
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}

\def\udcs{519.17} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{	05C25  } %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{problem}{Гипотеза}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 12, стр. 144--144 (2015) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.17377/semi.2015.12.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}

\thispagestyle{empty}

\title[О ГРАФАХ С МАССИВОМ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$]
{О ДИСТАНЦИОННО РЕГУЛЯРНЫХ ГРАФАХ С МАССИВАМИ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$}
\author{{И.Н. Белоусов, М.П. Голубятников, А.А. Махнев}}%

\address{Ivan Nikolaevich Belousov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
	\newline\hphantom{iii} N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences,
	\newline\hphantom{iii} str. S.Kovalevskaya, 16,
	\newline\hphantom{iii} 620990,  Yekaterinburg, Russia}%
\email{i\_belousov@mail.ru}

\address{Mikhail Petrovich Golubyatnikov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
	\newline\hphantom{iii} N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences,
	\newline\hphantom{iii} str. S.Kovalevskaya, 16,
	\newline\hphantom{iii} 620990,  Yekaterinburg, Russia}%
\email{mike\_ru1@mail.ru}

\address{Aleksandr Alekseevich Makhnev  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
	\newline\hphantom{iii} N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences,
	\newline\hphantom{iii} str. S.Kovalevskaya, 16,
	\newline\hphantom{iii} 620990,  Yekaterinburg, Russia}%
\email{makhnev@imm.uran.ru}

\thanks{\sc Belousov, I.N., Golubyatnikov M.P., Makhnev, A.A.,
On distance-regular graphs with intersection arrays $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$}
\thanks{\copyright \ 2020 Белоусов И.Н., Голубятников М.П., Махнев А.А.}
\thanks{\rm Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-71-10067).}
\thanks{\it Поступила 25 мая 2020 г., опубликована  ?? марта 2021 г.}%

\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract.} 
There is infinite sequence of formally self-dual classical distan\-ce-regular graphs $\Gamma$ with $b=2$,
$\alpha=1$, $\beta=n-1$, $v=n^3$ $(n>5)$ (A. Brouwer). Graph $\Gamma$ has intersection array 
$\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ and realized when $n$ is a power of 2 by a biliniar forms graph.
We suggested that $\Gamma$ does not exist if $n$ is not a power of 2. It is true if $n\ge 71$.  
Finally distance-regular graph with intersection array $\{56,42,20;1,6,28\}$ does not exist.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} distance-regular graph, formally self-dual graph, geometric graph, biliniar forms graph.
 \end{quote}
}
\medskip

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для
вершины $a$ графа $\Gamma$ через $\Gamma_i(a)$ обозначим $i$-окрестность
вершины $a$, то есть, подграф, индуцированный $\Gamma$ на множестве всех
вершин, находящихся на расстоянии $i$ от $a$. Положим $[a]=\Gamma_1(a)$,
$a^\bot=\{a\}\cup [a]$.

Граф $\Sigma$ называется $r$-накрытием графа $\Gamma$, если имеется гомоморфизм
$\varphi$, отображающий $\Sigma$ на $\Gamma$, при котором $|\varphi^{-1}(u)|=r$
для оюбой вершины $u\in \Gamma$ и для $w\in \varphi^{-1}(u)$ граф $\varphi(\Sigma(w))$ 
изоморфен $\Gamma(u)$.

Если вершины $u,w$ находятся на расстоянии $i$ в $\Gamma$, то через
$b_{i}(u, w)$ (через $c_i(u,w)$) обозначим число вершин в пересечении
$\Gamma_{i+1}(u)$ ($\Gamma_{i-1}(u)$) с $[w]$. Граф $\Gamma$ диаметра
$d$ называется {\it дистанционно регулярным с массивом пересечений}
$\{b_0,b_1,\dots,b_{d-1};c_1,\dots,c_d\}$, если значения $b_{i}(u, w)$ и
$c_i(u,w)$ не зависят от выбора вершин $u,w$ на расстоянии $i$ в $\Gamma$
для любого $i=0,...,d$. Положим $a_i=k-b_i-c_i$. Заметим, что для
дистанционно регулярного графа $b_0$ --- это степень графа, $c_1=1$. Далее, через 
$p_{ij}^l(x,y)$ обозначим число вершин в подграфе $\Gamma_i(x)\cap \Gamma_j(y)$ для 
вершин $x,y$, находящихся на расстоянии $l$ в графе $\Gamma$. В дистанционно
регулярном графе числа $p_{ij}^l(x,y)$ не зависят от выбора вершин $x,y$,
обозначаются $p_{ij}^l$ и называются числами пересечений графа $\Gamma$ \cite{BCN}.

Порядок клики в дистанционно регулярном графе степени $k$, имеющем наименьшее
собственное значение $-m$ не больше $1+k/m$. Клика $K$ с $1+k/m$ вершинами называется
кликой Дельсарта. Дистанционно регулярный граф называется {\it геометрическим}, если
он содержит такое семейство $S$ клик Дельсарта, что каждое ребро графа содержится в 
единственной клике из $S$.

Дистанционно регулярный граф называется формально самодуальным, если первая и вторая матрицы
его собственных значений совпадают.

