
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{512.54} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{20F36} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Обобщенная сопряженность слов в одном классе групп Артина]{О проблеме обобщенной сопряженности слов в обобщенных древесных структурах групп Артина}
\author{{И.В. Добрынина, А. С. Угаров}}%
\address{Irina Vasiljevna Dobrynina  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Academy of Civil Protection EMERCOM of Russia,
\newline\hphantom{iii} md. Novogorsk, Sokolovskaya st., 5,
\newline\hphantom{iii} 141435, g. Khimki, Moscow region, Russia}%
\email{dobrynirina@yandex.ru }%
\address{Andrey Sergeevich Ugarov % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Tula State Lev Tolstoy University,
\newline\hphantom{iii} Lenin Ave., 125
\newline\hphantom{iii} 300026, Tula, Russia}%
\email{ugarandrey@gmail.com}%

\thanks{\sc Dobrynina, I.V., Ugarov, A. S.,
On problem of generalized conjugation of word in a generalized tree structures of Artin groups}
\thanks{\copyright \ 2020 Добрынина И.В., Угаров А. С.}
\thanks{\rm Работа поддержана РФФИ (грант 19-41-710002 р\_а)}
\thanks{\it Поступила , опубликована }%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. }Artin groups are a generalization of known braid groups, in which the problems of words and conjugacy of words are algorithmically solvable. Due to the complexity of solving these problems in the Artin group class, algorithmic problems are considered in its various subclasses.

In 1983 K. Appel and P. Schupp defined the  Artin groups
extra-large type.

In 2003, V. N. Bezverkhny introduced the Artin group with a tree  structure.

Artin groups of extra-large type and Artin groups with tree  structure are well studied and most of the algorithmic problems are solved in them, in particular, the algorithmic solvability of the problem of generalized conjugacy of words is proved.

The article deals with generalized tree structures of Artin groups, which are tree products of Artin groups of extra-large type and Artin groups with a tree structure, united by cyclic subgroups corresponding to generatings these groups.

The authors provide a original proof of algorithmic solvability of the problem of generalized conjugacy of words in generalized tree structures of Artin groups. The method of proof uses the approach of G. S. Makanin, applied by him to study the finite generality of the element Normalizer in braid groups. In addition, this paper shows that the centralizer of a finitely generated subgroup in the generalized tree structure of Artin groups is finitely generated and there is an algorithm that writes out its generators.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} algorithmic problems, Artin group, generalized conjugation, tree product of groups, centralizer.
 \end{quote}
}

\section{Введение}

Пусть $G$ -- конечно порожденная группа Артина с копредставлением $$G = \langle a_1, ..., a_l;  < a_ia_j >^{m_{ij}}=< a_ja_i >^{m_{ji}}, i ,j = \overline{1, l}, i\neq j\rangle,$$
 где $ < a_ia_j >^{m_{ij}}$ -- слово длины
$m_{ij}$, состоящее из $m_{ij}$ чередующихся букв $a_i$ и $a_j,i\neq j$,    $m_{ij}$ -- число, соответствующее
 симметрической матрице Кокстера: $m_{ij}\in \mathbb {N} \setminus \{1\}\cup \{\infty\}, i,j=\overline{1,l},\, i\ne j$. В случае $m_{ij}=\infty,i\ne j,$ определяющего соотношения между образующими $a_i,a_j$ нет.

К. Аппель и П. Шупп \cite{AS} определили класс групп Артина
экстрабольшого типа и в нем
решили проблемы равенства и сопряженности слов.

Группы Артина  с древесной структурой введены В. Н. Безверхним \cite{BT}. В графе, соответствующем группе Артина, всегда можно выделить максимальный подграф, соответствующий группе Артина с древесной структурой. В данном классе групп В.~Н.~Безверхним и О.~Ю.~Платоновой (Карповой) решен ряд алгоритмических проблем \cite{BK}.

В статье приводится оригинальный метод доказательства алгоритмической разрешимости  проблемы обобщенной сопряженности слов в обобщенных древесных структурах групп Артина, представляющих собой древесные произведения групп Артина  экстрабольшого типа и групп Артина  с древесной структурой, объединенных по циклическим подгруппам, соответствующим образующим этих групп. Доказывается, что централизатор конечно порожденной подгруппы в данном классе групп конечно порожден и существует алгоритм, выписывающий его образующие.

В доказательстве основных результатов используется метод диаграмм, введенный ван Кампеном, переоткрытый Р. Линдоном \cite{LS} и усовершенствованный В. Н. Безверхним \cite{BOS}, а также методы работы \cite{Mk}.

\section{Централизатор конечно порожденной подгруппы}


Рассмотрим  конечно порожденную группу Артина, заданную копредставлением
$G = \langle a_1, ..., a_l;  < a_ia_j >^{m_{ij}}=< a_ja_i >^{m_{ji}}, i ,j = \overline{1, l}, i\neq j\rangle,$
 где $ < a_ia_j >^{m_{ij}}$ --- слово длины
$m_{ij}$, состоящее из $m_{ij}$ чередующихся букв $a_i$ и $a_j,i\neq j$,    $m_{ij}$ -- число, соответствующее
 симметрической матрице Кокстера: $m_{ij}\in \mathbb {N} \setminus \{1\}\cup \{\infty\}, i,j=\overline{1,l},\, i\ne j$, при $m_{ij}=\infty$ определяющего соотношения между образующими $a_i,a_j$ нет.

Если $m_{ij}>3$, $i\ne
j$, то $G$ называется группой Артина  экстрабольшого типа \cite{AS}.

 Построим для группы Артина $G$ граф $\Gamma$ такой, что образующим $a_i$ поставим в соответствие  вершины графа $\Gamma$, а каждому определяющему соотношению $< a_ia_j >^{m_{ij}}=< a_ja_i >^{m_{ji}}, m_{ij} \neq\infty$ -- ребро, соединяющее $a_i$ и $a_j,\ i\ne j$. Если при этом получится  дерево-граф $\Gamma$, то группа $G$ называется группой Артина с древесной структурой \cite{BK}.

Группа Артина $G$  с древесной структурой может быть представлена как свободное произведение двупорожденных групп Артина, объединенных по бесконечным циклическим подгруппам:
от графа $\Gamma$ группы Артина $G$ перейдем к графу $\overline{\Gamma}$ так, что вершинам графа $\overline{\Gamma}$
поставим в соответствие группы Артина на двух образующих $G_{ij} = \langle a_i, a_j; < a_ia_j >^{m_{ij}}=< a_ja_i >^{m_{ji}}\rangle$, а всякому  ребру $\overline{e}$, соединяющему вершины, соответствующие $G_{ij}$ и  $G_{jk}$ --- циклическую подгруппу $\langle a_j\rangle$.

Далее в статье будем рассматривать группу группу Артина
$$G=\langle\prod_{s=1}^t*G_s; a_{i_m}=a_{j_k}, i\neq j, i,j\in \{\overline{1,t}\}\rangle,$$ представляющую собой древесное
произведение групп Артина $G_s$, где $G_s$ либо группа Артина с древесной
структурой, либо  группа Артина экстрабольшого типа, запись $a_{i_m}=a_{j_k}$ означает, что объединение групп Артина $G_i$ и $G_j$ ведется по бесконечным циклическим подгруппам  $\langle a_{i_m}\rangle$, $\langle a_{j_k}\rangle$, где $a_{i_m}$ ---  некоторый образующий группы $G_i$,  $a_{j_k}$ --- некоторый образующий группы $G_j$.
Такую группу Артина $G$  будем называть обобщенной древесной структурой групп Артина \cite{DU1} и далее всюду под группой Артина $G$ будем понимать такую группу, если нет специальных оговорок.

