
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{517.53} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{30E05, 30H99} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
        {\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Некоторые замечания о дифференциальных операторах...]{Некоторые замечания о дифференциальных операторах в классах И.И. Привалова}
\author{{Ф.А. ШАМОЯН, Н.М. МАХИНА}}%
\address{Faizo Agitovich Shamoyan% Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Saratov State University,
\newline\hphantom{iii} Astrakhanskaya st., 83,
\newline\hphantom{iii}  410012, Saratov, Russia}%
\email{shamoyanfa@yandex.ru}%

\address{Natalia Mikhailovna Makhina% Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Bryansk State University,
\newline\hphantom{iii} Bezhitskaya st., 14,
\newline\hphantom{iii} 241036, Bryansk, Russia}%
\email{mahinanm@yandex.ru}%

\thanks{\sc Shamoyan, F.A., Makhina, N.M.
Some remarks on differential operators in the classes of I.I.
Privalov}
\thanks{\copyright \ 2022 Шамоян Ф.А., Махина Н.М.}
\thanks{\it Поступила 1 января 2015 г., опубликована 31 декабря 2015 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } In this paper we consider the invariance
of Privalov classes with respect to the differentiation operator.
We prof a necessary and sufficient condition for the invariance of
a plane weighted Privalov classes in the unit disc and we have
expanded the indicated results for an any bounded domain on the
complex plane. \medskip

\noindent{\bf Keywords:} Privalov class, differentiation operator,
Whitney decomposition.
 \end{quote}
}


\section{Введение}

Пусть $D=\{ z\in  \mathbb{C}:\left|z\right|<1\} $ --- единичный
круг на комплексной плоскости $\mathbb{C}$, $T$ --- граница $D$;
$H(D)$ --- множество всех аналитических функций в $D$.

Пусть также $\Pi_{p} ,$ $0<p<+\infty ,$ --- класс И.И. Привалова в
$D$:
$$\Pi_{p} =\left\{f\in H(D):\mathop{\sup }\limits_{0<r<1}
\frac{1}{2\pi } \int \limits_{-\pi }^{\pi }\left(\ln ^{+}
\left|f(re^{i\varphi } )\right|\right)^{p} d\varphi <+\infty
\right\},$$ где $\ln ^{+} \left|a\right|=\max \left(\ln
\left|a\right|,0\right),\forall a\in \mathbb{C}.$

Хорошо известно, $\Pi_{1} =N,$ где $N$ -- класс функций
ограниченного вида Р. Неванлинны: функций, аналитических в $D$, c
ограниченной характеристикой
$$T(r,f)=\frac{1}{2\pi}\int\limits _{-\pi }^{\pi }\ln ^{+}
\left|f(re^{i\varphi } )\right|d\varphi, 0<r<1.$$

Известная гипотеза Блоха-Невалинны (см. [1]) утверждает, что класс
N инвариантен относительно дифференциального оператора: если $f\in
N$, то $f'\in N$.

О. Фростман  впервые (см. [2]) построил функцию, а именно,
произведение Бляшке, производная которой не принадлежит классу Р.
Неванлинны $N$: $\exists B(z,z_{k} )\in N:$ $B'(z,z_{k} )\notin
N.$

Возник вопрос о характеризации таких произведений.

Ф.А. Шамоян, В.А. Беднаж, В.А. Кустова получили (см. [3]), в
терминах нулей, полную характеризацию тех произведений Бляшке
(необходимое и достаточное условие), производная которых
принадлежит не только классу N, но и классу $\Pi_{p}$ для всех $0
< p < +\infty$, а именно, был доказан следующий результат:


{\it Пусть $\displaystyle \left\{z_{k} \right\}_{k=1}^{\infty } $
--- последовательность точек из $D$:
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty }\left(1-\left|z_{k} \right|\right)
<+\infty;$$ $E$ --- множество предельных точек последовательности
$\left\{z_{k} \right\}_{k=1}^{\infty }$ на $T$; \\$\displaystyle
\left\{e^{i\alpha _{k} } e^{i\beta _{k} } \right\}_{k=1}^{\infty }
$ --- последовательность дополнительных дуг $E$ на $T$. Если
 $$\sum \limits_{k=1}^{\infty
}\left(\beta _{k} -\alpha _{k} \right) \ln ^{q} \frac{1}{\beta
_{k} -\alpha _{k} } <+\infty ,$$ где $\displaystyle z_{n} =r_{n}
e^{i\theta _{n} },$ $n=1,2,...,$ количество точек в каждом
интервале $\left(\alpha _{k} ,\beta _{k} \right),k=1,2,...,$
равномерно ограничено, то $B^{(n)} (z,z_{k} )\in \Pi _{p} ,n\in
\mathbb{N},0<p<+\infty .$

