\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{519.63} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{35K05} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs}
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Экономичные аддитивные схемы]{Экономичные аддитивные схемы для многомерного уравнения теплопроводности дробного порядка с условиями третьего рода в произвольной области}
\author{{М.Х. БЕШТОКОВ}}%
\address{Murat Khamidbievich Beshtokov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Institute 
of applied mathematics and automation, Kabardino-Balkarian scientific 
center of RAS,
\newline\hphantom{iii} ul. Shortanova, 89A,
\newline\hphantom{iii} 360000, Nalchik, Russia}%
\email{beshtokov-murat@yandex.ru}%

\thanks{\sc Beshtokov, M.Kh.,
Cost-effective additive schemes for a multidimensional fractional-order heat equation with conditions of the third kind in an arbitrary domain}
\thanks{\copyright \ 2020 Бештоков М.Х.}
\thanks{\rm .}
\thanks{\it Поступила 06 июля 2020 г., опубликована 31 декабря 2015г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } In this paper, we consider a multidimensional heat equation of fractional order with conditions of the third kind in an area with a complicated border. A locally one-dimensional difference scheme is constructed. The stability and uniform convergence of a locally one-dimensional difference scheme are proved.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} locally one-dimensional scheme, differential equation, fractional derivative, stability, uniform convergence of difference schemes, heat equation.
 \end{quote}
}


\section{Введение}

Работа посвящена исследованию многомерного уравнения теплопроводности дробного 
порядка с условиями третьего рода в области со сложной границей. 
Построена локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского. 
С помощью принципа максимума для решения разностной задачи получена априорная оценка в сеточной норме $C$, выражающая устойчивость локально-одномерной разностной схемы. Доказана равномерная сходимость локально-одномерной схемы.

Локально-одномерные схемы для дифференциальных уравнений диффузии
дробного порядка с самосопряженным оператором с краевыми условиями I
рода рассмотрены в \cite{0}, в области произвольной формы в \cite{1}, а с краевыми условиями III рода в
\cite{2}, \cite{3}. В \cite{0}-\cite{3}
априорные оценки были получены лишь при условии, когда
$\frac{1}{2}<\alpha<1$. В настоящей работе предлагается 
экономичный метод решения многомерного уравнения теплопроводности 
дробного порядка с условиями третьего рода в области со сложной 
границей. Доказаны устойчивость и равномерная сходимость
локально-одномерной схемы при любых $\alpha \in(0,1)$.

Разностным методам решения краевых задач для дифференциальных
уравнений дробного порядка посвящены многие работы \cite{4}-[11].
В \cite{4} показано, что для получения априорных оценок при
численном решении уравнения диффузии дробного порядка можно
применять метод энергетических неравенств. В \cite{5} предложен
разностный аналог дробной производной Капуто с порядком
аппроксимации $O(\tau^{3-\alpha})$. В работах \cite{6},
\cite{7} исследуются локальные и нелокальные краевые задачи для
уравнения влагопереноса с дробной производной в смысле Капуто и
Римана-Лиувилля. В [8] представлен алгоритм экстраполяционного типа
для численного решения дифференциальных уравнений дробного порядка.
В [9] исследуется конечно-разностная аппроксимация производной
Капуто на неоднородных сетках для решения уравнения дробной
диффузии. Доказана безусловная устойчивость и сходимость.
В работах [10], [11] рассматриваются локальные и нелокальные краевые задачи 
для одномерного уравнения конвекции-диффузии дробного порядка. 
Методом энергетических неравенств доказаны единственность, устойчивость, 
а также сходимость решения разностной задачи к решению рассматриваемой дифференциальной задачи.


\section{Постановка задачи}

В цилиндре $\overline{Q}_T=\overline G \times [0\leq t
\leq T]$  рассмотрим третью
краевую задачу для уравнения теплопроводности дробного порядка:
$$
\partial^{\alpha}_{0t}u =Lu + f(x,t), \quad
(x,t)\in Q_{T}, \eqno(2.1)
$$
$$
\Theta_k(x,t)\frac{\partial u}{\partial
	x_k}=\beta_{-k}(x,t)u-\mu_{-k}(x,t),\quad x_k=0, \quad 0\leq t\leq
T,\eqno(2.2)
$$
$$
-\Theta_k(x,t)\frac{\partial u}{\partial
	x_k}=\beta_{+k}(x,t)u-\mu_{+k}(x,t),\quad x_k=l_k, \quad 0\leq t\leq
T, \eqno(2.3)
$$
$$
u(x,0)=u_0(x), \quad x \in \overline{G},\eqno(2.4)
$$
где
\\
$ \partial^{\alpha}_{0t}u=\dfrac{1}{\text{Г}(1-\alpha)} \int
\limits_0^t\frac{\partial u(x,\eta)}{\partial
	\eta}\frac{d\eta}{(t-\eta)^{\alpha}}, \quad 0<\alpha<1 -$ дробная
производная Капуто порядка $\alpha$,
$$
L = \sum_{k =1}^pL_k, \quad L_ku=\frac{\partial }{\partial
	x_{k}}\Big(\Theta_k(x,t)\frac{\partial u}{\partial
	x_{k}}\Big)-q_k(x,t)u, \quad k=1,2,...,p,
$$
$$
0<c_0\le \Theta_{k}(x,t), q_k(x,t)
\le c_1, \quad \beta_{\pm k}\geq c_0>0,\quad 
c_0,
c_1 = const>0,
$$
$$
\mu_{+k}=\mu(l_k,x',t), \ \mu_{-k}=\mu(0,x',t), \ \ Q_{T}= G\times (
0<t\leq T], \quad k=1,\dots,p,
$$
$$
x=(x_1,x_2,...,x_{p}), \ \
x'=(x_{1},x_{2},...,x_{k-1},x_{k+1},...,x_{p}).
$$
$\Gamma - $ граница области $G, $ $x=(x_1, x_2, ..., x_p) - $ точка
$p$-мерного евклидового пространства $R_p$.

Относительно области $\overline{G}$ используются два предположения
(см. \cite{14}, стр. 486):

а) пересечение области $G$ c прямой $C_{k}$, параллельной оси
координат $O_{x_{k}}$, состоит из одного интервала $\Delta_{k}$;

б) возможно построение в замкнутой области $\overline G=G\cup\Gamma$
связной сетки $\bar \omega_h$ с шагами $h_{k}, k = 1,2,...,p$.
Множество $\omega_h$ внутренних узлов сетки состоит из точек
$x=(x_1, x_2, ..., x_p)\in G$ пересечения гиперплоскостей
$x_{k}=i_{k}h_{k}, \ i_{k}=0,\pm1, \pm2,..., \ k=1,2,...,p$, а
множество $\gamma_h$ граничных узлов – из точек пересечения прямых
$C_{k}, \ k=1,2,...,p$, проходящих через внутренние узлы
$x\in\omega_h$, с границей $\Gamma$.

Обозначим через
$\gamma_{h,k}$ множество граничных по направлению $x_{k}$ узлов,  $\gamma_h$– множество всех граничных
узлов $x\in \Gamma$, $\omega^{*}_{h,k}$– множество приграничных по
направлению $x_{k}$ узлов, $\omega^{*}_{h}$– множество всех
приграничных узлов, $\omega^{**}_{h,k}$– множество нерегулярных по
направлению $x_{k}$ узлов, $\omega^{**}_{h}$– множество всех
нерегулярных узлов, $\omega_{h,k}$– множество регулярных по
направлению $x_{k}$ узлов, $\omega_{h}$– множество всех регулярных
узлов.

В дальнейшем будем предполагать, что коэффициенты уравнения и
граничных условий (2.1) $-$ (2.4) удовлетворяют необходимым по ходу
изложения условиям, обеспечивающим нужную гладкость решения $u(x,t)$
в цилиндре $Q_T$.

В той же области вместо задачи (2.1) - (2.4) рассмотрим следующую
задачу с малым параметром $\varepsilon$
$$
\varepsilon
u^{\varepsilon}_{t}+\partial^{\alpha}_{0t}u^{\varepsilon}
=Lu^{\varepsilon} + f(x,t), \quad (x,t)\in Q_{T}, \eqno(2.5)
$$
$$
\Theta_k(x,t)\frac{\partial u^{\varepsilon}}{\partial
	x_k}=\beta_{-k}(x,t)u^{\varepsilon}-\mu_{-k}(x,t),\quad x_k=0, \quad
0\leq t\leq T,\eqno(2.6)
$$
$$
-\Theta_k(x,t)\frac{\partial u^{\varepsilon}}{\partial
	x_k}=\beta_{+k}(x,t)u^{\varepsilon}-\mu_{+k}(x,t),\quad x_k=l_k,
\quad 0\leq t\leq T, \eqno(2.7)
$$
$$
u^{\varepsilon}(x,0)=u_0(x), \quad x \in \overline{G},\eqno(2.8)
$$
где $\varepsilon=const>0.$

Так как при $t=0$ начальное условие для уравнения (2.1) и (2.5)
совпадают, то в окрестности $t=0$ у производной $u^{\varepsilon}_t$
не возникает особенности типа пограничного слоя \cite{12},
\cite[стр. 10]{13}.

Покажем, что $u^{\varepsilon}\rightarrow u$ в некоторой норме при
$\varepsilon\rightarrow 0$. Обозначим через $\tilde
z=u^{\varepsilon}-u$ и подставим $u^{\varepsilon}=\tilde z+u$ в
задачу (2.5)-(2.8). Тогда получим
$$
\varepsilon \tilde z_{t}+\partial^{\alpha}_{0t}\tilde z =L\tilde z +
\tilde f(x,t), \quad (x,t)\in Q_{T}, \eqno(2.9)
$$
$$
\Theta_k(x,t)\frac{\partial \tilde z}{\partial
	x_k}=\beta_{-k}(x,t)\tilde z,\quad x_k=0, \quad 0\leq t\leq
T,\eqno(2.10)
$$
$$
-\Theta_k(x,t)\frac{\partial \tilde z}{\partial x_k}=\beta_{+k}(x,t)
\tilde z,\quad x_k=l_k, \quad 0\leq t\leq T, \eqno(2.11)
$$$$
\tilde z(x,0)=0, \quad x \in \overline{G},\quad \overline{G}= G +
\text{Г},\eqno(2.12)
$$
где $\tilde f(x,t)=-\varepsilon \dfrac{\partial u}{\partial t}$.

Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических
неравенств. Умножим уравнение (2.9) скалярно на $\tilde
{\textbf{z}}$ и получим энергетическое тождество:
$$
\bigg(\varepsilon\frac{\partial \tilde z}{\partial t},\tilde
z\bigg)+\bigg(\partial^{\alpha}_{0t}\tilde z,\tilde z\bigg) =
\bigg(\sum\limits^{p}_{k=1}\frac{\partial}{\partial x_{k}}\bigg
(\Theta_{k}(x,t)\frac{\partial \tilde z}{\partial
	x_{k}}\bigg),\tilde z\bigg)-
$$
$$
-\bigg(\sum\limits^{p}_{k=1}q_{k}(x,t)
\tilde z,\tilde z\bigg) + \bigg(\tilde f(x,t),\tilde z\bigg).
\vspace{10pt}\eqno(2.13)
$$
Будем пользоваться скалярным произведением и нормой
$$
\big(u,v\big)=\int_Guvdx,\quad (u,u)=\|u\|^2_{0},\quad
\|u\|^2_{0}=\int_Gu^2dx,
$$
$$
u^{2}_{x}=\sum\limits^{p}_{k=1}u^{2}_{x_{k}}, \
\|u\|^2_{L_{2}(0,l_{k})}=\int^{l_{k}}_{0}u^2(x,t)dx_{k}.
$$

Далее через $M_i, \ i = 1, 2, . . . $ обозначаются положительные
постоянные, зависящие только от входных данных рассматриваемой
задачи.