Пусть $V=F^d$, $W=F^e$, $d\le e$ и $B$ --- линейное пространство размерности $de$ над полем $F=F_q$
билинейных форм $f$ из $V\times W$ в $F$. Нулевое пространство $f$ в $V$ --- это
$\{v\in V\ |\ f(v,W)=0\}$. Рангом формы $f$ называется произведение коразмерностей нулевых
пространств в $V$ и $W$. Формы $f$ и $g$ смежны в графе билинейных форм $H_q(d,e)$, если ранг
$f-g$ равен 1. 
%b=q=2,\alpha+1=q,\beta+1=q^e=n,v=n^3 
\medskip

Имеется бесконечное семейство формально самодуальных дистанционно регулярных графов $\Gamma$ с классическими 
параметрами $b=2$, $\alpha=1$, $\beta=n-1$, $v=n^3$ $(n>5)$ (\cite[стр. 425]{BCN}). Граф $\Gamma$ имеет массив 
пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ и реализуется как граф билинейных форм $H_2(3,e)$, когда $n=2^e$.  
Графы $H_q(d,e)$ охарактеризованы массивом пересечений (Метш, 1999) в случаях $q=2,e\ge d+4$ и $q\ge 3,e\ge d+3$ \cite{M}.
Гаврилюк и Кулен рассмотрели случай $q=2,e=d$ \cite{GK}. Таким образом, графы $H_q(3,e)$ распознаются по
массиву пересечений, за исключением случаев $e\in \{4,5,6\}$ (случаев $n\in \{16,32,64\}$).

При $n=6$ получим массив пересечений $\{35,24,8;1,6,28\}$, а при $n=7$ получим массив пересечений 
$\{42,30,12;1,6,28\}$. С помощью тройных чисел пересечений было доказано, что оба графа не существуют 
(\cite{JV} и \cite{BM} соответственно). Гаврилюк и Кулен с помощью изучения собственных значений локальных
подграфов получили другое доказательство несуществования графа с массивом пересечений 
$\{35,24,8;1,6,28\}$ \cite[теорема 5.1]{GK}. В (см. \cite[раздел 5]{GK}) доказано, что в дистанционно регулярном
графе с массивом пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ окрестность никакой вершины
не может быть $7\times (n-1)$-решеткой в случаях $n=6$ и $n=7$.

\begin{proposition} 
Дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ имеет спектр
$(7n-7)^1,(3n-7)^{7n-7},(n-7)^{7(n-1)(n-2)},-7^{(n-1)(n-2)(n-4)}$,
вторую матрицу собственных значений 
$$
Q=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 7n-7 & 7(n-1)(n-2) & (n-1)(n-2)(n-4) \\
1 & 3n-7 & (n-2)(n-7) & -(n-2)(n-4) \\
1 & n-7 & -3n+14 & 2n-8 \\
1 & -7 & 14 & -8
\end{array}\right),
$$
и числа пересечений

$(1)$ $p^1_{11}=n+4$, $p^1_{21}=6n-12$, $p^1_{22}=3(n+1)(n-2)$,
$p^1_{32}=4(n-2)(n-4)$, $p^1_{33}=(n-2)(n-4)(n-5)$;

$(2)$ $p^2_{11}=6$, $p^2_{21}=3n+3$, $p^2_{22}=n^2+24n-86$,
$p^2_{31}=4n-16$, $p^2_{32}=6(n-4)^{2}$, $p^2_{33}=(n^{2}-9n+22)(n-4)$;

$(3)$ $p^3_{21}=28$, $p^3_{22}=42n-168$, $p^3_{31}=7n-35$,
$p^3_{32}=7n^{2}-63n+154$, $p^3_{33}=n^{3}-14n^2+70n-128$. 
\end{proposition}

По предложению 1 любой граф с массивом пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ имеет 
наименьшее собственное значение $-7$ и порядок клики Дельсарта в нем равен $n$. Если $C$
--- клика Дельсарта, то любая вершина вне $C$ смежна с 0 или $n-b_1/(\theta_3+1)=2$ вершинами
из $C$ (\cite[предложение 4.4.6]{BCN}).

\begin{problem} 
Дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ не существует, 
если $n$ не является степенью $2$.
\end{problem}

В \cite{GK} отмечается, что гипотеза справедлива, если $n\ge 134$.
Следующий результат показывает, что гипотеза справедлива, если $n\ge 94$. 

\begin{theorem} 
Если дистанционно регулярный граф $\Gamma$ с массивом пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ 
существует и $n\ge 94$, то $n=2^e$ и $\Gamma$ --- граф билинейных форм $H_2(3,e)$.
\end{theorem}

\begin{corollary} 
Пусть $\Gamma$ --- дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$.
Если $n>70$ или $n>60$ и порядок коклики в окрестностях вершин графа $\Gamma$ не больше 7,
то $\Gamma$ является геометрическим.
\end{corollary}

При конкретных значениях $q=2$, $d=3$, $s=r=7$, $\beta=n-1$ получено существенное усиление результата Метша (предложение 2.2 из \cite{M}). 

\begin{theorem} 
Пусть $\Gamma$ --- геометрический граф с массивом пересечений 
$\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$. Если $n>42$, то $n=2^e$ и $\Gamma$ --- граф билинейных форм $H_2(3,e)$. 
\end{theorem}

Заметим, что по следствию 1 граф с массивом пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$ 
является геометрическим, если $n>70$ или $n>60$ и окрестности вершин в $\Gamma$ не содержат 8-коклик.
Таким образом, выполняется

\begin{corollary} 
Пусть $\Gamma$ --- дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$.
Если $n>70$, то $n=2^e$ и $\Gamma$ --- граф билинейных форм $H_2(3,e)$.
\end{corollary}
\medskip

В \cite[проблема 9]{Ma} сформулирована проблема существования
дистанционно регулярного графа с массивом пересечений $\{56,42,20;1,6,28\}$ (случай $n=9$). Эта проблема решена в следующей
теореме.

\begin{theorem} 
Дистанционно регулярный граф $\Gamma$ с массивом пересечений $\{56,\\42,20;1,6,28\}$ не существует.
\end{theorem}

В доказательстве теоремы 3 используются тройные числа пересечений \cite{CJ}.