Обратно, существует последовательность $\left\{z_{k}
\right\}_{k=1}^{\infty } \subset D$, удовлетворяющая условию
Бляшке, такая, что если
$$\sum \limits_{k=1}^{\infty }\left(\beta
_{k} -\alpha _{k} \right) \ln ^{q} \frac{1}{\beta _{k} -\alpha
_{k} } =+\infty, $$
то $B^{(n)} (z,z_{k} )\notin \Pi _{p} ,n\in
\mathbb{N},0<p<+\infty .$}

Обзор некоторых результатов, связанных с инвариантностью
относительно дифференциальных операторов классов аналитических
функций, содержат, например, работы Д.~Кэмпбелла, Г.~Уикса (см.
[4]); С.В. Шведенко (см. [5]).


Обозначим, далее, ооответствующий плоский весовой класс И.И.
Привалова, $0<p<+\infty,$

$$S_{p} (\omega ,D)=\left\{f\in H(D):\int\limits _{0}^{1}\omega
(1-r) \int\limits _{-\pi }^{\pi }\left(\ln ^{+}
\left|f(re^{i\varphi } )\right|\right)^{p} d\varphi dr<+\infty
\right\}.$$ где $\omega (x),x\in (0;1),$ --- положительная
непрерывная на $(0;1)$ функция.

Гипотезу Блоха-Неванлинны в классах И.И. Привалова $\Pi_p$ можно
сформулировать следующим образом: каково бы ни было $0<p<+\infty$
производная любой аналитической в $D$ функции из класса $\Pi_p$
принадлежит классу $\Pi_p$.

Ф.А. Шамоян, Е.Г. Родикова (см. [6]) доказали неинвариантность
класса И.И. Привалова относительно оператора дифференциация: в
классах И.И. Привалова $\Pi_p, 0<p<+\infty,$ гипотеза
Блоха-Неванлинны неверна, при этом если $f(z)\ne 0,z\in D,$ то
$f'\in S_{p} (w,D).$

Ф.А. Шамоян, И.С. Курсина (см. [7])  установили инвариантность
весовых плоских классов И.И. Привалова $S_{p} (\omega ,D)$
относительно оператора дифференцирования для довольно общих
весовых функций $\omega$, получено полное описание таких весов:

{\it Пусть $\omega \in S$, где $S$ -- множество всех положительных
функций из $L^{1} (0;1),$ для которых существуют числа $m_{\omega}
>0,\, M_{\omega}
>0,q_{\omega} \in (0;1)$ такие, что $\displaystyle m_{\omega} \le \frac{\omega (\lambda
r)}{\omega (r)} \le M_{\omega }$ при $r\in (0;1),\, \lambda \in
\left[q_{\omega } ;1\right]$.

Тогда следующие утверждения равносильны:

а) класс $S_{p} (\omega ,D),$ $0<p<+\infty ,$ инвариантен
относительно оператора дифференцирования $D(f)(z)=f'(z)$;

б) $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}\omega (t)\ln ^{p}
\frac{1}{t} dt<+\infty . $}

\section{Формулировка основных результатов}

В связи с результатами работ [3], [6] естественно возникает вопрос
описания наименьшего весового пространства $X$ аналитических в
круге $D$ функций, для которых из условия $f\in \Pi _{p} $ следует
$f'\in X$.

В первой части этой работы, используя методы работы [7], мы
докажем следующее утверждение:

\begin{theorem}
Для того, чтобы из условия $f\in \Pi _{p} $, $0<p<+\infty ,$
следовало $f^{(n)} \in S_{p} (\omega ,D),n\in
\mathbb{N},0<p<+\infty ,$ необходимо и достаточно, чтобы

$$\int \limits_{0}^{1}\omega  \left(1-r\right)
\left(\ln\frac{1}{1-r} \right)^{p} dr<+\infty .$$
\end{theorem}

Учитывая вышеуказанные результаты для единичного круга $D$,
возникает задача о распространении данных утверждений на случай
областей комплексной плоскости $\mathbb{C}$, отличных от $D$.

