\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{517.946} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{35L80\ 35L25} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Пространственно--нелокальные краевые задачи с обобщенным условием Самарского--Ионкина
для квазипараболических уравнений]{Пространственно--нелокальные краевые задачи с обобщенным условием Самарского--Ионкина
для квазипараболических уравнений}
\author{{А.И. КОЖАНОВ, А.М.~АБДРАХМАНОВ}}%
\address{Aleksandr Ivanovich Kozhanov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{kozhanov@math.nsc.ru}%
\address{Abdrahmanov Aidar Maksutovich % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii}  Ufa State Technical University, Department of Artificial Intelligence and Advanced Mathematical Research,
\newline\hphantom{iii} st. Karl Marx, 12,
\newline\hphantom{iii} 450077, Ufa, Russia}%
\email{abdrai@mail.ru}%

\thanks{\sc Kozhanov, A.I., Abdrahmanov, A.M.
Spatially-Nonlocal Boundary Value Problems \\
with the generalized Samarskii--Ionkin condition\\
for quasi-parabolic equations}
\thanks{\copyright \ 2015 Кожанов А.И, Абдрахманов А.М.}
\thanks{\rm Работа выполнена при поддержке Математического Центра в Академгородке, соглашение 075-15-2022-282 с Министерством
науки и высшего образования Российской федерации.}
\thanks{\it Поступила    2022 г., опубликована    2022 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. }The work is devoted to the study of the solvability of boundary value problems for quasi-parabolic equations
$$(-1)^pD^{2p+1}_tu-\frac{\partial}{\partial x}\left(a(x)u_x\right)+c(x,t)u=f(x ,t)$$
$$((x,t)\in (0,1)\times (0,T),\quad a(x)>0,\quad D^k_t=\frac{\partial^k}{\partial t ^k},\quad p>0\mbox{\it --- integer})$$
with boundary conditions of one of the types
$$u(0,t)-\beta u(1,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t\in (0,T),$$
or
$$u_x(0,t)-\beta u_x(1,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t\in (0,T).$$
The problems under study can be treated as nonlocal problems with the generalized Samarskii--Ionkin condition in terms of spatial
variable, for them we prove existence and uniqueness theorems for regular solutions—namely, solutions that have all generalized in the sense of S.L.~Sobolev
derivatives included in the corresponding equation.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} quasi-parabolic equations, non-local boundary value problems,
generalized Samarskii--Ionkin condition, regular solutions, existence, uniqueness.
 \end{quote}
}
%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Введение}

В работе изучается разрешимость нелокальных по пространственной переменной краевых задач для квазипараболических уравнений
нечетного по временной (выделенной) переменной порядка.

Нелокальными краевыми задачами для дифференциальных уравнений называют такие задачи, в которых вместо обычных точечных (т.е. локальных)
условий задаются условия, связывающие граничные значения решения или (и) его производных со значениями решения или (и) его производных в точках
иных внутренних или же граничных многообразий.

Отдельным классом нелокальных задач можно назвать задачи с интегральными условиями --- задачи, в которых граничные значения решения или (и)
его производных связываются со значениями некоторого интеграла от решения по тем или иным внутренним многобразиям.  Исследования разрешимости подобных
задач для близких к изучаемым в настоящей работе уравнений началось, по--видимому. с работ J.R.~Cannon \cite{1} и Л.И.~Камынин \cite{2}, опубликованных в 1963 и
1964 годах соответственно. Дальнейшие исследования задач с интегральными условиями в целом весьма многочисленны, но среди них можно
выделить работы Н.И.~Ионкина \cite{3} и Н.И.~Юрчука \cite{4}, опубликованных в 1977 и 1986 годах соответственно. В работе \cite{3} изучалась задача нахождения
решения уравнения теплопроводности в прямоугольнике $(0,1)\times (0,T)$ переменных $(x,t)$ по заданному начальному условию, заданному
граничному условию $u(0,t)=\nu(t)$, а также по интегральному условию
$$\int\limits_0^1u(x,t)\,dx=\mu(t).\eqno{(\mbox{И})}$$
Для данной задачи Н.И.~Ионкиным методом, основанным на использовании некоторого специального биортогонального семейства функций,
было доказано существование классических решений. В дальнейшем этот метод успешно применялся в ряде других исследований --- см. работы [5--8].

В работе Н.И.~Юрчука иследовалась задача с условием $(\mbox{И})$, но для параболических уравнений с переменными коэффициентами,
и был предложен новый метод доказательства ее разрешимости. Этот метод позволил установить существование решений задачи
Ионкина для более общих, чем в \cite{3}, уравнений, но при этом полученное решение было элементом некоторого весового соболевского пространства.
Как и работа Н.И.~Ионкина, работа Н.И.~Юрчука после ее опубликования приобрела множество последователей.

Отметим также следующее. В 1980 году А.А.~Самарский \cite{9} предложил для одномерного случая постановку нелокальной по пространственной переменной
задачи: {\it найти решение $u(x,t)$ параболического уравнения по заданному начальному условию и условиям
$$\alpha_1u(0,t)+\alpha_2u(1,t)+\alpha_3u_x(0,t)+\alpha_4u_x(1,t)=0,$$
$$\beta_1u(0,t)+\beta_2u(1,t)+\beta_3u_x(0,t)+\beta_4u_x(1,t)=0\eqno{(\mbox{\rm С})}$$
($x\in (0,1)$, $t\in (0,T)$, векторы $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$ и $(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4)$ линейно независимы)}.
Задача А.А.~Самарского включает в себя обычные первую, вторую и третью начально--краевые задачи, а также смешанную задачу;  если же учесть,
что задача Н.И.~Ионкина допускает замену интегрального условия на условие $u_x(1,t)-u_x(0,t)=\varphi(t)$, то и задача с условием $(\mbox{И})$ включается
в задачу А.А.~Самарского. Исследование разрешимости задачи А.А.~Самарского в общей постановке проводилось в работах Н.~Лажетича \cite{10} и
А.И.~Кожанова \cite{11}, но при этом условия
этих работ были таковы, что собственно задача Н.И.~Ионкина исключалась.

