\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{519.63} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{35K05} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том 16, стр. 144--144 (2019) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2019.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs}
  }%\vbox
}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Нелокальные краевые задачи]{Нелокальные краевые задачи для \\ обобщенных интегро-дифференциальных уравнений теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной на границе теплоемкостью}
\author{{М.Х. БЕШТОКОВ, М.З. ХУДАЛОВ}}%
\address{Murat Khamidbievich Beshtokov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Institute of applied mathematics and automation, Kabardino-Balkarian scientific center of RAS,
\newline\hphantom{iii} ul. Shortanova, 89A,
\newline\hphantom{iii} 360000, Nalchik, Russia}%
\email{beshtokov-murat@yandex.ru}%

\address{Marat Zakharovich KHudalov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
	\newline\hphantom{iii} North Ossetian state university after K.L. Khetagurov,
	\newline\hphantom{iii} ul. Vatutina, 44-46,
	\newline\hphantom{iii} 362025, Vladikavkaz, Russia}%
\email{hmz@lenta.ru}%

\thanks{\sc Beshtokov, M.KH., KHudalov, M.Z.
A nonlocal boundary value problems  for a generalized integro-differential equations of fractional-order diffusion convection with  a specific heat concentrated at the boundary}
\thanks{\copyright \ 2020 Бештоков М.Х., KHudalov M.Z}
\thanks{\rm .}
\thanks{\it Поступила 8 июля 2020 г., опубликована 31 декабря 2015г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. } In a rectangular domain we study a nonlocal boundary value problems  for a generalized integro-differential heat conduction equations of fractional-order with  a specific heat concentrated at the boundary. Using the method of energy inequalities, a priori estimates are obtained in the differential and difference interpretations. The uniqueness and stability of the solution with respect to the initial data and the right-hand side, as well as the convergence of the solution of the difference problem to the solution of the differential problem are proved.\medskip

\noindent{\bf Keywords:} boundary value problems, a priori estimation, integro-differential equation, fractional order differential equation, fractional Caputo derivative, heat conduction equation.
 \end{quote}
}


\section{Введение}

Существует большое количество книг, посвящённых дробному математическому анализу, дробным дифференциальным уравнениям и их применениям в физике, механике, биологии [1-7]. В настоящее время стало очевидным, что при решении многих задач в механике, физике, биологии часто встречаются среды и системы, которые хорошо интерпретируются как фракталы, примерами последних могут служить сильно пористые среды, каковым, например, является почвогрунт. Решение различных задач для таких сред приводит к краевым задачам для дифференциальных уравнений с дробной производной. Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка являются обобщением уравнений с частными производными целочисленного порядка и вызывают большой теоретический и практический интерес. 


В настоящей работе рассматривается нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности дробного порядка с нестандартными краевыми условиями, когда на границе помещается сосредоточенная теплоемкость величины $C_0$ и происходит теплообмен с внешней средой по закону Ньютона [8, с. 396].  Такие условия возникают в случае, когда рассматривается тело с большой теплопроводностью, вследствие чего температуру по всему объёму этого тела можно считать постоянной (см. [9, с. 186]), а также при решении задачи об установлении температуры в ограниченной среде при наличии нагревателя, трактуемого как сосредоточенная теплоемкость [10]. Тогда краевое условие, например при $x=0$, (выражающее уравнение теплового баланса) будет иметь вид
$$
C_0  \frac{\partial u}{\partial t}=k \frac{\partial u}{\partial x}-h(u-u_0 ),   C_0=const>0, 
$$
где $u_0 -$ температура внешней среды.

Условия такого рода возникают также в практике регулирования солевого режима почв, когда рассоление верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности, затопленного на некоторое время участка (см. [11, с. 233]). Если на поверхности поля имеется слой воды постоянной толщины $h$, то на верхней границе следует задать условие 
$$ 
h \frac{\partial c}{\partial t}=D \frac{\partial u}{\partial x},                                                                   \eqno(1.1)
$$
где $c -$ концентрация соли в почвенном растворе, D- диффузивности.

Для описания движения примеси в потоке однородной жидкости используется дифференциальное уравнение дробного порядка [12]. Для определения целесообразности режима смены воды может потребоваться решение краевой задачи с условиями на верхней границе толщи, отличающейся от (1.1). Так как почву следует рассматривать как среду фрактальную, то при написании граничных условий есть смысл также использовать концепцию фрактала
$$
C_0 \partial_{0t}^{\alpha} u=k \frac{\partial u}{\partial x}.
$$

Численным методам решения локальных и нелокальных краевых задач для различных уравнений дробного порядка посвящены работы [13-18]. В работах [11-15] получены результаты, позволяющие, как и в классическом случае ($\alpha = 1$), применять метод энергетических неравенств для нахождения априорных оценок краевых задач для уравнения дробного порядка в дифференциальной и разностной трактовках.


\section{Постановка нелокальной краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения дробного порядка}

В замкнутом цилиндре $ \overline{Q}_{T}=\{(x,t): 0\le x \le l, \ 0
\le t \le T\}$ рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу
$$
\partial_{0t}^\alpha u= \frac {\partial}{\partial x} \left( k(x,t)
\frac{\partial u}{\partial x} \right) +r(x,t)\frac{\partial u}{\partial x}+\int_0^t
p(x,t,\tau) u(x,\tau) d\tau+f(x,t),\
$$
$$
0<x<l, \ 0<t \le
T, \eqno(2.1)
$$
$$
k(0,t)u_x(0,t)=\beta_{11}(t)u(0,t)+\beta_{12}(t)
\partial_{0t}^\alpha u(0,t)-\mu_1(t),\quad 0 \le t \le T,\eqno(2.2)
$$
$$
-k(l,t)u_x(l,t)=\beta_{21}(t)u(l,t)+\beta_{22}(t)
\partial_{0t}^\alpha u(l,t)-\mu_2(t),\quad 0 \le t \le T,\eqno(2.3)
$$
$$
u(x,0)=u_0(x), \  0 \le x \le l, \eqno(2.4)
$$
где
$$
0<c_0\le k(x,t),\ \beta_{12}(t), \ \beta_{22}(t) \le c_1,
$$
$$
|\beta_{11}(t),\ \beta_{21}(t),\ r(x,t),\ p(x,t,\tau),\ 
k_x(x,t),\ r_x(x,t)|\le c_2, \eqno(2.5)
$$
$
\partial_{0t}^\alpha u= \frac {1}{\Gamma(1-\alpha)} \int
\limits_0^t \frac {u_\tau(x,\tau)}{(t-\tau)^\alpha}d\tau,\
-$ дробная производная в смысле Герасимова-Капуто порядка $ \alpha, \ 0<\alpha<1, \ c_i=const>0, i=0,1,2$.

В дальнейшем будем предполагать, что решение задачи (2.1) $-$ (2.4) существует
и обладает нужными по ходу изложения производными. 

