
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{514.7} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{53D25, 37J35} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{exmp}{Пример}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Неполиномиальные интегралы многомерных геодезических]{Неполиномиальные интегралы многомерных геодезических потоков и алгебры Ли}
\author{{С.В. АГАПОВ}}%
\address{Sergei Vadimovich Agapov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{agapov@math.nsc.ru}%

\thanks{\sc Agapov, S.V.,
Non-polynomial integrals of multidimensional geodesic flows and Lie algebras.}
\thanks{\copyright \ 2022 Агапов С.В}
\thanks{\rm Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 21-41-00018).}
\thanks{\it Поступила ???, опубликована ???}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } In this paper, we construct explicit local examples of multidimensional Riemannian metrics whose geodesic flows have non-polynomial first integrals and are completely integrable. We rely on a construction described in a recent paper by A.V. Galajinsky which allows one to construct such examples via the Casimir invariants of finite-dimensional Lie algebras.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} Riemannian metric, geodesic flow, non-polynomial first integral, Lie algebra, Casimir invariant.
 \end{quote}
}


\section{Введение}

Рассмотрим гамильтонову систему
$$
\dot{x}^j = \{x^j,H\}, \qquad \dot{p}_j = \{p_j,H\}, \qquad i,j=1, \ldots, n \eqno(1.1)
$$
с гамильтонианом и скобкой Пуассона следующего вида:
$$
\quad H = \frac{1}{2} g^{ij}(x) p_ip_j, \qquad
\{F,H\} = \sum_{i=1}^n \left ( \frac{\partial F}{\partial x^i} \frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial F}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial x^i} \right ), \qquad i,j=1, \ldots, n.
$$
Система (1.1) задает геодезический поток римановой метрики $dl^2=g_{ij}dx^idx^j$ на $n$-мерном многообразии с координатами $x=(x^1, \ldots, x^n).$ Первым интегралом гамильтоновой системы (1.1) называется такая функция $F(x,p),$ что $\dot{F} = \{F,H\} \equiv 0.$ Геодезический поток называется вполне интегрируемым, если найдутся $n$ функционально независимых п.в. первых интегралов $F_1 = H, F_2, \ldots, F_n,$ находящихся попарно в инволюции: $\{F_i,F_j\}=0,$ $i,j=1, \ldots, n.$

Наиболее изученными являются двумерные геодезические потоки. Локальный аспект этой задачи исследовался еще в работах Биркгофа (см.~\cite{1}), им же были классифицированы метрики, допускающие линейный или квадратичный по импульсам первый интеграл. В~\cite{2},~\cite{3} доказано существование двумерных метрик с дополнительным полиномиальным интегралом сколь угодно высокой степени (локально). В~\cite{4} построен локальный пример метрики с интегралом четвертой степени. А в~\cite{5} классифицированы линейные и квадратичные интегралы на двумерных сфере и торе.

Неполиномиальные интегралы геодезических потоков, {\it которые только и будут интересовать нас в дальнейшем}, также исследовались во многих работах (см., например,~\cite{6} ---~\cite{16}). Так, например, в~\cite{15} построено большое количество явных примеров двумерных римановых метрик с дополнительным интегралом в виде рациональной функции по импульсам.

В~\cite{16} предложена конструкция, позволяющая по каждой конечномерной вещественной алгебре Ли построить некоторую риманову метрику, геодезический поток которой обладает дополнительными первыми интегралами, соответствующими инвариантам Казимира исходной алгебры Ли. Опишем вкратце эту конструкцию.

Рассмотрим произвольную алгебру Ли размерности $n$ с порождающими $e_k$ и структурными соотношениями:
$$
[e_i, e_j] = c_{ij}^k e_k, \qquad c_{ij}^k = -c_{ji}^k.
$$
Пусть $x=(x^1, \ldots, x^n)$ и $p=(p_1, \ldots, p_n)$ --- канонические координаты и импульсы. Положим $e_i = c_{ij}^kx^jp_k$ и построим гамильтониан $H=\frac{1}{2} \left( \alpha_1^2 e_1^2 + \ldots \alpha_n^2 e_n^2 \right),$ где $\alpha_j$ --- произвольные вещественные постоянные. Построенный таким образом гамильтониан будет отвечать геодезическому потоку некоторой невырожденной римановой метрики (возможно, после соответствующей редукции по циклическим переменным, если такие возникнут). Предположим теперь, что $L(e)$ --- инвариант Казимира исходной алгебры Ли: $[L(e), e_k]=0,$ $k=1, \ldots, n.$ Переписав его в терминах $x,p,$ получим первый интеграл геодезического потока, коммутирующий с гамильтонианом относительно стандартной скобки Пуассона.

