

\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}

\def\udcs{512.55}%Here the author places classificators of the paper according to Russian classification system
\def\mscs{16Y60}%Here the author places  classificators according to the AMS classification list.
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]  %Headings in Russian
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%{\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
      \end{center}
      \vspace{-3mm}
      \noindent
      \begin{tabular}{c}
      \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
      \hline\hline
      \end{tabular}

      \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 12, стр. 144--144 (2015) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}} %Volume, pages in Russian,
                                                                                   %filled by Editorial board
\newline
         {\rm\small DOI~10.17377/semi.2015.12.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}
\renewcommand{\proofname}{Доказательство.}
\thispagestyle{empty}

\title[О полукольце косых многочленов]{О полукольце косых многочленов над полукольцом Безу}

\author{{М.В.Бабенко, В.В.Чермных}}
\address{Marina Vladimirovna Babenko
\newline\hphantom{iii} Vyatka State Universite,
\newline\hphantom{iii}  Moskovskaya, 36,
\newline\hphantom{iii} 610000, Kirov, Russia}%
\email{marinka\_ov@mail.ru}

\address{Vasiliy Vladimirovich Chermnykh
\newline\hphantom{iii} Piritim Sorokin Syktyvkar State University,
\newline\hphantom{iii}  Octyabrskyi ave., 55,
\newline\hphantom{iii} 167001,  Syktyvkar, Russia}%
\email{vv146@mail.ru}

%

\thanks{\sc Babenko M.V., Chermnykh V.V.,
On the skew polynomial semiring over a Bezout semiring}

\thanks{\copyright \ 2021 Бабенко М.В., Чермных В.В}
%\thanks{\rm The work is supported by RFFI (grant 03-01-11111)}
\thanks{\it Received  January, 1, 2015, published  March, 1,  2015.}


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}

\noindent{\sc Abstract. } In this paper, we study the skew polynomial semiring over a Bezout Rickart semiring. Namely, let all left annihilator ideals of the semiring $S$ be ideals. Then the skew polynomial semiring   $R=S[x,\varphi]$ is a semiring without nilpotent elements and every finitely generated left monic ideal from $R$ is principal iff $S$ is a left Rickart left Bezout semiring, $\varphi$ is the rigid endomorphism and for any non-zero-divisor $d$ of the semiring $S$ $\varphi(d)$ is convertible to $S$. We also obtained a cha\-rac\-teri\-za\-tion of the semiring $R$ by the properties of the Pearce stalks of the semiring $S$. This results are analogous to the statements for rings, if the condition <<each finitely generated
left monic ideal of $R$ is principal>> replaced by
<<$R$ is left Bezout ring>>. The left monic ideal of a  polynomial semiring is a left ideal that contains each monomial of its polynomial.
The principal left monic ideals of skew polynomial semiring over a left Rickart left Bezout semiring are described.


\medskip

\noindent{\bf Keywords:} skew polynomial semiring, Bezout semiring, Rickart se\-mi\-ring, monic ideal, Pierce stalk of semiring.

\end{quote}
}



\section{Введение}

 Известно, что связи между свойствами полукольца $S$ и полукольца многочленов $S[x]$ могут сильно отличаться от связей между аналогичными кольцевыми объектами. Так, не всегда переносятся с $S$ на $S[x]$ свойства, связанные некоторым образом с конечно порожденными идеалами. Например, кольцо многочленов над полем является кольцом главных идеалов, что не обязательно для полукольца многочленов над полуполем. Хорошо известно, что полукольцо многочленов над нётеровым полукольцом в общем не является нётеровым. Наконец, плохо переносится свойство "быть полукольцом Безу"\, с полукольца коэффициентов на полукольцо многочленов.

 В \cite{dale76} получен некоторый вариант теоремы Гильберта о базисе для коммутативных полуколец, при этом важную роль играют монические идеалы. Их аналоги, левые $m$-идеалы, активно применяются нами для изучения полукольца косых многочленов над левым полукольцом Безу.

Основными результатами статьи являются теоремы 1 и 2.

\begin{theorem}\label{b-ch,th2.1}
Пусть $\varphi$ --- инъективный эндоморфизм полукольца $S$, $R=S[x,\varphi]$, и все левые аннуляторы полукольца $S$ являются идеалами. Если  $R$ --- левое полукольцо Безу, то $S$ --- риккартово слева левое полукольцо Безу, $\varphi$ --- жесткий эндоморфизм, $\varphi(e)=e$ для любого $e\in BS$, элемент $\varphi(d)$ обратим в $S$ для любого неделителя нуля $d\in S$.
\end{theorem}

Известно \cite[теорема 1]{tuganbaev2001}, что теорема 1 обратима в классе колец. Нами приводится пример, показывающий, что обратное утверждение для полуколец не верно. По этой причине мы рассматриваем более слабое условие на полукольцо многочленов, чем условие быть левым полукольцом Безу: каждый конечно порожденный левый $m$-идеал  является главным. В результате доказывается


\begin{theorem}\label{b-ch,th2.1LO}
Пусть $\varphi$ --- инъективный эндоморфизм полукольца $S$, все левые аннуляторы полукольца $S$ являются идеалами, $R=S[x,\varphi]$. Тогда равносильны утверждения:
\begin{enumerate}
\item  $R$ --- полукольцо без нильпотентных элементов и каждый конечно порожденный левый $m$-идеал из $R$ является главным;
\item $S$ --- риккартово слева левое полукольцо Безу, $\varphi$ --- жесткий эндоморфизм, элемент $\varphi(d)$ обратим в $S$ для любого неделителя нуля $d\in S$;
    \item каждый пирсовский слой $S/\alpha_M$ является $\bar{\varphi}$-жестким левым полукольцом Безу без делителей нуля, для любого ненулевого $\bar{a}\in S/\alpha_M$ элемент $\bar{\varphi}(\bar{a})$ обратим в $S/\alpha_M$ и для любого $b\in S$ ${\rm ann}_l(b)\cap BS$ --- главный идеал в $BS$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

Вспомогательные утверждения, в которых исследуются главные левые $m$-идеа\-лы полукольца многочленов над риккартовым слева левым полукольцом Безу, имеют самостоятельный интерес. Именно,  рассматриваемые  конструкции, видимо, могут помочь при описания главных $m$-идеалов полуколец многочленов из других классов полуколец.

Кратко скажем о пирсовских слоях.
В 1967 году Р. С. Пирсом был построен пучок колец, основанный на булевом пространстве кольца \cite{pierce67}. В той же статье было доказано, что любое кольцо изоморфно кольцу всех глобальных сечений своего пирсовского пучка. Пирсовский пучок активно применялся при изучении колец, обладающих нетривиальной булевой алгеброй центральных идемпотентов (например, \cite{bur_steph76}, \cite{bur_steph79}, \cite{bei_mikj_sal81}). Первоначально пирсовский пучок использовался как аппарат для изучения алгебраических свойств колец. В некоторых случаях были получены характеризации колец в терминах свойств их пирсовского пучка ---  пирсовских слоев, топологических свойств базисного и накрывающего пространств.
В \cite{cherm93} построен полукольцевой аналог пирсовского пучка и доказана изоморфность пирсовского представления. В статьях \cite{mar_cher14}, \cite{mar_cher15} получены  характеризации полуколец свойствами их пирсовских слоев. В нашей статье, кроме характеризации в теореме 2, пирсовские пучки используются как аппарат для доказательства алгебраических свойств полуколец.

\section{Первоначальные понятия}

\textbf{Полукольцом} называется непустое множество $S$ с операциями сложения $+$ и умножения $\cdot$, если  $\langle S,+ \rangle $ --- коммутативная полугруппа с нейтральным элементом $0$, $\langle S,\cdot \rangle $ --- полугруппа с нейтральным  элементом $1$, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон и  $0a = 0 = a0$ для любого $a \in S$.
 Все полукольца, рассматриваемые нами, предполагаются с единицей, отличной от нуля.

