
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{517.98+530.1} %Here the author places classificators of the paper according to Russian classification system
\def\mscs{60K35, 82B26} %Here the author places  classificators according to the AMS classification list.
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Proposition}
\newtheorem{remark}{Замечание}
\newtheorem{corollary}{Corollary}
\newtheorem{question}{Question}
\newtheorem{ex}{Example}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]  %Headings in Russian
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том **, стр. 144--144 (2021) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}} %Volume, pages in Russian,
                                                                                    %filled by Editorial board
     \newline
         {\rm\small DOI~10.33048/semi.2021.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}
\renewcommand{\proofname}{Proof.}
\renewcommand{\figurename}{Fig.}


\thispagestyle{empty}

\title[Существование слабо периодических мер Гиббса]{Существование слабо периодических мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли порядка три}
\author{{М.М.Рахматуллаев, Ж.Д.Дехконов}}%
\address{Музаффар Мухаммаджанович Рахматуллаев
\newline\hphantom{iii} Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук республики Узбекистан,
Ташкент, Узбекистан, 
\newline\hphantom{iii} ул. Мирзо Улугбек, 81, 
\newline\hphantom{iii}  100170, Ташкент, Узбекистан.}%
\email{mrahmatullaev@rambler.ru}%

\address{Жасурбек Дилмурод угли Дехконов
\newline\hphantom{iii} Андижанский государственный университет,
\newline\hphantom{iii} ул. УНИВЕРСИТЕТСКАЯ, 129,
\newline\hphantom{iii}  170100, Андижан, Узбекистан.}%
\email{dehqonovjasur@bk.ru}%

\thanks{\sc М.М.Рахматуллаев, Ж.Д.Дехконов,
Существование слабо периодических мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли порядка три}

\thanks{\it Received  January, 1, 2021, published  March, 1,  2021.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } The existence of weakly periodic Gibbs measures is proved for the model
Ising on a Cayley tree of order three, relative to the normal divisor of index four.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} Cayley tree, Gibbs measure, Ising model, weakly periodic measure
 \end{quote}
}


\section{Введение}

Каждой мере Гиббса сопоставляется одна фаза физической системы. Если существует более, чем одна мера Гиббса, то говорят, что существуют фазовые переходы. Основная проблема для данного Гамильтониана - описание всех отвечающих ему предельных мер Гиббса. Эти меры, в основном, были трансляционно-инвариантными, либо периодическими с периодом два. Более того, для многих моделей на дереве Кэли доказано, что множество периодических мер Гиббса очень бедно, т. е. существуют периодические гиббсовские меры с периодом два. В работах \cite{UR} -- \cite{3} для модели Изинга описаны трансляционно-инвариантные меры Гиббса на дереве Кэли. Описанию периодических гиббсовских мер для некоторых моделей с конечным числом радиуса взаимодействия, посвящены работы \cite{5} -- \cite{GRS}.

Чтобы получить более широкое множество гиббсовских мер, в работах \cite{*3}-\cite{*16} введены более общие понятия периодической меры Гиббса, т. е. слабо периодические гиббсовские меры и доказано существование таких мер для модели Изинга на дереве Кэли порядка $k\geq4$. В работах \cite{UR}, \cite{7**}, \cite{*16} изучены континуальные множества непериодических мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли.

В работе \cite{GRS} для модели Изинга на дереве Кэли порядка $k\geq2$ найдены новые классы гиббсовских мер, подобных к слабо периодическим.

В работах \cite{11**} и \cite{13**} доказано, что на дереве Кэли порядка $k\geq2$ относительно нормального делителя индекса два не существуют слабо периодические меры Гиббса.

В работах \cite{TMF2014} и \cite{Sibmat2015} изучена слабо периодические меры Гиббса для модели Поттса.

 В данном статье изучаются слабо периодические меры Гиббса для модели Изинга на дерево Кэли порядка три, относительно нормального делителя индекса четыре.

Структура работы: в пункте 2 даются необходимые определения и постановка задачи. Пункт 3 посвящен изучению существования слабо периодических
мер Гиббса на дерево Кэли порядка три.
\section {Определения и постановка задачи}

 Пусть $\tau^{k}=(V,L), k\geq1$~--- дерево Кэли порядка
$k$, т.е бесконечное дерево, из каждой вершины которого выходит
равно $k+1$ ребер, где $V$ --- множество вершин, $L$ --- множество
ребер $\tau^k.$
 Известно, что $\tau^k$ можно представить как $G_k$ --- свободное произведение
 $k+1$ циклических групп второго порядка.
 Для произвольной точки $x^0\in V$ положим $ W_n=\{x\in V|
 d(x^0,x)=n\}$, $
 V_n=\bigcup\limits_{m=0}^nW_m,$ $L_n=\{<x,y>\in L| x,y\in V_n\}$, где $d(x,y)$---расстояние
 между  $x$ и $y$ на дереве Кэли,
 т.е. число ребер пути, соединяющего $x$ и $y$ .

 Пусть $\Phi=\{-1,1\}$ и
$\sigma\in \Omega=\Phi^V$~--- конфигурация, то есть
$\sigma=\{\sigma(x)\in \Phi: x\in V\}$. Пусть $A\subset V$.
Обозначим через $\Omega_A$ пространство конфигураций, определенных
на множестве $A$,  принимающих значения из $\Phi=\{-1,1\}$.

