
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}

\def\udcs{512.54} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{20D20} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{1}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том хх, стр. 1-12 (2014) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
         \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{Список литературы}

\thispagestyle{empty}

\title{ О центрах графов разрешимости}
\author{{Л.С. КАЗАРИН, В.Н.ТЮТЯНОВ}}%
\address{Лев Сергеевич Казарин
\newline\hphantom{iii}Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
\newline\hphantom {iii} Советская, 14, 	
\newline\hphantom {iii} 15003, Ярославль, Россия}%	
\email{lsk46@mail.ru}%
\address{Валентин Николаевич Тютянов
\newline\hphantom{iii} Гомельский филиал Международного университета ``МИТСО'',
\newline\hphantom{iii} пр. Октября, 46a,
\newline\hphantom{iii} 246029, Гомель, Беларусь}%
\email{vtutanov@gamail.com}%

\thanks{\sc Kazarin , L.S., Tutanov V.N.
On centers of soluble graphs}
\thanks{\copyright \ 2015 Казарин Л.С., Тютянов В.Н.}
\thanks{\it Поступила 5 февраля 2015 г., опубликована 31 декабря 2014 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. }  Let $G$ be finite group and $V=\pi(G)$ be the set of all prime divisors of its order. The soluble graph $\Gamma_{sol}(G)$ is a graph with the set of vertices $V$, where two vertices $p$ and $q$ in $V$ are adjacent if there exists a soluble subgroup $H$ of $G$ whose order is divisble by $pq$. 
We study centers of soluble graphs of finite sporadic and exceptional simple groups  Lie types.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} finite group, $\pi$-subgroup, 
exceptional simple group of Lie type, sporadic simple group, soluble graph.
 \end{quote}
}


\section{Введение}

Граф разрешимости (разрешимый граф) $\Gamma_{sol}(G)$ конечной группы $G$ -- это обыкновенный граф, вершинами которого являются простые делители $\pi(G)$ ее порядка. При этом две вершины $p,q\in \pi(G)$ смежны тогда и только тогда, когда в $G$ найдется разрешимая подгруппа, порядок которой делится на $pq$.

Понятие  графа разрешимости было введено С. Абе и Н. Йиори [3] как обобщение понятия графа Грюнберга-Кегеля.  Легко видеть, что граф Грюнберга-Кегеля $\Gamma(G)$ группы $G$ является подграфом графа $\Gamma_{sol}(G)$ с тем же множеством вершин, но при этом  граф разрешимости конечной простой группы $G$ всегда связен (теорема 1 в [3]).

Центром графа разрешимости $Z(\Gamma_{sol}(G)) $ группы $G$ называется множество вершин, каждая из которых смежна со всеми вершинами $\Gamma_{sol}(G)$. Если группа $G$ разрешима, то граф $\Gamma_{sol}(G)$ является кликой (полным графом). У спорадической простой группы центр графа разрешимости часто бывает пуст. Напротив, число элементов центра графа разрешимости знакопеременной группы степени $n$ для большого $n$ при специальном выборе $n$ может быть велико. Заметим, что понятие центра графа разрешимости не является общеупотребительным в теории графов, но отвечает интуитивному представлению для данного случая.

Участники XIII Школы-конференции по теории групп, посвященной 85-летию В.А. Белоногова, проходившей 3-7 августа 2020 г. в Екатеринбурге, представили ряд открытых проблем. Данные проблемы были опубликованы в [2]. В частности, Л.С. Казарин в проблеме 7 поставил следующий вопрос: описать конечные группы $G$ лиева типа, у которых центр графа $\Gamma _{sol}(G)$ не пуст.

Главная цель работы --- описание центров графов разрешимости спорадических простых групп и исключительных простых групп лиева типа. Полное описание центров графов разрешимости исключительных простых получено для вcех исключительных простых групп лиева типа кроме $E_7(q)$ и $E_8(q)$. Для последних установлена нетривиальность их центров.




\section{Главные результаты }

Принятые обозначения, в основном, стандартны. В случае работы со спорадическими простыми группами мы следуем обозначениям [4].


\begin{theorem} {\it Пусть $G$ -- конечная простая исключительная группа лиева типа. Тогда:
	
	1. $G\cong Sz(q)$ и $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$.
	
	2.  $G\cong {^2G}_2(q)$ и $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2,3\}$.
	
	3. $G\cong {^3D}_4(q)$ и $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$.
	
	4. $G\cong {^2F}_4(q)^{'}$, где $q\geq 2$ и $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2,3\}$.
	
	5. $G\cong G_2(q)$ и $\{2, 3\}= Z(\Gamma _{sol}(G))$.
	
	6. $G\cong F_4(q)$ и $\{2\}= Z(\Gamma _{sol}(G))$.
	
	7. $G\cong E_6(q)$. Если $q= 1+3t$ и $(t,3)=1$, то $Z(\Gamma_{sol}(G))=\emptyset$. 
	
		Иначе  $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{3\}$.
		 
	
	8. $G\cong {^2E}_6(q)$ и если $q= -1+3t$ для $(t,3)=1$, то $Z(\Gamma _{sol}(G)=\emptyset$. 
	
	Иначе $Z(\Gamma_{sol}(G))= \{3\}$.
	
	9. $G\cong E_7(q)$ или $G\cong E_8(q)$, то $2\in Z(\Gamma _{sol}(G))$}.
	\end{theorem}

\medskip

\begin{theorem} {\it Пусть $G$ является спорадической простой группой.  Тогда:
	
	1. Центр графа $\Gamma_{sol} (G)$ пуст для следующих групп: $G\cong M_{11}, M_{12}. M_{22}, M_{23},\newline M_{24}, J_3, HS, McL, O'N, HN, Co_3, Co_2, BM, M$; 
	
	2.  центр графа $\Gamma _{sol}(G)$ состоит из вершины 2 для следующих групп:  $G\cong J_1, J_4, Ly, He, Co_1,Suz, Ru, Fi_{22}, Fi_{23}, Fi_{24}'$.
	
	3. центры графов $G\cong J_2$ и $G\cong Th $ состоят из вершин 2 и 3.}
\end{theorem}

\medskip

Центр графа $\Gamma _{sol}(G)$ в случае $|\pi(G)|=3$ всегда не пуст. Это немедленно следует из связности указанного графа. Список простых неабелевых конечных четырепримарных групп состоит из 35 простых групп и трех серий таких групп (см. [6]). Среди четырепримарных простых спорадических групп только у группы $J_2$ центр графа разрешимости не пуст и $|Z(\Gamma _{sol}(J_2))|=2$. Поэтому представляется полезным перечислить все конечные простые четырепримарные группы, имеющие центр, состоящий из двух вершин, т.е. аналоги для группы $J_2$. 

\bigskip



\begin{theorem} {\it Пусть $G$ -- конечная четырепримарная простая группа, центр которой состоит из двух вершин.  Тогда $G$ изоморфна одной из следующих групп:	
	$J_2$; $S_6(2)$; $A_8$; $A_9$;  $A_{10}$; $O_8^+(2)$; $G_2(3)$; ${^2F}_4(2)'$, $L_2(31)$, $L_2(127)$.}
\end{theorem}

\section {Доказательство Теоремы 1. }

Рассмотрим все случаи для простых исключительных групп лиева типа.	

1. $G\cong Sz(q)$, где $q=2^{2n+1}$ и $n\geq 1$.