Данный класс групп относится к почти большим группам Артина и в нем алгоритмически разрешимы проблемы равенства и сопряженности слов  \cite{DS}.

Пусть $F_i=\langle a_i\rangle$,
$F=\prod\limits_{i=1}^l*F_i$ -- свободное произведение
циклических групп $F_i,\{a_i\}_{i=\overline{1,l}}$ -- множество образующих $G$.

Обозначим через $R_{ij}$ -- множество всех нетривиальных слов,
циклически приведенных в свободном произвдении $F_{ij}=F_i\ast F_j$ и равных 1
в группе $G_{ij}$. Группу Артина $G_{ij}$ можно задать как
 $G_{ij}=\langle a_i,a_j; R_{ij}\rangle$.

Обозначим через $|w|$ длину слова $w$, а через $||w||$  -- слоговую длину слова $w$.

В дальнейшем под $R$ будем понимать $R= \bigcup\limits_{
i,j\in\{\overline{1,l}\}}R_{ij}$ -- симметризованное подмножество свободного
произведения $F$.

Пусть $u$,
$v$ -- два циклически приведенных  слова, $u$, $z\notin \langle
R\rangle^G$,  не сопряженные в $F$ и сопряженные в $G$, где $\langle R \rangle^G$ --
нормальное замыкание симметризованного множества $R$ в  $G$ \cite{LS}. Тогда
существует связная приведенная кольцевая $R$-диаграмма $M$ с
внешней граничной меткой $u$ и внутренней граничной меткой
$v^{-1}$, граничными метками областей $D$ которой являются
соотношения из $R$ \cite{LS}.

Подвергнем $R$-диаграмму $M$ следующему преобразованию.

Если две
области $D_1, D_2$ являются одновременно $R_{ij}$-диаграммами,
пересекаются по ребру с меткой $\varphi(\partial
D_1\cap\partial D_2)$, то, стирая это ребро, объединим $D_1$,
$D_2$ в одну область $D$. Допустим, что каждая из областей $D_1, D_2$  есть $R_{ij}$-диаграмма,  $D_1, D_2$  пересекаются по вершине. Тогда   объединяем $D_1$,
$D_2$ в одну область $D$. Если в том или другом случае метка границы
полученной области равна единице в свободном произведении $F$, то, удалив эту область, склеиваем  ее границу. Таким образом,
через конечное число шагов мы получим приведенную в $F$
связную $R$-диаграмму $M$, инвариантную относительного
рассмотренного преобразования с граничной меткой, равной $w$,
причем если две области $D'$, $D''$ из $M$ пересекаются по ребру,
то слоговая длина метки этого ребра равна единице.

Введем ряд определений, следуя работам \cite{BK}, \cite{BOS}, \cite{B}, \cite{BKu}.

Область $D\subset
M$ назовем граничной, если $\partial M\cap\partial D\ne\emptyset$.
Символами $i(D)$ будем обозначать число внутренних ребер в
граничном цикле $D$, $d(D)$ -- число  ребер в
граничном цикле $D$.

Область $D$ с граничным циклом $\partial D=e\gamma e^{-1}\delta$,
расположенная по обе стороны относительно ребра $e$, в которой
склеенные ребра $e$ и $e^{-1}$ пересекают граничный цикл $D$,
называется $(s-i)$-областью.

Будем говорить, что $\partial D\cap\partial M$ \, -- правильная
часть $M$, \, если  $\partial D\cap\partial M$ есть объединение
последовательности $l_1,l_2,\ldots, l_n$ замкнутых ребер, где
$l_1,\ldots ,l_n$ встречаются в данном порядке в некотором
граничном цикле для $D$ и в некотором граничном цикле для $M$ \cite{LS}.

Граничную область $D$ \, $R$-диаграммы $M$ \, назовем
правильной, если $\partial D\cap\partial M$ есть правильная часть.

\begin{definition}
 Правильная
область $D$ $R$-диаграммы $M$ называется {\it деновской}, если $i(D)<
d(D)/2$.
\end{definition}

\begin{definition}
Удаление внешней границы деновской области $R$-диаграммы $M$ называется  деновским сокращением $R$-диаграммы $M$
или $R$-сокращением.
\end{definition}

 $R$-диаграмма $M$ является $R$-приведенной, если в $M$ выполнены все деновские сокращения.

Слово $w\in G$ назовем $R$-приводимым ($R$-сократимым), если
$w$ приведено в $F$ и содержит подслово $s$, являющееся подсловом
некоторого соотношения $r\in R$, $r=sb$, где $||b||< ||s||$.

\begin{definition}
Поддиаграмма $\Pi = \bigcup\limits_{i = 1}^n {D_i } $ образует
полосу в $R$-приведенной $R$-диаграмме $M$ с граничным циклом
$\partial M = \gamma \cup \delta $, если

%, где $\gamma $ есть путь АВ, $\delta $ -- путь АА$_{1}$В$_{1}$В
\begin{enumerate}
    \item
$\partial D_i \cap {\partial D_{i + 1} = e_i}, \ i = \overline {1,n - 1},$  где $e_i$
-- ребро ;
  \item
$\partial D_i \cap \gamma = \gamma _i, \ i = \overline {1,n},$ где
$ \gamma _i $ -- связный путь, причем
$|| {\gamma _i }|| \ge 1$;
    \item $|| {\partial D_1 \cap \gamma } || = || {\partial
D_1 \backslash (\partial D_1 \cap {\gamma )} } ||$ и
$ || {\partial D_n \cap \gamma } || = ||
{\partial D_n \backslash (\partial D_n \cap {\gamma )} }
||$;
    \item $|| {\partial D_j
\cap \gamma } || + 2 = || {\partial D_j \backslash
(\partial D_j \cap {\gamma )} } ||, \ j = \overline {2,n - 1} $.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}
Пусть $\Pi$ -- полоса $R$-диаграммы $M$. Замену $R$-диаграммы $M$ на
$R$-диаграмму $M_1$, полученную из $M$ удалением  полосы $\Pi$, назовем $\overline R$-сокращением.
\end{definition}

 $R$-приведенное слово $w$ группы $G$ назовем  $\overline R$-приводимым ($\overline R$-сократимым), если в нем можно выделить подслово $s_1s_2\cdots
s_n$, где каждое $s_t$ содержится в некоторой группе $G_{ij}$ и
является подсловом соотношения $s_t^{-1}d_t^{-1}b_td_{t+1}\in R$,
причем при $1\leq t\leq n$ \quad
$||d_t||=||d_{t+1}||=1 $, $||s_t||=||b_t||+2$ \ и для $t$,  $1<t<n$,
 $||b_t||=||s_t||$.

\begin{lemma}
Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически
приведенного слова $w$ группы Артина $G$
выяснить, является ли $w$ $R$-приведенным.

