
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{???.?} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{??X??} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК 512.54 \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Неприводимые ковры лиева типа $B_l$, $C_l$ и $F_4$ над полями]{Неприводимые ковры лиева типа ${B_l}$, $C_l$ и $F_4$\\ над полями}
\author{{А.О. ЛИХАЧЕВА}}%
\address{Alena Olegovna Likhacheva % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} North Caukasus Center for Mathematical Research, 
\newline\hphantom{iii} North Ossetian State University after K.L. Khetagurov \&
\newline\hphantom{iii} Siberian Federal University,
\newline\hphantom{iii} pr.Svobodny, 79,
\newline\hphantom{iii} 660041, Krasnoyarsk, Russia}%
\email{likhacheva.alyona@mail.ru}%
\author{{Я.Н. НУЖИН}}%
\address{Yakov Nifantevich Nuzhin % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Siberian Federal University,
\newline\hphantom{iii} pr.Svobodny, 79,
\newline\hphantom{iii} 660041, Krasnoyarsk, Russia}%
\email{nuzhin2008@rambler.ru}%

\thanks{\sc Likhacheva, A.O., Nuzhin, Ya.N.,
Irreducible carpets of  Lie type $B_l$, $C_l$ and $F_4$ over fields}
\thanks{\copyright \ 2015 Лихачева А.О., Нужин Я.Н.}
\thanks{\rm Работа поддержана РНФ (грант 22-21-00733)}
\thanks{\it Поступила 1 января 2015 г., опубликована 31 декабря 2015 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } V.M. Levchuk described irreducible carpets of Lie type of rank greater than~1 over the field $F$, at least one additive subgroup of which is an $R$-module, where $F$ is an algebraic extension of the field $R$, in assumption that the characteristic of the field $F$ is different from 0 and 2 for the types $B_l$, $C_l$, $F_4$, and for the type $G_2$ it is different from 0, 2 and 3 (Algebra i Logika, 1983, 22, no. 5). It turned out that, up to conjugation by a diagonal element, all additive subgroups of such carpets coincide with one intermediate subfield between $R$ and $F$. We solve a similar problem for carpets of types $B_l$, $C_l$, $F_4$ over a field of characteristic 0 and 2. It turned out that carpets appear in characteristic 2, which are parameterized by a pair of additive subgroups, and for types $B_l$ and $C_l$ one of these two additive subgroups may not be a field.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} Chevalley group, carpet of additive subgroups, carpet subgroup.
 \end{quote}
}


\section{Введение}


Пусть $\Phi$ ---  приведенная неразложимая система корней ранга $l$, $\Phi(F)$ --- элементарная группа Шевалле типа $\Phi$ над полем $F$. Она порождается своими корневыми подгруппами
$
x_r(F)=\{x_r(t)\ |\ t\in F\},\ r\in \Phi .
$
Подгруппы $x_r(F)$ абелевы и для каждого $r\in\Phi$ и любых $t,u\in F$ справедливы соотношения
\begin{equation}\label{add}
x_r(t)x_r(u)=x_r(t+u).
\end{equation}
Назовем {\it ковром типа $\Phi$ ранга $l$ над $F$}  набор аддитивных подгрупп
$$
\mathfrak{A}=\{\mathfrak{A}_r\ |\ r\in \Phi\}
$$
поля $F$ с условием
\begin{equation}\label{carpet}
C_{ij,rs}\mathfrak{A}_r^i\mathfrak{A}_s^j\subseteq\mathfrak{A}_{ir+js},\ \mbox{при}\ r,s,ir+js\in\Phi,\ i>0,\ j>0,
\end{equation}
где
$
\mathfrak{A}_r^i=\{a^i\ |\ a\in\mathfrak{A}_r\},
$
а константы $C_{ij,rs}=\pm1,\pm2,\pm3$ определяются коммутаторной формулой Шевалле
\begin{equation}\label{cformular}
[x_s(u),x_r(t)]=\prod_{i,j>0} x_{ir+js}(C_{ij,rs}(-t)^iu^j),\ r,s,ir+js\in\Phi.
\end{equation}
Всякий ковер $\mathfrak{A}$ типа $\Phi$ над $F$ определяет {\it ковровую} подгруппу
$$
\Phi(\mathfrak{A})=\langle x_r(\mathfrak{A}_r)\ |\ r\in\Phi\rangle
$$
группы $\Phi(F)$, где $\langle M\rangle$ --- подгруппа, порожденная множеством $M$. Ковер $\mathfrak{A}$
%типа $\Phi$ над кольцом $F$
называется {\it замкнутым}, если его ковровая подгруппа $\Phi(\mathfrak{A})$ не имеет новых корневых элементов, то есть если
$\Phi(F)\cap x_r(F)=x_r(\mathfrak{A}_r)$ для всех $\ r\in \Phi$, и --- {\it неприводимым}, если все его аддитивные подгруппы ненулевые.