Пусть $S$ --- полукольцо, $\varphi$ --- эндоморфизм полукольца $S$, сохраняющий $0$ и $1$, $R=S[x,\varphi] $ --- множество всех многочленов от переменной $x$ и с коэффициентами из $S$, записываемых слева от степеней $x$. Сложение $+$ многочленов определяется обычным образом, а умножение --- исходя из правила $xa = \varphi (a)x$.
Непосредственно проверяется, что $S[x,\varphi]$ является полукольцом, которое называется \textbf{левым полукольцом косых многочленов}.


Идемпотент $e$ полукольца $S$ называется \textbf{дополняемым}, если для некоторого $e^\bot\in S$ выполняется $e+e^\bot=1$ и $ee^\bot=0$. Если при этом идемпотент $e$ является центральным, то его дополнение $e^\bot$ задается однозначно и также является центральным дополняемым идемпотентом. Множество всех центральных дополняемых идемпотентов полукольца $S$ обозначим через $BS$. Со  сложением $e\oplus f=ef^\bot+e^\bot f$  и обычным полукольцевым умножением получаем булево кольцо $\langle BS,\oplus,\cdot \rangle.$

Пусть $M$ --- максимальный идеал кольца $BS$. Введем на полукольце $S$ отношение:
$$a\equiv b(\alpha_M)\Leftrightarrow ae^\bot=be^\bot \text{ для некоторого } e\in M.$$
Это отношение является конгруэнцией на полукольце $S$, которая называется \textbf{пирсовской конгруэнцией}. Факторполукольцо $S/\alpha_M$ по пирсовской конгруэнции называется \textbf{пирсовским слоем} полукольца $S$. Пусть ${\rm Max}\,BS$ --- максимальный спектр полукольца $S$, множество всех максимальных идеалов булева кольца $BS$ со стоуновской топологией, а $\Pi=\dot{\cup}S/\alpha_M,\, M\in {\rm Max}\,BS,$ --- дизъюнктное объединение всех  пирсовских слоев полукольца $S$. Тогда $(\Pi, {\rm Max}\, BS)$ --- пирсовский пучок полукольца $S$, и по \cite[теорема 3]{cherm93} $S$ изоморфно полукольцу всех глобальных сечений пучка $\Pi$. Образ элемента $s\in S$ при этом изоморфизме обозначается через $\hat{s}$. В нашей статье мы используем некоторые известные результаты теории пучковых представлений. Так, в произвольном пучке множество точек базисного пространства, на котором совпадают два глобальных сечения пучка, открыто. В пирсовском пучке по причине нульмерности базисного пространства два глобальных сечения пучка совпадают на некотором открыто-замкнутом множестве, а с каждым открыто-замкнутым множеством базисного пространства произвольного пучка связано его характеристическое сечение. Подробней с техникой пучковых представлений можно познакомиться, например, в \cite{cher12}.

Для многочленов
 \begin{center}
 $f = f_0 + f_1x +f_2x^2 +\ldots + f_kx^k$ \\
 $g = g_0 + g_1x + g_2x^2 + \ldots + g_mx^m,$
 \end{center}
 где $f_i, g_j\in S,$ и произвольного $n\in \mathbb N$ положим
 $$f \equiv_{n} g \Longleftrightarrow f_{0} = g_{0},\ldots,f_{n-1} = g_{n-1}.$$
В частности, $f \equiv_{1} g \Longleftrightarrow f_0=g_0$.
Стандартно проверяется, что $\equiv_{n}$ является конгруэнцией на $R=S[x,\varphi]$, а ее класс нуля есть идеал $Rx^{n}$. Очевиден также изоморфизм $S\cong R/\equiv_1.$


Монические идеалы, которые мы в нашей работе будем называть $m$-иде\-а\-ла\-ми, были введены Л. Дэйлом в \cite{dale76} для полукольца многочленов над коммутативным полукольцом. Нам потребуется их обобщение для полукольца косых многочленов. Именно, левый идеал $A$ полукольца $R=S[x,\varphi]$ называется {\bf левым $m$-идеалом}, если $f_0+f_1x+\ldots +f_kx^k\in A$ влечет $f_ix^i\in A$ для всех $i=0, \ldots ,k.$ Нулевой и несобственный идеалы полукольца $S[x,\varphi]$ являются $m$-идеалами. Еще одним тривиальным примером левого  $m$-идеала является главный левый идеал, порожденный одночленом $x^k$.  Очевидно, что множество всех левых $m$-идеалов полукольца $S[x,\varphi]$ образует полную подрешетку решетки всех левых идеалов из $S[x,\varphi]$ --- пересечение и сумма левых $m$-идеалов снова являются левыми $m$-идеалами.

Дадим схему описания левых $m$-идеалов полукольца косых многочленов; детали для $S[x]$ можно найти в \cite{dale76},\cite{dale82}.
	
Пусть $\varphi $ --- эндоморфизм полукольца $S$. Последовательность левых идеалов $L_0, L_1,\ldots$ из $S$ называется {\bf левой $\varphi$-це\-пью}, если для любого целого неотрицательного $i$ выполняется $\varphi(L_i)\subseteq L_{i+1}$.
Непосредственно проверяется, что
$L^*=\{\sum a_ix^i\in S[x,\varphi]: a_i\in L_i, \text{ суммы конечные}\}$
 является левым $m$-идеалом полукольца $S[x,\varphi]$.
Если $B$ --- произвольный, не обязательно монический, левый идеал полукольца $S[x,\varphi]$, то его левые {\bf коэффициентные идеалы} $B_i=\{b\in S: \exists f=\ldots +bx^i+\ldots\in B\}$   образуют левую $\varphi$-цепь. Построенный для этой $\varphi$-цепи левый $m$-идеал $B^*$ будет наименьшим среди левых $m$-идеалов, содержащих $B$.

Полукольцо называется \textbf{левым полукольцом Безу}, если каждый его конечно порожденный левый идеал является главным левым идеалом.

 Нам потребуется следующая характеризация левого полукольца Безу \cite[лемма 3.3]{markcher13}: \textit{ $S$ является левым полукольцом Безу в точности тогда, когда для любых $m,n\in S$ найдутся такие $a,b,c,d\in S$, что $m=cam+cbn$ и $n=dbn+dam$}.

Полукольцо $S$ называется \textbf{риккартовым слева}, если для любого $a\in S$ найдется такой дополняемый идемпотент $e\in S$, что ${\rm ann}_l(a)=Se$. Риккартово слева и справа полукольцо называется \textbf{риккартовым}.

\section{Доказательство теоремы 1}

Полукольцо $S$ называется \textbf{коммутативным в нуле}, если $ab=0$ влечет $ba=0$ для любых $a,b\in S.$ Легко показать, что каждый дополняемый идемпотент коммутативного в нуле полукольца является центральным. Коммутативным в нуле является полукольцо без нильпотентных элементов.

Эндоморфизм $\varphi$ полукольца $S$ называется \textbf{жестким}, если $a\varphi(a)=0$ влечет $a=0$ для любого $a\in S$. Полукольцо с жестким эндоморфизмом является полукольцом без нильпотентных элементов.


\begin{lemma}\label{b_ch,lemma0}
Пусть $\varphi$ --- такой инъективный эндоморфизм полукольца $S$, что $a\in S\varphi(a)a$ для любого $a\in S$.
\begin{enumerate}
\item $\varphi(e)=e$ для любого $e\in BS$;

\item если в $S$ все левые аннуляторы являются идеалами, то  ${\rm ann}_l(a)={\rm ann}_l(\varphi(a))$ для любого $a\in S$, $S$ --- полукольцо без нильпотентных элементов, эндоморфизм $\varphi$ --- жесткий.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
1) Пусть $e\in BS$, и $e=b\varphi(e)e$ для некоторого $b\in S$. Тогда $e\varphi(e)=b\varphi(e)^2e=e$. Из $e^\bot=c\varphi(e^\bot)e^\bot$ следует $e^\bot\varphi(e)=0$. Получаем $\varphi(e)=(e+e^\bot)\varphi(e)=e.$

2)  Пусть $a=b\varphi(a)a$ для подходящего $b\in S$ и пусть $s\in {\rm ann}_l(\varphi(a))$. В силу условия $0=sb\varphi (a)=sb\varphi (a)a=sa.$ Показали, что ${\rm ann}_l(\varphi(a))\subseteq {\rm ann}_l(a)$. Обратно, пусть $ra=0$ и $r=c\varphi(r)r$ для некоторого $c\in S$. Поскольку $\varphi(r)\varphi(a)=0$ и левый аннулятор является идеалом, то $r=c\varphi(r)r\in {\rm ann}_l(\varphi(a))$. Таким образом, ${\rm ann}_l(a)={\rm ann}_l(\varphi(a))$.