Существует алгоритм, позволяющий для любого циклически
приведенного слова $w$ группы Артина $G$
выяснить, является ли $w$ $\overline R$-приведенным.

\end{lemma}

Доказательство очевидно.

\begin{definition}
 Приведенную  связную кольцевую $R$-диаграмму $M$ с
границей $\partial M = \sigma\cup \tau$ будем называть однослойной, если

  1) $M$  состоит из  областей $D_1,D_2,\ldots, D_m$, где $D_j\cap D_{j+1}=e_j,  j=\overline{1, m-1}, \\ D_1\cap D_m=e_m, D_j\cap\sigma\ne\emptyset , D_j\cap\tau\ne\emptyset, j=\overline{1, m}, \ e_{j} $ -- ребро,

 или

 2) $M=(\bigcup\limits_{i=1}^p N_i) \cup (\bigcup\limits_{j=1}^p\gamma_j)$, $N_i$ -- поддиаграммы (диски)
в $M$ с границами $\partial N_i=\sigma_i \cup \tau_i, \sigma_i
\cap \tau_i=\{{A_i,B_i}\}$ -- вершины, $i=\overline{1,p}$, $\gamma_i$ --
простые пути с концами $B_{i-1},A_{i},i=\overline{2,p}$, простой путь
$\gamma_1$ имеет начало $B_p$, а конец -- $A_1$, где каждое $N_i$ из состоит из  областей $D_{i_1},D_{i_2},\ldots, D_{i_{m_i}}$, причем $D_{i_j}\cap D_{i_{j+1}}=e_{i_j},  j=\overline{1, m_i-1}, D_{i_j}\cap\sigma\ne\emptyset, D_{i_j}\cap\tau\ne\emptyset, j=\overline{1, m_i},\ e_{i_j}$ -- ребро.
\end{definition}

 Из данного определения имеем, что в случае 1) все области $M$ граничные, каждая пара соседних областей, взятых в циклической последовательности, пересекается по ребру, каждая область пересекает и $\sigma$, и $\tau$ (пересечением может быть вершина, одно или несколько  ребер).
В  случае 2)  имеем простую кольцевую $R$-диаграмму, то есть $R$-диаграмму, в которой $\sigma\cap\tau \ne\emptyset$.  Пути $\gamma_i$, по которым пересекаются $\sigma, \tau$, отделяют поддиаграммы (диски),  причем заметим, что эти пути, в том числе, могут иметь нулевую длину (быть вершиной).

\begin{theorem}
Пусть $M$ -- приведенная связная кольцевая $R$-диаграмма
сопряженности слов $\varphi(\sigma)$, $\varphi(\tau)\in G$ над
группой Артина $G$, не содержащая
$(s-i)$-областей; $\sigma$, $\tau$ -- соответственно внешний и
внутренний граничный циклы $M$, слова $\varphi(\sigma)$,
$\varphi(\tau)$ циклически $R$ и $\overline R$-несократимы. Тогда
$M$ является однослойной.
\end{theorem}

\begin{proof}
Сначала докажем следующее утверждение: если  $M$ -- приведенная  односвязная $R$-диаграмма равенства  $R$ и $\overline R$-несократимых слов $w, v\in G$ над
группой Артина $G$ с
границей  $\partial M=\gamma\cup\delta, \varphi(\gamma)=u, \varphi(\delta)=v^{-1}$, то  $M$ является однослойной, то есть
$M$  состоит из  областей $D_1,D_2,\ldots, D_m$, где $D_j\cap D_{j+1}=e_j,  j=\overline{1, m-1}, D_j\cap\gamma\ne\emptyset , D_j\cap\delta\ne\emptyset, j=\overline{1, m}, \ e_{j} $ -- ребро,
 или
  $M=(\bigcup\limits_{i=1}^p N_i) \cup (\bigcup\limits_{j=2}^p\vartheta_j)$, $N_i$ -- поддиаграммы (диски)
в $M$ с границами $\partial N_i=\gamma_i \cup \delta_i, \gamma_i
\cap \delta_i=\{{A_i,B_i}\}$ -- вершины, $i=\overline{1,p}$, $\vartheta_i$ --
простые пути с концами $B_{i-1},A_{i},i=\overline{2,p}$, где каждое $N_i$ состоит из  областей $D_{i_1},D_{i_2},\ldots, D_{i_{m_i}}$, причем $D_{i_j}\cap D_{i_{j+1}}=e_{i_j},  j=\overline{1, m_i-1}, D_{i_j}\cap\gamma\ne\emptyset, D_{i_j}\cap\delta\ne\emptyset, j=\overline{1, m_i},\ e_{i_j}$ -- ребро.

Итак, пусть $w=v$ и $w=w_1w_2\ldots w_k,v=v_1v_2\ldots v_k,$ где $w_l, v_l\in G_{i_l}, l=\overline{1,k}$, $G_{i_l}$ есть либо группа Артина с древесной структурой, либо группа Артина экстрабольшого типа из представления (1), причем $w_l,w_{l+1}$, а также $v_l,v_{l+1}$, принадлежат разным группам и не являются элементами из объединяемых подгрупп. По  теореме ван Кампена \cite{LS} существует $R$ -  диаграмма $M$ равенства слов $w=v$ над $G$ такая, что $\partial
M=\gamma\cup\delta$, $\varphi(\gamma)=w$,
$\varphi(\delta)=v^{-1}$, $\varphi(\partial
M)=\varphi(\gamma)\varphi(\delta)=wv^{-1}$.
Имеем $w_1w_2\ldots w_k=v_1v_2\ldots v_k.$

 Рассмотрим слова $w_1,v_1$. Пути с метками $v_1$ и $w_1$ выходят из одной точки, $v_1, w_1$ из $G_{i_1}$. Допустим, что концы этих путей не совпадают, тогда существует кратчайший путь с меткой $u$ такой, что метка граничного цикла поддиаграммы в $M$ имеет вид $u^{-1}v_1^{-1} w_1$, где $u^{-1}v_1^{-1} w_1 =1$, то есть  $v_1^{-1} w_1=u, u\in G_{i_1}$.  Если $v=w$, то по теореме 2.6, а также лемме 2.3 из \cite{LS}, единственно возможными случаями для равенства слов $v$ и $w$ в рассматриваемом классе групп являются случаи, когда $u$ равно 1 или $u$ равно $a_{i_1}^{\alpha_{i_1}},\alpha_{i_1}\neq 0$, где $\langle a_{i_1}\rangle$ -- объединяемая подгруппа для $G_{i_1}$ и $G_{i_2}$. Получаем, что либо $w_1=v_1$, либо $w_1=v_1a_{i_1}^{\alpha_{i_1}}$.

 1. Допустим, что $w_1=v_1$, где $w_1,v_1\in G_{i_1}$, тогда поддиаграмма диаграммы $M$ с граничной меткой $v_1^{-1}w_1$ ($v_1^{-1}w_1=1$)  является  $R_{i_1}$ -  диаграммой $M_1$ равенства слов $w_1=v_1$ над $G_{i_1}$, причем $R_{i_1}\subset R$ и является объединением $R_{ij}$ из $G_{i_1}$; $\partial
M_1=\gamma_1\cup\delta_1$, $\varphi(\gamma_1)=w_1$,
$\varphi(\delta_1)=v_1^{-1}$, $\varphi(\partial
M_1)=\varphi(\gamma_1)\varphi(\delta_1)=w_1v_1^{-1}$. Из работ \cite{BK}, \cite{BKu} имеем, что данная диаграмма является однослойной.