При помощи вышеописанной конструкции в~\cite{16} построено несколько примеров римановых метрик и неполиномиальных интегралов. В данной работе мы, пользуясь той же самой конструкцией, дополняем этот список примеров. Список соответствующих алгебр Ли вместе с коммутационными соотношениями и инвариантами Казимира можно найти в~\cite{17}.

Любопытно, что во всех построенных примерах дополнительные интегралы вообще не зависят от координат.


\section{Примеры двумерных метрик}

Первые два интегрируемых примера относятся к двумерным метрикам.

Трехмерная алгебра Ли $A_{3,3}$ (мы следуем обозначениям, принятым в~\cite{17}) имеет следующие ненулевые коммутационные соотношения:
$$
[e_1, e_3] = e_1, \qquad [e_2, e_3] = e_2,
$$
то есть $c^1_{13} = c^2_{23} = 1.$ Инвариант Казимира имеет вид $L = e_2/e_1.$
Следуя вышеописанной конструкции, положим
$$
e_1 = c^1_{13}x^3p_1 = x^3p_1, \quad e_2 = c^2_{23}x^3p_2 = x^3p_2, \quad e_3 = c^1_{31}x^1p_1+c^2_{32}x^3p_2 = -(x^1p_1+x^2p_2).
$$
Построим гамильтониан $H=\frac{1}{2} \left(\alpha_1^2 e_1^2 + \alpha_2^2 e_2^2 + \alpha_3^2 e_3^2\right).$ Поскольку импульс $p_3$ не входит в $H,$ то положим $p_3=0,$ $x^3=s,$ где $s$ --- произвольная постоянная. Инвариант Казимира $L$ в переменных $x, p$ принимает вид $L = p_2/p_1.$ В итоге получаем

\begin{exmp}{(Алгебра $A_{3,3}$ в~\cite{17}).}

Пусть $s, \alpha_k$ --- произвольные постоянные, $k = 1, 2, 3.$ Тогда
$$
H = \frac{1}{2} g^{ij}(x) p_ip_j = \frac{1}{2} \left(s^2 \left(p_1^2 \alpha_1^2+p_2^2 \alpha_2^2\right)+(x^1 p_1 + x^2 p_2)^2 \alpha_3^2\right), \quad F= \frac{p_2}{p_1}, \quad \{F,H\}=0.
$$
Риманова метрика имеет вид $dl^2=g_{ij}(x)dx^idx^j,$ где
$$
g_{11} = \frac{\alpha_3^2 (x^2)^2 + \alpha_2^2 s^2}{\alpha_3^2 s^2 (\alpha_2^2 (x^1)^2 + \alpha_1^2 (x^2)^2) + s^4 \alpha_1^2 \alpha_2^2}, \qquad g_{12} = -\frac{\alpha_3^2 x^1 x^2}{\alpha_3^2 s^2 (\alpha_2^2 (x^1)^2 + \alpha_1^2 (x^2)^2) + s^4 \alpha_1^2 \alpha_2^2},
$$
$$
g_{22} = \frac{\alpha_3^2 (x^1)^2 + \alpha_1^2 s^2}{\alpha_3^2 s^2 (\alpha_2^2 (x^1)^2 + \alpha_1^2 (x^2)^2) + s^4 \alpha_1^2 \alpha_2^2}.
$$
Гауссова кривизна $K$ построенной метрики постоянна и равна $K \equiv -\alpha_3^2.$

\end{exmp}

Пример 1 допускает следующее обобщение.