В этом случае $|G|=q^2(q^2+1)(q-1)=q^2(q-\sqrt{2q} +1)(q+\sqrt{2q}+1)(q-1)$. Из [8, теорема 4.1] следует, что группа $G$ содержит разрешимые подгруппы $(q-1):2$, $(q-\sqrt{2q}+1):4$ и $(q+\sqrt{2q}+1):4$. Отсюда легко получаем, что $Z(\Gamma _{sol}(G))$ содержит вершину $2$. Учитывая, что вершина $2$ смежна с вершинами из $\pi(q-1)$, а последние не смежны с вершинами из $\pi(q\pm\sqrt{2q}+1)$, заключаем, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$. 

2. $G\cong {^2G}_2(q)$, где $q=3^{2n+1}$ и $n\geq 1$.

В этом случае $|G|=q^3(q^3+1)(q-1)=q^3(q-\sqrt{3q}+1)(q+\sqrt{3q}+1)(q-1)(q+1)$. Из [8, теорема 4.2] следует, что группа $G$ содержит  подгруппы $[q^{3}]:(q-1)$, $(q-\sqrt{3q}+1):6$, $(q+\sqrt{3q}+1):6$, $2\times L_2(q)$ и $(2^2\times D_{(q+1)/2}):3$. Отсюда легко получаем, что $Z(\Gamma _{sol}(G))$ содержит вершины $\{2\}$  и $\{3\}$. Заметим, что подгруппы порядков $(q\pm \sqrt{3q}+1):6$ являются группами Фробениуса с абелевыми ядрами, а $q^2-1$ взаимно просто с $(q\pm\sqrt{3q}+1)$. Кроме того, простые делители этих чисел не делят порядка параболической подгруппы группы $G$. Поэтому единственными вершинами, кроме вершин из $\pi(q\pm \sqrt{3q}+1)$, которые могут быть им инцидентны в графе разрешимости группы $G$, будут вершины $\{2\}$ и $\{3\}$. Итак,  $Z(\Gamma{sol}(G))=\{2,3\}$.

3. $G\cong {^3D}_4(q)$.

В этом случае $|G|=q^{12}(q^8+q^4+1)(q^6-1)(q^2-1)$. Имеют место равенства.

$q^8+q^4+1=(q^4-q^2+1)(q^4+q^2+1)=(q^4-q^2+1)(q^2-q+1)(q^2+q+1)$, 

$q^6-1=(q^3-1)(q^3+1)= (q^2+q+1)(q^2-q+1)(q-1)(q+1)$ и 

$q^2-1=(q-1)(q+1)$.


Из представления $|G|$, пункта $(13)$ [8, теорема 4.3] и простых арифметических вычислений следует, что примитивные простые делители числа $q^4-q^2+1$ могут делить только порядок группы $(13)$ в списке [8, теорема 4.3]. Отсюда следует, что только число 2 может содержаться в $Z(\Gamma _{sol}(G))$. Теперь из пунктов (2), (11), (12) [8, теорема 4.3] следует, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$.

4. $G\cong {^2F}_4(q)$, где $q=2^{2n+1}\geq 8$.

В этом случае $|G|=q^{12}(q^6+1)(q^4-1)(q^3+1)(q-1)$. Имеют место равенства.

$q^3+1=(q+1)(q^2-q+1)$,

$q^4-1=(q^2-1)(q^2+1)=(q-1)(q+1)(q\pm \sqrt{2q} +1)$,

$q^6+1=(q^2+1)(q^4-q^2+1)=(q\pm \sqrt{2q} +1)(q^4-q^2+1)=(q\pm \sqrt{2q} +1)$ $(q^2+q+1\pm \sqrt{2q} (q+1))$.

Отсюда следует, что $|G|=(q-1)^2(q+1)^2(q\pm \sqrt{2q} +1)^2(q^2-q+1)$ $(q^2+q+1\pm \sqrt{2q} (q+1))$.
Из представления $|G|$ и пунктов (8), (9), (10) [8, теорема 4.5]. следует, что только числа 2 и 3 могут содержаться в $Z(\Gamma _{sol}(G))$. Из этих же пунктов [8, теорема 4.5] следует, что числа 2 и 3 смежны с вершинами из множеств $\pi(q+1)$, $\pi(q\pm \sqrt{2q} +1)$ и $\pi(q^2+q+1\pm \sqrt{2q} (q+1))$.

Из пункта (1) [8, теорема 4.5] следует, что вершина 2 смежна с вершинами из множества $\pi(q-1)$. Так как 3 делит $q+1$, то из пункта (3) [7, теорема 4.5] заключаем, что вершина 3 смежна с вершинами из множества $\pi(q-1)$.

 Из пункта (3) [8, теорема 4.5] следует, что группа $G$ содержит максимальную подгруппу $SU_3(q):2$. Однако группа $SU_3(q)$ содержит подгруппу $(q^2-q+1):3$, инвариантную относительно автоморфизма группы $SU_3(q)$ порядка 2. Таким образом, вершины 2 и 3 смежны с вершинами из множества $\pi(q^2-q+1)$.


Итак, $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2,3\}$ и $|Z(\Gamma _{sol}(G))|=2$. 

5.  $G\cong {^2F}_4(2)^{'}$.

Из [4, стр. 74] легко заключить, что   $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2,3\}$ и  $|Z(\Gamma _{sol}(G))|=2$.

6. $G\cong G_2(q)$, где $q=p^n>2$.

В этом случае $|G|=q^6(q^2-1)(q^6-1)=q^6(q-1)^2(q+1)^2(q^2-q+1)(q^2+q+1)$. Группа $G$ содержит максимальные торы порядков $(q\pm 1)^2$, $(q^2\pm q+1)$, $q^2-1$. Отметим, что для любого $r\in \pi (G)\setminus \{p\}$ число $r$ делит порядок некоторого из перечисленных торов.  Из описания максимальных подгрупп группы $G_2(q)$ в [8] следует, что вершина 2 графа $\Gamma _{sol}(G)$ смежна со всеми вершинами из $\pi (G)\setminus \{p\}$. Поскольку порядок борелевской подгруппы в группе $G$ равен $q^6(q-1)^2$, то ясно, что при всех значениях характеристики поля  вершина $\{2\}$  также смежна с вершиной $p\ne 2$. Поэтому $2\in Z(\Gamma _{sol}(G))$. 

Так как для  $r\in \pi(q^2\pm q+1)$ вершина $r$ содержится лишь в максимальных подгруппах $G_2(q)$, изоморфных $SL_3(q)$ или $SU_3(q)$, то, используя строение групп $SL_3(q)$ и $SU_3(q)$, заключаем, что во всех случаях вершина $\{3\}$ также содержится в   $ Z(\Gamma _{sol}(G))$. Итак, $Z(\Gamma_{sol}(G))=\{2,3\}$.

7. $G\cong F_4(q)$. Из [1, таблица 8, стр. 49] следует, что для всякого максимального тора $T$ индекс $|N_G(T):T|$ является четным числом. Отсюда легко заключить, что $2\in Z(\Gamma _{sol}(G))$. С другой стороны, имеются два максимальных тора $B_4$ порядка $q^4+1$ и $F_4$ порядка $q^4-q^2 +1$. При этом индекс тора $B_4$ в его нормализаторе равен 8, а индекс тора $F_4$ в его нормализаторе равен 12 (см. [1, таблица 8], стр. 49). Так как подгруппа, изоморфная максимальному тору $F_4$, сильно изолированная в $G$, то, учитывая наличие максимального тора $B_4$, заключаем, что ни одна вершина из $\pi(q^4-q^2+1)$ не смежна с вершинами из $\pi(q^4+1)$. Отсюда $Z(\Gamma_{sol}(G))=\{2\}$.

8. $G \cong  E_6(q)$, где $q=p^n$. тогда 
$|G| = (1/d) q^{36}(q^{12}-1)(q^{9} -1)(q^8 - 1)(q^6 - 1)(q^5- 1)(q^2 - 1)$ для  $d=(q-1, 3)$. 
Рассмотрим следующие подслучаи.

