
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{517.958} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{35A01} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Обратная задача об определении ядра...]{  Обратная задача об определении ядра  интегро-дифференциального волнового уравнения с распределенными данными в ограниченной области}
\author{{Ж.Ш. САФАРОВ}}%
\address{Jurabek Shakarovich Safarov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan,
\newline\hphantom{iii} Universitet str., 4b,
\newline\hphantom{iii} 100170, Tashkent, Uzbekistan}%
\email{j.safarov65@mail.ru}%

\thanks{\sc Safarov, J.Sh.,
An inverse problem of determining the kernel of an integro-differential wave equation with distributed data in a limited area}
\thanks{\copyright \ 2015 Сафаров Ж.Ш}

\thanks{\it Поступила  января 2021 г., опубликована  2021 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } We consider the integro-differential equation of hyperbolic type in the domain $D=\{(x,t)\mid 0<x<l,   t>0\}$ bounded in the variable $x$. First, the direct problem is investigated. In this case, we obtain the necessary conditions for these tasks. By the reflection method, we obtain an integral equation for $u(x,t)$ . For the direct problem, the inverse problem of determining the kernel of an integral term of an integro-differential equation is studied on the basis of the available additional information about the solution of the direct problem for $x=0$. Differen-tiating three times by $t$ the obtained integral equation with respect to $u(x,t)$  and using an additional condition, the solution of the inverse problem reduces to solving a system of integral equations for unknown functions.  The contraction mapping principle is applied to this system in the space of continuous functions with weighted norms. A theorem on the global unique solvability is proved. An estimate of the conditional stability of the solution of the inverse problem is also obtained.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} integro-differential equation, inverse problem, kernel of integral, Banach theorem.
 \end{quote}
}


\section{Введение и постановка задачи}

 Исследование обратных задач определения ядра интегральных операторов в гиперболических
  интегро-дифференциальных уравнениях по некоторой информации о волновом поле играет важную роль
   при изучении строения и свойства среды.Обратные задачи для интегро-дифференциальных уравнений,
    это относительно новое и бурно развивающиеся направление теории обратных задач.
В работах $[1] -[3]$  изучены одномерные обратные  задачи для интегро-дифференциальных уравнений
гиперболического типа.  Коэффициентным обратным задачам посвящены  работы $[4]-[10]$.
В работах $[11]-[14]$ и $[15]-[17]$ исследованы обратные задачи об определении одномерного
 и многомерного ядра соответственно,  уравнения вязкоупругости.  В работах $[18]-[19]$ изучены
  обратные задачи об определении одномерного ядра для уравнений термовязкоупругости
  и электровязкоупругости. Работы $[20],[21]$  посвящены исследованию обратных задач для
   интегро-дифференциального уравнения акустики. Обратные задачи для системы
   интегро-дифференциальных уравнений рассмотрены в работах $[22],[23]$.
Во всех этих работах  данные прямой задачи представляют собой сингулярные обобщенные функции.

В данной работе исследуется глобальная разрешимость обратной задачи для одного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа с распределенными источниками данных, в ограниченной по переменной $x$ области.

Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение
$$
 u_{tt}-u_{xx}=\int_0^tk(\alpha)u(x,t-\alpha)\,d\alpha, \qquad x\in(0,l),t>0 \eqno(1.1)
 $$
с начальными
$$
u|_{t=0}=0,\qquad u_t|_{t=0}=0,\eqno(1.2)
$$
  и граничными условиями
$$
u_x|_{x=0}=\psi(t), \qquad u_x|_{x=l}=0,\qquad t>0.\eqno(1.3)
$$

  Здесь $\psi(t)-$ некоторая заданная, достаточно гладкая функция; $ l>0 -$ некоторое фиксированное вещественное число. Нахождение функции $u(x,t)$  из уравнения $(1.1)-(1.3)$ при известной $k(t)$ называется прямой задачей.

Обратная задача заключается в определении ядра $k(t) (t > 0),$ интегро-дифференциального уравнения $(1.1),$ если относительно решения задачи $(1.1)-(1.3),$ известна дополнительная информация
 $$
 u(0,t)=f(t),\qquad t\geq0,\eqno(1.4)
$$

$f(t)-$ заданная функция.

\begin{definition}
 Функция  $k(t)\in C[0,\infty)$ (из класса  непрерывных функций) называется решением обратной задачи $(1.1)-(1.4)$, если соответствующее ей решение прямой задачи $(1.1)-(1.3),$    удовлетворяет условию $(1.4)$.
 \end{definition}



\section{Исследование прямой задачи \label{t-p2}}

 Сначала займемся исследованием прямой задачи $(1.1)-(1.3)$, т.е. предполагаем функцию $k(t)$ известной.
 Рассмотрим  эту задачу   в области $D=\{(x,t):0<x<l,t>0\}, $ состоящей из объединения областей $D_1$ и $D_2,$
 $D=D_1\cup D_2:$ $$D_1={\{(x,t):0<x<l, 0<t<x\}}$$ $$D_2={\{(x,t):0<x<l, x<t<2l-x\}}$$

\textbf{Лемма 1.}\emph{ Решение уравнения $(1.1)$  при заданных начальных $(1.2)$ и граничных $(1.3)$ условиях тождественно равняется нулю  в области $D_1$}
 $$u(x,t)\equiv0, $$
\emph{в области $D_2$ удовлетворяет следующему интегральному уравнению}
$$
  u(x,t)=-\varphi(t-x)-\int_0^{t-x}\int_0^{\frac{\tau}{2}}\int_0^{\tau-2\xi}k(\alpha)u(\xi,-\xi+\tau-\alpha)d\alpha d\xi d\tau-$$
   $$
  -\int_{t-x}^t\int_{\tau-t+x}^{\frac{2\tau-t+x}{2}}\int_0^{-2\xi+2\tau-t+x}k(\alpha)u(\xi,-\xi+2\tau-t+x-\alpha)d\alpha d\xi d\tau,\eqno(2.1)
  $$
  где $\varphi(t)=\int_0^{t}\psi(\tau)d\tau.$
  %------------------------------