Пусть $G$ --- некоторая область на комплексной плоскости
$\mathbb{C}$, $\partial G$ --- ее граница; $\rho (\zeta ,\partial
G)$ --- эвклидово расстояние от точки $\zeta $ до границы
$\partial G$; $H(G)$ --- множество всех аналитических функций в
$G$.

В дальнейшем нам также потребуется весовая функция, определенная
на всей полуоси  $\mathbb{R}_+=(0;+\infty)$: пусть $\omega$
--- монотонно
убывающая, непрерывная функция на $\mathbb{R}_+$, удовлетворяющая
условиям: существуют числа $m_{\omega} >0,\, M_{\omega}
>0,q_{\omega} \in (0;1):$ $\displaystyle m_{\omega} \le \frac{\omega (\lambda
r)}{\omega (r)} \le M_{\omega }$ при $r\in (0;+\infty),\, \lambda
\in \left[q_{\omega } ;1\right]$.

Далее рассмотрим классы функций следующего вида:
$$S_{p} (\omega ,G)=\left\{f\in H(G):\int\limits _{G}\omega
\left(\frac{1}{\rho (\zeta ,\partial G)} \right) \left(\ln ^{+}
\left|f(\zeta )\right|\right)^{p} dm_{2} (\zeta )<+\infty
\right\},$$ где $0<p<+\infty$; $m_{2} $ --- плоская мера Лебега на
$G$.


Оказывается, утверждения, аналогичные вышеуказанным, можно
сформулировать для всех ограниченных областей:

\begin{theorem}
Пусть $\omega $ --- вышеуказанная весовая функция; $G$
--- некоторая ограниченная область на комплексной плоскости $\mathbb{C},$
причем
$$\int\limits _{G}\omega \left(\frac{1}{\rho (z,\partial G)} \right)
\left(\left(\ln ^{+} \frac{1}{\rho (z,\partial G)} \right)^{p}
+1\right)dm_{2} (z)<+\infty .$$

Тогда класс $S_{p} (\omega ,G)$ инвариантен относительно оператора
дифференцирования при произвольном $0<p<+\infty .$
\end{theorem}

\section{Доказательство основных результатов}

Докажем теорему 1 по методу, примененному в работе [7] ( см.
доказательство теоремы 1 данной работы).

\begin{proof}

Сначала заметим, что если  $f\in \Pi _{p} $, то

$$\ln ^{+} \left|f(re^{i\varphi }
)\right|\lesssim\frac{1}{(1-r)^{1/p} } .\eqno(1)$$

Оценка (1) при $1\le p<+\infty $ сразу следует из неравенства
Гельдера и из следующих рассуждений.

Поскольку $\left(\ln ^{+} \left|f(re^{i\varphi }
)\right|\right)^{p} $ является субгармонической функцией, то

$$\left(\ln ^{+} \left|f(re^{i\varphi } )\right|\right)^{p} \le
\frac{1}{2\pi } \int \limits_{-\pi }^{\pi }\frac{(R^{2} -r^{2}
)\left(\ln ^{+} \left|f(Re^{i\theta } )\right|\right)^{p} }{R^{2}
-2rR\cos (\theta -\varphi )+r^{2} }  d\theta $$ при всех $0\le
r<R<1$.

Поэтому, так как $\displaystyle \frac{2(R-r)}{(R-r)^{2} }
\lesssim\frac{2}{(R-r)} ,$ то
$$\left(\ln ^{+} \left|f(re^{i\varphi }
)\right|\right)^{p} \le \mathop{\sup }\limits_{0<R<1} \int\limits
_{-\pi }^{\pi }\left(\ln ^{+} \left|f(Re^{i\theta }
)\right|\right)^{p} d\theta .$$ Теперь, положив $\displaystyle
R=\frac{r+1}{2} ,$ получим нужную оценку.