Рассмотрим гамильтониан модели Изинга

\begin{equation}\label{1}
H(\sigma)=-J\sum _{<x,y>\in L}\sigma(x) \sigma(y),
\end{equation}
где $J\in R, <x,y>$ --- ближайшие соседи.

Известно, что каждой мере Гиббса модели Изинга соответствует совокупность величин $h=\{h_x,
x\in G_k \}$ удовлетворяющих,
\begin{equation}\label{2}
h_x=\sum_{y \in S(x)}f(h_y,\theta),
\end{equation} где $S(x)$---
множество  \textit{прямых потомков}, точки $x\in V$ и
$f(x,\theta)=arcth(\theta thx)$,  \\ $\theta=th(J\beta)$,
 $\beta=\frac{1}{T}, T>0$ температура (см.\cite{UR}-\cite{3}).

Пусть $G_k/\widehat{G}_k=\{H_1,...,H_r\}$ --- фактор группа, где
$\widehat{G}_k$~--- нормальный делитель индекса $r\geq 1.$ Для $x\in G_k $ обозначим через $x_{\downarrow} =\{y\in
G_k:<x,y>\}\backslash S(x)$.

\begin{definition} Совокупность величин
$h=\{h_x,x\in G_k\}$ называется $\widehat{G}_k$-\textit{периодической}
($\widehat{G}_k$-\textit{слабо периодической}), если $h_x=h_{i}$, при $x\in H_i$
($h_x=h_{ij}$, при $x\in H_i, x_{\downarrow}\in H_j$) для $\forall
x\in G_k$. $G_k$-периодическая мера
называется \textit{трансляционно-инвариантной мерой}.
\end{definition}


\begin{definition} Говорят, что мера $\mu$ является
$\widehat{G}_k$-\textit{(слабо) периодической}, если она
соответствует $\widehat{G}_k$-(слабо) периодической совокупности
величин $h$.
\end{definition}

Цель работы--- описать множество слабо периодических гиббсовских мер
для модели Изинга на дереве Кэли порядка три.

\section {Слабо периодические меры}

Отметим, что слабо периодические меры Гиббса зависят от выбора нормального делителя.

Пусть  $A\subset \{1,2,...,k+1\}$ и $H_{A}=\{x\in G_k:\sum_{i\in A}w_x(a_i)-$четно$\}$, где $w_x(a_i)-$ число буквы $a_i$ в слове $x\in G_k$,
$G^{(2)}_k=\{x\in G_k:|x|-$ четно $\}$ и
$G_k^{(4)}=H_{A}\bigcap G^{(2)}_k $--
 -- соответствующий ему
нормальный делитель индекса $4$.

Рассмотрим фактор группу $G_k/G^{(4)}_k=\{H_0, H_1, H_2, H_3\},$  где \\
$ H_0=\{x\in G_k: \sum_{i\in A}w_x(a_i)-$ четно,$ |x|-$ четно $\},\\ $
$H_1=\{x\in G_k: \sum_{i\in A}w_x(a_i)-$ нечетно,$ |x|-$ четно $\},\\ $
$H_2=\{x\in G_k: \sum_{i\in A}w_x(a_i)-$ четно,$ |x|-$ нечетно $\},\\ $
$H_3=\{x\in G_k: \sum_{i\in A}w_x(a_i)-$ нечетно,$ |x|-$ нечетно $\}.\\ $


Тогда, в силу (\ref{2}), $G^{(4)}_k$-слабо периодическая совокупность $h$ имеет
вид

\begin{equation}\label{3}
h_x=\left\{%
\begin{array}{ll}
    h_1 , & {x \in H_3, \ x_{\downarrow} \in H_1}, \\
    h_2 , & {x \in H_1, \ x_{\downarrow} \in H_3}, \\
    h_3 , & {x \in H_3, \ x_{\downarrow} \in H_0}, \\
    h_4 , & { x\in H_0, \ x_{\downarrow} \in H_3}, \\
    h_5 , & { x\in H_1, \ x_{\downarrow} \in H_2}, \\
    h_6 , & { x\in H_2, \ x_{\downarrow} \in H_1}, \\
    h_7 , & { x\in H_2, \ x_{\downarrow} \in H_0}, \\
    h_8 , & { x\in H_0, \ x_{\downarrow} \in H_2}, \\
\end{array}%
\right.\end{equation}
где $h_{j},j=\overline{1,8}$ удовлетворяет систему
уравнений:
\begin{equation}\label{4}
\left\{%
\begin{array}{ll}
    h_{1}=(k-i)f(h_{2},\theta)+if(h_{4},\theta), \\
    h_{2}=(k-i)f(h_{1},\theta)+if(h_{6},\theta), \\
    h_{3}=(k-i+1)f(h_{2},\theta)+(i-1)f(h_{4},\theta),  \\
    h_{4}=(k-i+1)f(h_{7},\theta)+(i-1)f(h_{3},\theta), \\
    h_{5}=(k-i+1)f(h_{1},\theta)+(i-1)f(h_{6},\theta), \\
    h_{6}=(k-i+1)f(h_{8},\theta)+(i-1)f(h_{5},\theta), \\
    h_{7}=(k-i)f(h_{8},\theta)+if(h_{5},\theta), \\
    h_{8}=(k-i)f(h_{7},\theta)+if(h_{3},\theta),\\
\end{array}%
\right.\end{equation}
здесь $i=|A|$~--- мощность множества $A$.