2. Если $w_1=v_1a_{i_1}^{\alpha_{i_1}}$, где $\langle a_{i_1}\rangle$ -- объединяемая подгруппа для $G_{i_1}$ и $G_{i_2}$, то  поддиаграмма диаграммы $M$ с граничной меткой $a_{i_1}^{-\alpha_{i_1}}v_1^{-1}w_1$ ($a_{i_1}^{-\alpha_{i_1}}v_1^{-1}w_1=1$) является $R_{i_1}$- диаграммой $M_1$ равенства слов  $w_1=v_1a_{i_1}^{\alpha_{i_1}}$ в $G_{i_1}$,  $\partial
M_1=\gamma_1\cup\delta_1$, $\varphi(\gamma_1)=w_1$,
$\varphi(\delta_1)=a_{i_1}^{-\alpha_{i_1}}v_1^{-1}$, $\varphi(\partial
M_1)=\varphi(\gamma_1)\varphi(\delta_1)=w_1a_{i_1}^{-\alpha_{i_1}}v_1^{-1}$. Из работ \cite{BK}, \cite{BKu} имеем, что $M_1$ является однослойной.

Далее для случая 1 в $G$ имеем равенство слов $w_2\ldots w_k=v_2\ldots v_k$. Для $w_2,v_2$ также возможны два случая:

 a) $w_2=v_2$, где  $w_2,v_2\in G_{i_2}$. Тогда поддиаграмма диаграммы $M$ с граничной меткой $v_2^{-1}w_2$ является  $R_{i_2}$ -диаграммой $M_2$ равенства слов $w_2=v_2$ над $G_{i_2}$,  $M_2$ однослойна, как следует из  \cite{BK}, \cite{BKu}, и связана вершиной с $M_1$.  Далее рассматриваем равенство  слов $w_3\ldots w_k=v_3\ldots v_k$.

б) $w_2=v_2a_{i_2}^{\alpha_{i_2}}$, где $\langle a_{i_2}\rangle$ -- объединяемая подгруппа для $G_{i_2}$ и $G_{i_3}$,  тогда поддиаграмма диаграммы $M$ с граничной меткой $a_{i_2}^{-\alpha_{i_2}}v_2^{-1}w_2$ есть $R_{i_2}$-диаграмма $M_2$ равенства слов $w_2=v_2a_{i_2}^{\alpha_{i_2}}$ над $G_{i_2}$, $\partial
M_2=\gamma_2\cup\delta_2$, $\varphi(\gamma_2)=w_2$,
$\varphi(\delta_2)=a_{i_2}^{-\alpha_{i_2}}v_2^{-1}$, причем $R_{i_2}\subset R$ и является объединением $R_{ij}$ из $G_{i_2}$. Из работ \cite{BK}, \cite{BKu} имеем, что данная диаграмма является однослойной. $M_2$ связана вершиной с $M_1$. Далее рассматриваем равенство  слов $w_3\ldots w_k=a_{i_2}v_3\ldots v_k$. И так далее.

В случае 2 рассмотрим равенство $w_2\ldots w_k=a_{i_1}^{-\alpha_{i_1}}v_2\ldots v_k$ и слова $w_2,a_{i_1}^{-\alpha_{i_1}}v_2$. Для них  возможны  два случая:

a) $w_2=a_{i_1}^{-\alpha_{i_1}}v_2$. Тогда подддиаграмма диаграммы $M$ с граничной меткой $v_2^{-1}a_{i_1}^{\alpha_{i_1}}w_2$ есть $R_{i_2}$-диаграмма $M_2$ равенства слов  $w_2=a_{i_1}^{-\alpha_{i_1}}v_2$ над $G_{i_2}$. Она является однослойной и будет иметь общее ребро с меткой $a_{i_2}^{\alpha_{i_1}}$ с $M_1$.  Далее рассматриваем равенство слов $w_3\ldots w_k=v_3\ldots v_k$.

б) $w_2=a_{i_1}^{-\alpha_{i_1}}v_2a_{i_2}^{\alpha_{i_2}}$. Рассматриваем $R_{i_2}$-диаграмму $M_2$ равенства слов  $w_2=a_{i_1}^{-\alpha_{i_1}}v_2a_{i_2}^{\alpha_{i_2}}$ над $G_{i_2}$. Она является однослойной и имеет общее ребро с меткой $a_{i_1}^{\alpha_{i_1}}$ с $M_1$. Далее рассматриваем равенство  слов $w_3\ldots w_k=a_{i_2}^{-\alpha_{i_2}}v_3\ldots v_k$.

Продолжая рассуждения, аналогичные изложенным выше,
получаем строение $R$- диаграммы $M$ над $G$ с граничным циклом $\partial
M=\gamma\cup\delta$, $\varphi(\gamma)=w$,
$\varphi(\delta)=v^{-1}$, $\varphi(\partial
M)=\varphi(\gamma)\varphi(\delta)=wv^{-1}$, удовлетворяющей условиям леммы.


Таким образом,  приведенная  односвязная $R$-диаграмма $M$ равенства  $R$ и $\overline R$-несократимых слов $w, v\in G$ над группой Артина $G$ является однослойной.

Теперь перейдем к доказательству основного утверждения теоремы. Пусть  $M$ -- приведенная связная кольцевая $R$-диаграмма сопряженности слов $w,v$, для которой выполнены условия теоремы.
Пусть $z^{-1}wz=v$, $w=w_1w_2\ldots w_k,$ где $w_l, v_l\in G_{i_l}, l=\overline{1,k}$, $G_{i_l}$ есть либо группа Артина с древесной структурой, либо группа Артина экстрабольшого типа из представления (1). На основании теоремы 2.8 из работы \cite{LS} получаем, что любое циклически приведенное слово, сопряженное $w$, является циклической перестановкой элементов $w_1,w_2,\ldots, w_k$, и последующим сопряжением словом из объединяемой подгруппы. Тогда слово $v=v_1v_2\ldots v_k$ должно быть равно слову $h^{-1}w_{t+1}\ldots w_kw_1\ldots w_th$, где $h=1$, либо $h=a_{i_t}^{\alpha_{i_t}}, \alpha_{i_t}\neq 0$, где $a_{i_t}^{\alpha_{i_t}}$ принадлежит объединяемой подгруппе $\langle a_{i_t}\rangle$ для $G_{i_t},G_{i_{t+1}}$.  Поэтому равенство $z^{-1}wz=v$ должно сводится к равенству слов $h^{-1}w_{t+1}\ldots w_kw_1\ldots w_th=v_1v_2\ldots v_k$. Диаграмма равенства  слов $h^{-1}w_{t+1}\ldots w_kw_1\ldots w_th$ и $v_1v_2\ldots v_k$ имеет такое же строение, как рассмотрено выше. Склеивая ее по ребру с меткой $h=a_{i_t}^{\alpha_{i_t}}$, либо по вершине, соответствующей $h=1$, получаем диаграмму сопряженности слов $w,v$. В полученной диаграмме  все вершины являются граничными, а любая область пересекает и $\sigma$, и $\tau$, где
 $\varphi(\sigma)=w$, $\varphi(\tau)=v$. Поэтому приведенная связная кольцевая $R$-диаграмма $M$ сопряженности слов, удовлетворяющая условию леммы, является однослойной.
\end{proof}

