
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{512.552.4} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{16R10} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[О почти энгелевых $L$-многообразиях векторных пространств]{О почти энгелевых $\boldsymbol L$-многообразиях векторных пространств}
\author{{А.В. КИСЛИЦИН}}%
\address{Alexey V. Kislitsin  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Altai State Pedagogical University,
\newline\hphantom{iii} ul. Molodezhnaya, 55,
\newline\hphantom{iii} 656031, Barnaul, Russia}%
\email{kislitsin@altspu.ru}%

\thanks{\sc Kislitsin, A.V.,
On almost Engel $L$-varieties of vector spaces}
\thanks{\copyright \ 2021 Кислицин А.В}
%\thanks{\rm Работа поддержана РФФИ (грант 03-01-11111)}
\thanks{\it Поступила 1 января 2021 г., опубликована 31 декабря 2021 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } In this paper we study almost Engel $L$-varieties of vector spaces. Almost Engel $L$-varieties generated by an associative algebra considered as a vector space are described.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} multiplicative vector pair, identity of pair, variety of linear algebra, $L$-variety, almost Engel variety.
 \end{quote}
}


\section{Введение}

В 1973 году Ю.\,П.~Размыслов ввел понятие ассоциативно лиевой пары $(A,L)$, где $L$~---  алгебра Ли, $A$~--- ее ассоциативная обертывающая~\cite{razmyslov-73}. Под \textit{слабым тождеством} пары $(A,L)$ понимается ассоциативный многочлен, обращающийся в нуль в алгебре $A$ при подстановке вместо переменных произвольных элементов алгебры $L$.

Пусть $F$~--- произвольное поле, $F\langle X\rangle$~--- свободная ассоциативная алгебра над полем $F$ от множества свободных образующих $X$. Пусть далее $V$~--- векторное пространство над  полем $F$, являющееся подпространством некоторой ассоциативной $F$-алгебры $A$, причем $A$ как $F$-алгебра порождается пространством $V$. Пару $(A,V)$ будем называть \textit{мультипликативной векторной парой} или просто \textit{парой}. Алгебру $A$ в этом случае будем называть \textit{обертывающей алгеброй} пространства $V$, а пространство $V$~--- \textit{вложенным в алгебру $A$} или просто \textit{$L$-пространством}.

Ассоциативный многочлен $f(x_1,x_2,\dots,x_n)\in F\langle X\rangle$ назовем \textit{тождеством} мультипликативной векторной пары $(A,V)$, если $f(v_1,v_2,\dots,v_n)=0$ в алгебре $A$ при всех $v_1,v_2,\dots,v_n\in V$. Для краткости там, где это не вызывает недоразумений, будем опускать информацию об обертывающей алгебре и писать <<векторное пространство $V$>>, <<тождество векторного пространства $V$>> и~т.\,д. вместо <<мультипликативная векторная пара $(A,V)$>>, <<тождество мультипликативной векторной пары $(A,V)$>> и~т.\,д.

Известно, что множество всех тождеств линейной алгебры $A$ образует идеал алгебры $F\langle X\rangle$, замкнутый относительно подстановок вместо переменных произвольных многочленов из $F\langle X\rangle$ (такие идеалы называются $T$-идеалами).
Множество всех тождеств пространства $V$ образует идеал алгебры $F\langle X\rangle$, замк\-нутый относительно линейных подстановок переменных. Мы будем называть такие идеалы \textit{$L$-идеалами}. Если $G$~--- подмножество $F\langle X\rangle$, то через $L(G)$ мы обозначим наименьший $L$-идеал алгебры $F\langle X\rangle$, содержащий множество $G$.
Через $T(G)$ будем обозначать $T$-идеал, порожденный многочленами множества~$G$.

Для векторного пространства $V$ через $L(V)$ будем обозначать множество всех тождеств этого пространства, а через $T(V)$~--- $T$-идеал, порожденный всеми тождествами пространства $V$. Для линейной алгебры $A$ через $T(A)$ будем обозначать множество всех тождеств этой алгебры.