Предметом исследований в настоящей работе будут пространственно--нелокальные краевые задачи для квазипараболических уравнений
нечетного по временной (выделенной) переменной порядка с условиями, представляющими собой частный случай общего условия $(\mbox{С})$
А.А.~Самарского, но при этом включающими в себя задачу Н.И.~Ионкина с условием $(\mbox{И})$ в дифференциальной форме. Целью исследований будет доказательство
существования и единственности регулярных решений --- именно решений, имеющих все обобщенные по С.Л.~Соболеву производные, входящие
в соответствующее уравнение.

Уточним, что ранее пространственно--нелокальные задачи с интегральными условиями для квазипараболических уравнений изучались в работах  \cite{12}, \cite{13}, но, как и в случае уравнения теплопроводности, задача с условием $(\mbox{И})$ при этом исключалась.

Все построения и рассуждения в работе будут основаны на пространствах Лебега $L_p$ и Соболева $W^l_p$. Необходимые определения и описание свойств
функций из этих пространств можно найти в монографиях [\cite{14}--\cite{16}].


И последнее. В работе будут рассматриваться некоторые модельные ситуации. Возможные обобщения и усиления полученных результатов будут приведены в конце статьи.

%%%%%%%%%%%
\section{Постановка задач}

Пусть $Q$ есть прямоугольник $\Omega\times (0,T)$, $\Omega=(0,1)$, $0<T<+\infty$, переменных $(x,t)$. Далее, пусть  $a(x)$, $c(x,t)$ и $f(x,t)$
есть заданные функции, определенные при $x\in [0,1]$, $t\in [0,T]$, $\beta$ есть фиксированное действительное число, $p$ есть фиксированное натуральное число, $D^k_t$ есть производная
$\frac{\partial^k}{\partial t^k}$  ($D^1=D$), $L$ есть дифференциальный оператор, действие которого
на заданной функции $v(x,t)$, определяется равенством
$$Lv=(-1)^pD^{2p+1}_tv-\frac{\partial}{\partial x}\left(a(x)v_x\right)+c(x,t)v.$$

\underline{Нелокальная задача I}: {\it найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в прямоугольнике $Q$ решением  уравнения
$$Lu=f(x,t)\eqno{(1)}$$
и такую, что для нее выполняются условия}
$$D^k_tu(x,t)|_{t=0}=0,\quad k=0,\ldots,p,\quad x\in\Omega,\eqno{(2)}$$
$$D^k_tu(x,t)|_{t=T}=0,\quad k=0,\ldots,p-1,\quad x\in\Omega,\eqno{(3)}$$
$$u(0,t)-\beta u(1,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t\in (0,T).\eqno{(4)}$$

\underline{Нелокальная задача II}: {\it найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в прямоугольнике $Q$ решением  уравнения~(1)
и такую, что для нее выполняются условия~(2) и (3), а также условие}
$$u_x(0,t)-\beta u_x(1,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t\in (0,T).\eqno{(5)}$$

\underline{Нелокальная задача III}: {\it найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в прямоугольнике $Q$ решением  уравнения~(1)
и такую, что для нее выполняются условия~(2) и (4), а также условие}
$$D^k_tu(x,t)|_{t=T}=0,\quad k=p+1,\ldots,2p,\quad x\in\Omega,\eqno{(6)}$$

\underline{Нелокальная задача IV}: {\it найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в прямоугольнике $Q$ решением  уравнения~(1)
и такую, что для нее выполняются условия~(2), (5) и (6)}.

Заметим, что именно условие~(5) нелокальных задач~II и IV в случае $\beta=1$ дает условие~$(\mbox{И})$ задачи Н.И.~Ионкина. Задачи~I и III
имеют и самостоятельное значение; с другой же стороны, имея существование решений этих задач, нетрудно будет показать, что и задачи~II и IV имеют решение  .

\section{Разрешимость нелокальных задач~I и III}

Важную роль в дальнейших выкладках сыграет неравенство
$$\varphi^2(1)\le \delta^2\int\limits_{\Omega}x\varphi'^2(x)\,dx+\left(2+\frac{1}{\delta^2}\right)\int\limits_{\Omega}x\varphi^2(x)\,dx,\eqno{(7)}$$
в котором $\varphi(x)$ есть произвольная функция из пространства $W^1_2(\Omega)$, $\delta$ есть произвольное положительное число. В справедливости
этого неравенства нетрудно убедиться, если в тождестве
$$\varphi^2(1)=2\int\limits_{\Omega}x\varphi^2(x)\,dx+2\int\limits_{\Omega}x^2\varphi(x)\varphi'(x)\,dx$$
применить неравенство Юнга ко второму слагаемому правой части.

Положим $\beta_1=\beta^2a(0)-a(1)$.


\begin{theorem}
Пусть выполняются условия
$$a(x)\in C^2(\overline{\Omega}),\quad a(x)\ge a_0>0,\quad a'(x)\le 0;$$
$$c(x,t)\in C^{2p+1}(\overline{Q}),\quad c(x,t)\ge c_0>0,\quad c_{xx}(x,t)\le 0\quad\mbox{при}\quad (x,t)\in\overline{Q};$$
$$2c(x,t)-a''(x)\ge 0\quad\mbox{при}\quad (x,t)\in\overline{Q};$$
а также одно из условий

а) $\beta^2\le\frac{a(1)}{a(0)}$,

б) $\beta^2>\frac{a(1)}{a(0)}$, $\beta_1^2+4a_0\beta_1<4a_0c_0$.

