\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{517.946} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{35L80\ 35L25} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Начально--краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений]{Начально--краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений}
\author{{А.И. КОЖАНОВ}}%
\address{Aleksandr Ivanovich Kozhanov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{kozhanov@math.nsc.ru}%

\thanks{\sc Kozhanov, A.I.,
Initial--boundary value problems for degenerate hyperbolic equations
}
\thanks{\copyright \ 2015 Кожанов А.И}
\thanks{\rm Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики СО РАН (проект № 0314-2019-0010)}
\thanks{\it Поступила   июня 2020 г., опубликована    2020 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. }The aim of the paper is to study solvability in spaces
Sobolev initial--boundary value problems for differential equations
$$u_{tt}-\varphi(t)Au+c(x,t)u=f(x,t)$$
in which $A$ is an elliptic operator acting
in the spatial variables $x_1$,\ldots,$x_n$ and  $\varphi(t)$ is a
non-negative function on the segment $[0,T]$. Existence and uniqueness thereoms of regular solutions are proven. 
 Some generalizations of the results are also described.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} hyperbolic equations, degeneration,
initial - boundary value problems, regular solutions, existence.
 \end{quote}
}
%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Введение}

Настоящая работа посвящена исследованию разрешимости в классах регулярных решений
начально--краевых задач для линейных вырождающихся гиперболических уравнений
(регулярными решениями называются решения, имеющие все необходимые в задаче
обобщенные по Соболеву производные).

Вырождающиеся гиперболические уравнения изучались многими авторами.

Значительное число работ --- см., например, работы~\cite{1}--\cite{11}, монографии \cite{12}, \cite{13}
и имеющуюся в них библиографию --- посвящено исследованию разрешимости краевых задач
для вырождающихся
гиперболических уравнений в характеристических и близких к ним областях. Заметим,
что зачастую изучение тех или иных задач для вырождающихся гиперболических
уравнений объясняется их важностью для теории уравнений смешанного типа --- см.
монографии \cite{14}--\cite{19}.

Теории краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений в цилиндрических
областях также посвящено много работ.

Отметим прежде всего работы \cite{20}--\cite{23}, в которых изучалась разрешимость краевых задач
для некоторых специальных классов гиперболических уравнений с вырождением; используемая
в этих работах техника основана на идеях,
связанных с разделением переменных.

Более общие случаи вырождающихся гиперболических уравнений (а также уравнений смешанного
типа) в цилиндрических областях изучались в работах \cite{24}--\cite{29}. Более точно, в этих работах
изучались дифференциальные уравнения с вырождением келдышевского типа (\cite{30}; см. также
\cite{12}), и при этом само вырождение могло происходить как в произвольных точках временного
промежутка, так и на множествах ненулевой меры. Для рассматриваемых уравнений ставились
краевые задачи как обычные, так и видоизмененные --- с освобождением начальных
многообразий от задания производной по времени, и доказывались теоремы существования
и единственности регулярных решений.

В настоящей работе будут изучаться вырождающиеся гиперболические уравнения,
характер вырождения в которых соответствует вырождению в уравнении Трикоми
(см. \cite{12}), и при этом само вырождение может происходить в произвольных точках
временного промежутка. Для указанных уравнений будут доказаны теоремы существования
и единственности регулярных решений естественных (для невырождающихся
гиперболических уравнений) начально--краевых задач. Ранее подобные результаты
известны не были.

Всюду в работе будут использоваться обычные пространства Лебега $L_p$,
Соболева $W^l_p$, а также пространства $L_p(0,T; X)$. Определения и свойства этих
пространств можно найти в монографиях \cite{31}, \cite{32}.

\section{Постановка задач}

Пусть $\Omega$ есть ограниченная область из пространства $\mathbb{R}^n$
с гладкой (для простоты --- бесконечно--дифференцируемой) границей
$\Gamma$, $Q$ есть цилиндр $\Omega\times (0,T)$ переменных
$x_1$, \ldots, $x_n$, $t$ конечной высоты $T$. Далее, пусть $\varphi(t)$, $c(x,t)$ и
$f(x,t)$ есть заданные функции, определенные при $x\in\overline{\Omega}$,
$t\in [0,T]$, $L$ есть дифференциальный оператор, действие которого на
заданной функции $v(x,t)$ определяется равенством
$$Lv=v_{tt}-\varphi(t)\Delta v+c(x,t)v$$
($\Delta$ --- оператор Лапласа по переменным $x_1$, \ldots, $x_n$).

\underline{Краевая задача}: {\it найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в цилиндре
$Q$ решением уравнения
$$Lu=f(x,t)\eqno{(1)}$$
и такую, что для нее выполняются условия
$$u(x,t)|_{\Gamma\times (0,T)}0,\eqno{(2)}$$
$$u(x,0)=u_t(x,0)=0\quad\mbox{при}\quad x\in\Omega.\eqno{(3)}$$}

Данная краевая задача представляет собой обычную первую начально--краевую задачу
для нестационарных дифференциальных уравнений второго порядка по временной переменной.
Именно для этой задачи будут доказаны теоремы существования и единственности
регулярных решений. Для второй и третьей начально--краевых задач (в естественных
постановках) нетрудно будет получить аналогичные результаты об их разрешимости в классах
регулярных решений; ввиду очевидности обсуждать эти задачи мы не будем.


\section{Предварительные результаты}

Доказательство основной теоремы будет проведено в следующем пункте с помощью
трех предварительных результатов.


\underline{Утверждение 1}. {\it Пусть выполняются условия

$I$. $\varphi(t)\in C^1([0,T])$, $\varphi(t)>0$ при $t\in (0,T]$, $\varphi(0)=0$;

$II$. $c(x,t)\in C^1(\overline{Q})$, $\exists\, \delta_*\in (0,T]$: $c(x,t)\ge 0$,
$c_t(x,t)\le 0$ при $x\in\overline{\Omega}$, $0\le t\le \delta_*$;

$III$. $\varphi^{-\frac12}(t)f(x,t)\in L_2(0,T;\mathop{W}\limits^{\circ}{}^1_2(\Omega))$.