\begin{exmp}{(Алгебра $A_{3,5}^a$ в~\cite{17}).}

Пусть $s, a, \alpha_k$ --- произвольные постоянные, $k = 1, 2, 3.$ Тогда
$$
H = \frac{1}{2} \left(s^2 \left(p_1^2 \alpha_1^2+a^2p_2^2 \alpha_2^2\right)+(x^1 p_1 + a x^2 p_2)^2 \alpha_3^2\right), \quad F= \frac{p_2}{p_1^a}, \quad \{F,H\}=0.
$$
Риманова метрика имеет вид $dl^2=g_{ij}(x)dx^idx^j,$ где
$$
g_{11} = \frac{\alpha_3^2 (x^2)^2 + \alpha_2^2 s^2}{\alpha_3^2 s^2 (\alpha_2^2 (x^1)^2 + \alpha_1^2 (x^2)^2) + s^4 \alpha_1^2 \alpha_2^2}, \qquad g_{12} = -\frac{\alpha_3^2 x^1 x^2}{a \alpha_3^2 s^2 (\alpha_2^2 (x^1)^2 + \alpha_1^2 (x^2)^2) + a s^4 \alpha_1^2 \alpha_2^2},
$$
$$
g_{22} = \frac{\alpha_3^2 (x^1)^2 + \alpha_1^2 s^2}{a^2 \alpha_3^2 s^2 (\alpha_2^2 (x^1)^2 + \alpha_1^2 (x^2)^2) + a^2 s^4 \alpha_1^2 \alpha_2^2}.
$$
Гауссова кривизна построенной метрики, вообще говоря, непостоянная. При $a=1$ получим $K \equiv -\alpha_3^2.$

\end{exmp}

\section{Примеры трехмерных метрик}

Аналогичным образом строятся примеры трехмерных метрик. Поскольку выражения для компонент $g_{ij}$ получаются весьма громоздкими, мы не будем их выписывать в явном виде. Отметим лишь, что все компоненты имеют "рациональный" \ вид, как в Примерах 1, 2.

\begin{exmp}{(Алгебра $A_{4,2}^a$ в~\cite{17}).}

Пусть $s, a, \alpha_k$ --- произвольные постоянные, $k = 1, \ldots, 4.$ Положим
$$
g^{11} = a^2 (\alpha_4^2 (x^1)^2 + \alpha_1^2 s^2)), \qquad g^{12} = a \alpha_4^2 x^1 (x^2+x^3), \qquad g^{13} = a \alpha_4^2 x^1 x^3,
$$
$$
g^{22} = \alpha_4^2 (x^2+x^3)^2 + (\alpha_2^2+\alpha_3^2) s^2, \qquad g^{23} = \alpha_4^2 x^3 (x^2+x^3)+s^2\alpha_3^2, \qquad g^{33} = \alpha_4^2 (x^3)^2 x^4+s^2\alpha_3^2.
$$
Тогда
$$
H = \frac{1}{2} g^{ij} p_ip_j, \qquad F_2 = \frac{p_2^a}{p_1}, \qquad F_3 = p_2 e^{-p_3/p_2},
$$
$$
\{F_2, H\} = \{F_3, H\} = \{F_2, F_3\} = 0.
$$

\end{exmp}

\begin{exmp}{(Алгебра $A_{4,4}$ в~\cite{17}).}

Пусть $s, \alpha_k$ --- произвольные постоянные, $k = 1, \ldots, 4.$ Положим
$$
g^{11} = \alpha_4^2 (x^1+x^2)^2 + (\alpha_1^2+\alpha_2^2) s^2, \qquad g^{12} = \alpha_4^2 (x^1+x^2) (x^2+x^3) + s^2 \alpha_2^2, \qquad g^{13} = \alpha_4^2 x^3 (x^1+x^2),
$$
$$
g^{22} = \alpha_4^2 (x^2+x^3)^2 + (\alpha_2^2 + \alpha_3^2) s^2, \qquad g^{23} = \alpha_4^2 x^3 (x^2+x^3) + s^2 \alpha_3^2, \qquad g^{33} = \alpha_4^2 (x^3)^2 + s^2 \alpha_3^2.
$$
Тогда
$$
H = \frac{1}{2} g^{ij} p_ip_j, \qquad F_2 = p_1e^{-p_2/p_1}, \qquad F_3 = \frac{p_2^2-2p_1p_3}{p_1^2},
$$
$$
\{F_2, H\} = \{F_3, H\} = \{F_2, F_3\} = 0.
$$