Для мультипликативных векторных пар можно ввести понятие, аналогичное понятию многообразия для линейных алгебр. Пусть $G\subseteq F\langle X\rangle$. Класс всех пар $(A_{\alpha}, V_{\alpha})$, в которых выполняются все тождества вида $g=0$, где $g$ пробегает $G$, называется \textit{многообразием мультипликативных векторных пар} или просто \textit{$L$-многообразием, заданным множеством тождеств $G$}, и обозначается $\mathrm{Var}_L\langle g=0|g\in G \rangle$. На протяжении работы многообразия линейных алгебр будем обозначать заглавными готическими буквами: $\frak A$, $\frak B$, $\frak C$, \dots, а\linebreak $L$-многообразия~--- заглавными рукописными буквами $\mathcal A$, $\mathcal B$, $\mathcal C$, \dots. Множество тождеств, выполняющихся в $L$-многообразии $\mathcal M$, будем обозначать $L(\mathcal M)$, а множество тождеств, выполняющихся в многообразии алгебр $\frak M$ обозначим $T(\frak M)$.
Пусть далее $(A,V)$~--- мультипликативная векторная пара. Многообразие пар, заданное множеством тождеств $L(V)$, назовем \textit{$L$-многообразием, порожденным пространством $V$} и будем обозначать $\mathrm{Var}_LV$. Ясно, что если $\mathcal M=\mathrm{Var}_LV$, то $L(\mathcal M)=L(V)$. Более подробно с $L$-многообразиями можно познакомиться в~\cite{iskis-15}.


Отметим, что не все свойства алгебры переносятся на вложенное в нее векторное пространство. Так, если алгебра $A$ имеет конечный базис тождеств, то векторное пространство $A$ конечным базисом тождеств может не обладать~\cite{iskis-13}. Если алгебру $A$ рассмотреть как векторное пространство, то свойства многообразия алгебр $\mathrm{Var}A$ и $L$-многообразия $\mathrm{Var}_LA$ также могут различаться. Например, векторное пространство $A=\langle e_{11},e_{12}\rangle_F\oplus\langle e_{11},e_{21}\rangle_F$ над полем~$F$ нулевой характеристики порождает нешпехтово $L$-многообразие~\cite{kislitsin-16}, хотя любое многообразие линейных алгебр над полем нулевой характеристики является шпехтовым~\cite{kemer-87}. Поэтому актуальным для исследования является вопрос о том, будет ли некоторое мультипликативное векторное пространство ($L$-многообразие, порожденное векторным пространством) обладать тем же свойством, что и обертывающая алгебра (многообразие, порожденное обертывающей алгеброй).

Важную роль при изучении многообразий линейных алгебр играют почти $\theta$-многообразия. Многообразие линейных алгебр называется \textit{почти $\theta$-мно\-го\-об\-ра\-зи\-ем}, если оно не удовлетворяет свойству $\theta$, но любое его собственное подмногообразие удовлетворяет этому свойству. Другими словами почти $\theta$-многообразия это в точности все минимальные относительно включения элементы в классе многообразий, не обладающих свойством $\theta$~\cite{finogenova-12}.

Важность почти $\theta$-многообразий, в частности, заключается в том, что они тесно связаны с индикаторной характеризацией, т.\,е. описанием многообразия алгебр на языке запрещенных объектов (при таком описании приводится список алгебр, отсутствие которых в данном многообразии необходимо и достаточно для выполнение некоторого условия в этом многообразии). Более подробно с индикаторной характеризацией многообразий линейных алгебр можно познакомиться в работе~\cite{finogenova-12}. Понятие почти $\theta$-многообразия может быть также рассмотрено в классе $L$-многообразий.

В случае, когда свойство $\theta$ представляет из себя конкретное тождество, в классе колец и линейных алгебр существуют описания почти $\theta$-многообразий. Ю.\,Н.~Мальцевым описаны почти коммутативные многообразия колец~\cite{maltsev-76}, почти коммутативные многообразия $\Phi$-алгебр, где $\Phi$~--- нетерово коммутативное кольцо Джекобсона с единицей~\cite{maltsev-96}. О.\,Б.~Финогеновой описаны почти энгелевы~\cite{finogenova-04}, почти перестановочные~\cite{finogenova-13}, почти лиево нильпотентные непервичные многообразия линейных ассоциативных алгебр~\cite{finogenova-15}.

В частности, в~\cite{finogenova-04} доказано, что если поле $F$ конечно, то многообразие линейных ассоциативных алгебр является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождается одной из следующих алгебр:
\begin{enumerate}
\item[1)]
$A_1=\left\{\left.
\begin{pmatrix}
a & b\\
0 & 0
\end{pmatrix}
\right|a,b\in F\right\}$;
\item[2)]
$A_2=\left\{\left.
\begin{pmatrix}
a & 0\\
b & 0
\end{pmatrix}
\right|a,b\in F\right\}$;
\item[3)] $
A_3=\left\{\left.
\begin{pmatrix}
a & b\\
0 & \sigma(a)
\end{pmatrix}
\right|a,b\in P\right\},
$
где $\sigma\in\mathrm{Aut}P$, $\sigma\ne1$ и поле инвариантов $P^{\sigma}$ является единственным максимальным подполем в $P$, содержащим~$F$.
\end{enumerate}
В случае бесконечного поля $F$ этот список сокращается до алгебр $A_1$ и $A_2$~\cite{finogenova-04}.