Используемое здесь определение ковра дал В.М. Левчук \cite{lev1} (см. также \cite[вопрос~7.28]{kour}), он же в статье \cite{LevCarpet} описал неприводимые ковры ранга больше~1 над полем $F$, хотя бы одна аддитивная подгруппа которых является $R$-модулем, где $F$ --- алгебраическое расширение поля $R$, в предположении, что характеристика поля $F$ отлична от 0 и 2 для типов $B_l$, $C_l$, $F_4$, а для типа $G_2$ отлична от 0, 2 и 3. Оказалось, что с точностью до сопряжения диагональным элементом все аддитивные подгруппы этих ковров совпадают с одним промежуточным подполем между $R$ и $F$. Назовем такие ковры {\it константными}.  Мы решаем аналогичную задачу для ковров типа $B_l$, $C_l$, $F_4$ над полем характеристики 0 и 2. Выяснилось, что неконстантные  ковры появляются только в характеристике 2 и они параметризуются парой аддитивных подгрупп, причем для типов $B_l$ и $C_l$ одна из этих двух аддитивных подгрупп может не быть полем и примеры таких ковров указаны в \cite{NS}. Появление неконстантных ковров для типов $B_l$, $C_l$, $F_4$ в характеристике 2 и для типа $G_2$ в характеристике 3 не было неожиданностью, и оно следует из работы второго автора \cite{Nuzhin13}, где для данных типов описаны группы лежащие между группами Шевалле над различными несовершенными полями, большее из которых является алгебраическим расширением меньшего (см. также замечание на стр. 84 в монографии Р.~Стейнберга \cite{Steinberg}). Тип $G_2$ в характеристиках 0, 2 и 3 рассмотрен в работах \cite{Franchuk, NT}. Таким образом, в данной статье завершается описание неприводимых ковров ранга больше~1 над полем $F$, хотя бы одна аддитивная подгруппа которых является $R$-модулем, где $F$ --- алгебраическое расширение поля $R$. Для ранга 1 условие ковровости (\ref{carpet}) вырождается, а ковровая подгруппа будет изоморфна некоторой подгруппе из $SL_2(F)$ или $PSL_2(F)$, порожденной элементарными трансвекциями, и в этом случае общие методы уже не работают.

Основным результатом статьи является

\begin{theorem}
Пусть $\mathfrak{A}=\{\mathfrak{A}_r\ |\ r\in \Phi\}$ --- неприводимый ковер типа $B_l\ (l\geq 2)$,
$C_l\ (l\geq 2)$ или $F_4$ над  полем $F$, причем хотя бы одна аддитивная подгруппа $\mathfrak{A}_r$ является $R$-модулем, где $F$ --- алгебраическое расширение поля $R$. Тогда с точностью до сопряжения диагональным элементом либо  $\mathfrak{A}_r=P$ при всех
$r\in \Phi$, для некоторого подполя $P$ поля $F$, либо $charF=2$, существует несовершенное подполе $K$ поля $F$ и
$$
\mathfrak{A}_r=\left\{
\begin{array}{cl}
P,& \mbox{если}\ r\ \mbox{короткий корень} \\
Q,& \mbox{если}\ r\ \mbox{длинный корень} \\
\end{array}
\right.
$$
для двух различных бесконечных аддитивных подгрупп $P$ и $Q$ поля $K$, удовлетворяющих включениям
\begin{equation}\label{inc2}
K^2\leq Q< P\leq K.
\end{equation}
и равенствам
\begin{equation}\label{eqv2}
P=P^{-1},\ \ Q=Q^{-1}.
\end{equation}
Кроме того, ковер $\mathfrak{A}=\{\mathfrak{A}_r\ |\ r\in \Phi\}$  является замкнутым.
\end{theorem}