Пусть $\Gamma$ --- дистанционно регулярный граф диаметра $d$. Если $u_1,u_2,u_3$ --- вершины
графа $\Gamma$, $r_1,r_2,r_3$ --- неотрицательные целые числа, не большие $d$, то
$\left\{u_1u_2u_3\atop r_1r_2r_3\right\}$ --- множество вершин $w\in \Gamma$ таких, что $d(w,u_i)=r_i$,
$\left[u_1u_2u_3\atop r_1r_2r_3\right]=|\left\{u_1u_2u_3\atop r_1r_2r_3\right\}|$.
Числа $\left[u_1u_2u_3\atop r_1r_2r_3\right]$ называются тройными числами пересечений.
Для фиксированной тройки вершин $u_1,u_2,u_3$ вместо $\left[u_1u_2u_3\atop r_1r_2r_3\right]$ будем писать
$[r_1r_2r_3]$. К сожалению, для чисел $[r_1r_2r_3]$ нет общих формул. Однако, в \cite{CJ} предложен метод
вычисления некоторых чисел $[r_1r_2r_3]$.

Пусть $u,v,w$ --- вершины графа $\Gamma$, $W=d(u,v),U=d(v,w),V=d(u,w)$. Так как имеется точно одна вершина
$x=u$ такая, что $d(x,u)=0$, то число $[0jh]$ равно 0 или 1. Отсюда $[0jh]=\delta_{jW}\delta_{hV}$.
Аналогично, $[i0h]=\delta_{iW}\delta_{hU}$ и $[ij0]=\delta_{iU}\delta_{jV}$.

Другое множество уравнений можно получить, фиксируя расстояние между двумя вершинами из $\{u,v,w\}$,
и сосчитав число вершин всех расстояний от третьей, получим: 

$\sum_{l=1}^d[ljh]=p_{jh}^U-[0jh]$, 
$\sum_{l=1}^d[ilh]=p_{ih}^V-[i0h]$, $\sum_{l=1}^d[ijl]=p_{ij}^W-[ij0]$.

При этом некоторые тройки исчезают. При $|i-j|>W$ или $i+j<W$ имеем $p_{ij}^W=0$, поэтому $[ijh]=0$
для всех $h\in \{0,...,d\}$.

Положим $S_{ijh}(u,v,w)=\sum_{r,s,t=0}^d Q_{ri}Q_{sj}Q_{th}\left[uvw\atop rst\right]$.
Если параметр Крейна $q_{ij}^h=0$, то $S_{ijh}(u,v,w)=0$.

Зафиксируем вершины $u,v,w$ дистанционно регулярного графа $\Gamma$ диаметра $3$ и положим 
$\{ijh\}=\left\{uvw\atop ijh\right\}$, $[ijh]=\left[uvw\atop ijh\right]$, $[ijh]'=\left[uwv\atop ihj\right]$, 
$[ijh]^*=\left[vuw\atop jih\right]$ и $[ijh]^\sim=\left[wvu\atop hji\right]$.  Вычисление чисел $[ijh]'=\left[uwv\atop ihj\right]$, 
$[ijh]^*=\left[vuw\atop jih\right]$ и $[ijh]^\sim=\left[wvu\atop hji\right]$ (симметризация массива тройных
чисел пересечений) может дать новые соотношения, позволяющие доказать несуществование графа.


\section{Характеризация графов билинейных форм $H_2(3,e)$}

Следующий результат получен Метшем (см. предложение 2.2 из \cite{M}).

\begin{proposition} 
Пусть $\Gamma$ --- дистанционно регулярный граф c классическими параметрами 
$(d,q,\alpha,\beta)$, $d\ge 3$, $r=q^d-1$ и $\alpha=q-1\ge 1$. Предположим, что существует
целое число $s\ge r$ такое, что

$(1)$ если $q=2$ и $d=3$, то $s=r=7$,
 
$(2)$ $(s+1)(\lambda+1)-s(s+1)(q^2+q-1)/2>r\beta$,
 
$(3)$ $\lambda+1>s(q^3+q^2+2q-1)-q^2(q^2+q+1)$.

Тогда $q$ --- степень простого числа, $\beta=q^e-1$ и $\Gamma$ --- граф билинейных форм
$H_q(d,e)$.
\end{proposition} 

Пусть $\Gamma$ --- дистанционно регулярный граф с массивом пересечений 
$\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$. Тогда $a_1=n+4$ и $\Gamma$ имеет классические параметры 
$(3,2,1,n-1)$. Далее, $s=r=7$. Если $n\ge 94$, то выполнены неравенства
$8(n+5)-140>7(n-1)$, $n+5>7(8+4+4-1)-4(4+2+1)$ и по педложению Метша $n=2^e$ и
$\Gamma$ --- граф билинейных форм $H_2(3,e)$.

