
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol}
\setcounter{MaxMatrixCols}{21}
\usepackage{tikz}
\usepackage{hyperref}

\def\udcs{519.716} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{08A99} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[О двух интервалах в решетке частичных ультраклонов]{О двух интервалах в решетке частичных ультраклонов ранга 2}
\author{{С.А. БАДМАЕВ, А.Е. ДУГАРОВ, И.В. ФОМИНА, И.К. ШАРАНХАЕВ}}%
\address{Sergei Alexandrovich Badmaev, Alexandr Evgenevich Dugarov, Irina Vladimirovna Fomina, Ivan Konstantinovich Sharankhaev  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Dorzhi Banzarov Buryat State University,
\newline\hphantom{iii} 24a, Smolina str.,
\newline\hphantom{iii} 670000, Ulan-Ude, Russia}%
\email{badmaevsa@mail.ru, dugarov\_aleksandr@mail.ru, fomina-irina0104@yandex.ru, goran5@mail.ru}%

\thanks{\sc Badmaev, S.A., Dugarov, A.E., Fomina, I.V., Sharankhaev, I.K.
On two intervals in the lattice of partial ultraclones of rank 2}
\thanks{\copyright \ 2021 Бадмаев С.А., Дугаров А.Е., Фомина И.В., Шаранхаев И.К.}
\thanks{\rm Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда №22--21--20013,  https://rscf.ru/project/22-21-20013/ и Правительства Республики Бурятия.}
\thanks{\it Поступила 1 января 2015 г., опубликована 31 декабря 2015 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } In article the intervals in the lattice of partial ultraclones of rank 2 are considered. The well-known classes of all monotone $M$ and all self-dual $S$ Boolean functions are partial ultraclones of rank 2. We proved that each of the intervals $\Im (M, M_2)$ and $\Im (S, M_2)$, where $M_2$ is complete partial ultraclone of rank 2, is finite.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} multifunction, Boolean function, monotone function, self-dual function, superposition, closed set, clone, partial ultraclone, lattice, interval of lattice.
 \end{quote}
}


\section{Введение}

Как известно, для булевых функций существует ровно 5 максимальных замкнутых классов (клонов) $T_0$, $T_1$, $M$, $S$ и $L$ \cite{Post}. В \cite{alex} доказано, что в решетке частичных клонов ранга 2 интервалы, содержащие классы $T_0$, $T_1$, $M$, $S$, являются конечными, а для $L$ такой интервал имеет континуальную часть. В свою очередь в решетке ультраклонов ранга 2 все аналогичные интервалы конечны \cite{PanteleyevHaltanova, bdfs}. В данной работе рассматривается обобщение этой задачи для решетки частичных ультраклонов ранга 2, которая содержит в себе решетки частичных клонов и ультраклонов. Доказано, что интервалы, содержащие $M$ и $S$, имеют 14 и 17 элементов соответственно. Отметим, что интервалы для $T_0$ и $T_1$ исследованы в \cite{PanteleyevHaltanova}, где доказана их конечность.


\section{Основные понятия и определения}

Пусть $E=\{0, 1\}$ и $F=\{\varnothing, \{0\}, \{1\}, \{0, 1\}\}$. Определим
следующие множества функций:

$P_{2,n} = \{f | f:E^n \rightarrow E\}$, $P_2 = \bigcup \limits_{n} P_{2,n};$

$P^*_{2,n} = \{f | f:E^n \rightarrow E \cup \{\varnothing\}\}$, $P^*_2 = \bigcup \limits_{n} P^*_{2,n};$

$P^-_{2,n} = \{f | f:E^n \rightarrow F \setminus \{\varnothing\}\}$, $P^-_2 = \bigcup \limits_{n} P^-_{2,n};$

$M_{2,n} = \{f | f:E^n \rightarrow F\}$, $M_2 = \bigcup \limits_{n} M_{2,n}.$

Функции из $P_2$ называют булевыми функциями, из $P^*_2$ -- частичными функциями на $E$, из $P^-_2$ -- гиперфункциями на $E$, а из $M_2$ -- мультифункциями на $E$. Очевидно, что $P_2\subset P^*_2 \subset M_2$, $P_2\subset P^-_2 \subset M_2.$

Для того, чтобы суперпозиция $$f(f_1(x_1, \dots, x_m), \dots, f_n(x_1, \dots, x_m)),$$ где $f, f_1, \dots, f_n \in M_2$, определяла мультифункцию $g(x_1, \dots, x_m)$ определим значения мультифункции $f$ на наборах из множества $F$ следующим образом:
если $(\alpha_1, \dots, \alpha_m) \in E^m$, то

$$g(\alpha_1, \dots, \alpha_m)=\left\{
\begin{array}{ll}
	\bigcap \limits_{\beta_i \in f_i(\alpha_1, \dots, \alpha_m)}f(\beta_1, \dots, \beta_n), & \mbox{если пересечение не пусто};\\
	\bigcup \limits_{\beta_i \in f_i(\alpha_1, \dots, \alpha_m)} f(\beta_1, \dots, \beta_n), & \mbox{в противном случае. }
\end{array} \right.$$

На наборах, содержащих $\varnothing$, мультифункция принимает значение $\varnothing$.

Далее мультифункцию будем называть просто функцией, если это не вызывает недоразумений.

Для любого натурального $n$ и любого $i$, где $1 \leq i  \leq n$, обозначим через $e_i^n(x_1,\dots, x_i,\dots, x_n)$  функцию, значения которой совпадают со значениями переменной $x_i$. Функции $e^n_i$ называются проекциями или селекторными функциями.

Замыканием множества функций $K$ называется множество всех функций, полученных из функций множества $K$ с помощью суперпозиции, добавления и удаления фиктивных переменных. Замыкание множества $K$ обозначается через $[K]$. Множество функций $K$ называется замкнутым (замкнутым классом), если $K=[K]$.