Используя лемму 1 \cite{4} и применяя $\varepsilon$-неравенство
Коши, из (2.13) получаем неравенство
$$
\frac{\varepsilon}{2} \frac{\partial}{\partial t}\|\tilde
z\|^{2}_{0} +\frac{1}{2}\partial^{\alpha}_{0t}\|\tilde z\|^{2}_{0}+
c_0\|\tilde z\|^{2}_{0}+ c_0\|\tilde z_x\|^{2}_{0}\leq
$$
$$
\leq \sum\limits^{p}_{k=1}\int_{G'} \Theta_{k}(x,t)\tilde
z\frac{\partial \tilde z}{\partial
	x_{k}}\bigg|^{l_{k}}_{0}dx'+\varepsilon_1\|\tilde z\|^{2}_{0}+
\frac{1}{4\varepsilon_1}\|\tilde f\|^{2}_{0}, \eqno(2.14)
$$
где $G'=\{x'=(x_{1},x_{2},...,x_{k-1},x_{k+1},...,x_{p}):\
0<x_{k}<l_{k}\}$,   $dx'=dx_{1}dx_{2}\cdot\cdot\cdot
dx_{k-1}dx_{k+1}\cdot\cdot\cdot dx_{p}. $

Преобразуем первое слагаемое в правой части (2.14) следующим образом
$$
\sum\limits^{p}_{k=1}\int_{G'} \Theta_{k}(x,t)\tilde z\frac{\partial
	\tilde z}{\partial
	x_{k}}\bigg|^{l_{k}}_{0}dx'=
$$
$$
=\sum\limits^{p}_{k=1}\int_{G'}
\Big(-\beta_{-k}\tilde z^2(0,x',t)-\beta_{+k}\tilde
z^2(l_k,x',t)\Big)dx'.\eqno(2.15)
$$
Выбирая $\varepsilon_1=\dfrac{c_0}{2}$, из неравенства (2.14) с
учетом (2.15) находим
$$
\varepsilon \frac{\partial}{\partial t}\|\tilde z\|^{2}_{0}
+\partial^{\alpha}_{0t}\|\tilde z\|^{2}_{0}+ \|\tilde z\|^{2}_{0}+
\|\tilde z_x\|^{2}_{0}+
$$
$$
+ \sum\limits^{p}_{k=1}\int_{G'}\big(\tilde
z^2(0,x',t)+\tilde z^2(l_k,x',t)\big)dx'\leq M_2\|\tilde
f\|^{2}_{0}. \eqno(2.16)
$$
Проинтегрируем (2.16) по $\tau$ от 0 до $t$, тогда получим
$$
\varepsilon\|\tilde z\|^{2}_{0}+D_{0t}^{\alpha-1}\|\tilde
z\|^{2}_{0}+\|\tilde z\|^2_{2,Q_t}+\|\tilde z_x\|^2_{2,Q_t}\leq
$$
$$
 \leq
M\int^{t}_{0}\|\tilde f\|^{2}_{0}d\tau= \varepsilon^2
M\int^{t}_{0}\|u_\tau\|^{2}_{0}d\tau=O(\varepsilon^2). \eqno(2.17)
$$
где $\tilde z=u^{\varepsilon}-u$, $M -$ зависит только от входных
данных задач (2.9-(2.12), $\|\tilde
z\|^2_{2,Q_t}=\int\limits^{t}_{0}\|\tilde z\|^{2}_{0}d\tau$,
$G\,'=\{x'=(x_{1},x_{2},...,x_{k-1},x_{k+1},...,x_{p}):\
0<x_{k}<l_{k}\},$
$D_{0t}^{\alpha-1}u=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int\limits_0^t
\frac{u d\tau}{(t-\tau)^{\alpha}} -$ дробный интеграл
Римана-Лиувилля порядка $1-\alpha, 0<\alpha<1.$


Из априорной оценки (2.17) следует сходимость $u^\varepsilon$ к $u$
при $\varepsilon\rightarrow 0$ в норме $\|\tilde
z\|^2_{1}=\varepsilon\|\tilde z\|^{2}_{0}+D_{0t}^{\delta-1}\|\tilde
z\|^{2}_{0}+\|\tilde z\|^2_{2,Q_t}+\|\tilde z_x\|^2_{2,Q_t}$.
Поэтому при малом $\varepsilon$ решение задачи (2.5)-(2.8) будем
принимать за приближенное решение краевой задачи для
уравнения теплопроводности дробного порядка с условиями третьего рода (2.1)-(2.4).

\section{Построение локально-одномерной схемы (ЛОС)}

Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению
$Ox_k$ с шагом $h_k=\frac{l_k}{N_k},  k=1,2,...,p:$
$$
\bar
\omega_{h_k}=\{x_k^{(i_k)}=i_kh_k:i_k=0,1,...,N_k,h_k=\frac{l_k}{N_k},\
k=1,2,...,p\},\ \bar \omega=\prod_{k=1}^p \bar \omega_{h_k}.
$$
На отрезке $0 \leq t \leq T$ введем равномерную сетку
$$
\bar{\omega}'_{\tau}=\{0,t_{j+\frac{k}{p}}=\left(j+\frac{k}{p}\right)\tau,
\quad j=0,1,...,j_0-1; \quad k=1,2,...,p\},
$$
содержащую наряду с узлами $t_j=j\tau,$ фиктивные узлы
$t_{j+\frac{k}{p}}, \quad k=1,2,...,p-1.$ Будем обозначать через
$\omega'_{\tau} -$ множество узлов сетки $\bar{\omega}'_{\tau}$, для
которых t>0.

На равномерной сетке $\bar\omega_{h\tau}$ по аналогии с \cite{14}
уравнению (2.5) поставим в соответствие цепочку "одномерных"\
уравнений, для этого перепишем уравнение (2.5) в виде
$$
\pounds u^{\varepsilon} = \varepsilon
u^{\varepsilon}_{t}+\partial^{\alpha}_{0t}u^{\varepsilon}-Lu^{\varepsilon}-f=0,
$$
или
$$
\sum_{k =1}^p \pounds_{k}u^{\varepsilon} = 0, \quad
\pounds_{k}u^{\varepsilon} =
\frac{\varepsilon}{p}u^{\varepsilon}_{t}+\frac{1}{p}\partial^{\alpha}_{0t}u^{\varepsilon}-L_ku^{\varepsilon}-f_k.
$$
где $f_k(x,t),\ k=1,2,...,p\ -$ произвольные функции, обладающие той
же гладкостью, что и $f(x,t)$ и удовлетворяющие условию
$\sum\limits_{k =1}^p f_k = f.$

На каждом полуинтервале
$\Delta_{k}=\left(t_{j+\frac{k-1}{p}},t_{j+\frac{k}{p}}\right],
\quad k=1,2,...,p$ будем последовательно решать задачи
$$
\pounds_k
\vartheta_{(k)}=\frac{\varepsilon}{p}\vartheta_t+\frac{1}{p}\partial^{\alpha}_{0t}\vartheta_{(k)}-L_k\vartheta_{(k)}-f_k=0,\quad
x \in G, \quad t \in \Delta_{k}, \quad k=1,2,...,p,\eqno(3.1)
$$
$$
\begin{cases}
\Theta_k(x,t)\frac{\partial \vartheta_{(k)}}{\partial
	x_k}=\beta_{-k}(x,t)\vartheta_{(k)}-\mu_{-k}(x,t),\quad x_k=0,\\
-\Theta_k(x,t)\frac{\partial \vartheta_{(k)}}{\partial
	x_k}=\beta_{+k}(x,t)\vartheta_{(k)}-\mu_{+k}(x,t),\quad x_k=l_k,
\end{cases}
\eqno(3.2)
$$
полагая при этом
$$
\vartheta_{(1)}(x,0)=u_0(x),\quad
\vartheta_{(1)}(x,t_j)=\vartheta_{(p)}(x,t_j),\eqno(3.3)
$$
$$
\vartheta_{(k)}(x,t_{j+\frac{k-1}{p}})=\vartheta_{(k-1)}(x,t_{j+\frac{k-1}{p}}),
\quad k=2,3,...,p; \quad j=0,1,..,j_0-1,
$$
$\text{где Г}_k - $ множество граничных точек по направлению $x_k.$


Каждое из уравнений (3.1) заменим разностной схемой на $\Delta_{k}$
$$
\frac{\varepsilon}{p}y^{j+\frac{k}{p}}_{\bar
	t}+\frac{1}{p}\frac{1}{\text{Г}(2-\alpha)}\sum_{s =1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)y^\frac{s}{p}_{\overline{t}}=
$$
$$
=\Lambda_k
\left(\sigma_k
y^{j+\frac{k}{p}}+(1-\sigma_k)y^{j+\frac{k-1}{p}}\right)+\varphi^{j+\frac{k}{p}}_k,
$$
$$
\quad x \in \omega_h, \quad k=1,2,...,p,\eqno(3.4)
$$
$$
\begin{cases}
a_k^{(1_k)}y^{j+\frac{k}{p}}_{x_k,0}=\beta_{-k}y_0^{j+\frac{k}{p}}-\mu_{-k},\quad x_k=0,\\
-a_k^{(N_k)}y^{j+\frac{k}{p}}_{\bar{x}_k,N_k}=\beta_{+k}y_{N_k}^{j+\frac{k}{p}}-\mu_{+k},\quad
x_k=l_k.
\end{cases}\eqno(3.5)
$$
$$
y(x,0)=u_0(x), \quad x \in \overline{G},\eqno(3.6)
$$
где
$$
\frac{1}{\text{Г}(1-\alpha)} \int
\limits_0^{t_{j+\frac{k}{p}}}\frac{\partial u(x,\eta)}{\partial
	\eta}\frac{d\eta}{(t_{j+\frac{k}{p}}-\eta)^{\alpha}}=
$$
$$
=\frac{1}{\text{Г}(2-\alpha)}\sum_{s
	=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)u^\frac{s}{p}_{\overline{t}}+
O\left(\frac{\tau}{p}\right),
$$
- дискретный аналог дробной производной порядка $\alpha$
\cite{0},
$$
y^\frac{s}{p}_{\overline{t}}=\frac{y^\frac{s}{p}-y^{\frac{s-1}{p}}}{\frac{\tau}{p}},
\quad \mu_{\pm k}^{j+\frac{k}{p}}=\mu_{\pm
	k}\left(x,t_{j+\frac{k}{p}}\right),\quad
\varphi^{j+\frac{k}{p}}_k=f_k\left(x,t_{j+\frac{k}{p}}\right),\quad
k=1,2,...,p,
$$
$\sigma_k -$произвольные параметры,$ \gamma_{h,k} - $ множество граничных по направлению $x_k$ узлов, \\
$$
x\in \overline \omega_h={ \lbrace x_i=(i_1h_1},...,i_ph_p)\in
\overline G, i_k=0,1,...N_k, \ h_k=\frac{l_k}{N_k}\rbrace,
$$
$$
d_k^{j+\frac{k}{p}} =q(x_i,t^{j+\frac{k}{p}}),\quad
a^{(+1)}=a_{i+1}, a_i=\Theta_{i-1/2}(\overline t), \quad \overline
t=t_{j+\frac{1}{2}},
$$
разностный оператор $\Lambda_k\sim L_k$ имеет следующий вид:

1) В регулярных узлах:
$$
\Lambda_ky^{j+\frac{k}{p}}=\Big(a_k y_{\bar
	x_k}^{j+\frac{k}{p}}\Big)_{x_k}-d_ky^{j+\frac{k}{p}}, \quad
a^{(+1)}=a_{i+1}, a_i=\Theta_{i-1/2}(\overline t),
$$

2) В нерегулярных узлах:
$$\Lambda_ky_{(k)}=
\begin{cases}
\frac{1}{h_k}\left(a_{k,i_k+1}\frac{y^{(+1_k)}-y}{h_k}-a_{k,i_k}
\frac{y-y^{(-1_k)}}{h^{*}_k}\right)-d_ky_{(k)}, \  x^{(-1_k)}\in\gamma_{h,k}\\
\frac{1}{h_k}\left(a_{k,i_k+1}\frac{y^{(+1_k)}-y}{h^{*}_k}-a_{k,i_k}
\frac{y-y^{(-1_k)}}{h_k}\right)-d_ky_{(k)}, \  x^{(+1_k)}\in\gamma_{h,k}\\
\end{cases}
$$
где $h^{*}_{k} -$ расстояние от нерегулярного узла $x $ до
граничного узла $x^{(+1_k)}$ или $x^{(-1_k)}$. Если оба соседних с
$x\in\omega^{*}_{h,k}$ узла $x^{(+1_k)}$ и $x^{(-1_k)}$ являются
граничными, т.е. $x^{(\pm1_k)} \in \gamma_{h,k}$, то
$$
\Lambda_ky^{j+\frac{k}{p}}=
\frac{1}{h_k}\left(a_{k,i_k+1}\frac{y^{(+1_k)}-y}{h^{*}_k}-a_{k,i_k}\frac{y-y^{(-1_k)}}{h^{*}_k}\right)-d_ky^{j+\frac{k}{p}},
$$
$-$ общий вид оператора, где $h^{*}_{k^{\pm}} -$ расстояние между $x$ и  $x^{(+1_k)}$,
$h^{*}_{k^{\pm}}\leq h_k.$

В регулярных узлах $\Lambda_k$ имеет второй порядок аппроксимации,
$\Lambda_ku - L_ku = O(h^2_k),$ а в нерегулярных узлах $\Lambda_ku -
L_ku = O(1).$ (см. \cite{14}, стр. 232).