\end{exmp}

\begin{exmp}{(Алгебра $A_{4,5}^{ab}$ в~\cite{17}).}

Пусть $s, a, b, \alpha_k$ --- произвольные постоянные, $k = 1, \ldots, 4.$ Положим
$$
g^{11} = \alpha_4^2 (x^1)^2 + \alpha_1^2 s^2, \qquad g^{12} = a \alpha_4^2 x^1x^2, \qquad g^{13} = b \alpha_4^2 x^1 x^3,
$$
$$
g^{22} = a^2 (\alpha_4^2 (x^2)^2 + \alpha_2^2 s^2), \qquad g^{23} = a b \alpha_4^2 x^2 x^3, \qquad g^{33} = b^2 (\alpha_4^2 (x^3)^2 + \alpha_3^2 s^2).
$$
Тогда
$$
H = \frac{1}{2} g^{ij} p_ip_j, \qquad F_2 = \frac{p_1^a}{p_2}, \qquad F_3 = \frac{p_1^b}{p_3},
$$
$$
\{F_2, H\} = \{F_3, H\} = \{F_2, F_3\} = 0.
$$

\end{exmp}

\section{Примеры четырехмерных метрик}

Наконец, приведем несколько интегрируемых примеров четырехмерных метрик.

\begin{exmp}{(Алгебра $A_{5,7}^{abc}$ в~\cite{17}).}

Пусть $s, a, b, c, \alpha_k$ --- произвольные постоянные, $k = 1, \ldots, 5.$ Положим
$$
g^{11} = \alpha_5^2 (x^1)^2 + \alpha_1^2 s^2, \qquad g^{12} = a \alpha_5^2 x^1 x^2, \qquad g^{13} = b \alpha_5^2 x^1 x^3, \qquad g^{14} = c \alpha_5^2 x^1 x^4,
$$
$$
g^{22} = a^2 (\alpha_5^2 (x^2)^2 + \alpha_2^2 s^2), \qquad g^{23} = a b \alpha_5^2 x^2 x^3, \qquad g^{24} = a c \alpha_5^2 x^2 x^4,
$$
$$
g^{33} = b^2 (\alpha_5^2 (x^3)^2 + \alpha_3^2 s^2), \qquad g^{34} = b c \alpha_5^2 x^3 x^4, \qquad g^{44} = c^2 (\alpha_5^2 (x^4)^2 + \alpha_4^2 s^2).
$$
Тогда
$$
H = \frac{1}{2} g^{ij} p_ip_j, \qquad F_2 = \frac{p_1^a}{p_2}, \qquad F_3 = \frac{p_1^b}{p_3}, \qquad F_4 = \frac{p_1^c}{p_4},
$$
$$
\{F_2, H\} = \{F_3, H\} = \{F_4, H\} = \{F_2, F_3\} = \{F_2, F_4\} = \{F_3, F_4\} = 0.
$$

\end{exmp}


\begin{exmp}{(Алгебра $A_{5,9}^{bc}$ в~\cite{17}).}

Пусть $s, b, c, \alpha_k$ --- произвольные постоянные, $k = 1, \ldots, 5.$ Положим
$$
g^{11} = \alpha_5^2 (x^1+x^2)^2 + (\alpha_1^2+\alpha_2^2) s^2, \qquad g^{12} = s^2 \alpha_2^2 + \alpha_5^2 x^2 (x^1+x^2), \qquad g^{13} = b \alpha_5^2 (x^1+x^2) x^3,
$$
$$
g^{14} = c \alpha_5^2 (x^1+x^2) x^4, \qquad g^{22} = \alpha_5^2 (x^2)^2 + \alpha_2^2 s^2, \qquad g^{23} = b \alpha_5^2 x^2 x^3, \qquad g^{24} = c \alpha_5^2 x^2 x^4,
$$
$$
g^{33} = b^2 (\alpha_5^2 (x^3)^2 + \alpha_3^2 s^2), \qquad g^{34} = b c \alpha_5^2 x^3 x^4, \qquad g^{44} = c^2 (\alpha_5^2 (x^4)^2 + \alpha_4^2 s^2).
$$
Тогда
$$
H = \frac{1}{2} g^{ij} p_ip_j, \qquad F_2 = \frac{p_1^b}{p_3}, \qquad F_3 = \frac{p_1^c}{p_4}, \qquad F_4 = p_1e^{-\frac{p_2}{p_1}},
$$
$$
\{F_2, H\} = \{F_3, H\} = \{F_4, H\} = \{F_2, F_3\} = \{F_2, F_4\} = \{F_3, F_4\} = 0.
$$