\noindent Тогда краевая задача~(1)--(3) имеет решение $u(x,t)$ такое, что\linebreak
$u(x,t)\in L_{\infty}(0,T;W^2_2(\Omega)\cap\mathop{W}\limits^{\circ}{}^1_2(\Omega))$,
$u_{tt}(x,t)\in L_2(Q)$}.

Доказательство. Воспользуемся методом регуляризации.

Для положительного числа $\varepsilon$ обозначим через $\varphi_{\varepsilon}(t)$
функцию $\varphi(t)+\varepsilon$, через $L_{\varepsilon}$ --- оператор, действие
которого на заданной функции $v(x,t)$ определяется
равенством
$$L_{\varepsilon}v=v_{tt}-\varphi_{\varepsilon}(t)\Delta v+c(x,t)v-
\varepsilon\Delta v_t.$$
Краевая задача с условиями~(2) и (3) для уравнения
$$L_{\varepsilon}u=f(x,t)$$
имеет решение $u^{\varepsilon}(x,t)$ такое, что
$u^{\varepsilon}(x,t)\in L_{\infty}(0,T;W^2_2(\Omega)\cap\mathop{W}\limits^{\circ}
{}^1_2(\Omega))$, $u^{\varepsilon}_t(x,t)\in L_2(0,T;W^2_2(\Omega)\cap
\mathop{W}\limits^{\circ}{}^1_2(\Omega))$, $u^{\varepsilon}_{tt}(x,t)\in L_2(Q)$ ---
см. [33]--[35]. Покажем, что для семейства $\{u^{\varepsilon}(x,t)\}_{\varepsilon>0}$
имеют место равномерные по $\varepsilon$ априорные оценки.

Индекс "$\varepsilon$"\ при получении оценок опустим.

Вследствие условия~I существует положительное число $t_*$ такое, что $t_*\le\delta_*$,
$\varphi'(t)\ge 0$ при $t\in [0,t_*]$.

Рассмотрим равенство
$$\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}\frac{1}{\varphi_{\varepsilon}(\tau)}L_{\varepsilon}u
u_{\tau}\,dx\,d\tau=\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}\frac{1}{\varphi_{\varepsilon}(\tau)}
fu_{\tau}\,dx\,d\tau$$
вначале при $t\in [0,t_*]$. Это равенство нетрудно преобразовать к виду
$$\frac{1}{2\varphi_{\varepsilon}(t)}\int\limits_{\Omega}u^2_t(x,t)\,dx
+\frac12\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}\frac{\varphi'}{\varphi^2_{\varepsilon}}
u^2_{\tau}\,dx\,d\tau+\frac12\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\Omega}u^2_{x_i}(x,t)\,dx+$$
$$+\frac12\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}\frac{c\varphi'-
c_{\tau}\varphi_{\varepsilon}}{\varphi^2_{\varepsilon}}u^2\,dx\,d\tau+
\frac12\int\limits_{\Omega}\frac{c(x,t)}{\varphi_{\varepsilon}(t)}u^2(x,t)\,dx+$$
$$+\varepsilon\sum\limits_{i=1}^n\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}
\frac{1}{\varphi_{\varepsilon}(\tau)}u^2_{x_i\tau}\,dx\,d\tau=$$
$$=\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}
\frac{1}{\varphi_{\varepsilon}(\tau)}fu_{\tau}\,dx\,d\tau.$$
Условия~I и II означают, что все слагаемые левой части этого равенства неотрицательны.
Применив в правой части неравенство Юнга, учитывая условие~III и далее используя лемму
Гронуолла, получим, что для решений $u(x,t)$ краевой задачи~$(1_{\varepsilon})$,
(2), (3) выполняется оценка
$$\frac{1}{\varphi_{\varepsilon}(t)}\int\limits_{\Omega}u^2_t(x,t)\,dx
+\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\Omega}u^2_{x_i}(x,t)\,dx+$$$$+
\varepsilon\sum\limits_{i=1}^n\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}
\frac{1}{\varphi_{\varepsilon}(\tau)}u^2_{x_i\tau}\,dx\,d\tau\le N_1\eqno{(4)}$$
с постоянной $N_1$, определяющейся лишь функциями $\varphi(t)$ и $f(x,t)$, а также
числом $T$.

Рассмотрим равенство
$$-\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}\frac{1}{\varphi_{\varepsilon}(\tau)}L_{\varepsilon}u
\Delta u_{\tau}\,dx\,d\tau=-\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}
\frac{1}{\varphi_{\varepsilon}(\tau)}f\Delta u_{\tau}\,dx\,d\tau$$
(вновь при $t\in [0,t_*)$. После интегрирования по частям, использования
условий~I--III, применения неравенства Юнга и леммы Гронуолла получим, что при $t\in [0,t_*]$
для решений $u(x,t)$ краевой задачи~$(1_{\varepsilon})$, (2), (3) выполняется вторая
априорная оценка
$$\frac{1}{\varphi_{\varepsilon}(t)}\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\Omega}
u^2_{x_it}(x,t)\,dx+\int\limits_{\Omega}[\Delta u(x,t)]^2\,dx+$$$$+
\varepsilon\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}(\Delta u_{\tau})^2\,dx\,d\tau
\le N_2,\eqno{(5)}$$
постоянная $N_2$ в которой определяется функциями $\varphi(t)$, $c(x,t)$ и $f(x,t)$,
а также числом $T$.