Покажем сначала, что $S$ --- полукольцо без нильпотентных элементов. Пусть $s^2=0$. Тогда $\varphi(s)\in {\rm ann}_l(\varphi(s))={\rm ann}_l(s)$, поэтому $\varphi(s)s=0$. По условию $s=t\varphi(s)s$ для некоторого $t\in S$, поэтому $s=0$. Полукольцо без нильпотентных элементов коммутативно в нуле, поэтому отсюда, пользуясь условием леммы, легко получаем жесткость эндоморфизма $\varphi$.
\end{proof}


\begin{lemma}\label{b_ch,lemma5.2}
Пусть $\varphi$ --- инъективный эндоморфизм полукольца $S$, $R=S[x,\varphi]$ и $R/\equiv_2$ --- левое полукольцо Безу. Тогда для любого $a\in S$ найдутся такие $f_0, g_0, u_0, v_0, b \in S$, что
$$a=u_0f_0a,\, v_0f_0a=0, \, v_0g_0+b\varphi (a)=1.$$
\end{lemma}
\begin{proof}
 Пусть $h:R\rightarrow R/\equiv_2$ --- естественный эпиморфизм. По условию $h(R)$ --- левое полукольцо Безу, поэтому $h(R)h(a)+h(R)h(x)$ --- главный левый идеал в $R/\equiv_2$. По \cite[лемма 3.3]{markcher13} (см. формулировку в нашей статье после определения полукольца Безу) получаем:
\begin{gather*}
h(a)=h(u)h(f)h(a)+h(u)h(g)h(x),\\
h(x)=h(v)h(g)h(x)+h(v)h(f)h(a)
\end{gather*}
для некоторых $f,g,u,v\in R$. Пусть $f=f_0+f_1x+\ldots +f_kx^k$; аналогичные обозначение для остальных многочленов. Тогда $a\equiv_2 ufa+ugx$,\, $x\equiv_2 vfa+vgx$, откуда $a=u_0f_0a,\, v_0f_0a=0, \, v_0f_1\varphi(a)+v_1\varphi(f_0)\varphi(a)+v_0g_0=1$. Обозначив $b=v_0f_1+v_1\varphi(f_0)$, получаем, $v_0g_0 +b\varphi (a)=1.$
\end{proof}


\textit{Доказательство теоремы 1.}
 Пусть $R$ --- левое полукольцо Безу. Тогда его факторполукольца $S\cong R/\equiv_1$ и  $R/\equiv_2$ являются  левыми полукольцами Безу.

    Пусть $a\in S$. По  лемме \ref{b_ch,lemma5.2} найдутся такие $f_0, g_0, u_0, v_0, b \in S$, что $a=u_0f_0a$ и $v_0\in {\rm ann}_l(f_0a)$ --- идеал в $S$. Тогда $v_0g_0u_0\in {\rm ann}_l(f_0a)$, откуда $0=v_0g_0u_0f_0a=v_0g_0a$. Из $1=v_0g_0+b\varphi(a)$ следует $a=b\varphi(a)a$. По лемме \ref{b_ch,lemma0} эндоморфизм $\varphi$ --- жесткий, а $S$ --- полукольцо без нильпотентных элементов.

   Отсюда из $v_0g_0a=0$ вытекает $v_0g_0\varphi(a)=0$ \cite[лемма 3]{mas_cher19}. Кроме того, $\varphi$-жесткое полукольцо коммутативно в нуле \cite[лемма 1]{mas_cher19}, поэтому получаем $b\varphi(a)=(b\varphi(a))^2$ и $v_0g_0b\varphi(a)=0$. Таким образом, $b\varphi(a)$ --- дополняемый идемпотент, а $v_0g_0$ --- его дополнение. Известно, что в коммутативном в нуле полукольце дополняемые идемпотенты центральны, поэтому $v_0g_0\in BS$. Если $u\in {\rm ann}_l(a)$, то $u\varphi(a)=0$, поэтому $u=uv_0g_0+ub\varphi(a)=uv_0g_0$. Следовательно, ${\rm ann}_l(a)=Sv_0g_0$, и $S$ --- риккартово слева полукольцо.

По лемме \ref{b_ch,lemma0} $\varphi(e)=e$ для любого $e\in BS$.

Пусть $d$ --- неделитель нуля в $S$. Допустим, что сечение $\hat{d}$ равно нулю в некотором пирсовском слое. Тогда $\hat{d}$ совпадает с нулевым сечением на некоторой базисной открыто-замкнутой окрестности $U$. Характеристическое сечение этой окрестности будет отлично от нулевого сечения (так как совпадает с единичным на $U$) и в произведении с $\hat{d}$ будет равно нулевому сечению. Получаем противоречие с тем, что $d$ --- неделитель нуля. Значит,  сечение $\hat{d}$ в каждом пирсовском слое принимает ненулевое значение. По доказанному выше $d=b\varphi(d)d$ для некоторого $b\in S$ и $b\varphi(d)\in BS$.  Из этого равенства следует, что если в каком-либо пирсовском слое сечение $\widehat{b\varphi(d)}$ равно нулю, то и $\hat{d}$ в том же слое будет принимать нулевое значение.
В произвольном пирсовском слое центральный дополняемый идемпотент равен либо нулю, либо единице, поэтому $\widehat{b\varphi(d)}=\hat{1}$ в каждом пирсовском слое. Пирсовское представление изоморфно, следовательно  $b\varphi(d)=1$ и  $\varphi(d)$ --- обратимый слева элемент в $S$. Обозначим $u=\varphi(d)b$. Тогда $u=c\varphi(u)u$ для некоторого $c\in S$. Понятно, что в каждом пирсовском слое сечения $\hat{b}$ и $\widehat{\varphi(d)}$ принимают ненулевые значения. Известно \cite[предл. 1 и предл. 4]{mar_cher15}, что пирсовские слои риккартова слева полукольца без нильпотентных элементов являются полукольцами без делителей нуля, поэтому $\hat{u}$ принимает ненулевые значения в каждом слое, и, следовательно, $u$ --- неделитель нуля полукольца $S$. Рассуждая как и выше, получаем $c\varphi(u)=1$, откуда $\varphi(c)\varphi^2(u)=1$. Тогда элемент $\varphi(c)$ обратим справа, но поскольку $c$ --- неделитель нуля, то $\varphi(c)$ обратим и слева. Показали, что $\varphi^2(u)$ --- обратимый элемент. Из $\varphi^2(u)\varphi(c)=1$ в силу инъективности $\varphi$ получаем $1=\varphi(u)c=\varphi^2(d)\varphi(b)c$ и $\varphi^2(d)$ --- обратимый элемент. Обратным к нему является элемент $\varphi(b)$, следовательно, $\varphi(d)b=1$, и $\varphi(d)$  обратим в $S$. Теорема доказана.
\hfill$\square$
%\end{proof}


\section{Главные $m$-идеалы и доказательство теоремы 2}

Утверждение, обратное к теореме \ref{b-ch,th2.1}, верно в классе колец  \cite[теорема 1]{tuganbaev2001}, \cite[теорема 15.13]{tugan09}. Для полуколец это не так. Действительно, пусть  $S$ является двухэлементной цепью, $\varphi$ --- тождественный автоморфизм полукольца $S$. Тогда $S$ ---  коммутативное полукольцо Безу, риккартово, $1=\varphi(1)$ --- единственный как неделитель нуля, так и обратимый элемент в $S$. Однако, $R=S[x]$ не является полукольцом Безу; например, $Rx+R(1+x)$ не является главным идеалом.

Сейчас мы ослабим условие на полукольцо многочленов, рассматривая ситуацию, когда главными оказываются не все конечно порожденные, а конечно порожденные $m$-идеалы. Для этого начнем исследование строения главных левых $m$-идеалов.
\medskip



  \textbf{Примеры.} 1) $Rax^i$ --- главный левый $m$-идеал полукольца $R=S[x, \varphi]$ для любых $a\in S$ и $i\geq 0$.