\noindent Тогда для любой функции $f(x,t)$ такой, что $D^k_tf(x,t)\in L_2(Q)$, $k=0,\ldots,2p+1$, $D^k_tf(x,t)=0$ при $t=0$, $x\in\Omega$,
$k=0,\ldots,p$, $D^k_tf(x,t)=0$ при $t=T$, $x\in\Omega$, $k=0,\ldots,p-1$, нелокальная задача~I имеет решение $u(x,t)$, принадлежащее
пространству $W^{2,2p+1}_2(Q)$, и в этом пространстве решение единственно.
\end{theorem}

\begin{proof}
Используемая техника будет основана на методе регуляризации, методе продолжения по параметру, а также априорных оценках.

Пусть выполняется условие а). Для положительных чисел $\varepsilon$ и $\mu$ определим дифференциальный оператор $L_{\varepsilon}v$:
$$L_{\varepsilon}v=Lv+\varepsilon D^{4p+2}_t\left[\frac{\partial}{\partial x}(av_x)-\mu v\right].$$
Рассмотрим краевую задачу: {\it найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в прямоугольнике $Q$ решением уравнения
$$L_{\varepsilon}u=f(x,t)\eqno{(8)}$$
и такую, что для нее выполняются условия~(2)--(4), а также условия}
$$D^k_tu(x,t)|_{t=0}=0,\quad k=2p+1,\ldots,3p,\quad x\in\Omega,\eqno{(9)}$$
$$D^k_tu(x,t)|_{t=T}=0,\quad k=2p+1,\ldots,3p+1,\quad x\in\Omega.\eqno{(10)}$$

Определим пространство $V$ как множество функций
$$\{v(x,t):\ v(x,t)\in W^{2,4p+2}_2(Q),\quad D^{4p+2}_tv_x(x,t)\in L_2(Q),$$$$\quad D^{4p+2}_tv_{xx}(x,t)\in L_2(Q)\}$$
с нормой
$$\|v\|_{V}=\left(\|v\|^2_{W^{2,4p+2}_2(Q)}+\|D^{4p+2}_tv_x\|^2_{L_2(Q)}+\|D^{4p+2}_tv_{xx}\|^2_{L_2(Q)}\right)^{\frac12}.$$
Очевидно, что это пространство будет банаховым.

Покажем что при фиксированном $\varepsilon$ и при принадлежности функции $f(x,t)$ пространству $L_2(Q)$ краевая задача~(8), (2), (3), (9), (10) будет
иметь решение, принадлежащее пространству $V$. Воспользуемся методом продолжения по параметру.

Для чисел $\lambda$ из отрезка [0,1] рассмотрим краевую задачу: {\it найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в прямоугольнике $Q$ решением уравнения~(8)
и такую, что для нее выполняются условия~(2), (3), (9) и (10), а также условие}
$$u(0,t)-\lambda\beta  u(1,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t\in (0,T).\eqno{(11)}$$

Согласно теореме о методе продолжения по параметру [\cite{17}, гл.~III, \S~14], эта задача будет разрешима в пространстве $V$, если 1) {\it задача~(8), (2), (3), (9)--(11)
разрешима в пространстве $V$ при $\lambda=0$};\quad 2) {\it для всевозможных решений $u(x,t)$ задачи~(8), (2), (3), (9)--(11) при выполнении условий
теоремы имеет место априорная оценка}
$$\|u\|_V\le R_0\|f\|_{L_2(Q)}\eqno{(12)}$$
с постоянной $R_0$, определяющейся лишь функциями $a(x)$, $c(x,t)$, а также числами $\beta$ и $\varepsilon$.

При  $\lambda=0$ и при фиксированном $\varepsilon$ задача~(8), (2), (3), (9)--(11) представляет собой смешанную по
пространственной переменной задачу для уравнения составного типа
$$\varepsilon D^{4p+2}_t(Au-\mu u)=F,$$
в котором через $A$ обозначен оператор
$$Av=\frac{\partial}{\partial x}(a(x)v_x),$$
и через $F$ --- подчиненные младшие члены. Поскольку старшая (левая) часть этого уравнения распадается на множители, то разрешимость данной
задачи в пространстве $V$ очевидна.

Покажем, что при выполнении  условий теоремы для решений $u(x,t)$ краевой задачи~(8), (2), (3), (9)--(11) будет справедлива требуемая оценка~(12).


Умножим уравнение~(8) на функцию $xu(x,t)$ и проинтегрируем по прямоугольнику $Q$. После несложных преобразований получим равенство
$$\frac12\int\limits_{\Omega}x\left[D^p_tu(x,T)\right]^2\,dx+\int\limits_Qxa(x)u^2_x\,dx\,dt-\frac12\int\limits_Qa'(x)u^2\,dx\,dt+$$
$$+\int\limits_Qxc(x,t)u^2\,dx\,dt+\varepsilon\int\limits_Qxa(x)\left(D^{2p+1}_tu_x\right)^2\,dx\,dt+\varepsilon\mu\int\limits_Qx\left(D^{2p+1}_tu\right)^2\,dx\,dt-$$
$$-\frac{\varepsilon}{2}\int\limits_Qa'(x)\left(D^{2p+1}_tu\right)^2\,dx\,dt+\frac12\int\limits_0^T[a(1)-\lambda^2\beta^2a(0)]u^2(1,t)\,dt+$$
$$+\frac{\varepsilon}{2}\int\limits_0^T[a(1)-\lambda^2\beta^2a(0)]\left[D^{2p+1}_tu(1,t)\right]^2\,dt=\int\limits_Qxfu\,dx\,dt.$$
Условия теоремы и неравенство Юнга дают следствие данного равенства --- априорную оценку
$$\int\limits_Q(xu^2_x+xu^2)\,dx\,dt+\varepsilon \int\limits_Q\left[x\left(D^{2p+1}_tu_x\right)^2+x\mu\left(D^{2p+1}_tu\right)^2\right]
\,dx\,dt\le$$$$\le M_1\int\limits_Qf^2\,dx\,dt,\eqno{(14)}$$
постоянная $M_1$ в которой определяется лишь числами $a_0$, $c_0$ и $\beta$.