(a)  $q = 3^n \geq 3$.
В максимальных параболических подгруппах $q^{16} : (\Omega^+_{10}(q)\times (q-1))$ и $q^{1+16} : (SL_6(q) \times (q - 1))$ дополнения Леви имеют  факторы $\Omega^+_{10}(q) $ и $SL_6(q)$. Поэтому вершина 3 смежна с вершинами $\pi((q^8 -1)(q^6-1)(q^4-1)(q^2-1)(q^5-1))$ и $\pi((q^2-1)(q^3-1)(q^4-1)(q^5-1)(q^6-1)$. Из
разложения $|G|$ легко заключить, что оставшиеся простые делители $|G|$
находятся в $\pi(q^6+q^3+1)$ и $\pi(q^4-q^2+1)$.  Графу $\Gamma = E_6(a_1)$ из [1] соответствует максимальный тор $T=E_6(a_1)$ порядка $(1/d)(q^6+q^3+1)$. Из [1, таблица 9, стр. 50]  заключаем, что вершина 3 смежна с вершинами $\pi (q^6+q^3+1)$. Графу $\Gamma = E_6$ из [1] соответствует максимальный тор $T_1$ порядка $(1/d)(q^4 - q^2 + 1)(q^2 + q + 1)$.  Из [1, таблица 9, стр. 50] заключаем, что вершина 3 смежна с вершинами $\pi ((q^4 - q^2 + 1)(q^2 + q + 1)$.
Таким образом, в рассматриваемом случае $3 \in Z(\Gamma_{sol}(G))$.

(b) $q + 1\equiv 0\pmod3$. Понятно, что $d=1$. Покажем, что $3 \in Z(\Gamma_{sol}(G))$.

Группа $G$ содержит  параболическую максимальную подгруппу $q^{5+20}:(SL_2(q)\newline \times SL_5(q) \times(q - 1))$. Поэтому вершина 3 смежна с вершинами
$\pi((q^2-1)(q^3-1)(q^4-1)(q^5-1)$. Имеют место равенства: $(q^8-1)=(q^4-1)(q^4+1)$, $q^9-1=(q^3-1)(q^6+q^3+1)$, $q^{12}-1=(q^6-1)(q^6+1)$.
Рассмотрим следующие делители порядка группы $G$: $q^4+1$, $q^6+q^3+1$, $q^3+1$, $q^4-q^2+1$.

Графу $\Gamma = D_5$ в [1, таблица 9, стр 50] 
соответствует максимальный тор $T_1$ порядка $(q^4+1)(q^2-1)$
и $|T_1|$  делится на 3. Поэтому вершина 3 смежна с вершинами $\pi(q^4+1)$. Графу $\Gamma = E_6(a_1)$ из [1] соответствует максимальный тор $T$ порядка $q^6+q^3+1$. Из [1, таблица 9, стр. 50] заключаем, что вершина 3 смежна с вершинами $\pi(T_2)$. Графу $\Gamma =D_4$ из [1] соответствует максимальный тор $T_3$ порядка $(q^3 + 1)(q + 1)(q-1)^2$ и 3 делит $|T|$. Поэтому вершина 3 смежна с вершинами $\pi(q^3 + 1)$. Графу $\Gamma = E_6$ соответствует максимальный тор $T_4$ порядка $(q^4-q^2+1)(q^2+q+1)$. Из [1, таблица 9, стр. 50] следует, что вершина 3 смежна с вершинами $\pi(q^4-q^2+1)$. Из представления $|G|$  заключаем, что $3 \in Z(\Gamma_{sol}(G))$.

(c) $q - 1 \equiv 0\pmod 3$. 
Пусть сначала $q -1 \equiv 0\pmod 9$. Покажем, что $3 \in Z(\Gamma_{sol}(G))$. Группа $G$ содержит параболические максимальные подгруппы $1/3q^{16}:(\Omega^+_{10}(q)\times (q-1))$ и $1/3q^{20}(SL_6(q)\times (q-1))$.

Так как $q -1 \equiv 0\pmod 9$, то вершина 3 смежна с вершинами $\pi((q^2-1)(q^3-1)(q^4-1)(q^5-1)(q^6-1)$ и $\pi(q^8-1)(q^6-1)(q^4-1)(q^2-1)$.
Достаточно показать, что вершина 3 смежна с вершинами $\pi(q^6+q^3+1)$ и $\pi (q^4-q^2+1)$. Это делается точно также как в случае (b). Таким образом,
$3 \in Z(\Gamma_{sol}(G))$.

(d)  $q -1 = 3t$, где $(3, t) = 1$. Покажем, что в этом случае
$Z(\Gamma_{sol}(G)) = \emptyset $. 

Рассмотрим ситуацию (d) более подробно. Группа $G$ содержит  параболическую максимальную подгруппу $(1/3)q^{5+20}:(SL_2(q) \times SL_5(q) \times(q - 1))$. Поэтому вершина 3 смежна с вершинами
$\pi((q^2-1)(q^3-1)(q^4-1)(q^5-1)$. Как и в случае (b) легко заключить, что оставшиеся простые делители $|G|$
находятся в $\pi ((q^6+q^3+1)/3)$, $\pi (q^3+1)$, $\pi(q^4-q^2+1)$, $\pi(q^4+1)$. 

Графу $\Gamma = E_6(a_1)$ из [1] соответствует максимальный тор $T$ порядка $(q^6 + q^3 + 1)/3$. Из [1, таблица 9, стр. 50] заключаем, что вершина 3 смежна с вершинами $\pi((q^6 + q^3 + 1)/3)$. Графу $\Gamma =D_4$ из [1] соответствует максимальный тор $T_2$ порядка $(q^3 + 1)(q + 1)(q-1)^2/3$ и 3 делит $|T_2|$. Поэтому вершина 3 смежна с вершинами $\pi(q^3 + 1)$.  Графу $\Gamma = E_6$ соответствует максимальный тор $T_3$ порядка $(q^4- q^2 + 1)(q^2 + q + 1)/3$. Из [1, таблица 9, стр. 50] следует, что $|N_G(T_3)/T_3|=12$. Отсюда легко заключить, что вершина 3  смежна с вершинами $\pi(|T_3|)$.  Порядок тора $T_4$, соответствующего графу  $D_5$ из [1],  равен $(q^4+1)(q^2-1)/3$ и это число не делится на 3. Из [1, таблица 9, стр. 50] следует, что  $|N_G(T_4)/T_4|=8$. Отметим, что имеется холлова циклическая подгруппа группы $G$ нечетного порядка, делящего $q^4+1$.

Так как в нашем случае $q=1+3t$ для $t$, взаимно простого с числом $3$, то  порядок силовской 3-подгруппы группы $G$ не превосходит $3^{10}$.
 
Полное описание максимальных подгрупп группы $G$ содержится в работе Крейвена [12, таблицы 7.3 и 1.2].  Имеется всего два типа максимальных подгрупп, порядки которых делятся на простые нечетные делители числа $q^4+1$. Именно, порядок группы $P\Omega_{10}^+(q)$ содержит сомножитель $q^8-1$ и $|PSp_8(q)|$ делится на $q^8-1$.

В обоих случаях силовская 3-подгруппа указанных групп не имеет элементарных абелевых секций, являющихся группами порядка более $3^6$. Если в $G$ имеется разрешимая $\{3,r\}$-подгруппа $M$ для нечетного простого $r$, делящего $q^4+1$, то $O_r(M)=1$. Поэтому $O_3(M)\ne 1$ и имеется элементарная абелева подгруппа порядка $3^k$, нормализуемая циклической подгруппой порядка $r$.