 2) Сумма и пересечение левых $m$-идеалов являются левыми $m$-идеалами.


 3)  Не каждый главный левый идеал полукольца многочленов является левым $m$-идеалом. Так, главный идеал $R(1+x)$ не является $m$-идеалом для полукольца многочленов $R=\mathbb{N}[x]$  над полукольцом целых неотрицательных чисел.


 4) С другой стороны, главные левые $m$-идеалы могут быть устроены более сложно, чем указанные в примере 1).
    Пусть $B$ --- 8-элементная булева алгебра с атомами $a,b,c$. Автоморфизм $\varphi$ является тождественным отображением. Пусть $R=B[x,\varphi]=B[x]$ и $A=R(a+cx)$ --- главный левый идеал. Поскольку $a(a+cx)=a$ и $c(a+cx)=cx$, то $a,cx\in A$. Непосредственно проверяется, что коэффициентные идеалы у $A$ следующие: $A_0=\{0,a\}$ --- идеал свободных членов,  $A_i=\{0,a,c,b^\bot\}$ --- все остальные коэффициентные идеалы. Также легко заметить, что для любого $a_i\in A_i$ одночлен $a_ix^i$ лежит в $A$, поэтому $A$ является $m$-идеалом. Очевидно, $A$ не порождается как левый идеал многочленом $a$. Следовательно, $A$ --- главный левый $m$-идеал, порождающий элемент которого не является одночленом.
\medskip

Напомним, что для $a,b\in BS$ их точная верхняя грань в булевой решетке $BS$ выражается через полукольцевые операции: $a\vee b=a+a^\bot b=ab^\bot +b$. Отметим также простое свойство, которое будем использовать в дальнейшем: если в полукольце элемент представим в виде произведения центрального дополняемого идемпотента и неделителя нуля, то идемпотент определяется однозначно. Действительно, пусть $ed=ft$ для $e,f\in BS$ и неделителей нуля $d,t$. Тогда $0=e^\bot ft$, откуда получаем $e^\bot f=0$ и $f\leq e.$ Симметричным образом получаем $e\leq f.$

\begin{lemma} \label{b_ch,lemmaLO1}
В полукольце $S$ справедливы утверждения:
\begin{enumerate}
\item Пусть $a, g_0, g_1\in S$ и $a=ud, g_0=u_0d_0, g_1=u_1d_1$ для $u,u_i\in BS$ и неделителей нуля $d, d_i$. Тогда $Sg_0+Sg_1=Sa$ влечет $u=u_0\vee u_1$; в частности, при $g_1=0$ получаем, что из $Sg_0=Sa$ следует $u_0=u.$

\item Если $a,b,c\in BS$ и $a\vee b=c$, то $Sa+Sb=Sc.$
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof} 1) Пусть $a=s_0g_0+s_1g_1$ для некоторых $s_i\in S$. Тогда $u(u_0\vee u_1)d=s_0u_0(u_0\vee u_1)d_0+s_1u_1(u_0\vee u_1)d_1=ud$. Отсюда следует $u(u_0\vee u_1)=u$, поэтому $u\leq u_0\vee u_1.$ Далее, $g_0=ta$ для некоторого $t\in S$, откуда $uu_0d_0=utud=ta=u_0d_0$. Получаем $u_0\leq u.$ Аналогично, $u_1\leq u$, следовательно, $u=u_0\vee u_1.$ По индукции утверждение справедливо для любого конечного числа элементов $g_0,\ldots , g_i\in S$.

2) Из условия следует $a+a^\bot b=c$, поэтому $Sc\subseteq Sa+Sb.$ Из $a,b\leq c$ получаем $ac=a, bc=b$, поэтому $sa+tb=(sa+tb)c$, откуда $Sa+Sb\subseteq Sc.$
\end{proof}

\begin{lemma} \label{b_ch,lemma6}
  Пусть $\varphi$ --- жесткий эндоморфизм полукольца $S$. Тогда $\varphi(e)=e$ для любого $e\in BS$.
  \end{lemma}

   \begin{proof}   Для жесткого эндоморфизма $\varphi$ условие $ab=0$ равносильно $a\varphi(b)=0$ \cite[лемма 1]{mas_cher19}. Поэтому $\varphi(e)e^\bot=0$, откуда $\varphi(e)s\varphi(e^\bot)=0$ для любого $s\in S$. Следовательно, $\varphi(e)s=\varphi(e)s\varphi(e)$. Симметрично показывается, что $s\varphi(e)=\varphi(e)s\varphi(e)$, значит $\varphi(BS)\subseteq BS$. Получаем, что ${\rm ann}_{BS}(e)={\rm ann}_{BS}(\varphi(e))$ для любого $e\in BS$. По \cite[теорема 2]{vech86} получаем $e=\varphi(e)$.
  \end{proof}




\begin{lemma} \label{b_ch,lemmaO4}
Пусть $S$ --- коммутативное в нуле риккартово слева полукольцо. Тогда каждый элемент из $S$ является произведением центрального дополняемого идемпотента и неделителя нуля.
\end{lemma}

\begin{proof} В коммутативном в нуле полукольце каждый дополняемый идемпотент централен. Пусть $a$ --- ненулевой элемент из $S$, тогда ${\rm ann}_l(a)=Se$ для некоторого $e\in BS$. Отсюда получаем $ae=0$ и $ae^\bot=a.$ Положим $d=ae^\bot+e$. Имеем $e^\bot d=e^\bot(ae^\bot+e)=e^\bot a=a$, откуда следует, что $d\not=0$. Осталось показать, что $d$ --- неделитель нуля. Пусть $0=bd=b(ae^\bot+e)=bae^\bot$, поскольку $be=bed=0.$ Тогда $ba=ba(e+e^\bot)=bae=0.$ Получаем $b\in {\rm ann}_l(a)=Se$ и $b=be=0.$\end{proof}


\begin{proposition} \label{b_ch,prop10}
Пусть $S$ --- риккартово слева левое полукольцо Безу, $\varphi$ --- инъективный жесткий эндоморфизм полукольца $S$, $\varphi(d)$ --- обратимый в $S$ элемент для каждого неделителя нуля $d\in S$, $R=S[x,\varphi]$.
\begin{enumerate}
\item Если для любого $i=0,\ldots ,k-1$ выполнено $f_{i+1}\in {\rm ann}_l(S\varphi^i(f_0)+S\varphi^{i-1}(f_1)+\ldots +Sf_i)$, то $R(f_0+\ldots +f_kx^k)$ --- главный левый $m$-идеал полукольца $R$.

\item Если $L$ --- главный левый $m$-идеал в $R$, то найдется такой многочлен $f=f_0+\ldots +f_kx^k$, что  $L=Rf$ и $f_{i+1}\in {\rm ann}_l(S\varphi^i(f_0)+S\varphi^{i-1}(f_1)+\ldots +Sf_i)$ для всех $i=0,\ldots ,k-1$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof} 1) По лемме \ref{b_ch,lemmaO4} $f_i=u_id_i$ для $u_i\in BS$ и неделителя нуля $d_i\in S.$ Непосредственно проверяется, что в силу леммы \ref{b_ch,lemma6} множества
\begin{align*}
L_0 &=Sf_0,\\
L_1 &=S\varphi(f_0)+Sf_1=Su_0+Sf_1,\\
&\cdots \\
L_k &=S\varphi^k(f_0)+S\varphi^{k-1}(f_1)+\ldots +Sf_k=Su_0+\ldots +Su_{k-1}+Sf_k,\\
L_{k+1} &=S\varphi^{k+1}(f_0)+S\varphi^{k}(f_1)+\ldots +S\varphi(f_k)=Su_0+\ldots +Su_{k}
\end{align*}
являются  коэффициентными левыми идеалами левого идеала $Rf$ для многочлена $f=f_0+\ldots +f_kx^k$.
         Также понятно, что $L_{k+j}=L_{k+1}$ для любого $j\geq 1.$

Полукольцо $S$ является левым полукольцом Безу, поэтому $L_i=Sa_i$ для некоторых $a_i\in S$. Нам надо  показать $Sa_ix^i\subseteq Rf$. Проведем индукцию по $i$ для $i\leq k-1$.

