество в~${H}^2$ при любом $R\ge 0$ и, следовательно, замкнутое, то есть борелевское. Поэтому по определению $\sigma$-алгебры из~\eqref{eq7.30} и
получим, что ${{\rm M}}_{r_1, r_2}$, $0\le r_1< r_2$,~-- борелевское множество в $H^2$.
%Поскольку $H^3$ можно представить в виде объединения счетного числа шаров
%$B_{{H}^3}(n)$, $n=1,2, \ldots$, то $H^3$ также является борелевским множеством в $H^2$.
Тогда в силу теоремы 1 из~\cite[п.~3.1.1]{24}
 функция $|\mspace{-1mu}\|\cdot |\mspace{-1mu}\|^2_{3}\colon H^3 \subset H^2 \to {\mathbb R}$ является $\sigma_{H^2}$-измеримой и, следовательно, функция
 $\langle  A_2 \cdot, A_1 \cdot\rangle \colon H^3 \subset H^2 \to {\mathbb R}$
является $\sigma_{H^2}$-измеримой. В частности, $H^3$ является борелевским множеством в $H^2$.
Из существования $E\langle  A_2 u(s), A_1 u(s)\rangle$ для почти всех $s\ge 0$,~\eqref{eq7.60} и
 теоремы 7 из~\cite[гл.~II, \S\,6, п. 9]{21}
% и определения распределения нетрудно получить, что
%$m(H^3)=1$ и, следовательно,
\begin{equation}
\label{eq701.61}
 \int_{H^3} \langle A_2\vartheta, A_1 \vartheta\rangle  \, m (d\vartheta )
\le  \hat{C}.
\end{equation}
% и определения распределения
Из определения распределения  и того, что почти все траектории случайного процесса $u(t)$, $t \ge 0$, принадлежат $\varkappa $, нетрудно получить, что
$m(H^3)=1$, и, следовательно,
\begin{equation}
\label{eq7.61}
m(H^2 \setminus H^3)=0.
\end{equation}
%семейство всех отрезков на ${\mathbb R}$ с  рациональными концами является замкнутой базой пространства ${\mathbb R}_+$, т.е. каждое замкнутое  множество в ${\mathbb R}_+$ может быть получено пересечением элементов данной базы (подробнее см., например, ~\cite[гл.~1, \S\, 5, п.~XI]{17}). Следовательно, $\sigma_{\mathbb R}_+$
%функция $|\mspace{-1mu}\|\cdot |\mspace{-1mu}\|^2_{3}\colon H^2 \to {\mathbb R}_+$ является $\sigma_{H^2}$-измеримой, поскольку
%прообраз каждого отрезка на {\mathbb R}_+ с рациональными концами является замкнутым множеством в $H^2$ и, следовательно,
%в~силу непрерывности вложения~$H^3$ в~$H^2$
%она является непрерывной, как действующая из $H^3$ в ${\mathbb R}$, и, следовательно,  $\sigma_{H^3}$-измеримой (см., например, определение 3 и следующий за ним абзац в~\cite[п.~3.1.1]{24}), и в силу того, что $\sigma_{H^3}\subset \sigma_{H^2}$.
%следует из того, что в сепарабельном метрическом пространстве всегда существует счетная база, состоящая из открытых шаров. Докажем, что каждый открытый шар из $H^3$ принадлежит $\sigma_{H^2}$. Поскольку дополнение к открытому шару в пространстве $H^3$ это замкнутое множество, то
%Действительно, докажем, что имеет место вложение $\sigma_{H^3}\subset \sigma_{H^2}$. Очевидно, что замкнутое множество $\Gamma \in H^3$ можно аппроксимировать при  $n\to \infty $ замкнутыми множествами $\Gamma _n\in H^3$,
%$n=1,2,\dots$, где
%$$
%\Gamma _n = \bigcap_{\upsilon \in \Gamma} \left\{ \vartheta \in H^3: |\mspace{-1mu}\|\upsilon -  \vartheta |\mspace{-1mu}\|_2 \le \frac{1}{n}
%\right\}, \qquad
%n = 1, 2, \dots.
%$$
%Поскольку в сепарабельном метрическом пространстве всегда существует счетная база, состоящая из открытых шаров, то в силу замечания к теореме Линделёфа в~\cite[гл.~I, \S\, 5, п.~XI]{17} существует счетная последовательность $\{\upsilon_k\}_{k=1}^\infty$, $\upsilon_k\in \Gamma$, такая, что
%$$
%\Gamma _n = \bigcap_{k=1}^\infty \left\{ \vartheta \in H^3: |\mspace{-1mu}\|\upsilon_k -  \vartheta |\mspace{-1mu}\|_2 \le \frac{1}{n}
%\right\}, \qquad
%n = 1, 2, \dots.
%$$
%Поскольку любое ограниченное множество
%из~$H^3$ компактно в~$H^2$ (доказательство см.,
%например,~\cite[гл.~I, \S\,3, лемма~1.6]{15}), то  любой замкнутый шар в $H^3$ является
%компактным множеством в~$H^2$ и, следовательно, замкнутым (см., например, ~\cite[п.~1.2.3, первый абзац, и п.~1.2.1, аксиома 4]{24}). В силу того, что дополнение к открытому множеству замкнуто, все замкнутые множества $H^2$ принадлежат  $\sigma_{H^2}$. Тогда любой замкнутый шар в $H^3$ принадлежит $\sigma_{H^2}$. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто, поэтому $\Gamma _n \in \sigma_{H^2}$ при любом $n=1,2,\ldots$ и, следовательно,
%$$
%\Gamma = \bigcap_{n=1}^\infty \Gamma_n \in \sigma_{H^2}.
%$$
%то $\Gamma $ замкнуто в $H^2$, т.е. любое замкнутое множество в $H^3$ принадлежит  $\sigma_{H^2}$.
%Поскольку дополнение к открытому множеству является замкнутым множеством, в силу  определения борелевской $\sigma$-алгебры  следует, что  $\sigma _{H^3}$ совпадает с наименьшей
%$\sigma$-алгеб\-рой, содержащей все замкнутые множества из  $H^3$. Тогда по утверждению 1 из~\cite[п.2.1.2]{24}  $\sigma_{H^3}\subset \sigma_{H^2}$.
% и и теоремы  6 из~\cite[гл.~II, \S\,5, п.~5]{23} полный прообраз любого открытого множества в ${\mathbb R}$ при отображении $\psi$ является открытым в $H^3$ и в
%%%%%%
%замкнутый шар в~пространстве~$H^3$ является замкнутым множеством
%в~пространстве~$H^2$  и   в силу  определения борелевской $\sigma$-алгебры  следует, что $\sigma _{H^2}$ совпадает с наименьшей
%$\sigma$-алгеб\-рой, содержащей все замкнутые множества из $H^2$, поскольку  дополнение к открытому множеству является замкнутым множеством.
Поэтому из~\eqref{eq701.61} и ~\eqref{eq7.61}
%, теоремы 7 из~\cite[гл.~II, \S\,6, п. 9]{21}
следует  неравенство~\eqref{eq7.23}. Рассуждая аналогично, из~\eqref{eq7.25} получим равенство~\eqref{eq7.27}. Полностью аналогично доказываются неравенство~\eqref{eq7.47}
и равенство~\eqref{eq7.48}. Отметим лишь, что
%некоторые отличия от доказательства леммы~\ref{l7.4}.
в теореме~\ref{theor1}  необходимо рассмотреть пространства $H=H^{-1}$, $V=H^0$,  функционал $F (t, v)=\langle A_1^{-1}v, v\rangle $, вместо $V^*$ рассмотреть пространство $H^{-2}$  и в~качестве случайного процесса $u(t)$, $t\ge 0$, взять процесс Ито в $H^{-2}$  с~постоянной диффузией $A_1 u(t)$, $t\ge 0$. А также при построении доказательства необходимо учесть равенство~\eqref{eq7.51}.