%%% конец доказательства оформляется так: \hfill $\square$
\textit{Доказательство леммы 1.} В области  $D_0\subset D_1$  по формуле Даламбера получим интегральное уравнениe

  $$ u(x,t)=\frac{1}{2}\iint\limits_{\Delta(x,t)}\int_0^\tau k(\alpha)u(\xi,\tau-\alpha)d\alpha d\xi d\tau,
   $$
   где $\,\Delta(x,t)=\,\{(x,t):\,x-t+\tau\leq\xi\leq x+t-\tau,\,\,\,\,0 \leq\tau\leq t\}, \,$ а \\ $D_0=\{ (x,t):\,0 < x < l,\,\,\,\,0 < t <\frac{l}{2}-|x-\frac{l}{2}|\}.$

   Полученное уравнение является однородным уравнением вольтерровского типа. Как известно,  однородное интегральное уравнение вольтерровского типа второго рода имеет только нулевое решение. \par Поэтому
  $u(x,t)\equiv0$, в области $D_0.$ \par
   Переходим в область $ D_1\backslash D_0.$ Волновой оператор $(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}})$  записываем в виде
   $(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x})(\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial x})$
    и интегрируем равенство $(1.1)$ вдоль характеристики $dx/dt=1,$ от точки $(x-t,0)$ до точки $(x,t):$
    $$(u_t-u_x)(x,t)-(u_t-u_x)(x-t,0)=\int_0^t\int_0^\tau k(\tau-\alpha)u(\tau-t+x,\alpha)d\alpha d\tau,$$
     где $(x,t)-$ любая точка, принадлежащая в $ D_1\backslash D_0.$

Если использовать  данные $(1.2)$,   последнее соотношение приобретает вид:
$$(u_t-u_x)|_{x=l}=\int_{\frac{t}{2}}^t\int_0^\tau k(\tau-\alpha)u(\tau-t+l,\alpha)d\alpha d\tau,\qquad t\in (0,l).$$

Отсюда с учетом граничного условия $(1.3)$ при $x=l,$  находим

   $$ u(l,t)=\int_0^t\int_{\frac{\tau}{2}}^\tau\int_0^{\tau_{1}}k(\tau_{1}-\alpha)u(\tau_{1}-\tau+l,\alpha)d\alpha d\tau_{1}d\tau.$$

Сделаем замену переменных  $\tau_{1}$ на
$\xi$ по формуле $\tau_{1}-\tau+l=\xi.$ Таким образом, мы получим окончательный вид интегрального уравнения
для $u(l,t):$
$$
 u(l,t)=\int_0^t\int_{l-\frac{\tau}{2}}^l\int_0^{\tau-l+\xi} k(\tau-l+\xi-\alpha)u(\xi,\alpha)d\alpha d\xi d\tau.\eqno(2.2)
$$

Теперь возвращаемся к уравнению $(1.1)$ и интегрируем его  вдоль характеристики $dx/dt=1,$ от точки $(x-t,0)$ до точки $(x,t),$
$$(\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial x})u(x,t)=\int_{\frac{l+x-t}{2}}^x\int_0^{\xi+t-x}k(\xi+t-x-\alpha)u(\xi,\alpha)d\alpha d\xi.$$

Для получения интегрального уравнения относительно $u(x,t)$ в области $D_1\backslash D_0,$ интегрируем последнее равенство вдоль характеристики $dx/dt=-1,$ от точки $(x,t)$ до точки $(l,t+x-l)$ и воспользуемся формулой $(2.2)$
$$u(x,t)=\int_0^{t+x-l}\int_{l-\frac{\tau}{2}}^l\int_0^{\xi+\tau-l} k(\xi+\tau-l-\alpha)u(\xi,\alpha)d\alpha d\xi d\tau+$$
 $$\int_{t+x-l}^t\int_{\frac{l+x-t-2\tau}{2}}^{-\tau+x+t}\int_0^{\xi+2\tau-x-t}k(\xi+2\tau-x-t-\alpha)u(\xi,\alpha)d\alpha d\xi d\tau,\qquad (x,t)\in D_1\backslash D_0.$$

  Вновь полученное уравнение тоже является однородным уравнением вольтерровского типа. Следовательно, $$u(x,t)\equiv0, \qquad (x,t)\in D_1\backslash D_0. $$ \par
Переходим в область $$D_2={\{(x,t):0<x<l, x<t<2l-x\}}.$$

  В области $D_2,$ интегрируя уравнение $(1.1)$ вдоль характеристики $dx/dt=-1$ получим равенство
 $$(u_t+u_x)(0,t)=-\int_0^{\frac{t}{2}}\int_0^{-2\xi+t}k(\alpha)u(\xi,-\xi+t-\alpha)d\alpha d\xi.$$

С учетом граничного условия $(1.1)$ из этого равенство получим
$$u(0,t)=-\varphi(t)-\int_0^t\int_0^{\frac{\tau}{2}}\int_0^{\tau-2\xi}k(\alpha)u(\xi,-\xi+\tau-\alpha)d\alpha d\xi d\tau.$$

 Далее, используя этот результат, интегрированием уравнения $(1.1)$, при условиях $(1.2)$, $(1.3)$ по характеристикам $dx/dt=-1$ и $dx/dt=1$ получим
  уравнение $(2.1)$ в области $D_2.$

  \hfill $\square$

Следующей нашей задачей является получение интегрального уравнения относительно неизвестной функции $k(t),$ при этом $u(x,t)$  тоже является неизвестной функцией. Имеется лишь дополнительная информация $(1.4)$ о функции $u(x,t).$

  \textbf{Лемма 2.}\emph{ Решение обратной задачи $(1.1)-(1.4)$
в области $D_2$ удовлетворяет следующему интегральному уравнению}

$$k(t)=\frac{2}{c_1}(f^{(4)}(t)+\psi^{(3)}(t))-$$
$$
-\frac{2c_2}{c_1}\int_0^{\frac{t}{2}}k(t-2\xi)d\xi
-\frac{2}{c_1}\int_0^{\frac{t}{2}}\int_0^{t-2\xi}k(\alpha)u_{ttt}(\xi,-\xi+t-\alpha)d\alpha d\xi,\eqno(2.3)
$$
\emph{где $c_{2}:=f''(0)=-\varphi''(0)=-\psi'(0).$ }