Частичным ультраклоном ранга 2 (ультраклоном ранга 2, клоном) называется замкнутое множество мультифункций (гиперфункций, булевых функций), содержащее все проекции. Множество всех мультифункций $M_2$ называется полным частичным ультраклоном ранга 2. Далее для краткости любой частичный ультраклон ранга 2 будем называть просто частичным ультраклоном. Заметим, что любой клон и ультраклон является частичным ультраклоном.

Частичный ультраклон $K$ называется максимальным, если не существует частичного ультраклона $K^{\prime}$ такого, что $K \subset K^{\prime} \subset M_2$.

Интервалом $\Im(Q,R)$ называется частично упорядоченное по включению множество всех частичных ультраклонов, в котором любой элемент $K$ удовлетворяет условиям $Q \subseteq K$ и $K \subseteq R$. Интервалы для наглядности изображаются в виде диаграмм, где частичные ультраклоны обозначены точками, а точка, представляющая $Q_1$, расположена выше и соединена отрезком с точкой, представляющей $R_1$, если $R_1 \subset Q_1$ и не существует частичного ультраклона $P$ такого, что $R_1 \subset P \subset Q_1$.

Через $M$ обозначим клон всех булевых монотонных функций, $S$ -- клон всех булевых самодвойственных функций.

Пусть $R^s$ -- $s$-местный предикат, заданный на множестве $F$. Будем говорить, что функция $f(x_1, \dots, x_n)$, определенная на множестве $F$, сохраняет предикат $R^s$, если для любых наборов $$(\alpha_{11}, \dots, \alpha_{s1}), \dots, (\alpha_{1n}, \dots, \alpha_{sn}),$$ принадлежащих предикату $R^s$, набор $$(f(\alpha_{11}, \dots, \alpha_{1n}), \dots, f(\alpha_{s1}, \dots, \alpha_{sn}))$$
принадлежит $R^s$.

Для упрощения записи используется кодировка: $\{\varnothing\} \leftrightarrow *$,
$\{0\} \leftrightarrow 0$, $\{1\} \leftrightarrow 1$,
$\{0, 1\} \leftrightarrow -$, тогда $F=\{0, 1, *, -\}$.

Мультифункцию, которая на всех наборах принимает значение $*$, будем обозначать просто $*$.

В \cite{Panteleyev2009} доказано, что максимальными ультраклонами ранга 2 являются только следующие 11 множеств:

1) $P_2$ -- множество всех булевых функций;

2) $T_0^{-}$ -- множество функций, которые сохраняют нуль, т. е. на наборе из всех нулей функции принимают значение $0$;

3) $T_1^{-}$ -- множество функций, которые сохраняют единицу, т. е. на наборе из всех единиц функции принимают значение $1$;

4) $S^-$ -- множество функций, сохраняющих предикат

$$R_S=\begin{pmatrix}
	0 & 1 & - \\
	1 & 0 & -
\end{pmatrix};$$

5) $L^-$ -- множество функций, сохраняющих предикат

$$R_L=\begin{pmatrix}
	0 & 0 & 1 & 1 & - \\
	0 & 1 & 0 & 1 & -
\end{pmatrix};$$

6) $M^-$ -- множество функций, сохраняющих предикат

$$R_M=\begin{pmatrix}
	0 & 0 & 1 & 0 & - & - \\
	0 & 1 & 1 & - & 1 & -
\end{pmatrix};$$

7) $A_1$ -- множество функций, сохраняющих предикат

$$R_1=\begin{pmatrix}
	0 & 1 & 1 & - & 1 & - \\
	1 & 0 & 1 & 1 & - & -
\end{pmatrix};$$

8) $A_2$ -- множество функций, сохраняющих предикат

$$R_2=\begin{pmatrix}
	0 & 0 & 1 & 0 & - & - \\
	0 & 1 & 0 & - & 0 & -
\end{pmatrix};$$

9) $A_3$ -- множество функций, сохраняющих предикат $R_3$, определяемый матрицей

$$\begin{pmatrix}
	0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - & - & 0 & 1 & - & - & 1 & 1 & - & - \\
	0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & - & 1 & - & 0 & 1 & - & - & 1 & - & 1 & - & 1 & - \\
	0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & - & 0 & - & 1 & 1 & 0 & - & - & - & 1 & - & 1 & 1 & -
\end{pmatrix};$$

10) $A_4$ -- множество функций, сохраняющих предикат

$$R_4=\begin{pmatrix}
	0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & - & 0 & - & - & - \\
	0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - & 0 & - & 0 & - & - \\
	0 & 1 & 0 & 1 & - & 0 & 0 & - & - & 0 & -
\end{pmatrix};$$

11) $A_5$ -- множество, состоящее из всех функций, существенно зависящих не более чем от одной переменной, а также из функций, принимающих два значения, одно из которых есть $-$.

Из \cite{semi2018} известно, что в полном частичном ультраклоне ранга 2 максимальными частичными ультраклонами являются следующие 12 множеств:

1) $K_1$ -- множество, состоящее из всех мультифункций $f$, принимающих на нулевом наборе либо значение $0$, либо значение $*$;

2) $K_2$ -- множество, состоящее из всех мультифункций $f$, принимающих на единичном наборе либо значение $1$, либо значение $*$;

3) $K_3$ -- множество, состоящее из всех мультифункций $f$, для которых выполняется одно из двух условий:
\begin{itemize}
	\item $f(\tilde{0})=*$ или $f(\tilde{1})=*$;
	\item $f(\tilde{0})=0$ и $f(\tilde{1})=1$.
\end{itemize}

4) $K_4$ -- множество, состоящее из всех мультифункций $f$ таких, что на любом двоичном наборе $ \tilde{\alpha}$ выполняется одно из трех условий:
\begin{itemize}
	\item $f(\tilde{\alpha})=f(\bar{\tilde{\alpha}})=-$;
	\item $f(\tilde{\alpha})=f(\bar{\tilde{\alpha}})=*$;
	\item $f(\tilde{\alpha})=\overline{f(\bar{\tilde{\alpha}})}, \text{ где }  f(\tilde{\alpha})\in\{0,1\}$.
\end{itemize}