Теорема~\ref{l7.6} доказана.

\subsection{Доказательство следствия~\ref{c1}}
\label{s7.102}
Неравенство~\eqref{eq8.10} сразу следует из  неравенств~\eqref{eq7.47} и~\eqref{eq7.15}.

Докажем неравенство~\eqref{eq8.20}.
Заметим, что пространство $h^{3}$
является гильбертовым, если в нем ввести
 скалярное произведение
$$
(\psi,\theta)_{3}=\bigl((-\Delta)^{3/2} \psi, (-\Delta)^{3/2}\theta \bigr).
%\qquad
%p\in \mathbb Z\setminus \{0\}.
$$
Тогда, разложив $\psi$ по ортонормированному базису
$$
e_{3i}=\lambda _i^{-3/2}e_i,
\qquad
 i=1, 2, \ldots,
$$
пространства $h^{3}$,
 нетрудно получить неравенство
$$
\|\psi \|^2_2 \le \|\psi \|_1 \|\psi \|_3 \quad \text{для любого }\ \psi \in h^3.
$$
Отсюда и неравенства Коши--Буняков\-ского
%для вещественнозначных случайных величин $\xi,\chi \geqslant 0$
%\begin{equation}
%\label{eq8.35}
%E\xi \chi \leqslant \sqrt{E\xi^2} \sqrt{E\chi^2}
%\end{equation}
будем иметь
\begin{equation}
\label{eq8.40}
 \int_{H^2} |\mspace{-1mu}\|\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{2} \, m (d\vartheta ) \le \sqrt{\int_{H^2} |\mspace{-1mu}\|\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{1} \, m (d\vartheta )}\sqrt{\int_{H^2} |\mspace{-1mu}\|\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{3} \, m (d\vartheta )}.
\end{equation}
В силу~\eqref{eq7.48} имеем
\begin{equation}
\label{eq8.50}
\int_{H^2} |\mspace{-1mu}\|\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{2} \, m (d\vartheta )
=  {\rm c}_1+\frac{1}{\nu}\int_{H^2} \langle f ,  \vartheta\rangle \, m (d\vartheta ) -
\frac{1}{\nu}\int_{H^2} \langle  A_3\vartheta,  \vartheta\rangle \, m (d\vartheta ).
\end{equation}
Нетрудно показать из
неравенства~\eqref{eq7.15}, что
\begin{equation}
\label{eq8.60}
\langle A_3 \psi, \psi\rangle \le {\rm c_3} |\mspace{-1mu}\|\psi|\mspace{-1mu}\|^2_{1} \quad \text{для любого }\ \psi \in H^1.
\end{equation}
Из~\eqref{eq3.1} при $p=1$ и неравенства Коши--Буняковского получим
\begin{equation}
\label{eq8.70}
\left|\int_{H^2} \langle f ,  \vartheta\rangle \, m (d\vartheta ) \right|\le
|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|_{-1}\sqrt{\int_{H^2} |\mspace{-1mu}\|\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{1} \, m (d\vartheta )}.
\end{equation}
Тогда из~\eqref{eq7.23},~\eqref{eq8.40},~\eqref{eq8.50},~\eqref{eq8.60} и~\eqref{eq8.70} следует
$$
{\rm c}_1-\frac{1}{\nu}|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|_{-1}\sqrt{\int_{H^2} |\mspace{-1mu}\|\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{1} \, m (d\vartheta )} -
\frac{{\rm c_3}}{\nu}\int_{H^2} |\mspace{-1mu}\|\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{1} \, m (d\vartheta )
$$
$$
\le \left({\rm c}_2-\frac{1}{\nu}|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|_{-1}\right)\sqrt{\int_{H^2} |\mspace{-1mu}\|\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{1} \, m (d\vartheta )}.
$$
Отсюда, решив квадратное неравенство относительно
$\sqrt{\int_{H^2} |\mspace{-1mu}\|\vartheta|\mspace{-1mu}\|^2_{1} \, m (d\vartheta )}$, получим~\eqref{eq8.20}.