Пользуясь тем, что $f(h,\theta)=arcth(\theta th
h)=\frac{1}{2}\ln\frac{(1+\theta)e^{2h}+(1-\theta)}{(1-\theta)e^{2h}+(1+\theta)},$
и обозначая $\alpha=\frac{1-\theta}{1+\theta}$, $z_i=e^{2h_i}$, где $ i=\overline{1,4}$, из (\ref{4})
получим следующую систему уравнений
\begin{equation}\label{5}
\left\{%
\begin{array}{ll}
    z_{1}=(\varphi(z_{2}))^{k-i}\cdot(\varphi(z_{4}))^i, \\
    z_{2}=(\varphi(z_{1}))^{k-i}\cdot(\varphi(z_{6}))^i, \\
    z_{3}=(\varphi(z_{2}))^{k-i+1}\cdot(\varphi(z_{4}))^{i-1},  \\
    z_{4}=(\varphi(z_{7}))^{k-i+1}\cdot(\varphi(z_{3}))^{i-1}, \\
    z_{5}=(\varphi(z_{1}))^{k-i+1}\cdot(\varphi(z_{6}))^{i-1}, \\
    z_{6}=(\varphi(z_{8}))^{k-i+1}\cdot(\varphi(z_{5}))^{i-1}, \\
    z_{7}=(\varphi(z_{8}))^{k-i}\cdot(\varphi(z_{5}))^i, \\
    z_{8}=(\varphi(z_{7}))^{k-i}\cdot(\varphi(z_{3}))^i,\\
\end{array}%
\right.\end{equation}
где $$\varphi(z)=\frac{z+\alpha}{\alpha z+1}.$$
Запишем систему уравнений (\ref{5}) в виде
\begin{equation}\label{6}
\left\{%
\begin{array}{ll}
    z_{1}=(\varphi(z_{2}))^k\cdot\left(\frac{\varphi(z_{4})}{\varphi(z_{2})}\right)^{i}, \\
    z_{2}=(\varphi(z_{1}))^k\cdot\left(\frac{\varphi(z_{6})}{\varphi(z_{1})}\right)^{i},  \\
    z_{3}=(\varphi(z_{2}))^k\cdot\left(\frac{\varphi(z_{4})}{\varphi(z_{2})}\right)^{i-1},   \\
    z_{4}=(\varphi(z_{7}))^k\cdot\left(\frac{\varphi(z_{3})}{\varphi(z_{7})}\right)^{i-1},  \\
    z_{5}=(\varphi(z_{1}))^k\cdot\left(\frac{\varphi(z_{6})}{\varphi(z_{1})}\right)^{i-1},  \\
    z_{6}=(\varphi(z_{8}))^k\cdot\left(\frac{\varphi(z_{5})}{\varphi(z_{8})}\right)^{i-1},  \\
    z_{7}=(\varphi(z_{8}))^k\cdot\left(\frac{\varphi(z_{5})}{\varphi(z_{8})}\right)^{i},  \\
    z_{8}=(\varphi(z_{7}))^k\cdot\left(\frac{\varphi(z_{3})}{\varphi(z_{7})}\right)^{i}.\\
\end{array}%
\right.\end{equation}

Разделив в этой системе уравнений первое уравнение на третье, второе на пятое, шестое на седьмое, четвертое на восьмое, получим следующую систему уравнений:
$$
\left\{%
\begin{array}{ll}
    \frac{z_{1}}{z_{3}}=\frac{\varphi(z_{4})}{\varphi(z_{2})},\\
    \frac{z_{2}}{z_{5}}=\frac{\varphi(z_{6})}{\varphi(z_{1})},\\
    \frac{z_{6}}{z_{7}}=\frac{\varphi(z_{8})}{\varphi(z_{5})},\\
    \frac{z_{4}}{z_{8}}=\frac{\varphi(z_{7})}{\varphi(z_{3})},\\
\end{array}%
\right.
$$

Используя эти соотношения, систему (\ref{6}) можно записать так:

\begin{equation}\label{7}
\left\{%
\begin{array}{ll}
    z_{1}=(\varphi(z_{2}))^k\cdot\left(\frac{z_{1}}{z_{3}}\right)^{i}, \\
    z_{2}=(\varphi(z_{1}))^k\cdot\left(\frac{z_{2}}{z_{5}}\right)^{i},  \\
    z_{3}=(\varphi(z_{2}))^k\cdot\left(\frac{z_{1}}{z_{3}}\right)^{i-1},   \\
    z_{4}=(\varphi(z_{7}))^k\cdot\left(\frac{z_{8}}{z_{4}}\right)^{i-1},  \\
    z_{5}=(\varphi(z_{1}))^k\cdot\left(\frac{z_{2}}{z_{5}}\right)^{i-1},  \\
    z_{6}=(\varphi(z_{8}))^k\cdot\left(\frac{z_{7}}{z_{6}}\right)^{i-1},  \\
    z_{7}=(\varphi(z_{8}))^k\cdot\left(\frac{z_{7}}{z_{6}}\right)^{i},  \\
    z_{8}=(\varphi(z_{7}))^k\cdot\left(\frac{z_{8}}{z_{4}}\right)^{i}.\\
\end{array}%
\right.\end{equation}
Из первого уравнения системы (\ref{7}) найдем $z_3$, из второго - $z_5$, из седьмого - $z_6$, из восьмого $z_4$ и, подставив их в восьмое, седьмое, второе и первое уравнения системы (\ref{5}) соответственно, получим