 Если всякая вершина $r$, содержащаяся среди примитивных нечетных простых делителей числа $(q^4+1)$, является смежной в графе разрешимости группы $G$ c вершиной $3$, то циклическая подгруппа порядка $r$ будет нормализовать подгруппу порядка $3^k$ для некоторого $1<k\leq 6$ и действовать регулярно на элементарной абелевой подгруппе порядка $3^k$. Так что $r|(3^k-1)$. Прямая проверка делителей чисел $3^k-1$ для $1<k\leq 6$ показывает, что это исключено. Поэтому вершина $3$ не содержится в $Z(\Gamma_{sol}(G))$.

В предыдущих рассмотренных случаях (а), (в) и (с) при $q\equiv 1\pmod 9$ имеется тор $T$ порядка $(q^6+q^3+1)/(3,q-1)$, взаимно простого с порядками параболических максимальных подгрупп. Поэтому простые делители $|T|$ не могут делить порядки $p$-локальных подгрупп группы $G$. С другой стороны, порядок $T$ взаимно прост с порядком группы Вейля $W$ группы $G$. Из описания в [12, таблицы 7.3 и 1.2] следует, что  в группе $G$ нет бипримарных $\{r,s\}$ -- подгрупп, где $ r\in \pi (q^j-1) $ и $r\ne 3$ для $j\in\{2,3,5,6,8\}$, а $s\in \pi (T)$.  Поэтому во всех указанных выше случаях ((a),(b) и (с)) имеем $Z(\Gamma_{sol}(G))=\{3\}$.
Для исключения групп из перечня в таблице 1.2 из [12] достаточно заметить, что порядок тора $T$ не делится ни на 11, ни на 13. В остальных случаях не добавляется новых пар смежных вершин, содержащихся в графе разрешимости группы $G$. Порядок группы $J_3$ равен $2^7\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 19$, порядок $^2F_4(2)'$ равен $2\cdot 3\cdot 5\cdot 13$, а порядок группы $M_{12}$  равен $2^6\cdot3^3\cdot 5^2\cdot 11$. В первом случае в графе разрешимости группы $G$ имеется ребро $(19,3)$, что и так известно, а в оставшихся не появляется ребер с вершинами из $\pi(T)$.

Теперь легко видеть, что в случае (d) 3 не содержится в центре графа $\Gamma_{sol}(G)$. Таким образом, в случае $q=3t+1$ с $(t,3)=1$ имеем: центр графа разрешимости группы $G$ пуст.


9. $G\cong {^2E}_6(q)$. Тогда $|G|=(1/d)q^{36}(q^{12}-1)(q^9+1)(q^8-1)(q^6-1)(q^5+1)(q^2-1)$, где  $d=(q+1,3)$. Для каждого максимального тора $T$ группы $G$ число  $d|T|$ равно одному из следующих чисел [10]:

$(q +1)^k\cdot(q-1)^{6-k}, 2 \leq  k \leq 6; \quad(q^k - (-1))^k)\cdot (q^{6-k}-(-1)^{6-k}),~ 1\leq k\leq 5;\newline (q^k-(-1)^k)\cdot (q+1)^{6-k}, \quad 3\leq k \leq 6;~ (q^3+1)(q^2-1)(q\pm 1)~; ~(q^5+1)\cdot(q-1); (q^3-1)(q^2\pm 1)(q+1); $
$ (q^4+1)(q^2-1); (q^2+1)^2(q+1)^2; (q^2-q+1)^3; (q^2-q+1)^2(q^2-1); (q^4-1)(q-1)^2;$ $q^3-1)(q^2-q+1)(q-1); (q^4-q^2+1)(q^2-q+1); q^6-q^3+1);(q^2-q+1)^2(q^2+q+1)$. 

Более того, для каждого числа $n$ из указанных выше существует тор $T$ такой, что $d|T| = n$.

%Сначала рассмотрим случай $q=2$. Тогда $\pi(G)=\{2,3,5,7, 11,  13, 17, 19\}$ и  $|G|=2^{36}\cdot 3^9\cdot 7^2\cdot 5^2\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19$. При этом подгруппы порядков $13, 17$ и $19$ являются сильно изолированными в $G$. Тор $T_1$ порядка $19$ имеет нормализатор порядка $19\cdot 9$ и является минизотропным. Используя элементарные вычисления, легко убедиться, что центр графа $\Gamma_{sol}(G)$ пуст. В самом деле, максимальная разрешимая подгруппа группы $G$, содержащая тор $T_1$, это нормализатор $T_1$ порядка $19\cdot 9$. Отсюда следует, что либо центр графа $\Gamma_{sol}(G)$ содержит вершину 3, либо он пуст. Однако нормализатор тора $T_2$ порядка 17 имеет порядок $17\cdot 8$. Так как в $G$ нет разрешимых $\{p,17\}$-подгрупп для $p>2$ и $p\ne 17$, то центр графа $\Gamma_{sol}(G)$ отличен от 3. Следовательно, $Z(\Gamma_{sol}(G))=\emptyset$.

Из [5, таблица 5.1] следует, что среди максимальных подгрупп группы $G\cong {^2E}_6(q)$  имеется подгруппа $U_3(q^3)\cdot 3$.  А значит, имеется максимальный тор $T_0$ порядка $(q^6-q^3+1)/d$,где $d=(3,q+1)$, содержащийся в максимальном торе порядка $q^{12}+q^6+1$, соответствующего графу  $E_6(a_1)$ из [1] группы $E_6(q^2)$. В силу сильной изолированности указанного тора в $E_6(q^2)$ получаем, что $T_0$ сильно изолирован в $G$. Более того, тор $T_0$ является холловой циклической подгруппой группы $G$.

Допустим, что имеется вершина $s\in (\pi(G)\setminus \pi (N_G(T_0))$, инцидентная каждой вершине из $\pi(N_G(T_0))$. То есть, имеется разрешимая $\{r,s\}$-подгруппа $M$, где $r\in \pi(T_0)$. Очевидно, что $O_r(M)=1$, иначе (ввиду сильной изолированности $T_0$) легко получить противоречие. Следовательно, $O_s(M)\ne 1$, и из [12,таблица  7.4]  вытекает, что таких разрешимых $\{r,s\}$ подгрупп группа $G$ не имеет. Как и в случае группы $E_6(q)$, порядок максимального тора $T_0$ не делится ни на 11, ни на 13. Поэтому сделанное заключение о центре графа разрешимости на основе [12, таблица 7.4] остается в силе при анализе таблицы 1.3 из [12]. Группы $Fi_{22}$, $^2F_4(2)'$ по сказанному выше не меняют заключения о центре графа разрешимости $G$, ибо не затрагивают ребер  вида $(r,s)$, где $r\in \pi (N_G(T_0))$ и $s\in \pi(G)\setminus \pi(N_G(T_0))$.


Из сказанного следует, что центр графа $\Gamma_{sol}(G)$ либо состоит из вершины 3, либо содержит вершину $r\in\pi(T_0)$, либо пуст. Согласно [5, таблица 5.1], группа $G$ имеет подгруппу $e.(L_2(q)\times U_6(q)).e$, где  $e=(q-1,2)$. Кроме того, имеются максимальные торы $T_1$ порядка $(q^5+1)(q+1)/d$ и $T_2$ порядка $(q^5+1)(q-1)/d$, где $d=(q-1, 3)$. Предположим, что имеется разрешимая подгруппа $K$ порядка, делящегося на $rs$, где $s$ -- примитивный простой делитель числа $q^5+1$. Понятно, что $O_r(K)=1$. Следовательно, имеется абелева подгруппа $S$, содержащаяся в $O_s(K)$. В силу цикличности силовской $s$-подгруппы группы $G$ можно считать, что $|S|=s$. Отсюда $r$ делит $s-1$. Нетрудно видеть, что в группе $C_G(S)$ имеется холлова циклическая подгруппа порядка $(q^5+1)/(q+1)$, нормализуемая подгруппой порядка $r$. В частности, $r$ делит наибольший общий делитель $((q^5+1)/(q+1)-1, |T_0|)$. Указанный наибольший общий делитель равен 1, противоречие.