\section{ Предварительные результаты}

Группа $\Phi(F)$ увеличивается до расширенной группы Шевалле при помощи всех диагональных элементов $h(\chi)$, где $\chi$ --- $F$-характер целочисленной решетки корней $\mathbb{Z}\Phi$, то есть гомоморфизм аддитивной группы $\mathbb{Z}\Phi$ в мультипликативную группу $F^*$ поля $F$ \cite[\S 7.1]{car}. Любой $F$-характер $\chi$ однозначно задается значениями на фундаментальных корнях и для любых $r\in \Phi$ и
$t\in F$
\begin{equation}\label{char}
h(\chi)x_r(t)h(\chi)^{-1}=x_r(\chi(r)t).
\end{equation}
То, что равенство (\ref{char}) естественным образом сочетается с определением ковра, утверждает следующая

\begin{lemma} \cite[лемма 1]{KKLN} Сопрягая диагональным элементом $h(\chi)$ ковровую подгруппу $\Phi(\mathfrak{A})$, получим ковровую подгруппу
$$
h(\chi)\Phi(\mathfrak{A})h(\chi)^{-1}=\Phi(\mathfrak{A'}),
$$
определяемую ковром
$$
\mathfrak{A'}=\{\mathfrak{A'}_r\ |\ r\in \Phi\},\ \mbox{где}\ \mathfrak{A'}_r=\chi(r)\mathfrak{A}_r.
$$
\end{lemma}

%\vspace{3mm}
Ковер $\mathfrak{A'}$ из леммы 1 естественно назвать {\it сопряженным} к исходному ковру $\mathfrak{A}$ и мы можем говорить о сопряженных коврах, не привязывая их к ковровым подгруппам. Поэтому допустимо такое высказывание. "С точностью до сопряжения диагональным элементом ковер $\mathfrak{A}$ совпадает с ковром $\mathfrak{A'}$."


\vspace{3mm}
Для системы корней типа $A_2$ условия ковровости имеют только один вид $\mathfrak{A}_{a}\mathfrak{A}_{b}\subseteq\mathfrak{A}_{a+b}$ (с точностью до вращения, см. рисунок 1).

\vspace{30mm}
\begin{picture}(200,130)


 \put(200,75){\vector(1,0){45}}
 \put(200,75){\vector(-1,0){45}}
 \put(200,75){\vector(-2,-3){27}}
 \put(200,75){\vector(2,3){27}}
 \put(200,75){\vector(-2,3){27}}
 \put(200,75){\vector(2,-3){27}}


 \thinlines
\put(227.5,115.5){\line(-1,0){54}}
\put(172.5,115.5){\line(-1,-2){20}}
 \put(172.5,35){\line(-1,2){20}}
 \put(227.5,35){\line(-1,0){54}}
\put(246.7,75){\line(-1,-2){20}}
 \put(246.7,75){\line(-1,2){20}}

  \put(137,73){$-a$}
 \put(250,73){$a$}
\put(175,120){$b$}
 \put(215,20){$-b$}
 \put(210,120){$a+b$}
 \put(155,20){$-a-b$}
\put(185,0) {Рис. 1}
\bigskip
\end{picture}\\




Для системы корней $\Phi$ типа $B_2$ (см. рисунок 2) мы имеем три вида условий ковровости: $\mathfrak{A}_{a}\mathfrak{A}_{b}\subseteq\mathfrak{A}_{a+b}$, $\mathfrak{A}^2_{a}\mathfrak{A}_{b}\subseteq\mathfrak{A}_{2a+b}$ и $2\mathfrak{A}_{a}\mathfrak{A}_{a+b}\subseteq\mathfrak{A}_{2a+b}$.