Следствие~\ref{c1} доказано.

%\label{s7.4}


\section{Интегральные свойства стационарных мер
для некоторых других моделей атмосферы}
\label{s11}

Заметим, что в~\cite[гл.~VI, \S\,1]{37} и~\cite{38} рассматривалась
немного иная двухслойная модель бароклинной атмосферы
на вращающейся единичной двумерной сфере~$S$ с~центром в~нуле. Система уравнений
этой модели после обезразмеривания отличается от системы~\eqref{eq1.1}
только оператором~$A_3$. А именно, в~\cite[гл.~VI, \S\,1]{37} и~\cite{38}
оператор~$A_3$ имел следующий вид:
$$
\widehat{A}_3=\begin{pmatrix}
-k_0\Delta & k_0\Delta
\\
k_0\Delta & -(k_0+k_1)\Delta+\rho I
\end{pmatrix}.
$$
Для системы~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2}, где оператор~$A_3$ заменен
на оператор~$\widehat{A}_3$, в ~\cite[\S\,4]{2} было доказано:
в теореме 4  -- существование стационарной меры,   в замечании 2  -- существование инвариантной меры, когда мы рассматриваем детерминированный случай.
А также, для этой системы в~теореме~7.1 из~\cite[\S\,7]{3}  был доказан
результат о~единственности стационарной меры.  В~теореме~11.1 из~\cite[\S\,11]{52}   этот результат был несколько усилен и  была получена экспоненциальная оценка на скорость сходимости распределений всех решений с начальным условием из $H^2$ указанной системы к~стационарной мере при $t\to+\infty$. (При этом  решение определялось аналогично определению~\ref{defin1} решения  для системы~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2}.) Заметим, что диапазон на числовые параметры, при которых получены эти результаты, можно несколько расширить. Полностью аналогично доказательству леммы~\ref{t4.1}  с~учетом замечания~3 из~\cite[\S\,3]{1}, теоремы~4  и замечания 2 из~\cite[\S\,4]{2},  теоремы~7.1 из~\cite[\S\,7]{3}, теоремы 11.1 из~\cite[\S\,11]{52} и доказательства теоремы 6.3 из~\cite[п.~6.3]{52} доказывается следующий результат. Отметим, что в нем $f$ не зависит от $\omega$.


\begin{lemma}
\label{t11.1}
{\rm I}. Пусть выполнены
все условия теоремы 4 из~\cite[\S\,4]{2}, за исключением оценки сверху на $k_0$,
вместо нее будем использовать оценку сверху
\begin{equation}
\label{eq17.1}
k_0<\frac{2}{\gamma^2}\Bigl(\widehat{\chi}+8\nu (1+\gamma)+\sqrt{(\widehat{\chi}+8\nu(1+\gamma))^2+2\nu\gamma^2(\widehat{\chi}+ 4\nu\gamma)}\Bigr),
\end{equation}
где $\widehat{\chi}=2k_1(2+\gamma)+\rho(2+\gamma)+8\nu$, тогда выполнены
все утверждения теоремы 4 из~\cite[\S\,4]{2} о существовании стационарной меры.

{\rm II}. Пусть выполнены
 все условия замечания 2  ~\cite[\S\,4]{2} для системы~\eqref{eq1.1}, ~\eqref{eq1.2},~\eqref{eq4.2},  где оператор~$A_3$ заменен
на оператор~$\widehat{A}_3$, за исключением оценки сверху на $k_0$,
вместо нее будем использовать оценку сверху~\eqref{eq17.1}, тогда выполнены
все утверждения замечания 2  ~\cite[\S\,4]{2}   о существовании инвариантной меры для  этой системы, когда рассматривается частный случай --  $\{b_i\}_{i=1}^{\infty}=\mathbf{0}$, т. е. система  детерминирована.