Если $0<p<1$, то воспользуемся известной теоремой
Феффермана-Стейна (см. [8]), согласно которой
$$\left(\ln ^{+} \left|f(re^{i\varphi } )\right|\right)^{p} \le
\frac{A(p)}{\left(1-|z|\right)^{2} } \int\limits _{K_{\frac{1}{2}
} (z)}\left(\ln ^{+} \left|f(\zeta )\right|\right)^{p}  dm_{2}
(\zeta ), \eqno(2)$$
где $\displaystyle K_{\frac{1}{2} }
(z)=\left\{\zeta :\left|\zeta -z\right|\le \frac{1}{2}
(1-\left|z\right|)\right\}.$

Теперь учтем, что $\displaystyle K_{\frac{1}{2} } (z)\subset
\tilde{K}_{\frac{1}{2} } (z)=\left\{\zeta
:\left|z\right|-\frac{1}{2} (1-\left|z\right|)\le \left|\zeta
\right|\le \left|z\right|+\frac{1}{2} (1-\left|z\right|)\right\}.$

Поэтому из (2) получаем

$$\left(\ln ^{+} \left|f(z)\right|\right)^{p}
\lesssim\frac{1}{1-\left|z\right|} \mathop{\sup }\limits_{0<\rho
<1} \int\limits _{-\pi }^{\pi }\left(\ln ^{+} \left|f(\rho
e^{i\theta } )\right|\right)^{p}  d\theta .$$

То есть оценка $\displaystyle \ln ^{+}|f(z)|
\lesssim\frac{1}{(1-\left|z\right|)^{1/p} } $ справедлива при всех
$z\in D$, $0<p<+\infty .$

Теперь из этой оценки точно таким же образом, как и в [7], получим

$$\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{-\pi }^{\pi }\omega
(1-r)\left(\ln ^{+} \left|f'(re^{i\varphi }) \right|\right)  ^{p}
rdrd\varphi \lesssim$$
$$\lesssim\mathop{\sup }\limits_{0<r<1} \int
\limits_{-\pi }^{\pi }\left(\ln ^{+} \left|f(re^{i\varphi }
)\right|\right)^{p} d\varphi +\int\limits _{0}^{1}\omega
(1-r)\left(\ln \frac{1}{1-r} \right) ^{p} dr.$$

Из данной оценки непосредственно следует достаточность условия
теоремы.

Перейдем к доказательству необходимости условия теоремы. Снова
применим методику работы [7]. Пусть

$$f(z)=\sum \limits_{k=0}^{+\infty }2^{\lambda k(\alpha -1)} z^{2^{\lambda
k} } ,$$ где $\lambda $ --- натуральное число, $0<\alpha <1.$

Ясно, что $f\in H^{\infty } (D),$ значит, $f\in \Pi _{p} $ при
всех $0<p<+\infty $.

Снова таким же образом, как в работе [7], устанавливается, что
если \\$\displaystyle r_{n} =\exp \left(-\frac{1}{2^{\lambda _{n}
} } \right),$ то функция $f(z)$ удовлетворяет оценке
$$\left(\ln \left|f'(r_{n} e^{i\theta } )\right|\right)^{p} \ge c\ln
^{p} \frac{1}{1-r_{n} } ,$$ где $\theta \in \left[0;2\pi
\right],n=1,2,...,$ $c$ --- некоторое положительное число.

Повторяя рассуждения вышеуказанной работы, получим, что
$$\int \limits _{0}^{1}\omega \left({1-r} \right) \ln ^{p}
\frac{1}{1-r} dr<+\infty .$$
\end{proof}


Перейдем к доказательству теоремы 2 и отметим, что в нем
существенную роль играет классическая теорема Уитни:

{\textbf{Теорема А} (разложение Уитни). {\it Пусть $G$ ---
некоторое открытое связное множество на комплексной плоскости
$\mathbb{C}$, тогда существует такой набор квадратов ${\rm P} =\{
Q_{k} \} _{k=1}^{+\infty } $, что $\bigcup \limits_{k}Q_{k} =G $,
причем

а) $\mathop{Q_{k} }\limits^{o} \cap \mathop{Q_{m} }\limits^{o}
=\emptyset ,k\ne m;$

б) $c_{1} diam(Q_{k} )\le \rho (Q_{k} ,\partial G)\le c_{2}
diam(Q_{k} ),$ константы $c_{1} $, $c_{2} $ не зависят от $G$;