\vspace{10mm}

\begin{center}
\begin{picture}(200,120)

 \put(52,1.5){\line(1,0){96.8}}
 \put(52,98){\line(1,0){96.8}}
\put(52,1.5){\line(0,1){96.8}}
 \put(148,1.5){\line(0,1){96.8}}


 \put(100,50){\vector(1,0){49}}
\put(100,50){\vector(-1,0){48}}
 \put(100,50){\vector(-1,-1){47.4}}
 \put(100,50){\vector(1,1){47.4}}
 \put(100,50){\vector(-1,1){47.4}}
 \put(100,50){\vector(1,-1){47.5}}
 \put(100,50){\vector(0,-1){49}}
 \put(100,50){\vector(0,1){48.3}}

  \put(35,47){$-a$}
 \put(153,47){$a$}
\put(50,100){$b$}
 \put(140,-9){$-b$}
 \put(88,100){$a+b$}
 \put(80,-9){$-a-b$}
 \put(140,100){$2a+b$}
 \put(28,-9){$-2a-b$}
\put(80,-30){Рис. 2}
 \end{picture}
 \end{center}

\vspace{15mm}
Доказательство следующей леммы, фактически, повторяет рассуждения доказательства теоремы 2 из \cite[стр. 530]{Nuzhin} для типа $B_2$, но там накладывалась инвариантность относительно диагональной подгруппы порядка больше $3$ и в действительности рассматривались замкнутые ковры, хотя понятие "ковер"{} не использовалось.  Здесь работают только условия ковровости.

\begin{lemma} Пусть $\mathfrak{A}=\{\mathfrak{A}_r\ |\ r\in \Phi\}$ --- неприводимый ковер типа $B_2$ над  полем $F$, $\{a,b\}$ --- фундаментальная система для $\Phi$ и пусть $1\in \mathfrak{A}_{-a}\cap\mathfrak{A}_{-b}$.
Тогда $t^n\in\mathfrak{A}_r$ для любого $t\in\mathfrak{A}_r$ и любого натурального числа $n$, если $r$ есть $a+b$ или $2a+b$.
\end{lemma}

\begin{proof}
В силу предположения
$1\in \mathfrak{A}_{-a}\cap\mathfrak{A}_{-b}$. Поэтому из включений $\mathfrak{A}_{-a}\mathfrak{A}_{-b}\subseteq\mathfrak{A}_{-a-b}$ и $\mathfrak{A}^2_{-a}\mathfrak{A}_{-b}\subseteq\mathfrak{A}_{-2a-b}$ получаем $1\in \mathfrak{A}_{r}$ для всех $r\in\Phi^-$. Сейчас из условий ковровости $\mathfrak{A}^2_{a+b}\mathfrak{A}_{-b}\subseteq\mathfrak{A}_{2a+b}$ и $\mathfrak{A}_{-a}\mathfrak{A}_{2a+b}\subseteq\mathfrak{A}_{a+b}$ получаем включения $\mathfrak{A}^2_{a+b}\subseteq\mathfrak{A}_{2a+b}$ и соответственно $\mathfrak{A}_{2a+b}\subseteq\mathfrak{A}_{a+b}$. Таким образом,
\begin{equation}\label{b1}
\mathfrak{A}^2_{a+b}\subseteq\mathfrak{A}_{2a+b}\subseteq\mathfrak{A}_{a+b}.
\end{equation}
Далее, из условий ковровости $\mathfrak{A}_{a+b}\mathfrak{A}_{-2a-b}\subseteq\mathfrak{A}_{-a}$ следует $\mathfrak{A}_{a+b}\subseteq\mathfrak{A}_{-a}$. Объединяя последнее включение с условием ковровости $\mathfrak{A}_{-a}\mathfrak{A}_{2a+b}\subseteq\mathfrak{A}_{a+b}$, получаем
\begin{equation}\label{b2}
\mathfrak{A}_{a+b}\mathfrak{A}_{2a+b}\subseteq\mathfrak{A}_{a+b}.
\end{equation}

Пусть $t\in \mathfrak{A}_{a+b}$. Из включений (\ref{b1}) следует $t^2\in\mathfrak{A}_{a+b}\cap\mathfrak{A}_{2a+b}$. Отсюда и в силу включения (\ref{b2}) индукцией по $n$ получаем $t^n\in \mathfrak{A}_{a+b}$ для всех натуральных чисел $n$.