\begin{equation}\label{8}
\left\{%
\begin{array}{ll}
    z_{1}=\left(\varphi\left(z_{8}^{\frac{i-1}{i}}\cdot\left(\varphi(z_7)\right)^{\frac{k}{i}}\right)\right)^i\cdot\left(\varphi(z_2)\right)^{k-i}, \\
    z_{2}=\left(\varphi\left(z_{7}^{\frac{i-1}{i}}\cdot\left(\varphi(z_8)\right)^{\frac{k}{i}}\right)\right)^i\cdot\left(\varphi(z_1)\right)^{k-i}, \\
    z_{7}=\left(\varphi\left(z_{2}^{\frac{i-1}{i}}\cdot\left(\varphi(z_1)\right)^{\frac{k}{i}}\right)\right)^i\cdot\left(\varphi(z_8)\right)^{k-i}, \\
    z_{8}=\left(\varphi\left(z_{1}^{\frac{i-1}{i}}\cdot\left(\varphi(z_2)\right)^{\frac{k}{i}}\right)\right)^i\cdot\left(\varphi(z_7)\right)^{k-i}.\\
\end{array}%
\right.\end{equation}

Рассмотрим отображение $W:R^4\rightarrow R^4$,
определенное следующим образом:
\begin{equation}\label{9}
\left\{%
\begin{array}{ll}
    z'_{1}=\left(\varphi\left(z_{8}^{\frac{i-1}{i}}\cdot\left(\varphi(z_7)\right)^{\frac{k}{i}}\right)\right)^i\cdot\left(\varphi(z_2)\right)^{k-i}, \\
    z'_{2}=\left(\varphi\left(z_{7}^{\frac{i-1}{i}}\cdot\left(\varphi(z_8)\right)^{\frac{k}{i}}\right)\right)^i\cdot\left(\varphi(z_1)\right)^{k-i}, \\
    z'_{7}=\left(\varphi\left(z_{2}^{\frac{i-1}{i}}\cdot\left(\varphi(z_1)\right)^{\frac{k}{i}}\right)\right)^i\cdot\left(\varphi(z_8)\right)^{k-i}, \\
    z'_{8}=\left(\varphi\left(z_{1}^{\frac{i-1}{i}}\cdot\left(\varphi(z_2)\right)^{\frac{k}{i}}\right)\right)^i\cdot\left(\varphi(z_7)\right)^{k-i}.\\
\end{array}%
\right.\end{equation}

Легко доказать следующую лемму.

\begin{lemma}\it Отображение $W$ имеет следующие инвариантные
множества
$$
I_1 =\{z\in R^4: z_1=z_2=z_7=z_8\},\ \ I_2=\{z\in R^4: z_1=z_7; z_2=z_8\},
$$
$$
I_3 =\{z\in R^4: z_1=z_2;
z_7=z_8\}, \ \ I_4=\{z\in R^4: z_1=z_8;
z_2=z_7\}.
$$\end{lemma}

\begin{remark}
Из определений 1 и 2 следует, что в случае $I_2$ (или $I_j$, $j=3,4$) слабо периодическая совокупность величин не совпадает с периодической,
если хотя бы одно из равенств $z_1=z_3, z_2=z_5, z_4=z_8, z_6=z_7$ не выполняется.
\end{remark}

\begin{lemma}\label{L2}
Если на инвариантных множествах $I_j, j=2,3,4$ существуют слабо периодические меры Гиббса, то они являются либо
трансляционно-инвариантными, либо слабо периодическими (не периодическими).
\end{lemma}

\begin{proof}
Рассмотрим инвариантное множество $I_3$. Пусть $z_1=z_2; z_7=z_8$. Из (\ref{5}) имеем $z_4=z_6; z_3=z_5.$
Если $z_1=z_3$, тогда имеем $z_2=z_5$. Из равенства $z_2=z_5$ и из второго и пятого уравнений системы (\ref{5}) получим $z_1=z_6.$ Из равенства $z_1=z_3$ и
из первого и третьего уравнений системы (\ref{5}) получим $z_2=z_4.$ Следовательно, $z_1=z_2=z_3=z_4=z_5=z_6=z_7=z_8$, т.е. соответствующие меры Гиббса
являются трансляционно-инвариантными. Если $z_1\neq z_3$, то ясно, что соответствующие меры Гиббса являются слабо периодическими.
В остальных случаях $I_j, j=2,4$ лемма доказывается аналогичным образом.
\end{proof}

\begin{theorem} Для модели Изинга  все $G_{k}^{(4)} $ -- слабо периодические меры Гиббса, соответствующие совокупности величин из $I_{1} $, являются трансляционно-инвариантными.
\end{theorem}
\textbf{Доказательство.} Очевидно.