\section{Геометричность некоторых графов с массивом пересечений 
$\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$}

Следующий результат является частным случаем следствия 1.3 из \cite{M1}.

\begin{proposition} 
Пусть $\Gamma$ --- реберно регулярный граф c параметрами \\ $(v,k,\lambda)$, $e,s$ --- неотрицательные
целые числа, и максимальная клика $C$ с $|C|\ge \lambda+2-(s-1)e$ называется прямой. Если выполняются условия:

$(1)$ $|[u]\cap [y]\cap [z]|\le e$ для любых двух несмежных верщин $y,z$ и дюбой вершины
$u\in [y]\cap [z]$,
 
$(2)$ $\lambda+1>(2s-1)e$,
 
$(3)$ либо порядок коклики в окрестности любой вершины не больше $s$, либо $k<(s+1)(\lambda+1)-s(s+1)e/2$,

то каждая вершина графа $\Gamma$ лежит на $s$ прямых, а каждое ребро графа $\Gamma$ лежит на единственной 
прямой.
\end{proposition} 

Пусть $\Gamma$ --- дистанционно регулярный граф с массивом пересечений 
$\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$. 

\begin{lemma} %лемма 1.
Пусть $d(u,w)=2$. Тогда выполнятся следующие утверждения:

$(1)$ если $u^\bot$ содержит семь клик Дельсарта, то степень любой вершины в графе $[u]\cap [w]$
не больше $3$;

$(2)$ если $[u]$ является $7\times (n-1)$-решеткой, то $[u]\cap [w]$ является шестиугольником;

$(3)$ если $[u]$ является $7\times (n-1)$-решеткой, $z\in [w]\cap \Gamma_2(u)$, то 
$[u]\cap [w]\cap [z]$ является пустым графом или объединением не более двух изолированных ребер.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Заметим, что $[w]$ содержит по две вершины в трех кликах Дельсарта $L_1,L_2,L_3$ из $u^\bot$.
Вершина из $L_1$ смежна с единственной вершиной из $L_1\cap [w]$ и не более чем с одной вершиной из
$L_2\cap [w]$ и из $L_3\cap [w]$. Утверждение (1) доказано. 
  
Пусть $[u]$ является $7\times (n-1)$-решеткой. Очевидно, что $[u]\cap [w]$ является шестиугольником.
Пусть $z\in [w]\cap \Gamma_2(u)$ и $[u]\cap [w]\cap [z]$ --- непустой граф. Тогда $z$ лежит в максимальной 
клике из $[w]$, содержащей ребро шестиугольника $[u]\cap [w]$. Если $z$ лежит еще в одной максимальной 
клике из $[w]$, содержащей ребро шестиугольника $[u]\cap [w]$, то $[u]\cap [w]\cap [z]$ является 
объединением двух изолированных ребер.
\end{proof}

\begin{lemma} %лемма 2.
Выполнятся следующие утверждения:

$(1)$ если степень вершины в любом $\mu$-подграфе графа $\Gamma$ не больше $2$, то в случае 
$n\ge 22$ граф $\Gamma$ является геометрическим;

$(2)$ если степень вершины в любом $\mu$-подграфе графа $\Gamma$ не больше $3$, то в случае 
$n\ge 38$ граф $\Gamma$ является геометрическим;

$(3)$ если степень вершины в любом $\mu$-подграфе графа $\Gamma$ не больше $4$, то в случае 
$n\ge 66$ граф $\Gamma$ является геометрическим.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Положим $s=7$. Если $e=2$, то неравенства $n+5>26$ и $7(n-1)<8(n+5)-56$ выполняются при $n\ge 22$.
В этом случае по предложению 4 граф $\Gamma$ является геометрическим.

Если $e=3$, то неравенства $n+5>39$ и $7(n-1)<8(n+5)-84$ выполняются при $n\ge 38$.
В этом случае по предложению 4 граф $\Gamma$ является геометрическим.

Если $e=4$, то неравенства $n+5>52$ и $7(n-1)<8(n+5)-112$ выполняются при $n\ge 66$.
В этом случае по предложению 4 граф $\Gamma$ является геометрическим.
\end{proof}

\begin{lemma} %лемма 3.
Пусть максимальный порядок коклики в окрестностях вершин графа $\Gamma$ равен $t$. 
Если $n>70$ или $t\le 7$ и $n>60$, то граф $\Gamma$ является геометрическим.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Пусть $s=8$. Тогда неравенство $n>70$ равносильно $n+5>5(2s-1)$, а
$n>64$ равносильно $7(n-1)<(s+1)(n+5)-5s(s+1)/2$. По предложению 4 граф $\Gamma$ 
является геометрическим, если $n>70$

Пусть $s=7$. Тогда неравенство $n>60$ равносильно $n+5>5(2s-1)$, а
$n>93$ равносильно $7(n-1)<(s+1)(n+5)-5s(s+1)/2$. Если $t\le 7$, то  
по предложению 4 граф $\Gamma$ является геометрическим при $n>60$.
\end{proof}

По лемме 3 выполняется следствие 1.