5) $K_5$ -- множество, состоящее из всех мультифункций $f$ таких, что на любом двоичном наборе $ \tilde{\alpha}$ выполняется одно из двух условий:
\begin{itemize}
	\item $f(\tilde{\alpha})=* \text{ или } f(\bar{\tilde{\alpha}})=*$;
	\item $f(\tilde{\alpha})=\overline{f(\bar{\tilde{\alpha}})}, \text{ где }  f(\tilde{\alpha})\in\{0,1\}$.
\end{itemize}

6) $K_6=P^-_2\cup\{*\}$;

7) $K_7=P^*_2$;

8) $K_8$ -- множество всех мультифункций $f$, одновременно удовлетворяющих трем условиям:
\begin{itemize}
	\item если $f(\tilde{\alpha}),f(\tilde{\beta}),f(\tilde{\gamma})\in\{0,1\}$, то $$f\begin{pmatrix} \tilde{\alpha} \\ \tilde{\beta} \\ \tilde{\gamma} \end{pmatrix} \in \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix},$$
	где $\tilde{\alpha}=(\alpha_1,\dots,\alpha_n), \tilde{\beta}=(\beta_1,\dots,\beta_n), \tilde{\gamma}=(\gamma_1,\dots,\gamma_n)$ -- двоичные наборы такие, что $(\alpha_i \beta_i \gamma_i) \in \{(000), (001), (010), (111)\}$ для любого $i\in\{1,\dots,n\}$;
	\item если существует двоичный набор $\tilde{\alpha}$ такой, что $f(\tilde{\alpha})=-$, то для любого двоичного набора $\tilde{\beta}$ верно $f(\tilde{\beta})\neq1$;
	\item пусть двоичные наборы $ \tilde{\alpha}=(\alpha_1,\dots,\alpha_n), \tilde{\beta}=(\beta_1,\dots,\beta_n)$ такие, что $\alpha_i\leq \beta_i$ для всех $i\in\{1,\dots,n\}$, тогда, если $f(\tilde{\alpha})=*$, то $f(\tilde{\beta})=*$.
\end{itemize}

9) $K_9$ -- множество всех мультифункций $f$, одновременно удовлетворяющих трем условиям:
\begin{itemize}
	\item если $f(\tilde{\alpha}),f(\tilde{\beta}),f(\tilde{\gamma})\in\{0,1\}$, то $$f\begin{pmatrix} \tilde{\alpha} \\ \tilde{\beta} \\ \tilde{\gamma} \end{pmatrix} \in \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix},$$
	где $\tilde{\alpha}=(\alpha_1,\dots,\alpha_n), \tilde{\beta}=(\beta_1,\dots,\beta_n), \tilde{\gamma}=(\gamma_1,\dots,\gamma_n)$ -- двоичные наборы такие, что $(\alpha_i \beta_i \gamma_i) \in \{(000), (011), (101), (111)\}$ для любого $i\in\{1,\dots,n\}$;
	
	\item если существует двоичный набор $\tilde{\alpha}$ такой, что $f(\tilde{\alpha})=-$, то для любого двоичного набора $\tilde{\beta}$ верно $f(\tilde{\beta})\neq0$;
	\item пусть двоичные наборы $ \tilde{\alpha}=(\alpha_1,\dots,\alpha_n), \tilde{\beta}=(\beta_1,\dots,\beta_n)$ такие, что $\alpha_i\leq \beta_i$ для всех $i\in\{1,\dots,n\}$, тогда, если $f(\tilde{\beta})=*$, то $f(\tilde{\alpha})=*$.
\end{itemize}

10) $K_{10}$ -- множество всех мультифункций $f$, сохраняющих предикат:

$R_{10}=\begin{pmatrix} 0&0&0&0&1&1&1&1&-&\alpha\\0&0&1&1&1&1&0&0&-&\beta\\0&1&0&1&1&0&1&0&-&\gamma\\0&1&1&0&1&0&0&1&-&\delta \end{pmatrix}$, где $(\alpha,\beta,\gamma,\delta)^t$ -- всевозможные столбцы, в которых $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in \{0,1,-,*\}$ одновременно удовлетворяют двум условиям:
\begin{itemize}
	\item в любом столбце $(\alpha\beta\gamma\delta)^t$ среди $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ как минимум два принимают значение $*$;
	\item в любом столбце $(\alpha\beta\gamma\delta)^t$, если среди $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ встречается $0$ или $1$, то все они неравны $-$.
\end{itemize}

11) $K_{11}$ -- множество всех мультифункций $f$, сохраняющих предикат

\[ R_{11}=\left( \begin{array}{ccccccccccccccccccc}
0&0&0&1&1&0&0&-&-&0&1&-&*&*&*&*&*&*&*\\0&0&1&0&1&0&-&0&-&*&*&*&0&1&-&*&*&*&*\\0&1&0&0&1&-&0&0&-&*&*&*&*&*&*&0&1&-&*
%\end{pmatrix};$
\end{array} \right).\]
12) $K_{12}$ -- множество всех мультифункций $f$, сохраняющих предикат
\[ R_{12}=\left( \begin{array}{ccccccccccccccccccc}
%$R_{12}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & - & - & 0 & 1 & - & * & * & * & * & * & * & *\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & - & 1 & - & * & * & * & 0 & 1 & - & * & * & * & *\\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & - & 1 & 1 & - & * & * & * & * & * & * & 0 & 1 & - & *
%\end{pmatrix}.$
\end{array} \right).\]