Пусть $t\in \mathfrak{A}_{2a+b}$. Из включений (\ref{b1}) и (\ref{b2}) также легко следует, что $t^n\in \mathfrak{A}_{2a+b}$ для всех натуральных чисел $n$.
\end{proof}


\vspace{3mm}
Доказательство следующей леммы элементарно и мы его опускаем.

\begin{lemma} Пусть $F$ --- алгебраическое расширение поля $R$, $A$ --- ненулевая аддитивная подгруппа поля $F$, являющаяся $R$-модулем, и $t^n\in A$ для любого $t\in A$ и для всех натуральных чисел $n$. Тогда $1\in A$ и $A=A^{-1}$, где $A^{-1}$ состоит из всех обратных к ненулевым элементам из $A$ в объединении с нулем.
\end{lemma}

\begin{lemma} \cite[лемма 5]{NS2} Пусть $Q\subseteq P$~--- аддитивные подгруппы поля $F$ характеристики $p>0$ с условиями:
\begin{enumerate}
\item
$1\in Q$;
\item
$P^pQ\subseteq Q$;
\item
$Q=Q^{-1}$.
\end{enumerate}
Пусть $K$~--- наименьшее подполе в $F$, содержащее $P$. Тогда $Q$ содержит поле $K^p$.
\end{lemma}


\begin{lemma} Пусть $\mathfrak{A}=\{\mathfrak{A}_r\ |\ r\in \Phi\}$ --- неприводимый ковер типа $A_2$ или $B_2$ над  полем $F$, $\{a,b\}$ --- фундаментальная система для $\Phi$, причем хотя бы одна аддитивная подгруппа $\mathfrak{A}_r$ является $R$-модулем, где $F$ --- алгебраическое расширение поля $R$. Тогда, если $1\in \mathfrak{A}_{-a}\cap\mathfrak{A}_{-b}$, то либо  $\mathfrak{A}_r=P$ при всех $r\in \Phi$ для некоторого подполя $P$ поля $F$, либо $\Phi$ типа $B_2$, $charK=2$, существует несовершенное подполе $K$ поля $F$ и
$$
\mathfrak{A}_r=\left\{
\begin{array}{cl}
P,& \mbox{если}\ r\ \mbox{короткий корень} \\
Q,& \mbox{если}\ r\ \mbox{длинный корень} \\
\end{array}
\right.
$$
для двух различных бесконечных аддитивных подгрупп $P$ и $Q$ поля $K$, удовлетворяющих включениям
\begin{equation}\label{inc1}
K^2\leq Q< P\leq K.
\end{equation}
и равенствам
\begin{equation}\label{eqv}
P=P^{-1},\ \ Q=Q^{-1}.
\end{equation}
\end{lemma}


\begin{proof} Пусть $\Phi$ типа $A_2$ или $charF>2$ и $\Phi$ типа $B_2$. Тогда в силу \cite[следствие 3.2]{LevCarpet}  $\mathfrak{A}_r=\chi(r)P$, $r\in\Phi$, для некоторого подполя $P$ поля $F$ и подходящего $F$-характера $\chi$ решетки $\mathbb{Z}\Phi$. Поскольку
$1\in \mathfrak{A}_{-a}\cap\mathfrak{A}_{-b}$, то $\chi(a),\chi(b)\in P$, а так как любой $F$-характер определяется своими значениями на фундаментальных корня, то $\mathfrak{A}_r=P$ для всех $r\in\Phi$.

Пусть $\Phi$ типа $B_2$. Не теряя общности, можно считать, что $\mathfrak{A}_{a+b}$ или $\mathfrak{A}_{2a+b}$ является $R$-модулем.