\section{О геометрических графах с массивами пересечений 
$\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$}

В этом разделе мы докажем теорему 2.
Доказательство проводится модификацией рассуждений Метша из доказательства предложения 2.2 \cite{M}. 
Имеем $q=2$, $d=3$, $s=r=7$, $\beta=n-1$, неравенство (3) равносильно $n>42$, а неравенство (2)
не используется. Для смежных вершин $u,w$ через $uw$ обозначим единственную прямую (клику Дельсарта), 
проходящую через $u,w$. Если $d(u,w)=2$, то через $[u,w]$ обозначим множество прямых, проходящих через $u$ и
пересекающих $[w]$.   

Леммы 2.3--2.9 из \cite{M} проверяются непосредственно, при этом неравенство $n>42$ не используется.

\begin{lemma} %лемма 4.
Рассмотрим вершину $p\in \Gamma$ и прямую $L$ с $d(p,L)=1$. 
Тогда $[p,u]=[p,w]$ для любых вершин $u,w\in L\cap \Gamma_2(p)$.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Повторяем доказательство леммы 2.10 из \cite{M}.
\end{proof}

Здесь используется неравенство (3) из предложения 2.2 \cite{M}, равносильное $n>42$.

\begin{lemma} %лемма 5.
Если вершины $v,v'\in \Gamma$ смежны, то подграф $[v]\cap [v']-vv'$ является кликой.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Пусть вершины $v,v'\in \Gamma$ смежны, $X=[v]\cap [v']-vv'$ и $x\in X$.
Положим $L=vx$. Тогда найдется вершина $p\in L$ с $d(p,v')=2$. Если $x'\in X$, $d(p,x')=2$,
то вершины $x,x'$ смежны (повторение рассуждений из доказательства леммы 2.11 \cite{M}).
Так как для любой вершины $x'\in X-\{x\}$ найдется вершина $p\in L$ с $d(p,v')=d(p,x')=2$, 
то $X$ является кликой.
\end{proof}

По лемме 5 граф $\Gamma$ является решетчатым и по теореме 1.2 из \cite{GK} имеем
$n=2^e$ и $\Gamma$ --- граф билинейных форм $H_2(3,e)$. Теорема 2 доказана.    

\section{Собственные значения графа с массивом пересечений $\{56,42,20;1,6,28\}$}

Пусть $\Gamma$ --- дистанционно регулярный граф с массивом пересечений 
$\{7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28\}$, $n\ge 9$. 

По \cite[предложение 2.3]{GK} многочлен Тервиллигера графа $\Gamma$ равен
$$T_2(\lambda)=-3(\lambda-n+3)(\lambda+1)(\lambda+3)(\lambda-5).$$

\begin{lemma} %лемма 6.
Пусть $u$ --- вершина графа $\Gamma$, $\Delta=[u]$, $\eta$ --- неглавное собственное значение графа $\Delta$.
Тогда выполняются следующие утверждения: 

$(1)$ $-3\le \eta \le -1$ или $5\le \eta \le n-3$;

$(2)$ если $n=9$, то множество целых собственных значений графа $\Delta$ содержится в 
$\{13,6,5,-1,-2,-3\}$.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
По \cite[лемма 4.1]{GK} имеем $-3\le \eta \le -1$ или $5\le \eta \le n-3$.

Если $n=9$, то по утверждению (1) множество целых собственных значений графа $\Delta$ содержится в 
$\{13,6,5,-1,-2,-3\}$. 
\end{proof}


\section{Граф с массивом пересечений 
$\{56,42,20;1,6,28\}$.}

Пусть $\Gamma$ --- дистанционно регулярный граф с массивом пересечений 
$\{56,42,20;\\1,6,28\}$. По предложению $\Gamma$ имеет спектр
$56^1,20^{56},2^{392},-7^{280}$, $1+56+392+280=729$ вершин, вторую матрицу собственных значений 
$$
Q=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 56 & 392 & 280 \\
1 & 20 & 14 & -35 \\
1 & 2 & -13 & 10 \\
1 & -7 & 14 & -8
\end{array}\right),
$$
и числа пересечений

$(1)$ $p^1_{11}=13$, $p^1_{21}=42$, $p^1_{22}=210$,
$p^1_{32}=140$, $p^1_{33}=140$;

$(2)$ $p^2_{11}=6$, $p^2_{21}=30$, $p^2_{22}=211$,
$p^2_{31}=20$, $p^2_{32}=150$, $p^2_{33}=110$;

$(3)$ $p^3_{21}=28$, $p^3_{22}=210$, $p^3_{31}=28$,
$p^3_{32}=154$, $p^3_{33}=97$. 

Отсюда граф $\Gamma_2$ сильно регулярен с параметрами (729,392,211,210)
и собственными значениями 392,14, -13. Максимальный порядок клики в 
$\Gamma_2$ не больше 31.