Пусть теперь $t\in [t_*,T]$. Анализируя последовательно равенство
$$\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}L_{\varepsilon}uu_{\tau}\,dx\,d\tau=
\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}f u_{\tau}\,dx\,d\tau,$$
$$-\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}L_{\varepsilon}u\Delta u_{\tau}\,dx\,d\tau=
-\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}f \Delta u_{\tau}\,dx\,d\tau,$$
$$\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}L_{\varepsilon}uu_{\tau\tau}\,dx\,d\tau=
\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}f u_{\tau\tau}\,dx\,d\tau$$
--- интегрируя по частям, используя положительность функции $\varphi(t)$ на отрезке
$[t_*,T]$, учитывая оценки~(4) и (5) и применяя лемму Гронуолла, получим, что для решений
$u(x,t)$ краевой задачи~$(1_{\varepsilon})$, (2), (3) справедлива
оценка
$$\int\limits_{\Omega}u^2_t(x,t)\,dx+\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\Omega}
u^2_{x_i}(x,t)\,dx+\int\limits_{\Omega}[\Delta u(x,t)]^2\,dx+$$
$$+\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}u^2_{\tau\tau}\,dx\,d\tau
+\varepsilon\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}(\Delta u_{\tau})^2\,dx\,d\tau
\le N_3,\eqno{(6)}$$
постоянная $N_3$ в которой определяется функциями $\varphi(t)$, $c(x,t)$ и $f(x,t)$,
а также числом $T$.

Оценки~(6) уже вполне достаточно для предельного перехода в уравнении~$(1_{\varepsilon})$.

Пусть $\{\varepsilon_m\}_{m=1}^{\infty}$ есть последовательность положительных чисел,
сходящаяся к нулю, $u_m(x,t)$ есть решение краевой задачи~$(1_{\varepsilon_m})$, (2), (3).
Из оценки~(6) и из свойства рефлексивности гильбертова пространства следует, что
существуют последовательности $\{m_k\}_{k=1}^{\infty}$ натуральных чисел,
$\{u_{m_k}(x,t)\}_{k=1}^{\infty}$  решений краевых
задач~$(1_{\varepsilon_{m_k}})$, (2), (3), а также функция $u(x,t)$ такие, что
при $k\rightarrow\infty$ имеют место сходимости
$$u_{m_k}(x,t)\rightarrow u(x,t)\ \mbox{\it слабо в}\ W^2_2(Q),$$
$$\varepsilon_{m_k}\Delta u_{m_kt}(x,t)\rightarrow 0\ \mbox{\it слабо в}\ L_2(Q).$$
Из этих сходимостей очевидным образом вытекает, что предельная функция $u(x,t)$ будет
решением краевой задачи~(1)--(3). Поскольку оценка~(6) с $\varepsilon=0$ для предельной
функции $u(x,t)$ сохранится, то функция $u(x,t)$ будет принадлежать требуемому классу.

Утверждение доказано.

\underline{Утверждение 2}. {\it Пусть выполняются условия

$IV$. $\varphi(t)\in C^1([0,T])$, $\varphi(t)>0$ при $t\in [0,T)$, $\varphi(T)=0$;

$V$. $c(x,t)\in C^2(\overline{Q})$, $\exists\, \delta^*\in [0,T)$: $c(x,t)\ge 0$,
$c_t(x,t)\le 0$ при $x\in\overline{\Omega}$, $\delta^*\le t\le T$;

$VI$. $f(x,t)\in L_2(0,T;W^2_2(\Omega)\cap\mathop{W}\limits^{\circ}{}^1_2(\Omega))$.

\noindent Тогда краевая задача~(1)--(3) имеет решение $u(x,t)$ такое, что\linebreak
$u(x,t)\in L_{\infty}(0,T;W^2_2(\Omega)\cap\mathop{W}\limits^{\circ}{}^1_2(\Omega))$,
$u_t(x,t)\in L_{\infty}(0,T;W^2_2(\Omega)\cap\mathop{W}\limits^{\circ}{}^1_2(\Omega))$,
$u_{tt}(x,t)\in L_2(Q)$}.

Доказательство. Вновь воспользуемся методом регуляризации.

Пусть $\varepsilon$ есть положительное число, $\widetilde{L}_{\varepsilon}$
есть дифференциальный оператор, действие которого на заданной функции $v(x,t)$
 определяется равенством
$$\widetilde{L}_{\varepsilon}v=Lv+\varepsilon \Delta^2v_t.$$
Рассмотрим краевую задачу: {\it найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в цилиндре $Q$ решением
уравнения
$$\widetilde{L}_{\varepsilon}u=f(x,t)\eqno{(\widetilde{1_{\varepsilon}})}$$
и такую, что для нее выполняются условия~(2) и (3), а также условие}
$$\Delta u(x,t)|_{\Gamma\times (0,T)}=0.\eqno{(7)}$$
При фиксированном $\varepsilon$ и при принадлежности функции $f(x,t)$ пространству $L_2(Q)$
эта задача имеет решение $u^{\varepsilon}(x,t)$ такое, что \linebreak
$u^{\varepsilon}(x,t)\in L_{\infty}(0,T;W^4_2(\Omega))$, $u^{\varepsilon}_t(x,t)
\in L_2(0,T;W^4_2(\Omega))$, $u^{\varepsilon}_{tt}(x,t)\in L_2(Q)$ ---
см.~[33] (нетрудно доказать существование указанного решения и непосредственно ---
с помощью классического метода Галеркина с выбором специального базиса [36]).
Покажем, что для семейства $\{u^{\varepsilon}(x,t)\}_{\varepsilon>0}$
при выполнении условий~IV--VI имеют место равномерные по $\varepsilon$ априорные оценки.

Индекс "$\varepsilon$"\ при получении оценок вновь опустим.

Вследствие условия~IV существует положительное число $t^*$ такое, что
$\delta^*\le t^*\le T$, $\varphi'(t)\le 0$ при $t\in [t^*,T]$.