\section{Интервал, содержащий класс монотонных \\ булевых функций $M$}

\begin{theorem} \cite{alex}
	Интервал $\Im(M,P^*_2)$ содержит ровно $9$ частичных клонов и изображен ниже.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			[scale=1, auto=left, every node/.style={circle,draw}]
			%\node (n1) at (15,14) {$M_2$};
		%	\node (n2) at (11,12)  {$P^*_2$};
            \node (n3) at (13,13)  {$P^*_2$};
          %  \node (n4) at (17,13)  {};
         %   \node (n5) at (19,12)  {};
            \node (n6) at (13,12)  {};
         %   \node (n17) at (13,11)  {};
			\node (n7) at (13,11)  {};
			\node (n8) at (12,9.5) {};
            \node (n9) at (14,9.5) {};
            \node (n10) at (13,8) {};
            \node (n11) at (11,9) {};
           % \node (n12) at (17,9) {};
            \node (n13) at (13,7) {$P_2$};
            %\node (n14) at (17,7) {$M^-$};
            \node (n15) at (15,6) {$M$};
          %  \node (n16) at (16,11)  {$P^-_2$};
   %    \node [below ] at (15.5,5.5) {$S$};
						\foreach \from/\to in {n3/n6,n6/n7,n7/n8, n7/n9, n8/n10, n9/n10,
n10/n11,n11/n13,n13/n15,n10/n15, n3/n11}
			\draw (\from) -- (\to);
        \end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{theorem}

\begin{theorem} \cite{bdfs}
	Интервал $\Im(M,P^-_2)$ содержит ровно $4$ ультраклона и изображен ниже.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			[scale=.65,auto=left,every node/.style={circle,draw}]
			\node (n1) at (15,10) {$P^-_2$};
			\node (n2) at (13,9)  {$P_2$};
			\node (n3) at (17,9)  {$M^-$};
			\node (n4) at (15,8) {$M$};
			
			\foreach \from/\to in {n1/n2,n1/n3,n2/n4,n3/n4}
			\draw (\from) -- (\to);
			
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{theorem}

\begin{lemma}
Множество $M^- \cup \{*\}$ является частичным ультраклоном ранга 2.
\end{lemma}
\begin{proof} Очевидно.
\end{proof}

\begin{lemma}
Из 12 максимальных частичных ультраклонов ранга 2 только $P^*_2$ и $P_2^- \cup \{*\}$ содержат целиком $M$.
\end{lemma}
\begin{proof} Покажем, что $M$ не является подмножеством ни одного из максимальных частичных ультраклонов ранга 2 кроме $P^*_2$ и $P_2^- \cup \{*\}$. Для каждого такого максимального частичного ультраклона приведем пример функции $f$, которая принадлежит $M$, но не принадлежит соответствующему максимальному частичному ультраклону:

1) Для $K_1$: $f = (1111)$.

2) Для $K_2$: $f = (0000)$.

3) Для $K_3$: $f = (0000)$.

4) Для $K_4$: $f = (0000)$.

5) Для $K_5$: $f = (0000)$.

6) Для $K_8$: $f = (0111)$.

7) Для $K_9$: $f = (0001)$.

8) Для $K_{10}$: $f = (0001)$.

9) Для $K_{11}$: $f = (0111)$.

10) Для $K_{12}$: $f = (0001)$.

\end{proof}


\begin{theorem}
	Интервал $\Im(M,M_2)$ содержит ровно $14$ частичных ультраклонов и изображен ниже.
\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			[scale=1, auto=left, every node/.style={circle,draw}]
			\node (n1) at (15,14) {$M_2$};
		%	\node (n2) at (11,12)  {$P^*_2$};
            \node (n3) at (13,13)  {$P^*_2$};
            \node (n4) at (17,13)  {};
         %   \node (n5) at (19,12)  {};
            \node (n6) at (13,12)  {};
         %   \node (n17) at (13,11)  {};
			\node (n7) at (13,11)  {};
			\node (n8) at (12,9.5) {};
            \node (n9) at (14,9.5) {};
            \node (n10) at (13,8) {};
            \node (n11) at (11,9) {};
            \node (n12) at (17,9) {};
            \node (n13) at (13,7) {$P_2$};
            \node (n14) at (17,7) {$M^-$};
            \node (n15) at (15,6) {$M$};
            \node (n16) at (16,11)  {$P^-_2$};
   %    \node [below ] at (15.5,5.5) {$S$};
						\foreach \from/\to in {n1/n3,n1/n4,n3/n6,n6/n7,n7/n8, n7/n9, n8/n10, n9/n10,
n4/n12,n10/n11,n10/n12,n11/n13,n13/n15,n10/n15,n16/n13,n12/n14,n16/n14,n14/n15, n4/n16, n3/n11}
			\draw (\from) -- (\to);
        \end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{theorem}
\begin{proof} Следует из теорем 1, 2 и лемм 1, 2.

\end{proof}

\section{Интервал, содержащий класс самодвойственных \\ булевых функций $S$}

Обозначим через $S^*$ множество частичных функций, сохраняющих предикат $$\begin{pmatrix}
	0 & 1 & 0 & 1 & * & * & * \\
	1 & 0 & * & * & 0 & 1 & *
\end{pmatrix}.$$

\begin{theorem} \cite{alex}
	Интервал $\Im(S,P^*_2)$ содержит ровно $9$ частичных клонов и изображен ниже.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			[scale=1, auto=left, every node/.style={circle,draw}]
			%\node (n1) at (15,14) {$M_2$};
		%	\node (n2) at (11,12)  {$P^*_2$};
            \node (n3) at (13,13.5)  {$P^*_2$};
          %  \node (n4) at (17,13)  {};
         %   \node (n5) at (19,12)  {};
            \node (n6) at (13,12)  {$S^*$};
         %   \node (n17) at (13,11)  {};
			\node (n7) at (13,11)  {};
			\node (n8) at (12,9.5) {};
            \node (n9) at (14,9.5) {};
            \node (n10) at (13,8) {};
            \node (n11) at (11,9) {};
           % \node (n12) at (17,9) {};
            \node (n13) at (13,7) {$P_2$};
            %\node (n14) at (17,7) {$M^-$};
            \node (n15) at (15,6) {$S$};
          %  \node (n16) at (16,11)  {$P^-_2$};
   %    \node [below ] at (15.5,5.5) {$S$};
						\foreach \from/\to in {n3/n6,n6/n7,n7/n8, n7/n9, n8/n10, n9/n10,
n10/n11,n11/n13,n13/n15,n10/n15, n3/n11}
			\draw (\from) -- (\to);
        \end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{theorem}

\begin{theorem} \cite{bdfs}
	Интервал $\Im(S,P^-_2)$ содержит ровно $4$ ультраклона и изображен ниже.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			[scale=.65,auto=left,every node/.style={circle,draw}]
			\node (n1) at (15,10) {$P^-_2$};
			\node (n2) at (13,9)  {$P_2$};
			\node (n3) at (17,9)  {$S^-$};
			\node (n4) at (15,8) {$S$};
			