Условия (3.5) имеют порядок аппроксимации $O(h_k).$ Повысим порядок
аппроксимации до $O(h_k^2)$ на решениях уравнения (3.1) при
каком-либо $k$.

Так как
$$
\Theta_k\frac{\partial \vartheta_{(k)}}{\partial
	x_k}=a_k^{(1_k)}\vartheta_{(k)x_k,0}-0.5h_k\left(\frac{\varepsilon}{p}\vartheta_{t}+\frac{1}{p}\partial_{0t}^{\alpha}\vartheta_{(k)}+q_k(x,t)\vartheta_{(k)}-f_k\right)_0+O(h_k^2),
$$
то
$$
a_k^{(1_k)}\vartheta_{x_k,0}^{j+\frac{k}{p}}-0.5h_k\Bigg(\frac{\varepsilon}{p}\vartheta_{t}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)\vartheta^{\frac{s}{p}}_{\bar
	t}+q_k(x,t)\vartheta^{j+\frac{k}{p}}-f_k\Bigg)_0=
$$
$$
=\beta_{-k}\vartheta_{0}^{j+\frac{k}{p}}-\mu_{-k}+O(h_k^2)+O(h_k\tau),
$$
или
$$
a_k^{(1_k)}\vartheta_{x_k,0}^{j+\frac{k}{p}}-0.5h_k\Bigg(\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)\vartheta^{\frac{s}{p}}_{\bar
	t}-0.5h_k\frac{\varepsilon}{p}\vartheta_t+
$$
$$
+q_k(x,t)\vartheta^{j+\frac{k}{p}}-f_k\Bigg)_0=\beta_{-k}\vartheta_{0}^{j+\frac{k}{p}}-\mu_{-k}+O(h_k^2)+O(h_k\tau).\eqno(3.7)
$$
В (3.7) отбросим величины порядка малости $O(h_k^2), \ O(h_k\tau),$
тогда после замены $\vartheta_{(k)}$ на $y$ получим
$$
a_k^{(1_k)}y^{j+\frac{k}{p}}_{x_k,0}-0.5h_k\frac{\varepsilon}{p}
y_{t,0}-\frac{0.5h_k}{p} \Delta^\alpha_{0t_{j+\frac{k}{p}}}y_0=\bar
\beta_{-k}y_{0}^{j+\frac{k}{p}}-\mu_{-k}-0.5h_kf_{k,0},
$$
или
$$
\frac{\varepsilon}{p} y_{t,0}+\frac{1}{p}
\Delta^\alpha_{0t_{j+\frac{k}{p}}}y_0=\frac{
	a_k^{(1_k)}y^{j+\frac{k}{p}}_{x_k,0}-\bar
	\beta_{-k}y_{0}^{j+\frac{k}{p}}}{0.5h_k}+\frac{\bar\mu_{-k}}{0.5h_k}.
\eqno(3.8)
$$
Аналогично при $x_k=l_k$ получаем:
$$
\frac{\varepsilon}{p} y_{t_N}+\frac{1}{p}
\Delta^\alpha_{0t_{j+\frac{k}{p}}}y_{N_k}=-\frac{
	a_k^{(N_k)}y^{j+\frac{k}{p}}_{\bar x_k,N_k}-\bar
	\beta_{+k}y_{N_k}^{j+\frac{k}{p}}}{0.5h_k}+\frac{\bar
	\mu_{+k}}{0.5h_k}, \eqno(3.9)
$$
где
$$
\bar \beta_{-k}=\beta_{-k}+0.5h_kd_k^{(0)}, \quad \bar
\beta_{+k}=\beta_{+k}+0.5h_kd_k^{(N_k)},
$$
$$
\bar\mu_{-k}=\mu_{-k}+0.5h_kf_{k,0}, \quad
\bar\mu_{+k}=\mu_{+k}+0.5h_kf_{k,N_k}.
$$
Итак, разностный аналог задачи (2.5)-(2.8) имеет вид:
$$
\frac{\varepsilon}{p}y_t+\frac{1}{p}\Delta_{0t_{j+\frac{k}{p}}}^\alpha
y=\bar \Lambda _k y^{j+\frac{k}{p}}+\Phi_k^{j+\frac{k}{p}}, \quad
k=1,2,...,p, \eqno(3.10)
$$
$$
y(x,0)=u_0(x), \eqno(3.11)
$$
где
$$
\bar \Lambda_ky=
\begin{cases}
\Lambda_ky=\left(a_ky_{\bar
	x_k}\right)_{x_k}-d_ky, \quad x_k\in \omega_{h_k},\\
\Lambda^-_ky=\frac{a_k^{(1_k)}y_{x_k,0}-\bar
	\beta_{-k}y_0}{0.5h_k},\quad x_k=0,\\
\Lambda^+_ky=-\frac{a_k^{(N_k)}y_{\bar x_k,N_k}+\bar
	\beta_{+k}y_{N_k}}{0.5h_k},\quad x_k=l_k,
\end{cases}
$$
$$
\Phi_{(k)}=
\begin{cases}
\varphi_k, \quad x_k\in \omega_{h_k},\\
\frac{\bar \mu_{-k}}{0.5h_k},\quad x_k=0,\\
\frac{\bar \mu_{+k}}{0.5h_k},\quad x_k=l_k,
\end{cases}
$$
$$
\bar \beta_{-k}=\beta_{-k}+0.5h_kd_k^{(0)}, \quad \bar
\beta_{+k}=\beta_{+k}+0.5h_kd_k^{(N_k)},
$$
$$
\bar\mu_{-k}=\mu_{-k}+0.5h_kf_{k,0}, \quad
\bar\mu_{+k}=\mu_{+k}+0.5h_kf_{k,N_k}.
$$

Заметим, что при повышении порядка аппроксимации краевых условий
третьего рода (3.5) на решениях уравнения (3.1) до $O(h^2_k+\tau)$,
естественным образом возникает разностная задача (3.10), (3.11) с
нелокальным по каждому направлению $x_{k}, \ (k=1,2,...,p)$
граничным условием.

\section{Погрешность аппроксимации ЛОС}

Перейдем к изучению погрешности аппроксимации (невязки)
локально-одно- мерной схемы и убедимся в том, что каждое в отдельности
уравнение (3.4) номера $k$ не аппроксимирует уравнение (2.5), но
сумма погрешностей аппроксимации
$$
\psi=\psi_1+\psi_2+...+\psi_p
$$
стремится к нулю при $\tau$ и $|h|$ стремящимся к нулю.

Будем считать $\sigma_k=1, k=1,2,..,p$. Пусть $u=u(x,t)$-решение
задачи (2.5)-(2.8), а $y^{j+\frac{k}{p}}$-решение разностной задачи
(3.4). Характеристикой точности ло- кально-одномерной схемы является
разность $y^{j+1}-u^{j+1}=z^{j+1}.$ Промежуточные значения
$y^{j+\frac{k}{p}}$ будем сравнивать с
$u^{j+\frac{k}{p}}=u(x,t_{j+\frac{k}{p}})$, полагая
$z^{j+\frac{k}{p}}=y^{j+\frac{k}{p}}-u^{j+\frac{k}{p}}.$ Подставляя
$y^{j+\frac{k}{p}}=z^{j+\frac{k}{p}}+u^{j+\frac{k}{p}}$ в разностное
уравнение (3.4), получим
$$
\frac{\varepsilon}{p} z_{\bar
	t}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)
z_{\bar t}^{\frac{s}{p}}=
\Lambda_kz^{j+\frac{k}{p}}+\psi_k^{j+\frac{k}{p}}, \eqno(4.1)
$$
где
$$
\psi_k^{j+\frac{k}{p}}=\Lambda_ku^{j+\frac{k}{p}}+\varphi_k^{j+\frac{k}{p}}-\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\sum_{s=1}^{pj+k}\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)
u_{\bar t}^{\frac{s}{p}}-\frac{\varepsilon}{p} u_t^{j+\frac{k}{p}}.
$$
Обозначив через
$$
\mathop{\psi_k}^\circ=(L_ku+f_k-\frac{\varepsilon}{p}u_{t}-\frac{1}{p}\partial^{\alpha}_{ot}u)^{j+\frac{1}{2}},\eqno(4.2)
$$
и замечая, что
$$\sum_{k =1}^{p}\mathop{\psi_k}^\circ=0,
$$
если
$$
\sum_{k =1}^{p}f_k=f,
$$
представим $\psi_k=\psi^{j+\frac{k}{p}}_k$ в виде
$$\psi_k=\mathop{\psi_k}^\circ+{\mathop\psi^*}_k,$$
где
$$
\psi^{j+\frac{k}{p}}_k=\left(\Lambda_ku^{j+\frac{k}{p}}-L_ku^{j+\frac{1}{2}}\right)+\left(\varphi_k^{j+\frac{k}{p}}-f_k^{j+\frac{1}{2}}\right)-
\left(\frac{1}{p}\Delta^{\alpha}_{0t_{j+\frac{k}{p}}}u^{j+\frac{k}{p}}-\frac{1}{p}\left(\partial^{\alpha}_{0t}u\right)^{j+\frac{1}{2}}\right)-
$$
$$
-\left(\frac{\varepsilon}{p}u_{\bar
	t}^{j+\frac{k}{p}}-\frac{\varepsilon}{p}
u_{t}^{j+\frac{1}{2}}\right)
+\mathop{\psi_k}^\circ=\mathop{\psi_k}^\circ+{\mathop\psi^*}_k,
$$
$$
\mathop{\psi_k}^{*}=\left(\Lambda_ku^{j+\frac{k}{p}}-L_ku^{j+\frac{1}{2}}\right)+\left(\varphi_k^{j+\frac{k}{p}}-f_k^{j+\frac{1}{2}}\right)-
$$
$$
-
\left(\frac{1}{p}\Delta^{\alpha}_{0t_{j+\frac{k}{p}}}u^{j+\frac{k}{p}}-\frac{1}{p}\left(\partial^{\alpha}_{0t}u\right)^{j+\frac{1}{2}}\right)-\left(\frac{\varepsilon}{p}u_{\bar
	t}^{j+\frac{k}{p}}-\frac{\varepsilon}{p}
u_{t}^{j+\frac{1}{2}}\right)
$$

Ясно, что
$$
{\mathop{\psi}\limits^*}_k=\begin{cases} O(h^2_k+\tau) \text{ в
	регулярных узлах},\\
O(1) \text{ в нерегулярных узлах},
\end{cases}
$$
так как каждая из схем (3.4) номера \emph{к} аппроксимирует в
обычном смысле соответствующее уравнение (2.5). Таким образом
$$
{\mathop\psi^*}_k=O(h^2_k+\tau), \quad \mathop{\psi_k}^\circ=O(1),
\quad \sum_{k =1}^{p}\mathop{\psi_k}^\circ=0,
$$
$$
\psi=\sum_{k =1}^{p}\psi_k=\sum_{k =1}^{p} \left(\mathop{\psi_k}^\circ+{\mathop\psi^*}_k\right)=\sum_{k =1}^{p}{\mathop\psi^*}_k=O(|h|^2+\tau).
$$
в регулярных узлах сетки $\omega_h$.