Получаем такую  цепь: $\varphi^k(Sa_0)\subseteq \varphi^{k-1}(Sa_1)\subseteq \ldots \subseteq Sa_k$. Полукольцо $S$ является $\varphi$-жестким, поэтому  из \cite[лемма 1]{mas_cher19} следует ${\rm ann}_l(B)={\rm ann}_l(\varphi(B))$ для любого подмножества $B\subseteq S$, а поскольку $\varphi$-жесткое полукольцо является полукольцом без нильпотентных элементов, то ${\rm ann}_l(a)={\rm ann}_l(Sa)$. Поэтому ${\rm ann}_l(a_k)\subseteq {\rm ann}_l(a_{k-1})\subseteq \ldots \subseteq {\rm ann}_l(a_0).$
 Полукольцо $S$ --- риккартово слева, поэтому ${\rm ann}_l(a_i)=Se_i$ для подходящих $e_i\in BS$. Для любого $i\geq 1$ выполняется $f_i\in {\rm ann}_l(a_{i-1})\subseteq {\rm ann}_l(a_0)=Se_0$. Следовательно, $f_ie_0^\bot=0$ для всех $i\geq 1$. Кроме того, $f_0e_0=0$, поэтому $f_0e_0^\bot=f_0$. Получаем $e_0^\bot(f_0+\ldots +f_kx^k)=f_0\in Rf$, поэтому $Sa_0\subseteq Rf.$

 Пусть $Sa_jx^j\subseteq Rf$ для всех $j=0,\ldots , i$ --- индуктивное предположение. Из $f_{i+1}\in {\rm ann}_l(a_i)=Se_i$ получаем $f_{i+1}=f_{i+1}e_i$, откуда $f_{i+1}e_i^\bot=0$. Для любого $j=0,\ldots ,i$ справедливо $\varphi^{i-j}(f_j)\in Sa_i$, т. е. $\varphi^{i-j}(f_j)=s_ja_i$ для некоторого $s_j\in S$. Из $e_ia_i=0$ следует $e_i\varphi^{i-j}(f_j)=0$, поэтому $e_if_j=0$ \cite[лемма 1]{mas_cher19}. Далее, для любого $j=i+2,\ldots ,k$ из $f_j\in {\rm ann}_l(a_{j-1})\subseteq {\rm ann}_l(a_{i+1})=Se_{i+1}$ следует $f_j=t_je_{i+1}$, откуда $e_{i+1}^\bot f_j=0$. Получаем:
 \begin{align*}
 e_ie_{i+1}^\bot f&=0+\ldots +0x^i+e_ie_{i+1}^\bot f_{i+1}x^{i+1}+0x^{i+2}+\ldots +0x^k=\\
 &=e_{i+1}^\bot f_{i+1}x^{i+1}\in Rf.
 \end{align*}
 Воспользуемся тем, что  $a_{i+1}=s_0u_0+\ldots +s_iu_i+s_{i+1}f_{i+1}$ для некоторых $s_j\in S.$ Пусть $a_j=v_jt_j$ для некоторых $v_j\in BS$ и неделителей нуля $t_j$, тогда по лемме \ref{b_ch,lemmaLO1} $v_j=u_0\vee \ldots \vee u_j$, откуда следует $u_j=u_j\varphi^{i+1-j} (v_j)$ для любого $0\leq j\leq i$. Получаем:
 \begin{align*}
 e_{i+1}^\bot a_{i+1}x^{i+1}&=
  e_{i+1}^\bot (s_0u_0+\ldots +s_iu_i+s_{i+1}f_{i+1})x^{i+1}=\\
  &=e_{i+1}^\bot (s_0u_0\varphi^{i+1}(t_0)^{-1}x^{i+1}\cdot a_0+s_1u_1\varphi^{i}(t_1)^{-1}x^{i}\cdot a_1x+ \ldots \\
  &\ldots +s_iu_i\varphi(t_i)^{-1}x\cdot a_ix^i+s_{i+1}f_{i+1}x^{i+1})\in Rf,
 \end{align*}
 значит $e_{i+1}^\bot a_{i+1}x^{i+1}\in Rf$.
 Поскольку ${\rm ann}_l(a_{i+1})=Se_{i+1}$, то $a_{i+1}=e_{i+1}^\bot a_{i+1}$. Следовательно, $a_{i+1}x^{i+1}\in Rf$, и $Sa_{i+1}x^{i+1}\subseteq Rf.$ Осталось показать, что $Sa_{k+1}x^n\in Rf$ для $n\geq k+1.$ Пусть $a_{k+1}=t_0u_0+\ldots +t_{k-1}u_{k-1}+t_ku_k=t+t_ku_k.$ Поскольку $t\in L_k$, то $tx^k\in Rf$, и поэтому (с учетом, что $t=ud$ для $u\in BS$ и неделителя нуля $d$) $tx^{k+1}=t\varphi(d)^{-1}x\cdot tx^k\in Rf.$ Из $a_kx^k\in Rf$ получаем $t_ku_kx^{k+1}=t_ku_k\varphi(d_k)^{-1}x\cdot a_kx^k\in Rf.$ Наконец, $a_{k+1}x^{k+1}=tx^{k+1}+t_ku_kx^{k+1}\in Rf.$ Для следующих показателей $x$ рассуждения аналогичные.

 2) Пусть $L=R(g_0+\ldots +g_kx^k)$ --- главный левый $m$-идеал, $g_i=v_it_i,\, v_i\in BS$, $t_i$ --- неделитель нуля по лемме \ref{b_ch,lemmaO4}. Рассуждая как и в пункте 1) и используя лемму \ref{b_ch,lemmaLO1}, получаем, что $Sa_0=Sg_0$,  $Sa_i=S(v_0\vee \ldots \vee v_{i-1})+Sg_i$ для $i\leq k$ и $Sa_{k+1}=S(v_0\vee \ldots \vee v_{k})$ ---  коэффициентные левые идеалы левого $m$-идеала $L$. Каждый элемент $a_i$ имеет вид $a_i=u_id_i$ для однозначно определенного $u_i\in BS$ и неделителя нуля $d_i\in S$. Идемпотенты образуют цепь $u_0\leq u_1\leq \ldots \leq u_k$. Положим $e_0=u_0$ и для любого $i\geq 1$ пусть $e_i\in BS$ --- относительное дополнение идемпотента $u_{i-1}$ в интервале $[0, u_i]\subseteq BS$.  Уточним, что $e_i$ существует, поскольку любая булева решетка является решеткой с относительными дополнениями. Пусть $f_i=e_it_i$. Наша задача --- показать, что $f=f_0+\ldots +f_kx^k$ является искомым многочленом.
 Из условия  $e_1\wedge u_0=0$ следует $f_1\in {\rm ann}_l(Sf_0)$. Пусть $f_i\in {\rm ann}_l(S\varphi^{i-1}(f_0)+\ldots +S\varphi (f_{i-2})+Sf_{i-1})$, тогда из $e_{i+1}\wedge u_i=0$  и $u_i=e_0\vee \ldots \vee e_i$ получаем $f_{i+1}\in {\rm ann}_l(e_0\vee\ldots\vee e_i)={\rm ann}_l(S\varphi^i(f_0)+\ldots +S\varphi(f_{i-1}) +Se_i)\subseteq {\rm ann}_l(S\varphi^i(f_0)+\ldots +S\varphi(f_{i-1}) +Sf_i)$. Таким образом, выполнены условия пункта 1), поэтому $K=R(f_0+\ldots +f_kx^k)$ --- главный левый $m$-иде\-ал. Покажем, что его левые коэффициентные идеалы $K_i$ совпадают с соответствующими левыми коэффициентными идеалами $Sa_i$. Имеем, $K_i=S\varphi^i(f_0)+\ldots +S\varphi(f_{i-1}) +Sf_i= Su_{i-1}+Se_it_i.$ Поскольку  $Su_{i-1}+Sg_i=Sa_i$, то $su_{i-1}+tg_i=u_id_i$ для некоторых $s,t\in S.$ Тогда $\varphi(s)u_{i-1}+\varphi(tt_i)v_i=\varphi(d_i)u_i.$ С другой стороны, $u_i=u_{i-1}\vee e_i= e_i+e_i^\bot u_{i-1}.$ Воспользовавшись тем, что $\varphi(d_i)$ --- обратимый элемент, для подходящих $a,b\in S$ получаем $au_{i-1}+bv_i=u_i=e_i+e_i^\bot u_{i-1}.$
Умножив равенство на $e_i$, получаем $bv_ie_i=e_i$, откуда следует $e_i\leq v_i.$ Следовательно, $K_i=Su_{i-1}+Sf_i\subseteq Su_{i-1}+Sg_i=Sa_i.$ Вновь воспользуемся тем, что $su_{i-1}+tg_i=a_i$. Тогда $a_i=a_iu_i=(su_{i-1}+tg_i)u_i=su_{i-1}u_i+tt_iv_i(e_i^\bot u_{i-1}+e_i)=su_{i-1}+tt_iv_ie_i^\bot u_{i-1}+ tv_ie_it_i=au_{i-1}+bf_i$ для $a,b\in S.$ Показали, что $Sa_0=K_0,\ldots , Sa_k=K_k$. Кроме того, $Sa_{k+1}=S(v_0\vee \ldots \vee v_k)=S(u_0\vee \ldots \vee u_k)=K_{k+1}$,  поэтому из совпадения соответствующих коэффициентных левых идеалов следует $L=R(f_0+\ldots +f_kx^k).$
  \end{proof}