  \textit{Доказательство леммы 2.} В уравнении $(2.1)$ положим $x=0$ и воспользуемся условием $(1.4):$
  $$
  f(t)=u(0,t)=-\varphi(t)-\int_0^{t}\int_0^{\frac{\tau}{2}}\int_0^{\tau-2\xi}k(\alpha)u(\xi,-\xi+\tau-\alpha)d\alpha d\xi d\tau.\eqno(2.4)
 $$

Заметим, прежде всего, что $$f(0)=-\varphi(0)=0.$$

  Дифференцируя по $t$ уравнение $(2.4)$ получим
  $$
   f'(t)=-\psi(t)-\int_0^{\frac{t}{2}}\int_0^{t-2\xi}k(\alpha)u(\xi,-\xi+t-\alpha)d\alpha d\xi.
      $$
Отсюда  следует, $$f'(0)=-\varphi'(0)=-\psi(0)=:c_1.$$
Дифференцируя ещё три раза по $t$ уравнение $(2.4)$ и разрешая полученное уравнение относительно $k(t)$  приходим к уравнению $(2.3).$

\hfill $\square$


%------------------------------
\section{Теорема о разрешимости обратной задачи \label{L}}

%%% рисунки можно оформлять согласно стилевому файлу Вестника, или так,
%%% как это сделано в данном примере



%%% утверждения или условия внутри текста выделяйте курсивом


\vspace{3pt}

\begin{theorem}
%%% обратите внимание на правильное оформление пунктов а) и б)
%%% и круглых скобок внутри текста в пункте а) (внутри окружения \it
%%% применяется окружение \rm)

{\it Пусть выполнены условия $\,\,\psi(t)\in C^3(0,2l),\,\,\,\,f(t)\in C^4(0,2l),$ $f(0)=0,$ $f'(0)=c_1,$ $f''(0)=c_2,$ тогда для любого  $l>0,$ решение обратной задачи $(1.1)-(1.4)$ существует, единственно и $k(t)\in C(0,2l).$ }
\end{theorem}

%------------------------------

Сначала заменим  переменную интегрирования $\tau$ на $\beta$ по формуле
 $t-\tau=\beta$ во внешнем интеграле последнего слагаемого в $(2.1)$. Далее, дифференцируя его три раза  по переменной $t$ последовательно, получим

$$ u_{t}(x,t)=-\psi(t-x)-\int_0^{\frac{t-x}{2}}\int_0^{t-x-2\xi}k(\alpha)u(\xi,-\xi+t-x-\alpha)d\alpha d\xi-$$
 $$
 \int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}\int_0^{-2\xi+t-2\beta+x}k(\alpha)u_t(\xi,-\xi+t-2\beta+x-\alpha)d\alpha d\xi d\beta,\eqno (3.1)
 $$

 $$u_{tt}(x,t)=-\psi'(t-x)-\int_0^{\frac{t-x}{2}}\int_0^{t-x-2\xi}k(\alpha)u_{t}(\xi,-\xi+t-x-\alpha)d\alpha d\xi+$$
 $$
  +c_1\int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}k(-2\xi+t-2\beta+x) d\xi d\beta-$$
  $$
  \int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}\int_0^{-2\xi+t-2\beta+x}k(\alpha)u_{tt}(\xi,-\xi+t-2\beta+x-\alpha)d\alpha d\xi d\beta.\eqno (3.2)
$$
 $$u_{ttt}(x,t)=-\psi''(t-x)+\frac{c_{1}}{2}k(t-x)x-\int_0^{\frac{t-x}{2}}\int_0^{t-x-2\xi}k(\alpha)u_{tt}(\xi,-\xi+t-x-\alpha)d\alpha d\xi+$$
 $$+c_{1}\int_0^{\frac{t-x}{2}}k(t-x-2\xi) d\xi-
  +c_2\int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}k(-2\xi+t-2\beta+x) d\xi d\beta-$$
 $$
  -\int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}\int_0^{-2\xi+t-2\beta+x}k(\alpha)u_{ttt}(\xi,-\xi+t-2\beta+x-\alpha)d\alpha d\xi d\beta.\eqno (3.3)
$$

 Так как уравнения $(2.1),(3.1),(3.2),(3.3)$   и $(2.3)$ определяют в $\Delta$ замкнутую систему интегральных уравнений, относительно пяти неизвестных функций $u(x,t),\,\,$
 $ \,u_{t}(x,t),u_{tt}(x,t),u_{ttt}(x,t),k(t),$  эту систему можно представить в виде операторного уравнения
$$
 Ag=g,\eqno (3.4)
$$

в котором $$g=\{g_1,g_2,g_3,g_4,g_5\}=\{u(x,t),u_{t}(x,t),u_{tt}(x,t),u_{ttt}(x,t)-\frac{c_1}{2}k(t-x)x, \,k(t)\},$$ a оператор $A$ определен на множестве функций $g\in C[D_2]$ и в соответствии с равенствами $(2.1),(3.1),(3.2),(3.3)$   и $(2.3)$
имеет вид $A = (A_1,A_2,A_3,A_4,A_5)$, где
$$
A_1g=g_{01}-\int_0^{t-x}\int_0^{\frac{\tau}{2}}\int_0^{\tau-2\xi}g_5(\alpha)g_1(\xi,x-\xi+\tau-\alpha)d\alpha d\xi d\tau$$
$$
-\int_{t-x}^t\int_{\tau-t+x}^ {\frac{2\tau-t+x}{2}}\int_0^{-2\xi+2\tau-t+x}g_5(\alpha)g_1(\xi,-\xi+2\tau-t+x-\alpha)d\alpha d\xi d\tau,\eqno (3.5)
$$
$$ A_2g=g_{02}-\int_0^{\frac{t-x}{2}}\int_0^{t-x-2\xi}g_5(\alpha)g_1(\xi,-\xi+t-x-\alpha)d\alpha d\xi-$$
 $$
 \int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}\int_0^{-2\xi+t-2\beta+x}g_5(\alpha)g_2(\xi,-\xi+t-2\beta+x-\alpha)d\alpha d\xi d\beta,\eqno (3.6)
 $$
  $$A_3g=g_{03}-\int_0^{\frac{t-x}{2}}\int_0^{t-x-2\xi}g_5(\alpha)g_2(\xi,-\xi+t-x-\alpha)d\alpha d\xi+$$
 $$
  +c_1\int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}g_5(-2\xi+t-2\beta+x) d\xi d\beta-$$
  $$
  \int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}\int_0^{-2\xi+t-2\beta+x}g_5(\alpha)g_3(\xi,-\xi+t-2\beta+x-\alpha)d\alpha d\xi d\beta.\eqno (3.7)
$$