Пусть $t\in [0,t^*]$. Рассмотрим равенство
$$\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}L_{\varepsilon}uu_{\tau}\,dx\,d\tau=
\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}fu_{\tau}\,dx\,d\tau.\eqno{(8)}$$
Интегрируя по частям, учитывая, что $t\le t^*$ выполняется неравенство
$\varphi(t)\ge k_0>0$, а также применяя лемму Гронуолла, получим, что следствием
равенства~(8) будет оценка
$$\int\limits_{\Omega}u^2_t(x,t)\,dx+\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\Omega}
u^2_{x_i}(x,t)\,dx+$$
$$+\varepsilon\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}
(\Delta u_{\tau})^2\,dx\,d\tau\le N_4$$
с постоянной $N_4$, определяющейся лишь функциями $\varphi(t)$ и $f(x,t)$, числами
$t^*$ и $T$.

Рассмотрим теперь равенство~(8) в случае $t\in [t^*,T]$. Имеют место равенства
$$\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}L_{\varepsilon}uu_{\tau}\,dx\,d\tau=
\int\limits^{t^*}_0\int\limits_{\Omega}L_{\varepsilon}uu_{\tau}\,dx\,d\tau+
\int\limits^t_{t^*}\int\limits_{\Omega}L_{\varepsilon}uu_{\tau}\,dx\,d\tau=$$
$$=-\frac12\sum\limits_{i=1}^n\int\limits^{t^*}_0\int\limits_{\Omega}
\varphi' u^2_{x_i}\,dx\,d\tau-\frac12\int\limits^{t^*}_0
\int\limits_{\Omega}c_{\tau}u^2\,dx\,d\tau+
\varepsilon\int\limits^{t^*}_0\int\limits_{\Omega}(\Delta u_{\tau})^2\,dx\,d\tau+$$
$$+\frac12\int\limits_{\Omega}u^2_t(x,t)\,dx-
\frac12\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{t^*}^t\int\limits_{\Omega}
\varphi' u^2_{x_i}\,dx\,d\tau+$$
$$+\frac{\varphi(t)}{2}\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\Omega}
u^2_{x_i}(x,t)\,dx+\frac12\int\limits_{\Omega}c(x,t)u^2(x,t)\,dx-
\frac12\int\limits_{t^*}^t\int\limits_{\Omega}c_{\tau}u^2\,dx\,d\tau+$$
$$+\varepsilon\int\limits_{t^*}^t\int\limits_{\Omega}(\Delta u_{\tau})^2\,dx\,d\tau=
\int\limits_0^{t^*}\int\limits_{\Omega}fu_{\tau}\,dx\,d\tau+
\int\limits_{t^*}^t\int\limits_{\Omega}fu_{\tau}\,dx\,d\tau.$$
В последнем равенстве первые три слагаемых левой части и первое слагаемое
правой в сумме дают равномерно по $\varepsilon$ ограниченную величину. Далее, все остальные
слагаемые левой части неотрицательны. Используя неравенство Юнга и далее применяя
лемму Гронуолла, получим, что для решений
$u(x,t)$ краевой задачи~$(\widetilde{1_{\varepsilon}})$, (2), (3), (7) при
$t\in [t^*,T]$ выполняется оценка
$$\int\limits_{\Omega}u^2_t(x,t)\,dx+\varepsilon\int\limits^t_{t^*}\int\limits_{\Omega}
(\Delta u_{\tau})^2\,dx\,d\tau\le N_5,$$
постоянная $N_5$ в которой определяется лишь функциями $\varphi(t)$, $c(x,t)$ и $f(x,t)$,
а также числами $t^*$ и $T$.

Поскольку $t^*$ есть фиксированное число, то получаем, что для функции $u(x,t)$
выполняется неравенство
$$\int\limits_{\Omega}u^2_t(x,t)\,dx+\varepsilon\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}
(\Delta u_{\tau})^2\,dx\,d\tau\le N_6,\eqno{(9)}$$
в котором $t\in [0,T]$, постоянная $N_6$ определяется лишь функциями $\varphi(t)$,
$c(x,t)$ и $f(x,t)$, а также числом $T$.

На следующем шаге рассмотрим равенства
$$-\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}\widetilde{L}_{\varepsilon}u\Delta u_{\tau}\,dx\,d\tau=
-\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}f\Delta u_{\tau}\,dx\,d\tau,$$
$$\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}\widetilde{L}_{\varepsilon}u\Delta^2 u_{\tau}\,dx\,d\tau=
\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}f\Delta^2 u_{\tau}\,dx\,d\tau,$$
вновь каждое из них вначале при $t\in [0,t^*]$, затем --- при $t\in [t^*,T]$. Интегрируя
в этих равенствах как слева, так и справа, повторяя предыдущие рассуждения и
используя неравенство~(9), получим, что для решений $u(x,t)$ краевой
задачи~$(\widetilde{1_{\varepsilon}})$, (2), (3), (7) при выполнении условий~IV--VI
будут справедливы оценки
$$\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\Omega}
u^2_{x_it}(x,t)\,dx+\varepsilon\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_0^t\int\limits_{\Omega}
(\Delta u_{x_i})^2\,dx\,d\tau\le N_7,\eqno{(10)}$$
$$\int\limits_{\Omega}[\Delta u_t(x,t)]^2\,dx+
\varepsilon\int\limits^t_0\int\limits_{\Omega}(\Delta^2 u_{\tau})^2\,dx\,d\tau
\le N_8,\eqno{(11)}$$
в которых $t\in [0,T]$, постоянные $N_7$ и $N_8$ определяются функциями
$\varphi(t)$, $c(x,t)$ и $f(x,t)$, а также числом $T$.

Последняя априорная оценка
$$\int\limits_0^t\int\limits_{\Omega}\left[u^2_{\tau\tau}+(\Delta u)^2\right]\,dx\,d\tau
\le N_9\eqno{(12)}$$
с постоянной $N_9$, определяющейся лишь функциями $\varphi(t)$, $c(x,t)$ и $f(x,t)$,
а также числом $T$, очевидным образом вытекает из предыдущих.