\begin{definition} Кольцевую связную приведенную однослойную $R$-диаграмму $M$ с
граничными циклами $\sigma$, $\tau$ над
группой Артина $G$, метки которой $\varphi(\sigma)$, $\varphi(\tau)$ приведены в $F$,
$\varphi(\sigma)$ -- $R$-приведено и $\overline R$-приведено,
назовем особо специальной $R$-диаграммой, если в $M$ существует
одна область $D$ такая, что $||\varphi(\partial D\setminus(\partial
D\bigcap\sigma))||+2=||\varphi(\partial D\setminus(\partial
D\bigcap\tau))||$ ($||\varphi(\partial D\setminus(\partial
D\bigcap\sigma))||=||\varphi(\partial D\setminus(\partial
D\bigcap\tau))||+2$), а для остальных областей $D'$
$||\varphi(\partial D'\setminus(\partial D'\bigcap\sigma))||=||\varphi(\partial D'\setminus(\partial
D'\bigcap\tau))||$.
\end{definition}
Замену слова
$\varphi(\sigma) (\varphi(\tau)$) на слово $\varphi(\tau) (\varphi(\sigma)$) назовем специальным
кольцевым $R$-сокращением.

\begin{definition}Будем говорить, что циклически несократимое слово $w$ группы Артина
 $G$ является тупиковым,  если $w$ циклически
$R$-несократимо,  циклически  $\overline{R}$-несократимо и к
нему неприменимо  специальное кольцевое $R$-сокращение.\end{definition}

\begin{lemma}
Пусть  $M$ -- связная приведенная   минимальная
$R$-диаграмма над группой Артина
 $G$ с граничными циклами
$\sigma$, $\tau$; $\varphi(\sigma)$, $\varphi(\tau)$ являются тупиковыми. Тогда если $\varphi(\sigma)=x^r$, то $\varphi(\tau)=y^r$,
где $x,y\in\{a^{\pm1}_i\}_{i=\overline{1,l}},\{a_i\}_{i=\overline{1,l}}$ -- множество образующих
группы $G$.
\end{lemma}

Доказательство следует из работ \cite{BK} и \cite{B}, где также показано, что такие диаграммы состоят из $(s-i)$-областей.

\begin{theorem}
\cite{BOS}
 Пусть $G_{ij} = \langle a_i, a_j; < a_ia_j >^{m_{ij}}=< a_ja_i >^{m_{ji}}\rangle$, $w\in G_{ij}$ циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую длину,
равную $2m_{ij}$, и равно единице в $G_{ij}$. Тогда оно имеет вид:

при $m_{ij}=2k+1$  $a^m_ia_ja_i\ldots a_ia^{-m}_ja^{-1}_ia^{-1}_j\ldots a^{-1}_j$,
либо $a_ia_ja_i\ldots a^m_ia^{-1}_ja^{-1}_i \\ a^{-1}_j\ldots a^{-m}_j$, либо им обратные,

при $m_{ij}=2k,k>1$  $a^m_ia_ja_i\ldots a_ja^{-m}_ia^{-1}_ja^{-1}_i\ldots a^{-1}_j$,
либо $a_ia_ja_i\ldots a^m_ja^{-1}_ia^{-1}_j \\ a^{-1}_i\ldots a^{-m}_j$, либо им обратные,

при $m_{ji}=2$ $a^m_ia^l_ja^{-m}_ia^{-l}_j$, либо им обратные, $m,l\in\mathbb {Z} \setminus \{0\}$.
 \end{theorem}

Из \cite{BOS} также следует, что показатели степеней можно ограничить (по модулю) числом $p$, называемым параметром диаграммы: $p = |w|+|v|$.

\begin{theorem}
Централизатор  конечно порожденной  подгруппы $H$ обобщенной древесной структуры групп Артина
 $G$ есть конечно порожденная подгруппа и
существует алгоритм, выписывающий образующие централизатора.
\end{theorem}

 \begin{proof}
 Пусть $u=x^r$, $x\in\{a^{\pm1}_i\}_{i=\overline{1,l}}$, тогда из
леммы 2 следует, что $v=y^r$, $y\in \{a^{\pm1}_i\}_{i=\overline{1,l}}$, и
диаграмма сопряженности этих слов состоит из $(s-i)$-областей.

Пусть $M$ -- кольцевая $R$-диаграмма, $v$ -- произвольная точка,
принадлежащая некоторому замкнутому ребру $e\in M$, $e=e'e''$,
$e'\bigcap e''=v$. Тогда замкнутый путь $l\in M$ с начальной и
конечной точкой $v$: $l=e'^{-1}e_1\ldots e_nt$, где $t=e'$ либо
$t=e''^{-1}$, либо $l=e''e'_1\ldots e'_nt'$, где $t'=e'$ либо
$t'=e''^{-1}$ назовем циклическим в $M$, если $l$ гомотопен
$\tau$, соответственно $\sigma$.
Кратчайший из всех циклических
путей кольцевой $R$-диаграммы $M$, проходящих через некоторую
точку $v$, принадлежащую ребру $e$, $e\in M$, назовем циклическим
геодезическим путем с началом и концом в $v$.

Пусть $\sigma_0=\sigma, \sigma_1,\ldots, \sigma_k=\tau$ --
граничные циклы $R$-диаграмм, полученных из $M=M_0$
последовательным удалением $(s-i)$-областей. Но тогда
$\varphi(\sigma_i)=x^r_i$, $x_i\in \{a^{\pm1}_j\}_{j=\overline{1,l}}, i= \overline{0,k}$, и
любые два элемента $x^r_{i-1}$, $x^r_i$, $i=\overline{1,k}$, где
$x^r=x^r_0$, $x^r_k=y^r$ сопряжены в $G_{x_{i-1}x_i}$ максимальным куском
определяющего соотношения  группы $ G_{x_{i-1}x_i}$.

Пусть
$m_0=\max\{m_{ij}\mid m_{ij}<\infty\}$. Тогда длина любого циклического геодезического пути
из $M$ заключена в пределах $|u|\le d\le |u|+2m_0$. Заметим, что для кольцевых $R$-диаграмм, состоящих из $(s-i)$-областей, в
качестве параметра $p$ можно взять любое число, в частности, $p = 0$.

Пусть слова $u$, $v$ не являются степенями образующих в $G$. В этом случае
$u$, $v$ будут метками граничных циклов кольцевой $R$-диаграммы $M$ как в теореме 1.
Так как $u$ сопряжено с $v$, $u$,$v$  являются тупиковыми, то, как следует из  \cite{BK}, \cite{BKu} и теоремы 1, $||u||=||v||$.

Укажем границы изменения длины циклического геодезического
пути для диаграммы $M$.  На основании теорем 1, 2 длина $d$ циклического
геодезического пути заключена в пределах $|u|\le d\le
|u|+|v|+2p$.