{\rm III}. Пусть выполнены
  все условия теоремы 11.1 из~\cite[\S\,11]{52}, за исключением оценки сверху на $k_0$,
вместо нее будем использовать оценку сверху~\eqref{eq17.1}, тогда выполнены все утверждения
% из~\cite[п.~6.3]{52}
 теорем 6.3, где вместо оператора $A_3$ рассматриваем оператор  $\widehat{A}_3$, и  11.1
%из~\cite[\S\,4]{52}
из~\cite{52}
о единственности стационарной меры и  сходимости к  ней при $t\to+\infty$.
\end{lemma}


Полностью аналогично доказательству теоремы~\ref{l7.6} и следствия~\ref{c1} с~учетом замечания~3 из~\cite[\S\,3]{1}, теоремы~4 из~\cite[\S\,4]{2}
%, теоремы~7.1 из~\cite[\S\,7]{3}, теоремы 11.1 из~\cite[\S\,11]{52}
и леммы~\ref{t11.1} доказывается следующий результат об интегральных свойствах стационарных мер семейства решений задач Коши для системы~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2}, где оператор~$A_3$ заменен на оператор~$\widehat{A}_3$.


\begin{theorem}
\label{t10.1}
Пусть выполнены все условия теоремы~\ref{l7.6}, за исключением оценок сверху~\eqref{eq4.4} и~\eqref{eq7.70} на $k_0$, вместо них будем использовать соответственно оценку сверху~\eqref{eq17.1} и
\begin{equation}
\label{eq12.1}
k_0\le \frac{4(2+\gamma)(2k_1+\rho)}{\gamma^2}.
\end{equation}
Тогда выполнены все утверждения теоремы~\ref{l7.6} для семейства решений задач Коши для системы~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2}, где оператор~$A_3$ заменен на оператор~$\widehat{A}_3$.
\end{theorem}

Заметим, что в условиях теоремы~\ref{t10.1} стационарная мера существует по лемме~\ref{t11.1}.

\begin{corollary}
\label{c2}
Для семейства решений задач Коши для системы~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2}, где оператор~$A_3$ заменен на оператор~$\widehat{A}_3$, выполнены все утверждения следствия~\ref{c1}, если в формулировке следствия~\ref{c1} вместо неравенства~\eqref{eq7.70} использовать неравенство~\eqref{eq12.1} и вместо
величины $c_3$ величину
$$
\widehat{{\rm c}}_3=\frac{1}{2}\left(2k_0+k_1+\frac{\rho}{2}+\sqrt{\left(k_1+\frac{\rho}{2}\right)^2+4k^2_0}\right).
$$
\end{corollary}

\begin{remark}
\label{r1}
Замечания~\ref{rem} и~\ref{r} выполнены для системы~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2}, где оператор~$A_3$ заменен на оператор~$\widehat{A}_3$, за исключением неравенства~\eqref{eq200.204}. Вместо неравенства~\eqref{eq200.204} будем иметь неравенство
$$
\left(\sqrt{{\rm c}_2^2+ \frac{4}{\nu }{\rm c}_1 \widehat{{\rm c}}_3 } + {\rm c}_2\right)^{2} \le \frac{4}{\nu}{\rm b}^2 +
\frac{2}{\nu ^2} (4k_0+2k_1+\rho)\sum_{i=1}^\infty b_i^2 \langle A^{-1}_1 E_i, E_i \rangle
$$
$$
+(22+3\gamma )
\frac{1}{\nu ^2}|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}.
$$
Заметим, что инвариантная мера существует по лемме~\ref{t11.1}.
\end{remark}


В~\cite[гл.~III]{37},~\cite{39} рассматривалось следующее уравнение
баротропной атмосферы, заданное на вращающейся двумерной единичной сфере~$S$
с~центром в~нуле:
\begin{equation}
\label{eq11.1}
\biggl(-\frac{\partial}{\partial t}\Delta+\gamma I\biggr)
u+\nu\Delta^2 u -k_0\Delta u+J(\Delta u+2\mu,u)=g,
\qquad
t>0,
\end{equation}
где $u$~-- неизвестная функция и $g$~-- внешняя сила.
Рассмотрим в~качестве правой части~\eqref{eq11.1} случайную функцию
\begin{equation}
\label{eq11.2}
g=f+\eta,
\end{equation}
где детерминированная часть внешней силы~$f(x)$ принадлежит пространству~$h^{-1}$,
белый шум по~$t$ имеет вид
\begin{equation}
\label{eq16.1}
\eta^{\omega}(t,x)=\frac{\partial}{\partial t}\zeta ^{\omega} (t,x),
\qquad
\zeta^{\omega}(t,x)=\sum_{i=1}^{\infty}b_i\beta_i^{\omega}(t)e_i,
\end{equation}
 $\{e_i\}_{i=1}^\infty$~-- ортонормированный базис пространства~$h^0$,
$\{b_i\}_{i=1}^\infty $ и $\{\beta_i^{\omega}(t)\}_{i=1}^{\infty}$,
\linebreak $t\geqslant 0$,~-- %!!!!!!!!!!!
последовательности из~\eqref{eq4.2}. Для уравнения~~\eqref{eq11.1},~\eqref{eq11.2} в ~\cite[\S\,4]{2} при $\gamma=0$ было доказано:
в теореме 5  -- существование стационарной меры,   в замечании 2  -- существование инвариантной меры, когда мы рассматриваем детерминированный случай. В теореме 7.2 из~\cite[\S\,7]{3} для уравнения~\eqref{eq11.1},~\eqref{eq11.2} при $\gamma=0$ был доказан результат о~единственности стационарной меры, а в теореме 11.2 из~\cite[\S\,11]{52} был немного усилен этот результат и распространен на всю полуось $\gamma \ge 0$, а также была получена
экспоненциальная оценка на скорость сходимости распределений всех решений с начальным условием из $h^2$ указанного уравнения к~стационарной мере при $t\to+\infty$. (При этом  решение определялось аналогично определению~\ref{defin1} решения  для системы~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2}.)
%(При этом класс решений определялся аналогично классу решений в~теореме~4.1 из~\cite[\S\,4]{52} для системы~\eqref{eq1.1},~\eqref{eq1.2}.)
Заметим, что аналог теоремы 6.3 из~\cite[п.~6.3]{52} выполнен  для уравнения~\eqref{eq11.1},~\eqref{eq11.2}.
Рассуждая аналогично доказательству теоремы~\ref{l7.6} и следствия~\ref{c1}, учитывая
%теорему~7.2 из~\cite[\S\,7]{3},
теорему~5
из~\cite[\S\,4]{2} и замечание~4 из~\cite[\S\,3]{1}
при $\gamma=0$ (которые полностью аналогично доказываются при тех же условиях при $\gamma >0$),
% и теорему 11.2 из~\cite[\S\,11]{52},
получим, что для уравнения~\eqref{eq11.1},~\eqref{eq11.2}
справедлив следующий результат об интегральных свойствах стационарных мер.