На следующем шаге умножим уравнение~(8) на функцию $-xD^{4p+2}_tu(x,t)$ и проинтегрируем по прямоугольнику $Q$. Получим равенство
$$\frac12\int\limits_{\Omega}x\left[D^{2p+1}_tu(x,0)\right]^2\,dx+\int\limits_Qxa(x)\left(D^{2p+1}_tu_x\right)^2\,dx\,dt-$$
$$-\frac12\int\limits_Qa'(x)\left(D^{2p+1}_tu\right)^2\,dx\,dt+\int\limits_Qxc(x,t)\left(D^{2p+1}_tu\right)^2\,dx\,dt+$$
$$+\varepsilon\int\limits_Qxa(x)\left(D^{4p+2}_tu_x\right)^2\,dx\,dt+
\varepsilon\mu\int\limits_Qx\left(D^{4p+2}_tu\right)^2\,dx\,dt-$$
$$-\frac{\varepsilon}{2}\int\limits_Qa'(x)\left(D^{4p+2}_tu\right)^2\,dx\,dt+\frac12\int\limits_0^T[a(1)-\lambda^2\beta^2a(0)]
\left[D^{2p+1}_tu(1,t)\right]^2\,dt+$$
$$+\frac{\varepsilon}{2}\int\limits_0^T[a(1)-\lambda^2\beta^2a(0)]\left[D^{4p+2}_tu(1,t)\right]^2\,dt=-\int\limits_Qxf(x,t)D^{4p+2}_tu\,dx\,dt+$$
$$+\int\limits_Qx\left[\sum\limits_{k=0}^{2p}c_k(x,t)D^k_tu\right]D^{2p+1}_tu\,dx\,dt,\eqno{(15)}$$
в котором через $c_k(x,t)$ обозначены полученные после применения формулы Лейбница производные функции $c(x,t)$ вместе с биномиальными коэффициентами.
Используя условия теоремы, интерполяционные неравенства
$$\int\limits_0^T\left[D^k_tu(x,t)\right]^2\,dt\le\delta\int\limits_0^T\left[D^{2p+1}_tu(x,t)\right]^2\,dt+C(\delta)\int\limits_0^Tu^2(x,t)\,dt,$$
в которых $k$ есть натуральное число из промежутка $[1,2p]$, $\delta$ есть произвольное положительное число (см. [18]), используя также неравенство~(14)
и неравенство Юнга, придем к оценке
$$\int\limits_Q\left[x\left(D^{2p+1}_tu_x\right)^2+x\left(D^{2p+1}_tu\right)^2\right]\,dx\,dt+\varepsilon\int\limits_Qx\left(D^{4p+2}_tu_x\right)^2\le M_2\int\limits_Qf^2\,dx\,dt,\eqno{(16)}$$
 с постоянной $M_2$, определяющейся числами $a_0$, $c_0$, $\beta$ и $\varepsilon$.

Из неравенств~(7), (14) и (16) вытекают оценки
$$\int\limits_0^T[u^2(0,t)+u^2(1,t)]\,dt\le M_3\int\limits_Qf^2\,dx\,dt,\eqno{(17)}$$
$$\int\limits_0^T\left\{\left[D^{2p+1}_tu_(0,t)\right]^2+\left[D^{2p+1}_tu_(1,t)\right]^2\right\}\,dt\le M_4\int\limits_Qf^2\,dx\,dt,\eqno{(18)}$$
в которых постоянная $M_3$ определяется лишь числами $a_0$, $c_0$ и $\beta$, постоянная $M_4$ определяется числами $a_0$, $c_0$, $\beta$ и $\varepsilon$.

Умножим уравнение~(8) на функцию $-u_{xx}(x,t)$ и проинтегрируем по прямоугольнику $Q$. Получим равенство
$$\frac12\int\limits_{\Omega}\left[D^p_tu_x(x,T)\right]^2\,dx+\int\limits_Q\left\{a(x)u^2_{xx}+[c(x,t)-\frac12a''(x)]u^2_x-\right.$$
$$\left.-\frac12 c_{xx}(x,t)u^2\right\}\,dx\,dt+\varepsilon\int\limits_Q\left\{a(x)\left[D^{2p+1}_tu_{xx}\right]^2+\right.$$
$$\left.+[\mu-\frac12a''(x)]\left(D^{2p+1}_tu_x\right)^2\right\}\,dx\,dt-\frac12a'(0)\int\limits_0^Tu^2_x(0,t)\,dt-$$$$-\frac{\varepsilon a'(0)}{2}\int\limits_0^T\left[D^{2p+1}_tu_x(0,t)\right]^2\,dt=(-1)^{p+1}\int\limits_0^TD^{2p+1}_tu(0,t)u_x(0,t)\,dt-$$
$$-\varepsilon\mu\int\limits_0^TD^{2p+1}_tu(0,t)D^{2p+1}_tu_x(0,t)\,dt-\int\limits_0^Tc(0,t)u(0,t)u_x(0,t)\,dt+$$
$$+\frac12\int\limits_0^Tc_x(0,t)u^2(0,t)\,dt-\frac12\int\limits_0^Tc_x(1,t)u^2(1,t)\,dt-\int\limits_Qfu_{xx}\,dx\,dt.\eqno{(19)}$$
Уточним величину числа $\mu$: число $\mu$ должно быть таким, чтобы при $x\in\overline{\Omega}$ выполнялось неравенство $2\mu-a''(x)\ge 0$. При
таком выборе числа $\mu$ и при выполнении условий теоремы
все слагаемые в левой части равенства~(19) будут неотрицательными. Далее четвертое и пятое слагаемые в правой части (19) будут конечными ---
вследствие оценки~(17). Применяя к первому, второму, третьему и шестому слагаемым правой части~(19) неравенство Юнга, учитывая представление
$$u_x(0,t)=-\int\limits_0^1u_{xx}(x,t)\,dx$$
и используя оценки~(17) и (18), нетрудно получить, что следствием равенства~(19) будет априорная оценка
$$\int\limits_Qu^2_{xx}\,dx\,dt+\varepsilon\int\limits_Q\left(D^{2p+1}_tu_{xx}\right)^2\,dx\,dt\le M_5\int\limits_Qf^2\,dx\,dt\eqno{(20)}$$
 с постоянной $M_5$, определяющейся функциями $a(x)$ и $c(x,t)$, а также числами $\beta$ и $\varepsilon$.