Пусть теперь $w_1,w_2,\ldots,w_n$ -- образующие $H$, $H<G$; считаем, что
$w_1=w_{10}$ -- тупиковое слово и
$\forall i$, $i=\overline{2,n}$, $w_i=c_iw_{i0}c_i^{-1}$, где $w_{i0}$
 является тупиковым;
$\Delta(w_{i0},w_{i0})$ -- кольцевая связная приведенная
$R$-диаграмма сопряженности слова $w_{i0}$ слову $w_{i0}$. Введем
обозначения:
$c=\max\{|c_1|,\ldots,|c_n|\}$, где $|c_1|=0$ и
$S(w_i,w_i)$, $i=\overline{1,n},$ -- множество слов, длины $d_i$
которых заключены в пределах $|w_{i0}|\le d_i\le
2(|w_{i0}|+|c|+p+m_0)$.

Рассмотрим следующую
последовательность:
$$
w_1^{(0)},\ldots,w_n^{(0)}, H_1,w_1^{(1)},\ldots,w_n^{(1)},
H_2,\ldots,H_m,w_1^{(m)},\ldots,w_n^{(m)}, \eqno(1)
$$
где $\forall i$, $i=\overline{1,m}$,
$H_i^{-1}w_1^{(i-1)}H_i=w_1^{(i)},\ldots,H_i^{-1}w_n^{(i-1)}H_i=w_n^{(i)},
H_i \in T=\{ a^t, a \in \{a^{\pm1}_i\}_{i=\overline{1,l}}, 1 \leq t\leq p\}, w_j^{(s)}\in S(w_j,w_j)$ и является меткой
циклического геодезического диаграммы $\Delta(w_{j0},w_{j0})$, $
 j=\overline{1,n},  s= \overline{0, m} $, $w_j^{(0)}=c_jw_{j0}c_j^{-1}$.

Последовательность (1) называется базисной.
 Базисную последовательность (1) назовем
фундаментальной,  если для $\forall j, s,  0\le j<s<m$, наборы
$(w_1^{(j)}$, $\ldots$, \, $w_n^{(j)})$, $(w_1^{(s)}$, $\ldots$,
$w_n^{(s)})$ различны и существует целое $v$, $0\le v<m$, такое
что $w_1^{(v)}=w_1^{(m)},\ldots,w_n^{(v)}=w_n^{(m)}$.

\begin{lemma}
Если последовательность является фундаментальной, то соответствующее ей слово $H_1H_2\ldots
H_mH_v^{-1}\ldots H_1^{-1}$  принадлежит централизатору подгруппы
$H$.
\end{lemma}

Доказательство очевидно.

Слово $H_1H_2\ldots H_mH_v^{-1}\ldots H_1^{-1}$, связанное с
фундаментальной  последовательностью (1), назовем базисным словом.

\begin{lemma}
Если последовательность (1) является фундаментальной базисной
последовательностью, то $$m\le
|S|=|S(w_1,w_1)|\ldots|S(w_n,w_n)|$$
\end{lemma}
Доказательство очевидно.

\begin{lemma}
Число фундаментальных базисных
 последовательностей  конечно.
\end{lemma}
Доказательство очевидно.

\begin{lemma}
Пусть $F\in \mathbb{C}_G(H)$, $\mathbb{C}_G(H)$ -- централизатор
$H$ в $G$. Тогда существует \, разбиение $F$  в  произведение
 $F=H_1 H_2\ldots H_m$, $H_i \in T=\{ a^t, a \in \{a^{\pm1}_i\}_{i=\overline{1,l}}, 1 \leq t\leq p\}$,
$i=\overline{1,m}$, и  базисная последовательность, связанная с
данными разбиением $F$, то есть
$$w_1^{(0)},\ldots,w_n^{(0)}, H_1,w_1^{(1)},\ldots,w_n^{(1)},
H_2,\ldots,H_m,w_1^{(m)},\ldots,w_n^{(m)}$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $F\in \mathbb{C}_G(H)$, $F\ne 1$, тогда имеет место
следующая  система соотношений \\$F^{-1}w_1F=w_1$,
$c_2F^{-1}c_2^{-1}w_{20}c_2Fc_2^{-1}=w_{20},\ldots,
c_nF^{-1}c_n^{-1}w_{n0}c_nFc_n^{-1}=w_{n0}$.

Пусть  $\forall i, i=\overline{2,n}$, $\exists X_i,Y_i,F_i$ такие, что
$F\equiv X_iF_iY_i$ ($\equiv$
-- графическое  равенство), $c_i=c_i'X_i^{-1}=c_i''Y_i$.
В результате имеем следующие равенства $F^{-1}w_1F=w_1$,
$c_i''F_i^{-1}{c_i'}^{-1}w_{i0}c_i'F_i{c_i''}^{-1}=w_{i0}, i=\overline{2,n}$, где каждое из слов $c_i'F_ic_i''^{-1}$ несократимo .

Рассмотрим  кольцевые приведенные $R$ - приведенные,
$\overline{R}$-приведенные $R$-диаграммы \, $\Delta(w_{i0},w_{i0})$ с
граничными циклами $\sigma^{(i0)}$, $\tau^{(i0)}$, где
$\varphi(\sigma^{(i0)})=w_{i0}, \\ \varphi(\tau^{(i0)})=w_{i0}^{-1}$,
$i=\overline{2,n}$ ( при $i=1,w_{10}=w_1$), каждая из
которых, соответственно, является диаграммой сопряженности для
$i$-го соотношения.