			\foreach \from/\to in {n1/n2,n1/n3,n2/n4,n3/n4}
			\draw (\from) -- (\to);
			
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{theorem}


\begin{lemma}
Множество $S^- \cup \{*\}$ является частичным ультраклоном ранга 2.
\end{lemma}
\begin{proof}
Очевидно.
\end{proof}

\begin{lemma}
Из 12 максимальных частичных ультраклонов ранга 2 только $K_4$, $K_5$, $P^*_2$ и $P_2^- \cup \{*\}$ содержат целиком $S$.
\end{lemma}
\begin{proof} Покажем, что $S$ не является подмножеством ни одного из максимальных частичных ультраклонов ранга 2 кроме $K_4$, $K_5$, $P^*_2$ и $P_2^- \cup \{*\}$. Для каждого такого максимального частичного ультраклона приведем пример функции $f$, которая принадлежит $S$, но не принадлежит соответствующему максимальному частичному ультраклону:

1) Для $K_1$: $f = (10)$.

2) Для $K_2$: $f = (10)$.

3) Для $K_3$: $f = (10)$.

4) Для $K_8$: $f = (10)$.

5) Для $K_9$: $f = (10)$.

6) Для $K_{10}$: $f = (00010111)$.

7) Для $K_{11}$: $f = (10)$.

8) Для $K_{12}$: $f = (10)$.

\end{proof}

\begin{lemma}
Из 12 максимальных частичных ультраклонов ранга 2 только $K_4$ и $P_2^- \cup \{*\}$ содержат целиком $S^-$.
\end{lemma}
\begin{proof} В силу леммы 4 достаточно доказать, что $S^-$ не является подмножеством $K_5$ и $P^*_2$. Это верно, так как $f=(--) \in S^-$, но $f \not \in K_5$ и $f \not \in P^*_2$.

\end{proof}

\begin{corollary} Верно, что
	$K_4 \cap P_2^-= S^-$.
\end{corollary}

\begin{lemma}
Из 12 максимальных частичных ультраклонов ранга 2 только $K_5$ и $P^*_2$ содержат целиком $S^*$.
\end{lemma}
\begin{proof} В силу леммы 4 достаточно доказать, что $S^*$ не является подмножеством $K_4$ и $P_2^- \cup \{*\}$. Это верно, так как $f=(1*) \in S^*$, но $f \not \in K_4$ и $f \not \in P_2^- \cup \{*\}$.

\end{proof}

\begin{lemma} Для любой $f\in K_4 \setminus (S^-\cup\{*\})$ верно, что  $$[S^-\cup \{f\}]=K_4.$$
\end{lemma}

\begin{proof} С учетом леммы 5 включение $[S^-\cup \{f\}]\subseteq K_4$ очевидно. Покажем, что любая $g (x_1, \dots, x_m)\in K_4$ может быть выражена с помощью суперпозиции гиперфункций из $S^-$ и мультифункции $f\in K_4 \setminus (S^-\cup\{*\})$. Достаточно рассмотреть случай, когда
$g (x_1, \dots, x_m)\in K_4 \setminus (S^-\cup\{*\})$.

 Обозначим через
\begin{itemize}
	\item $\widetilde\alpha_1,\dots,\widetilde\alpha_s$ наборы, на которых значение $g$ равно 0;
	\item $\widetilde\beta_1,\dots,\widetilde\beta_l$ наборы, на которых значение $g$ равно 1;
	\item $\widetilde\gamma_1,\dots,\widetilde\gamma_t$ наборы, на которых значение $g$ равно $-$;
	\item $\widetilde\delta_1,\dots,\widetilde\delta_p$ наборы, на которых значение $g$ равно $*$.
\end{itemize}

Тогда значение мультифункции $g$
\begin{itemize}
	\item на наборах $\overline{\widetilde\alpha}_1,\dots,\overline{\widetilde\alpha}_s$ равно 1;
	\item на наборах $\overline{\widetilde\beta}_1,\dots,\overline{\widetilde\beta}_l$ равно 0;
	\item на наборах $\overline{\widetilde\gamma}_1,\dots,\overline{\widetilde\gamma}_t$ равно $-$;
	\item на наборах $\overline{\widetilde\delta}_1,\dots,\overline{\widetilde\delta}_p$ равно $*$.
\end{itemize}

Обозначим через $\widetilde\eta_1,\dots,\widetilde\eta_r$ наборы, на которых значение функции $f$ равно $*$.
Тогда на наборах $\overline{\widetilde\eta}_1,\dots,\overline{\widetilde\eta}_r$ значение $f$ также равно $*$.

Пусть $i\in\{1,\dots,s\}, j\in\{1,\dots,l\}, k\in\{1,\dots,t\}, v\in\{1,\dots,p\}, q=\{1,\dots,r\}$.

Построим функцию $\varphi(x_1,\dots,x_m)=f(f_1(x_1,\dots,x_m),\dots,f_n(x_1,\dots,x_m)),$
где $f_1,\dots,f_n \in S^-$ такие, что $(f_1(\widetilde\delta_v),\dots,f_n(\widetilde\delta_v))=\widetilde\eta_q$.