Для получения следующей оценки умножим уравнение~(8) на функцию $D^{4p+2}_tu_{xx}$. Повторяя выкладки, которые привели к оценке~(20), но при этом используя
оценки~(17), (18) и (20), получим неравенство
$$\int\limits_Q\left(D^{4p+2}_tu_{xx}\right)^2\,dx\,dt\le M_6\int\limits_Qf^2\,dx\,dt,\eqno{(21)}$$
постоянная $M_6$ в котором определяется функциями $a(x)$ и $c(x,t)$, а также числами $\beta$ и $\varepsilon$.

Оценки~(20) и (21) и означают, что при фиксированном $\varepsilon$ и при выполнении условий теоремы для всевозможных решений $u(x,t)$ краевой
задачи~(8), (2), (3), (9)--(11) выполняется оценка~(12). Как уже говорилось выше, из этой оценки следует что краевая задача~(8), (2), (3), (9)--(11)
разрешима в пространстве $V$ при всех $\lambda$ из отрезка $[0,1]$ при фиксированном $\varepsilon$ и при наличии включения $f(x,t)\in L_2(Q)$.

Покажем теперь, что при выполнении дополнительных условий на функцию $f(x,t)$ для решений краевой
задачи~(8), (2), (3), (9)--(11) будут иметь место априорные оценки, равномерные по параметру $\varepsilon$.

Прежде всего заметим, что если в первом слагаемом правой части равенства~(15) $(2p+1)$ раз проинтегрировать по переменной $t$
(это возможно),  то получим оценку
$$\int\limits_Q\left[x\left(D^{2p+1}_tu_{x}\right)^2+x\left(D^{2p+1}_tu\right)^2\right]\,dx\,dt+\varepsilon\int\limits_Qx\left(D^{4p+2}_tu\right)^2
\,dx\,dt\le $$$$\le M_7\int\limits_Q\left[f^2+\left(D^{2p+1}_tf\right)^2\right]\,dx\,dt,\eqno{(22)}$$
постоянная $M_7$ в которой определяется функциями $a(x)$ и $c(x,t)$, а также числом $\beta$.

Из оценок~(14) и (22), а также из неравенства~(7) следует, что левые части неравенств~(17) и (18) также будут ограничены числами, определяющимися функциями
$a(x)$, $c(x,t)$ и $f(x,t)$, а также числом $\beta$.

 Повторяя далее доказательство оценки~(20), но учитывая оценку~(22), придем к неравенству
$$\int\limits_Qu_{xx}^2\,dx\,dt+\varepsilon\int\limits_Q\left(D^{2p+1}_tu_{xx}\right)^2
\,dx\,dt\le M_8\int\limits_Q\left[f^2+\left(D^{2p+1}_tf\right)^2\right]\,dx\,dt\eqno{(23)}$$
с постоянной  $M_8$, определяющейся лишь функциями $a(x)$ и $c(x,t)$, а также числом $\beta$.

Умножив далее уравнение~(8) на функцию $\varepsilon D^{4p+2}_tu_{xx}(x,t)$ и проинтегрировав по прямоугольнику $Q$, получим еще одну оценку
$$\varepsilon^2\int\limits_Q\left(D^{4p+2}_tu_{xx}\right)^2
\,dx\,dt\le M_9\int\limits_Q\left[f^2+\left(D^{2p+1}_tf\right)^2\right]\,dx\,dt,\eqno{(24)}$$
постоянная $M_9$ в которой определяется лишь функциями $a(x)$ и $c(x,t)$, а также числом $\beta$.

Последняя оценка
$$\int\limits_Q\left(D^{2p+1}_tu\right)^2\,dx\,dt\le M_{10}\int\limits_Q\left[f^2+\left(D^{2p+1}_tf\right)^2\right]\,dx\,dt\eqno{(25)}$$
очевидным образом вытекает из предыдущих, постоянная $M_{10}$ в этой оценке вновь определяется лишь функциями $a(x)$ и $c(x,t)$, а также числом $\beta$.