\begin{theorem}
\label{t17}
%Пусть $\alpha_0 \ge 0$, $\alpha_1,\alpha_2>0$~-- произвольные вещественные числа такие, что выполнено ~\eqref{eq7.1}.
Пусть $\alpha_*\in [0,2)$~-- произвольное вещественное число.
Для любых $\nu >0$, $\gamma, k_0 \ge 0$,  $\{b_i\}_{i=1}^{\infty}\in l^+_2$
и $f\in h^{-1}$
существует стационарная мера
$m \in {\mathrm P}(h^2)$ для
уравнения~\eqref{eq11.1},~\eqref{eq11.2}.
%семейства $\{u^{\omega}(t,x,\vartheta),\, t\ge 0\}_{\vartheta \in H^2}$.
%Кроме того,
%\begin{equation}
%\label{eq7.3}
% \frac{2+\gamma }{4}  \left(\sup _{i\ge 1} b_i\right)^2 \kappa <2,
%\end{equation}
Кроме того, любая стационарная мера  $m \in {\mathrm P}(h^2)$ уравнения~\eqref{eq11.1},~\eqref{eq11.2} удов\-лет\-во\-ряет неравенствам
\begin{equation}
\label{eq14.23}
 \int_{h^2} \left(\|\vartheta\|^2_3+ \gamma \|\vartheta \|^2_2\right) \, m (d\vartheta )
\le  \hat{\check{C}},
\end{equation}
%\frac{1}{(2-\alpha_*)\nu}\Bigl({\rm b}^2+\frac{2+\gamma }{2\alpha_* \nu } E|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1} \Bigr),
\begin{equation}
\label{eq14.47}
 \int_{h^2} \|\vartheta\|^2_{2}  \, m (d\vartheta )
\le \check{\check{C}},
\end{equation}
% \frac{1}{(2-\alpha_*)\nu}\Bigl(\sum_{i=1}^\infty b_i^2 |\mspace{-1mu}\|E_i|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}+\frac{1}{\alpha_* \nu } E|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-2} \Bigr),
где
$$
\hat{\check{C}}=\frac{1}{8\nu}\left(\sqrt{4{\rm b}^2+\frac{2+\gamma }{\nu } \|f\|^2_{-1}}+\sqrt{\frac{2+\gamma }{\nu }} \|f\|_{-1}\right)^2,
$$
$$
\check{\check{C}}=
\frac{1}{4\nu}\left(\sqrt{2\sum_{i=1}^\infty b_i^2 ((-\Delta + \gamma I)^{-1}e_i, e_i)+
\frac{1}{ \nu } \|f\|^2_{-2}
}+\frac{1}{ \sqrt{\nu }} \|f\|_{-2}\right)^2,
$$
${\mathrm b}$ определено в~\eqref{eq3.3},
 %Пусть $\alpha_*\in [0,2)$~-- произвольное вещественное число.
 %При тех же условиях, за исключением того, что  $f\in  h^{-1}$~-- детерминированная вектор-функция, любая стационарная мера  $m \in {\mathrm P}(h^2)$
удовлетворяет
равенствам
$$
%\label{eq7.27}
 \nu \int_{h^2} \left(\|\vartheta\|^2_3+ \gamma \|\vartheta \|^2_2\right) \, m (d\vartheta )
=  \frac{{\rm b}^2}{2}+\int_{h^2} (f , (-\Delta +\gamma I) \vartheta ) \, m (d\vartheta ),
$$
$$
%\label{eq7.48}
 \nu \int_{h^2} \|\vartheta\|^2_2\, m (d\vartheta )
=  \frac{1}{2}\sum_{i=1}^\infty b_i^2 ((-\Delta + \gamma I)^{-1}e_i, e_i) +\int_{h^2} (f ,  \vartheta) \, m (d\vartheta ),
$$
и для любого вещественного числа
$\kappa _*>0$ такого, что
$$
%\label{eq7.26}
 \frac{2+\gamma }{2}  \left(\sup _{i\ge 1} b_i\right)^2 \kappa_*\le \alpha_*,
$$
%при тех же условиях для любой стационарной меры  $m \in {\mathrm P}(h^2)$ уравнения~\eqref{eq11.1},~\eqref{eq11.2} выполнены неравенства
удовлетворяет неравенствам
\begin{equation}
\label{eq14.19}
\int_{h^2} \exp\left(\kappa _*\nu \|(-\Delta + \gamma I)\vartheta\|^2_{0}\right)\,m (d\vartheta) \le
{C}(\hat{\check{c}}(\kappa_*)),
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq14.50}
\int_{h^2} \exp\left(\kappa _*\nu  ((-\Delta + \gamma I)\vartheta,  \vartheta ) \right)\,m (d\vartheta) \le
{C}(\check{\check{c}}(\kappa_*)),
\end{equation}
где ${C}(y)$ определено в~\eqref{eq13.1},
$$
\hat{\check{c}} (\kappa_*) = \frac{(2+\gamma)\kappa_*}{4(2-\alpha_*)^2}\left(
\sqrt{(2-\alpha_*){\mathrm b}^2 + \frac{2+\gamma}{2\nu} \|f\|^2_{-1}}+ \sqrt{\frac{2+\gamma}{2\nu}} \|f\|_{-1}\right)^2,
$$
%для любого вещественного числа
%$\kappa _*>0$ такого, что
%\begin{equation}
%\label{eq7.49}
% \frac{1}{2}  \left(\sup _{i\ge 1} b_i\right)^2 \kappa_*\le \alpha_* \alpha_{**},
%\end{equation}
$$
\check{\check{c}}(\kappa_*) = \frac{(2+\gamma)\kappa_*}{4(2-\alpha_*)^2}\left(\sqrt{(2-\alpha_*)\sum_{i=1}^\infty b_i^2 ((-\Delta + \gamma I)^{-1}e_i, e_i) + \frac{1}{\nu} \|f\|^2_{-2}}+\frac{1}{\sqrt{\nu}} \|f\|_{-2}\right)^2.
$$
\end{theorem}