Тогда
	$(f_1(\overline{\widetilde\delta}_v),\dots,f_n(\overline{\widetilde\delta}_v))=(\overline f_1(\widetilde\delta_v),\dots,\overline f_n(\widetilde\delta_v))=\overline{\widetilde\eta}_q$ и $\varphi(\widetilde\delta_v)=f(\widetilde\eta_q)=\ast$, $\varphi(\overline{\widetilde\delta}_v)=f(\overline{\widetilde\eta}_q)=\ast$.
	На остальных наборах примем значения функций $f_i$ равными $-$ для любого $i \in \{1,\dots,n\}$.
Тогда на таких наборах $\lambda$ значение	$$\varphi(\lambda)=f(-,\dots,-)=-.$$


Таким образом, мы построили мультифункцию $\varphi$, которая на наборах $\widetilde\delta_v$ и $\overline{\widetilde\delta}_v$ принимает значение $\ast$, а на остальных наборах значение $-$.

Рассмотрим самодвойственную функцию $\psi(x_1,\dots,x_m, y)$ такую, что

$\psi(\widetilde\alpha_i,0)=0$, $\psi(\widetilde\alpha_i,1)=0$, $\psi(\overline{\widetilde\alpha}_i,0)=1$, $\psi(\overline{\widetilde\alpha}_i,1)=1$,

$\psi(\widetilde\beta_j,0)=1$, $\psi(\widetilde\beta_j,1)=1$, $\psi(\overline{\widetilde\beta}_j,0)=0$, $\psi(\overline{\widetilde\beta}_j,1)=0$,

$\psi(\widetilde\gamma_k,0)=0$, $\psi(\widetilde\gamma_k,1)=1$, $\psi(\overline{\widetilde\gamma}_k,0)=0$,
$\psi(\overline{\widetilde\gamma}_k,1)=1$.

 Покажем, что $\psi(x_1,\dots,x_m,\varphi(x_1,\dots,x_m))=g(x_1,\dots,x_m).$ Действительно,
$$\psi(\widetilde\alpha_i, \varphi(\widetilde\alpha_i))=\psi(\widetilde\alpha_i, -)=\psi(\widetilde\alpha_i, 0)\cap \psi(\widetilde\alpha_i, 1)=0=g(\widetilde\alpha_i),$$
$$\psi(\widetilde\beta_j, \varphi(\widetilde\beta_j))=\psi(\widetilde\beta_j, -)=\psi(\widetilde\beta_j, 0)\cap \psi(\widetilde\beta_j, 1)=1=g(\widetilde\beta_j),$$
$$\psi(\widetilde\gamma_k, \varphi(\widetilde\gamma_k))=\psi(\widetilde\gamma_k, -)=\psi(\widetilde\gamma_k, 0)\cup \psi(\widetilde\gamma_k, 1)=-=g(\widetilde\gamma_k),$$
$$\psi(\widetilde\delta_v, \varphi(\widetilde\delta_v))=\psi(\widetilde\delta_v, \ast)=\ast=g(\widetilde\delta_v),$$
$$\psi(\overline{\widetilde\alpha}_i, \varphi(\overline{\widetilde\alpha}_i)=\psi(\overline{\widetilde\alpha}_i, -)=\psi(\overline{\widetilde\alpha}_i, 0)\cap \psi(\overline{\widetilde\alpha}_i, 1)=1= g(\overline{\widetilde\alpha}_i),$$
$$\psi(\overline{\widetilde\beta}_j, \varphi(\overline{\widetilde\beta}_j)=\psi(\overline{\widetilde\beta}_j, -)=\psi(\overline{\widetilde\beta}_j, 0)\cap \psi(\overline{\widetilde\beta}_j, 1)=0= g(\overline{\widetilde\beta}_j),$$
$$\psi(\overline{\widetilde\gamma}_k, \varphi(\overline{\widetilde\gamma}_k)=\psi(\overline{\widetilde\gamma}_k, -)=\psi(\overline{\widetilde\gamma}_k, 0)\cup \psi(\overline{\widetilde\gamma}_k, 1)=-= g(\overline{\widetilde\gamma}_k),$$
$$\psi(\overline{\widetilde\delta}_v, \varphi(\overline{\widetilde\delta}_v))=\psi(\overline{\widetilde\delta}_v, \ast)=\ast=g(\overline{\widetilde\delta}_v).$$

Отсюда следует, что $K_4\subseteq [S^-\cup \{f\}].$ Следовательно, $K_4=[S^-\cup \{f\}].$

\end{proof}

\begin{corollary} Не существует частичного ультраклона $B$ такого, что
	$$S^-\cup \{*\} \subset B \subset K_4.$$
\end{corollary}


Обозначим через $S'$ множество, состоящее из всех мультифункций $f$ таких, что на любом двоичном наборе $ \tilde{\alpha}$ выполняется одно из двух условий:
\begin{itemize}
	\item $f(\tilde{\alpha})=* \text{ или } f(\bar{\tilde{\alpha}})=*$;
	\item $f(\tilde{\alpha})=\overline{f(\bar{\tilde{\alpha}})}, \text{ где }  f(\tilde{\alpha})\in\{0,1\}$, и при этом не существует двоичного набора $\tilde{\beta}$ такого, что $f(\tilde{\beta})=-$.
\end{itemize}

Из этого определения следует, что если функция из множества $S'$ на некотором наборе принимает значение $-$, то среди её значений как минимум половина равны $*$, и $S^{*} \subset S^{\prime} \subset K_5$.

\begin{lemma}
	Множество $S^{\prime}$ является частичным ультраклоном ранга 2.
\end{lemma}

\begin{proof}
	Из определения множества $S^{\prime}$ следует, что оно замкнуто относительно добавления и удаления фиктивных переменных и содержит все проекции. Доказательство замкнутости относительно суперпозиции проведем методом от противного. Пусть $$h(x_1,\dots,x_n)=f(g_1(x_1,\dots,x_n),g_2(x_1,\dots,x_n)\dots,g_m(x_1,\dots,x_n)),$$ где $f,g_1,\dots,g_m$ -- произвольные функции из множества $S^{\prime}$. Предположим, что $h(x_1,\dots,x_n)\notin S^{\prime}$.
	