Обозначим через  $O^{(i0)}$ начальную точку на $\sigma^{(i0)}$ и
через ${O'}^{(i0)}$ --  начальную точку на $\tau^{(i0)}$,
$i=\overline{1,n}$. Тогда в диаграмме $\Delta(w_{i0},w_{i0})$,
$i=\overline{1,n}$, содержится путь $\eta_i$,
$\alpha(\eta_i)=O^{(i0)}$, $\omega(\eta_i)={O'}^{(i0)}$ с
$\varphi(\eta_1)=F$, $\varphi(\eta_i)=c_i'F_ic_i''^{-1}$,
$i=\overline{2,n}$, где $\alpha(\eta)$, $\omega(\eta)$ --
соответственно начало и конец пути $\eta$. Пусть
$\varphi(\eta_1)=F=H_1^{(1)}H_2^{(1)}\ldots H_{m(1)}^{(1)}$ --
разбиение $F$ в диаграмме $\Delta(w_{10},w_{10})$ на элементы множества $T$.
Тогда  $F\equiv X_iF_iY_i=H_1^{(1)}\ldots
H_{\alpha_{(i)}^{(1)}}^{(1)}
 H_{\alpha_{(i)+1}^{(1)}}^{(1)}
 \ldots H_{\beta_{(i)}^{(1)}}^{(1)}H_{\beta_{(i)+1}^{(1)}}^{(1)}
 \ldots H_{m(1)}^{(1)}$, где $X_i=H_1^{(1)}\ldots
 H_{\alpha_{(i)}^{(1)}}^{(1)}$, $F_i=H_{\alpha_{(i)+1}^{(1)}}^{(1)}
 \ldots H_{\beta_{(i)}^{(1)}}^{(1)}$, $Y_i=H_{\beta_{(i)+1}^{(1)}}^{(1)}
 \ldots H_{m(1)}^{(1)}$.
С другой стороны, каждое $\varphi(\eta_i)=c_i'F_i{c_i''}^{-1}$ в
соответствующей диаграмме $\Delta(w_{i0},w_{i0})$ разбивается  на элементы множества $T$  $\varphi(\eta_i)=H_1^{(i)}\ldots
H_{\alpha_{(i)}^{(1)}}^{(i)}
 H_{\alpha_{(i)+1}^{(i)}}^{(i)}
 \ldots H_{\beta_{(i)}^{(i)}}^{(i)}H_{\beta_{(i)+1}^{(i)}}^{(i)}
 \ldots H_{m(i)}^{(i)}$, где  $c_i'=H_1^{(i)}\ldots
 H_{\alpha_{(i)}^{(i)}}^{(i)}$,$F_i=H_{\alpha_{(i)+1}^{(i)}}^{(i)}
 \ldots H_{\beta_{(i)}^{(i)}}^{(i)}$, ${c_i''}^{-1}=H_{\beta_{(i)+1}^{(i)}}^{(i)}
 \ldots H_{m(i)}^{(i)}$. Отсюда следуют соотношения
 $F_i=H_{\alpha_{(i)+1}^{(1)}}^{(1)}
 \ldots H_{\beta_{(i)}^{(1)}}^{(1)}=H_{\alpha_{(i)+1}^{(i)}}^{(i)}
 \ldots H_{\beta_{(i)}^{(i)}}^{(i)}$.
   Заметим, что  разбиение $X_i$ определяется разбиением $F$. Аналогично,
 разбиение  $Y_j$, также определяется разбиением $F$.
 Следовательно, $X_i$, $Y_j$ на искомое разбиение $F$ не влияют.
 В качестве искомого возьмем разбиение $\varphi(\eta_1)=F$ в диаграмме
$\Delta(w_{10},w_{10})$. Получим разбиение
  $F$: $F=H_1 H_2\ldots H_m$ и последовательность $w_1^{(0)},\ldots,w_n^{(0)}, H_1,w_1^{(1)},\ldots,w_n^{(1)},
H_2,\ldots,H_m,w_1^{(m)},\ldots,w_n^{(m)}$, связанную с полученным
разбиением, удовлетворяющую условиям: $\forall i,  i=\overline{1,m},$
$H_i^{-1}w_1^{(i-1)}H_i= \\ w_1^{(i)},\ldots,H_i^{-1}w_n^{(i-1)}H_i=w_n^{(i)},
H_i\in H_i \in T=\{ a^t, a \in \{a^{\pm1}_i\}_{i=\overline{1,l}}, 1 \leq t\leq p\}, w_j^{(s)}\in S(w_j,w_j),$ $j=\overline{1,n}, s=\overline{1,m}$.

\end{proof}

\begin{lemma}
Множество всех базисных слов порождает централизатор подгруппы
$H$.
\end{lemma}

Доказательство  очевидно

Из лемм 3-7 следует справедливость теоремы 3.

\end{proof}

\section{Обобщенная сопряженность слов}


\begin{theorem}
В обобщенной древесной структуре групп Артина разрешима проблема обобщенной
сопряженности слов.
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть даны множества слов $w_1, w_2,\ldots, w_n$ и  $v_1,
v_2,\ldots, v_n$. Необходимо  установить: $\exists z$, $z\in G$,
$\&_{i=1}^{n}(z^{-1}w_iz=v_i)$.

Пусть слова $w_1=w_{10}$, $v_1=v_{10}$
являются тупиковыми.   Пусть $w_i=a_iw_{i0}a_i^{-1}$,
$v_i=b_iv_{i0}b_i^{-1}$, $i=\overline{2,n}$, где $w_{i0}$, $v_{i0}$
 являются тупиковыми. Если предположить,
что эти множества сопряжены, то $\forall i$, $i=\overline{1,n}$,
$|w_{i0}|=|v_{i0}|$ и если какoе-то из $w_{i0}$   есть степень образующего, то сопряженное ему слово $v_{i0}$ тоже степень образующего
$y$. Пусть $\Delta(w_{i0},v_{i0})$ -- кольцевая связная
приведенная $R$-диаграмма сопряженности слов $w_{i0}$, $v_{i0}$. Пусть
$$
|a|=\max\{|a_1|, |a_2|, \ldots, |a_n|\},
$$
$$
|b|=\max\{|b_1|, |b_2|, \ldots, |b_n|\},
$$
где $|a_1|=|b_1|=0$.

Обозначим через $S(w_i,v_i)$, $i=\overline{1,n}$, множество всех
слов длина $d_i$ которых заключена в пределах $|w_{i0}|\le d_i\le
|w_{i0}|+|v_{i0}|+2(|a|+|b|+p+m_0).$

Введем обозначения $\forall i$, $i=\overline{1,n}$,
$w_i=w_i^{(0)}$ и рассмотрим базисные последовательности,
соответствующие множеству слов $w_1^{(0)},\ldots,w_n^{(0)}$:
$$
w_1^{(0)},\ldots,w_n^{(0)},H_1, w_1^{(1)},\ldots,w_n^{(1)},
H_2,\ldots, H_m,w_1^{(m)},\ldots,w_n^{(m)},\eqno(2)
$$
где $\forall i$, $i=\overline{1,n}$, $\forall j$, $ j=\overline{0,m}$,
$w_i^{(j)}\in S(w_i,v_i)$ и является меткой циклического
геодезического диаграммы $\Delta(w_{i0},v_{i0})$.

Базисная последовательность (2) называется особой, если она не
содержит фундаментальную последовательность либо   является
пустой, то есть все $H_i=1$. Слово $H_1 H_2\ldots H_m$,
соответствующее особой базисной последовательности, назовем особым
базисным словом.

Если в базисной последовательности (2) $w_1^{(m)}=v_1, \ldots,
w_n^{(m)}=v_n$, то слова $w_1,\ldots, w_n$ обобщенно сопряжены
словам $v_1,\ldots,v_n$.

\begin{lemma}
Если последовательность (2) является особой базисной
последовательностью, то $m\le |S|=|S(w_1,v_1)|\ldots|S(w_n,v_n)|.$
\end{lemma}

Доказательство очевидно.

\begin{lemma}
Число особых базисных последовательностей конечно.
\end{lemma}
Доказательство очевидно.

\begin{lemma}
Пусть $F$ -- какое-то решение системы
$\&_{i=1}^n(z^{-1}w_iz=v_i)$, тогда существует разбиение $F$ в
произведение  $H_1 H_2\ldots H_m$  элементов множества $T$ и базисная последовательность, связанная с
данным разбиением $F$:
$$
w_1^{(0)},\ldots,w_n^{(0)},H_1, w_1^{(1)},\ldots,w_n^{(1)},
H_2,\ldots, H_m,w_1^{(m)},\ldots,w_n^{(m)},\eqno(3)
$$
где $w_1^{(m)}=v_1,\ldots, w_n^{(m)}=v_n$.
\end{lemma}

Доказательство аналогично доказательству леммы 6.