\begin{theorem}\label{thm2}  Пусть $ i=1.$ При $k=3$ существуют критические значения $\alpha _{cr} =2,\alpha _{c} =\frac{\sqrt{3\sqrt{46} -2-\sqrt{402-12\sqrt{46} } } }{2} \left(\approx 0.33\right)$ такие, что для модели Изинга:

a)  При $\alpha \in \left(0,\alpha _{c} \right)\cup \left(\alpha _{cr} ,\alpha _{c}^{-1} \right)-$ существуют не менее три $G^{(4)}_{k}$ -слабо периодические  меры Гиббса;

b)  При $\alpha \in \left[\alpha _{c} ,\alpha _{cr} \right]\cup \left\{\alpha _{cr}^{-1} \right\}-$ существует не менее одно $G^{(4)}_{k}$ - слабо периодическая  мера Гиббса;

c)  При $\alpha \in \left(\alpha _{cr}^{-1} ,+\infty \right)-$ существуют не менее пять $G^{(4)}_{k}$ - слабо периодические  меры Гиббса;
\end{theorem}

\textbf{Доказательство.}

 Пусть $k=3, i=1,\, \, \alpha _{cr} =2 ,\alpha _{c} =\frac{\sqrt{3\sqrt{46} -2-\sqrt{402-12\sqrt{46} } } }{2} \left(\approx 0.33\right)$. Учитывая $\varphi (z)=\frac{z+\alpha }{\alpha z+1} $ и на $I_{2} $ из системы уравнений (\ref{8}) получим:
\begin{equation} \label{10}
\left\{\begin{array}{l} {z_{1} =\varphi \left(\varphi ^{3} \left(z_{1} \right)\right)\cdot \varphi ^{2} \left(z_{2} \right),} \\
{z_{2} =\varphi \left(\varphi ^{3} \left(z_{2} \right)\right)\cdot \varphi ^{2} \left(z_{1} \right).} \end{array}\right.
\end{equation}
Отметим, что $\alpha >0\, $. Введем обозначение $x=\frac{z_{1} +\alpha }{\alpha z_{1} +1} , y=\frac{z_{2} +\alpha }{\alpha z_{2} +1} $. Тогда из (\ref{10}) получим следующую систему уравнений \textbf{}
\begin{equation} \label{11}
\left\{\begin{array}{l} {x^{2} =\psi(y),} \\
{y^{2} =\psi(x),} \end{array}\right.
\end{equation}
где $\psi(x)=(\frac{x-\alpha }{1-\alpha x} )\cdot (\frac{\alpha x^{3} +1}{x^{3} +\alpha } ).$
Очевидно, что при $\alpha$ котором $\psi(x)<0$ или $\psi(y)<0$ система уравнений (\ref{11}) не имеет решение.

Чтобы найти слабо периодическую меру Гиббса, не являющейся трансляционно-инвариантной, надо найти корни
\begin{equation} \label{12}
x^{2} -\psi(\sqrt{\psi(x)})=0,
\end{equation}
отличающийся от корней уравнения
\begin{equation} \label{13}
x^{2} -\psi(x)=0.
\end{equation}
Легко видеть, что уравнения (\ref{12}) и (\ref{13}) соответственно равносильны к следующим уравнениям
\begin{equation} \label{14} [x-1] \cdot [x+1]\cdot [x^{2} +1]\cdot [\alpha x^{2} -x+\alpha ]\cdot [x^{2} -\alpha x+1]\cdot \end{equation}
\[\cdot [(\alpha ^{2} +1)x^{4} +2ax^{3} +2ax+a^{2} +1]\cdot [(\alpha ^{2} +1)x^{4} -6\alpha x^{3} +4(\alpha ^{2} +1)x^{2} -6\alpha x+\alpha ^{2} +1]\cdot\]
 \[ \cdot[\alpha ^{4} x^{20} -(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{19} +3\alpha ^{4} x^{18} +3(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{17} -(4\alpha ^{6} -5\alpha ^{4} +4\alpha ^{2} )x^{16} -12(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{15} +\]
 \[+(16\alpha ^{6} +52\alpha ^{4} +16\alpha ^{2} )x^{14} -(8\alpha ^{7} +44\alpha ^{5} +44\alpha ^{3} +8\alpha )x^{13} +(8\alpha ^{6} +2\alpha ^{4} +8\alpha ^{2} )x^{12} +\] \[+(8\alpha ^{7} +54\alpha ^{5} +54\alpha ^{3} +8\alpha )x^{11} -(4\alpha ^{8} +40\alpha ^{6} +118\alpha ^{4} +40\alpha ^{2} +4)x^{10} +\]
\[+(8\alpha ^{7} +54\alpha ^{5} +54\alpha ^{3} +8\alpha )x^{9} +(8\alpha ^{6} +2\alpha ^{4} +8\alpha ^{2} )x^{8} -(8\alpha ^{7} +44\alpha ^{5} +44\alpha ^{3} +8\alpha )x^{7} +\] \[+(16\alpha ^{6} +52\alpha ^{4} +16\alpha ^{2} )x^{6} -12(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{5} -(4\alpha ^{6} -5\alpha ^{4} +4\alpha ^{2} )x^{4} +\]
\[ +3(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{3} +3\alpha ^{4} x^{2} -(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x+\alpha ^{4} ]=0,\]

\begin{equation} \label{15}
(x-1)(x+1)(x^{2} +1)(\alpha x^{2} -x+\alpha )=0.
\end{equation}