По ходу изложения будем также использовать положительные постоянные
числа $M_{i},\ i=1,2,...$, зависящие только от входных данных
рассматриваемой задачи.


\section{Априорная оценка в дифференциальной форме}

Для получения априорной оценки решения задачи (2.1) - (2.4) в
дифференциальной форме умножим уравнение (2.1) скалярно на
$U=u+\partial_{0t}^\alpha u$:
$$
\Big(\partial _{0t} ^ \alpha u, U \Big)= \Big(\big(k u_x \big)_x,
U\Big)+\Big( ru_x, U\Big)+ \Big(\int_0^t pu d\tau,U\Big)+\Big(f,
U\Big),\eqno(3.1)
$$
где $ \Big(a,b\Big)=\int_0^l abdx,\ \Big(a,a\Big)=\|a\|_0^2,\
\text{где }\ a,b-\text{заданные на} \ [0,l]\text{ функции}. $

Преобразовывая слагаемые, входящие в тождество $(3.1),$ пользуясь
неравенством Коши с $\varepsilon$ и леммой 1 [13], после несложных преобразований, из (3.1) находим
$$
\dfrac{1}{2} \partial_{0t}^\alpha
\|u\|_0^2+\frac{1}{2}\|\partial_{0t}^\alpha u\|_0^2+c_0\|
u_x\|_0^2+\frac{c_0}{2}\partial_{0t}^\alpha\|u_x\|_0^2\leq
$$
$$
\leq Uku_x\Big|_0^l+M_1
\Big(\|u\|_0^2+\|u_x\|_0^2\Big)+M_{2}\int_0^t
\|u\|_0^2d\tau+M_{3}\|f\|_0^2. \eqno(3.2)
$$
Оценим первое слагаемое в правой части (3.2), тогда получим
$$
Uku_x\Big|_0^l=\Big(u(l,t)+\partial_{0t}^\alpha
u(l,t)\Big)\Big(\mu_2(t)-\beta_{21}(t)
u(l,t)-\beta_{22}(t)\partial_{0t}^\alpha u(l,t)\Big)+
$$
$$
+\Big(u(0,t)+\partial_{0t}^\alpha
u(0,t)\Big)\Big(\mu_1(t)-\beta_{11}u(0,t)-\beta_{12}(t)\partial_{0t}^\alpha
u(0,t)\Big)=
$$
$$
=\mu_2(t)u(l,t)+\mu_2(t)\partial_{0t}^\alpha u(l,t)-
\beta_{21}(t)u^2(l,t)-\beta_{21}(t)u(l,t)\partial_{0t}^\alpha
u(l,t)-
$$
$$
-\beta_{22}(t)u(l,t)\partial_{0t}^\alpha
u(l,t)-\beta_{22}(t)\Big(\partial_{0t}^\alpha u(l,t)\Big)^2+
\mu_1(t)u(0,t)+\mu_1(t)\partial_{0t}^\alpha u(0,t)-
$$
$$
-\beta_{11}(t)u^2(0,t)-\beta_{11}u(0,t)\partial_{0t}^\alpha
u(0,t)-\beta_{12}(t)u(0,t)\partial_{0t}^\alpha u(0,t)-
$$
$$
-\beta_{12}\Big(\partial_{0t}^\alpha u(0,t)\Big)^2\leq
M_{4}^{\varepsilon_1,\varepsilon_2}
(\mu_1^2+\mu_2^2)+\varepsilon_1\Big(\partial_{0t}^\alpha
u(l,t)\Big)^2+\varepsilon_2 \Big(\partial_{0t}^\alpha
u(0,t)\Big)^2+
$$
$$
+M_{5}^\varepsilon \Big(\|u\|_0^2+\|u_x\|_0^2\Big)-
\beta_{22}(t)\Big(\partial_{0t}^\alpha
u(l,t)\Big)^2-\frac{1}{2}\beta_{22}(t)\partial_{0t}^\alpha
u^2(l,t)-\beta_{12}(t)\Big(\partial_{0t}^\alpha
u(0,t)\Big)^2-
$$
$$
-\frac{1}{2}\beta_{12}(t)\partial_{0t}^\alpha
u^2(0,t)\leq
-\frac{\beta_{12}(t)}{2}\Big(\partial_{0t}^\alpha
u(0,t)\Big)^2-\frac{\beta_{22}(t)}{2}\Big(\partial_{0t}^\alpha
u(l,t)\Big)^2-\frac{\beta_{12}(t)}{2}\partial_{0t}^\alpha
u^2(0,t)-
$$
$$
-\frac{\beta_{12}(t)}{2}\partial_{0t}^\alpha u^2(l,t)+M_{6}\Big(\|u\|_0^2+\|u_x\|_0^2\Big)+M_{7}\Big(\mu_1^2+\mu_2^2\Big).
\eqno(3.3)
$$
Учитывая (3.3), из (3.2) находим
$$
\partial_{0t}^\alpha
\|u\|_{W_2^1(0,l)}^2+\| u_x\|_0^2+\|\partial_{0t}^\alpha u\|_0^2\leq
$$
$$
\leq M_{8}\|u\|_{W_2^1(0,l)}^2+M_{9}\int_0^t
\|u\|_0^2d\tau+M_{10}\Big(\|f\|_0^2+\mu_1^2(t)+\mu_2^2(t)\Big),
\eqno(3.4)
$$
где $\|u\|_{W_2^1(0,l)}^2=\|u\|_0^2+\|u_x\|_0^2.$
\\
Применяя к обеим частям неравенства (3.4) оператор дробного
интегрирования $D_{0t}^{-\alpha}$, получаем
$$
\|u\|_{W_2^1(0,l)}^2+D_{0t}^{-\alpha} \Big(\|u_{x}\|_0^2+\|\partial
_{0t}^\alpha u\|_0^2\Big) \leq
M_{8}D_{0t}^{-\alpha}\|u\|_{W_2^1(0,l)}^2+
$$
$$
+M_{9}D_{0t}^{-\alpha}\int_0^t
\|u\|_0^2d\tau+M_{11}\Bigg(D_{0t}^{-\alpha}\Big(\|f\|_0^2+\mu_1^2(t)+
\mu_2^2(t)\Big)+\|u_0(x)\|_{W_2^1(0,l)}^2\Bigg).\eqno(3.5)
$$
Преобразуем второе слагаемое в правой части (3.5) следующим образом
$$
D_{0t}^{-\alpha}\int_0^t\|u\|_0^2d\tau=\frac{1} {\Gamma(\alpha)}
\int_0^t \frac{d\tau}{(t-\tau )^{1-\alpha}} \int_0^\tau
\|u\|_0^2ds=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t \|u\|_0^2\int_s^t
\frac{d\tau}{(t-\tau)^{1-\alpha}}=
$$
$$
=\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^t \|u\|_0^2 \Big(- \frac{(t-\tau
	)^\alpha}{\alpha}\Big|_s^t\Big)ds=\frac{1}{\alpha\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^\alpha\|u\|_0^2ds=
$$
$$
=\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}\int_0^t(t-\tau)^\alpha\|u\|_ 0^2d\tau\le
\frac{1}{\alpha\Gamma(\alpha)}
\int_0^t\frac{(t-\tau)\|u\|_0^2d\tau}{(t-\tau)^{1-\alpha}}\le
\frac{T}{\alpha}D_{0t}^{-\alpha}\|u\|_0^2.
$$
Итак, получаем
$$
D_{0t}^{-\alpha} \int_0^t \|u\|_0^2 d\tau\le
\frac{T}{\alpha}D_{0t}^{-\alpha}\|u\|_0^2. \eqno(3.6)
$$
С помощью (3.6) из (3.5) находим
$$
\|u\|_{W_2^1(0,l)}^2+D_{0t}^{-\alpha} \Big(\|u_{x}\|_0^2+\|\partial
_{0t}^\alpha u\|_0^2\Big) \leq
M_{12}D_{0t}^{-\alpha}\|u\|_{W_2^1(0,l)}^2+
$$
$$
M_{11}\Bigg(D_{0t}^{-\alpha}\Big(\|f\|_0^2+\mu_1^2(t)+\mu_2^2(t)\Big)+\|u_0(x)\|_{W_2^1(0,l)}^2\Bigg).\eqno(3.7)
$$
На основании леммы 2 [13] из (3.7) находим искомую априорную оценку
$$
\|u\|_{W_2^1(0,l)}^2+D_{0t}^{-\alpha}\Big(\|u_{x}\|_0^2+\|\partial
_{0t}^\alpha u\|_0^2\Big) \leq 
$$
$$
\leq  M\Bigg(
D_{0t}^{-\alpha}\Big(\|f\|_0^2+\mu_1^2(t)+\mu_2^2(t)\Big)+\|u_0(x)\|_{W_2^1(0,l)}^2\Bigg),
\eqno(3.8)
$$
где $M=const>0$, зависящее только от входных
данных (2.1)-(2.4),
$D_{0t}^{-\alpha}u=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int\limits_0^t \frac{u
	d\tau}{(t-\tau)^{1-\alpha}} -$ дробный интеграл Римана-Лиувилля
порядка $\alpha, 0<\alpha<1.$