Естественным представляется вопрос об описании аналогичных классов почти $\theta$-многообразий $L$-пространств. Автором частично описаны все ненильпотентные почти коммутативные $L$-многообразия, порожденные линейной алгеброй, рассматриваемой как векторное пространство над конечным полем~$F$. А~именно, если $\mathcal M$~--- ненильпотентное $L$-мно\-го\-об\-ра\-зие, порожденное $F$-ал\-геб\-рой, рассматриваемой как векторное пространство, то $\mathcal M$ является почти коммутативным тогда и только тогда, когда оно порождается либо пространством $A_1$, либо пространством $A_2$~\cite{kislitsin-18}.

В настоящей работе описаны почти энгелевы $L$-многообразия, порожденные линейной алгеброй, рассматриваемой как векторное пространство над произвольным полем.

\begin{theorem}
Пусть $F$~--- произвольное поле и $\mathcal M$~--- $L$-мно\-го\-об\-ра\-зие, порожденное $F$-алгеброй, рассматриваемой как векторное пространство. Тогда\linebreak $L$-мно\-го\-об\-ра\-зие $\mathcal M$ является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождается одним из следующих пространств:
$$A_1=\left\{\left.
\begin{pmatrix}
a & b\\
0 & 0
\end{pmatrix}
\right|a,b\in F\right\}, \ \
A_2=\left\{\left.
\begin{pmatrix}
a & 0\\
b & 0
\end{pmatrix}
\right|a,b\in F\right\}.$$
\end{theorem}








\section{Вспомогательные результаты}

Для доказательства основной теоремы нам понадобятся несколько вспомогательных утверждений. Вначале докажем три леммы, не касающиеся энгелевости и почти энгелевости $L$-многообразий.

\begin{lemma}
Пусть $V$~--- векторное пространство над бесконечным полем $F$, удовлетворяющее одному из тождеств $[x,y]z=0$ или $x[y,z]=0$. Тогда $T(V)=L(V)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Проведем доказательство для $L$-пространства $V$, удовлетворяющего тождеству $x[y,z]=0$, поскольку доказательство для второго тождества проводится аналогично.

Пусть
$f=\sum\limits_{(l)}\alpha_{(l)}x_{i_1}^{l_{i_1}}x_{i_2}^{l_{i_2}}\dots x_{i_s}^{l_{i_s}}=0$~--- произвольное тождество пространства~$V$. Поскольку поле $F$ бесконечно, то многочлен $f$ можно считать однородным. При помощи тождества $x[y,z]=0$, перепишем $f$ следующим образом:
$$
f=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_ix_i^{k_i}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots \widehat{x}_i\dots x_n^{k_n},
$$
где символ $\widehat{x}_i$ означает отсутствие переменной $x_i$ в данном месте слова.

Зафиксируем некоторое $t\in\{ 1,2,\dots,n\}$ и рассмотрим многочлен $\Bigl.f\Bigr|_{x_t=x_ty}$, полученный из $f$ заменой $x_t$ на $x_ty$. Покажем, что $\Bigl.f\Bigr|_{x_t=x_ty}\in L(V)$.

Поскольку многочлен $f$ является однородным, получим:
\begin{multline*}
\Bigl.f\Bigr|_{x_t=x_ty}=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_ix_i^{k_i}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots \widehat{x}_j\dots (x_ty)^{k_t}\dots x_n^{k_n}=\\
\sum\limits_{i=1}^n\alpha_ix_i^{k_i}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots \widehat{x}_j\dots x_t^{k_t}y^{k_t}\dots x_n^{k_n}=\\
\left(\sum\limits_{i=1}^n\alpha_ix_i^{k_i}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots \widehat{x}_j\dots x_t^{k_t}\dots x_n^{k_n}\right)\cdot y^{k_t}=f\cdot y^{k_t}\in L(V).
\end{multline*}

Таким образом получаем, что при подстановке вместо произвольной переменной произведения переменных в многочлен, лежащий в $L(V)$, снова получаем многочлен из $L(V)$, откуда следует, что $T(V)=L(V)$.
\end{proof}

\begin{lemma}
Пусть $V$~--- векторное пространство над конечным полем $F=GF(q)$, удовлетворяющее либо тождествам $[x,y]z=0$ и $(x-x^q)y=0$, либо тождествам $x[y,z]=0$ и $x(y-y^q)=0$. Тогда $T(V)=L(V)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Проведем доказательство для $L$-пространства $V$, удовлетворяющего тождествам $x[y,z]=0$ и $x(y-y^q)=0$, поскольку доказательство для второй пары тождеств проводится аналогично.