Из выше сказанного, для слабо периодических мер Гиббса, не являющейся трансляционно-инвариантной,  получим следующее уравнение:
\begin{equation} \label{16} [x^{2} -\alpha x+1]\cdot [(\alpha ^{2} +1)x^{4} +2\alpha x^{3} +2\alpha x+\alpha^{2} +1]\cdot \end{equation}
\[\cdot [(\alpha ^{2} +1)x^{4} -6\alpha x^{3} +4(\alpha ^{2} +1)x^{2} -6\alpha x+\alpha ^{2} +1]\cdot \]
\[\cdot[\alpha ^{4} x^{20} -(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{19} +3\alpha ^{4} x^{18} +3(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{17} -(4\alpha ^{6} -5\alpha ^{4} +4\alpha ^{2} )x^{16} -12(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{15} +\]

$+(16\alpha ^{6} +52\alpha ^{4} +16\alpha ^{2} )x^{14} -(8\alpha ^{7} +44\alpha ^{5} +44\alpha ^{3} +8\alpha )x^{13} +(8\alpha ^{6} +2\alpha ^{4} +8\alpha ^{2} )x^{12} +$
\[+(8\alpha ^{7} +54\alpha ^{5} +54\alpha ^{3} +8\alpha )x^{11} -(4\alpha ^{8} +40\alpha ^{6} +118\alpha ^{4} +40\alpha ^{2} +4)x^{10} +\]
\[+(8\alpha ^{7} +54\alpha ^{5} +54\alpha ^{3} +8\alpha )x^{9} +(8\alpha ^{6} +2\alpha ^{4} +8\alpha ^{2} )x^{8} -(8\alpha ^{7} +44\alpha ^{5} +44\alpha ^{3} +8\alpha )x^{7} +\] \[+(16\alpha ^{6} +52\alpha ^{4} +16\alpha ^{2} )x^{6} -12(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{5} -(4\alpha ^{6} -5\alpha ^{4} +4\alpha ^{2} )x^{4} +\]
\[ +3(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{3} +3\alpha ^{4} x^{2} -(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x+\alpha ^{4}]=0\]


Далее, рассмотрим выражения в первой скобке левой части (\ref{16}). Оно равняется нулю, только при
\begin{equation} \label{17}
x_{1,2} =\frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha ^{2} -4} }{2}.
\end{equation}
Легко проверить, что $x_{1,2} $ при  $\alpha >2=\alpha _{cr} $ получают положительные значения.

 Вторую скобку (\ref{16}) перепишем в следующем виде
\[(\alpha ^{2} +1)x^{4} +2\alpha x^{3} +2\alpha x+\alpha^{2} +1=0\]
Очевидно, что от последного уравнения при $\alpha >0$  не имеет положительного корня.

Теперь будем расмотреть выражения в третьем скобке и будемь искать все положительные корни уравнения 4-го порядка.
\begin{equation} \label{18}
(\alpha ^{2} +1)x^{4} -6\alpha x^{3} +4(\alpha ^{2} +1)x^{2} -6\alpha x+\alpha ^{2} +1=0.
\end{equation}

(\ref{18})  симметричная уравнения, для решения уравнение такого типа  воспользуемся   следующей заменой  переменных
\begin{equation} \label{19}
x+\frac{1}{x} =t ,
\end{equation}
и  из  уравнение (\ref{18}) получим квадратное уравнение вида (\ref{20}).


\begin{equation} \label{20}
t^{2} -\frac{6}{\left(\alpha +\frac{1}{\alpha } \right)} t+2=0
\end{equation}

 Здесь для выражения знаменателя  второго коэффициента выполняются следующая условия $\alpha +\frac{1}{\alpha } \ge 2$, так как $\alpha>0$.

Пусть $\alpha +\frac{1}{\alpha } =2$, тогда уравнения (\ref{20}) имеет решения $t_{1} =2, t_{2} =1$. Из $x>0$ и (\ref{19}) имеем $t\ge 2$. При $t=2$ следует $x=1$. Заметим, что для $x=1$,$\alpha =1$  соответствует трансляционно-инвариантная мера Гиббса.

Пуст $\alpha +\frac{1}{\alpha } >2$, тогда из (\ref{20}) получим  $t^{2} -lt+2=0$, где $l<3$.

 Легко проверить, что последние квадратные уравнения имеют решения которые меньше  2 (если существуют). Но по (\ref{19}) $t\ge 2$. Следовательно, при $\alpha +\frac{1}{\alpha } >2$, уравнение (\ref{18}) не имеет положительного решения.