\begin{theorem} 
Если $k(x,t) \in C^{1,0}(\overline{Q}_T), \
r(x,t), q(x,t), f(x,t) \in C(\overline{Q}_T),$ $u(x,t) \in
C^{2,0}\big( {Q}_T \big)\cap C^{1,0}\big( \overline{Q}_T \big),\
\partial _{0t}^\alpha u(x,t)\in C(\overline{Q}_T)$  и
выполнены условия (2.5), тогда для решения задачи (2.1)-(2.4)
справедлива априорная оценка (3.8). 
\end{theorem}

Из оценки (3.8) следуют единственность
и устойчивость решения по начальным и правой части в смысле нормы
$$
\|u\|_1^2=\|u\|_{W_2^1(0,l)}^2+D_{0t}^{-\alpha}\Big(\|u_{x}\|_0^2+\|\partial
_{0t}^\alpha u\|_0^2\Big).
$$


\section{Устойчивость и сходимость разностной схемы}

На равномерной сетке $\overline \omega_{h\tau}$ дифференциальной
задаче (2.1)-(2.4) поставим в соответствие разностную схему порядка
аппроксимации $O(h^2+\tau^2):$
$$
\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y=\varkappa_i^j\Big(a_i^j y_{\bar
	x}^{(\sigma)}\Big)_x+b_i^{-j}a_{i}^jy_{\bar
	x,i}^{(\sigma)}+b_i^{+j}a_{i+1}^jy_{x,i}^{(\sigma)}+\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{i,s}^j y_{i}^s\bar\tau+\varphi_i^j, \eqno(4.1)
$$
$$
\varkappa_0a_1y_{x,0}^{(\sigma)}=\beta_{11}y_0^{(\sigma)}-0.5h\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{0,s}^j
y_{0}^s\bar\tau+\tilde\beta_{12}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0-\tilde{\mu}_1,\ t\in\overline \omega_\tau,\eqno(4.2)
$$
$$
-\varkappa_Na_Ny_{\bar
	x,N}^{(\sigma)}=\beta_{21}y_N^{(\sigma)}-0.5h\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{N,s}^j
y_{N}^s\bar\tau+\tilde\beta_{22}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N-\tilde{\mu}_2,\ t\in\overline \omega_\tau, \eqno(4.3)
$$
$$
y(x,0)=u_0(x), \ x\in\overline\omega_h\eqno(4.4)
$$
где
$$
\tilde{\beta}_{12}=\beta_{12}+0.5h,\quad
\tilde\mu_1(t_{j+\sigma})=\mu_1(t_{j+\sigma})+0.5h\varphi_0^j,
$$
$$
\tilde{\beta}_{22}=\beta_{22}(t_{j+\sigma})+0.5h,\quad
\tilde\mu_2(t_{j+\sigma})=\mu_2(t_{j+\sigma})+0.5h\varphi_N^j,
$$
$$
a_i^j=k(x_{i-0.5},t^{j+\sigma}),\
b_i^j=\frac{r(x,t_{j+\sigma})}{k(x,t_{j+\sigma})},\
\varphi=f(x_i,t_{j+\sigma})
$$
$$ y^{(\sigma)}=\sigma y^{j+1}+(1-\sigma)y^j,\
d_i^j=d(x_i,t_{j+\sigma}),\ a_0^{(\alpha,\sigma)}=\sigma^{1-\alpha},
$$
$$
\ a_l^{(\alpha,\sigma)}={
	(l+\sigma)}^{1-\alpha}-(l-1+\sigma)^{1-\alpha},\ l\geq 1,\
\sigma=1-\frac{\alpha}{2},
$$
$$\varkappa=\frac{1}{1+R},\ R=\frac{0.5h|r|}{k}- \text{разностное
число Рейнольдса},
$$
$$
r_0=r(0,t)=r_0^{(j+\sigma)}\leq0,\quad
r_N=r(l,t)=r_N^{(j+\sigma)}\geq0,
$$
$$
b_l^{(\alpha,\sigma)}=\frac{1}{2-\alpha}\Big[(l+\sigma)^{2-\alpha}-
(l-1+\sigma)^{2-\alpha}\Big]-\frac{1}{2}\Big[(l+\sigma)^{1-\alpha}+(l-1+\sigma)^{1-\alpha}\Big],\
l\geq 1,
$$
$$
\text{при}\ j=0,\quad c_0^{(\alpha,\sigma)}=a_0^{(\alpha,\sigma)};
$$
$$
\text{при}\ j>0, \quad c_s^{(\alpha,\sigma)}=\begin{cases}
a_0^{(\alpha,\sigma)}+b_1^{(\alpha,\sigma)},\ s=0,\\
a_s^{(\alpha,\sigma)}+b_{s+1}^{(\alpha,\sigma)}-b_{s}^{(\alpha,\sigma)},\ 1\le s\le j-1,\\
a_j^{(\alpha,\sigma)}-b_j^{(\alpha,\sigma)},\ s=j,
\end{cases}
$$
$$
c_s^{(\alpha,\sigma)}>\dfrac{1-\alpha}{2}(s+\sigma)^{-\alpha}>0, \ p_{i,s}^j=p(x_i,t^{j+\sigma},\tau_{s+\sigma}),
\rho^j_{i,s}=p^{j+\sigma}_{i,s}.
$$
$\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y=\frac{\tau^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\sum\limits_{s=0}^jc_{j-s}^{(\alpha,\sigma)}y_t^s$
- дискретный аналог дробной производной Герасимова-Капуто порядка
$\alpha,\ 0<\alpha<1$, обеспечивающий порядок точности $O(\tau^{3-\alpha})$ [14].\\
Введем скалярные произведения и норму:
$$
\big[u,v\big]=\sum_{i=0}^{N}u_iv_i\hbar, \quad \hbar=\begin{cases} 0.5h,\ i=0,N,\\
h,\ i\ne 0,N.
\end{cases}
$$
$$
\big(u,v\big]=\sum_{i=1}^N
u_iv_ih,\ \big[u,u\big]=\big[1,u^2\big]=|[u]|_0^2,
$$
Перепишем (4.1)-(4.4) в операторной форме
$$
\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y=
\overline \Lambda
(t_{j+\sigma})y^{(\sigma)}+\overline \Phi, \eqno(4.5)
$$
$$
y(x,0)=u_0(x),\ x\in \overline \omega_h, \eqno(4.6)
$$
где
$$
\overline\Lambda(t_{j+\sigma})y^{(\sigma)}=
$$
$$
=\begin{cases}\tilde
{\Lambda}y_i^{(\sigma)}=
\varkappa (ay_{\bar
	x}^{(\sigma)})_x+b^-ay_{\bar x}^{(\sigma)}+b^+a^{(+1)}y_{
	x}^{(\sigma)}+\sum\limits_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{i,s}^j y_{i}^s\bar\tau,\ i=\overline{1,N-1}\\
\Lambda^-y_0^{(\sigma)}=\frac{2}{h}\Big(\varkappa_0
a_1y_{x,0}^{(\sigma)}-\beta_{11}y_0^{(\sigma)}+0.5
h\sum\limits_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{0,s}^j y_{0}^s\bar\tau-\beta_{12}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_0\Big),\ i=0, \\