	Пусть существует двоичный набор $\tilde{\alpha}$ такой, что $h(\tilde{\alpha})=f(\tilde{\gamma})=\mu\neq*$, $h(\bar{\tilde{\alpha}})=f(\tilde{\delta})=\eta\neq*$ и $\begin{pmatrix}\mu \\ \eta \end{pmatrix}\notin\{(01)^t, (10)^t\}$. Имеем $\gamma_i\neq *$ и $\delta_i\neq *$ для всех $i\in\{1,\dots,m\}$, иначе значение функции $f$ хотя бы на одном из наборов $\tilde{\gamma}$ или $\tilde{\delta}$ равно $*$. Также имеем $\gamma_i=\bar{\delta_i}$ для всех $i\in\{1,\dots,m\}$, иначе одна из функций $g_1,\dots,g_m$ не принадлежит $S'$. Таким образом, $\begin{pmatrix}\gamma_i \\ \delta_i \end{pmatrix}\in\{(01)^t, (10)^t\}$, противоречие с $f\in S'$.
	
	Пусть теперь $h(\tilde{\alpha})=f(\tilde{\gamma})=\mu\in\{0,1\}$, $h(\bar{\tilde{\alpha}})=f(\tilde{\delta})=\bar{\mu}$ и существует двоичный набор $\tilde{\beta}$ такой, что $h(\tilde{\beta})=f(\tilde{\sigma})=-$. Заметим, что $\gamma_i \neq -$, $\delta_i \neq -$ и $\sigma_i \neq -$ для всех $i\in\{1,\dots,m\}$. Действительно, если найдется такой $i$, что $\gamma_i = -$, то либо $\delta_i  = *$, либо $g_i\notin S'$. Аналогично, если $\delta_i  = -$. Если же $\sigma_i = -$, то  $g_i\notin S'$. Поэтому $\gamma_i=\bar{\delta_i}$ и $\sigma_i \in \{0,1\}$ для всех $i\in\{1,\dots,m\}$, противоречие с $f\in S'$.
	
\end{proof}


\begin{lemma}
	Для любой $f\in S' \setminus S^{*}$ верно, что  $$[S^{*}\cup \{f\}]=S'.$$
\end{lemma}

\begin{proof}
	Включение $[S^{*}\cup \{f\}]\subseteq S'$ очевидно. Покажем, что любая $g (x_1, \dots, x_m)\in S'$ может быть выражена с помощью суперпозиции функций из $S^{*}$ и функции $f\in S' \setminus S^{*}$. Достаточно рассмотреть случай, когда
	$$g (x_1, \dots, x_m)\in S' \setminus S^{*}.$$
	
	Обозначим через
	\begin{itemize}
		\item $\widetilde\alpha_1,\dots,\widetilde\alpha_s$ наборы, на которых значение $g$ равно 0;
		\item $\widetilde\beta_1,\dots,\widetilde\beta_l$ наборы, на которых значение $g$ равно 1;
		\item $\widetilde\gamma_1,\dots,\widetilde\gamma_t$ наборы, на которых значение $g$ равно $-$.
	\end{itemize}
	
	Тогда значение $g$ на всех остальных наборах равно $*$. Заметим, что количество таких наборов больше или равно $s+l+t$.
	
	Из функции $f$ с помощью проекций и отрицаний можно получить функцию $\phi(x)=(-*)$. Далее получим функцию $\varphi(x_1, \dots, x_m)$, которая принимает значение $-$ на наборах $\widetilde\alpha_1,\dots,\widetilde\alpha_s$, $\widetilde\beta_1,\dots,\widetilde\beta_l$, $\widetilde\gamma_1,\dots,\widetilde\gamma_t$, а на остальных наборах принимает значение $*$, следующим образом: $$\varphi(x_1, \dots, x_m) = \phi(\omega(x_1, \dots, x_m)),$$ где $\omega(x_1, \dots, x_m)$ является функцией из $S^{*}$, которая на наборах $\widetilde\alpha_1,\dots,\widetilde\alpha_s$, $\widetilde\beta_1,\dots,\widetilde\beta_l$, $\widetilde\gamma_1,\dots,\widetilde\gamma_t$ принимает значение 0, а на остальных наборах принимает значение $*$.
		
	Теперь рассмотрим самодвойственную функцию $\psi(x_1,\dots,x_m, y)$ такую, что
	
	$\psi(\widetilde\alpha_i,0)=0$, $\psi(\widetilde\alpha_i,1)=0$, $\psi(\overline{\widetilde\alpha}_i,0)=1$, $\psi(\overline{\widetilde\alpha}_i,1)=1$,
	
	$\psi(\widetilde\beta_j,0)=1$, $\psi(\widetilde\beta_j,1)=1$, $\psi(\overline{\widetilde\beta}_j,0)=0$, $\psi(\overline{\widetilde\beta}_j,1)=0$,
	
	$\psi(\widetilde\gamma_k,0)=0$, $\psi(\widetilde\gamma_k,1)=1$, $\psi(\overline{\widetilde\gamma}_k,0)=0$,
	$\psi(\overline{\widetilde\gamma}_k,1)=1$.
	