в) для произвольного $s\in \mathbb{R}_{+} ,0\le s<5/4,$ квадраты
$\left\{Q_{k}^{*} (s)\right\}_{k=1}^{+\infty } $, имеющие те же
центры, что и квадраты $\{ Q_{k} \} _{k=1}^{+\infty } $
соответственно, но растянутые в $s$ раз, покрывают множество $G$
конечнократно.}


Доказательство теоремы 2 проведем по схеме доказательства теоремы
1 из работы [9].

\begin{proof} Воспользуемся теоремой A. Пусть ${\rm P} =\{ Q_{1}
,Q_{2} ,\ldots,Q_{k} ,\ldots\} $ --- вышеуказанный набор
квадратов, $G=\bigcup\limits _{k}Q_{k} $; учтем неравенства
теоремы~А и заметим, что $\displaystyle \omega \left(\frac{1}{\rho
(\zeta _{1} ,\partial G)} \right)\sim \omega \left(\frac{1}{\rho
(\zeta _{2} ,\partial G)} \right)$ для произвольных точек $\zeta
_{1} ,\zeta _{2} \in Q_{k} .$

Имеем:

$$I=\int \limits_{G}\omega \left(\frac{1}{\rho (z,\partial G)}
\right)\left(\ln ^{+} \left|f^{(n)} (z)\right|\right)^{p} dm_{2}
(z) =$$ $$=\sum \limits_{k=1}^{+\infty }\int \limits_{Q_{k}
}\omega \left(\frac{1}{\rho (z,\partial G)} \right)  \left(\ln
^{+} \left|f^{(n)} (z)\right|\right)^{p} dm_{2} (z)\le$$
 $$\le c_1\sum \limits_{k=1}^{+\infty }\mathop{\max }\limits_{z\in Q_{k} } \omega \left(\frac{1}{\rho (z,\partial G)} \right) \left(\ln ^{+} \left|f^{(n)} (z)\right|\right)^{p} m_{2} (Q_{k} )\le$$ $$\le c_2
 \sum _{k=1}^{+\infty }\omega \left(\frac{1}{\rho (z_{k} ,\partial G)} \right) \left(\ln ^{+} \left|f^{(n)} (z_{k} )\right|\right)^{p} \rho ^{2} (z_{k} ,\partial G),z_{k} \in \partial
 Q_{k}. \eqno(3) $$

Пусть теперь $Q_{k}^{*} $ -- квадрат, имеющий тот же центр, что и
$Q_{k}^{} $, но растянутый в $(1+\varepsilon )$ раз,
$\displaystyle 0<\varepsilon <\frac{1}{4} $, $Q_{k} \subset
Q_{k}^{*} $. Заметим, что система $\{ Q_{k}^{*} \} $ покрывает
область $G$ конечнократно. Пусть $\displaystyle 0<\delta
=\frac{1}{4} \rho (Q_{k} ,\partial Q_{k}^{*} )$. Тогда можно
утверждать, что для произвольного $ z_{k} \in Q_{k} $, круг
$K_{\delta } (z_{k} )=\{ z:\left|z-z_{k} \right|<\delta \} $
полностью включается в квадрат $Q_{k}^{*} $.

Далее, по формуле Коши $\displaystyle f^{(n)} (z_{k}
)=\frac{n!}{2\pi i} \int\limits _{\partial K_{\delta } (z_{k}
)}\frac{f(z)}{(z-z_{k} )^{n+1} } dz $, а значит,
$$\left|f^{(n)}
(z)\right|\le \frac{c(n)}{\delta ^{n} } \mathop{\max
}\limits_{z\in \partial K_{\delta } (z_{k} )} \left|f(z)\right|\le
\frac{c(n)}{\rho ^{n} (\tilde{z}_{k} ,\partial G)}
\left|f(\tilde{z}_{k} )\right|,\tilde{z}_{k} \in \partial
K_{\delta } (z_{k} ).$$

Тогда $\displaystyle \ln ^{+} \left|f^{(n)} (z)\right|\le \ln ^{+}
c(n)+\ln ^{+} \frac{1}{\rho ^{n} (\tilde{z}_{k} ,\partial G)} +\ln
^{+} \left|f(\tilde{z}_{k} )\right|,\tilde{z}_{k} \in \partial
K_{\delta } (z_{k} ).$