 Выражения четвертой скобки многочлен 20-го порядка тоже симметрично относительно от коэффицентов.
\begin{equation} \label{21} \alpha ^{4} x^{20} -(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{19} +3\alpha ^{4} x^{18} +3(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{17} -(4\alpha ^{6} -5\alpha ^{4} +4\alpha ^{2} )x^{16} -\end{equation}

$-12(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{15} ++(16\alpha ^{6} +52\alpha ^{4} +16\alpha ^{2} )x^{14} -(8\alpha ^{7} +44\alpha ^{5} +44\alpha ^{3} +8\alpha )x^{13} +$
\[+(8\alpha ^{6} +2\alpha ^{4} +8\alpha ^{2} )x^{12} +(8\alpha ^{7} +54\alpha ^{5} +54\alpha ^{3} +8\alpha )x^{11} -(4\alpha ^{8} +40\alpha ^{6} +118\alpha ^{4} +40\alpha ^{2} +4)x^{10} +\]
\[+(8\alpha ^{7} +54\alpha ^{5} +54\alpha ^{3} +8\alpha )x^{9} +(8\alpha ^{6} +2\alpha ^{4} +8\alpha ^{2} )x^{8} -(8\alpha ^{7} +44\alpha ^{5} +44\alpha ^{3} +8\alpha )x^{7} +\] \[+(16\alpha ^{6} +52\alpha ^{4} +16\alpha ^{2} )x^{6} -12(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{5} -(4\alpha ^{6} -5\alpha ^{4} +4\alpha ^{2} )x^{4} +\]
\[+3(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x^{3} +3\alpha ^{4} x^{2} -(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )x+\alpha ^{4} =0.\]


Воспользуемся   следующей заменой  переменных
\begin{equation} \label{22}
x+\frac{1}{x} =\xi.
\end{equation}

  После замене переменных из  уравнения (\ref{21}) получим следующие уравнения 10-го порядка.
\[\alpha ^{4} \xi ^{10} -(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )\xi ^{9} -7\alpha ^{4} \xi ^{8} +(12\alpha ^{5} +12\alpha ^{3} )\xi ^{7} -\left(4\alpha ^{6} -22\alpha ^{4} +4\alpha ^{2} \right)\xi ^{6} -\]
\[-(60\alpha ^{5} +60\alpha ^{3} )\xi ^{5} +(40\alpha ^{6} +32\alpha ^{4} +40\alpha ^{2} )\xi ^{4} -(8\alpha ^{7} -88\alpha ^{5} -88\alpha ^{3} +8\alpha )\xi ^{3} -\]
\[-(92\alpha ^{6} +184\alpha ^{4} +92\alpha ^{2} )\xi ^{2} +(32\alpha ^{7} +96\alpha ^{5} +96\alpha ^{3} +32\alpha )\xi -(4\alpha ^{8} +24\alpha ^{6} +14\alpha ^{4} +24\alpha ^{2} +4)=0.\]

 Введем обозначение
\begin{equation}
\label{23} g(\xi,\alpha )=\alpha ^{4} \xi ^{10} -(\alpha ^{5} +\alpha ^{3} )\xi ^{9} -7\alpha ^{4} \xi ^{8} +(12\alpha ^{5} +12\alpha ^{3} )\xi ^{7} -(4\alpha ^{6} -22\alpha ^{4} +4\alpha ^{2} )\xi ^{6} -
\end{equation}
\[-(60\alpha ^{5} +60\alpha ^{3} )\xi ^{5} +(40\alpha ^{6} +32\alpha ^{4} +40\alpha ^{2} )\xi ^{4} -(8\alpha ^{7} -88\alpha ^{5} -88\alpha ^{3} +8\alpha )\xi ^{3} -(92\alpha ^{6} +184\alpha ^{4} +92\alpha ^{2} )\xi ^{2} +\]
\[+(32\alpha ^{7} +96\alpha ^{5} +96\alpha ^{3} +32\alpha )\xi -(4\alpha ^{8} +24\alpha ^{6} +14\alpha ^{4} +24\alpha ^{2} +4)\]


  Легко проверить, что $g(2,\alpha)<0$  при $\alpha \in {\rm E} =(0,\alpha_{c} )\cup (\alpha^{-1}_{c} ,+\infty )$.

Действительно,предположим
$$g(2,\alpha)=-4\alpha ^{8} -8\alpha ^{6} +402\alpha ^{4} -8\alpha ^{2} -4<0.$$

Отсюда получим,
\begin{equation} \label{24}
4(\alpha ^{4} +\frac{1}{\alpha ^{4} } )+8(\alpha ^{2} +\frac{1}{\alpha ^{2} } )-402>0,
\end{equation}
Введем обозначение $\alpha ^{2} +\frac{1}{\alpha ^{2} } =t, \alpha ^{4} +\frac{1}{\alpha ^{4} } =t^{2} -2.$ Тогда (\ref{24}) имеет следующий вид

\begin{equation} \label{25}
2t^{2} +4t-205>0.
\end{equation}
Решив (\ref{25}) и учытивая $\alpha ^{2} +\frac{1}{\alpha ^{2} } =t$ . Получим следуюшие
${\rm E} =(0,\alpha_{c} )\cup (\alpha^{-1}_{c} ,+\infty ),$ т.е при $\alpha\in\rm E$ выполняется $g(2,\alpha)<0.$

Так как, $\mathop{\lim }\limits_{\xi \to +\infty } g(\xi ,\alpha)=+\infty $. Отсюда получим, что уравнение (\ref{23}) при $\alpha \in {\rm E} $ имеет хотя бы одно решение которое больще 2. Из (\ref{22}) получим, что уравнение (\ref{21}) при $\alpha \in {\rm E} $ имеет два положительного решения.