Оценок~(9)--(12) вполне достаточно для организации процедуры предельного перехода.
Выбирая последовательность $\{\varepsilon_m\}_{m=1}^{\infty}$, сходящуюся к нулю, и
далее используя свойство рефлексивности гильбертова пространства, получим, что
существует предельная функция $u(x,t)$, являющаяся искомым решением краевой задачи~(1)--(3).

Утверждение доказано.


\underline{Утверждение 3}. {\it Пусть выполняются условия

$VII$. $\varphi(t)\in C^1([0,T])$, $\varphi(t)>0$ при $t\in (0,T]$, $\varphi(0)=\varphi{T}=0$;

$VIII$. $c(x,t)\in C^2(\overline{Q})$, $\exists\, \delta_*$,
$\exists\, \delta^*$: $0<\delta_*\le\delta^*<T$: $c(x,t)\ge 0$,
$c_t(x,t)\le 0$ при $x\in\overline{\Omega}$, $t\in [0,\delta_*]\cup [\delta^*,T]$;

$IX$. $f(x,t)\in L_2(0,T;W^2_2(\Omega)\cap\mathop{W}\limits^{\circ}{}^1_2(\Omega))$,
 $\varphi^{-\frac12}(t)f(x,t)\in L_2(0,\delta_*;W^2_2(\Omega)\cap
 \mathop{W}\limits^{\circ}{}^1_2(\Omega))$.

\noindent Тогда краевая задача~(1)--(3) имеет решение $u(x,t)$ такое, что\linebreak
$u(x,t)\in L_{\infty}(0,T;W^2_2(\Omega)\cap\mathop{W}\limits^{\circ}{}^1_2(\Omega))$,
$u_{tt}(x,t)\in L_2(Q)$}.

Доказательство. Пусть $t_*$ и $t^*$ есть такие числа, что выполняется \linebreak
$0<t_*\le \delta_*$, $\varphi'(t)\ge 0$ при $\delta^*\le t^*<T$,
$\varphi'(t)\ge 0$ при $t\in [t^*,T]$.  Для положительного числа
$\varepsilon$ рассмотрим краевую задачу: {\it найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в
цилиндре $Q$ решением уравнения
$$u_{tt}-\varphi_{\varepsilon}(t)\Delta u+c(x,t)u+
\varepsilon\Delta^2 u_t=f(x,t)$$
и такую, что для нее выполняются условия~(2), (3) и (7)}. Эта задача
имеет решение $u^{\varepsilon}(x,t)$ такое, что
$u^{\varepsilon}(x,t)\in L_{\infty}(0,T;W^4_2(\Omega))$, $u^{\varepsilon}_t(x,t)
\in L_2(0,T;W^4_2(\Omega))$, $u^{\varepsilon}_{tt}(x,t)\in L_2(Q)$. Для
функций $u^{\varepsilon}(x,t)$ имеют место равномерные по $\varepsilon$
априорные оценки~(9)--(12) --- при $t\in [0,t_*]$ справедливость их устанавливается с помощью
рассуждений Утверждения~1, при $t\in [t_*,T]$ --- с помощью рассуждений Утверждения~2.

Из оценок~(9)--(12) с помощью стандартных рассуждений о выборе сходящейся
последовательности и вытекает существование искомого решения.

Утверждение доказано.

\section{Основная теорема}

Обозначим через $E_0$ множество, состоящее из конечного набора чисел
$t_0$, \ldots, $t_m$ таких, что $0\le t_0<t_1<\ldots<t_m\le T$. Далее, пусть $\delta_0$
есть фиксированное положительное число, $E(\delta_0)$ есть множество, образованное
отрезками $[t_k-\delta_0,t_k+\delta_0]$, если $t_k\in (0,T)$, а также отрезком
$[0,\delta_0]$, если $t_0=0$, и отрезком $[T-\delta_0, T]$, если $t_m=T$. Будем считать,
что число $\delta_0$ настолько мало, что выполняется вложение $E(\delta_0)\subset [0,T]$.

\begin{theorem} Пусть выполняются условия

\noindent $\mbox{\rm(а)}$ $\varphi(t)\in C^1([0,T])$, $\varphi(t)>0$ при
$t\in [0,T]\setminus E_0$, $\varphi(t)=0$ при $t\in E_0$;

\noindent $\mbox{\rm(б)}$ $c(x,t)\in C^2(\overline{Q})$, $c(x,t)\ge 0$, $c_t(x,t)\le 0$
при $x\in\overline{\Omega}$, $t\in E(\delta_0)$;

\noindent $\mbox{\rm(в)}$ $f(x,t)\in L_2(0,T;W^2_2(\Omega)\cap\mathop{W}
\limits^{\circ}{}^1_2(\Omega))$, $\varphi^{-\frac12}(t)f(x,t)\in
L_2(t_k,t_k+\delta_0;W^2_2(\Omega)\cap
 \mathop{W}\limits^{\circ}{}^1_2(\Omega))$, если $t_k\in [0,T)$, $k=0,\ldots,m$.

\noindent Тогда краевая задача~(1)--(3) имеет решение $u(x,t)$ такое, что\linebreak
$u(x,t)\in L_{\infty}(0,T;W^2_2(\Omega)\cap\mathop{W}\limits^{\circ}{}^1_2(\Omega))$,
$u_{tt}(x,t)\in L_2(Q)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Рассмотрим краевую задачу~$(\widetilde{1_{\varepsilon}})$, (2), (3), (7).
Если $t_0=0$, то, повторяя локальные рассуждения утверждения~1, затем --- утверждения~2,
и далее, если необходимо, снова утверждения~1, и т.д., получим, что для решений
$u^{\varepsilon}(x,t)$ этой задачи выполняются оценки~(9)--(12). Если $t_0>0$,
то вначале пользуемся рассуждениями утверждения~2, далее --- утверждения~1,
и т.д., вновь получим, что для решений $u^{\varepsilon}(x,t)$ краевой
задачи~$(\widetilde{1_{\varepsilon}})$, (2), (3), (7) имеют место оценки~(9)--(12).
Из оценок~(9)--(12) и вытекает возможность выбора последовательности
$\{u_m(x,t)\}_{m=1}^{\infty}$, сходящейся к искомому решению краевой задачи~(1)--(3).