Пусть
$f=\sum\limits_{(i)}\alpha_{(i)}x_{i_1}^{l_{i_1}}x_{i_2}^{l_{i_2}}\dots x_{i_s}^{l_{i_s}}=0$~--- произвольное тождество пространства~$V$. Можно считать, что все одночлены $f$ зависят от одних и тех же переменных. Пользуясь тождеством $x[y,z]=0$, перепишем $f$ следующим образом:
$$
f=\sum\limits_{(k)}\alpha_{(k)}x_i^{k_i}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots \widehat{x}_i\dots x_n^{k_n},
$$
где суммирование производится по всевозможным наборам показателей $(k)=(k_1,k_2,\dots,k_n)$, $k_i\ge1$ ($1\le i\le n$).

Переписав тождество $x(y-y^q)=0$ в виде $xy^q=xy$, легко получить тождество $x^{q+1}=x^2$. Таким образом, суммирование в последнем тождестве ведется по всем наборам $(k)=(k_1,k_2,\dots,k_n)$ для которых $1\le k_i\le q$ ($1\le i\le n$), причем показатели каждого слова $\alpha_{(k)}x_m^{k_m}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots \widehat{x}_m\dots x_n^{k_n}$ многочлена $f$ удовлетворяют неравенствам $1\le k_m\le q$ и $1\le k_i<q$ при $i\ne m$, $1\le i\le n$.

Зафиксируем некоторое $t\in\{ 1,2,\dots,n\}$ и рассмотрим многочлен $g=\Bigl.f\Bigr|_{x_t=x_ty}$, полученный из $f$ заменой $x_t$ на $x_ty$. Покажем, что $g\in L(V)$, для чего рассмотрим следующие случаи.

\textit{Случай 1.} $\deg_{x_t}f<q$.

Запишем многочлен $f=f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ в виде $f=f_1+f_2+\dots+f_{q-1}$, где $f_i$~--- сумма одночленов степени $i$ по переменной $x_t$. Заменяя теперь $x_t\to\lambda x_t$ ($\lambda\in F$, $\lambda\ne0$), получим, что $f=\lambda f_1+\lambda^2f_2+\dots+\lambda^{q-1}f_{q-1}$.

Поскольку поле $F$ содержит $q$ элементов, можно выбрать ненулевые попарно различные $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_{q-1}\in F$. Тогда, сделав в равенстве $f=\lambda f_1+\lambda^2f_2+\dots+\lambda^{q-1}f_{q-1}$ замены $\lambda\to\lambda_1$, $\lambda\to\lambda_2$, \dots, $\lambda\to\lambda_{q-1}$ и воспользовавшись определителем Вандермонда, получим, что $f_1=f_2=\dots=f_{q-1}=0$, т.\,е. $f_i=0$~--- также тождества~$V$ ($1\le i\le q-1$) и $f_1,f_2,\dots,f_{q-1}\in L(V)$.

Поскольку все многочлены $f_i$ однородны по переменной $x_t$ ($i=1,2,\dots,q-1$), то, пользуясь тождеством $x[y,z]=0$, получим:
\begin{multline*}
\Bigl.f_i\Bigr|_{x_t=x_ty}=\sum\limits_{(k)}\alpha_{(k)}x_j^{k_j}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots \widehat{x}_j\dots (x_ty)^i\dots x_n^{k_n}=\\
\left(\sum\limits_{(k)}\alpha_{(k)}x_j^{k_j}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots \widehat{x}_j\dots x_t^i\dots x_n^{k_n}\right)\cdot y^i=f_i\cdot y^i.
\end{multline*}
Следовательно,
\begin{multline*}
g=\Bigl.f\Bigr|_{x_t=x_ty}=\Bigl.\Bigl(f_1+f_2+\dots+f_{q-1}\Bigr)\Bigr|_{x_t=x_ty}=\\
f_1\cdot y+f_2\cdot y^2+\dots+f_{q-1}\cdot y^{q-1}\in L(V),
\end{multline*}
поскольку $f_i\cdot y^i\in L(V)$, $i=1,2,\dots,q-1$.

\textit{Случай 2.} $\deg_{x_t}f=q$.