$$ A_4g=g_{04}+c_1\int_0^{\frac{t-x}{2}}g_5(t-x-2\xi) d\xi+c_2\int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}g_5(-2\xi+t-2\beta+x) d\xi d\tau-$$
$$-\int_0^{\frac{t-x}{2}}\int_0^{t-x-2\xi}g_5(\alpha)g_3(\xi,-\xi+t-x-\alpha)d\alpha d\xi-$$

$$-\int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}\int_0^{-2\xi+t-2\beta+x}g_5(\alpha)\biggl[g_4(\xi,-\xi+t-2\beta+x-\alpha)-$$
$$
-\frac{c_1}{2}g_5(-2\xi+t-2\beta-\alpha)\xi\biggl]d\alpha d\xi d\beta.\eqno (3.8)
$$

 $$A_5g=g_{05}-\frac{2c_2}{c_1}\int_0^{\frac{t}{2}}g_5(t-2\xi)d\xi-$$
$$
-\frac{2}{c_1}\int_0^{\frac{t}{2}}\int_0^{t-2\xi}g_5(\alpha)\biggl[g_4(\xi,-\xi+t-\alpha)-\frac{c_1}{2}g_5(-2\xi+t-\alpha)\xi\biggl]d\alpha d\xi.\eqno (3.9)
 $$
 Пусть
 $$g_0(x,t)=(g_{01},g_{02},g_{03},g_{04},g_{05}),$$
где $$g_{01}=-\varphi(t-x),\,g_{02}=-\psi(t-x),\,g_{03}=-\psi'(t-x),\,g_{04}=-\psi''(t-x),$$ $$g_{05}=\frac{2}{c_1}(f''''(t)+\psi'''(t)).$$

Как в работе [21] обозначим через $C_\sigma$  банахово пространство непрерывных
функций, порожденных семейством весовых норм
$$||g||_\sigma=\max \{\sup_{ \substack {(x,t)\in D_2}}|g_i(x,t)e^{-\sigma t}|,i=\overline{1,4}, \sup_{ \substack {t\in [0,2l]}}|g_5(t)e^{-\sigma t}|\},\sigma\geq 0. $$

Очевидно, что при $\sigma=0$ данное пространство совпадает с пространством
непрерывных функций с обычной нормой. Эту норму будем обозначать
далее $\|g\|.$
 В силу неравенства
  $$
  e^{-\sigma t}\|g\|\leq \|g\|_\sigma \leq \|g\|,
  $$
нормы $\|g\|_\sigma$  и  $\|g\|$ эквивалентны для любого
фиксированного $l\in (0,\infty).$   Число $\sigma$   выберем
позже. Пусть $Q_\sigma(g_0,\|g_0\|):=\{g:\|g-g_0\|\leq\|g_0\|\}$  - шар радиуса $\|g_0\|$  с центром в
точке $g_0$  некоторого весового пространства
$C_\sigma(\sigma\geq0)$, в котором
$$\|g_0\|=\max(\|g_{01}\|,\|g_{02}\|,\|g_{03}\|,\|g_{04}\|,\|g_{05}\|).$$

Нетрудно заметить, что для  $Q_\sigma(g_0,\|g_0\|)$  имеет место оценка $$\|g\|_\sigma \leq\|g_0\|_\sigma+\|g_0 \|\leq 2\|g_0\|.$$

Пусть $g(x,t)\in Q_\sigma(g_0,\|g_0\|).$  Покажем, что при
подходящем выборе $\sigma>0$  оператор $A$  переводит шар в шар,
т.е. $A\in Q_\sigma(g_0,\|g_0\|)$ .
Напомним, что оператор называется сжимающим на множестве $B(g_0)$, если выполнены следующие два условия:\\
1) если $g\in B(g_0),$ то $Ag\in B(g_0),$ \\
2) если $g^1,g^2$ любые два элемента $B(g_0),$ то  $||Ag^1-Ag^2||\leq \rho ||g^1-g^2||$ в котором $\rho <1.$

Сначала проверим выполнение первого из этих условий.  Для $(x,t)\in D_2$ имеют место оценки
$$\|A_1g-g_{01}\|
=\sup_{ \substack {(x,t)\in D_2}}|(A_1g-g_{01})e^{-\sigma t}|=$$
$$\sup_{ \substack {(x,t)\in D_2}}\biggl|\int_0^{t-x}\int_0^{\frac{\tau}{2}}\int_0^{\tau-2\xi}g_3(\alpha)e^{-\sigma\alpha}g_1(\xi,x-\xi+\tau-\alpha)e^{-\sigma(-\xi+x+\tau-\alpha)}e^{-\sigma(\xi+t-\tau)}d\alpha d\xi d\tau+$$$$+\int_{t-x}^t\int_{\tau-t+x}^ {\frac{2\tau-t+x}{2}}\int_0^{-2\xi+2\tau-t+x}g_3(\alpha) e^{-\sigma\alpha}g_1(\xi,-\xi+2\tau-t+x-\alpha)\times$$
$$\times e^{-\sigma(-\xi+x+2\tau-t-\alpha)}e^{-\sigma(\xi+t-2\tau)}d\alpha d\xi d\tau\biggl| \leq \frac{20}{\sigma}\|g_0\|^{2}l^{2}=:\frac{\|g_0\|}{\sigma}\alpha_1,$$