Из оценок~(23)--(25) и из свойства рефлекситвности гильбертова пространства [17] вытекает, что существуют последовательность $\{\varepsilon_m\}_{m=1}^{\infty}$ положительных
чисел, а также функция $u(x,t)$ такие, что при $m\rightarrow\infty$ имеют место сходимости
$$\varepsilon_m\rightarrow 0,$$
$$u_m(x,t)\rightarrow u(x,t)\quad\mbox{\it слабо в пространстве}\quad W^{2,2p+1}_2(Q),$$
$$\varepsilon_mD^{4p+2}_tu_m(x,t)(x,t)\rightarrow 0\quad\mbox{\it слабо в пространстве}\quad L_2(Q),$$
$$\varepsilon_mD^{4p+2}_tu_{mxx}(x,t)(x,t)\rightarrow 0\quad\mbox{\it слабо в пространстве}\quad L_2(Q),$$
$$u_m(0,t)\rightarrow u(0,t)\quad\mbox{\it слабо в пространстве}\quad W^{2p+1}_2([0,T]),$$
$$u_m(1,t)\rightarrow u(1,t)\quad\mbox{\it слабо в пространстве}\quad W^{2p+1}_2([0,T]).$$
Очевидно, что предельная функция $u(x,t)$ и будет искомым решением нелокальной задачи~I.

Покажем, что в пространстве $W^{2,2p+1}_2(Q)$ для нелокальной задачи~I имеет место свойство единственности решений.


%Пусть в нелокальной задаче~I выполняется $f(x,t)\equiv 0$, и пусть $u(x,t)$ есть решение этой задачи из пространства $W^{2,2p+1}_2(Q)$.

Пусть $u(x,t)$ есть решение нелокальной задачи~I из пространства $W^{2,2p+1}_2(Q)$. При выполнении условий теоремы для решения $u(x,t)$ будет справедлива оценка~(14) с
$\varepsilon=0$. Если теперь $f(x,t)\equiv 0$ в $Q$, то из (14) и из неравенства (7) будет следовать, что выполняется $u(0,t)=0$ при $t\in (0,T)$. Это означает, что
$u(x,t)$ есть решение однородной смешанной краевой задачи для уравнения~(1). Очевидно, что $u(x,t)$ будет тождественно нулевой в $Q$ функцией. Этот факт и дает
искомую единственность решений.

В случае а) теорема доказана. Пусть теперь выполняется условие б). Вновь рассмотрим краевую задачу~(8), (2), (3), (9)--(11). Покажем, что для решений $u(x,t)$
этой задачи имеет место оценка~(12).

Умножив уравнение~(8) на функцию $xu(x,t)$ и проинтегрировав по прямоугольнику $Q$, после несложных выкладок придем к неравенству
$$a_0\int\limits_Qxu^2_x\,dx\,dt+c_0\int\limits_Qxu^2\,dx\,dt+\varepsilon a_0\int\limits_Qx\left(D^{2p+1}_tu_x\right)^2\,dx\,dt+$$
$$+\varepsilon\mu\int\limits_qx\left(D^{2p+1}_tu\right)^2\,dx\,dt\le\frac{\beta_1}{2}\int\limits_0^Tu^2(1,t)\,dt+\frac{\varepsilon\beta_1}{2}
\int\limits_0^T\left[D^{2p+1}_tu(1,t)\right]^2\,dt+$$
$$+\left|\int\limits_Qxfu\,dx\,dt\right|.\eqno{(26)}$$
Условие б), в частности, означает, что выполняется неравенство
$$\frac{\beta_1}{2(c_0-\beta_1)}<\frac{2a_0}{\beta_1}.$$
Выберем положительное число $\delta$ так, чтобы имело место включение $\delta^2\in\left(\frac{\beta_1}{2(c_0-\beta_1)},\,\frac{2a_0}{\beta_1}\right)$. Оценив первое и второе слагаемые правой части~(26) с помощью неравенства~(7), получим
$$\left(a_0-\frac{\beta_1\delta^2}{2}\right)\int\limits_Qxu^2_x\,dx\,dt+\left[c_0-\frac{\beta_1}{2}\left(2+\frac{1}{\delta^2}\right)\right]\int\limits_Qxu^2\,dx\,dt+$$
$$+\varepsilon\left(a_0-\frac{\beta_1\delta^2}{2}\right)\int\limits_Qx\left(D^{2p+1}_tu_x\right)^2\,dx\,dt+$$$$+
\varepsilon\left[\mu-\frac{\beta_1}{2}\left(2+\frac{1}{\delta^2}\right)\right]\int\limits_Qx\left(D^{2p+1}_tu\right)^2\,dx\,dt\le\left|\int\limits_Qxfu\,dx\,dt\right|.$$
Учитывая указанный выше выбор числа $\delta$, учитывая далее, что число $\mu$ можно выбрать настолько большим, чтобы выполнялось неравенство
$$\mu>\frac{\beta_1}{2}\left(2+\frac{1}{\delta^2}\right),$$
и, наконец, применяя неравенство Юнга к последнему слагаемому правой части~(26), получим, что для решений $u(x,t)$ краевой задачи~(8), (2), (3), (9)--(11)
выполняется априорная оценка~(14).

Повторяя проведенные ранее рассуждения для равенства~(15), получим, что для решений $u(x,t)$ краевой задачи~(8), (2), (3), (9)--(11) будут выполняться
оценки~(16) и (22) --- первая с постоянной, определяющейся функциями $a(x)$ и $c(x,t)$, числами $\beta$ и $\varepsilon$, вторая --- с постоянной, определяющейся
функциями $a(x)$ и $c(x,t)$, а также числом $\beta$.

Дальнейшие рассуждения вполне аналогичны рассуждениям, проведенным при выполнении условия а). Именно, вначале при фиксированном $\varepsilon$ устанавливается
справедливость оценок~(20) и (21), и, тем самым --- разрешимость краевой задачи~(8), (2), (3), (9)--(11) в пространстве $V$, далее --- справедливость
равномерных по $\varepsilon$ оценок~(23)--(25) и возможность организации предельного перехода. Предельная функция и будет искомым решением нелокальной задачи~I.

Единственность решений нелокальной задачи~I при выполнении условия б) вновь следует из оценки~(14), справедливой и при $\varepsilon=0$.