Отметим, что в условиях теоремы $\rho (z_{k} ,\partial G)$
эквивалентно $\rho (\tilde{z}_{k} ,\partial G)$.  Действительно,
из теоремы А получаем: $$c_{3} diam(Q_{k} )\le \rho (z_{k}
,\partial G)\le c_{4} diam(Q_{k} ),$$ $$ c_{5} diam(Q_{k}^{*} )\le
\rho (\tilde{z}_{k} ,\partial G)\le c_{6} diam(Q_{k}^{*} ),$$ но
по нашему построению $\displaystyle diam(Q_{k} )<diam(Q_{k}^{*}
)<1\frac{1}{4} diam(Q_{k} )$, а значит,
$$ c_{7} \rho (\tilde{z}_{k} ,\partial G)\le \rho (z_{k} ,\partial
G)\le c_{8} \rho (\tilde{z}_{k} ,\partial G). \eqno(4)$$

Аналогично можно показать, что $\rho (Q_{k} ,\partial Q_{k}^{*} )$
эквивалентно $\rho (z_{k} ,\partial G)$.

Тогда из (3) с учетом (4) получаем $$I\le c_2\sum
\limits_{k=1}^{+\infty }\omega \left(\frac{1}{\rho (z_{k}
,\partial G)} \right) \left(\ln ^{+} \left|f^{(n)} (z_{k}
)\right|\right)^{p} \rho ^{2} (z_{k} ,\partial G)\le$$ $$\le
c_9\sum\limits _{k=1}^{+\infty }\omega \left(\frac{1}{\rho
(\tilde{z}_{k} ,\partial G)} \right) \rho ^{2} (\tilde{z}_{k}
,\partial G)\left(\ln ^{+} c(n)+\ln ^{+} \frac{1}{\rho ^{n}
(\tilde{z}_{k} ,\partial G)} +\ln ^{+} \left|f(\tilde{z}_{k}
)\right|\right)^{p} \le$$
$$\le c_{10} \sum \limits_{k=1}^{+\infty }\omega \left(\frac{1}{\rho
(\tilde{z}_{k} ,\partial G)} \right) \rho ^{2} (\tilde{z}_{k}
,\partial G)\left(\left(\ln ^{+} \frac{1}{\rho ^{n} (\tilde{z}_{k}
,\partial G)} \right)^{p} +1\right)+$$ $$+c_{11} \sum \limits
_{k=1}^{+\infty }\omega \left(\frac{1}{\rho (\tilde{z}_{k}
,\partial G)} \right) \rho ^{2} (\tilde{z}_{k} ,\partial
G)\left(\ln ^{+} \left|f(\tilde{z}_{k} )\right|\right)^{p}. \eqno
(5) $$

Пусть теперь также $\displaystyle 0<\delta '=\frac{1}{8} \rho
(Q_{k} ,\partial Q_{k}^{*} )$, $K_{\delta '} (\tilde{z}_{k} )=\{
z:\, \left|z-\tilde{z}_{k} \right|<\delta '\} $, значит,
$K_{\delta '} (\tilde{z}_{k} )\subset Q_{k}^{*} $.

Учитывая субгармоничность функции  $(\ln ^{+} \left|f\right|)^{p}
$ при $1\leq p<+\infty$ и теорему Феффермана-Стейна при $0<p<1$,
как и выше, получим:
$$\left(\ln ^{+} \left|f(\tilde{z}_{k} )\right|\right)^{p} \le
\frac{A}{\delta '^{2} } \int \limits_{K_{\delta '}(\tilde{z}_{k}
)}\left(\ln ^{+} \left|f(z)\right|\right)^{p} dm_{2} (z)\le$$
$$\le \frac{c_{12}}{\rho ^{2} (\tilde{z}_{k} , \partial G)}
\int\limits _{Q_{k}^{*} }\left(\ln ^{+}
\left|f(z)\right|\right)^{p} dm_{2} (z) .$$

Аналогично, $$\left(\ln ^{+} \frac{1}{\rho ^{n} (\tilde{z}_{k}
,\partial G)} \right)^{p} +1\le \frac{c_{13}}{\rho ^{2}
(\tilde{z}_{k} ,\partial G)} \int\limits _{Q_{k}^{*}
}\left(\left(\ln ^{+} \frac{1}{\rho ^{n} (z,\partial G)}
\right)^{p} +1\right)dm_{2} (z) .$$