\Lambda^+y_N^{(\sigma)}=\frac{2}{h}\Big(-\varkappa_N a_Ny_{\bar
	x,N}^{(\sigma)}-\beta_{21}y_N^{(\sigma)}+0.5
h\sum\limits_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{N,s}^j
y_{N}^s\bar\tau-\beta_{22}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\Big),\
i=N,
\end{cases}
$$
$$
\overline \Phi=
\begin{cases}
\varphi=\varphi_i,\ i=\overline{1,N-1},\\
\varphi^-=\frac{2}{h}\Big(\mu_1(t_{j+\sigma})+0.5h\varphi_0^j\Big),\
i=0,\\
\varphi^+=\frac{2}{h}\Big(\mu_2(t_{j+\sigma})+0.5h\varphi_N^j\Big),\
i=N.
\end{cases} \quad
\begin{cases}
\varkappa=\frac{1}{1+\frac{0.5h|r|}{k}}
\\
\varkappa_0=\frac{1}{1+\frac{0.5h|r_0|}{k_{0.5}}},\ r_0\leq 0\\
\varkappa_N=\frac{1}{1+\frac{0.5h|r_N|}{k_{N-0.5}}},\ r_N\geq 0.
\end{cases}
$$
Умножим теперь (4.5) скалярно на $\bar{y}=y^{(\sigma)}+\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y:$
$$
\Big[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y,\bar{y}\Big]=\Big[\overline\Lambda(t_{j+\sigma})y^{(\sigma)},\bar
y\Big]+\Big[\overline\Phi,\bar y\Big].\eqno (4.7)
$$
Оценим суммы, входящие в (4.7), с учетом леммы 1 [14]:
$$
\Big[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y,\bar{y}\Big]=\Big[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y,y^{(\sigma)}+\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y
\Big]=\Big[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y,y^{(\sigma)}\Big]+\Big[1,(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y)^2\Big]\geq
$$
$$
\geq \frac{1}{2}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha |[y]|_0^2+
|[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y]|_0^2.\eqno(4.8)
$$
$$
\Big[\overline\Lambda (t_{j+\sigma})y^{(\sigma)},\bar
y\Big]=\Big(\tilde\Lambda y^{(\sigma)},\bar y\Big)+0.5h\bar
y_0\Lambda^-y_0^{(\sigma)}+0.5h\bar
y_N\Lambda^+y_N^{(\sigma)}=
$$
$$
=\Big(\varkappa(ay_{\bar
	x}^{(\sigma)})_x,\bar y\Big)+\Big(b^-ay_{\bar x}^{(\sigma)},\bar
y\Big)+
$$
$$
+\Big(b^+a^{(+1)}y_{ x}^{(\sigma)},\bar
y\Big)+\Big(\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{i,s}^j
y_{i}^s\bar\tau,\bar y\Big)+\bar
y_0\varkappa_0a_1y_{x,0}^{(\sigma)}-\beta_{11}y_0^{(\sigma)}\bar
y_0-\varkappa_Na_N y_{\bar x,N}^{(\sigma)}\bar y_N-
$$
$$
-\beta_{12}\bar y_0\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_0-\beta_{22}\bar
y_N\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N+0.5h\bar
y_0\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{0,s}^j
y_{0}^s\bar\tau-
$$
$$
-\beta_{21}y_N^{(\sigma)}\bar y_N+0.5h\bar
y_N+\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{N,s}^j
y_{N}^s\bar\tau.\eqno(4.9)
$$
Преобразуем слагаемые в правой части (4.9):
$$
\Big(\varkappa(ay_{\bar x}^{(\sigma)})_x,\bar y\Big)=\bar y
\varkappa a y_{\bar x}^{(\sigma)}\Big|_0^N-\Big(ay_{\bar
	x}^{(\sigma)},(\varkappa \bar y)_{\bar x}\Big]=
$$
$$
=\bar y_N \varkappa_N
a_Ny_{\bar x ,N}^{(\sigma)}-\bar
y_0\varkappa_0a_1y_{x,0}^{(\sigma)}-\Big(a y_{\bar
	x}^{(\sigma)},\varkappa_{\bar x}\bar y+\varkappa^{(-1)}\bar y_{\bar
	x}\Big]=
$$
$$
=\bar y_N\varkappa_Na_Ny_{\bar x,N}^{(\sigma)}-\bar
y_0\varkappa_0a_1y_{x,0}^{(\sigma)}-\Big(ay_{\bar
	x}^{(\sigma)},\varkappa_{\bar x}y^{(\sigma)}\Big]-
$$
$$
-\Big(ay_{\bar
	x}^{(\sigma)},\varkappa_{\bar x}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y\Big]-\Big(ay_{\bar x}^{(\sigma)},\varkappa^{(-1 )}y_{\bar
	x}^{(\sigma)}\Big]-
$$
$$
-\Big(ay_{\bar x}^{(\sigma)},\varkappa^{(-1
	)}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_{\bar x}\Big]\leq\bar
y_N\varkappa_Na_Ny_{\bar x,N}^{(\sigma)}-\bar
y_0\varkappa_0a_1y_{x,0}^{(\sigma)}+
$$
$$
+\varepsilon|[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y]|_0^2+M_1^\varepsilon
\Big(|[y^{(\sigma)}]|_0^2+|[y^{(\sigma)}_{\bar x}]|_0^2\Big)-
$$
$$
-\frac{1}{1+hM_2}\Big(a\varkappa,(y_{\bar
	x}^{(\sigma)})^2\Big]-\frac{c_0}{2(1+hM_2)}\Big(\varkappa,\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_{\bar x}^2\Big]\leq
$$
$$
\leq \bar y_N\varkappa_Na_Ny_{\bar
	x,N}^{(\sigma)}-\bar
y_0\varkappa_0a_1y_{x,0}^{(\sigma)}+\varepsilon|[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y]|_0^2+
$$
$$
+M_1^\varepsilon \Big(|[y^{(\sigma)}]|_0^2+\|y^{(\sigma)}_{\bar
	x}]|_0^2\Big)-M_3\|y_{\bar
	x}^{(\sigma)}]|_0^2-M_4\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha \|y_{\bar
	x}]|_0^2. \eqno(4.10)
$$
$$
\Big(b^-ay_{\bar x}^{(\sigma)},\bar y\Big)+\Big(b^+a^{(+1)}y_{