{\bf Замечания.} 1) В доказательстве пункта 2) предложения \ref{b_ch,prop10} рассматривалась конструкция, позволяющая "подправить"\, образующий многочлен главного левого $m$-идеала. Сейчас мы покажем, как можно найти такой образующий без опоры на какой-либо имеющийся многочлен, но зная левые коэффициентные идеалы.

Пусть $L$ --- главный левый $m$-идеал полукольца $S$, удовлетворяющего условиям предложения \ref{b_ch,prop10}. Пусть $L_i$ --- его левые коэффициентные идеалы. Отметим, что для  произвольного полукольца косых многочленов множество левых коэффициентных идеалов, задающих левый $m$-идеал, не обязано быть возрастающей цепью, но необходимо выполняется включение $\varphi(L_i)\subseteq L_{i+1}$. В нашем случае представимость любого элемента полукольца в виде $ed$, $e=\varphi(e)\in BS,$  и обратимость  $\varphi(d)$ для неделителя нуля гарантирует также включение $L_i\subseteq L_{i+1}$. Поскольку $S$ --- левое полукольцо Безу, то $L_i$ являются главными левыми идеалами полукольца $S$.  Пусть $L_i=Sa_i$, $a_i=u_id_i$ для $u_i\in BS$ и неделителя нуля $d_i\in S$ и  $Sa_0\subseteq Sa_1\subseteq \ldots \subseteq Sa_k\subsetneq Sa_{k+1}=\ldots$ и $\varphi(Sa_i)\subseteq Sa_{i+1}$.

Возможны следующие два варианта.

$i)$ Идемпотенты в разложениях $a_k$ и $a_{k+1}$ совпадают. Тогда $a_k=u_kd_k$, где $d_k$ --- неделитель нуля, не являющийся обратимым элементом, поскольку в противном случае получаем $Sa_k=Su_k=Sa_{k+1}$, противоречие. Поскольку $\varphi(Sa_{k+1})\subseteq Sa_{k+2}$, то $Su_k\subseteq Sa_{k+2}=Su_{k}d_{k+2}\subseteq Su_k$, поэтому все левые идеалы, начиная с $Sa_{k+1}$, равны $Su_k.$ Для цепи $u_0\leq\ldots\leq u_k= u_{k+1}$ выбираем идемпотенты $e_0,\ldots ,e_k, e_{k+1}$ как относительные дополнения на каждом шаге. Заметим, что в этом случае $e_{k+1}=0$. Положим $f_0=a_0=e_0d_0.$  В предложении \ref{b_ch,prop10} $f_i$ определялся как $f_i=e_it_i$, где $t_i$ заимствовался у первоначального многочлена $g$. Сейчас нам $g$ не известен, поэтому из $u_1=e_0\vee e_1=e_0+e_0^\bot e_1=e_0+e_1$ имеем $a_1=e_0d_1+e_1d_1$, и можем положить $f_1=e_1d_1.$ Далее, пользуясь разложением $Sa_i=Se_0\oplus\ldots \oplus Se_{i-1}\oplus Se_id_i$, определяем $f_i=e_id_i.$ Получаем $L=R(f_0+\ldots +f_kx^k)$ и  $f_{i+1}\in {\rm ann}_l(Sa_i).$ Действительно, это следует из совпадения левых коэффициентных  идеалов $L'_i$ левого идеала $Rf$ с соответствующими $L_i$. В силу определения $L'_0=Sa_0$. Поскольку $\varphi(Sa_j)\subseteq Sa_{j+1}$, то  $Se_j\subseteq Sa_i$ для любого $j<i$. Очевидно, что $Sf_i\subseteq Sa_i$. Поэтому $L'_i=Se_1+\ldots +Se_{i-1}+Sf_i\subseteq Sa_i$. Обратное включение очевидно. Таким образом, для $i\leq k$  выполняется $L'_i=Sa_i$. Наконец, $L'_{k+1}=Se_0+\ldots +Se_k=S(e_0\vee\ldots\vee e_k)=Su_k=Sa_{k+1}$.

 $ii)$ Идемпотенты в разложениях $a_k$ и $a_{k+1}$ различны. Тогда $a_k=u_kd_k,\, a_{k+1}=u_{k+1}d_{k+1}$ и $d_k, d_{k+1}$ --- неделители нуля, $u_k<u_{k+1}.$  Заметим, что $Su_{k+1}=Sa_{k+1}=Sa_{k+2}=\ldots$. Определение коэффициентов $f_0,\ldots , f_k$ такое же, как и в предыдущем случае. Положим $f_{k+1}=u_{k+1}.$ Многочлен $f=f_0+\ldots +f_{k+1}x^{k+1}$ порождает левый $m$-идеал $Rf$ с левыми коэффициентными идеалами $Sa_i$, т.~е. $L=Rf.$
 %\medskip

2) Конструкция, применяемая в  предложении \ref{b_ch,prop10}, позволяет рассмотреть  ее для произвольного полукольца $S$.
Пусть  $\varphi$ --- такой эндоморфизм полукольца $S$, что $\varphi(e)=e$ для любого $e\in BS$, и $c_0\leq c_1\leq \ldots \leq c_k$ --- произвольная цепь идемпотентов из $BS$. Покажем, что левый $m$-идеал $L$, задаваемый цепью $Sc_0\subseteq Sc_1\subseteq \ldots \subseteq Sc_k=Sc_k\ldots$, является главным левым $m$-идеалом полукольца $R=S[x,\varphi]$.
 Положим $f_0=c_0$ и $f_{i+1}$ --- относительное дополнение идемпотента $c_i$ в интервале $[0, c_{i+1}]$ булевой решетки $BS$. Рассмотрим $f=f_0+\ldots +f_kx^k\in R.$ Для любых $j<i\leq k$ выполняется $f_j\leq c_j\leq c_{i-1}$, поэтому $f_j\wedge f_i\leq c_{i-1}\wedge f_i=0$. Получаем, что идемпотенты $f_i,\, i=0,\ldots ,k$ образуют ортогональную систему. Вспомним, что операция $\wedge$ в $BS$ совпадает с полукольцевым умножением в $S$. Поэтому $f_if=f_ix^i\in Rf$ для любого $i\geq 0$, и $Rf$ --- главный левый $m$-идеал полукольца $R$. Пусть $L_i$ --- его произвольный коэффициентный левый идеал. Несложно понять, что $L_ix^i$ состоит из одночленов вида $s_0f_0x^i, \ldots, s_if_ix^i$ и их конечных сумм. По лемме~\ref{b_ch,lemmaLO1} $L_i=Sf_0+\ldots +Sf_i=S(f_0\vee\ldots\vee f_i)=Sc_i$. Отсюда следует, что $L=Rf.$