Снова запишем многочлен $f=f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ в виде $f=f_1+f_2+\dots+f_q$, где $f_i$~--- сумма одночленов степени $i$ по переменной $x_t$. Заменим $x_t\to\lambda x_t$ ($\lambda\in F$, $\lambda\ne0$). Учитывая, что $x^q=x$ в поле $F=GF(q)$, получим что
\begin{multline*}
f=\lambda f_1+\lambda^2f_2+\dots+\lambda^{q-1}f_{q-1}+\lambda^qf_q=\\
\lambda f_1+\lambda^2f_2+\dots+\lambda^{q-1}f_{q-1}+\lambda f_q=\\
\lambda (f_1+f_q)+\lambda^2f_2+\dots+\lambda^{q-1}f_{q-1}.
\end{multline*}

Таким образом, $f=\lambda (f_1+f_q)+\lambda^2f_2+\dots+\lambda^{q-1}f_{q-1}$

Далее, поскольку $|F|=q$, то можно выбрать ненулевые попарно различные $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_{q-1}\in F$ и, сделав в последнем равенстве замены $\lambda\to\lambda_1$, $\lambda\to\lambda_2$, \dots, $\lambda\to\lambda_{q-1}$ и воспользовавшись определителем Вандермонда, получим, что $f_1+f_q=f_2=\dots=f_{q-1}=0$, т.\,е. $f_1+f_q,f_2,f_3,\dots,f_{q-1}\in L(V)$.

Далее, поскольку многочлены $f_i$ однородны по переменной $x_t$ ($i=2,3,\dots,q-1$), действуя аналогично случаю~1, можно показать, что $\Bigl.f_i\Bigr|_{x_t=x_ty}=f_i\cdot y^i$, $i=2,3,\dots,q-1$.

Рассмотрим многочлен $\Bigl.\bigl(f_1+f_q\bigr)\Bigr|_{x_t=x_ty}$. Используя тождество $xy=xy^q$, получим, что
$$
\Bigl.\bigl(f_1+f_q\bigr)\Bigr|_{x_t=x_ty}=\Bigl.f_1\Bigr|_{x_t=x_ty}+\Bigl.f_q\Bigr|_{x_t=x_ty}=
f_1\cdot y+f_q\cdot y^q=f_1\cdot y+f_q\cdot y=(f_1+f_q)\cdot y.
$$

Тогда, ввиду сделанных замечаний, можно записать:
\begin{multline*}
g=\Bigl.f\Bigr|_{x_t=x_ty}=\Bigl.\Bigl(f_1+f_2+\dots+f_q\Bigr)\Bigr|_{x_t=x_ty}=\\
(f_1+f_q)\cdot y+f_2\cdot y^2+\dots+f_{q-1}\cdot y^{q-1}\in L(V),
\end{multline*}
поскольку $f_1+f_q,f_2,f_3,\dots,f_{q-1}\in L(V)$.

Таким образом получаем, что при подстановке вместо переменных произведения переменных в произвольный многочлен, лежащий в $L(V)$, снова получаем многочлен из $L(V)$, откуда следует, что $T(V)=L(V)$.
\end{proof}

\begin{lemma}
Пусть $A$~--- ассоциативная алгебра над полем $F$ и $\mathcal M=\mathrm{Var}_LA$~--- почти $\theta$-многообразие векторных пространств, порожденное алгеброй $A$, рассматриваемой как векторное пространство. Тогда многообразие линейных алгебр $\frak M=\mathrm{Var}A$ является почти $\theta$-многообразием.
\end{lemma}

\begin{proof}
Пусть $G$~--- множество всех тождеств $\frak M$. Тогда все тождества множества $G$ выполняются в алгебре $A$, а значит и в пространстве $A$. Следовательно, множество всех тождеств $L$-многообразия $\mathcal M$ совпадает с $G$.

Пусть $\frak N\subsetneqq\frak M$ и $f=0$~--- тождество многообразия $\frak N$ такое, что $f\not\in G$. Тогда, ввиду сделанного выше замечания, тождество $f=0$ не выполняется в $L$-многообразии $\mathcal M$. Следовательно, $L$-многообразие $\mathcal N$, заданное множеством тождеств $G\cup\{ f\}$, является собственным $L$-подмногообразием $\mathcal M$. Поскольку $\mathcal M$~--- почти $\theta$-многообразие векторных пространств, то $\mathcal N$ обладает свойством $\theta$. Но тогда любая пара $(B,E)\in\mathcal N$ будет удовлетворять $\theta$, в частности, свойству $\theta$ будет удовлетворять всякая пара $(B,B)\in\mathcal N$, где $B$~--- ассоциативная алгебра. Это равносильно тому, что любая алгебра $B$, удовлетворяющая множеству тождеств $G\cup\{ f\}$, будет удовлетворять $\theta$, откуда вытекает, что многообразие алгебр $\frak N$ также удовлетворяет $\theta$. Следовательно, многообразие $\frak M$ линейных алгебр является почти $\theta$-многообразием.
\end{proof}

Утверждение обратное лемме~3 не верно, т.\,е. если $\frak M=\mathrm{Var}A$~--- почти\linebreak $\theta$-многообразие алгебр, то $\mathcal M=\mathrm{Var}_LA$ может не быть почти $\theta$-многообразием векторных пространств. Ниже будет приведен пример, подтверждающий это.