$$\|A_2g-g_{02}\|=\sup_{ \substack {(x,t)\in D_2}}|(A_2\varphi-\varphi_{02})e^{-\sigma t}|\leq\biggl[4\|g_0\|(1+l)l)\biggl]\frac{\|g_0\|}{\sigma}:=\frac{\|g_0\|}{\sigma}\alpha_2.$$


$$\|A_3g-g_{03}\|=\sup_{ \substack {(x,t)\in D_2}}|(A_2\varphi-\varphi_{02})e^{-\sigma t}|\leq\biggl[\|g_0\|(4+8l)+c_1\biggl]l\frac{\|g_0\|}{\sigma}:=\frac{\|g_0\|}{\sigma}\alpha_3.$$

$$\|A_4g-g_{04}\|=\sup_{ \substack {(x,t)\in D_2}}|(A_2\varphi-\varphi_{02})e^{-\sigma t}|\leq\biggl[c_1+c_2l+2\|g_0\|(4+4l+c_1l^{2})l)\biggl]\frac{\|g_0\|}{\sigma}:=\frac{\|g_0\|}{\sigma}\alpha_4.$$

$$|A_5g-g_{05}|=\sup_{ \substack {t\in [0,2l]}}|(A_2\varphi-\varphi_{02})e^{-\sigma t}| \leq \frac{2}{c_1}\biggl[c_2+2l\|g_0\|(4+lc_1)\biggl]\frac{\|g_0\|}{\sigma}=:\frac{\|g_0\|}{\sigma}\alpha_5,$$
Выбирая
$$
\sigma\geq\alpha_0:=max(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5)
$$
получим, что $A$  переводит шар $Q_\sigma(g_0,\|g_0\|)$   в шар
$Q_\sigma(g_0,\|g_0\|).$

Теперь проверим выполнение второго условия. Пусть $g^k:=(g^k_1,g^k_2,g^k_3,g^k_4,g^k_5)$ и $g^k\in B(g_0),k=1,2$.
Используя очевидное неравенство $$|g^1_kg^1_s-g^2_kg^2_s|e^{-\sigma t}\leq |g^1_k-g^2_k||g^1_s|e^{-\sigma t}+|g^2_k||g^1_s-g^2_s|e^{-\sigma t}$$ получим

$$||(Ag^1-Ag^2)_1||_\sigma=\sup_{ \substack {(x,t)\in D_2}}|(Ag^1-Ag^2)_1e^{-\sigma t}| \leq $$
 $$ \leq 20||g_0||l^{2}\frac{||g^1-g^2||_\sigma}{\sigma}=:\beta_1\frac{||g^1-g^2||_\sigma}{\sigma},$$

$$||(Ag^1-Ag^2)_2||_\sigma=\sup_{ \substack {(x,t)\in D_2}}|(Ag^1-Ag^2)_2e^{-\sigma t}| \leq$$
 $$\leq\biggl[8\|g_0\|(1+l)l)\biggl]\frac{||g^1-g^2||_\sigma}{\sigma}=:\beta_2\frac{||g^1-g^2||_\sigma}{\sigma},$$

$$||(Ag^1-Ag^2)_3||_\sigma=\sup_{ \substack {(x,t)\in D_2}}|(Ag^1-Ag^2)_3e^{-\sigma t}| \leq$$ $$\leq\biggl[2\|g_0\|(4+8l)+c_1\biggl]l\frac{||g^1-g^2||_\sigma}{\sigma}=:\beta_3\frac{||g^1-g^2||_\sigma}{\sigma},$$

$$||(Ag^1-Ag^2)_4||_\sigma=\sup_{ \substack {(x,t)\in D_2}}|(Ag^1-Ag^2)_4e^{-\sigma t}| \leq$$ $$\leq\biggl[c_1+c_2l+2\|g_0\|(4+4l+c_1l^{2})l)\biggl]\frac{||g^1-g^2||_\sigma}{\sigma}=:\beta_4\frac{||g^1-g^2||_\sigma}{\sigma},$$

$$||(Ag^1-Ag^2)_5||_\sigma=\sup_{ \substack {t\in [0,2l]}}|(Ag^1-Ag^2)_5e^{-\sigma t}|\leq $$ $$\leq\frac{2}{c_1}\biggl[c_2+4l\|g_0\|(4+lc_1)\biggl]\frac{||g^1-g^2||_\sigma}{\sigma}=:\beta_5\frac{||g^1-g^2||_\sigma}{\sigma}.$$

Следовательно, $||Ag^1-Ag^2||\leq \rho||g^1-g^2||,$  если $l>0$ удовлетворяет условию
$$
\beta_i\leq \rho<1, i=1,2,3,4,5.
$$

 Пусть
$\beta_0:=max(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\beta_5).$
Как следует из полученных оценок если число $\sigma$ выбрать из условия
$\sigma>max(\alpha_0,\beta_0),$  то оператор $A$  является
сжимающим на $Q_\sigma(g_0,\|g_0\|).$ Тогда, согласно
принципу Банаха, уравнение (3.4) имеет и притом единственное
решение в $Q_\sigma(g_0,\|g_0\|)$  при любом
фиксированном $l>0.$ [25]. Теорема 1 доказана.