Таким образом, единственная возможность, при которой центр графа разрешимости не пуст, заключается в том, что этот центр состоит из вершины $3$. Список параболических максимальных подгрупп группы $G$ можно извлечь из работы [7]. 

Согласно [7], имеется ровно 4 класса сопряженности максимальных параболических подгрупп универсальной группы $(3,q+1).G$: $P_1,P_2,P_3$ и $P_4$. При этом $$\pi(P_1)\cup\pi(P_2)\cup\pi(P_3)\cup\pi(P_4)=\pi(G)\setminus\pi(T_0).$$

Строение подгрупп $P_i$ при $i>1$ следующее: $P_i=U_iL_i$, где $L_i$ -- фактор Леви, $U_i$ -- унипотентная $p$-подгруппа ($p$ -- характеристика поля $GF(q)$). В случае $P_4$ подгруппа $L_4\simeq ^2 D_4(q^2):(q^2-1)/d$, где $d=(3,q+1)$. Напомним, что имеется также подгруппа $e.(L_2(q)\times U_6(q)).e$, где  $e=(q-1,2)$. В случае $q\equiv \pm 1\pmod 9$ группа $G$ содержит для всякого $r\in \pi(G)\setminus\{3\}$ разрешимую подгруппу порядка, делящегося на $3r$. В случае, когда $q=-1+ 3t$, где $(t,3)=1$, разрешимой подгруппы порядка, делящегося на  $3r$ в группе $G$ нет. В этом случае центр графа $\Gamma_{sol}(G)$ пуст.


Если $q$ -- степень $3$, то $Z(\Gamma_{sol}(G))=\{3\}$. В самом деле, ввиду описания [7], для любого $r\in \pi(G)\setminus \{3\}$ существует разрешимая подгруппа, порядок которой делится на $3r$. 



10. $G\in \{E_7(q), E_8(q)\}$. Согласно [1, таблица 10, стр. 51 -- 53] и [1, таблица 11, стр. 54 -- 58], нормализатор каждого максимального тора указанных групп имеет четный порядок. Поэтому вершина 2 содержится в $Z(\Gamma_{sol}(G))$ для любой из  рассматриваемых групп. 

Теорема 1 доказана.

\section {Доказательство Теоремы 2. }	

Имеется 26 спорадических простых групп. Мы найдем центры графа разрешимости для каждой из этих групп.

1. Группа $G\cong M_{11}$. Согласно [4, стр. 18], группа $G$ имеет максимальную разрешимую подгруппу порядка 55 и максимальную подгруппу $2.S_4$. Единственная максимальная подгруппа $G$, порядок которой делится на 11, это подгруппа порядка 55. Отсюда и из перечня максимальных подгрупп $G$  следует, что разрешимых подгрупп порядка, делящегося на 15 в $G$ нет. Отсюда центр графа разрешимости этой группы пуст. 

2. Группа $G\cong M_{12}$. Согласно [4, стр. 33], группа  $G$ имеет максимальную разрешимую подгруппу порядка 55 и максимальную подгруппу $A_4\times S_3$. Отсюда и из перечня максимальных подгрупп $G$ следует, что центр графа разрешимости этой группы пуст.

3. Группа $G\cong M_{22}$. Согласно [4, стр. 39], группа $G$ имеет максимальную разрешимую подгруппу порядка 55 и максимальную подгруппу $2^3:L_3(2)$. Отсюда и из перечня максимальных подгрупп $G$ следует, что центр графа разрешимости этой группы пуст.

4. Группа $G\cong M_{23}$. Согласно [4, стр. 71], группа $G$ имеет разрешимую подгруппу порядка $23\cdot 11$ и максимальную подгруппу $A_8$. Отсюда и из перечня максимальных подгрупп $G$ следует, что центр графа разрешимости этой группы пуст.

5. Группа $G\cong M_{24}$. Согласно [4, стр. 96], группа $G$ имеет максимальную  подгруппу $23:11$ и максимальную подгруппу $2^4:A_8$. Отсюда и из перечня максимальных подгрупп $G$ следует, что центр графа разрешимости этой группы пуст.

6. Группа $G\cong J_1$. Согласно [4, стр. 36], группа $G$ имеет максимальные  подгруппы $19: 6$ и $11:10$. Единственная максимальная подгруппа $G$, порядок которой делится на 19, это $19:6$. Кроме того, имеется максимальная подгруппа  $2^3:7:3$.  Отсюда следует, что центр графа разрешимости этой группы $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$.

7. Группа $G\cong J_2$. Согласно [4, стр. 42], группа $G$ имеет максимальную подгруппу  $5^2:D_{12}$ и максимальную подгруппу $L_3(2):2$. Но нет разрешимых подгрупп порядка, делящегося на 35. Отсюда следует, что центр графа разрешимости этой группы $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2,3\}$.

8. Группа $G\cong J_3$. Согласно [4, стр. 82], группа $G$ имеет максимальные разрешимые подгруппы порядков $19\cdot 9$ и $17\cdot 8$. И нет разрешимых подгрупп порядка, делящегося на $19\cdot 17$. Отсюда следует, что центр графа разрешимости этой группы пуст.

9. Группа $G\cong J_4$. Согласно [4, стр. 190], группа $G$ имеет максимальные разрешимые подгруппы $37:12$, $43:14$, $29:28$, $(23:11):2$.  Из перечня максимальных подгрупп $G$ следует, что центр графа разрешимости этой группы $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$.

10. Группа $G\cong HS$. Согласно [4, стр. 80], группа $G$ имеет максимальную разрешимую подгруппу порядка $11\cdot 5$ и максимальную разрешимую подгруппу порядка $4^3\cdot 3\cdot 7$.  Из перечня максимальных подгрупп $G$ следует, что центр графа разрешимости этой группы пуст.

11. Группа $G\cong Suz$. Согласно [4, стр. 131], группа $G$ имеет разрешимую подгруппу порядка  $11\cdot 10$ и максимальную подгруппу $J_2:2$.  Кроме того, в $G$ есть разрешимая подгруппа порядка $13\cdot 2$. Из перечня максимальных подгрупп группы $G$ следует, что центр графа разрешимости этой группы $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$.

12. Группа $G\cong McL$. Согласно [4, стр. 100], группа $G$ имеет максимальную разрешимую подгруппу $11:5$ и максимальную подгруппу $5^3:3:8$. Группа $G$ также содержит  максимальную подгруппу  $2^4:A_7$. Из перечня максимальных подгрупп $G$ следует, что центр графа разрешимости этой группы пуст. 

13. Группа $G\cong Ru$. Согласно [4, стр. 126], группа $G$ имеет максимальные разрешимые подгруппы порядков  $29\cdot 14$ и $13\cdot 12$.  Кроме того, группа $G$ содержит максимальную подгруппу  $2^{11}:L_3(2)$. Из перечня максимальных подгрупп $G$ следует, что центр графа разрешимости этой группы $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$. 