Рассмотрим погрешность краевых условий разностной схемы (3.8),
(3.9), обозначив через
$z^{j+\frac{k}{p}}=y^{j+\frac{k}{p}}-u^{j+\frac{k}{p}} $. Запишем
граничное условие при $x_k=0$ следующим образом
$$
0.5h_k\frac{\varepsilon}{p} y_{t,0}+\frac{0.5h_k}{p}
\Delta^\alpha_{0t_{j+\frac{k}{p}}}y_0=
a_k^{(1_k)}y^{j+\frac{k}{p}}_{x_k,0}-\bar
\beta_{-k}y_{0}^{j+\frac{k}{p}}+0.5h_kf_{k,0}+\mu_{-k}, \eqno(4.3)
$$
Тогда, подставляя
$y^{j+\frac{k}{p}}=z^{j+\frac{k}{p}}+u^{j+\frac{k}{p}}$  в (4.3),
получим
$$
0.5h_k\frac{\varepsilon}{p} z_{t,0}+\frac{0.5h_k}{p}
\Delta^\alpha_{0t_{j+\frac{k}{p}}}z_0=
a_k^{(1_k)}z^{j+\frac{k}{p}}_{x_k,0}-\bar
\beta_{-k}z_{0}^{j+\frac{k}{p}}-\bar
\beta_{-k}u_{0}^{j+\frac{k}{p}}-
$$
$$
- 0.5h_k\frac{\varepsilon}{p} u_{t,0}-\frac{0.5h_k}{p}
\Delta^\alpha_{0t_{j+\frac{k}{p}}}u_0+
a_k^{(1_k)}u^{j+\frac{k}{p}}_{x_k,0}+0.5h_kf_{k,0}+\mu_{-k}.
$$
К правой части полученного выражения добавим и вычтем
$$
0.5h_k{\mathop{\psi}\limits^\circ}_{-k}=
0.5h_k\left(L_ku+f_k-\frac{\varepsilon}{p}u_{t}-\frac{1}{p}
\partial^{\alpha}_{ot}u\right)_0^{j+\frac{1}{2}}.
$$
Тогда
$$
\psi_{-k}= 0.5h_k\left(f_{k,0}- \frac{\varepsilon}{p}
u^{j+\frac{k}{p}}_{t,0}-\frac{1}{p}
\Delta^\alpha_{0t_{j+\frac{k}{p}}}u^{j+\frac{k}{p}}_0\right)+
a_k^{(1_k)}u^{j+\frac{k}{p}}_{x_k,0}-\bar
\beta_{-k}u_{0}^{j+\frac{k}{p}}+\mu_{-k}-
$$
$$
- 0.5h_k\left(L_ku+f_k-\frac{\varepsilon}{p}u_{t}-\frac{1}{p}
\partial^{\alpha}_{0t}u\right)_0^{j+\frac{1}{2}}+0.5h_k{\mathop{\psi}^\circ}_{-k}=
$$
$$
=0.5h_k\left(f_{k,0}- \frac{\varepsilon}{p}
u^{j+\frac{k}{p}}_{t,0}-\frac{1}{p}
\Delta^\alpha_{0t_{j+\frac{k}{p}}}u^{j+\frac{k}{p}}_0\right)+
a_k^{(1_k)}u^{j+\frac{k}{p}}_{x_k,0}-\bar
\beta_{-k}u_{0}^{j+\frac{k}{p}}+\mu_{-k}-
$$
$$
-
0.5h_k\left(L_ku\right)_0^{j+\frac{1}{2}}-0.5h_k\left(f_k-\frac{\varepsilon}{p}u_{t}-\frac{1}{p}
\partial^{\alpha}_{0t}u\right)_0^{j+\frac{k}{p}}+0.5h_k{\mathop{\psi}^\circ}_{-k}+O(h_k\tau)=
$$
$$
=a_k^{(1_k)}u^{j+\frac{k}{p}}_{x_k,0}-\bar
\beta_{-k}u_{0}^{j+\frac{k}{p}}+\mu_{-k}-
0.5h_k\left(L_ku\right)_0^{j+\frac{1}{2}}+0.5h_k{\mathop{\psi}^\circ}_{-k}+O(h_k\tau)=
$$
$$
=\Theta_k\frac{\partial u^{j+\frac{k}{p}}}{\partial
	x_k}+0.5h_k\frac{\partial}{\partial x_k}\left(\Theta_k\frac{\partial
	u}{\partial x_k}\right)^{j+\frac{k}{p}}-
\beta_{-k}u_{0}^{j+\frac{k}{p}}-0.5h_kd_{k,0}u^{j+\frac{k}{p}}_0+\mu_{-k}-
$$
$$
-0.5h_k\left(\frac{\partial}{\partial
	x_k}\left(\Theta_k\frac{\partial u}{\partial
	x_k}\right)-q_{k}u\right)_0^{j+\frac{k}{p}}+0.5h_k{\mathop{\psi}^\circ}_{-k}+O(h^2_k)
+O(h_k\tau)=
$$
$$
= \left[\Theta_k\frac{\partial u^{j+\frac{k}{p}}}{\partial x_k}-
\beta_{-k}u_{0}^{j+\frac{k}{p}}+\mu_{-k}\right]\Bigg|_{x_k=0}+0.5h_k{\mathop{\psi}^\circ}_{-k}
+O(h^2_k)+O(h_k\tau).
$$
В силу граничных условий (2.2) выражение, стоящее в квадратных
скобках, равно нулю. Поэтому
$$
\psi_{-k}=0.5h_k{\mathop{\psi}^\circ}_{-k} +{\mathop{\psi}^*}_{-k}.
$$
Итак,
$$
0.5h_k\frac{\varepsilon}{p} z_{t,0}+\frac{0.5h_k}{p}
\Delta^\alpha_{0t_{j+\frac{k}{p}}}z_0=
a_k^{(1_k)}z^{j+\frac{k}{p}}_{x_k,0}-\bar
\beta_{-k}z_{0}^{j+\frac{k}{p}}+0.5h_k{\mathop{\psi}^\circ}_{-k}
+{\mathop{\psi}^*}_{-k}.
$$
или
$$
\frac{\varepsilon}{p} z_{t,0}+\frac{1}{p}
\Delta^\alpha_{0t_{j+\frac{k}{p}}}z_0=\Lambda^-_kz^{j+\frac{k}{p}}+\psi_{-k},
\quad \psi_{-k}={\mathop{\psi}^\circ}_{-k}
+\frac{{\mathop{\psi}\limits^*}_{-k}}{0.5h_k}.
$$
Аналогично при $x_{\alpha}=l_{\alpha}$ имеем
$$
\frac{\varepsilon}{p} z_{t,N_k}+\frac{1}{p}
\Delta^\alpha_{0t_{j+\frac{k}{p}}}z_{N{_k}}=\Lambda^+_kz^{j+\frac{k}{p}}+\psi_{+k},
\quad \psi_{+k}={\mathop{\psi}^\circ}_{+k}
+\frac{{\mathop{\psi}\limits^*}_{+k}}{0.5h_k},
$$
$$
{\mathop{\psi}^\circ}_{\pm k}=O(1), \quad
\sum^{p}_{k=1}{\mathop{\psi}^\circ}_{\pm k}=0.
$$
Очевидно, что
$$
{\mathop{\psi}^*}_{\pm k}=\begin{cases} O(h^2_k+\tau)+O(h_k\tau),
\text{ в регулярных узлах},\\
O(1) \text{ в нерегулярных узлах}.
\end{cases}
$$

Таким образом, для погрешности $z^{j+\frac{k}{p}}$ получаем задачу:
$$
\frac{\varepsilon}{p}z^{j+\frac{k}{p}}_{\bar
	t}+\frac{1}{p}\Delta_{0t_{j+\frac{k}{p}}}^\alpha z=\bar \Lambda_k
z^{j+\frac{k}{p}}+\Psi_k^{j+\frac{k}{p}}, \eqno(4.4)
$$
$$
z(x,0)=0, \eqno(4.5)
$$
где
$$
\bar \Lambda_k=
\begin{cases}
\Lambda_k, \quad x_k\in \omega_{h_k}\\
\Lambda^-_k,\quad x_k=0,\\
\Lambda^+_k,\quad x_k=l_k,
\end{cases}
\quad \Psi_k=
\begin{cases}
\psi_k, \quad x_k\in \omega_{h_k}\\
\psi_{-k},\quad x_k=0,\\
\psi_{+k},\quad x_k=l_k,
\end{cases}
$$
$$
\psi_k=\mathop{\psi_k}^\circ+{\mathop\psi^*}_k, \quad
\mathop{\psi_k}^\circ=O(1), \quad
{\mathop\psi^*}_k=O\left(h_k^2+\tau\right), \quad \sum_{k
	=1}^{p}\mathop{\psi_k}^\circ=0,
$$
$$
\psi=\sum_{k =1}^{p}\psi_k=\sum_{k =1}^{p}
\left(\mathop{\psi_k}^\circ+{\mathop\psi^*}_k\right)=\sum_{k
	=1}^{p}{\mathop\psi^*}_k=O(|h|^2+\tau), 
$$
$$
\psi_{-k}={\mathop{\psi}^\circ}_{-k}+\frac{{\mathop\psi\limits^*}_{-k}}{0.5h_k},
\quad
\psi_{+k}={\mathop{\psi}^\circ}_{+k}+\frac{{\mathop\psi\limits^*}_{+k}}{0.5h_k},
$$
$$
{\mathop\psi}_{\pm k}=O(h^2_k+\tau), \quad {\mathop\psi^*}_{\pm
	k}=O(h_k^2)+O(h_k\tau), \quad {\mathop{\psi}^\circ}_{\pm
	k}=O(1),\quad \sum_{k=1}^p {\mathop{\psi}^\circ}_{\pm k}=0.
$$

Таким образом, ЛОС (3.10)-(3.11) обладает суммарной аппроксимацией
$O(|h|^2+\tau)$ в регулярных узлах сетки $\bar \omega_h$. В
нерегулярных узлах $\psi=O(1)$.

\section{Устойчивость ЛОС}

Получим априорную оценку в сеточной норме $C$ для решения разностной
задачи (3.10)-(3.11), выражающую устойчивость локально-одномерной
схемы по начальным данным и правой части. Разностную задачу (3.10),
(3.11) перепишем в виде
$$
\frac{\varepsilon}{p}y_{\bar
	t}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)y_{\bar
	t}^{\frac{s}{p}}=
$$
$$
=\left(a_ky_{\bar x_k}^{j+\frac{k}{p}}\right)_{x_k}-d_k
y^{j+\frac{k}{p}}+\varphi_k^{j+\frac{k}{p}},\quad x_k\in
\omega_{h_k}, \eqno(5.1)
$$
$$
\frac{\varepsilon}{p}y_{\bar
	t,0}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)y_{\bar
	t,0}^{\frac{s}{p}}=
$$
$$
=\frac{a_k^{(1_k)}y_{x_k,0}^{j+\frac{s}{p}}-\bar
	\beta_{-k}y_0^{j+\frac{k}{p}}}{0.5h_k}+\frac{\bar \mu_{-k}}{0.5h_k},
\quad x_k=0, \eqno(5.2)
$$
$$
\frac{\varepsilon}{p}y_{\bar
	t,N_{k}}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)y_{\bar
	t,N_k}^{\frac{s}{p}}=
$$
$$
=-\frac{a_k^{(N_k)}y_{\bar x_k,N_k}^{j+\frac{s}{p}}+\bar
	\beta_{+k}y_{N_k}^{j+\frac{k}{p}}}{0.5h_k}+\frac{\bar
	\mu_{+k}}{0.5h_k}, \quad x_k=l_k, \eqno(5.3)
$$
$$
y(x,0)=u_0(x). \eqno(5.4)
$$