\end{exmp}


\begin{exmp}{(Алгебра $A_{5,11}^{c}$ в~\cite{17}).}

Пусть $s, c, \alpha_k$ --- произвольные постоянные, $k = 1, \ldots, 5.$ Положим
$$
g^{11} = \alpha_5^2 (x^1+x^2)^2 + (\alpha_1^2 + \alpha_2^2) s^2, \qquad g^{12} =  s^2 \alpha_2^2 + \alpha_5^2 (x^1 + x^2) (x^2+x^3), \qquad g^{13} = \alpha_5^2 (x^1+x^2) x^3,
$$
$$
g^{14} = c \alpha_5^2 (x^1+x^2) x^4, \qquad g^{22} = \alpha_5^2 (x^2+x^3)^2 + (\alpha_2^2 + \alpha_3^2) s^2, \qquad g^{23} = \alpha_3^2 s^2 + \alpha_5^2 (x^2+x^3) x^3,
$$
$$
g^{24} = c \alpha_5^2 (x^2+x^3) x^4, \quad  g^{33} = \alpha_5^2 (x^3)^2 + \alpha_3^2 s^2, \quad g^{34} = c \alpha_5^2 x^3 x^4, \quad g^{44} = c^2 (\alpha_5^2 (x^4)^2 + \alpha_4^2 s^2).
$$
Тогда
$$
H = \frac{1}{2} g^{ij} p_ip_j, \qquad F_2 = \frac{p_1^c}{p_4}, \qquad F_3 = p_1e^{-\frac{p_2}{p_1}}, \qquad F_4 = \frac{2p_1p_3-p_2^2}{p_1^2},
$$
$$
\{F_2, H\} = \{F_3, H\} = \{F_4, H\} = \{F_2, F_3\} = \{F_2, F_4\} = \{F_3, F_4\} = 0.
$$

\end{exmp}


\begin{exmp}{(Алгебра $A_{5,13}^{a,r,s}$ в~\cite{17}).}

Пусть $w, a, r, s, \alpha_k$ --- произвольные постоянные, $k = 1, \ldots, 5.$ Положим
$$
g^{11} = \alpha_5^2 (x^1)^2 + \alpha_1^2 w^2, \qquad g^{12} = a \alpha_5^2 x^1 x^2, \qquad g^{13} = \alpha_5^2 x^1 (rx^3+sx^4), \qquad g^{14} = \alpha_5^2 x^1 (rx^4-sx^3),
$$
$$
g^{22} = a^2 (\alpha_5^2 (x^2)^2 + \alpha_2^2 w^2), \qquad g^{23} = a \alpha_5^2 x^2 (rx^3+sx^4), \qquad g^{24} = a \alpha_5^2 x^2 (rx^4-sx^3),
$$
$$
g^{33} = w^2 (\alpha_3^2 r^2 + \alpha_4^2 s^2) + \alpha_5^2 (rx^3+sx^4)^2, \qquad g^{34} = w^2 r s (\alpha_4^2 - \alpha_3^2) + \alpha_5^2 (rx^3+sx^4) (rx^4-sx^3),
$$
$$
g^{44} = w^2 (\alpha_3^2 s^2 + \alpha_4^2 r^2) + \alpha_5^2 (rx^4-sx^3)^2.
$$
Тогда
$$
H = \frac{1}{2} g^{ij} p_ip_j, \qquad F_2 = \frac{p_1^a}{p_2}, \qquad F_3 = \frac{p_1^{2r}}{p_3^2+p_4^2}, \qquad F_4 = p_1^{2 s}e^{-\arctan z},
$$
где $z=\frac{2 (sp_3+rp_4)(rp_3-sp_4)}{(rp_3-sp_4)^2-(sp_3+rp_4)^2},$ и
$$
\{F_2, H\} = \{F_3, H\} = \{F_4, H\} = \{F_2, F_3\} = \{F_2, F_4\} = \{F_3, F_4\} = 0.
$$

\end{exmp}


\section{Заключение}

Во всех построенных примерах геодезический поток обладает полным набором первых интегралов, находящихся попарно в инволюции, то есть является вполне интегрируемым. Большое количество других интегрируемых примеров многомерных метрик с неполиномиальными интегралами можно построить аналогичным образом для различных алгебр Ли.