14. Группа $G\cong He$. Согласно [4, стр. 104], группа $G$ имеет максимальные подгруппы   $5^2:4A_4$ и $7^3:(S_3\times 3)$. В группе $G$ имеется максимальная подгруппа  $S_4(4):2$, содержащая максимальную подгруппу порядка $17\cdot 8$ ([4, стр.44]). Из перечня максимальных подгрупп группы $G$ следует, что центр графа разрешимости этой группы $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$. 

15. Группа $G\cong Ly$. Согласно [4, стр. 174], группа $G$ имеет максимальные подгруппы  $37:18$ и $67:22$. Отсюда следует, что центр графа разрешимости группы $G$ не может содержать других вершин, кроме вершины 2. В группе $G$ имеется  максимальная подгруппа  $G_2(5)$. Из перечня максимальных подгрупп $G$ следует, что центр графа разрешимости этой группы $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$. 

16. Группа $G\cong O'N$. Согласно [4, стр. 132], группа $G$ имеет максимальную  разрешимую подгруппу порядка  $31\cdot 15$ и максимальную  подгруппу $J_1$, рассмотренную в пункте 6. Отсюда легко заключить,  что центр графа разрешимости группы $G$ пуст.

17. Группа $G\cong Co_1$. Согласно [4, стр. 183], группа $G$ имеет максимальную  разрешимую подгруппу порядка  $7^2\cdot 3^2 \cdot 2^3$ и максимальную  подгруппу $(A_5\times J_2):2$. Поэтому имеется полный подграф графа $\Gamma _{sol}(G)$ на вершинах 2, 3, 5, 7. Наличие максимальной подгруппы $2^{11}:M_{24}$ показывает, что вершина 23 смежна с вершинами 2 и 11. В группе $G$ имеется максимальная подгруппа $(A_4\times G_2(4)):2$, содержащая подгруппу $(A_4\times 13):2$. Поэтому вершина 13 смежна с вершинами 3 и 2. Из сказанного следует, $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$.

18. Группа $G\cong Co_2$. Согласно [4, стр. 154], группа $G$ имеет максимальную подгруппу $M_{23}$, рассмотренную в пункте 4. Отсюда следует, что центр у графа разрешимости (если он не пуст) может состоять лишь из вершины 11. Учитывая наличие в группе $G$ максмальных подгрупп $HS:2$ и $McL$, заключаем, что $Z(\Gamma _{sol}(G))$ должен содержать вершину 2. Противоречие. Таким образом, центр графа $\Gamma_{sol}(G)$ пуст.

19. Группа $G\cong Co_3$. Согласно [4, стр. 134], группа $G$ имеет максимальную подгруппу $M_{23}$, рассмотренную в пункте 4. Отсюда следует, что центр у графа разрешимости (если он не пуст) может состоять лишь из вершины 11. Учитывая наличие в группе $G$ максмальных подгрупп $HS$ и $McL:2$, заключаем, что $Z(\Gamma _{sol}(G))$ должен содержать вершину 2. Противоречие. Следовательно, центр графа $\Gamma_{sol}(G)$ пуст.

20. Группа $G\cong Fi_{22}$. В этом случае $\pi (G)=\{2,3,5, 7, 11, 13\}$. Согласно [4, стр. 163], группа $G$ имеет максимальную подгруппу $2^{10}:M_{22}$. Отсюда непосредственно следует, что центр у графа разрешимости группы $G$ (если он не пуст) может состоять лишь из вершины 2. Группа $G$ содержит максимальную подгруппу $^2F_4(2)'$,  имеющую подгруппу $L_3(3):2$. Поэтому $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$. 

21. Группа $G\cong Fi_{23}$. Тогда $\pi (G)=\{2,3,5, 7, 11, 13, 17, 23\}$. Согласно [4, стр. 177], группа $G$ имеет максимальную подгруппу $2^{11}:M_{23}$. Отсюда заключаем, что центр у графа разрешимости группы $G$ (если он не пуст) может состоять только из вершины 2. Из существования в группе $G$ максимальной подгруппы $2.Fi_{22}$, заключаем, что центр графа разрешимости группы $G$ $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$.

22. Группа $G\cong Fi_{24}'$. В этом случае $\pi (G)=\{2,3,5, 7, 11, 13, 17, 23, 29\}$. Согласно [4, стр. 207], группа $G$ имеет максимальные подгруппы $2.Fi_{22}.2$, $Fi_{23}$ и $29\cdot 14$. Отсюда следует, что центр у графа разрешимости $\Gamma_{sol}(G)$ может состоять лишь из вершины 2. Из перечня других максимальных подгрупп группы $G$  следует, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$. 

23. Группа $G\cong HN$. Тогда $\pi (G)=\{2,3,5, 7, 11, 19\}$. Согласно [4, стр. 166], группа $G$ имеет максимальную подгруппу $U_3(8):3$, порядок которой делится на 19. Других максимальных подгрупп порядока, делящегося на 19, в группе $G$ нет. Отсюда следует, что центр у графа разрешимости группы $G$ (если он не пуст) может состоять лишь из вершины 3. Так как группа $G$ имеет максимальную подгруппу $2\cdot HS.2$, заключаем, что $Z(\Gamma _{sol}(G))$ должен содержать вершину 2. Из перечня других максимальных подгрупп группы $G$  следует, что центр графа $\Gamma_{sol}(G)$ пуст.

24. Группа $G\cong Th$. В этом случае $\pi (G)=\{2,3,5, 7,  13, 19, 31\}$. Согласно [4, стр. 177], группа $G$ имеет максимальную подгруппу $31\cdot 15$.  Учитывая также наличие максимальной подгруппы $L_2(19):2$, заключаем, что $Z(\Gamma _{sol}(G))$ должен содержать вершину 3. Однако имеется и подгруппа порядка $2^5\cdot 31$. Рассмотрев список других максимальных подгрупп $G$, получаем, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2,3\}$. 

25. Группа $G\cong BM\cong F_2+$. В этом случае $\pi (G)=\{2,3,5, 7, 11, 13, 17,19, 23,\newline 31, 47\}$. В [4, стр. 217] приведено полное описание максимальных $p$-локальных подгрупп  группы $G$. В частности, группа $G$ содержит максимальную подгруппу $47:23$ и порядок любой $p$-локальной подгруппы для $p\ne 47$ не делится на 47. Отсюда легко заключить, что  центр у графа разрешимости группы $G$ (если он не пуст) может состоять лишь из вершины 23. С другой стороны, например, все 17-локальные подгруппы группы $G$ имеют порядок, делящийся только на простые числа 17 и 2. Поэтому вершина 23 не смежна с вершиной 17. Отсюда   получаем, что  центр графа $\Gamma_{sol}(G)$ пуст.

26. Группа $G\cong M\cong F_1$. В этом случае $\pi (G)=\{2,3,5, 7, 11, 13, 17,19, 23,29, \newline 31, 41, 47, 59, 71\}$. В [4, стр. 234] приведено описание всех максимальных $p$-локальных подгрупп группы $G$. Группа $G$ содержит максимальную подгруппу $59:29$ и порядок всякой $p$-локальной подгруппы группы $G$ для $p\ne 59$ не делится на 59. Отсюда легко следует, что  центр у графа разрешимости группы $G$ (если он не пуст) может состоять лишь из вершины 29. С другой стороны, например, все 41-локальные подгруппы группы $G$ имеют порядок, делящийся только на простые числа 41, 5, 2. Поэтому вершина 29 не смежна с вершиной 41. Отсюда   получаем, что  центр графа $\Gamma_{sol}(G)$ пуст.

Теорема 2 доказана.