Теорема доказана.
\end{proof}

\section{Комментарии и дополнения}

1. Для второй и третьей начально--краевых задач для уравнения~(1) нетрудно получить
аналогичные вышеприведенным результаты о существовании регулярных решений.

2. Также нетрудно получить результаты о существовании регулярных решений
первой, второй или третьей краевых задач для более общих, чем (1), вырождающихся
гиперболических уравнений --- например, для уравнений с заменой
оператора Лапласа на эллиптический оператор $A$ вида
$$A=\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}\left(a^{ij}(x)u_{x_j}\right),$$
для уравнений с младшими членами.

3. В целом вполне аналогично можно изучить разрешимость в классах регулярных
решений начально--краевых задач для вырождающихся уравнений с заменой оператора Лапласа
на произвольный эллиптический оператор порядка $2m$. Приведем соответствующую
теорему для первой начально--краевой задачи и для оператора $(-1)^m\Delta^mu$.

\begin{theorem}
Пусть для функции $\varphi(t)$ выполняется
условие~$\mbox{\rm(а)}$. Кроме того, пусть выполняются условия

\noindent $\mbox{\rm(г)}$ $c(x,t)\in C^{2m}(\overline{Q})$, $c(x,t)\ge 0$,
$c_t(x,t)\le 0$ при $(x,t)\in\overline{Q}$;

\noindent $\mbox{\rm(д)}$ $\varphi^{-\frac12}(t)f(x,t)\in
L_2(0,T;W^{2m}_2(\Omega)\cap\mathop{W}\limits^{\circ}{}^{2m-1}_2(\Omega))$.

\noindent Тогда краевая задача
$$u_{tt}+(-1)^m\varphi(t)\Delta^m u+c(x,t)u=f(x,t),$$
$$u(x,0)=u_t(x,0)=0\quad\mbox{при}\quad x\in\Omega,$$
$$\left.\frac{\partial^k u(x,t)}{\partial \nu^k}\right|_{\Gamma\times (0,T)}=0,
\quad k=0,\ldots,m-1.$$
имеет решение $u(x,t)$ такое, что
$u(x,t)\in L_{\infty}(0,T;W^{2m}_2(\Omega)\cap\mathop{W}\limits^{\circ}{}^{2m-1}_2(\Omega))$,
$u_{tt}(x,t)\in L_2(Q)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Доказательство этой теоремы основано на использовании регуляризованного уравнения
$$u_{tt}+(-1)^m\varphi_{\varepsilon}(t)\Delta^m u+c(x,t)u
+\varepsilon\Delta^{2m}u_t=f(x,t)$$
с соответствующим дополнением краевых условий и использовании рассуждений,
проведенных при доказательстве утверждений~1---3.

Очевидно, что вместо приведенных в данной теореме краевых условий можно
задавать и другие условия --- например, условия
$$u(x,t)|_{\Gamma\times (0,T)}=\Delta u(x,t)|_{\Gamma\times (0,T)}=\ldots
=\Delta^{m-1}u(x,t)|_{\Gamma\times (0,T)}=0.$$
\end{proof}

4. Задание в изученных краевых задачах тождественно нулевых начальных
данных не принципиально.



\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{1} A.V. Bitsadze, A.M. Nakhushev, {\it K Teorii Vyrozhdayuschehsya Giperbolisheskikh Uravnenii v Mnogomernykh Oblastyakh},
Doklady AN SSSR, \textbf{204}:6 (1972), 1289--1291.

%Бицадзе~А.В., Нахушев~А.М. К теории вырождающихся гиперболических уравнений в
%многомерных областях. Доклады АН СССР. 1972. Т.~204, №~6. С.~1289--1291.

\bibitem{2} V.N. Vragov, {\it O Zadachakh Gursa i Darbu dlya Odnogo Klassa Giperbolicheskikh Uravnenii},
Diff. Uravn., \textbf{8}:1 (1972), 7--16.

%2. Врагов~В.Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений.
%Дифференциальные уравнения. 1972. Т.~8, №~1. С.~7--16.


\bibitem{3} V.N. Vragov, {\it O Nekotorykh Kraevyh Zadachakh dlya Giperbolo--Parabolicheskikh Uravnenii},
Dinamika Splosh. Sredy, Institut Gidrodinamiki, Novosibirsk, {\bf 17} (1974), 5--11.

%3. Врагов~В.Н. О некоторых краевых задачах для гиперболо--параболических уравнений.
%В кн. Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин--т гидродинамики  СО АН СССР, 1974. №~17.
%С.~5--11.


\bibitem{4} N.I. Popivanov, {\it Mnogomernyi Analog Zadachi Darbu dlya Vyrozhdayuschikhsya Giperbolicheskikh Uravnenii},
Diff. Uravn., \textbf{14}:1 (1978), 80--93.

%4. Попиванов~Н.И. Многомерный аналог задачи Дарбу для вырождающихся гиперболических
%уравнений. Дифференциальные уравнения. 1978. Т.~14, №~1. С.~80--93.


\bibitem{5} A.M. Nakhushev, {\it Kriterii Edinstvennosti Resheniya Zadachi Darbu dlya Odnogo
Vyrozhdayuschegosya Giperbolicheskogo Uravneniya Vlagoperenosa}, Diff. Uravn., \textbf{16}:9 (1980), 1643--1649.