Было бы интересно модифицировать эту конструкцию для того, чтобы строить, скажем, новые интегрируемые примеры магнитных геодезических потоков.


\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{1} G.D. Birkhoff,
{\it Dynamical Systems, vol. 9}, American Mathematical Society Colloquium Publications, New York, 1927.

\bibitem{2} V.V. Kozlov,
{\it Symmetries, Topology, and Resonances in Hamiltonian Mechanics}, Springer-Verlag, Berlin, 1996.

\bibitem{3} V.V. Ten,
{\it Local integrals of geodesic flows}, Regul. Chaotic Dyn., \textbf{2}:2 (1997), 87 -- 89 [Russian].

\bibitem{4} G. Abdikalikova, A.E. Mironov,
{\it On exact solutions of a system of quasi-linear equations describing integrable geodesic flows on a surface}, Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bf 16} (2019), 949--954 [Russian].

\bibitem{5} V.N. Kolokol’tsov,
{\it Geodesic flows on two-dimensional manifolds with an additional first integral that is polynomial in the velocities}, Math. USSR, Izv., \textbf{46}:5 (1982), 291 -- 306 .

\bibitem{6} G. Darboux,
{\it Lessons on the General Theory of Surfaces and the Geometric Applications of Infinitesimal Calculus, vol. 3}, 1887.

\bibitem{7} G. Heilbronn,
{\it Integration des equations differentielles ordinaires par la methode de Drach}, Gauthier-Villars, Paris, 1956.

\bibitem{8} J. Hietarinta,
{\it New integrable Hamiltonians with transcendental invariants}, Phys. Rev. Lett., \textbf{52}:1057 (1984).

\bibitem{9} C.D. Collinson,
{\it A note on the integrability conditions for the existence of rational first integrals of
the geodesic equations in a Riemannian space}, Gen. Relativity Gravitation, \textbf{18}:2 (1986), 207 -- 214.

\bibitem{10} A.M. Perelomov,
{\it Integrable Systems of Classical Mechanics and Lie Algebras}, Birkhauser Verlag, Basel, 1990.

\bibitem{11} C.D. Collinson, P.J. O'Donnell,
{\it A class of empty spacetimes admitting a rational first integral of the
geodesic equation}, Gen. Relativity Gravitation, \textbf{24}:4 (1992), 451 -- 455.

\bibitem{12} A.J. Maciejewski, M. Przybylska,
{\it Darboux polynomials and first integrals of natural polynomial Hamiltonian systems}, Phys. Lett. A, \textbf{326}:3-4 (2004), 219 -- 226.

\bibitem{13} V.V. Kozlov,
{\it On rational integrals of geodesic flows}, Regul. Chaotic Dyn., \textbf{19}:6 (2014), 601 -- 606.

\bibitem{14} A. Aoki, T. Houri, K. Tomoda,
{\it Rational first integrals of geodesic equations and generalised hidden symmetries}, Classical Quantum Gravity,\textbf{33}:19 (2016), 195003, 12 pp.

\bibitem{15} S. Agapov, V. Shubin,
{\it Rational integrals of 2-dimensional geodesic flows: new examples}, Journ. of Geom. and Phys., {\bf 170} (2021), 104389.

\bibitem{16} A. Galajinsky,
{\it Some metrics admitting nonpolynomial first integrals of the geodesic equation} Phys. Letters B, {\bf 820} (2021), 136483.

\bibitem{17} J. Patera, R.T. Sharp, P. Winternitz, H. Zassenhaus,
{\it Invariants of real low dimension Lie algebras}, J. Math. Phys., {\bf 17} (1976) 986.



\end{thebibliography}
\end{document}