\section {Доказательство Теоремы 3.} 

Согласно [6, лемма 1.3] перечень четырепримарных простых групп состоит из следующих групп:
(1) $ A_7, A_8, A_9, A_{10}, M_{11}, M_{12}, J_2, L_2(16), L_2(25), L_2(49),\newline L_2(81),L_3(4), L_3(5), L_3(7), L_3(8),  L_3(17), L_4(3), S_4(4),  S_4(5),  S_4(7), S_4(9), S_6(2),\newline  O_8^+(2), G_2(3), U_3(4), U_3(5), U_3(7), U_3(8), U_3(9),  U_4(3),  U_5(2), Sz(8),  Sz(32),\newline ^3D_4(2), ^2F_4(2)'$.

(2) $L_2(r)$, где $r$ -- простое число, $17\ne r\geq 11, r^2-1=2^a3^bs^c, s>3$ -- простое число, $a,b\in \mathbb N$ и $c$ равно либо $1$, либо  $2$ при $r\in\{97, 577\}$.

(3) $L_2(2^m)$, где $m, 2^m-1$ и $(2^m+1)/3$ -- простые числа, большие 3.

(4) $L_2(3^m)$, где $m$ и $(3^m-1)/2$ нечетные простые числа, а $(3^m+1)/4$ либо равно простому числу, либо $11^2$ (при $m=5$).

\begin{lemma}{\it Пусть $G$ одна из групп $A_7, A_8, A_9, A_{10}, M_{11}, M_{12}, J_2$. Если центр графа $\Gamma_{sol}(G)$ содержит две вершины, то $G$ является одной из следующих групп: $A_8$, $A_9$, $A_{10}$ или $J_2$.}
\end{lemma}

\begin{proof} Из [4] легко следует, что $Z(\Gamma _{sol}(A_7))=\emptyset$ и для групп $A_8, A_9,\newline  A_{10}$ центр их графа разрешимости совпадает со множеством $\{2,3\}$. Для групп $M_{11}, M_{12}, J_2$ доказательство	следует из теоремы 2.
\end{proof}

\begin{lemma}	{\it Пусть $G$ -- конечная простая четырепримарная группа, изоморфная $PSL_2(q)$, где $q=p^m$. Если $|Z(\Gamma_{sol}(G))|=2$, то $p=q>7$ -- простое число Мерсенна и $(p-1)/2$ имеет два различных простых делителя. В последнем случае $p\in \{31, 127\}$}.
\end{lemma}	

\begin{proof}	Сведения о подгрупповом строении групп $L_2(q)$ можно найти  в [9, теорема II.8.27]. Из [6, лемма 1.3] следует, что достаточно рассмотреть следующие случаи. 

(1)  $q=2^m$. Тогда $G$ имеет две  диэдральные подгруппы порядков $2(q\pm 1)$ и силовскую 2-подгруппу порядка $q$. Поэтому $2\in Z(\Gamma_{sol}(G))$. С другой стороны, вершины из $\pi(q+1)$ не инцидентны вершинам из $\pi(q-1)$. Таким образом, $|Z(\Gamma_{sol}(G))|=1$.

(2) $q=3^m$. Тогда в $G$ есть подгруппа $S_4$ и потому вершина 3 смежна с вершиной 2. Так как $G$ содержит диэдральные подгруппы порядков $3^m\pm 1$, то 	$2\in Z(\Gamma_{sol}(G))$. При этом вершины из $\pi(q+1)\setminus \{2\}$ не смежны с вершинами из $\pi (q(q-1)/2)$. Отсюда заключаем, что $|Z(\Gamma_{sol}(G))|=1$.

(3) $q=p$, где $p$ -- простое число, $17\ne p\geq 11, p^2-1=2^a3^bs^c, s>3$ -- простое число, $a,b\in \mathbb N$ и $c$ равно либо $1$, либо  $2$ при $p\in\{97, 577\}$. Пусть сначала $p\equiv 1\pmod 4$, тогда $2\in Z(\Gamma_{sol}(G))$.
При этом вершины из $\pi(q+1)\setminus \{2\}$ не смежны с вершинами из $\pi (q(q-1)/2)$. Отсюда следует, что $|Z(\Gamma_{sol}(G))|=1$. Пусть  $p\equiv -1\pmod 4$. Тогда вершины из $\pi(p+1)\setminus \{2\}$ не смежны с вершинами из $\pi(p(p-1)/2)$. Если $p+1$ не является степенью двойки, то центр графа $\Gamma_{sol}(G)$ пуст. Следовательно, $p=2^r-1$ -- простое число Мерсенна.  Все простые делители числа $(p-1)/2$ содержатся в центре $\Gamma_{sol}(G)$. 
Отметим, что для чисел $p=2^5-1=31$ и $p=2^7-1=127$ имеет место равенство $|Z(\Gamma_{sol}(G))|=2$. Покажем, что при $p>127$ число простых делителей $(p-1)/2$ не меньше 3. В самом деле, $p=2^r-1$ для некоторого простого $r>7$. Так как порядок подгруппы Бореля группы $PSL_2(q)$ равен $p(p-1)/2=p\cdot (2^{r-1}-1)$, то имеются по крайней мере два различных простых  делителя  чисел $2^{r-1}-1$ и $2^{(r-1)/2}-1$. Действительно, имеется примитивный простой делитель ( делитель Жигмонди) $s$ числа $2^{r-1}-1$, причем $s\geq (r-1)+1=r$ и примитивный простой  делитель (делитель Жигмонди) $t$ числа $2^{(r-1)/2}-1$, отличный от $s$ такой, что $t\geq (r-1)/2+1>(7-1)/2+1=4$. Кроме того, очевидно, что число 3 делит $2^{r-1}-1=(2^{(r-1)/2}-1)(2^{(r-1)/2}+1)$. Таким образом, $2^{r-1}-1$ при $r>7$ делится по крайней мере на три различных простых числа.
 
(4) Группа $G$ изоморфна одной из групп $L_2(25)$, $L_2(49)$ или $L_2(81)$. Рассуждениями, аналогичными предыдущим, легко показать, что во всех случаях $Z(\Gamma_{sol}(G))=\{2\}$.

Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{lemma} {\it Пусть $G$ одна из четырепримарных групп, отличных от групп $L_2(q)$ и групп, приведенных в списке леммы 1. Если центр графа $\Gamma_{sol}(G)$ содержит две вершины, то $G\cong S_6(2), G_2(3) , ^2F_4(2)'$ или $O_8^+(2)$.}
\end{lemma}

\begin{proof} Согласно [6, лемма 1.3] необходимо рассмотреть следующие случаи.
	  
1. Группа $G\cong L_3(4)$. Согласно [4, стр. 23], группа $G$ содержит максимальные подгруппы $2^4:A_5$ и $L_2(7)$. Из перечня максимальных подгрупп $G$ следует, что центр графа разрешимости этой группы пуст.

2. Группа $G\cong L_3(5)$. Согласно [4, стр. 38], группа $G$ содержит максимальную разрешимую подгруппу $31:3$ и максимальную подгруппу $5^2:GL_2(5)$. Из перечня максимальных подгрупп группы $G$ следует, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{3\}$.

3. Группа $G\cong L_3(7)$. Согласно [4, стр. 50], группа $G$ содержит максимальную разрешимую подгруппу $19:3$ и максимальную подгруппу $L_2(7):2$. Из перечня максимальных подгрупп группы $G$ следует, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{3\}$.

4. Группа $G\cong L_3(8)$. Согласно [4, стр. 74], группа $G$ содержит максимальные разрешимые подгруппы $73:3$ и $7^2:S_3$. Из перечня максимальных подгрупп группы $G$ следует, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{3\}$.

5. Группа $G\cong L_4(3)$. Согласно [4, стр. 69], группа $G$ содержит максимальные подгруппы $3^3:L_3(3)$ и $U_4(2):2$. Из перечня максимальных подгрупп $G$ следует, что центр графа разрешимости этой группы пуст.