\begin{corollary}
\label{c17}
%Пусть $\alpha_*\in (0,2)$, $\alpha _{**}\in (0,1)$~-- произвольные вещественные числа.
Для любых $\nu >0$, $\gamma, k_0 \ge 0$,  $\{b_i\}_{i=1}^{\infty}\in l^+_2$
и  $f\in h^{-1}$
любая стационарная мера  $m  \in {\mathrm P}(h^2)$ удов\-лет\-во\-ряет неравенствам
\begin{equation}
\label{eq14.10}
 \int_{h^2} \|\vartheta\|^2_{1} \, m (d\vartheta )
\le  \check{\rm c}_0,
\end{equation}
% При тех же условиях, за исключением того, что  $f\in  h^{-1}$~-- детерминированная вектор-функция, любая стационарная мера  $m \in {\mathrm P}(h^2)$
%удовлетворяет
\begin{equation}
\label{eq14.20}
 \int_{h^2} \|\vartheta\|^2_{1} \, m (d\vartheta )
\ge \left(\frac{\check{\rm c}_1}{\check{\rm c}_2}\right)^2,
\end{equation}
где
$$
\check{\rm c}_0=\frac{1}{8\nu}\left(\sqrt{2\sum_{i=1}^\infty b_i^2((-\Delta + \gamma I)^{-1}e_i, e_i)+
\frac{1}{ \nu } \|f\|^2_{-2}
}+\frac{1}{ \sqrt{\nu }} \|f\|_{-2}\right)^2,
$$
$$
%\label{eq8.25}
\check{\rm c}_1=\frac{1}{2\nu} \left(\sum_{i=1}^\infty b_i^2 ((-\Delta + \gamma I)^{-1}e_i, e_i)\right),
$$
$$
%\label{eq8.26}
\check{\rm c}_2= \sqrt{\frac{{\rm b}^2}{2\nu}+\left(\sqrt{\frac{2+\gamma}{8}}\frac{1}{\nu}\|f\|_{-1}\right)^2}+ \left(1+ \sqrt{\frac{2+\gamma}{8}}\right)\frac{1}{\nu}\|f\|_{-1}.
$$
В неравенстве~\eqref{eq14.20} считаем, что $f$ и $\{b_i\}_{i=1}^\infty $ таковы, что не выполняется одновременно $f=0$ и $b_i=0$ для всех $i=1,2,\ldots$.
\end{corollary}