Пусть $u,v,w$ --- вершины графа $\Gamma$, $[rst]=\left[uvw\atop rst\right]$. 
Положим $\Delta=\Gamma_2(u)$, $\Lambda=\Delta_2$. Тогда $\Lambda$ -- регулярный граф степени 211 на 392 вершинах. 

\begin{lemma} %лемма7.
Пусть $d(u,v)=d(u,w)=2,d(v,w)=1$. Тогда для тройных чисел пересечений выполняются равенства:

$(1)$ $[111]=r_{2}$, $[112]=[121]=-r_{2}+6$, $[122]=2r_{1}+21r_{2}-176$, 
$[123]=[132]=-2r_{1}-20r_{2}+200$, $[133]=2r_{1}+20r_{2}-180$;

$(2)$ $[211]=r_{1}+9r_{2}-87$, $[212]=[221]=-r_{1}-9r_{2}+116$, $[222]=9r_{2}+95$, 
$[223]=[232]=r_{1}$, $[233]=-r_{1}+150$;
 
$(3)$ $[311]=-r_{1}-10r_{2}+100$, $[312]=[321]=r_{1}+10r_{2}-80$, $[322]=-2r_{1}-30r_{2}+290$,  
$[323]=[332]=r_{1}+20r_{2}-60$, $[333]=-r_{1}-20r_{2}+170$,
 
%r_{1}=r_{15}
где $r_{1}\in \{33,34,...,100\}$, $r_{2}\in \{0,1,...,6\}$.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Упрощения формул (+) с учетом равенств
$S_{313}(u,v,w)=S_{331}(u,v,w)=S_{133}(u,v,w)=0$.
\end{proof}

По лемме 7 имеем $95\le [222]=9r_{2}+95\le 149$.

\begin{lemma} %лемма 8.
Пусть $d(u,v)=d(u,w)=2,d(v,w)=3$. Тогда для тройных чисел пересечений выполняются равенства:

$(1)$ $[112]=r_{5}$, $[113]=-r_{5}+6$, $[121]=-r_{3}+6$, $[122]=r_{3}+r_{4}-3r_{5}+12$, 
$[123]=-r_{4}+3r_{5}+12$, $[131]=r_{3}$, $[132]=-r_{3}-r_{4}+2r_{5}+18$,  
$[133]=r_{4}-2r_{5}+2$;
 
$(2)$ $[212]=-2r_{3}+r_{4}-3r_{5}+20$, $[213]=2r_{3}-r_{4}+3r_{5}+10$, $[221]=r_{3}+r_{4}+2$, 
$[222]=-9r_{4}/2+9r_{5}+13$, $[223]=-r_{3}+7r_{4}/2-9r_{5}+78$, 
$[231]=-r_{3}-r_{4}+28$
$[232]=2r_{3}+7r_{4}/2-6r_{5}+60$, $[233]=-r_{3}-5r_{4}/2+6r_{5}+61$;
 
$(3)$ $[312]=2r_{3}-r_{4}+2r_{5}+8$, $[313]=-2r_{3}+r_{4}+2r_{5}+12$, $[321]=-r_{4}+20$, 
$[322]=-r_{3}+7r_{4}/2-6r_{5}+66$, $[323]=r_{3}-5r_{4}/2+6r_{5}+64$, $[331]=r_{4}$, 
$[332]=-r_{3}-5r_{4}/2+4r_{5}+76$, $[333]=r_{3}+3r_{4}/2-4r_{5}+34$, 

%r_{3}=r_{24}
где $r_{3},r_{5}\in \{0,1,...,6\}$, $r_{4}\in \{0,2,4,...,20\}$.
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Упрощения формул (+) с учетом равенств
$S_{313}(u,v,w)=S_{331}(u,v,w)=S_{133}(u,v,w)=0$.
\end{proof}

По лемме 8 имеем $0\le [222]=-9r_{4}/2+9r_{5}+13\le 67$.Так как $\{v,w\}\cup \Lambda(v)\cup \Lambda(w)$
содержит $424-[222]$ вершин, то  $32\le [222]\le 67$ и $9r_{4}/2-9r_{5}\le 19$. %$r_{4}/2-r_{5}\\in \{0,1,2\}$.

Число $d$ ребер между $\Lambda(w)$ и $\Lambda-(\{w\}\cup \Lambda(w))$ удовлетворяет неравенствам 
$7650=30\cdot 95+150\cdot 32\le d\le 30\cdot 149+150\cdot 67=14520$, 
$36.2\le 210-\lambda\le 68.82$ и $141.18\le \lambda\le 173.8$, где $\lambda$ --- среднее значение параметра $\lambda(\Lambda)$. 

\begin{lemma} %лемма 9.
Пусть $d(u,v)=d(u,w)=d(v,w)=2$. Тогда для тройных чисел пересечений выполняются равенства:

$(1)$ $[111]=-r_{7}+r_{8}+r_{9}-14$, $[112]=-r_{6}/10+3r_{7}-27r_{8}/10-33r_{9}/10+r_{10}/10+51$,
$[113]=r_{6}/10-2r_{7}+17r_{8}/10+23r_{9}/10-r_{10}/10-31$, $[121]=r_{7}$, 
$[122]=11r_{6}/10-3r_{7}+27r_{8}/10+33r_{9}/10+9r_{10}/10-171$, 
$[123]=-11r_{6}/10+2r_{7}-27r_{8}/10-33r_{9}/10-9r_{10}/10+201$, 
$[131]=-r_{8}-r_{9}+20$, $[132]=-r_{6}-r_{10}+150$, 
$[133]=r_{6}+r_{8}+r_{9}+r_{10}-150$; 

  %r_{20}=r_{7} 
$(2)$ $[211]=2r_{6}/5+3r_{7}-27r_{8}/10-14r_{9}/5+3r_{10}/5-24$, 
$[212]=-r_{6}/10-9r_{7}+54r_{8}/5+117r_{9}/10-9r_{10}/10-99$, 
$[213]=-3r_{6}/10+6r_{7}-81r_{8}/10-89r_{9}/10+3r_{10}/10+153$, 
$[221]=-2r_{6}/5-3r_{7}+27r_{8}/10+9r_{9}/5-3r_{10}/5+54$, 
$[222]=-9r_{6}/10+9r_{7}-54r_{8}/5-117r_{9}/10+9r_{10}/10+309$, 
$[223]=13r_{6}/10-6r_{7}+81r_{8}/10+99r_{9}/10-3r_{10}/10-153$, $[231]=r_{9}$, $[232]=r_{6}$, 
$[233]=-r_{6}-r_{9}+150$;