6. Группа $G\cong S_4(4)$. Согласно [4, стр. 44], группа $G$ содержит максимальные  подгруппы $L_2(16):2$ и $2^6:(3\times A_5)$. Из перечня максимальных подгрупп группы $G$ следует, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$.

7. Группа $G\cong S_4(5)$. Согласно [4, стр. 61], группа $G$ содержит максимальные  подгруппы $L_2(25):2_2$ и $S_3\times S_5$. Из перечня максимальных подгрупп группы $G$ следует, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$.

8.  Группа $G\cong S_4(7)$. Из [7, таблица 8.12, таблица 8.13] следует, что в симплектической группе $Sp_4(7)$ имеются максимальные подгруппы $2_{-}^{1+4}.S_5$ и $GL_2(7):2$. Из списка максимальных подгрупп группы  $Sp_4(7)$ легко заключить, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$. 

9. Группа $G\cong S_4(9)$. Из [8, таблица 8.12, таблица 8.13] следует, что в симплектической группе $Sp_4(9)$ имеется максимальная подгруппа $Sp_2(81):2$, поэтому группа $G$ содержит максимальную разрешимую подгруппу $41:4$. Группа $Sp_4(9)$ также содержит максимальную подгруппу $GL_2(9):2$. Из списка максимальных подгрупп группы  $Sp_4(9)$ легко заключить, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2\}$. 

10. Группа $G\cong S_6(2)$. Согласно [4, стр. 46], группа $G$ содержит максимальные  подгруппы $2^6:L_3(2)$ и $S_3\times S_6$. Из перечня максимальных подгрупп группы $G$ следует, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2,3\}$.

11. Группа $G\cong O_8^+(2)$. Согласно [4, стр. 85], группа $G$ содержит максимальную подгруппу $S_6(2)$. Из перечня максимальных подгрупп группы $G$ следует, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{2,3\}$.

12. Группа $G\cong U_3(5)$. Согласно [4, стр. 34], группа $G$ содержит  максимальные  подгруппы $A_7$ и ${A_6}^{\cdot }2_3$. Из перечня максимальных подгрупп группы $G$ следует, что центр графа разрешимости данной группы пуст.

13. Группа $G\cong U_3(8)$. Согласно [4, стр. 66], группа $G$ содержит максимальные разрешимые подгруппы $19:3$ и $2^{3+6}:21$. Из перечня максимальных подгрупп группы $G$ следует, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{3\}$.

14. Группа $G\cong U_3(9)$. Согласно [4, стр. 79], группа $G$ содержит максимальные разрешимые подгруппы $73:3$ и $10^2:S_3$. Из перечня максимальных подгрупп группы $G$ следует, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{3\}$.

15. Группа $G\cong U_4(3)$. Согласно [4, стр. 52], группа $G$ содержит максимальные  подгруппы $A_7$ и $3^4:A_6$. Из перечня максимальных подгрупп группы $G$ следует, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{3\}$.

16. Группа $G\cong U_5(2)$. Согласно [4, стр. 73], группа $G$ содержит максимальные  подгруппы $L_2(11)$ и $2^{4+4}:(3\times A_5)$. Из перечня максимальных подгрупп группы $G$ следует, что $Z(\Gamma _{sol}(G))=\{5\}$.

17. Группа $G\in \{G_2(3), Sz(8), Sz(32), {^3D}_4(2), {^2F}_4(2)^{'}$. Согласно [4, стр. 61], группа $G_2(3)$ содержит максимальные подгруппы $L_2(13)$, $2^3:L_3(2)$ и $L_2(8):3$. Из перечня ее максимальных подгрупп следует, что  $Z(\Gamma _{sol}(G_2(3)))=\{2,3\}$. Остальные группы были рассмотрены в теореме 1. Порядок центра группы ${^2F}_4(2)^{'}$ равен 2, центры остальных групп меньше 2.

Теорема 3 непосредственно следует из лемм 1, 2 и 3.
\end{proof}
\section {Заключительные замечания.} 

{\bf Замечание 1.} Как следует из леммы 3, группы $S_6(2), ^2F_4(2)'$ и $\Omega_8^+(2)$ являются контрпримерами к предположению первого автора о том, что число вершин в центре графа $\Gamma_{sol}(G)$ для группы лиева типа над полем $GF(q)$ характеристики $p$ ограничено числом $q-1$. Вероятно, существует линейная граница для числа вершин в центре графа разрешимости для простой группы лиева типа в терминах поля определения. Как видно из приведенных выше результатов, для исключительных простых групп лиева типа это так.

{\bf Замечание 2.} В работе Б.Амберга и Л.Казарина [11] утверждается что число независимости $t_s(G)$ графа группы $G=B=F_2$ равно 7. Более внимательное изучение показало, что $t_s(G)=6$. Перечислим вершины, входящие в максимальную систему независимых вершин этого графа: $\{ 47,  31, 19, 17, 13, 11\}$.


Работа выполнена при финансовой поддержке ВИП-008 ЯрГУ.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и БРФФИ в рамках научного проекта Ф20Р-291.

Оба автора выражают глубокую признательность рецензенту, внимательным образом изучившего рукопись, обнаружившему ряд неточностей в первоначальной версии статьи и указавшему работу [12], существенно упростившую вычисления в группах $E_6(q)$ и $^2E_6(q)$.

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{1}    Carter R.W.,  {\it Conjugacy classes in the weil group} Compositio Mathematica {\bf 25:1} (1972)1 -- 59.

\bibitem{2} N. V. Maslova, I. N. Belousov, N. A. Minigulov. {\it Open questions formulated at the 13th School–Conference on Group Theory Dedicated to V. A. Belonogov’s 85th Birthday}, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, {\bf 26:3} (2020)275–285. 

\bibitem{3} Abe S.,Iiyori N., {\it A generalization of prime graphs of finite groups}, Hokkaido Math. J. {\bf 29:2} (2000), 391 -- 407.

\bibitem{4} Conway J.H., Curtis R,T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A. {\it Atlas of finite groups} London.: Clarendon, 1985. - 252 p.


\bibitem{5} Liebeck M.W., Saxl J., Seitz G.M., {\it Subgroups of maximal rank in finite exceptional groups of Lie type}, Proc. London Math. Soc. {\bf 65} (1992), 297 -- 325.

\bibitem{6}  Kondrat'ev A.S.,  Khramtsov I. V., {\it On finite tetraprimary groups}, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), {\bf 279, suppl. 1} (2012), 43–61.  

\bibitem{7}  Korableva V.V., {\it, Parabolic permutation representations of the group $^2E_6(q^2)$}, Math. Notes,  {\bf 67:6} (2000), 758 – 770.  

\bibitem{8} Wilson R.A. The finite simple groups. {\it Springer: Graduate text in mathematics}, {\bf 251} -- 2009. 298p. 

\bibitem{9} Huppert B. {\it Endliche Gruppen I}, Berlin, Springer, 1967, Band 134. 793p. 

\bibitem{10} Vasiliev A.V., Vdovin E.P. {\it An adjacency criterion for the prime graph of a finite simple group} Algebra and Logic  {\bf 44:2} (2005), 381 -- 406. 


\bibitem{11} Amberg B.,Kazarin L, {\it On the soluble graph of a finite simple group}, Communications in Algebra {\bf 41} (2013) 2297 -- 2309. 

\bibitem{12} Craven D.A., {\it The maximal subgroups of the exceptional groups $F_4(q), E_6(q)$ and $^2E_6(q)$ and related almost simple groups}, arXiv.2103.04869v2.[math.GR]19 Yul 2021.



\end{thebibliography}
\end{document}