\hfill $\square$

\section{Оценка устойчивости решения обратной задачи  \label{Dok}}

 Пусть $K(k_0)$  множество функций $k(t)\in C[0,2l],$  удовлетворяющих при некотором  $l>0$ условию
 $$\|k\|_{C[0,2l]}\leqslant k_0$$ с постоянной $k_0>0.$

\medskip
\begin{theorem}  \label{teor-2}
{\it Пусть  $k^1(t)\in K(k_0), k^2(t)\in K(k_0)-$ два решения обратной задачи $(1.1)-(1.4)$ с данными $f^1$ и $f^2$ соответственно.
Тогда найдется такое положительное число $C=C(k_0,l),$ что выполняется неравенство}
$$
 ||k^1(t)-k^2(t)||_{C[0,2l]}\leqslant C||f^1-f^2||_{C^4[0,2l]}.\eqno (4.1)
 $$
 \end{theorem}
 %------------------------------

 Функцию $u(x,t)$ будем искать в виде функционального ряда
$$
u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty u_n(x,t),\eqno (4.2)
$$
где $u_0(x,t)=-\varphi(t-x)$, а функции $u_n(x,t)$ при $ n\geq 1$ определим рекуррентными формулами

 $$ u_n(x,t)=-\int_0^{t-x}\int_0^{\frac{\tau}{2}}\int_0^{\tau-2\xi}k(\alpha)u_{n-1}(\xi,-\xi+\tau-\alpha)d\alpha d\xi d\tau-$$$$
  \int_{t-x}^t\int_{\tau-t+x}^{\frac{2\tau-t+x}{2}}\int_0^{-2\xi+2\tau-t+x}k(\alpha)u_{n-1}(\xi,-\xi+2\tau-t+x-\alpha)d\alpha d\xi d\tau.
  $$
  Так как  $\varphi(t)$ ограниченная функция, то $|u_0(x,t)|\leq\Phi.$ Здесь $\Phi-$ некоторое конечное вещественное чиcло. Отсюда следует, что
  $$ |u_1(x,t)|\leq\Phi \biggl|\int_0^{t-x}\int_0^{\frac{\tau}{2}}\int_0^{\tau-2\xi}k(\alpha)d\alpha d\xi d\tau+
  \int_{t-x}^t\int_{\tau-t+x}^{\frac{2\tau-t+x}{2}}\int_0^{-2\xi+2\tau-t+x}k(\alpha)d\alpha d\xi d\tau \biggl|.
  $$
  Из условия  $k(t)\in C[0,2l]$ следует, что $ u_n(x,t)$  являются непрерывными функциями в области $D_2$  вместе с первыми и вторыми производными по $x$ и  $t$  для всех $n\geq1$.
Тогда для  $(x,t)\in D_2$  имеем, что

 $$|u_1(x,t)|\leqslant \frac{k_0\Phi l}{3}t^2,$$
$$|u_2(x,t)|\leqslant(\frac{k_0\Phi l}{3})^2\frac{t^4}{1\cdot 3},$$
$$|u_3(x,t)|\leqslant (\frac{k_0\Phi l}{3})^3\frac{t^6}{1\cdot 3\cdot 5}.$$

     Продолжая подобные вычисления, методом математической индукции найдем, что
$$|u_n(x,t)|\leqslant (\frac{k_0\Phi l}{3})^n\frac{t^{2n}}{(2n-1)!!}\leqslant\frac{1}{(2n-1)!!}(\frac{k_0\Phi l^3}{3})^n.$$

     Поэтому ряд в $(4.2)$ сходится равномерно и его сумма является непрерывной функцией в $D_2.$   Более того, имеет место оценка
                              $$
                              |u(x,t)|\leqslant\sum_{n=0}^\infty |u_n(x,t)|\leqslant\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n-1)!!}(\frac{k_0\Phi l^3}{3})^n=:\mu_{01}.\eqno (4.3)
                              $$
Аналогичным образом можно получить оценки: $|u_{t}(x,t)|\leq \mu_{02},$ $ |u_{tt}(x,t)|\leq \mu_{03},$ $|u_{ttt}(x,t)|\leq \mu_{04}.$   Обозначим $ \mu_0:= max(\mu_{01},\mu_{02},\mu_{03},\mu_{04}).$


   Пусть $u^1,u^2$  два решения задачи $(1.1)-(1.3)$ соответствующие функциям $k^1,k^2,$  и в дальнейшим будем обозначать как в работе [26], разность двух функций,
      наименование которых отличается только цифрой сверху той же самой буквой со знаком $\sim$ .
       Например $\widetilde{u}=u^1-u^2$, $\widetilde{k}=k^1-k^2$  и т.д.
     Тогда из уравнений $(2.1),(3.1),(3.2),(3.3)$   и $(2.3)$ нетрудно получить следующую систему
$$\widetilde{u}(x,t)=-\int_0^{t-x}\int_0^{\frac{\tau}{2}}\int_0^{\tau-2\xi}[ k^1(\alpha)\widetilde{u}(\xi,-\xi+\tau-\alpha)+\widetilde{k}(\alpha)u^2(\xi,-\xi+\tau-\alpha)]\,d\alpha d\xi d\tau-$$
  $$\int_{t-x}^t\int_{\tau-t+x}^{\frac{2\tau-t+x}{2}}\int_0^{-2\xi+2\tau-t+x}[k^1(\alpha)\widetilde{u}(\xi,-\xi+2\tau-t+x-\alpha)+
  $$
$$
  +\widetilde{k}(\alpha)u^2(\xi,-\xi+2\tau-t+x-\alpha)]\,d\alpha d\xi d\tau.\eqno (4.4)
$$

$$
 \widetilde{u}_{t}(x,t)=-\int_0^{\frac{t-x}{2}}\int_0^ {t-x-\xi}[ k^1(\alpha)\widetilde{u}(\xi,-\xi+\tau-\alpha)+\widetilde{k}(\alpha)u^2(\xi,-\xi+\tau-\alpha)]\,d\alpha d\xi -$$
 $$-\int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}\int_0^{-2\xi+t-2\beta+x}[k^1(\alpha)\widetilde{u_{t}}(\xi,-\xi+t-2\beta+x-\alpha)+$$
$$
 +\widetilde{k}(\alpha)u_{t}^2(\xi,-\xi+t-2\beta+x-\alpha)]\,d\alpha d\xi d\beta.\eqno (4.5)
 $$