Исследование устойчивости разностной схемы (5.1)-(5.4) будем
проводить с помощью принципа максимума \cite[c.226]{14}. Получим
априорную оценку для (5.1)-(5.4), для этого решение задачи
(5.1)-(5.4) представим в виде суммы
$$
y=\overline{y}+v+w,
$$
где $\overline{y}$ решение однородных уравнений (5.1) с
неоднородными краевыми условиями (5.2)-(5.3)  и однородными
начальными условиями (5.4):
$$
\frac{\varepsilon}{p}\bar y_{\bar
	t}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)\bar
y_{\bar t}^{\frac{s}{p}}=
$$
$$
=\left(a_k\bar y_{\bar
	x_k}^{j+\frac{k}{p}}\right)_{x_k}-d_k \bar y^{j+\frac{k}{p}},\quad
k=1,2,...,p, \eqno(5.5)
$$
$$
\frac{\varepsilon}{p}\bar y_{\bar
	t,0}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)\bar
y_{\bar t,0}^{\frac{s}{p}}=
$$
$$
=\frac{a_k^{(1_k)}{\bar
		y}_{x_k,0}^{j+\frac{k}{p}}-\bar \beta_{-k}\bar
	y_{0}^{j+\frac{k}{p}}}{0.5h_k}+\frac{\bar \mu_{-k}}{0.5h_k},\
x_k=0,\eqno(5.6)
$$
$$
\frac{\varepsilon}{p}\bar y_{\bar
	t,N_k}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)\bar
y_{\bar t,N_k}^{\frac{s}{p}}=
$$
$$
=-\frac{a_k^{(N_k)}\bar y_{\bar
		x_k,N_k}^{j+\frac{k}{p}}+\bar \beta_{+k}\bar
	y_{N_k}^{j+\frac{k}{p}}}{0.5h_k}+\frac{\bar \mu_{+k}}{0.5h_k},\
x_k=l_k,\eqno(5.7)
$$
$$
\bar y(x,0)=0,\eqno(5.8)
$$
а $v -$решение неоднородного уравнения (5.1) с однородными краевыми
(5.2)-(5.3) и неоднородными начальными условиями (5.4):
$$
\frac{\varepsilon}{p} v_{
	t}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)v_{\bar
	t}^{\frac{s}{p}}=
$$
$$
=\left(a_k{v}_{\bar
	x_k}^{j+\frac{k}{p}}\right)_{x_k}-d_k
v^{j+\frac{k}{p}}+{\mathop\varphi\limits^\circ}_k^{j+\frac{k}{p}},\eqno(5.9)
$$
$$
\frac{\varepsilon}{p} v_{\bar
	t,0}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right){v}_{\bar
	t,0}^{\frac{s}{p}}=
$$
$$
=\frac{a_k^{(1_k)}v_{x_k,0}^{j+\frac{k}{p}}-\bar
	\beta_{-k}v_{0}^{j+\frac{k}{p}}}{0.5h_k},\ x_k=0,\eqno(5.10)
$$
$$
\frac{\varepsilon}{p} v_{\bar
	t,N_k}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)v_{\bar
	t,N_k}^{\frac{s}{p}}=
$$
$$
=-\frac{a_k^{(N_k)}v_{\bar
		x_k,N_k}^{j+\frac{k}{p}}+\bar
	\beta_{+k}v_{N_k}^{j+\frac{k}{p}}}{0.5h_k},\ x_k=l_k,\eqno(5.11)
$$
$$
{v}(x,0)=u_0(x),\eqno(5.12)
$$
и $w -$решение неоднородного уравнения (5.1) с однородными краевыми  и начальными условиями
(5.2)-(5.4):
$$
\frac{\varepsilon}{p} w_{
	t}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)w_{\bar
	t}^{\frac{s}{p}}=
$$
$$
=\left(a_k{w}_{\bar
	x_k}^{j+\frac{k}{p}}\right)_{x_k}-d_k
w^{j+\frac{k}{p}}+{\mathop\varphi\limits^*}_k^{j+\frac{k}{p}},\eqno(5.13)
$$
$$
\frac{\varepsilon}{p} w_{\bar
	t,0}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right){w}_{\bar
	t,0}^{\frac{s}{p}}=
$$
$$
=\frac{a_k^{(1_k)}w_{x_k,0}^{j+\frac{k}{p}}-\bar
	\beta_{-k}w_{0}^{j+\frac{k}{p}}}{0.5h_k},\ x_k=0,\eqno(5.14)
$$
$$
\frac{\varepsilon}{p} w_{\bar
	t,N_k}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)w_{\bar
	t,N_k}^{\frac{s}{p}}=
$$
$$
=-\frac{a_k^{(N_k)}w_{\bar
		x_k,N_k}^{j+\frac{k}{p}}+\bar
	\beta_{+k}w_{N_k}^{j+\frac{k}{p}}}{0.5h_k},\ x_k=l_k,\eqno(5.15)
$$
$$
{w}(x,0)=0,\eqno(5.16)
$$
где ${\mathop{\varphi}\limits^\circ}_k^{j+\frac{k}{p}}$,
${\mathop{\varphi}\limits^*}_k^{j+\frac{k}{p}}$ определяются
условиями
$$
{\mathop{\varphi}^\circ}_k^{j+\frac{k}{p}}=
\begin{cases}
\varphi_k, \ x\in{\mathop{\omega}\limits^\circ}_h,\\
0, \ x\in{\mathop{\omega}\limits^{*}}_h,\\
\end{cases}
\quad {\mathop{\varphi}^*}_k^{j+\frac{k}{p}}=
\begin{cases}
\varphi_k, \ x\in{\mathop{\omega}\limits^{*}}_h,\\
0, \ x\in{\mathop{\omega}\limits^{\circ}}_h,\\
\end{cases}
$$
так, что ${\mathop{\varphi}\limits^\circ}_k+
{\mathop{\varphi}\limits^*}_k = \varphi_k$ при $x \in \omega_h$,
т.е. ${\mathop{\varphi}\limits^*}_k$ отлична от нуля только в
приграничных узлах.

Получим оценку для $\bar y$. Для этого уравнение (5.5) приведем к
каноническому виду.

В точке $P=P(x_{i_k},t_{j+\frac{k}{p}})$ имеем:
$$
\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^{\alpha}}+{\frac{
		a_{k,i_{k}+1}}{h_kh^*_{k_+}}}+{\frac{a_{k,i_k}}{h_kh^*_{k_-}}}+d_k\right]
\bar y^{j+\frac{k}{p}}_{i_k}=
$$
$$
=
{\frac{a_{k,i_{k}+1}}{h_kh^*_{k_+}}}\bar y _{i_k+1}^{j+\frac{k}{p}}
+{\frac{a_{k,i_k}}{h_kh^*_{k_-}}}\bar y
_{i_{k-1}}^{j+\frac{k}{p}}+
\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^{\alpha}}\left(2-2^{1-\alpha}\right)\right]
\bar y^{j+\frac{k-1}{p}}_{i_k}+
$$
$$
+\frac{1}{\tau}\frac{1}{\text{Г}(2-\alpha)}\Bigg[\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}\right)\bar
y^{0}_{i_k}+
\left(-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}+2t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}-
t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-2}{p}}\right)\bar y^{\frac{1}{p}}_{i_k}+
$$
$$
+...+\left(-t^{1-\alpha}_{\frac{3}{p}}+2t^{1-\alpha}_{\frac{2}{p}}-t^{1-\alpha}_{\frac{1}{p}}\right)\bar
y^{j+\frac{k-2}{p}}_{i_k} \Bigg],
$$
где $\gamma = \dfrac{1}{p^{1-\alpha}\text{Г}(2-\alpha)}.$

К каноническому виду следует привести и граничные условия.

В точке $P=P(x_0,t_{j+\frac{k}{p}})$ имеем:
$$
\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^{\alpha}}+\frac{
	a_{k}^{(1_k)}}{0.5h_kh^*_{k_+}}+\frac{\overline\beta_{-k}}{0.5h_k}\right]\bar
y^{j+\frac{k}{p}}_{0}=
$$
$$
=\frac{a_k^{(1_k)}}{0.5h_kh^*_{k_+}}\bar
y_1^{j+\frac{k}{p}}+
\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^\alpha}(2-2^{1-\alpha})\right]\bar
y_0^{j+\frac{k-1}{p}}+
$$
$$
+\frac{1}{\tau}\frac{1}{\text{Г}(2-\alpha)}\Bigg[\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}\right)\bar
y^{0}_{0}+
\left(-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}+2t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}-
t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-2}{p}}\right)\bar y^{\frac{1}{p}}_{0}+
$$
$$
+...+\left(-t^{1-\alpha}_{\frac{3}{p}}+2t^{1-\alpha}_{\frac{2}{p}}-t^{1-\alpha}_{\frac{1}{p}}\right)\bar
y^{j+\frac{k-2}{p}}_{0} \Bigg].
$$

В точке $P=P(x_{N_k},t_{j+\frac{k}{p}})$ имеем:
$$
\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^{\alpha}}+\frac{
	a_{k}^{(N_k)}}{0.5h_kh^*_{k_-}}+\frac{\overline\beta_{+k}}{0.5h_k}\right]\bar
y^{j+\frac{k}{p}}_{N_k}=\frac{a_k^{(N_k)}}{0.5h_kh^*_{k_-}}\bar
y_{N_k-1}^{j+\frac{k}{p}}+
$$
$$
+\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^\alpha}(2-2^{1-\alpha})\right]\bar
y_{N_k}^{j+\frac{k-1}{p}}+\frac{1}{\tau}\frac{1}{\text{Г}(2-\alpha)}\Bigg[\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}\right)\bar
y^{0}_{N_k} +
$$
$$
+\left(-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}+2t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-2}{p}}\right)\bar
y^{\frac{1}{p}}_{N_k}
+...+\left(-t^{1-\alpha}_{\frac{3}{p}}+2t^{1-\alpha}_{\frac{2}{p}}-t^{1-\alpha}_{\frac{1}{p}}\right)\bar
y^{j+\frac{k-2}{p}}_{N_k} \Bigg].
$$

Справедлива следующая \cite{0}

\textbf{Лемма.} Пусть $l=pj+k-1 \geq 1,$ тогда имеет место
неравенство
$$
-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}+2t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}-
t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-2}{p}}>0, \quad j=0,1,...,j_0-1; \quad
k=2,3,...,p. \eqno(5.17)
$$

В \cite{14} доказан принцип максимума и получены априорные оценки
для решения сеточного уравнения общего вида
$$
A(P)y(P)=\sum_{Q \in \text{Ш}'(P)} B(P,Q)y(Q)+F(P),\quad P \in
\Omega,
$$
где P,Q - узлы сетки $\Omega$+S, Ш$'(P)-$ окрестность узла P, не
содержащего самого узла P. Коэффициенты A(P), B(P,Q) удовлетворяют
условиям
$$
A(P)>0, \quad B(P,Q)>0,\quad D(P)=A(P)- \sum_{Q \in \text{Ш}'(P)}
B(P,Q) \geq 0. \eqno(5.18)
$$

Обозначим через $P(x,t'),$ где $x \in \omega_h, \quad t'\in
\omega'_\tau$ узел $(p+1)-$мерной сетки
$\Omega=\omega_h\times\omega'_\tau$, через S $\--$ границу $\Omega$,
состоящую из узлов  P($x$,0) при $x \in \overline{\omega}_h$ и узлов
$P(x,t_{j+\frac{k}{p}})$ при $t_{j+\frac{k}{p}}\in \omega'_\tau$ и
$x \in \gamma_{h,k}$ для всех $k=1,2,...,p; \quad j=0,1,...,j_0$,
${\mathop{\Omega}\limits^*}_{k} -$ множество узлов
$P(x,t_{j+\frac{k}{p}})$, где $x \in
{\mathop{\omega}\limits^*}_{h,k} -$ приграничный по направлению
$x_{k}$ узел сетки $\bar\omega_h$.

Справедливы следующие \cite{15}

\begin{theorem}
Пусть коэффициенты уравнения
$$
A(P)y(P)=\sum_{Q \in \text{Ш}'(P)} B(P,Q)y(Q)+F(P),\quad P \in
\Omega,\eqno{(*)}
$$
удовлетворяют условиям
$$
A(P)>0, \quad B(P,Q)\geq0, \quad D(P)>0, \quad P \in
\mathop\omega^*,
$$
$$
A(P)>0, \quad B(P,Q)>0, \quad D(P)=F(P)=0, \quad P \in
\mathop\omega^o,
$$
где $\mathop\omega\limits^o -$ некоторое связное подмножество
множества $\omega$, а $\mathop\omega\limits^* -$ дополнение
$\mathop\omega\limits^o$ до $\omega$.

Тогда для решения задачи (*) справедлива оценка
$$
\|y\|_C\leq\Bigg|\Bigg|\frac{F(P)}{D(P)}\Bigg|\Bigg|_{C^*},
$$
где
$$
\|f\|_C=\max\limits_{P\in\omega}|f(P)|, \quad
\|f\|_{C^*}=\max\limits_{P\in\omega^*}|f(P)|.
$$
\end{theorem}
\begin{theorem}
 Если выполнены условия
$$
D'(P_{(n+1)})>0 \text{ для всех } P_{(n+1)}\in\omega, \quad
A(P_{(n+1)})>0,\quad B(P_{(n+1)},Q)\geq0
$$
для всех $ Q \in \text{Ш}''_{n},Q \in \text{Ш}'_{n+1},$
$$
\sum_{Q \in \text{Ш}''_{n}} B(P_{(n+1)},Q)>0,
\quad\frac{1}{D'(P_{(n+1)})}\sum_{Q \in  \text{Ш}''_{n}}
B(P_{(n+1)},Q)\leq1+c_1\tau,
$$
где $c_1=const>0 $ не зависит от $\tau, \ h$.

Тогда для решения задачи
$$
A(P_{(n+1)})y(P_{(n+1)})=\sum_{Q \in \text{Ш}'_{n+1}}
B(P_{(n+1)},Q)y(Q)+\Phi(P_{(n+1)}),
$$
где $P_{(n+1)}=P(x,t_{n+1})$
$$
\Phi(P_{(n+1)})=\sum_{Q \in \text{Ш}''_{n}}
B(P_{(n+1)},Q)y(Q)+F(P_{(n+1)}),
$$
$$
D'(P_{(n+1)})=A(P_{(n+1)})-\sum_{Q \in \text{Ш}''_{n}}
B(P_{(n+1)},Q).
$$
Справедлива оценка
$$
\|y_{n+1}\|_{C_h}\leq
e^{c_1t_n}\left(\|y_0\|_{C_h}+\sum^{n+1}_{k=1}\tau\|\widetilde{F}_k\|_{C_h}\right).
$$
\end{theorem}


Проверим, учитывая положительность выражений, стоящих в круглых
скобках (согласно Лемме), выполнимость условий Теоремы 1.