%5. Нахушев~А.М. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося
%гиперболического уравнения влагопереноса. Дифференциальные уравнения. 1980.
%Т.~16, №~9. С.~1643--1649.


\bibitem{6} S.K. Kumykova, {\it Kraevaya Zadacha dlya Odnogo Vyrozhdayuschegosya Giperbolicheskogo
Uravneniya v Kharakterisyicheskom Dvuugol'nike}, Diff. Uravn., \textbf{17}:1 (1981), 81--90.

%6. Кумыкова~С.К. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения
%в характеристическом двуугольнике. Дифференциальные уравнения. 1981. Т.~17, №~1.
%С.~81--90.

\bibitem{7} T.Sh. Kalmenov, {\it O Regulyarnykh Kraevykh Zadachakh dlya Uravnenii Giperbolicheskogo i Smeshannogo
Typov}, Avtoref. Dissert. D-ra Fiz.--Mat. Nauk, MGU, Moskva, 1982.

%7. Кальменов~Т.Ш. О регулярных краевых задачах для уравнений гиперболического и
%смешанного типов. Автореферат диссертации д-ра физ.--мат. наук. М.: МГУ, 1982.

\bibitem{8} M.S. Salakhitdinov, M. Mirsaburov, {\it O Nekotorykh Kraevykh Zadachakh Typa Zadachi
Bitsadze--Samarskogo dlya Uravneniya Giperbolicheskogo Typa, Vyrozhdayuschegosya na Granitse Oblasti},
Neklassich. Zadach. Matem. Fiziki, Tashkent, 1985, 3--25.

%8. Салахитдинов~М.С., Мирсабуров~М. О некоторых краевых задачах типа задачи
%Бицадзе--Самарского для уравнения гиперболического типа, вырождающегося
%на границе области. Ташкент: Неклассические задачи математической физики. 1985.
%С.~3--25.


\bibitem{9} O.A. Repin, {\it Kraevaya Zadacha Typa Zadachi
Bitsadze--Samarskogo dlya Uravneniya Vlagoperenosa}, Vychisl. i Prrikl. Matem., Vysha Shkola, Kiev, 1988, 45--49.

%9. Репин~О.А. Краевая задача типа задачи Бицадзе--Самарского для уравнения
%влагопереноса. Вычислительная и прикладная математика. Киев: Изд--во "Вища школа"\ .
%1988. С.~45--49.

\bibitem{10} N.I. Popivanov, M. Shneider, {\it The Darboux Problems in $\mathbb{R}^3$ for a Class
of Degenerate Hyperbolic Equations}, J. Math. Anal. and Appl., \textbf{175}:2 (1993).

%10. Popivanov~N.I., Shneider~M. The Darboux Problems in $\mathbb{R}^3$ for a Class
%of Degenerate Hyperbolic Equations. J. Math. Anal. and Appl. 1993. V.~175, \No~2.

\bibitem{11} A.A. Kilbas, O.A. Repin, M. Saigo, {\it Solution in Closed Form of Boundary
Value Problem for Degenerate Equation of Hyperbolic Type}, Kyungpook Mathematical Journal,
\textbf{36}:2 (1996), 261--273.

%11. Kilbas~A.A., Repin~O.A., Saigo~M. Solution in Closed Form of Boundary
%Value Problem for Degenerate Equation of Hyperbolic Type. Kyungpook Mathematical Journal.
%1996. V.~36, \No~2. P.~261--273.

\bibitem{12} M.M. Smirnov, {\it Vyrozhdayuschiesya Ellipticheskie i Giperbolicheskie Uravneniya}, Nauka, Moskva, 1966.

%12. Смирнов~М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

\bibitem{13} A.M. Nakhushev, {\it Zadachi so Smescheniem dlya Uravneniy v Chastnykh Proizvodnykh}, Nauka, Moskva, 2006.

%13. Нахушев~А.М. Задачи со смещением для уравнении в частных производных. М.: Наука, 2006.

\bibitem{14} A.V. Bitsadze, {\it Uravneniya Smeshannogo Typa}, Izd. AN SSSR, 1959.

%14. Бицадзе~А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд--во АН СССР, 1959.

\bibitem{15} M.S. Salakhitdinov, {\it Uravneniya Smeshanno--Sostavnogo Typa}, FAN, Tashkent, 1974.

%15. Салахитдинов~М.С. Уравнения смешанно--составного типа. Ташкент: Фан, 1974.

\bibitem{16} T.D. Dzhuraev, {\it Kraevye Zadachi dlya Uravneniy Smeshannogo i Smeshanno--Sostavnogo Typov},
FAN, Tashkent, 1979.

%16. Джураев~Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно--составного
%типов. Ташкент: Фан, 1979.

%17. Смирнов~М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985.

\bibitem{17} M.M. Smirnov, {\it Uravneniya Smeshannogo Typa}, Vyssh. Shkola, Moskva, 1985.

%18. Репин~О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и
%смешанного типов. Самара: Изд--во Саратовского ун--та, Самарский филиал, 1992.

\bibitem{18} O.A. Repin, {\it Kraevye Zadaci so Smescheniem dlya Uravneniy Giperbolicheskogo i
Smeshannogo Typov}, Izd. Saratov. Un-ta, Samara, 1992.

%19. Сабитов~К.Б. К теории уравнений смешанного типа. М.: Физматлит, 2014.

\bibitem{19} K.B. Sabitov, {\it K Teorii Uravneniy Smeshannogo Typa}, Fizmatlit, Moskva, 2014.

%20. Сабитова~Ю.К. Нелокальные начально--граничные задачи для вырождающегося
%гиперболического уравнения. Известия вузов. 2009. №~12. С.~49--58.

\bibitem{20} Yu. K. Sabitova, {\it Nelokal'nye Nachal'no--Granichnye Zadachi dlya Vyrozhdayuschegosya
Giperbolicheskogo Uravneniya}, Izv. Vyzov, {\bf 12} (2009), 49--58.