	x}^{(\sigma)},\bar y\Big)=
$$
$$
=\Big(b^-ay_{\bar
	x}^{(\sigma)},y^{(\sigma)}\Big)+\Big(b^-ay_{\bar
	x}^{(\sigma)},\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y\Big)+\Big(b^+a^{(+1)}y_{ x}^{(\sigma)},y^{(\sigma)}\Big)+
$$
$$
+\Big(b^+a^{(+1)}y_{ x}^{(\sigma)},\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y\Big)\leq \varepsilon |[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y]|_0^2+M_5^\varepsilon \Big(|[y^{(\sigma)}]|_0^2+\|y_{\bar
	x}^{(\sigma)}]|_0^2\Big). \eqno(4.11)
$$
$$ \Big(\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{i,s}^j y_{i}^s\bar\tau,\bar y\Big)+0.5h\bar
y_0\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{0,s}^j y_{0}^s\bar\tau+0.5h\bar
y_N\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{N,s}^j
y_{N}^s\bar\tau-\beta_{11}y_0^{(\sigma)}\bar
y_0-
$$
$$
-\beta_{21}y_N^{(\sigma)}\bar y_N=-\beta_{12}\bar y_0\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_0-\beta_{22}\bar
y_N\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N=\Big[\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{i,s}^j
y_{i}^s\bar\tau,y^{(\sigma)}\Big]+
$$
$$
+\Big[\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{i,s}^j y_{i}^s\bar\tau,\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y\Big]-\beta_{11}(y_0^{(\sigma)})^2-\beta_{11}y_0^{(\sigma)}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0-\beta_{21}(y_N^{(\sigma)})^2-
$$
$$
-\beta_{21}y_0^{(\sigma)}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N-\beta_{12}y_0^{(\sigma)}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0-\beta_{12}\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0\Big)^2-\beta_{22}y_N^{(\sigma)}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N-
$$
$$
-\beta_{22}(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N)^2\leq
\varepsilon_1|[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y]|_0^2+M_6^{\varepsilon_1}\Big[1,\Big(\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}\rho_{i,s}^j
y_{i}^s\bar
\tau\Big)^2\Big]+
$$
$$
+M_7^{\varepsilon_2,\varepsilon_3}\Big(|[y^{(\sigma)}]|_0^2+\|y^{(\sigma)}_{\bar
	x}]|_0^2\Big)+
\varepsilon_2 \Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0\Big)^2+\varepsilon_3 \Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2-
$$
$$
-\frac{\beta_{12}}{2}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0^2-\frac{\beta_{22}}{2}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N^2-\beta_{12}\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0\Big)^2-\beta_{22}\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2\leq
$$
$$
\leq
\varepsilon_1|[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y]|_0^2+M_6^{\varepsilon_1}\Big[1,\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}\rho_{i,s}^2\bar\tau\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
(y_{i}^s)^2\bar\tau\Big]+M_7^{\varepsilon_2,\varepsilon_3}\Big(|[y^{(\sigma)}]|_0^2+\|y^{(\sigma)}_{\bar
	x}]|_0^2\Big)+
$$
$$
+\varepsilon_2 \Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0\Big)^2+\varepsilon_3 \Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\Big)^2\leq
\varepsilon_1|[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y]|_0^2+M_8^{\varepsilon_1}\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
|[y]|_0^2\bar\tau+
$$
$$
+M_7^{\varepsilon_2,\varepsilon_3}\Big(|[y^{(\sigma)}]|_0^2+\|y^{(\sigma)}_{\bar
	x}]|_0^2\Big)+\varepsilon_2 \Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0\Big)^2+
\varepsilon_3 \Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2-
$$
$$
-\frac{\beta_{12}}{2}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0^2-\frac{\beta_{22}}{2}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N^2-\beta_{12}\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0\Big)^2-\beta_{22}\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\Big)^2
.\eqno(4.12)
$$
Учитывая  преобразования (4.10)-(4.12), из (4.9) получим
$$
\Big[\overline\Lambda(t_{j+\sigma})y^{(\sigma)},\bar y\Big]\leq
\varepsilon_1|[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y]|_0^2+\varepsilon_2
\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_0\Big)^2+\varepsilon_3
\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\Big)^2+
$$
$$
-\frac{\beta_{12}}{2}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0^2-\frac{\beta_{22}}{2}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N^2-\beta_{12}\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0\Big)^2-\beta_{22}\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\Big)^2+M_8^{\varepsilon_1}\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