Теорема полностью доказана.
\end{proof}


\begin{theorem}
Пусть выполняются условия теоремы~1
для функций $a(x)$ и $c(x,t)$, а также одно из условий~а) или б). Тогда для любой функции $f(x,t)$ такой, что
$D^k_tf(x,t)\in L_2(Q)$, $k=0,\ldots,2p+1$, $D^k_tf(x,t)=0$ при $t=0$, $x\in\Omega$,
$k=0,\ldots,p$, $D^k_tf(x,t)=0$ при $t=T$, $x\in\Omega$, $k=p+1,\ldots,2p$, нелокальная задача~III имеет решение $u(x,t)$, принадлежащее
пространству $W^{2,2p+1}_2(Q)$, и в этом пространстве решение единственно.
\end{theorem}

\begin{proof}
Вновь рассмотрим вспомогательную задачу: {\it найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в прямоугольнике $Q$ решением уравнения~(8)
(при $\varepsilon>0$) и такую, что для нее выполняются условия~(2), (6), (9), (11), а также условие}
$$D^k_tu(x,t)|_{t=T}=0,\quad k=3p+1,\ldots,4p+1,\quad x\in\Omega.$$
Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы~1, нетрудно установить, что для решений $u(x,t)$ этой задачи  при фиксированном $\varepsilon$ имеет
место априорная оценка~(12), и при дополнительном условии на функцию $f(x,t)$ --- равномерные по $\varepsilon$ оценки~(23)--(25). Наличие этих оценок означает, что
вспомогательная задача будет разрешима в пространстве $V$, и что существует последовательность решений вспомогательной задачи, сходящаяся к решению нелокальной
задачи из требуемого класса.

Единственность решений нелокальной задачи~III в пространстве $W^{2,2p+1}_2(Q)$ очевидна.

Теорема доказана.
\end{proof}


\section{Разрешимость нелокальных задач~II и IV}

Доказательство разрешимости нелокальных задач~II и IV будет проведено с помощью перехода к нелокальным задачам~I и II \cite{19} и
использования теорем~1 и 2.

\begin{theorem}
Пусть выполняются условия
$$a(x)\in C^2(\overline{\Omega}),\quad c(x,t)\in C^2(\overline{Q});$$
$$a''(x)\le 0,\  c(x,t)\ge 0,\ \left(xc_x(x,t)\right)_x\le 0\ \mbox{при}\ x\in\overline{\Omega},\ t\in [0,T],\ a'(1)=0;$$
а также одно из условий а) или б) теоремы~1. Тогда для любой функции $f(x,t)$ такой, что $D^k_tf(x,t)\in L_2(Q)$, $D^k_tf_x(x,t)\in L_2(Q)$, $k=0,\ldots,2p+1$, $D^k_tf(x,t)=0$ при $t=0$, $x\in\Omega$, $k=0,\ldots,p$, $D^k_tf(x,t)=0$ при $t=T$, $x\in\Omega$, $k=0,\ldots,p-1$, $f(1,t)=0$ при $t\in (0,T)$, нелокальная задача~II имеет
решение $u(x,t)$ такое, что $u(x,t)\in W^{2,2p+1}_2(Q)$, $u_x(x,t)\in W^{2,2p+1}_2(Q)$, причем в указанном классе решение единственно.
\end{theorem}

\begin{proof}
Рассмотрим краевую задачу: {\it найти функцию $v(x,t)$, являющуюся в прямоугольнике $Q$ решением уравнения
$$(-1)^pD^{2p+1}_tv-\frac{\partial^2}{\partial x^2}(a(x)v)+c(x,t)v-c_x(x,t)\int\limits_x^1v(y,t)\,dy=f_x(x,t)\eqno{(27)}$$
и такую, что для нее выполняются~(2)--(4)}. Повторяя доказательство теоремы~1 (с использованием регуляризованного уравнения
$$(-1)^pD^{2p+1}_tv-\frac{\partial^2}{\partial x^2}(a(x)v)+c(x,t)v-c_x(x,t)\int\limits_x^1v(y,t)\,dy+$$$$+\varepsilon
D^{4p+2}_t\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2}(a(x)v)-\mu v\right]=f_x(x,t),$$
соответстующих дополнительных краевых условий и априорных оценок), нетрудно установить, что краевая задача~(27), (2)--(4) имеет решение $v(x,t)$, принадлежащее
пространству $W^{2,2p+1}_2(Q)$. Определим функцию $u(x,t)$ как решение задачи $u_x(x,t)=v(x,t)$, $u(1,t)=0$ при $t\in (0,T)$. Поскольку уравнение~(27) можно записать в виде
$$\frac{\partial}{\partial x}\left[(-1)^pD^{2p+1}_tu-\frac{\partial}{\partial x}(a(x)u_x)+c(x,t)u-f(x,t)\right]=0,$$
то, после интегрирования от $x$ до $1$ с использованием условия $f(1,t)=0$, получим,  что функция $u(x,t)$ и будет искомым решением нелокальной задачи~II.

Единственность решений нелокальной задачи~II в указанном классе очевидна.

Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}
Пусть выполняются условия
$$a(x)\in C^2(\overline{\Omega}),\quad c(x,t)\in C^2(\overline{Q});$$
$$a''(x)\le 0,\ c(x,t)\ge 0,\ \left(xc_x(x,t)\right)_x\le 0\ \mbox{при}\  x\in\overline{\Omega},\  t\in [0,T],\quad a'(1)=0;$$
а также одно из условий а) или б) теоремы~1. Тогда для любой функции $f(x,t)$ такой, что $D^k_tf(x,t)\in L_2(Q)$, $D^k_tf_x(x,t)\in L_2(Q)$, $k=0,\ldots,2p+1$, $D^k_tf(x,t)=0$ при $t=0$, $x\in\Omega$, $k=0,\ldots,p$, $D^k_tf(x,t)=0$ при $t=T$, $x\in\Omega$, $k=p+1,\ldots,2p$, $f(1,t)=0$ при $t\in (0,T)$, нелокальная задача~IV имеет
решение $u(x,t)$ такое, что $u(x,t)\in W^{2,2p+1}_2(Q)$, $u_x(x,t)\in W^{2,2p+1}_2(Q)$, причем в указанном классе решение единственно.
\end{theorem}

Доказательство этой теоремы проводится полностью аналогично доказательству теоремы~3.

\section{Заключение}

В работе получены новые (и даже существенно новые ) результаты о разрешимости в классах регулярных решений пространственно--нелокальных
краевых задач для линейных квазипараболических уравнений  произвольного нечетного по временной (выделенной) переменной порядка.

Полученные результаты нетрудно усилить в следующих направлениях:

1. оператор $L$ модельного вида можно заменить более общим оператором --- например, функция $a$ может быть функцией и переменной $t$, оператор $L$ может содержать
младшие по переменной $t$ производные порядков $1,\ldots,2p$, а также производную по $x$ первого порядка (соответствующие условия и выкладки будут отличаться от приведенных
в п.п.~2 и 3 лишь большей громоздкостью);

2. граничные условия (4) и (5) можно пошевелить  --- условие~(4) заменить условием $u(0,t)-\beta u(1,t)=0$, $u_x(1,t)+\alpha u(1,t)=0$,
условие~(5) можно заменить условием $u_x(0,t)=\beta u_x(1,t)+\alpha u(0,t)$;

3. граничные условия как по переменной $x$, так и по переменной $t$ можно задавать неоднородными --- используя процедуру продолжения
граничных функций внутрь прямоугольника $Q$, далее нетрудно будет преобразовать задачи с неоднородными граничными условиями к задачам с однородными.

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{1} J.R. Cannon, {\it The solution of the heat equation subject to the specification of energy}, Quart. Appl. Math., 21 (1963), 155--160.

\bibitem{2} L.I. Kamynin, {\it On a boundary value problem in the theory of heat conduction with nonclassical boundary conditions},
Journal of Computational Mathematics and mathematical physics, \textbf{4}:6 (1964), 1006--1024.

\bibitem{3} N.I. Ionkin, {\it Solution of a boundary value problem in the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition},
Diff. Uravn., \textbf{13}:2 (1977), 294--304.

\bibitem{4} N.I. Yurchuk, {\it Mixed problem with an integral condition for some parabolic equations}, Diff. Uravn., \textbf{22}:12 (1986), 2117--2126.

\bibitem{5} N.I. Ionkin, {\it On the stability of a problem in the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition},
Diff. Uravn., \textbf{15}:7 (1979), 1279--1283.

\bibitem{6} S.A. Beilin, {\it Existence of solutions for one--dimensional wave equations with nonlocal conditions}, Electronic Journal of Differential
Equations, 76 (2001), 1--8.

\bibitem{7} A.S. Berdyshev, A. Cabada, B.J. Kadirkulov, {\it The Samarskii--Ionkin type problem for the fourth order parabolic equation with
fractional differential operator}, Computess and Mathematics with Applications, 62 (2011), 3884--3893.

\bibitem{8} I.A. Kaliev, M.M. Sabitova, {\it Problems of determining the temperature and density of heat sources from the initial and final temperatures}, Siberian Journal of Industrial mathematics, \textbf{12}:1 (2009), 89--97.

\bibitem{9} A.A. Samarsky, {\it On some problems in the theory of differential equations}, Diff. Uravn., \textbf{16}:11 (1980), 1925--1935.

\bibitem{10} N.L. La$\check{z}$etic, {\it On classical solutions of mixed boundary problems for one dimensional parabolic equation of
second order}, Publ. de L'Institut mathematique. Nouvelle serie. \textbf{67}:81 (2000), 53--75.

\bibitem{11} A.I. Kozhanov, {\it On the solvability of boundary value problems with nonlocal and integral conditions for parabolic equations},
Nonlinear Boundary Problems, Donetsk, \textbf{20} (2010), 54--76.

\bibitem{12} A.M. Abdrakhmanov, A.I. Kozhanov, {\it A problem with a nonlocal boundary condition for a class of equations of an odd order},
Izvestiya Vuzov, Math., 5 (2007), 3--12.

\bibitem{13} A.M. Abdrakhmanov, {\it On the solvability of a boundary value problem with an integral boundary condition of the second kind for equations
of odd order}, Mat. Notes, \textbf{88}:2 (2010), 163--172.

\bibitem{14} S.L. Sobolev, {\it Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics}, Providence: Amer. Math. Soc., 1991.

\bibitem{15} O.A. Ladyzhenskaya, N.N. Uraltseva, {\it Linear and Quasilinear Elliptic Equations}, New York and London: Academic Press, 1968.

\bibitem{16} H. Triebel, {\it Interpolation theory. Function spaces. Differential operators}, Berlin: Veb Deutscher Verlag, 1980.

\bibitem{17} V.A. Trenogin, {\it Functional Analysis} [Russian], Moscow: Nauka, 1980.

\bibitem{18} O.V. Besov, V.P. Nl'in, S.M. Nikol'skiy, {\it Integral representations of functions and embedding theorems} [Russian], Moscow: Nauka, 1975.

\bibitem{19} A.I. Kozhanov, {\it On the solvability of some spatially non-local boundary value problems for linear second-order hyperbolic equations},
Math notes, \textbf{90}:2 (2011), 254--268.

\end{thebibliography}


\end{document}