$(3)$ $[311]=-2r_{6}/5-2r_{7}+17r_{8}/10+9r_{9}/5-3r_{10}/5+44$, 
$[312]=r_{6}/5+6r_{7}-81r_{8}/10-42r_{9}/5+4r_{10}/5+78$, 
$[313]=r_{6}/5-4r_{7}+32r_{8}/5+33r_{9}/5-r_{10}/10-102$, 
$[321]=2r_{6}/5+2r_{7}-27r_{8}/10-9r_{9}/5+3r_{10}/5-24$, 
$[322]=-r_{6}/5-6r_{7}+81r_{8}/10+42r_{9}/5-9r_{10}/5+72$, 
$[323]=-r_{6}/5+4r_{7}-27r_{8}/5-33r_{9}/5+6r_{10}/5+102$, $[331]=r_{8}$, 
$[332]=r_{10}$, $[333]=-r_{8}-r_{10}+110$, 

%r_{6}=r_{19}
где $r_{6}\in \{20,21,...,141\}$, $r_{7}\in \{0,1,...,6\}$, $r_{8},r_{9}\in \{0,2,4,...,20\}$, $r_{10}\in \{9,10,$\\$...,110\}$, число 
$-r_{6}+3r_{8}-3r_{9}+r_{10}$ делится на $10$. 
\end{lemma}
	
\begin{proof} 
Упрощения формул (+) с учетом равенств
$S_{313}(u,v,w)=S_{331}(u,v,w)=S_{133}(u,v,w)=0$.
\end{proof}

По лемме 9 имеем $30\le [222]\le 210$.

Симметризация. Верны равенства: 
$[121]=r_{7}=r_{7}^\sim$, $[232]=r_{6}=r_{6}^\sim$, $[331]=r_{8}=r_{8}^*$, $[332]=r_{10}=r_{10}^*$, 
$r_{9}=[231]=[132]^\sim=-r_{6}^\sim-r_{10}^\sim+150$ и $r_{9}+r_{6}+r_{10}^\sim=150$. Так как 
$[333]=-r_{8}-r_{10}+110$, то $r_{8}+r_{10}=r_{8}'+r_{10}'=r_{8}^*+r_{10}^*=r_{8}^\sim+r_{10}^\sim$. 

Далее, $r_{8}^\sim=[331]^\sim=[133]=r_{6}+r_{8}+r_{9}+r_{10}-150$, поэтому  
$-r_{8}^\sim+r_{6}+r_{8}+r_{9}+r_{10}=150$. Аналогично, $[131]'=-r_{8}'-r_{9}'+20=[113]=r_{6}/10-2r_{7}+17r_{8}/10+23r_{9}/10-r_{10}/10-31$ и
$10r_{8}'+10r_{9}'+r_{6}-20r_{7}+17r_{8}+23r_{9}-r_{10}=110$

Имеем $[132]^*=-r_{6}^*-r_{10}^*+150=
[312]=r_{6}/5+6r_{7}-81r_{8}/10-42r_{9}/5+4r_{10}/5+78$, поэтому
$10r_{6}^*+2r_{10}+2r_{6}+60r_{7}-81r_{8}-84r_{9}=720$.

Наконец, $[233]^*=-r_{6}^*-r_{9}^*+150=[323]
=-r_{6}/5+4r_{7}-27r_{8}/5-33r_{9}/5+6r_{10}/5+102$ и  
$5r_{6}^*+5r_{9}^*-r_{6}+20r_{7}-27r_{8}-33r_{9}+6r_{10}=240$, поэтому
$5r_{6}^*+15r_{9}^*+16r_{10}=5r_{6}+15r_{9}$. Отсюда $r_{10}$ делится на 5. 

Так как $[112]=-r_{6}/10+3r_{7}-27r_{8}/10-33r_{9}/10+r_{10}/10+51$, то 
$-r_{6}+3r_{8}-3r_{9}+r_{10}$ делится на 10. 
Аналогично, $[211]=2r_{6}/5+3r_{7}-27r_{8}/10-14r_{9}/5+3r_{10}/5-24$ влечет, что $2r_{6}-27r_{8}/2+r_{9}$ делится на 5. С учетом равенства
$r_{9}^\sim+r_{6}+r_{10}=150$ числа $r_{9}^\sim+r_{6}^\sim$ и 
$r_{9}+r_{6}$ делятся на 5. Отсюда $r_{6}-r_{8}$ и $r_{9}+r_{8}$ делятся на 5. 

Напомним, что $[111]=-r_{7}+r_{8}+r_{9}-14$, числа $r_{8},r_{9}$ четны, поэтому $r_{9}+r_{8}=20$.