|[y]|_0^2\bar\tau+
$$
$$
+M_9^{\varepsilon_2,\varepsilon_3}\Big(|[y^{(\sigma)}]|_0^2+\|y^{(\sigma)}_{\bar
	x}]|_0^2\Big)- M_3\|y_{\bar
	x}^{(\sigma)}]|_0^2-M_4\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha\|y_{\bar
	x}]|_0^2.\eqno(4.13)
$$
$$
\Big[\overline\Phi,\bar y\Big]=(\varphi,\bar y)+0.5h \varphi^- \bar
y_0+0.5h\varphi^+\bar y_N=(\varphi,\bar y)+\bar
y_0\Big(\mu_1+0.5h\varphi_0\Big)+
$$
$$
+\bar
y_N\Big(\mu_2+0.5h\varphi_N\Big)=(\varphi,\bar y)
+\bar
y_0\mu_1+0.5h\varphi_0\bar y_0+\bar y_N\mu_2+0.5h\varphi_N\bar
y_N=
$$
$$
=\Big[\varphi,\bar y\Big]+\mu_1\bar y_0+\mu_2\bar
y_N=\Big[\varphi, y^{(\sigma)}\Big]+\Big[\varphi,
\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y\Big]+
$$
$$
+\mu_1y_0^{(\sigma)}+\mu_1\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_0 +\mu_2
y_N^{(\sigma)}+\mu_2\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\leq
$$
$$
\leq \varepsilon_1|[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y]|_0^2+\varepsilon_2\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0\Big)^2+\varepsilon_3\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2+
$$
$$
+M_{10}^{\varepsilon_2,\varepsilon_3}\Big(\mu_1^2+\mu_2^2\Big)+M_{11}\Big(|[y^{(\sigma)}]|_0^2+\|y^{(\sigma)}_{\bar
	x}]|_0^2\Big)+M_{12}^{\varepsilon_1}|[\varphi]|_0^2.\eqno(4.14)
$$
Принимая во внимание преобразования (4.8)-(4.14), из (4.7) находим
$$
\frac{1}{2} \Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
|[y]|_0^2+|[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y]|_0^2+M_{13}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha \|y_{\bar
	x}]|_0^2+M_3\|y_{\bar
	x}^{(\sigma)}]|_0^2+\frac{\beta_{12}}{2}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0^2+
$$
$$
+\frac{\beta_{22}}{2}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N^2+\beta_{12}\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0\Big)^2+\beta_{22}\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2\leq \varepsilon_1 |[\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y]|_0^2+
$$
$$
+\varepsilon_2\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_0\Big)^2+\varepsilon_3\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2+M_{14}^{\varepsilon_1}\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
|[y]|_0^2\bar\tau+M_{15}^{\varepsilon_2,\varepsilon_3}\Big(|[y^{(\sigma)}]|_0^2
+\|y^{(\sigma)}_{\bar
	x}]|_0^2\Big)+
$$
$$
+M_{16}^{\varepsilon_2,\varepsilon_3}\Big(\mu_1^2+\mu_2^2\Big)+M_{17}^{\varepsilon_1}|[\varphi|]_0^2.
\eqno(4.15)$$
Выбирая
$\varepsilon_1=\dfrac{1}{2},\ \varepsilon_2=\dfrac{\beta_{12}}{2},\
\varepsilon_3=\dfrac{\beta_{22}}{2}$ из (4.15) получаем
$$
\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
|[y]|_{W_2^1(0,l)}^2+\| y_{\bar x}^{(\sigma)}]|_0^2+|[
\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y]|_0^2\leq
$$
$$
\leq
M_{18}|[y^{(\sigma)}]|_{W_2^1(0,l)}^2+M_{19}\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
|[y]|_0^2\bar\tau+M_{20}\Big(|[\varphi]|_0^2+\mu_1^2+\mu^2_2\Big),
\eqno (4.16)
$$
где $|[y]|_{W_2^1(0,l)}^2=|[y]|_0^2+\|y_{\bar x}]|_0^2.$\\
Учитывая, что
$$
\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
|[y^s]|_0^2\bar\tau=\sum_{s=0}^{j}|[y^s]|_0^2\bar\tau+0.5\tau|[y^j]|_0^2,
$$
перепишем (4.16) в другой форме
$$
\Delta_{0t_{j+\sigma}}^{\alpha}|[y]|_{W_2^1(0,l)}^2 \leq
M^{\sigma}_{21}|[y^{j+1}]|_{W_2^1(0,l)}^2+
M^{\sigma}_{22}|[y^{j}]|_{W_2^1(0,l)}^2+M_{23}F^{j}, \eqno(4.17)
$$
где $F^{j}=\sum\limits_{s=0}^{j}|[y^s]|_0^2\bar\tau+|[\varphi]|_0^2+\mu_1^2+\mu^2_2.$\\
На основании леммы 7 [20] из (4.17) получаем
$$
|[y^{j+1}]|_{W_2^1(0,l)}^2 \leq M_{24}
\Bigg(|[y^0]|_{W_2^1(0,l)}^2+\max_{0\leq
	j'\leq j}F^{j\,'}\Bigg). \eqno(4.18)
$$
где $M_{24}=const>0$, не зависящая от $h$ и
$\tau$.
\\
Из (4.18) получим
$$
|[y^{j+1}]|_{W_2^1(0,l)}^2 \leq 
$$
$$
\leq M_{24}
\Bigg(|[y^0]|_{W_2^1(0,l)}^2+\max_{0\leq
	j'\leq
	j}\bigg(\sum\limits_{s=0}^{j\,'}|[y^s]|_0^2\bar\tau+|[\varphi]|_0^2+\mu_1^2+\mu^2_2\bigg)\Bigg).
\eqno(4.19)
$$
Введя обозначение $g^{j}=\max\limits_{0\leq j'\leq
	j}|[y^{j\,'}]|_{0}^2$, с учетом
$|[y]|^2_{W_2^1(0,l)}=|[y]|_0^2+\|y_{\bar x}]|_0^2$ из (4.19)
получим
$$
g^{j+1} \leq M_{25}\sum\limits_{s=0}^{j}g^{s}\tau+M_{26}F^j_{1},
\eqno(4.20)
$$
где
$$
F^j_{1}=|[y^0]|_{W_2^1(0,l)}^2+\max_{0\leq
	j'\leq j}\Big(|[\varphi]|_0^2+\mu_1^2+\mu^2_2\Big).
$$