	Покажем, что $\psi(x_1,\dots,x_m,\varphi(x_1,\dots,x_m))=g(x_1,\dots,x_m).$ Действительно,
	$$\psi(\widetilde\alpha_i, \varphi(\widetilde\alpha_i))=\psi(\widetilde\alpha_i, -)=\psi(\widetilde\alpha_i, 0)\cap \psi(\widetilde\alpha_i, 1)=0=g(\widetilde\alpha_i),$$
	$$\psi(\widetilde\beta_j, \varphi(\widetilde\beta_j))=\psi(\widetilde\beta_j, -)=\psi(\widetilde\beta_j, 0)\cap \psi(\widetilde\beta_j, 1)=1=g(\widetilde\beta_j),$$
	$$\psi(\widetilde\gamma_k, \varphi(\widetilde\gamma_k))=\psi(\widetilde\gamma_k, -)=\psi(\widetilde\gamma_k, 0)\cup \psi(\widetilde\gamma_k, 1)=-=g(\widetilde\gamma_k).$$
	
	На остальных наборах значение суперпозиции $\psi(x_1,\dots,x_m,\varphi(x_1,\dots,x_m))$ равно $*$, поскольку внутренняя функция $\varphi$ принимает на них значение $*$.
	
	Отсюда следует, что $S'\subseteq [S^{*}\cup \{f\}].$ Следовательно, $S'= [S^{*}\cup \{f\}].$
	
\end{proof}

\begin{lemma} Для любой $f\in K_5 \setminus S'$ верно, что  $$[S'\cup \{f\}]=K_5.$$
\end{lemma}

\begin{proof}
	Включение $[S'\cup \{f\}]\subseteq K_5$ очевидно. Покажем, что любая $g (x_1, \dots, x_m)\in K_5$ может быть выражена с помощью суперпозиции функций из $S'$ и функции $f\in K_5 \setminus S'$. Достаточно рассмотреть случай, когда
	$g (x_1, \dots, x_m)\in K_5 \setminus S'$.
	Из функции $f$ с помощью проекций и отрицаний можно получить бинарную функцию $\varphi(x,y)\in K_5$, у которой вектор значений содержит все четыре значения $0, 1, -, *$. Из функции $\varphi(x,y)$ с помощью отрицания и перестановки переменных получим функцию $\psi(x_1, x_2)=(0-*1)$.
	
Обозначим через
		$\widetilde\alpha_1,\dots,\widetilde\alpha_s$ наборы, на которых значение $g$ равно $-$. Обозначим через $g_0$ и $g_1$ функции, которые принимают такие же значения как и $g$ на всех наборах кроме $\widetilde\alpha_1,\dots,\widetilde\alpha_s$. На наборах $\widetilde\alpha_1,\dots,\widetilde\alpha_s$ функция $g_0$ равна 0, а функция $g_1$ равна 1. Очевидно, что $g_0, g_1 \in S^*$. Остается заметить, что $$g (x_1, \dots, x_m)=\psi(g_0(x_1, \dots, x_m), g_1(x_1, \dots, x_m)).$$
	

\end{proof}


\begin{theorem}
	Интервал $\Im(S,M_2)$ содержит ровно $17$ частичных ультраклонов и изображен ниже.
\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			[scale=1, auto=left, every node/.style={circle,draw}]
			\node (n1) at (15,14) {$M_2$};
			\node (n2) at (11,12)  {$P^*_2$};
            \node (n3) at (13,12)  {$K_5$};
            \node (n4) at (17,12)  {$K_4$};
            \node (n5) at (19,12)  {};
            \node (n6) at (13,10)  {$S^*$};
            \node (n17) at (13,11)  {$S^{\prime}$};
			\node (n7) at (13,9)  {};
			\node (n8) at (12,8) {};
            \node (n9) at (14,8) {};
            \node (n10) at (13,7) {};
            \node (n11) at (11,8) {};
            \node (n12) at (17,8) {};
            \node (n13) at (13,6) {$P_2$};
            \node (n14) at (17,6) {$S^-$};
            \node (n15) at (15,5) {$S$};
            \node (n16) at (19,10)  {$P^-_2$};
   %    \node [below ] at (15.5,5.5) {$S$};
						\foreach \from/\to in {n1/n2,n1/n3,n1/n4,n1/n5,n2/n6,n3/n17,n6/n17, n6/n7,n7/n8, n7/n9, n8/n10, n9/n10, n2/n11,
n4/n12,n10/n11,n10/n12,n11/n13,n13/n15,n10/n15,n16/n13,n4/n12, n12/n14,n16/n14,n14/n15, n5/n16, n12/n5}
			\draw (\from) -- (\to);
        \end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{theorem}
\begin{proof} Следует из теорем 4, 5 и лемм 3--10.

\end{proof}

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).


\bibitem{Post} E.L. Post, {\it Introduction to a General Theory of Elementary Proposition}, Amer. J. Math., \textbf{43}:4 (1921),163--185.

\bibitem{alex} V.B. Alekseev, A.A. Voronenko, {\it On some closed classes in partial two-valued logic}, Discrete Math. Appl., {\bf 4}:5 (1994), 401--419.

\bibitem{PanteleyevHaltanova} V.I. Panteleyev, S.Yu. Haltanova,  {\it About some intervals in the lattic of clones of partial ultrafunctions}, The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, \textbf{4} (2010), 80--87. \url{http://www.mathnet.ru/links/9943b7bdc77dcb582e729bd606a9dd1d/iigum179.pdf}


    \bibitem{bdfs} S.A. Badmaev, A.E. Dugarov, I.V. Fomina, I.K. Sharankhaev, {\it On some intervals
in the lattice of ultraclones of rank 2}, Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bf 18}:2 (2021), 1210--1218.
\url{http://semr.math.nsc.ru/v18/n2/p1210-1218.pdf}



\bibitem{Panteleyev2009} V.I. Panteleyev, {\it Completeness Criterion for Predefined Boolean Functions (in Russian)},  Vestnik Samar.
Gos. Univ. Est.-Naush. Ser., \textbf{2}:68 (2009), 60--79. \url{http://www.mathnet.ru/links/e18ebea8ae72878a5d55fb95d6337a2c/vsgu223.pdf}


\bibitem{semi2018} S.A. Badmaev, {\it A Completeness Criterion of Set of Multifunctions in Full Partial Ultraclone of Rank 2}, Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bf 15} (2018), 450--474.
\url{http://semr.math.nsc.ru/v15/p450-474.pdf}




\end{thebibliography}
\end{document}