 $$
 \widetilde{u}_{tt}(x,t)=-\int_0^{\frac{t-x}{2}}\int_0^ {t-x-\xi}[ k^1(\alpha)\widetilde{u}_t(\xi,-\xi+\tau-\alpha)+\widetilde{k}(\alpha)u_t^2(\xi,-\xi+\tau-\alpha)]\,d\alpha d\xi-$$ $$-c_1\int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}\widetilde{k}(-2\xi+t-2\beta+x) d\xi d\beta-$$
 $$-\int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}\int_0^{-2\xi+t-2\beta+x}[k^1(\alpha)\widetilde{u}_{tt}(\xi,-\xi+t-2\beta+x-\alpha)+$$
 $$
 +\widetilde{k}(\alpha)u_{tt}^2(\xi,-\xi+t-2\beta+x-\alpha)]\,d\alpha d\xi d\beta.\eqno (4.6)
$$

 $$
 \widetilde{u}_{ttt}(x,t)=\frac{c_{1}}{2}\widetilde{k}(t-x)x-c_1\int_0^{\frac{t-x}{2}}\widetilde{k}(t-x-2\xi) d\xi-c_2\int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}\widetilde{k}(-2\xi+t-2\beta+x) d\xi d\beta-$$
 $$
 -\int_0^{\frac{t-x}{2}}\int_0^ {t-x-\xi}[ k^1(\alpha)\widetilde{u}_{tt}(\xi,-\xi+\tau-\alpha)+\widetilde{k}(\alpha)u_{tt}^2(\xi,-\xi+\tau-\alpha)]\,d\alpha d\xi-
 $$
 $$-\int_0^x\int_{x-\beta}^ {\frac{t-2\beta+x}{2}}\int_0^{-2\xi+t-2\beta+x}[k^1(\alpha)\widetilde{u}_{ttt}(\xi,-\xi+t-2\beta+x-\alpha)+$$
 $$
 +\widetilde{k}(\alpha)u_{ttt}^2(\xi,-\xi+t-2\beta+x-\alpha)]\,d\alpha d\xi d\beta.\eqno (4.7)
 $$
 $$\widetilde{k}(t)=-\widetilde{f}''''(t)-\frac{2c_2}{c_1}\int_0^{\frac{t}{2}}\widetilde{k}(t-2\xi)d\xi
-\frac{2}{c_1}\int_0^{\frac{t}{2}}\int_0^{t-2\xi}[k^1(\alpha)\widetilde{u}_{ttt}(\xi,-\xi+\tau-\alpha)+$$
$$
+\widetilde{k}(\alpha)u_{ttt}^2(\xi,-\xi+\tau-\alpha)]d\alpha d\xi.\eqno (4.8)
$$
     Пусть $$\eta(t)=\max[  \max_{0\leqslant x\leqslant l}|\widetilde{u}(x,t)|,\max_{0\leqslant x\leqslant l} |\widetilde{u}_{t}(x,t)|,\max_{0\leqslant x\leqslant l}|\widetilde{u}_{tt}(x,t)|,\max_{0\leqslant x\leqslant l}|\widetilde{u}_{ttt}(x,t)|, \,|\widetilde{k}(t)|],\,\, t\in [0,2l].$$
Используя уравнения $(4.4)-(4.8)$, находим
$$|\widetilde{u}(x,t)|\leqslant 2(\mu_0+k_0)l^2 \int_0^t\eta(\alpha)\,d\alpha,$$

$$|\widetilde{u}_{t}(x,t)|\leqslant  (\mu_0+k_0)(l+l^{2})\int_0^t\eta(\alpha)\,d\alpha,$$

$$|\widetilde{u}_{tt}(x,t)|\leqslant  (c_1l+(\mu_0+k_0)(l+l^{2})\int_0^t\eta(\alpha)\,d\alpha,$$

$$|\widetilde{u}_{ttt}(x,t)|\leqslant\frac{lc_1}{2}\|\widetilde{f}(t)\|_{C^4[0,2l]}+\biggl(c_1+2c_2l+(\mu_0+k_0)(l+2l^{2})\biggl)\int_0^t\eta(\alpha)\,d\alpha,$$

$$|\widetilde{k}(t)|\leqslant \|\widetilde{f}(t)\|_{C^4[0,2l]}+\biggl(\frac{2c_2}{c_1}l +\frac{2}{c_1}(k_0+\mu_0)l\biggl)\int_0^t\eta(\alpha)\,d\alpha.$$
При оценивании $|\widetilde{u}_{ttt}(x,t)|$ использована оценка $|\widetilde{k}(t)|$.
Из этих соотношений следует, что $\eta(t)$ удовлетворяет интегральному неравенству
$$|\eta(t)|\leqslant \gamma\|\widetilde{f}(t)\|_{C^4[0,2l]}+\mu_1\int_0^t\eta(\alpha)\,d\alpha,$$

в котором $\mu_1:=\max\{2(\mu_0+k_0)l^2, (\mu_0+k_0)(l+l^{2}), (c_1l+(\mu_0+k_0)(l+l^{2}), c_1+2c_2l+(\mu_0+k_0)(l+2l^{2}),\frac{2c_2}{c_1}l +\frac{2}{c_1}(k_0+\mu_0)l\}$ и $\gamma=\max\{ 1, \frac{lc_1}{2}$\}. Используя неравенство Гронуолла,  получаем оценку
$$
|\eta(t)|\leqslant\gamma\|\widetilde{f}(t)\|_{C^4[0,T]})\exp(\mu_1t) \qquad t\in(0,2l).
$$
Если   в последнем неравенстве обозначить  $\gamma\exp(\mu_1t)=:C,$ то получим неравенство $(4.1)$.

Теорема 2 доказана.

\hfill $\square$


\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).






\bibitem{1}
D.\,K.Durdiev,~{\it Inverse problems for media with aftereffect}, Tashkent:Turon-Iqbol, 2014.

\bibitem{2}
J.\,Sh.Safarov,~ {\it An inverse problem for an integro-differential hyperbolic equation in a bounded domain.} Uzb. Mat. Journal, Tashkent, {\bf2} (2012),   117--124.


\bibitem{3}
J.\,Sh.Safarov,~ {\it  Questions of local solvability of one inverse problem for the integro-differential equation of oscillation of an infinite string.} Uzb. Mat. Journal, Tashkent, \textbf{2} (2013),  100--106.