На основании леммы 4 (см.[20, стр.171]) из (4.20) получаем
$$
|[y^{j+1}]|_{0}^2 \leq M
\Bigg(|[y^0]|_{W_2^1(0,l)}^2+\max_{0\leq
	j'\leq j}\Big(|[\varphi]|_0^2+\mu_1^2+\mu^2_2\Big)\Bigg).
\eqno(4.21)
$$
где $M=const>0$, не зависящая от $h$ и $\tau$.


\begin{theorem} 
 Пусть выполнены условия (2.5), тогда существует
такое $\tau_0$, что если $\tau\leq \tau_0,$ то для решения
разностной задачи (4.1)-(4.4) справедлива априорная оценка (4.21),
из чего следуют единственность и устойчивость решения задачи
(4.1)-(4.4) по начальным данным  и правой части.
\end{theorem}

Пусть $u(x,t) -$ решение задачи $(2.1)-(2.4),$ $y(x_i,t_j)=y_i^j
-$решение разностной задачи $(4.1)-(4.4)$. Для оценки точности
разностной схемы $(4.1)-(4.4)$ рассмотрим разность
$z_i^j=y_i^j-u_i^j$, где $u^j_i=u(x_i,t_j)$. Тогда, подставляя
$y=z+u$ в соотношения $(4.1)-(4.4)$, получаем задачу для функции $z$
$$
\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha z=\varkappa_i^j\Big(a_i^j z_{\bar
	x}^{(\sigma)}\Big)_x+b_i^{-j}a_{i}^jz_{\bar
	x,i}^{(\sigma)}+b_i^{+j}a_{i+1}^jz_{x,i}^{(\sigma)}+\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{i,s}^j z_{i}^s\bar\tau+\Psi_i^j, \eqno(4.22)
$$
$$
\varkappa_0a_1z_{x,0}^{(\sigma)}=\beta_{11}z_0^{(\sigma)}-0.5h\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{0,s}^j
z_{0}^s\bar\tau+\tilde\beta_{12}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
z_0-\tilde{\nu}_1,\ t\in\overline \omega_\tau,\eqno(4.23)
$$
$$
-\varkappa_Na_Nz_{\bar
	x,N}^{(\sigma)}=\beta_{21}z_N^{(\sigma)}-0.5h\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{N,s}^j
z_{N}^s\bar\tau+\tilde\beta_{22}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
z_N-\tilde{\nu}_2,\ t\in\overline \omega_\tau, \eqno(4.24)
$$
$$
z(x,0)=0, \ x\in\overline\omega_h,\eqno(4.25)
$$
где $\Psi=O\big(h^2+\tau^2\big), \
\tilde\nu_1=O\big(h^2+\tau^2\big), \
\tilde\nu_2=O\big(h^2+\tau^2\big)$ - погрешности аппроксимации
дифференциальной задачи $(2.1)-(2.4)$ разностной схемой
$(4.1)-(4.4)$ в классе решении $u=u(x,t)$ задачи $(2.1)-(2.4)$.

Применяя априорную оценку $(4.21)$ к решению задачи $(4.31)-(4.34),$
получаем неравенство
$$
|[z^{j+1}]|^2_0\leq M\max_{0\leq j'\leq j}\Big(
|[\Psi^{j'}]|_0^2+\nu_1^{j'2}+\nu_2^{j'2}\Big),\eqno(4.26)
$$
где $M=const>0$, не зависящая от $h$ и $\tau$.

Из априорной оценки $(4.26)$ следует сходимость решения разностной
задачи $(4.1)-(4.4)$ к решению дифференциальной задачи $(2.1)-(2.4)$
в смысле нормы $|[z^{j+1}]|^2_0$ на каждом слое так, что существует
такое $\tau_{0}$, что при $\tau\leq \tau_{0}$ справедлива оценка
$$
|[y^{j+1}-u^{j+1}]|^2_0\leq M\Big(h^2+\tau^2\Big).
$$

\section{Постановка нелокальной краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения дробного порядка с оператором Бесселя и априорная оценка}

В замкнутом цилиндре $\overline Q_T=\{(x,t): 0\le x\le l,\ 0\le t
\le T\}$ рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу
$$
\partial_{0t}^\alpha u=\frac{1}{x^m} \frac{\partial}{\partial x}
\Big(x^m k \frac{\partial u}{\partial x}\Big)+r \frac{\partial
	u}{\partial x} +\int_0^t p(x,t,\tau) u(x,\tau) d\tau+f(x,t),$$
$$
0<x<l,\ 0<t\le T,\eqno(5.1)
$$
$$
\lim_{x\rightarrow 0}x^mk(x,t)u_x(x,t)=0,\ 0\le t\le T, \eqno(5.2)
$$
$$
-k(l,t)u_x(l,t)=\beta_1(t) u(l,t)+\beta_2(t)\partial_{0t}^\alpha
u(l,t)-\mu(t),\ 0\le t\le T, \eqno(5.3)
$$
$$
u(x,0)=u_0(x),\ 0\le x \le l, \eqno(5.4)$$ где $0\le m \le 2.$

При $x=0$ ставится условие ограниченности решения $|u(0,t)|<\infty
$, которое эквивалентно условию (5.2), равносильному в свою очередь
тождеству $k(0,t)u_x(0,t)=0$ [19, c.173], если функции $r(0,t),
q(0,t), f(0,t) $ конечны.