Окончательно с учетом (5), получаем $$\int \limits_{G}\omega
\left(\frac{1}{\rho (z,\partial G} \right)\left(\ln ^{+}
\left|f^{(n)} (z)\right|\right)^{p} dm_{2} (z) \le$$
$$\le c_{14}\sum \limits_{k=1}^{+\infty }\int\limits _{Q_{k}^{*} }\omega
\left(\frac{1}{\rho (z,\partial G)} \right)\left(\left(\ln ^{+}
\frac{1}{\rho ^{n} (z,\partial G)} \right)^{p} +1\right)dm_{2}
(z)+$$ $$+c_{15} \sum \limits_{k=1}^{+\infty }\int
\limits_{Q_{k}^{*} }\omega \left(\frac{1}{\rho (z,\partial G)}
\right)\left(\ln ^{+} \left|f(z)\right|\right)^{p} dm_{2} (z)  \le
$$
$$\le c_{16}\int\limits_{G}\omega \left(\frac{1}{\rho (z,\partial G)}
\right)\left(\left(\ln ^{+} \frac{1}{\rho ^{n} (z,\partial G)}
\right)^{p} +1\right)dm_{2} (z) +$$ $$+c_{17}\int
\limits_{G}\omega \left(\frac{1}{\rho (z,\partial G)}
\right)\left(\ln ^{+} \left|f(z)\right|\right)^{p} dm_{2} (z) . $$

В последнем неравенстве мы воспользовались тем, что система $\{
Q_{k}^{*} \} $ покрывает множество $G$ конечнократно.

Таким образом, если
$$\int \limits_{G}\omega \left(\frac{1}{\rho (z,\partial G)}
\right)\left(\left(\ln ^{+} \frac{1}{\rho ^{n} (z,\partial G)}
\right)^{p} +1\right)dm_{2} (z) <+\infty, \eqno(6)$$

то $$\int\limits _{G}\omega \left(\frac{1}{\rho (z,\partial G)}
\right)\left(\ln ^{+} \left|f^{(n)} (z)\right|\right)^{p} dm_{2}
(z) <+\infty ,$$ и класс $S_{p}(\omega, G) $ инвариантен
относительно оператора дифференцирования.
\end{proof}

{\bf Замечание.} Отметим, что условие (6) является необходимым,
если $G=D$ (см. [7] и теорему 1).


\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).


\bibitem{1} R.~Nevanlinna, {\it Le theoreme de Picard-Borel et la theorie des fonctions meromorphes}, Paris,
Gauthiers-Villars, 1929.

\bibitem{2} O.~Frostman, {\it Sur les produits des Blaschke}, Kungl. Fysiografiska
Sallskapets i Lund Forhandlingar, {\bf 12}:15 (1942), 169–-182.


\bibitem{3} F.A.~Shamoyan, V.A.~Bednazh, V.A.~Kustova, {\it Blaschke product in Privalov classes}, Sib. Elect. Math.
Reports, {\bf 18}:1 (2021), 168--175.

\bibitem{4}  D.~Campbell, G.~Wickes, {\it The Bloch-Nevanlinna conjecture revisited},
Bull. Austral. Math. Soc., {\bf 18}:3 (1978), 447--453.

\bibitem{5} S.V.~Shvedenko, {\it Hardy classes and the spaces of analytic functions associated with them in
the unit disc, polydisc, and ball}, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser.
Mat. Anal., {\bf 23} (1985), 3-–124.

\bibitem{6} E.G.~Rodikova, F.A.~Shamoyan, {\it On the differentiation in the Privalov classes}, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., {\bf 13}:5 (2020), 622--630.

\bibitem{7} F.A.~Shamoyan, I.S.~Kursina, {\it On the invariance of some classes of holomorphic functions
under integral and differential operators}, J. Math. Sci., {\bf
107}:4 (2001), 4097–-4107.

\bibitem{8}  C.~Fefferman, E.~Stein. {\it Hp
spaces of several variables}, Acta. Math., {\bf 129} (1972),
137-–193.

\bibitem{9}  N.M.~Tkachenko, F.A.~Shamoyan, {\it The Hardy-Littlewood theorem and the operator of
harmonic conjugate in some classes of simply connected domains
with rectifiable boundar}, J. of Math. Phys., An., Geom, {\bf
23}:2 (2009), 192--210.

\end{thebibliography}
\end{document}