\begin{lemma}
Пусть $F$ -- какое-то решение системы
$\&_{i=1}^n(z^{-1}w_iz=v_i)$ и (3) -- базисная
последовательность, соответвующая данному разбиению $F$. Тогда из
последовательности (3) можно выделить особую
подпоследовательность, такую, что соответствующее ей базисное
слово $F$ является решением системы.
\end{lemma}

\begin{proof}
Если система $\&_{i=1}^n(z^{-1}w_iz=v_i)$ такова, что $\forall i$,
$i=\overline{1,n}$, $w_i\equiv v_i$, то в качестве особой базисной
подпоследовательности  возьмем пустую подпоследовательность с
$F\equiv 1$. Если последовательность (3) не содержит
фундаментальных  подпоследовательностей то $F'= F$. Если (3) не
 особая  и $\exists j, \, j=\overline{1,n}$,  то существуют целые
числа $v,k, \, 0\le v<k<m$ такие, что подпоследовательность\,
$w_1^{(0)},\ldots,w_n^{(0)},H_1,\ldots, H_v,
w_1^{(v)},\ldots,w_n^{(v)}, H_{v+1},\ldots,
H_k,w_1^{(k)},\ldots,w_n^{(k)}$  является  фундаментальной.
Вычеркнув   из  (3)   подпоследовательность 
$H_{v+1},w_1^{(v+1)},\\, \ldots, \, w_n^{(v+1)}, H_{v+2},\ldots,
H_k,w_1^{(k)},\ldots,w_n^{(k)},$ получим базисную
последовательность слов, являющуюся решением системы. Если
полученная базисная последовательность не является особой, то
применим к ней  указанный выше процесс.
\end{proof}

Из лемм 8-11 следует доказательство теоремы 2.
\end{proof}

\begin{theorem}
Пусть $G$ -- обобщенная древесная структура групп Артина
и $\{w_i\}_{i=\overline{1,n}}$, $\{v_i\}_{i=\overline{1,n}}$
-- слова из $G$. Если $F$ -- какое-то решение системы\\
$\&_{i=1}^n(z^{-1}w_iz=v_i)$, то множество слов
$\mathbb{C}_G(H)\cdot F$, где $\mathbb{C}_G(H)$ -- централизатор
подгруппы $H$,  порожденной словами $\{w_i\}_{i=\overline{1,n}}$,
является множеством всех решений системы.
\end{theorem}

Доказательство  очевидно.

\begin{theorem}
Существует алгоритм, позволяющий для любого конечного множества
слов  из  обобщенной древесной структурой групп Артина
$G$ выписать образующие их нормализатора.
\end{theorem}

Доказательство  очевидно.


\section{Заключение}

В  работе рассмотрены проблемы построения централизатора конечно порожденной подгруппы и обобщенной сопряженности слов
 в обобщенных древесных структурах групп  Артина. Данный класс групп  важен для  изучения алгоритмических проблем \cite{D}, \cite{T} в группах Артина, которые могут либо быть представлены как обобщенные древесные структуры групп Артина, образованные из групп Артина с древесной структурой заменой некоторых вершин соответствующего дерева-графа группами Артина большого или экстрабольшого типов, а также группами Артина с $n$-угольной структурой, либо непосредственно принадлежат к перечисленным классам \cite{BB}. Данная работа продолжает изучение  алгоритмических свойств групп Артина.

 Для решения  проблемы построения централизатора конечно порожденной подгруппы  в обобщенных древесных структурах групп Артина применялись современные комбинаторные и геометрические методы исследования, в частности, метод диаграмм, введенный ван Кампеном, переоткрытый Р.~Линдоном и усовершенствованный В.~Н.~Безверхним в части введения $\overline{R}$-сокращений, и подход Г.~С.~Маканина, используемый им для доказательства конечной порожденности нормализатора элемента в группах кос.

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{AS}
Appel, К. \& Schupp, P., 1983, ``Artins groups and infinite Coxter groups``, \textit{Ivent. Math.}, , vol. 72, pp. 201-220.

\bibitem{BT}
Bezverkhnii, V.\,N., ``On Artin groups, Coxeter with a tree structure``, \textit{V mezhdunarodnaya konferentsiya «Algebra i teoriya chisel: sovremennye problemy i prilozheniya»: tezisy dokladov mezhdunarodnoy konferentsii}, Tula, 2003, pp. 33-34.

\bibitem{BK}
Bezverkhnii, V.\,N. \& Karpova, O.\,Ju., 2005, ``Power conjugacy problem for words in Coxeter groups with tree structure``, \textit{Izvestia of  Tula state University. Ser. Math. Mechanics. Informatics}, vol. 11,  pp. 63-75.

\bibitem{LS}
Lyndon, R.\& Schupp, P., 1980, \textit{Combinatorial group theory}, Mir, Moscow.

\bibitem{BOS}
Bezverkhnii,V.\, N., 1999, ``Decision of the generalized conjugacy problem in Artin groups of large type``, \textit{Fundamental and Applied Mathematics}, vol. 5, no. 1, pp. 1-38.

\bibitem{Mk}
Makanin, G.\,S., 1971, ``On normalizers in the braid group``, \textit{Math. USSR-Sb.}, vol. 15, no. 2, pp.  167–175.

\bibitem{DU1}
Dobrynina, I.\,V. \& Ugarov,  A.\,S., 2019, ``On the centralizer of an element in generalized tree structures of
Artin groups``, \textit{Algebra, teoriya chisel i diskretnaya geometriya: sovremennye problemy,
prilozheniya i problemy istorii: Materialy XVII Mezhdunar. konf., posvyashchennoy 100-letiyu so dnya rozhdeniya professora N. I. Fel'dmana i 90-letiyu so dnya rozhdeniya professorov A. I. Vinogradova, A. V. Malysheva i B. F. Skubenko}, Tula: TSPU, pp. 42-44.

\bibitem{DS}
Derek F. Holt \&  Sarah Rees, 2018, ``Biatomatic structures
in systolic Artin groups``,  \textit{arXiv:1807.02532v1 [math. GR]}.

\bibitem{B}
Bezverkhnii, V.\,N., 1986, ``Solution of the problem   of conjugation of words in
Artin groups of large type ``,
\textit{Algorithmic problems of theory of groups and semigroups}, Tula: TSPU, pp. 26-61.

\bibitem{BKu}
Bezverkhnii, V.\,N. \& Kuznetsova, A.\,N., 2008, ``Solvability of the problem of power conjugacy of words in Artin groups of extra-large type ``, \textit{Chebyshevskii Sb.}, vol. 9, no. 1, pp. 50-69.

\bibitem{BB}
Bezverkhnii, V.\,N., Bezverkhnyaya, N.\, B., Dobrynina, I.\,V., Inchenko O.\ V., Ustyan A.\ E, 2016, ``On algorithmic problems in Coxeter groups``, \textit{Chebyshevskii Sb.}, vol. 17, no. 4, pp. 23–50.

\bibitem{D}
Dehn, M., 1912, ``Uber unendliche diskontinuierliche Gruppen``,  \textit{Math. Annal.}, vol. 71, pp. 116-144.

\bibitem{T}
Tietze, H., 1908, ``Uber die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten``, \textit{Monatsh. Math. Phys.}, vol. 19, pp. 1-118.

\end{thebibliography}
\end{document}