В точке $P=P(x_{i_k},t_{j+\frac{k}{p}})$ имеем:
$$
A(P)=\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+
\frac{\gamma}{\tau^\alpha}+\frac{a_{k,i_k+1}}{h_kh^*_{k_+}}+\frac{a_{k,i_k}}{h_kh^*_{k_-}}+d_k\right]>0,
$$
$$
B(P,Q)=\Bigg\{\frac{a_{k,i_k+1}}{h_kh^*_{k_+}};\frac{a_{k,i_k}}{h_kh^*_{k_-}};
\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^\alpha}\left(2-2^{1-\alpha}\right);
\frac{1}{\tau}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\Bigg[\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}\right);
$$
$$
\left(-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}+2t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}-
t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-2}{p}}\right);...
;\left(-t^{1-\alpha}_{\frac{3}{p}}+2t^{1-\alpha}_{\frac{2}{p}}-t^{1-\alpha}_{\frac{1}{p}}\right)\Bigg]
\Bigg\}>0,
$$
$$
D(P)=d_k\geq c_0>0;
$$
а в точке $P=P(x_0,t_{j+\frac{k}{p}})$ имеем:
$$
A(P)=\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+
\frac{\gamma}{\tau^\alpha}+\frac{a_k
	^{(1_k)}}{0.5h_kh^*_{k_+}}+\frac{\bar \beta_{-k}}{0.5h_k}\right]>0,
$$
$$
B(P,Q)=\Bigg\{\frac{a_{k}^{(1_k)}}{0.5h_kh^*_{k_+}};
\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^\alpha}\left(2-2^{1-\alpha}\right);
\frac{1}{\tau}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\Bigg[\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}\right);
$$
$$
\left(-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}+2t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}-
t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-2}{p}}\right);
...;\left(-t^{1-\alpha}_{\frac{3}{p}}+2t^{1-\alpha}_{\frac{2}{p}}-t^{1-\alpha}_{\frac{1}{p}}\right)\Bigg]
\Bigg\}>0,
$$
$$
D(P)=\frac{\bar \beta _{-k}}{0.5h_k}>\frac{\beta_{-k}}{0.5h_k}\geq
\frac{c_0}{0.5h_k}>0;
$$
в точке $P=P(x_{N_k},t_{j+\frac{k}{p}})$ имеем:
$$
A(P)=\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+
\frac{\gamma}{\tau^\alpha}+\frac{a
	_k^{(N_k)}}{0.5h_kh^*_{k_-}}+\frac{\bar
	\beta_{+k}}{0.5h_k}\right]>0,
$$
$$
B(P,Q)=\Bigg\{\frac{a_{k}^{(N_k)}}{0.5h_kh^*_{k_-}};
\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^\alpha}\left(2-2^{1-\alpha}\right);
\frac{1}{\tau}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\Bigg[\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}\right);
$$
$$
\left(-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}+2t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}-
t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-2}{p}}\right);
...;\left(-t^{1-\alpha}_{\frac{3}{p}}+2t^{1-\alpha}_{\frac{2}{p}}-t^{1-\alpha}_{\frac{1}{p}}\right)\Bigg]
\Bigg\}>0,
$$
$$
D(P)=\frac{\bar \beta _{+k}}{0.5h_k}>\frac{\beta_{+k}}{0.5h_k}\geq
\frac{c_0}{0.5h_k}>0.
$$
Таким образом, на основании Теоремы 1 для $\bar y$ получаем оценку:
$$
\|\bar y^{j+1}\|_C\leq \frac{1}{c_0}\max_{0<t'\leq t_j} \left(\|\bar
\mu_{-k}(x,t')\|_{C_\gamma}+\|\bar
\mu_{+k}(x,t')\|_{C_\gamma}\right), \quad \beta_{\pm k}\geq c_0>0,
\eqno(5.19)
$$
где
$$
\|y\|_C = \max_{x \in \bar{\omega}_h}|y|, \quad \|y\|_{C_{\gamma}} =
\max_{x \in \gamma_h}|y|.
$$

Переходим к оценке функции $v$. Уравнение (5.9)-(5.12) перепишем в виде:
$$
\left(\frac{\varepsilon}{p}+\frac{1}{p}
\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\left(\frac{\tau}{p}\right)^{1-\alpha}\right)
{v}^{j+\frac{k}{p}}_{\bar t}=\Lambda_ k {v}^{j+\frac{k}{p}}+
\widetilde{\varphi}_k^{j+\frac{k}{p}}, \eqno(5.20)
$$
где
$$
\widetilde{\varphi}_k^{j+\frac{k}{p}}={\mathop{\varphi}\limits^\circ}_k^{j+\frac{k}{p}}-\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\sum_{s=1}^{pj+k-1}\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}
-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right){v}^{j+\frac{k}{p}}_{\bar t}.
$$
Уравнение (5.20) приведем к каноническому виду:
$$
\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+
\frac{\gamma}{\tau^\alpha}+\frac{a_{k,i_k+1}}{h_kh^*_{k_+}}+\frac{a_{k,i_k}}{h_kh^*_{k_-}}+d_k\right]{v}^{j+\frac{k}{p}}_{i_k}=
{\frac{a_{k,i_{k}+1}}{h_kh^*_{k_+}}}v _{i_k+1}^{j+\frac{k}{p}}
+{\frac{a_{k,i_k}}{h_kh^*_{k_-}}}v
_{i_{k-1}}^{j+\frac{k}{p}}+\Phi(P_{j+\frac{k}{p}}),
$$
где
$$
\Phi(P_{j+\frac{k}{p}})=\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^\alpha}(2-2^{1-\alpha})\right]v_{i_k}^{j+\frac{k-1}{p}}+\bar
\varphi_k^{j+\frac{k}{p}},
$$
$$
\bar
\varphi_k^{j+\frac{k}{p}}={\mathop{\varphi}\limits^\circ}_k^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\frac{1}{\tau}\left(t_{\frac{2}{p}}^{1-\alpha}-t_{\frac{1}{p}}^{1-\alpha}\right)v_{i_k}^{j+\frac{k-2}{p}}-
$$
$$
-\frac{1}{\tau}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\sum_{s=1}^{pj+k-2}\left(t_{j+\frac{k-s+1}{p}}^{1-\alpha}-t_{j+\frac{k-s}{p}}^{1-\alpha}\right)\left(v_{i_k}^{\frac{s}{p}}-v_{i_k}^{\frac{s-1}{p}}\right).
$$
Проверим выполнимость условий Теоремы 2, тогда в точке
$P_{(k)}=P(x,t_{j+\frac{k}{p}})$ имеем:

$$
A(P_{(k)})=\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+
\frac{\gamma}{\tau^\alpha}+\frac{a_{k,i_k+1}}{h_kh^*_{k_+}}+\frac{a_{k,i_k}}{h_kh^*_{k_-}}+d_k\right]>0,
$$
$$
B(P_{(k)},Q)=\Bigg\{\frac{a_{k,i_k+1}}{h_kh^*_{k_+}};\frac{a_{k,i_k}}{h_kh^*_{k_-}};
\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^\alpha}\left(2-2^{1-\alpha}\right);
\frac{1}{\tau}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\Bigg[\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}\right);
$$
$$
\left(-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}+2t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}-
t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-2}{p}}\right);...;\left(-t^{1-\alpha}_{\frac{3}{p}}+2t^{1-\alpha}_{\frac{2}{p}}-t^{1-\alpha}_{\frac{1}{p}}\right)\Bigg]
\Bigg\}>0,
$$
$$
D'(P_{(k)})=A(P_{(k)})-\sum_{Q\in\text{Ш}'_k(P)}B(P_{(k)},Q)=\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^\alpha}+d_k\geq
\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^\alpha}>0,
$$
для всех $Q\in \text{Ш}''_{k-1},Q\in \text{Ш}'_{k}$,
$$
\sum_{Q\in\text{Ш}''_{k-1}}B(P_{(k)})=\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^\alpha}\left(2-2^{1-\alpha}\right)>0,\eqno(5.21)
$$
$$
\frac{1}{D'(P_{(k)})}\sum_{Q\in\text{Ш}''_{k-1}}B(P_{(k)})=\frac{\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma(2-2^{1-\alpha})}{\tau^\alpha}}
{\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^\alpha}}\leq 1,
$$
где
$$
\text{Ш}'_{(P(k))}=\text{Ш}_k+\text{Ш}''_{k-1}, \quad
\text{Ш}'_{k}-\text{множество узлов }\ Q=Q(\xi,t_k)\in
\text{Ш}'_{(P(x,t_k))}
$$
$$
\text{Ш}''_{k-1}-\text{множество узлов }\ Q=Q(\xi,t_{k-1})\in
\text{Ш}'_{(P(x,t_{k-1}))}.
$$
На основании Теоремы 2  и в силу (5.21) для $v$ получаем оценку:
$$
\|v^{j+\frac{k}{p}}\|_C\leq
\frac{1}{\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^\alpha}}\|{\bar
	\varphi_k^{j+\frac{k}{p}}}\|_C+\frac{\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma(2-2^{1-\alpha})}{\tau^\alpha}}
{\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^\alpha}}\|v^{j+\frac{k}{p}}\|_C.
\eqno(5.22)
$$
Оценим $\|{\bar \varphi^{j+\frac{k}{p}}}\|_C$
$$
\bar
\varphi_k^{j+\frac{k}{p}}={\mathop{\varphi}\limits^\circ}_k^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\frac{1}{\tau}\left(t_{\frac{2}{p}}^{1-\alpha}-t_{\frac{1}{p}}^{1-\alpha}\right)
v_{i_k}^{j+\frac{k-2}{p}}-
$$
$$
-\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\sum_{s=1}^{pj+k-2}\left(t_{j+\frac{k-s+1}{p}}^{1-\alpha}-t_{j+\frac{k-s}{p}}^{1-\alpha}\right)v^{\frac{s}{p}}_{\bar
	t}=
$$
$$
={\mathop{\varphi}\limits^\circ}_k^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\frac{1}{\tau}\Bigg[
\left(t_{j+\frac{k}{p}}^{1-\alpha}-t_{j+\frac{k-1}{p}}^{1-\alpha}\right)v^{0}_{i_k}+
$$
$$
+\left(-t_{j+\frac{k}{p}}^{1-\alpha}+2t_{j+\frac{k-1}{p}}^{1-\alpha}-t_{j+\frac{k-2}{p}}^{1-\alpha}\right)
v^{\frac{1}{p}}_{i_k}+...+\left(-t_{\frac{3}{p}}^{1-\alpha}+2t_{\frac{2}{p}}^{1-\alpha}-t_{\frac{1}{p}}^{1-\alpha}\right)v^{j+\frac{k-2}{p}}_{i_k}\Bigg].\eqno(5.23)
$$
Так как, выражения, стоящие в круглых скобках положительны, то из
(5.23) получаем оценку
$$
\|{\bar \varphi_k^{j+\frac{k}{p}}}\|_C\leq \|{
	{\mathop{\varphi}\limits^\circ}_k^{j+\frac{k}{p}}}\|_C+\frac{\gamma(2^{1-\alpha}-1)}{\tau^\alpha}\max_{0\leq
	s\leq k-2}\|v^{j+\frac{s}{p}}\|_C.\eqno(5.24)
$$
С помощью (5.24) из (5.22) находим
$$
\max_{0\leq s\leq k}\|v^{j+\frac{s}{p}}\|_C\leq \max_{0\leq s\leq
	k-1}\|v^{j+\frac{s}{p}}\|_C+\left(\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}+\tau d_k}\right)\max_{0\leq s\leq
	k}\|{\mathop{\varphi}\limits^\circ}_k^{j+\frac{s}{p}}\|_C\leq
$$
$$
\leq \max_{0\leq s\leq
	k-2}\|v^{j+\frac{s}{p}}\|_C+\left(\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\right)\max_{0\leq s\leq
	k}\|{\mathop{\varphi}\limits^\circ}_k^{j+\frac{s}{p}}\|_C.\eqno(5.25)
$$
Суммируем (5.25) сначала по $k=1,2,...,p$ затем по $j'=0,1,2,...,j.$
Тогда получим
$$
\|v^{j+\frac{k}{p}}\|_C\leq \|v^{0}\|_C+\sum_{j'=0}^j\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\sum_{k=1}^p \max_{0\leq s\leq
	k}\|{\mathop{\varphi}\limits^\circ}_k^{j'+\frac{s}{p}}\|_C.
\eqno(5.26)
$$