%21. Алдашев~С.А. Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для
%многомерного уравнения Чаплыгина. Владикавказский математический журнал. 2013. Т.~15,
%вып.~2. С.~3--11.

\bibitem{21} S.A. Aldashev, {\it Korrektnost' Zadach Dirikhle i Puankore v Tsylindricheskoy Oblasty dlya
Mnogomernogo Uravneniya Chaplygina}, Vladikavkazskiy Matem. Zhurn., \textbf{15}:2 (2013), 3--11.

\bibitem{22} N.V. Zaitseva, {\it Keldysh Type Problem for $B$--Hyperbolic Equation with Integral
Boundary Value Condition of the First Kind}, Lobachevskii Journal of Mathematics, \textbf{38}:1 (2017), 162--169.

%22. Zaitseva~N.V. Keldysh Type Problem for $B$--Hyperbolic Equation with Integral
%Boundary Value Condition of the First Kind. Lobachevskii Journal of Mathematics.
%2017. V.~38, Issue~1. P.~162--169.

\bibitem{23} K.B. Sabitova, N.V. Zaytseva, {\it Vtoraya Nachal'no--Kraevaya Zadacs dlya $B$--Giperbolicheskogo
Uravneniya}, Izv. Vuzov. Matem., {\bf 10} (2013), 75--86.

%23. Сабитов~К.Б., Зайцева~Н.В. Вторая начально--краевая задача для $B$--гиперболического
%уравнения. Известия вузов. Математика. 2019. №~10. С.~75--86.

%24. Врагов~В.Н. О смешанной задаче для одного класса гиперболических уравнений.
%Доклады АН СССР. 1975. Т.~224, №~2. С.~273--276.

\bibitem{24} V.N.Vragov, {\it O Smeshannoy Zadache dlya Odnogo Klassa Giperbolicheskikh
Uravneniy}, Dokl. AN SSSR, \textbf{224}:2 (1975), 273--276.

\bibitem{25} V.N.Vragov, {\it K Teorii Kraevykh Zadach dlya Uravneniy Smeshannogo Typa}, Diff. Uravn., \textbf{13}:6 (1977), 1098--1105.

%25. Врагов~В.Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа.
%Дифференциальные уравнения. 1977. Т.~13, №~6. С.~1098--1105.

\bibitem{26} V.N.Vragov, {\it O Postanovkakh i Razreshimosti Kraevykh Zadach dlya Uravneniy Smeshanno--Sostavnogo
Typa}, Matem. Analiz i Smezh. Vopr. Matem., Nauka, Novosibirsk, 1978, 5--13.

%26. Врагов~В.Н. О постановках и разрешимости краевых задачах для
%уравнений смешанно--составного типа. В кн. Математический анализ и смежные вопросы
%математики. Новосибирск: Наука, 1978. С.~5--13.

\bibitem{27} N.A. Lar'kin, {\it  O Linearizovannom Uravnenii Nestatsyonarnoy Gazovoy Dynamiki},
Nekl. Uravn. i Uravn. Smesh. Typa, Izd. In-ta Matem. SO AN SSSR, Novosibirsk, 1983, 107--118.


%27. Ларькин~Н.А. О линеаризованном уравнении нестационарной газовой динамики. В кн.
%Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. Новосибирск: Изд--во Института
%математики СО АН СССР. 1983. С.~107--118.

\bibitem{28} I.E. Egorov, {\it Razreshimost' Odnoy Kraevoy Zadachi dlya Uravneniya
Smeshannogo Typa Vysokogo Poryadka}, Diff. Uravn., \textbf{23}:9 (1987), 1560--1567.

%28. Егоров~И.Е. Разрешимость одной краевой задачи для уравнения смешанного типа высокого
%порядка. Дифференциальные уравнения. 1987. Т.~23, №~9. С.~1560--1567.


\bibitem{29} I.E. Egorov, V.E. Fedorov, {\it Neklassicheskie Uravneniya Matematicheskoy Fiziki
Vysokogo Poryadka}, Izd. Vychisl. Tsetra SO RAN, Novosibirsk,1995.

%29. Егоров~И.Е., Федоров~В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого
%порядка. Новосибирск: Изд--во Вычислительного центра СО РАН, 1995.

\bibitem{30} M.V. Keldysh, {\it O Nekotorykh Sluchayakh Vyrozhdeniya Uravneniy Ellipticheskogo Typa na Granitse
Oblasti}, Dokl. AN SSSR, \textbf{77}:2 (1951), 181--183.

%30. Келдыш~М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа
%на границе области. Доклады АН СССР. 1951. Т.~77, №~2. С.~181--183.

\bibitem{31} S.L. Sobolev, {\it Nekotorye Primeneniya Funktsyonal'nogo Analiza v
Matematicheskoy Fizike}, Nauka, Moskva, 1988.
%31. Соболев~C.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.
%М.: Наука, 1988.

\bibitem{32} H. Triebel, {\it Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators},
North--Holland Publ., Amsterdam, 1978.

\bibitem{33} S.Ya. Yakubov, {\it Lineinye Differentsyal'no--Operatornye Uravneniya i ih Prilozheniya},
Elm, Baku, 1985.

%33. Якубов~С.Я. Линейные дифференциально--операторные уравнения и их приложения. Баку:
%Элм, 1985.

\bibitem{34} P. Aviles, J. Sandefur, {\it Nonlinear Second Order Equations with Applications to Partial
Differential Equations}, J. of Diff. Equat, \textbf{58}:3 (1985), 404--427.

\bibitem{35} A.I. Kozhanov, {\it Composite Type Equations and Inverse Problems}, VSP, Utrecht, 1999.

\bibitem{36} J.L. Lions, {\it  Quelques Methods de Resolution des Problems aux Limites non Lineares},
Dunod Cauthier--Villars, Paris, 1969.

\end{thebibliography}



\end{document}