Теперь сформулируем и докажем два предложения, касающиеся почти энгелевых $L$-многообразий.

Пусть для произвольного поля $F$
$$
A_1=\left\{\left.
\begin{pmatrix}
a & b\\
0 & 0
\end{pmatrix}
\right|a,b\in F\right\}, \ \ \
A_2=\left\{\left.
\begin{pmatrix}
a & 0\\
b & 0
\end{pmatrix}
\right|a,b\in F\right\},
$$
и для конечного поля $F$
$$
A_3=\left\{\left.
\begin{pmatrix}
a & b\\
0 & \sigma(a)
\end{pmatrix}
\right|a,b\in P\right\},
$$
где $\sigma\in\mathrm{Aut}P$, $\sigma\ne1$ и поле инвариантов $P^{\sigma}$ является единственным максимальным подполем в $P$, содержащим $F$. Положим $E_1(x,y)=[x,y]$, $E_n(x,y)=[[x,\underbrace{y,y,\dots,y}_{n-1}],y]$ для некоторого целого положительного $n$.

\begin{proposition}
Пусть $F$~--- произвольное поле. $L$-многообразия $\mathcal M_1=\mathrm{Var}_LA_1$ и $\mathcal M_2=\mathrm{Var}_LA_2$ являются почти энгелевыми $L$-многообразиями.
\end{proposition}

\begin{proof}
Проведем доказательство, например, для $L$-мно\-го\-об\-ра\-зия~$\mathcal M_1$, поскольку доказательство для $\mathcal M_2$ проводится аналогично.


Легко проверяется, что пространство $A_1$ удовлетворяет тождеству $[x,y]z=0$, а в случае конечного поля~--- тождествам $[x,y]z=0$ и $(x-x^q)y=0$. Тогда $T(A_1)=L(A_1)$ ввиду лемм~1 и 2, откуда следует, что $L(\mathcal M_1)=T(\frak M_1)$, где $\frak M_1=\mathrm{Var}A_1$.

Пусть теперь $\mathcal N\subsetneqq\mathcal M_1$~--- собственное $L$-подмногообразие в $\mathcal M_1$, заданное множеством тождеств $G$. Если поле $F$ бесконечно, то $[x,y]z\in G$, а значит, по доказанному $T(G)=L(G)$. Если поле $F$ конечно, то $[x,y]z, (x-x^q)y\in G$, откуда следует, что $T(G)=L(G)$. Таким образом, в случае произвольного поля справедливо равенство $T(G)=L(G)$.


Обозначим через $\frak N$ подмногообразие в многообразии линейных алгебр $\frak M_1$, заданное множеством тождеств $G$. Если бы выполнялось $\frak N=\frak M_1$, то получили бы, что $L(\mathcal N)=G=T(\frak N)=T(\frak M_1)=L(\mathcal M_1)$, что невозможно. Значит, $\frak N$ является собственным подмногообразием многообразия $\frak M_1$. Тогда $E_k(x,y)\in T(\frak N)$ для некоторого $k$, поскольку $\frak M_1$~--- почти энгелево многообразие алгебр. Значит, $E_k(x,y)\in T(\frak N)=L(\mathcal N)$, откуда следует, что $\mathcal N$~--- энгелево $L$-многообразие и, следовательно,  $\mathcal M_1$~---почти энгелево $L$-многообразие векторных пространств по определению.
\end{proof}

\begin{proposition}
Пусть $F$~--- конечное поле. $L$-многообразие $\mathcal M_3=\mathrm{Var}_LA_3$ содержит собственное неэнгелево $L$-под\-мно\-го\-об\-ра\-зие.
\end{proposition}

\begin{proof}
Рассмотрим векторное пространство
$$
A_4=\left\{\left.
\begin{pmatrix}
a & a\\
0 & \sigma(a)
\end{pmatrix}
\right|a\in P\right\},
$$
являющееся подпространством пространства $A_3$. Пусть $\mathcal M_4=\mathrm{Var}_LA_4$. Покажем, что $\mathcal M_4$~--- искомое неэнгелево $L$-подмногообразие в $\mathcal M_3$. Очевидно, что $\mathcal M_4\subseteq\mathcal M_3$.