Заключение: Система уравнений (\ref{10}) при $0<\alpha \le \alpha _{c} $ имеет хотя бы трех положительных $(1,1),(z_{3}^{(1)} ,z_{4}^{(1)} ),(z_{3}^{(2)} ,z_{4}^{(2)} )$ решений, при $\alpha _{c} \le \alpha \le 2$ одна положительная  $(1,1)$ решения, при  $2<\alpha <\alpha _{c}^{-1} $ хотя бы трех положительных $(1,1),(z_{1}^{(1)} ,z_{2}^{(1)} ),(z_{1}^{(2)} ,z_{2}^{(2)} )$ решений, при $\alpha >\alpha _{c}^{-1} $ хотя бы пять  положительных $(1,1),(z_{1}^{(1)} ,z_{2}^{(1)} ),(z_{1}^{(2)} ,z_{2}^{(2)} )$, $(z_{3}^{(1)} ,z_{4}^{(1)} ),(z_{3}^{(2)} ,z_{4}^{(2)})$ решений.

\textbf{Теорема  доказана.}

\textbf{Замечание 2.} 1) В теореме \ref{thm2} одна из $G^{(4)}_{k}$-слабо периодических мер является трансляционно-инвариантной. Все остальные меры являются $G^{(4)}_{k}$-слабо периодическими (не трансляционно-инвариантными).

2) Заметим, что слабо периодическая мера Гиббса зависит от выбора нормального делителя группы $G_{k} .$ В случае $|A|=k+1$ соответствующий нормальный делитель $G_{k}^{(4)} $ совпадает с $G_{k}^{(2)} $, что и есть нормальный делитель индекса два, а в этом случае слабо периодическая мера Гиббса совпадает с периодической, которая была изучена в работе \cite{5}.

\bigskip
\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{UR} U.A.Rozikov,
{\it Gibbs measures on Cayley trees}, World scientific.,2013.

\bibitem{1} П.М.Блехер, Н.Н.Ганиходжаев {\it ТВП}, \textbf{35}:2 (1990), 220-230.

\bibitem{2} F.Spitzer  {\it Ann. Prob.}, \textbf{3} (1975), 387-398.

\bibitem{3} S.Zachary, {\it Ann. Prob.}, \textbf{11}:4 (1983), 894-903.

\bibitem{5} У.А.Розиков  {\it ТМФ}, \textbf{112}:1 (1997),170-176.

\bibitem{6} У.А.Розиков  {\it ТМФ}, \textbf{118}:1 (1999),95-104.

\bibitem{7} U.A.Rozikov, Yu.M.Suhov  {\it Inf. Dim. Anal.Quant.Prob.} \textbf{9}:3 (2006), 471-488.

\bibitem{8} J.B.Martin, U.A.Rozikov, Yu.M.Suhov  {\it Journal Nonlinear Mathematical Physics } \textbf{12}:3 (2005), 432-448.

\bibitem{9} У.А.Розиков,  {\it Сибирский МЖ} \textbf{39}:2 (1998), 427-435.

\bibitem{10} F.M.Mukhamedov,  U.A.Rozikov,  {\it Jour. Stat. Phys.} \textbf{114}:3/4 (2004), 825-848.

\bibitem{GRS} D.Gandolfo, J.Ruiz, S.Shlosman.  {\it Journal of Statistical Physics, Springer Verlag,} 2012, 148 (06), pp.999-1005

\bibitem{7**} У.А.Розиков, М.М.Рахматуллаев, {\it ТМФ}, \textbf{156}:2 (2008), 292--302.

\bibitem{11**} М.М.Рахматуллаев, {\it Известия вузов. Математика.}  \textbf{11}, (2015), 54-63.

\bibitem{12**} М.М.Рахматуллаев, {\it ТМФ}, \textbf{183}:3 (2015), 434--440.

\bibitem{13**} M.M.Rahmatullaev  {\it Journal of Physics: Conference series.} \textbf{697} (2016), 012020.

\bibitem{*3} Малышев В.А., Минлос Р.А. {\it Гиббсовские случайные поля} (Наука.М., 1985).

\bibitem{*4} Рюэль Д. {\it Статистическая механика} (Мир.М., 1971).

\bibitem{*15} de Jongh L.J., Miedema A.R. {\it Experiments on simple magnetic model systems,} Adv. Phys. \textbf{23}(1),
    1--260 (1974).

\bibitem{*16} Фейман Р. {\it Статистическая механика} (Мир.М., 1978).

\bibitem{TMF2014} Рахматуллаев М. М. Существование слабо периодических мер Гиббса для модели Поттса
    на дереве Кэли // Теор. и мат. физика. 2014. Т. 180, № 3. С. 1018--1028.

\bibitem{Sibmat2015} Рахматуллаев М. М. Слабо периодических мер Гиббса для ферромагнитной модели Поттса на дереве Кэли // Сибирский математический журнал
  2015. Том 56, № 5. С. 1163--1170.

\end{thebibliography}
\end{document}