Пусть $\mathfrak{A}_{a+b}$ является $R$-модулем. Тогда $1\in \mathfrak{A}_{a+b}$ и $\mathfrak{A}_{a+b}=\mathfrak{A}_{a+b}^{-1}$ в силу лемм 2 и 3. Используя включение $1\in \mathfrak{A}_{a+b}\cap\mathfrak{A}_{-a}\cap\mathfrak{A}_{-b}$ и условия ковровости, получаем $1\in\mathfrak{A}_{r}$ для всех $r\in\Phi$. Сейчас применяя только условия ковровости, приходим к равенствам $\mathfrak{A}_{r}=\mathfrak{A}_{s}$ при $|r|=|s|$. Положим $\mathfrak{A}_{r}=P$, если $r$ --- короткий корень, и $\mathfrak{A}_{r}=Q$, если корень $r$ длинный.

Если $charK\neq 2$, то из условий ковровости $\mathfrak{A}_{a}\mathfrak{A}_{b}\subseteq\mathfrak{A}_{a+b}$ и $2\mathfrak{A}_{a}\mathfrak{A}_{a+b}\subseteq\mathfrak{A}_{2a+b}$ следует, что $P=Q$ и $P$ является подкольцом поля $F$, а следовательно, подполем в силу алгебраичности расширения $F/R$.

Пусть $charK=2$. Тогда $R^2$ --- поле и $F$ --- его алгебраическое расширение. Поскольку $\mathfrak{A}_{a+b}$ является $R$-модулем и $1\in\mathfrak{A}_{a+b}$, то $R\subseteq\mathfrak{A}_{a+b}$. Поэтому аддитивная подгруппа $\mathfrak{A}_{2a+b}$ является $R^2$-модулем в силу условия ковровости $\mathfrak{A}^2_{a}\mathfrak{A}_{b}\subseteq\mathfrak{A}_{2a+b}$. Отсюда
$1\in \mathfrak{A}_{2a+b}$ и $\mathfrak{A}_{2a+b}=\mathfrak{A}_{2a+b}^{-1}$ снова в силу лемм 2 и 3. Таким образом, равенства (\ref{eqv}) установлены, $1\in Q$, $PQ\subseteq P$ и $P^2Q\subseteq Q$. Поэтому либо $P=Q$ и $P$ --- поле, либо по лемме 4  существует несовершенное подполе $K$ поля $F$, удовлетворяющее включениям (\ref{inc1}).

Второй случай, когда $\mathfrak{A}_{2a+b}$ является $R$-модулем, рассматривается подобным образом.
\end{proof}

\begin{lemma}  \cite[стр. 50]{car} Любой положительный корень $r\in \Phi^+$  может быть представлен в виде суммы фундаментальных корней $r=p_{i_1}+p_{i_2}+\dots +p_{i_k}$ таким образом, что $p_{i_1}+p_{i_2}+\dots +p_{i_s}$ является корнем для всех $s\leq k$.
\end{lemma}


\section{ Доказательство теоремы 1}

Пусть $\Pi=\{p_1,\dots ,p_l\}$ --- фундаментальная система корней системы корней $\Phi$. С точностью до сопряжения диагональным элементом можно считать, что $1\in\mathfrak{A}_{-p_i}$ для всех $p_i\in\Pi$. С другой стороны, не теряя общности можно считать, что для некоторых $i,j$ одна из аддитивных подгрупп $\mathfrak{A}_{p_i+p_j}$ или $\mathfrak{A}_{2p_i+p_j}$ является $R$-модулем. Пусть $\Phi_{ij}$ --- подсистема корней с фундаментальной системой $\{p_i,p_j\}$. По лемме 5 $\mathfrak{A}_{r}=P$ для всех коротких корней из $\Phi_{ij}$ и $\mathfrak{A}_{r}=Q$ для всех длинных корней из $\Phi_{ij}$, причем в данном случае мы не исключаем совпадения аддитивных подгрупп $P$ и $Q$. В силу связности графа Кокстера, ассоциированного с системой $\Phi$, аналогичное утверждение справедливо для любой подсистемы $\Phi_{km}$, порожденной соседними корнями на графе Кокстера. В частности, $\mathfrak{A}_{r}=P$ для всех коротких фундаментальных корней  и $\mathfrak{A}_{r}=Q$ для всех длинных фундаментальных корней, причем выполняются условия (\ref{inc2}) и (\ref{eqv2}) из теоремы 1. Используя лемму 5, установим справедливость этого утверждения для всех аддитивных подгрупп индукцией по высоте корней $h(r)$, совпадающей с суммой коэффициентов в представлении корня $r$ через $\Pi$. Но, для того чтобы применять лемму~5, сначала нужно получить включения $1\in\mathfrak{A}_{r}$ для всех отрицательных корней $r\in\Phi^-$.