Заметим, что $\mathcal M_4$~--- неэнгелево $L$-многообразие. Действительно, пусть
$$
x=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}, \ \
y=\begin{pmatrix}
a & a\\
0 & \sigma(a)
\end{pmatrix},
$$
причем $a\ne\sigma(a)$. Тогда $E_1(x,y)=[x,y]=(\sigma(a)-a)e_{12}$, $E_2(x,y)=[x,y,y]=(\sigma(a)-a)^2e_{12}$ и по индукции получим: $E_n(x,y)=[x,\underbrace{y,y,\dots,y}_n]=(\sigma(a)-a)^ne_{12}$. Если $E_n(x,y)=0$, то $(\sigma(a)-a)^n=0$. Но в поле нет нильпотентных элементов, поэтому $\sigma(a)-a=0$, что невозможно, поскольку $a\ne\sigma(a)$. Таким образом, $E_n(x,y)\ne0$ ни для какого $n$.

Покажем теперь, что $\mathcal M_4\ne\mathcal M_3$. Очевидно, что
$$
A_4\subseteq
\left\{\left.
\begin{pmatrix}
a & a\\
0 & b
\end{pmatrix}
\right|a,b\in P\right\}.
$$
Последнее пространство является двумерным и, следовательно, удовлетворяет стандартному тождеству третьей степени
$$
\mathrm{St}_3(x_1,x_2,x_3)=\sum\limits_{\tau\in S_3}(-1)^{\tau}x_{\tau(1)}x_{\tau(2)}x_{\tau(3)}=0.
$$
Тогда $A_4$ также удовлетворяет тождеству $\mathrm{St}_3(x_1,x_2,x_3)=0$. Однако, $L$-прост\-ран\-с\-т\-во $A_3$ не удовлетворяет этому тождеству. Действительно, перепишем стандартное тождество в виде: $\mathrm{St}_3(x_1,x_2,x_3)=x_1[x_2,x_3]+x_2[x_3,x_1]+x_3[x_1,x_2]$ и положим
$$
x_1=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}, \ \
x_2=\begin{pmatrix}
a & b\\
0 & \sigma(a)
\end{pmatrix}, \ \
x_3=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix},
$$
где $a\ne\sigma(a)$. Вычисляя, получим: $\mathrm{St}_3(x_1,x_2,x_3)=(a-\sigma(a))e_{12}\ne0$. Таким образом, $\mathrm{St}_3(x_1,x_2,x_3)\in L(\mathcal M_4)$ и $\mathrm{St}_3(x_1,x_2,x_3)\not\in L(\mathcal M_3)$, откуда следует, что $\mathcal M_4\subsetneqq\mathcal M_3$. Окончательно получаем, что $\mathcal M_4$ является собственным неэнгелевым $L$-подмногообразием $\mathcal M_3$, что и требовалось.
\end{proof}

Вопрос о том, порождает ли векторное пространство $A_4$ почти энгелево $L$-многообразие на данный момент остается открытым.

Предложение~2 показывает, что утверждение обратное лемме~3 не верно. Действительно, $\mathrm{Var}A_3$~--- почти энгелево многообразие линейных алгебр, но $L$-многообразие $\mathrm{Var}_LA_3$ не является почти энгелевым.

\section{Основной результат}

Теперь мы можем доказать основной результат данной работы.

\setcounter{theorem}{0}
\begin{theorem}
\textit{Пусть $F$~--- произвольное поле и $\mathcal M$~--- $L$-мно\-го\-об\-ра\-зие, порожденное $F$-алгеброй, рассматриваемой как векторное пространство. Тогда $L$-многообразие $\mathcal M$ является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождается одним из следующих пространств:
\begin{enumerate}
\item[$1)$]
$A_1=\left\{\left.
\begin{pmatrix}
a & b\\
0 & 0
\end{pmatrix}
\right|a,b\in F\right\}$;
\item[$2)$]
$A_2=\left\{\left.
\begin{pmatrix}
a & 0\\
b & 0
\end{pmatrix}
\right|a,b\in F\right\}$.
\end{enumerate}}
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $A$~--- ассоциативная алгебра над конечным полем $F$ и $\mathcal M=\mathrm{Var}_LA$~--- $L$-многообразие векторных пространств, порожденное алгеброй~$A$, рассматриваемой как векторное пространство.

Если $L$-многообразие $\mathcal M$ порождается либо $A_1$, либо $A_2$, то оно является почти энгелевым в виду предложения~1.