\medskip

Проведенные в замечании 1 рассуждения позволяют получить следующее утверждение.

\begin{proposition}\label{b_ch,prop2}
Пусть $S$ --- риккартово слева левое полукольцо Безу, $\varphi$ --- инъективный жесткий эндоморфизм полукольца $S$, $\varphi(d)$ --- обратимый в $S$ элемент для каждого неделителя нуля $d\in S$. Тогда любая конечная цепь $Sa_0\subseteq \ldots \subseteq Sa_k\subseteq Sa_{k+1}$ главных левых идеалов, удовлетворяющая условиям $\varphi(Sa_i)\subseteq Sa_{i+1}$ для всех $i\leq k$ и $\varphi(Sa_{k+1})\subseteq Sa_{k+1}$, задает главный левый $m$-идеал $L$ полукольца $R=S[x,\varphi]$, левые коэффициентные идеала $L_i$ которого совпадают с $Sa_i.$
\end{proposition}

\begin{lemma} \label{b_ch,lemmaLO3}
Пусть $S$ --- риккартово слева левое полукольцо Безу, $\varphi$ --- инъективный жесткий эндоморфизм полукольца $S$, $\varphi(d)$ --- обратимый в $S$ элемент для каждого неделителя нуля $d\in S$. Тогда каждый конечно порожденный левый $m$-идеал полукольца $R=S[x,\varphi]$ является главным левым $m$-идеалом.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $Rf+Rg$ --- сумма главных левых $m$-идеалов, $f=f_0+\ldots +f_kx^k$, $g=g_0+\ldots +g_kx^k$, где $k={\rm max}\{{\rm deg}\,f,{\rm deg}\,g\}$. По предложению \ref{b_ch,prop10} коэффициентные левые идеалы  для $Rf$ и $Rg$ образуют цепи $Sa_0\subseteq \ldots \subseteq Sa_k\subseteq Sa_{k+1}=\ldots$ и $Sb_0\subseteq \ldots \subseteq Sb_k\subseteq Sb_{k+1}=\ldots$ соответственно. Заметим, что выполняются условия $\varphi(Sa_i)\subseteq Sa_{i+1}$; аналогично для $Sb_i$. Левый идеал $Rf+Rg$ является левым $m$-идеалом, коэффициентные левые идеалы которого образуют цепь $Sa_0+Sb_0\subseteq \ldots \subseteq Sa_k+Sb_k\subseteq Sa_{k+1}+Sb_{k+1}=\ldots$. Коэффициентные левые идеалы удовлетворяют условиям  предложения  \ref{b_ch,prop2}, поэтому $Rf+Rg$ ---  главный левый $m$-идеал полукольца $R$.
\end{proof}



\begin{lemma}\label{b_ch,lemma5.1}
Пусть $S$ --- риккартово слева полукольцо, каждый дополняемый идемпотент которого централен, и $\varphi$ --- такой инъективный эндоморфизм полукольца $S$, что $\varphi (e)=e$ для любого $e\in BS$ и $\varphi (d)$ --- обратимый элемент для любого неделителя нуля $d\in S.$ Тогда  для каждого $M\in {\rm Max}\,BS$ эндоморфизм $\varphi$ индуцирует инъективный эндоморфизм $\bar{\varphi}$ пирсовского слоя $S/\alpha_M$,  $S/\alpha_M$ --- $\bar{\varphi}$-жесткое полукольцо и $\bar{\varphi}(\bar{a})$ обратим в $S/\alpha_M$ для любого ненулевого $\bar{a}\in S/\alpha_M$.
\end{lemma}

\begin{proof} Для произвольного $a\in S$ положим $\bar{\varphi}(\bar{a})=\overline{\varphi(a)}$ --- образ элемента $\varphi(a)$ при естественном эпиморфизме $h:S\rightarrow S/\alpha_M$. Стандартно проверяется, что $\bar{\varphi}$ является эндоморфизмом слоя $S/\alpha_M$. Если  $a,b\in S$, то  получаем цепочку импликаций:
\begin{align*}
\bar{\varphi}(\bar{a})=\bar{\varphi}(\bar{b})&\Rightarrow
\overline{\varphi(a)}=\overline{\varphi(a)}\Rightarrow
 \varphi(a)e=\varphi(b)e \text{ для некоторого } e\in BS\setminus M \\
&\Rightarrow \varphi(ae)=\varphi(be)\Rightarrow ae=be \Rightarrow\bar{a}=\bar{b},
\end{align*}
поэтому $\bar{\varphi}$ инъективен. Пусть $\bar{a}\in S/\alpha_M$ и $\bar{a}\not=\bar{0}$. По лемме \ref{b_ch,lemmaO4} $a=ed$ для некоторых $e\in BS$ и неделителя нуля $d\in S$.  Образ центрального дополняемого идемпотента при естественном эпиморфизме $h$ --- либо нуль, либо единица слоя $S/\alpha_M$, и ясно, что  в нашем случае $h(e)=\bar{1}.$ Поэтому $\bar{a}=h(a)=h(ed)=\bar{d}.$ По условию $\varphi(d)$ обратим в $S$, поэтому $\overline{\varphi(d)}=\bar{\varphi}(\bar{d})$ обратим в слое $S/\alpha_M$.
Следовательно, $\bar{\varphi}(\bar{a})=\bar{\varphi}(\bar{d})$ обратим  в $S/\alpha_M$. Пусть $\bar{a}\bar{\varphi}(\bar{a})=\bar{0}$, и $a=ed$ для $e\in BS$ и неделителя нуля $d\in S$. Если $\bar{e}=\bar{0}$, то $\bar{a}=\bar{0}$, и все доказано. Если $\bar{e}=\bar{1}$, то $\bar{d}\bar{\varphi}(\bar{d})=\bar{0}$, откуда $\bar{d}=\bar{0}$, $\bar{a}=\bar{0}$, и  $S/\alpha_M$ --- $\bar{\varphi}$-жесткое полукольцо.
\end{proof}

%\medskip

\textit{ Доказательство теоремы 2.}  По \cite[теорема 1]{mas_cher19} полукольцо $S$ является $\varphi$-жест\-ким в точности тогда, когда $R$ --- полукольцо без нильпотентных элементов. Поэтому доказательство импликации
$2)\Rightarrow 1)$ завершается применением леммы \ref{b_ch,lemmaLO3}.

$1)\Rightarrow 2).$ Пусть $a,b\in S$. Рассмотрим конечно порожденный левый $m$-идеал $Ra+Rb$, который по условию является главным левым $m$-идеалом $Rf$ для некоторого многочлена $f=f_0+\ldots +f_kx^k$. Поскольку у равных левых идеалов совпадают их соответствующие коэффициентные левые идеалы, получаем $Sa+Sb=Sf_0$. Следовательно, $S$ является левым полукольцом Безу.

Далее, $Ra+Rx=Rh$ для некоторого $h=h_0+\ldots +h_nx^n\in R.$ Тогда $a=uh,\, x=vh$ и $h=fa+gx$ для подходящих $f,g,u,v\in R.$ Пусть $f=f_0+\ldots +f_kx^k$, и аналогичные обозначения используем для других многочленов. Получаем $a=u_0f_0a,\, 0=v_0f_0a$ и $1=v_0g_0+b\varphi(a)$, где $b=v_0f_1+v_1\varphi(f_0)$. Поскольку $v_0\in {\rm ann}_l(f_0a)$ --- идеал в $S$, то $v_0g_0u_0\in {\rm ann}_l(f_0a)$, откуда получаем $0=v_0g_0u_0f_0a=v_0g_0a$ и $a=b\varphi(a)a.$ Из жесткости $\varphi$ следует $v_0g_0\varphi(a)=0$ \cite[лемма 3]{mas_cher19}, кроме того, $\varphi$-жесткое полукольцо является коммутативным в нуле. Поэтому $b\varphi(a)=(b\varphi(a))^2$ и $v_0g_0b\varphi(a)=0$. Таким образом, $b\varphi(a)$ --- центральный дополняемый идемпотент, а $v_0g_0$ --- его дополнение. Если $s\in {\rm ann}_l(a)$, то $s\varphi(a)=0$, поэтому $s=sv_0g_0+sb\varphi(a)=sv_0g_0$. Следовательно, ${\rm ann}_l(a)=Sv_0g_0$, и $S$ --- риккартово слева полукольцо.