По лемме 6 любой отрицательный корень $r\in\Phi^-$ представляется в виде $r=s-p_i$, где $h(p_i)=1$, $s\in\Phi^-$ и $|h(s)|=|h(r)|-1$. Возможны три случая:

\vspace{1mm}
1) $\{s,-p_i\}$ --- фундаментальная система типа $A_2$;

\vspace{1mm}
2) $\{s,-p_i\}$ --- фундаментальная система типа $B_2$;

\vspace{1mm}
3) $s,-p_i$ --- короткие корни и они порождают подсистему корней типа $B_2$.

\vspace{1mm}
\noindent Индукцией по $|h(r)|$ установим включение $1\in\mathfrak{A}_{r}$ для всех отрицательных корней $r\in\Phi^-$.
В случаях 1) и 2) в силу условия ковровости $\mathfrak{A}_{s}\mathfrak{A}_{-p_i}\subseteq\mathfrak{A}_{r}$, а также индуктивного предположения, получаем включение  $1\in\mathfrak{A}_{r}$.  В случае 3) сумма $s+p_i$ является корнем, $p_i$ --- короткий корень и $\{s+p_i,-p_i\}$ --- фундаментальная система типа $B_2$. Поэтому в силу условия ковровости $\mathfrak{A}^2_{-p_i}\mathfrak{A}_{s+p_i}\subseteq\mathfrak{A}_{r}$, а также индуктивного предположения, получаем включение $1\in\mathfrak{A}_{r}$.

По лемме 6 любой положительный корень $r\in\Phi^+$ представим в виде $r=s+p_i$, где $h(p_i)=1$, $h(s)=h(r)-1$. Возможны три случая:

\vspace{1mm}
1) $\{s,p_i\}$ --- фундаментальная система типа $A_2$;

\vspace{1mm}
2) $\{s,p_i\}$ --- фундаментальная система типа $B_2$;

\vspace{1mm}
3) $s,p_i$ --- короткие корни и они порождают подсистему корней типа $B_2$.

\vspace{1mm}
\noindent Индукцией по высоте корней покажем, что $\mathfrak{A}_{-r}=\mathfrak{A}_{r}$ и $\mathfrak{A}_{r}$ совпадает с $P$ или $Q$ в зависимости от длины корня $r$.


В случае 1) сразу получаем равенство $\mathfrak{A}_{r}=\mathfrak{A}_{p_i}$ в силу индуктивного предположения  и леммы 5, где $\mathfrak{A}_{p_i}$ совпадает с $P$ или $Q$. В случае 2) тоже сразу в силу индуктивного предположения  и леммы 5 получаем равенство $\mathfrak{A}_{r}=P$, поскольку корень $r$ короткий. В случае 3) разность $s-p_i$ является корнем, $p_i$ --- короткий корень и $\{s-p_i,p_i\}$ --- фундаментальная система типа $B_2$. Поэтому $\mathfrak{A}_{p_i}=P$, а в силу индуктивного предположения $\mathfrak{A}_{s-p_i}=Q$. Отсюда $\mathfrak{A}_{r}=Q$ по лемме 5.