Обратно, пусть $L$-многообразие $\mathcal M$ является почти энгелевым. Покажем, что оно порождается одним из пространств $A_1$, либо $A_2$.

Ввиду леммы~3 многообразие алгебр $\frak M=\mathrm{Var}A$ является почти энгелевым.

\textit{Случай 1.} $F$~--- бесконечное поле.

Поскольку алгебра $A$ порождает почти энгелево многообразие алгебр $\frak M$, то из результатов работ~\cite{finogenova-04, maltsev-76(1)} следует, что $\frak M$ порождается одной из алгебр $A_1$ или $A_2$. Ввиду предложения~1, $L$-многообразия, порожденные пространствами $A_1$ и $A_2$, являются почти энгелевыми. Следовательно, поскольку множества тождеств многообразия $\frak M=\mathrm{Var}A$ и $L$-многообразия $\mathcal M=\mathrm{Var}_LA$ совпадают, $\mathcal M$ порождается либо пространством $A_1$, либо $A_2$.

\textit{Случай 2.} $F$~--- конечное поле.

Поскольку алгебра $A$ порождает почти энгелево многообразие алгебр $\frak M$, то из результатов работы~\cite{finogenova-04} следует, что $\frak M$ порождается одной из алгебр $A_1$, $A_2$, $A_3$. В силу предложений~1~и~2, $L$-многообразия, порожденные пространствами $A_1$ и $A_2$, являются почти энгелевыми, а $L$-многообразие, порожденное пространством $A_3$, не является почти энгелевым. Следовательно, поскольку множества тождеств многообразия $\frak M=\mathrm{Var}A$ и $L$-многообразия $\mathcal M=\mathrm{Var}_LA$ совпадают, $\mathcal M$ порождается либо пространством $A_1$, либо $A_2$, что и требовалось.
\end{proof}


\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{razmyslov-73} Yu.P. Razmyslov,
{\it The existence of a finite basis for the identities of the matrix algebra of order two over a field of characteristic zero}, Algebra Logika, \textbf{12}:1 (1973), 83--113.

\bibitem{iskis-15} I.M. Isaev, A.V. Kislitsin,
{\it The identities of vector spaces embedded in a linear algebra}, Siberian Electronic Mathematical Reports, \textbf{12} (2015), 328--343.

\bibitem{iskis-13} I.M. Isaev, A.V. Kislitsin,
{\it Identities in vector spaces and examples of finite-dimensional linear algebras having no finite basis of identities}, Algebra and Logic, \textbf{52}:4 (2013), 290--307.

\bibitem{kislitsin-16} A.V. Kislitsin,
{\it The Specht property of $L$-varieties of vector spaces over an arbitrary field}, Algebra and Logic, \textbf{57}:5 (2016), 556--566.

\bibitem{kislitsin-18} A.V. Kislitsin,
{\it On nonnilpotent almost commutative $L$-varieties of vector spaces}, Siberian Mathematical Journal, \textbf{59}:3 (2018), 458--462.

\bibitem{kemer-87} A.R. Kemer,
{\it Finite basability of identities of associative algebras}, Algebra and Logic, \textbf{26}:5 (1987), 597--641.

\bibitem{maltsev-76} Yu.N. Mal'tsev,
{\it Almost commutative varieties of associative rings}, Siberian Mathematical Journal, \textbf{17}:5 (1976), 803--811.

\bibitem{maltsev-96} Yu.N. Mal'tsev,
{\it Just non commutative varieties of operator algebras and ring with some conditions on nilpotent elements}, Tamkang J. of Math., \textbf{27}:1 (1996), 437--496.

\bibitem{finogenova-12} O.B. Finogenova,
{\it Characterizing non-matrix properties of varieties of algebras in the language of forbidden objects}, Serdica Math. J., \textbf{38} (2012), 473--496.

\bibitem{finogenova-04} O.B. Finogenova,
{\it Varieties of associative algebras satisfying Engel identities}, Algebra and Logic, \textbf{43}:4 (2004), 271--284.

\bibitem{finogenova-13} O.B. Finogenova,
{\it Almost permutative varieties of associative algebras over an infinite field}, Algebra and Logic, \textbf{51}:6 (2013), 519--534.

\bibitem{finogenova-15} O.B. Finogenova,
{\it Almost Lie nilpotent non-prime varieties of associative algebras}, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, \textbf{21}:4 (2015), 282--291.

\bibitem{maltsev-76(1)} Yu.N. Mal'tsev,
{\it Varieties of associative algebras}, Algebra Logika, \textbf{15}:5 (1976), 579--584.

\end{thebibliography}
\end{document}