Теперь $[131]=0=[113]'=r_{6}'/10-37r_{7}'/10-23r_{8}'/10-r_{10}'/10+49$, поэтому $-r_{6}+37r_{7}+23r_{8}+r_{10}=490$, 
$[131]=0=[311]^*=-2r_{6}^*/5-2r_{7}^*-r_{8}^*/10-3r_{10}^*/5+80$ и
$4r_{6}+20r_{7}+r_{8}+6r_{10}=800$. Отсюда 
$202r_{7}+137r_{8}=10r_{6}+2140$, $r_{7}+r_{8}$ и $r_{7}-r_{9}$
%$2r_{7}-3r_{8}$ делятся на 10, поэтому $-r_{6}-r_{7}+r_{10}$ делится на 10.
делятся на 5.

С другой стороны,
$-4r_{6}+148r_{7}+92r_{8}+4r_{10}+4r_{6}+20r_{7}+r_{8}+6r_{10}=2760$ и
$168r_{7}+93r_{8}+10r_{10}=2760$, поэтому $r_{10}$ делится на 3 и 
$18r_{7}-7r_{8}-10$ делится на 50. Имеем решения: %7r_8-106
$r_{7}=0, r_{8}=20$, $r_{7}=2,r_{8}=18$, $r_{7}=4,r_{8}=16$, $r_{7}=6,r_{8}=8$.

В первом случае имеем $2r_{6}+3r_{10}=390$, $r_{10}\in \{30,60,90\}$ и 
$r_{6}$ равно 150 (противоречие с тем, что $r_{10}\le 110$), равно
105 (противоречие с тем, что $-r_{6}+3r_{8}-3r_{9}+r_{10}$ не делится на $10$) или равно 60. Итак, $r_{6}=60$, $r_{7}=r_{9}=0$, $r_{8}=20, r_{10}=90$, противоречие с тем, что $0=[121]=[211]^*=2r_{6}^*/5+57r_{7}^*+r_{8}^*/10+3r_{10}^*/5-144$ и
$0=2r_{6}/5+57r_{7}+r_{8}/10+3r_{10}/5-144=24+2+54-144$.   
   
Во втором случае имеем $2r_{6}+3r_{10}=371$, $r_6+2$ делится на 5,
$r_{10}\in \{15,45,75,$\\$105\}$ и 
$r_{6}$ равно 163,118 (противоречие с тем, что $r_{10}\le 110$), равно
73 или 28 (противоречие с тем, что 
$-r_{6}+3r_{8}-3r_{9}+r_{10}=-28+54-6+105$ не делится на $10$). Итак, $r_{6}=73$, $r_{7}=r_{9}=2$, $r_{8}=18, r_{10}=75$, 
противоречие с тем, что $2=[121]=[211]^*=2r_{6}^*/5+57r_{7}^*+r_{8}^*/10+3r_{10}^*/5-144$ и
$2=2r_{6}/5+57r_{7}+r_{8}/10+3r_{10}/5-144=146/5+114+18/10+45-144$.   

В третьем случае имеем %$r_{7}=6,r_{8}=8$
$2r_{6}+3r_{10}=336$, $r_{10}\in \{30,60,90\}$ и 
$r_{6}$ равно 123 (противоречие с тем, что $r_{10}\le 110$), равно
78 или 33 (противоречие с тем, что 
$-r_{6}+3r_{8}-3r_{9}+r_{10}=-33+24-36+90$ не делится на $10$). Итак, $r_{6}=78$, $r_{7}=6,r_{9}=12$, $r_{8}=8, r_{10}=60$, 
противоречие с тем, что $6=[121]=[211]^*=2r_{6}^*/5+57r_{7}^*+r_{8}^*/10+3r_{10}^*/5-144$ и
$6=2r_{6}/5+57r_{7}+r_{8}/10+3r_{10}/5-144=156/5+342+8/10+36-144$.   

Теорема 3 доказана.

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{BCN} A.E. Brouwer, A.M. Cohen, A. Neumaier, 
{\it Distance-Regular Graphs}, Springer-Verlag. Berlin Heidelberg New York, 1989.

\bibitem{M} K. Metsch, {\it On a Characterization of Bilinear Forms Graphs}, Europ. J. Comb.
{\bf 20} (1999), 293-–306.

%\bibitem{K} J. Koolen, Q. Iqbaly, J. Park, M. Rehmany{\it There does not exist a distance-regular graph
%with intersection array $\{80,54,12;1,6,60\}$}, 
%arXiv:1809.10029 [math.CO], 1--15.

\bibitem{GK} A. Gavrilyuk, J. Koolen, {\it A characterization of the graphs of bilinear $d\times d$-forms 
over $F_2$}, Combinatorica {\bf 39:2} (2019), 289-–321.

\bibitem{Ma} N. Maslova, {\it 2020 Ural workshop on group theory and cjmbinatorics}, Trudy IMM UrO RAN {\bf 27:1} (2021), 270-–282.

\bibitem{CJ} K. Coolsaet, A. Jurishich, 
{\it Using equality in the Krein conditions to prove nonexistence of sertain distance-regular graphs}, J. Comb. Theory, Series A., {\bf 115} (2008), 1086--1095.

%\bibitem{BK} J. Koolen, S. Bang, {\it On distance-regular graphs with smallest eigenvalue at least $-m$}, 
%Journal Comb. Theory, Series B, {\bf 100} (2010), 573-–584.

\bibitem{M1} K. Metsch, {\it Improvement of Bruck's Completion Theorem}, Designs, Codes and Cryptography, 
{\bf 1} (1991), 99--116.

 
\end{thebibliography}
\end{document}