Итак, мы доказали, что $\mathfrak{A}_{r}=P$ для всех коротких  и $\mathfrak{A}_{r}=Q$ для всех длинных корней. Условия (\ref{inc2}) и (\ref{eqv2}) из теоремы 1 выполняются в силу леммы 5. Осталось понять, что исходный ковер $\mathfrak{A}$ замкнут. При $P=Q$ ковер $\mathfrak{A}$ замкнут, так как в этом случае он сопряжен с константным ковром, а при переходе к сопряженному ковру замкнутость не изменяется. Если же подгруппы $P$ и $Q$ различны, то в силу включений (\ref{inc2}) ($K^2\leq Q\leq P\leq K$) ковровая подгруппа $\Phi(\mathfrak{A})$ лежит между группами Шевалле $\Phi(K^2)$ и $\Phi(K)$ и тогда $K$ ---несовершенное поле характеристики 2. Группы, лежащие между группами Шевалле над несовершенными полями, большее из которых является алгебраическим расширением меньшего, описаны в \cite{Nuzhin13}, и там же установлено, что они определяются замкнутыми коврами аддитивных подгрупп (см. также \cite{NS}). Поскольку поле $K$ является алгебраическим расширением своего квадрата $K^2$, то наш исходный ковер $\mathfrak{A}$ замкнут.

Теорема доказана.

\vspace{1mm}
Авторы глубоко признательны рецензенту за указанные опечатки и полезные замечания, которые несомненно способствовали улучшению текста статьи.


\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).


\bibitem{lev1}
V.M. Levchuk, {\it Parabolic Subgroups of Certain ABA-groups}, {\it  Mathematical Notes}, {\bf 31}:4 (1982),  509--525.

\bibitem{kour}
{\it The Kourovka notebook: Unsolved Problems in Group Theory}, Eds. V.D. Mazurov, E.I.~Khukhro,
Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, 2018, no. 19.

\bibitem{LevCarpet}
 V.M. Levchuk, {\it On Generating Sets of Root Elements of Chevalley Groups Over a Field}, Algebra and Logic, {\bf 22}:5 (1983), 504--517 (in Russian).

 \bibitem{NS}
Ya.N. Nuzhin and A.V. Stepanov, {\it Subgroups of Chevalley Groups of Types $B_l$ and $C_l$ Containing the Group Over a Subring, and Corresponding Carpets}, St Peterburg Math. J., \textbf{31}:4 (2020), 719--737.

\bibitem{Nuzhin13}
Ya.N. Nuzhin,   {\it Intermediate Groups in the Chevalley Groups of Type $B_l$, $C_l$, $F_4$ and $G_2$ Over the Nonperfect Fields of Characteristic 2 and 3}, Siberian Math. J., \textbf{54}:1 (2013), 119--123.

\bibitem{Steinberg}
R. Steinberg, {\it Lectures on Chevalley Groups}, Yale University (1967).

\bibitem{Franchuk}
 S.K. Franchuk, {\it On Irreducible Carpets of Additive subgroups of Type $G_2$ Over Fields of Characteristic $p>0$}, Vladikavkaz. Matem.  J., {\bf 22}:1 (2020), 78--84.

 \bibitem{NT}
Ya.N. Nuzhin, E. N. Troyanskayay, {\it Irreducible Carpets of Additive Subgroups of Type $G_2$ Over a Field of Characteristic 0},   J. of Siberian Federal Univ. Mathematics $\&$ Physics, {\bf 15}:5 (2022), 610–614.


  \bibitem{car}
R.~Carter, {\it Simple Groups of Lie Type}, Wiley and Sons, London--New York--Sydney--Toronto, 1972.


\bibitem{KKLN}
V.A. Koibaev, S.K. Kuklina, A.O. Likhacheva, Ya.N. Nuzhin, {\it Subgroups, of Chevalley Groups over a Locally Finite Field, Defined by a Family of Additive Subgroups}, Mathematical Notes, {\bf 102}:6 (2017), 792–798.

\bibitem{Nuzhin}
Ya.N. Nuzhin, {\it Groups contained between groups of Lie type over various fields}, Algebra and Logic, \textbf{22}:5 1983), 378--389.

\bibitem{NS2}
Ya.N. Nuzhin, A.V. Stepanov, {\it Bruhat decomposition for carpet subgroups of Chevalley groups over fields}, Algebra and Logic, \textbf{60}:5 2021), 497--509.






\end{thebibliography}
\end{document}