Рассмотрим теперь задачу (5.13)-(5.16) для $w$. Перепишем уравнение
(5.13) в каноническом виде
$$
\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^{\alpha}}+{\frac{
		a_{k,i_{k}+1}}{h_kh^*_{k_+}}}+{\frac{
		a_{k,i_k}}{h_kh^*_{k_-}}}+d_k\right]w^{j+\frac{k}{p}}_{i_k}=
\frac{a_{k,i_k+1}}{h_kh^*_{k_+}}w_{i_k+1}^{j+\frac{k}{p}}+
\frac{a_{k,i_k}}{h_kh^*_{k_-}}w_{i_k-1}^{j+\frac{k}{p}}+
$$
$$
+\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^{\alpha}}\left(2-2^{1-\alpha}\right)\right]
w^{j+\frac{k-1}{p}}_{i_k}+\frac{1}{\tau}\frac{1}{\text{Г}(2-\alpha)}\Bigg[\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}\right)w^{0}_{i_k}+
$$
$$
+\left(-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}+2t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-2}{p}}\right)w^{\frac{1}{p}}_{i_k}+...+
\left(-t^{1-\alpha}_{\frac{3}{p}}+2t^{1-\alpha}_{\frac{2}{p}}-t^{1-\alpha}_{\frac{1}{p}}\right)w^{j+\frac{k-2}{p}}_{i_k}
\Bigg] + {\mathop\varphi^{*}}^{j+\frac{k}{p}}_k,\eqno(5.27)
$$
и присоединим граничные и начальные условия (5.14-4.16)
$$
\frac{\varepsilon}{p} w_{\bar
	t,0}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right){w}_{\bar
	t,0}^{\frac{s}{p}}=
$$
$$
=\frac{a_k^{(1_k)}w_{x_k,0}^{j+\frac{k}{p}}-\bar
	\beta_{-k}w_{0}^{j+\frac{k}{p}}}{0.5h_k},\ x_k=0,\eqno(5.28)
$$
$$
\frac{\varepsilon}{p} w_{\bar
	t,N_k}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{p}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}
\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)w_{\bar
	t,N_k}^{\frac{s}{p}}=
$$
$$
=-\frac{a_k^{(N_k)}w_{\bar
		x_k,N_k}^{j+\frac{k}{p}}+\bar
	\beta_{+k}w_{N_k}^{j+\frac{k}{p}}}{0.5h_k},\ x_k=l_k,\eqno(5.29)
$$
$$
{w}(x,0)=0,\eqno(5.30)
$$
т.е. $w=0$ на границе $S$ сетки $\Omega$, т.е. $w(P)=0$ при $P \in
S$.

Правая часть ${\mathop{\varphi}\limits^{*}}$ отлична от нуля лишь в
узлах $(x,t')$, где $x\in{\mathop{\omega}\limits^*}_h$.  
Видно, что
$$
A(P)=\left[\frac{\varepsilon}{\tau}+
\frac{\gamma}{\tau^\alpha}+\frac{a_{k,i_k+1}}{h_kh^*_{k_+}}+\frac{a_{k,i_k}}{h_kh^*_{k_-}}+d_k\right]>0,
$$
$$
B(P,Q)=\Bigg\{\frac{a_{k,i_k+1}}{h_kh^*_{k_+}};\frac{a_{k,i_k}}{h_kh^*_{k_-}};
\frac{\varepsilon}{\tau}+\frac{\gamma}{\tau^\alpha}\left(2-2^{1-\alpha}\right);
\frac{1}{\tau}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\Bigg[\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}\right);
$$
$$
\left(-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k}{p}}+2t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-1}{p}}-
t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-2}{p}}\right);...
;\left(-t^{1-\alpha}_{\frac{3}{p}}+2t^{1-\alpha}_{\frac{2}{p}}-t^{1-\alpha}_{\frac{1}{p}}\right)\Bigg]
\Bigg\}>0,
$$
$$
D(P)=\frac{\varepsilon}{\tau}+
\frac{\gamma}{\tau^\alpha}+d_k>0.
$$
Тогда в силу однородных краевых условий (5.28)-(5.29) имеем
$$
D(P)=\frac{\varepsilon}{\tau}+
\frac{\gamma}{\tau^\alpha}+d_k.
$$
На основании теоремы 1, получаем
$$
\max_{\Omega+S}|w(P)|\leq\max_{t'\in
	w_{\tau}}\|\frac{{\mathop{\varphi}\limits^{*}}(x,t')}{D}\|_{{\mathop{C}\limits^{*}}}
\leq\max _{0<t'\leq t_{j}}\frac
{\tau\|{\mathop\varphi^{*}}\|_{{\mathop{C}\limits^{*}}}}{\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}+\tau d_k}\leq
$$
$$
\leq\max _{0<t'\leq t_{j}}\frac
{\tau\|{\mathop\varphi^{*}}\|_{{\mathop{C}\limits^{*}}}}{\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\eqno(5.31)
$$

Из оценок (5.19) и (5.26) и (5.31) следует окончательная оценка
$$
\|y^{j+1}\|_C\leq \|u_{0}\|_C +\frac{1}{c_0}\max_{0<t'\leq j\tau}
\left(\|\bar \mu_{-k}(x,t')\|_{C_\gamma}+\|\bar
\mu_{+k}(x,t')\|_{C_\gamma}\right)+
$$
$$
+\max _{0<t'\leq t_{j}}\frac
{\tau\|{\mathop\varphi^{*}}\|_{{\mathop{C}\limits^{*}}}}{\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}+ \sum^j_{j'=0}\dfrac{\tau}{ \varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}
\sum^p_{k=1}\max _{0\leq s\leq
	k}\|{\mathop{\varphi}^\circ}_k^{j'+\frac{s}{p}}\|_{{\mathop{C}\limits^{o}}},
\eqno(5.32)
$$
где
$$
h=\max_{1\leq k\leq p}h_k, \quad \|y\|_C=\max_{x\in\omega_h}|y|,
\quad \|y\|_{C_{\gamma}}=\max_{x\in\gamma_h}|y|, \quad
\|\varphi\|_{{\mathop{C}\limits^{*}}}=\max_{x\in{\mathop{\omega}\limits^{*}}_h}|\varphi|,
\quad
\|\varphi\|_{{\mathop{C}\limits^{\circ}}}=\max_{x\in{\mathop{\omega}\limits^{\circ}}_h}|\varphi|
$$

Таким образом справедлива

\begin{theorem}
 Локально-одномерная схема (3.10), (3.11)
устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения
задачи (3.10), (3.11) справедлива оценка(5.32).
\end{theorem}

\section{Равномерная сходимость ЛОС}

Чтобы использовать свойство $\sum\limits_{k=1}^p
{\mathop{\psi}^\circ}_k=0, \quad {\mathop{\psi}^\circ}_k=O(1) $
представим по аналогии с \cite{14}, решение задачи для
погрешности в виде суммы
$$
z_{(k)}=v_{(k)}+\eta_{(k)}, \quad
z_{(k)}=z^{j+\frac{k}{p}},\eqno(6.1)
$$
где $\eta_{(k)}$ определяется условиями
$$
\frac{\varepsilon}{p}\eta_{\bar
	t}^{j+\frac{k}{p}}+\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\frac{1}{p}\sum_{s=1}^{pj+k}
\left(t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s+1}{p}}-t^{1-\alpha}_{j+\frac{k-s}{p}}\right)\eta_{\bar
	t}^{\frac{s}{p}}={\mathop\Psi^\circ}_k, \quad x\in
\omega_h+\gamma_{h,k}, \eqno(6.2)
$$
$$
\eta(x,0)=0,
$$
$$
{\mathop\Psi^\circ}_k= \begin{cases}
{\mathop\psi\limits^\circ}_k,\quad
x_k\in \omega_{h_k},\\
{\mathop\psi\limits^\circ}_{-k},\quad x_k=0,\\
{\mathop\psi\limits^\circ}_{+k},\quad x_k=l_k.
\end{cases}
$$

Функция $v_{(k)}$ определяется условиями
$$
\Delta_{0t_{j+\frac{k}{p}}}^\alpha
v_{(k)}=\Lambda_kv_{(k)}+\widetilde \Psi_k,\quad
\widetilde\Psi_k=\Lambda_k\eta_{(k)}+\mathop{\Psi}^*, \quad x_k\in
\omega_{h_k},\eqno(6.3)
$$
$$
\Delta_{0t_{j+\frac{k}{p}}}^\alpha
v_{(k)}=\Lambda^-_kv_{(k)}+\widetilde \Psi_{-k},\quad
\widetilde\Psi_{-k}=\Lambda^-_k\eta_{(k)}+\frac{{\mathop{\Psi}\limits^*}_{-k}}{0.5h_k},
\quad x_k=0,\eqno(6.4)
$$
$$
\Delta_{0t_{j+\frac{k}{p}}}^\alpha
v_{(k)}=\Lambda^+_k\vartheta_{(k)}+\widetilde \Psi_{+k},\quad
\widetilde\Psi_{+k}=\Lambda^+_k\eta_{(k)}+\frac{{\mathop{\Psi}\limits^*}_{+k}}{0.5h_k},
\quad x_k=l_k,\eqno(6.5)
$$
$$
v(x,0)=0, \eqno(6.6)
$$
где
$$
\widetilde \Psi_k=\mathop{\Psi}^*+\Lambda_k\eta_{(k)}, \quad
\mathop{\Psi}^*=O\left(h_k^2+\tau\right),\quad
{\mathop{\Psi}^*}_{\pm k}=O\left(h_k^2+\tau\right).
$$

Покажем, что $\eta^{j+\frac{k}{p}}=O\left(\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\right),\quad k=1,2,...,p, \quad
j=0,1,2,...,j_0-1$.\\

Ради простоты рассмотрим двумерный случай (p = 2). Сначала положим $
j = 0$, т.е. рассмотрим первый слой $(0,t_1].$ Тогда задача (6.2)
примет вид
$$
\frac{\varepsilon}{2}\eta^{\frac{k}{2}}_{\bar
	t}+\frac{1}{2}\frac{1}{\text{Г}(2-\alpha)}\sum_{s =1}^{k}
\left(t^{1-\alpha}_{\frac{k-s+1}{2}}-t^{1-\alpha}_{\frac{k-s}{2}}\right)
\eta^\frac{s}{2}_{\overline{t}}=\mathop{\psi_k}^\circ, \quad k=1,2.
$$
Пусть $k=1,$ тогда получим
$$
\frac{\varepsilon}{2}\eta^{\frac{1}{2}}_{\bar
	t}+\frac{1}{2}\frac{1}{\text{Г}(2-\alpha)}t^{1-\alpha}_\frac{1}{2}\eta^\frac{1}{2}_{\overline{t}}=\mathop{\psi_1}^\circ.
\eqno(6.7)
$$
При $k=2,$ получаем
$$
\frac{\varepsilon}{2}\eta^{1}_{\bar
	t}+\frac{1}{2}\frac{1}{\text{Г}(2-\alpha)}\left[\left(t^{1-\alpha}_{1}-t^{1-\alpha}_{\frac{1}{2}}\right)\eta^\frac{1}{2}_{\overline{t}}+
t^{1-\alpha}_{\frac{1}{2}}\eta^1_{\overline{t}}\right]=\mathop{\psi_2}^\circ.
\eqno(6.8)
$$

Складывая выражения (6.7) и (6.8), получаем
$$
\frac{\varepsilon}{2}\eta^{\frac{1}{2}}_{\bar
	t}+\frac{\varepsilon}{2}\eta^{1}_{\bar t}+
\frac{1}{2}\frac{1}{\text{Г}(2-\alpha)}\frac{1}{\tau^\alpha}\left[\left(1-\frac{1}{2^{1-\alpha}}\right)\eta^\frac{1}{2}+
\frac{1}{2^{1-\alpha}}\eta^1\right]=0. \eqno(6.9)
$$

Из (6.7) находим
$$
\eta^\frac{1}{2}= \dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\mathop{\psi_1}^\circ=-\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\mathop{\psi_2}^\circ, \eqno(6.10)
$$
где $\gamma=\frac{1}{2^{1-\alpha}\Gamma(2-\alpha)}.$

Выражая $\eta^1$ из (6.9) и учитывая (6.10), получаем
$$
\eta^\frac{1}{2},\eta^{1}=O\left(\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\right). \eqno(6.11)
$$