Осталось показать, что $\varphi(d)$ обратим для каждого неделителя нуля полукольца $S$. Но для этого достаточно повторить рассуждения при обосновании аналогичного факта в теореме 1, поскольку в нашей ситуации в полукольце $S$ выполнены все условия, используемые в указанном доказательстве.

$2)\Leftrightarrow 3).$ Полукольцо $S$ является левым полукольцом Безу в точности тогда, когда каждый пирсовский слой $S/\alpha_M$ является левым полукольцом Безу \cite[теорема 5]{markcher13}. Полукольцо $S$ риккартово слева тогда и только тогда, когда каждый пирсовский слой является полукольцом без делителей нуля и для любого $b\in S$ ${\rm ann}_l(b)\cap BS$ --- главный идеал в $BS$ \cite[предл. 4]{mar_cher15}. Если выполнен пункт 2), то произвольный пирсовский слой $S/\alpha_M$ является $\bar{\varphi}$-жестким по лемме \ref{b_ch,lemma5.1}. Если выполнен пункт 3) и $a\varphi(a)=0$, то $\bar{a}\bar{\varphi}(\bar{a})=\bar{0}$ в каждом пирсовском слое. Тогда получаем $\bar{a}=\bar{0}$ в каждом пирсовском слое. В силу изоморфности пирсовского представления произвольного полукольца отсюда следует $a=0$, и $S$ --- $\varphi$-жесткое полукольцо. Теорема доказана. \hfill$\square$

\medskip
Полукольцо без делителей нуля является риккартовым, и если к тому же $\varphi$ --- инъективный эндоморфизм, то $\varphi$ --- жесткий эндоморфизм. Поэтому получаем:

\begin{corollary} Пусть $S$ --- полукольцо без делителей нуля, $\varphi$ ---  инъективный эндоморфизм полукольца $S$, $R=S[x,\varphi]$. Тогда равносильны условия:

\begin{enumerate}
\item любой конечно порожденный левый $m$-идеал из $R$ является главным;
\item $S$ --- левое полукольцо Безу, $\varphi(a)S=S$ для любого ненулевого $a\in S$.
\end{enumerate}
\end{corollary}

\begin{corollary} \cite[утверждение 15.12]{tugan09} Пусть $A$ --- кольцо без делителей нуля, $\varphi$ --- инъективный эндоморфизм кольца $A$, $R=A[x,\varphi]$. Тогда равносильны условия:

\begin{enumerate}
\item $R$ --- левое кольцо  Безу;
\item $R/Rx^2$ --- левое кольцо  Безу;
\item $A$ --- левое кольцо Безу, $\varphi(a)A=A$ для любого ненулевого $a\in A$.
\end{enumerate}
\end{corollary}



\bigskip

\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{dale76} L. Dale, {\it Monic and monic free ideals in polynomial semirings}, Proc Amer. Math. Soc., {\bf 56} (1976), 45--50.
    DOI: 10.2307/2041571

\bibitem{tuganbaev2001}
A. A. Tuganbaev, {\it Bezout rings, polynomials, and distributivity}, Matematicheskie zametki, {\bf 70}:2 (2001), 270--288.
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm740
 %{\bf Туганбаев А. А.} Кольца Безу, многочлены и дистрибутивность //
%\textit{Математические заметки. 2001. \No 70:2. C. 270--288.}

\bibitem{pierce67} R.\,S. Pierce,  {\it Modules over commutative regular rings}, Mem. Amer. Math. Soc., {\bf 70} (1967), 1--112.
    doi: 10.1090/memo/0070\,.

\bibitem{bur_steph76}  W. D. Burgess, W. Stephenson, {\it  Pierce sheaves of non-commutative rings}, Comm. Algebra, {\bf 39} (1976), 512--526.
doi.org/10.1080/00927877608822094

\bibitem{bur_steph79} W. D. Burgess, W. Stephenson, {\it Rings all of whose Pierce stalks are local}, Canad. Math. Bull., {\bf 22}:2 (1979) 159--164.
DOI: https://doi.org/10.4153/CMB-1979-022-8

\bibitem{bei_mikj_sal81} K. I. Beidar, A. V. Mikhalev  and C. Salavova, {\it Generalized identities and semiprime rings with involution}, Math. Z., {\bf 178} (1981) 37--62.
doi.org/10.1007/BF01218370

\bibitem{cherm93}  V. V. Chermnykh, {\it Sheaf representations of semirings}, Uspehi matemat. nauk, {\bf 48}:5 (1993), 185--185.
http://dx.doi.org/10.1070/RM1993v048n05ABEH001078
%Чермных В.\,В. Пучковые представления полуколец // Успехи матем. наук.  1993. Т.~48, № 5.  С.~185--186.

\bibitem{mar_cher14}  R. V. Markov, V. V. Chermnykh, {\it On Pierce stalks of semirings},  Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, {\bf 19}:2 (2014), 171--186.
    https://doi.org/10.1007/s10958-016-2713-5
%Марков Р.\, В., Чермных В.\, В. О пирсовских слоях полуколец // Фундамент. и прикл. матем.  2014.  Т.~19, №~2.  С.~171--186.

\bibitem{mar_cher15}  R. V. Markov, V. V. Chermnykh, {\it Semirings close to regular and their Pierce stalks}, Trudy Instituta Matemetiki i Mekhaniki URO RAN, {\bf 21}:3 (2015), 213--221.
    http://mi.mathnet.ru/timm1214
%Марков Р.\, В., Чермных В.\, В. Полукольца, близкие к регулярным, и их пирсовские слои // Труды ИММ УрО РАН.  2015.  Т.~ 21, №~ 3.  С.~ 213--221.

\bibitem{cher12} V. V. Chermnykh, {\it Functional representations of semirings},
Fundamentalnaya i prikladnaya matemat., {\bf 17}:3 (2012), 111--227.
doi: 10.1007/s10958-012-1062-2\,.
%Чермных В.\, В. Функциональные представления полуколец // Фундамент. и прикл. матем.  2012.  Т.~17, №~3.  С.~111--227.

\bibitem{dale82} L. Dale, {\it The structure of monic ideals in a noncommutative polynomial semirings},
Acta Math. Acad. Sci. Hungar., {\bf 39}:1--3 (1982), 163--168.
    DOI: https://doi.org/1007/bf01895228

\bibitem{markcher13} R. V. Markov, V. V. Chermnykh, {\it Pierce chains for semirings}, Vestnik Syktyvkarskogo universiteta, {\bf 16} (2012), 88--103.
    eLIBRARY ID: 18958088
    %Марков Р.\, В., Чермных В.\, В. Пирсовские цепи полуколец // Вестник Сыктывкарского университета. 2012. Вып.~16. С. 88--103.

\bibitem{mas_cher19} D. A. Maslyaev, V. V. Chermnykh, {\it Semirings of skew Laurent polynomials}, Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bf 17} (2020), 521--533.
    doi: 10.33048/semi.2020.17.033
%Масляев Д.\, А., Чермных В.\, В. Полукольца косых многочленов Лорана // Сибирские электронные матем. известия. 2020. Т.~17.  С.~521--533.
%doi: 10.33048/semi.2020.17.033

\bibitem{tugan09} A. A. Tuganbaev, {\it Ring theory. Arithmetical rings and modules}, MCNMO, Moscow, 2009.
%Туганбаев А.\,А. Теория колец. Арифметические кольца и модули.  М.: МЦНМО. 2009. 472 с.
%ISBN 978-5-94057-555-9

\bibitem{vech86} E. M. Vechtomov, {\it On Boolean rings}, Matematicheskie zametki, {\bf 39}:2 (1986), 182--185.
    doi.org/10.1007/BF01159890
    %Вечтомов Е.\,М. О булевых кольцах // Математические заметки.  1986. Т.~39, № 2.  С.~182--185.

\end{thebibliography}

\end{document}