\begin{remark}
\label{rem2}
В условиях теоремы~\ref{t17} константы в неравенствах \eqref{eq14.23}, \eqref{eq14.47}, \eqref{eq14.19} и \eqref{eq14.50} можно упростить, оценив их сверху, используя  неравенства~\eqref{eq200.201}:
%\begin{equation}
%\label{eq7.23}
$$
\hat{\check{C}}
\le \frac{1}{\nu}{\rm b}^2+\frac{2+\gamma }{2\nu^2 } \|f\|^2_{-1},
% \frac{1}{8\nu}\left(\sqrt{4{\rm b}^2+\frac{2+\gamma }{\nu } E|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}}+\sqrt{\frac{2+\gamma }{\nu } E|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}}\right)^2,
%\frac{1}{(2-\alpha_*)\nu}\Bigl({\rm b}^2+\frac{2+\gamma }{2\alpha_* \nu } E|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1} \Bigr),
%\end{equation}
$$
%\begin{equation}
%\label{eq7.47}
$$
\check{\check{C}}
\le \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^\infty b_i^2  ((-\Delta + \gamma I)^{-1} e_i, e_i) +
\frac{1}{ \nu ^2} \|f\|^2_{-2},
% \frac{1}{(2-\alpha_*)\nu}\Bigl(\sum_{i=1}^\infty b_i^2 |\mspace{-1mu}\|E_i|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}+\frac{1}{\alpha_* \nu } E|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-2} \Bigr),
%\end{equation}
$$
$$
\hat{\check{c}} (\kappa_*)\le \frac{(2+\gamma)\kappa_*}{2}\left(\frac{1}{2-\alpha_*}{\mathrm b}^2+\frac{2+\gamma}{(2-\alpha_*)^2\nu}\|f\|^2_{-1}\right),
$$
$$
\check{\check{c}}(\kappa_*)\le \frac{(2+\gamma)\kappa_*}{2}\left(\frac{1}{2-\alpha_*}\sum_{i=1}^\infty b_i^2
((-\Delta + \gamma I)^{-1}e_i, e_i)  + \frac{2}{(2-\alpha_*)^2\nu} \|f\|^2_{-2}\right),
$$
$C(y)$ была оценена в~\eqref{eq200.210}.
В условиях следствия~\ref{c17} константы в неравенствах \eqref{eq14.10} и \eqref{eq14.20} можно упростить, оценив их сверху, используя  неравенства~\eqref{eq200.201}:
$$
\check{\rm c}_0 \le \frac{1}{2\nu}\left(\sum_{i=1}^\infty b_i^2 ((-\Delta + \gamma I)^{-1} e_i, e_i) +
\frac{1}{ \nu } \|f\|^2_{-2}\right),
$$
$$
\check{\rm c}_2^2 \le \frac{1}{\nu}{\rm b}^2
+(6+\gamma )
\frac{1}{\nu ^2}|\mspace{-1mu}\|f|\mspace{-1mu}\|^2_{-1}.
$$
\end{remark}



\begin{remark}
{\rm I}. Правые части оценок~\eqref{eq14.23},~\eqref{eq14.47},~\eqref{eq14.19},~\eqref{eq14.50},~\eqref{eq14.10},~\eqref{eq14.20}  не зависят от $\nu$, если $f \sim \nu$ и $b_i \sim \sqrt{\nu}$, $i=1,2,\ldots$.

{\rm II}. Оценка снизу~\eqref{eq14.20} обращается в нуль тогда и только тогда, когда $b_i =0$, $i=1,2,\ldots$ (т. е. рассматривается  невозмущенное белым шумом уравнение).

{\rm III}. Теорема~\ref{t17} и следствие~\ref{c17}
включает в себя детерминированный случай, когда  $\{b_i\}_{i=1}^{\infty}=\mathbf{0}$. В этом случае мы получим оценки и равенства для любой \textit{инвариантной меры} $m \in {\mathrm P}(h^2)$:
$$
m (\{u_0\in h^2: u(t,x,u_0) \in \Gamma\})=m (\Gamma) \quad \text{для любых }\
\Gamma \in \sigma_{h^2}\ \text{ и }\ t\ge 0
$$
(здесь $u(t,x,u_0)$~-- решение задачи Коши для детерминированного уравнения~\eqref{eq11.1},~\eqref{eq11.2}
 с начальным условием $u(0)=u_0 \in h^2$).
А также в детерминированном случае будет выполнено утверждение пункта  {\rm I}, если $f \sim \nu$, и оценка снизу~\eqref{eq14.20} обратится в нуль.
\end{remark}
%^
\begin{remark}
Заметим, что в~\cite{39} были приведены некоторые  оценки (1.3), (1.5) и равенство (1.4) на стационарное решение уравнения вида~\eqref{eq11.1}, %баротропной атмосферы,
заданном на двумерном торе $\left({\mathbb R} /2\pi L{\mathbb Z}\right)\times \left({\mathbb R} /2\pi {\mathbb Z}\right)$, где $L>0$~-- большое вещественное число.
%В отличие от результатов в~\cite{39}
%в теореме~\ref{t17} и следствии~\ref{c17} рассматривается  белый шум  вида~\eqref{eq16.1}, где $\{e_i\}_{i=1}^\infty$~-- произвольный ортонормированный базис пространства~$h^0$ с~ограничениями, указанными в~теореме~\ref{t17},
В~\cite{39} $\{e_i\}_{i=1}^\infty$~-- ортонормированный базис, состоящий из собственных функций оператора Стокса,
%а также в~\cite{39} рассматривалась
 $f=0$ и предполагалось, что $B_2 < \infty$ (в нашем случае это было бы неравенство $\sum_{i=1}^\infty b_i^2 \|e_i\|_2^2 < \infty$, которое не требуется для выполнения полученных результатов).
\end{remark}



\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{1} Yu.Yu. Klevtsova, {\it Well-posedness of the Cauchy problem for the stochastic system for the Lorenz model for a~baroclinic atmosphere}, Sb. Math., \textbf{203}:10 (2012),  1490--1517.

\bibitem{2} Yu.Yu. Klevtsova, {\it On the existence of a~stationary measure for the stochastic system of the Lorenz model describing a~baroclinic atmosphere},
Sb. Math., \textbf{204}:9 (2013), 1307--1331.

\bibitem{3} Yu.Yu. Klevtsova, {\it The uniqueness of a~stationary measure for the stochastic system of the Lorenz model describing a~baroclinic atmosphere}, Sb. Math., \textbf{206}:3 (2015), 421--469.