Допустим, что при $j=n$ выполнено условие
$$
\eta^\frac{1}{2},\eta^{1},\eta^{1+\frac{1}{2}},...,\eta^{n+1}=O\left(\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\right). \eqno(6.12)
$$

Опираясь на допущение (6.12) покажем, что аналогичное условие
выполнено и при $j=n+1.$ Для чего запишем уравнение (6.2) при
$j=n+1, \ p=2:$
$$
\frac{\varepsilon}{2}\eta_{\bar
	t}^{n+1+\frac{k}{2}}+\frac{1}{2}\frac{1}{\text{Г}(2-\alpha)}\sum_{s
	=1}^{2(n+1)+k}
\left(t^{1-\alpha}_{n+1+\frac{k-s+1}{2}}-t^{1-\alpha}_{n+1+\frac{k-s}{2}}\right)
\eta^\frac{s}{2}_{\overline{t}}=\mathop{\psi_k}^\circ, \quad k=1,2.
\eqno(6.13)
$$

Полагая в (6.13) $k=1$, находим
$$
\tau^{1-\alpha}\left[\left(n+\frac{3}{2}\right)^{1-\alpha}-2\left(n+1\right)^{1-\alpha}+
\left(n+\frac{1}{2}\right)^{1-\alpha}\right]\eta^{\frac{1}{2}}+
$$
$$
+\tau^{1-\alpha}
\left[\left(n+1\right)^{1-\alpha}-2\left(n+\frac{1}{2}\right)^{1-\alpha}+n^{1-\alpha}\right]\eta^{1}+
\cdot\cdot\cdot-
$$
$$
-\text{Г}(2-\alpha)\left(\varepsilon-\frac{\tau^{1-\alpha}}
{\text{Г}(2-\alpha)}\left(1-2^\alpha\right)\right)\eta^{n+1}+
$$
$$
+\text{Г}(2-\alpha)\left(\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}\right)\eta^{n+\frac{3}{2}}=
2\text{Г}(2-\alpha)\tau\mathop{\psi_1}^\circ. \eqno(6.14)
$$
Откуда, с учетом (6.12) и достаточной ограниченности коэффициентов
при $\eta^\frac{1}{2},\eta^{1},...,\eta^{n+\frac{3}{2}}$, находим
$\eta^{n+\frac{3}{2}} =O\left(\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\right).$

Положим теперь в (6.13) $k=2$, затем сложим полученное таким образом
выражение с выражением (6.14) с учетом равенства
$$ \mathop{\psi_1}^\circ+\mathop{\psi_2}^\circ=0.$$
Тогда получим
$$
\eta^\frac{1}{2},\eta^{1},...,\eta^{n+1},\eta^{n+\frac{3}{2}},\eta^{n+2}=O\left(\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\right). \eqno(6.15)
$$

Итак, равенство (6.15) выполнено при любом значении $j$. Нетрудно
заметить, что аналогично можно показать, что
$$
\eta^{j+\frac{k}{p}}=O\left(\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\right), \quad k=1,2,...,p, \quad
j=0,1,...,j_0-1.
$$

Для оценки решения задачи (6.3)-(6.6) воспользуемся Теоремой 3:
$$
\|v^{j+1}\|_C \leq \max _{0<j'+\frac{k}{p}\leq
	j+1}\left( \frac
{\tau\|{\widetilde{\psi}}\|_{{\mathop{C}\limits^{*}}}}{\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}+\|\eta^{j'+\frac{k}{p}}\|_{C_{\gamma}}\right)  +
$$
$$
+
\sum^j_{j'=0}\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\sum^p_{k=1}\max _{0\leq s\leq
	k}\|\widetilde{\psi}_k^{j'+\frac{s}{p}}\|_C, \eqno(6.16)
$$
где $\widetilde{\psi}_k={\mathop\psi\limits^*}_k + \Lambda_k
\eta_{(k)}.$

Если существуют непрерывные в замкнутой области $\bar Q_T,$
производные $\dfrac{\partial^4u}{\partial x_k^2\partial x_\nu^2},$
$1\leq k,\ \nu\leq p,\quad k\ne \nu$, то
$$
\bar{\Lambda}_k\eta_{(k)}=-\left(\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\right)a_k\bar{\Lambda}_k
\left({\mathop{\Psi}^\circ}_{k+1}+...+{\mathop{\Psi}^\circ}_p\right)=O\left(\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\right),
$$
во всех узлах $x\in\omega_h$, так как $\eta_{(k)}$ определяется из уравнения (6.2) всюду в $\omega_h+\gamma_h$, где $a_k -$ известные постоянные. С другой стороны, имеем ${\mathop\psi\limits^*}_k = O\left( h^2+\dfrac{\tau}{\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\right) $ в регулярных узлах $\omega_h$ и ${\mathop\psi\limits^*}_k=O(1)$ в нерегулярных узлах сетки. 

Поэтому 
$$
\frac
{\tau\|{\widetilde{\psi}}\|_{{\mathop{C}\limits^{*}}}}{\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}=O\left(\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\right), \quad \|\widetilde{\psi}_k^{j'+\frac{s}{p}}\|_C = O\left( h^2+\dfrac{\tau}{\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\right).
$$
Тогда из оценки (6.16) находим
$$
\|v^{j+1}\|_C \leq M\left(\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}+p\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\sum^{j}_{j'=0}\left(h^2+\dfrac{\tau}{
	\varepsilon+\gamma\tau^{1-\alpha}}\right)\right)\leq
$$
$$
\leq M\left(\frac{h^2}{\varepsilon+\tau^{1-\alpha}}+\dfrac{\tau}{
	(\varepsilon+\tau^{1-\alpha})^2}\right), \quad h=\max_{1 \leq k \leq
	p} h_k.
$$
Следовательно,
$$
\|z^{j+1}\|_C \leq \|\eta^{j+1}\|_C +  \|v^{j+1}\|_C\leq
O\left(\frac{h^2}{\varepsilon+\tau^{1-\alpha}}+\dfrac{\tau}{
	(\varepsilon+\tau^{1-\alpha})^2}\right).
$$

Итак, справедлива

\begin{theorem}
 Пусть задача (2.5)-(2.8) имеет единственное
непрерывное решение $u(x,t)$ в $\overline Q_T$ при всех значениях
$\varepsilon$ и существуют непрерывные в $\overline Q_T$ производные
$$
\frac{\partial^2u}{\partial t^2}, \ \frac{\partial^4u}{\partial
	x_k^2\partial x_\nu^2},\ \frac{\partial^{3}u}{\partial x_k^2\partial
	t},\ \frac{\partial^2f}{\partial x_k^2}, \quad 1\leq k,\ \nu\leq
p,\quad k\ne \nu, \quad 0<\alpha<1,
$$
тогда решение разностной задачи (3.10), (3.11) равномерно сходится к
решению дифференциальной задачи (2.1)-(2.4) со скоростью 
$$
O\left(\dfrac{h^2}{\varepsilon+\tau^{1-\alpha}}+\dfrac{\tau}{
	(\varepsilon+\tau^{1-\alpha})^2}+\varepsilon\right),
$$
$
h^2=o(\varepsilon+\tau^{1-\alpha}),\quad
\tau=o((\varepsilon+\tau^{1-\alpha})^2)$, где $\varepsilon -$ малый
параметр.
\end{theorem}

Очевидно, что скорость сходимости будет определяться наилучшим
образом, если
$$
\dfrac{h^2}{\varepsilon+\tau^{1-\alpha}}+\dfrac{\tau}{
	(\varepsilon+\tau^{1-\alpha})^2}=\varepsilon.
$$
Пусть $\varepsilon=\tau^{\gamma}$, тогда из последнего получаем
$$
h^2\left(\tau^{\gamma}+\tau^{1-\alpha}\right)+\tau
=\tau^{\gamma}\left(\tau^{\gamma}+\tau^{1-\alpha}\right)^2.
$$
или
$$
\tau \leq\tau^{\gamma}\left(\tau^{\gamma}+\tau^{1-\alpha}\right)^2.
$$
Следовательно,
$$
\min\{\gamma,1-\alpha\}=\frac{1-\gamma}{2},
$$
откуда получаем, что
$$
\varepsilon=\begin{cases} \tau^{\frac{1}{3}}, & 0<\alpha\leq\frac{2}{3},\\
\tau^{2\alpha-1},&\frac{2}{3}<\alpha<1.
\end{cases}\eqno(6.17)
$$

Тогда справедлива следующее

\textbf{Следствие.} Если $\varepsilon$ определяется из условия
(6.17), тогда решение разностной задачи (3.4)-(3.6) равномерно
сходится к решению дифференциальной задачи (2.1)- (2.4) со скоростью
$$
O\left(\frac{h^2}{\tau^{\frac{1}{3}}}+\tau^{\frac{1}{3}}\right),
\text{ если } 0<\alpha\leq\frac{2}{3},
$$
и
$$
O\left(\frac{h^2}{\tau^{1-\alpha}}+\tau^{2\alpha-1}\right), \text{
	если }\frac{2}{3}<\alpha<1.
$$


\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{0}
M.M. Lafisheva, M.Kh. Shkhanukov-Lafishev, 
{\it Locally one-dimensional difference schemes for the fractional order
diffusion equation},   Comput. Math. and Math.
Phys. \textbf{48} (2008), 1875--1884.

\bibitem{1}
A.K. Bazzaev, M.Kh. Shkhanukov-Lafishev, {\it Locally one-dimensional schemes for the diffusion equation with a fractional time derivative in an arbitrary domain},   Comput. Math.
and Math. Phys. \textbf{56}:(1) (2016), 106–-115.

\bibitem{2}
A.K. Bazzaev, M.Kh. Shkhanukov-Lafishev, {\it Locally one-dimensional scheme for fractional diffusion equations
	with robin boundary conditions},   Comput. Math.
and Math. Phys. \textbf{50} (2010), 1141--1149.


\bibitem{3}  B.A. Ashabokov, Z.V. Beshtokova and  M.K. Shkhanukov-Lafishev,
{\it Locally one-dimensional difference scheme for a
fractional tracer transport equation},  Comput.
Math. and Math. Phys. \textbf{57} (2017), 1498--1510.


\bibitem{4} 
A. A. Alikhanov, {\it  Boundary value problems for the diffusion equation of
the variable order in differential and difference settings}, Appl.
Math. \textbf{219} (2012), 3938–-3946.

\bibitem{5} 
A. A. Alikhanov,  {\it  A new difference scheme for the time fractional diffusion equation}, J. Comput. Phys. \textbf{280} (2015), 424–-438. 

\bibitem{6} 
M.KH. Beshtokov,  {\it Local and nonlocal boundary value problems for degenerating and nondegenerating pseudoparabolic equations with a Riemann-Liouville fractional derivative} Differential Equations,
\textbf{54}:6 (2018),  758--774.

\bibitem{7} 
M.KH. Beshtokov,  {\it To boundary-value problems for degenerating pseudoparabolic equations with Gerasimov-Caputo fractional derivative} Russian Mathematics, \textbf{62}:10 (2018), 1--14.

\bibitem{8} 
K. Diethelm, G. Walz, {\it Numerical solution of fractional order
differential equations by extrapolation}, Numer. Algorithms. 
\textbf{16} (1997), 231–-253.

\bibitem{9} Y. N. Zhang, Z. Z. Sun, H. L. Liao, {\it Finite difference methods for
the time fractional diffusion equation on non-uniform meshs}, J.
Comput. Phys. \textbf{265} (2014), 195--210.

\bibitem{10}
M.Kh. Beshtokov, V.A. Vodakhova, {\it Nonlocal boundary value problems for a fractionalorder
convection–diffusion equation}, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika.
Komp’yuternye Nauki, \textbf{29}:4 (2019), 459-–482.

\bibitem{11}
M.Kh. Beshtokov, F.A. Erzhibova, To boundary value problems for integro-differential equations of fractional order //
Matematicheskiye trudy, \textbf{23}:1 (2020), 16--36.


\bibitem{12} 
M.I. Vishik, L.A. Lyusternik, {\it Regular degeneration and boundary layer for linear differential equations with small parameter}, Uspekhi Matematicheskikh Nauk \textbf{12}:5 (1967), 3--122. 


\bibitem{13} 
S.K. Godunov, V.S. Ryben'kiy, {\it Difference Schemes} Nauka,
Moscow, 1977.


\bibitem{14} 
A.A. Samarskii, {\it The theory of difference schemes} Nauka, Moscow, 1983.

\bibitem{15} 
A.A. Samarskii, A.V. Gulin, {\it Stability of difference schemes}
Nauka, Moscow, 1973.

\end{thebibliography}
\end{document}