\bibitem{4}
 D. K. Durdiev, {\it Problem of determining the nonstationary potential in a hyperbolic-type equation”, Theoret. and Math. Phys.}, \textbf{156}:2 (2008), 1154–1158.\\
 DOI: https://doi.org/10.4213/tmf6242

\bibitem{5}
D.K. Durdiev, {\it The inverse problem of determining two coefficients in one integro-differential wave equation}, Siberian Journal of Industrial Mathematics, \textbf{12}: 3 (2009), 28–40.

\bibitem{6}
V. G. Romanov, {\it On the determination of the coefficients in the viscoelasticity equations,} Siberian Math. J., \textbf{55}:3 (2014), 503–510.

\bibitem{7}
Zh. D. Totieva,{\it The problem of determining the coefficient of thermal expansion of the equation of thermoviscoelasticity.} Siberian Electronic
Mathematical Reports,\textbf{14} (2017), 1108--1119. \\
      DOI: https://doi.org/10.4213/mzm10752

\bibitem{8}
S.\,K.Zaripov~{\it  A construction of analog of Fredgolm theorems for one class of first order model
integro-diferential equation with logarithmic singularity in the kernel.} J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci., \textbf{21}:2(2017), 236--248.\\
DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1515

\bibitem{9}
Zh. D. Totieva, {\it One-dimensional inverse coefficient problems of anisotropic
viscoelasticity},  Siberian Electronic
Mathematical Reports,\textbf{16} (2019),  786–811.\\
DOI: https://doi.org/10.33048/semi.2019.16.053

\bibitem{10}
D. K. Durdiev, Zh. D. Totieva, {\it Inverse problem for a second-order hyperbolic integro-differential equation with variable coefficients for lower derivatives}, Siberian Electronic
Mathematical Reports, \textbf{17} (2020),  1106–1127.\\
DOI: https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.084

\bibitem{11}
V. G. Romanov, {\it Problem of kernel recovering for the viscoelasticity equation,} Doklady Mathematics, \textbf{86}:2 (2012), 608--610

\bibitem{12}
D. K. Durdiev, Zh. D.  Totieva, {\it The problem of determining the one-dimensional core of the equation of viscoelasticity.} Siberian Journal of Industrial Mathematics,\textbf{16}:2 (2013)  72--82.

\bibitem{13}
 D.K. Durdiev, Zh.Sh.  Safarov, {\it The inverse problem of determining the one-dimensional kernel of the viscoelasticity equation in a bounded region.}   Mat. Notes,\textbf{97}:6 (2015), 855--867.\\
 DOI: http://dx.doi.org/10.4213/mzm10659

\bibitem{14}
J.\,Sh.Safarov, {\it One-dimensional inverse problem for the equation of viscoelasticity in a bounded region.}  Journal SVMO,   \textbf{17}:3 (2015),44--55.

\bibitem{15}
V. G. Romanov,{\it A two-dimension inverse problem for an integro-differential equation of electrodynamics,} Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, \textbf{280}:1 (2013), 151--157.

\bibitem{16}
 V.G.Romanov, {\it A two-dimensional inverse problem for the viscoelasticity equation.} Siberian Math. J., \textbf{53}:6, (2017), 1128--1138.
\\ DOI:doi:10.1134/S0037446612060171

\bibitem{17}
D. K. Durdiev , Zh.D  Totieva, {\it The problem of determining the multidimensional core of the equation of viscoelasticity.} Vladikavkaz Mathematical Journal, \textbf{4}(2015), 18--43.

\bibitem{18}
D. K. Durdiev , Zh.D  Totieva, {\it The problem of determining the one-dimensional kernel of the electroviscoelasticity equation.} Siberian Math. J.,Novosibirsk, \textbf{58}:3,(2017), 427--444.\\
  DOI: https://doi.org/10.17377/semi.2017.14.094

\bibitem{19}
Zh. D. Totieva, D. K.Durdiev, {\it The Problem of Finding the One-Dimensional Kernel of the Thermoviscoelasticity Equation.}  Math. Notes, \textbf{103}:1 (2018), 118--132. \\
DOI: https://doi.org/10.17377/semi.2017.14.094

\bibitem{20}
J.\,Sh.Safarov~, D.K.Durdiev,  { \it Inverse problem for the integro-differential equation of acoustics.} Differ. equat.  \textbf{54}:1 (2018), 136--144.\\
    DOI: 10.1134/S0374064118010119

\bibitem{21}
Jurabek Sh. Safarov, { \it Global solvability of the one-dimensional inverse problem for
the integro-differential equation of acoustics.} J. Sib. Fed. Univ. Math Phys.,\textbf{11}:6, 753--763.\\
DOI: https://doi.org/10.17516/1997-1397-2018-11-6-753-763

\bibitem{22}
D. K. Durdiev, A. A. Rakhmonov,{ \it  Inverse problem for a system of integro-differential equations for SH waves in a visco-elastic porous medium: Global solvability}, Theoret. and Math. Phys., \textbf{195}:3 (2018), 923–937.\\
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf9480

\bibitem{23}
U.D. Durdiev, { \it An inverse problem for a system of equations of viscoelasticity in homogeneous anisotropic media}, Siberian Journal of Industrial Mathematics, \textbf{22}: 4 (2019), 26–32.\\
DOI: https://doi.org/10.33048/sibjim.2019.22.403

\bibitem{24}
D. K. Durdiev, A. A. Rahmonov,{\it The problem of determining the 2D-kernel in a system of integro-differential equations of a viscoelastic porous medium }, J. Appl. Industr. Math., \textbf{14}:2 (2020), 281–295.

\bibitem{25}
 A.N.Kolmogorov,  S.V.Fomin, {\it Elements of the theory of functions and functional analysis.}  M: Science, 1976.

\bibitem{26}
J.\,Sh.Safarov~{\it Estimates of the stability of solutions of some inverse problems for integro-differential equations.}  Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki.  \textbf{3}(2014). p. 75--82.\\
    http://mi.mathnet.ru/rus/vuu/y2014/i3/p75

\end{thebibliography}
\end{document}