\bibitem{52}
Yu.Yu. Klevtsova, {\it On the rate of convergence as $t\to+\infty$ of~the~distributions of solutions to the stationary measure for the stochastic system of the Lorenz model describing a~baroclinic atmosphere}, Sb. Math., \textbf{208}:7 (2017),
929--976.

\bibitem{4} B.V. Pal'tsev, {\it Spherical functions}, A~textbook,
Moscow Institute for Physics and Technology, Moscow,  2000. (Russian)

\bibitem{5}
 V.P. Dymnikov, {\it Stability and predictability of large-scale atmospheric processes}, Institute for Numerical Mathematics, Russian Academy of Sciences, Moscow, 2007. (Russian)

\bibitem{15} Yu.N. Skiba, {\it Mathematical problems on the dynamics of viscous barotropic fluid on a rotating sphere}, Indian Institute of Tropical Meteorology, Pune, INDIA, 1990.

\bibitem{19}
G. Da Prato, J. Zabczyk, {\it Stochastic equations in infinite dimensions},
Encyclopedia Math. Appl., {\bf 45}, Cambridge Univ. Press, Cambridge,
 1992.

\bibitem{101}
S.G. Mikhlin, {\it Linear partial differential equations},
Vysshaya Shkola, Moscow, 1977. (Russian)


\bibitem{110}
S.G. Mikhlin {\it Multidimensional singular integrals and integral equations},
Pergamon Press, Oxford--New York--Paris, 1965.


\bibitem{13}
 V.N. Krupchatnikov,  G.P. Kurbatkin, {\it Modelling large-scale dynamics of the atmosphere.  Methods for diagnosing the general circulation}, Computer Centre, Siberian Branch of the USSR Academy of Sciences, Novosibirsk, 1991. (Russian)


\bibitem{18}
S. Kuksin, A. Shirikyan, {\it Mathematics of two-dimensional turbulence},
 Cambridge Tracts in Math., {\bf 194}, Cambridge Univ. Press,
Cambridge,  2012.

\bibitem{51}
 K. Yosida, {\it Functional analysis},
 Grundlehren Math. Wiss., {\bf 123}, Springer-Verlag, Berlin,
 Academic Press, Inc., New York,
 1965.

\bibitem{30}
Yu.N. Skiba, {\it Spectral approximation in the numerical stability
study of nondivergent viscous flows on a~sphere},
Numer. Methods Partial Differential Equations, \textbf{14}:2 (1998),
143--157.


\bibitem{333}
 N. Ikeda, Sh. Watanabe,
{\it Stochastic differential equations and diffusion processes},
North-Holland Math. Library, {\bf 24},
 North-Holland Publishing Co., Amsterdam--New York,
 Kodansha, Ltd., Tokyo,
1981.



\bibitem{21}
 A.N. Shiryaev,
{\it Probability},
third ed.,
Moscow Center for Continuous Mathematical Education, Moscow, 2004. (Russian)


\bibitem{36}
N. Dunford,  J. T. Schwartz
{\it  Linear operators, {\rm v. I:}
General theory},
 Pure Appl. Math.,
{\bf 7},
Interscience Publishers, Inc.,
 New York,
Interscience Publishers, Ltd.,
London,
1958.

\bibitem{50}
P. Billingsley,
{\it Convergence of Probability mesures},
Wiley, New York,
1968.



\bibitem{25}
J. Neveu,
{\it Bases math\'{e}matiques du calcul des probabilit\'{e}s},
Masson et Cie, \'Editeurs,
 Paris,
 1964.

\bibitem{22}
 A.V. Bulinski, A.N. Shiryaev,
{\it Theory of random processes},
Fizmatlit, Moscow,
2005.  (Russian)
%\totalpages 408

\bibitem{49}
 N.N. Vakhania, V.I. Tarieladze, S.A. Chobanyan,
{\it Probability distributions on Banach spaces},
 Math. Appl. (Soviet Ser.), {\bf  14},
  D.~Reidel Publishing Co.,
  Dordrecht, 1987.

\bibitem{28}
A.D. Wentzell,
{\it A~course in the theory of stochastic processes}
2nd ed.,
 Nauka, Moscow,  1996. (Russian)

\bibitem{24}
 V.M. Kadets,  {\it A course in Functional analysis},
Textbook for students of mechanics and mathematics department,
Khar'kovskij Natsional'nyj Universitet Im. V. N. Karazina, Khar'kov,
2006. (Russian)

\bibitem{23}
A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin,
{\it Elements of the theory of functions and functional analysis},
7th ed.,
Fizmatlit, Moscow,  2004. (Russian)

\bibitem{37}
V.P. Dymnikov, A.N. Filatov,
{\it Mathematics of climate modeling},  Model. Simul. Sci. Eng. Technol.,
 Birkh\"auser Boston, Inc., Boston, MA,
1997.

\bibitem{38}
A.S. Gorelov, 	
{\it Dimension of the attractor for a~two-layer baroclinic model},
 Dokl. Earth Sci., \textbf{345A}:9 (1996),
 1--7.

\bibitem{39}
 S. Kuksin, A. Maiocchi,
 {\it The limit of small Rossby numbers for randomly forced quasi-geostrophic equation on $\beta$-plane},
 Nonlinearity, \textbf{28}:7 (2015),
 2319--2341.

\end{thebibliography}
\end{document}