Получим априорную оценку методом энергетических неравенств, для
этого умножим уравнение (5.1) скалярно на $x^m
U=x^m(u+\partial_{0t}^\alpha u):$
$$
\Big(\partial _{0t} ^ \alpha u, x^m U \Big)= \Big(\big( x^m k u_x
\big)_x, U\Big) +\Big( ru_x,x^m U\Big)+ \Big(\int_0^tpud\tau,x^m
U\Big)+\Big(f, x^m U\Big).\eqno(5.5)
$$
После несложных преобразований из (5.5) находим
$$
\frac{1}{2} \partial_{0t}^\alpha \|x^{\frac{m}{2}}
u\|_0^2+\frac{c_0}{2}\partial_{0t}^\alpha
\|x^{\frac{m}{2}}u_x\|_0^2+c_0\|x^{\frac{m}{2}}u_x\|_0^2+\frac{1}{2}\|\partial_{0t}^\alpha
x^{\frac{m}{2}} u\|_0^2 \leq $$
$$
\leq x^{m} U ku_x|_0^l+M_1\int_0^t
\|x^{\frac{m}{2}}u\|_0^2d\tau+M_{2}
\Big(\|x^{\frac{m}{2}}u\|_0^2+\|x^{\frac{m}{2}}u_x\|_0^2\Big)
+M_{3}\|x^{\frac{m}{2}}f\|_0^2. \eqno(5.6)
$$
Оценим  первое  слагаемое в правой части (5.6), тогда имеем
$$
x^m U ku_x|_0^l=l^m\Big(u(l,t)+\partial_{0t}^\alpha
u(l,t)\Big)k(l,t)u_x(l,t)=
$$
$$
=l^m\Big(u(l,t)+\partial_{0t}^\alpha
u(l,t)\Big)\Big(\mu(t)-\beta_1(t)u(l,t)-\beta_2(t)\partial_{0t}^\alpha
u(l,t) \Big)=
$$
$$
=l^m u(l,t)\mu(t)+l^m \mu(t)\partial_{0t}^\alpha
u(l,t)-l^mu^2(l,t)\beta_1(t)-
$$
$$
-l^m\beta_1(t)u(l,t)\partial_{0t}^\alpha
u(l,t)-l^m \beta_2(t)u(l,t)\partial_{0t}^\alpha u(l,t)-
$$
$$
-l^m\beta_2(t)(\partial_{0t}^\alpha u(l,t))^2
\leq-l^m\beta_2(t)(\partial_{0t}^\alpha
u(l,t))^2-
$$
$$
-\frac{l^m\beta_2(t)}{2}\partial_{0t}^\alpha
u^2(l,t)+\varepsilon\big(\partial_{0t}^\alpha
u(l,t)\big)^2+M_{4}\Big(\|x^{\frac{m}{2}}u\|_0^2+
$$
$$
+\|x^{\frac{m}{2}}u_x\|_0^2\Big)+M_{5}\mu^2(t)\le-\frac{l^m\beta_2(t)}{2}(\partial_{0t}^\alpha
u(l,t))^2-\frac{l^m\beta_2(t)}{2}\partial_{0t}^\alpha u^2(l,t)+
$$
$$
+M_{4}\Big(\|x^{\frac{m}{2}}u\|_0^2+\|x^{\frac{m}{2}}u
_x\|_0^2\Big)+M_{5}\mu^2(t).\eqno(5.7)
$$
Учитывая (5.7), из (5.6)  находим
$$ \partial_{0t}^\alpha \|x^{\frac{m}{2}}u\|_{W_2^1(0,l)}^2+\|x^{\frac{m}{2}}u
_x\|_0^2+\|\partial_{0t}^\alpha x^{\frac{m}{2}}u\|_0^2\le
$$
$$
\le M_{6}\|x^{\frac{m}{2}}u\|_{W_2^1(0,l)}^2+M_7\int_0^t
\|x^{\frac{m}{2}}u\|_0^2d\tau+M_{8}\Big(\|x^{\frac{m}{2}}f\|_0^2+\mu_2(t)\Big),\eqno(5.8)
$$
где
$\|x^{\frac{m}{2}}u\|_{W_2^1(0,l)}^2=\|x^{\frac{m}{2}}u\|_{0}^2+\|x^{\frac{m}{2}}u_x\|_{0}^2.$

Применяя к обеим частям неравенства (5.8) оператор дробного
интегрирования $D_{0t}^{-\alpha}$, на основании леммы 2 [13] из
(5.8) получаем искомую априорную оценку
$$
\|x^{\frac{m}{2}}u\|_{W_2^1(0,l)}^2+D_{0t}^{-\alpha}\Big(\|x^{\frac{m}{2}}u_x\|_0^2+\|\partial
_{0t}^\alpha x^{\frac{m}{2}}u\|_0^2\Big) \leq
$$
$$
\leq M \Bigg(D_{0t}^{-\alpha}
\big(\|x^{\frac{m}{2}}f\|_0^2+\mu_2^2(t)\big)+\|x^{\frac{m}{2}}u_0(x)\|_{W_2^1(0,l)}^2\Bigg).
\eqno(5.9)
$$
где $M=const>0$, зависящая только от входных
данных задачи (5.1)-(5.4).

\begin{theorem} 
Если $k(x,t) \in C^{1,0}(\overline{Q}_T), \
r(x,t), q(x,t), f(x,t) \in C(\overline{Q}_T),$ $u(x,t) \in
C^{2,0}\big( {Q}_T \big)\cap C^{1,0}\big( \overline{Q}_T \big),\
\partial _{0t}^\alpha u(x,t)\in C(\overline{Q}_T)$  и
выполнены условия (2.5), тогда для решения задачи (5.1)-(5.4)
справедлива априорная оценка (5.9). 
\end{theorem}

Из оценки следуют единственность
и устойчивость решения по начальным данным и правой части в смысле
нормы
$$
\|x^{\frac{m}{2}}u\|_1^2=\|x^{\frac{m}{2}}u\|_{W_2^1(0,l)}^2+D_{0t}^{-\alpha}\Big(\|x^{\frac{m}{2}}u_x\|_0^2+\|\partial
_{0t}^\alpha x^{\frac{m}{2}}u\|_0^2\Big).
$$

\section{Устойчивость и сходимость разностной схемы}

На равномерной сетке $\overline \omega_{h\tau}$ дифференциальной
задаче (5.1)-(5.4) поставим в соответствие разностную схему порядка
аппроксимации $O(\frac{h^2+\tau^2}{x}):$
$$
\bar \varkappa\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y=\frac{\varkappa}{x_i^m}\Big(x_{i-0.5}^ma^j y_{\bar
	x}^{(\sigma)}\Big)_x+\frac{b^{-j}}{x_i^m}\Big(x_{i-0.5}^m
a_i^jy_{\bar x,i}^{(\sigma)}\Big)+
$$
$$
+\frac{b^{+j}}{x_{i}^m}\Big(x_{i+0.5}^m
a_{i+1}^jy_{x,i}^{(\sigma)}\Big)+\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{i,s}^j y_{i}^s\bar\tau +\varphi_i^j,\ (x,t)\in\omega_{h,\tau}
\eqno(6.1)
$$
$$
\varkappa_0a_1
y_{x,0}^{(\sigma)}=\frac{0.5h}{m+1}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0-\frac{0.5h}{m+1}\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{0,s}^j
y_{0}^s\bar\tau-\tilde \mu_1,\eqno(6.2)
$$
$$
-\varkappa_N a_N y_{\bar x,N}^{(\sigma)}=\tilde{\beta}_{1}
y_N^{(\sigma)}-0.5h\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{N,s}^j
y_{N}^s\bar\tau+\tilde{\beta}_{2} \Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N-\tilde{\mu}_2,\eqno(6.3)
$$
$$
y(x,0)=u_0(x),\ x\in \overline{\omega}_h, \eqno(6.4)
$$
где
$$
\tilde{\beta}_{1}=\tilde \varkappa \beta_{1}(t_{j+\sigma}), \
\tilde{\beta}_{2}=\tilde \varkappa\beta_{2}+0.5h, \quad
\tilde{\mu}_1=\frac{0.5h}{m+1}\varphi_0^j,\quad
\tilde{\mu}_2=\tilde\varkappa\mu(t_{j+\sigma})+0.5h\varphi_N^j,
$$
$$
\varkappa_0=\frac{1}{1+\frac{0.5h|r_0|}{(m+1)k_{0.5}^{j+\sigma}}},\
\text{если} \ r_0^{j+\sigma}\leq 0, \quad
\varkappa_N=\frac{1}{1+\frac{0.5h|r_N^{j+\sigma}|}{k_{N-0.5}}},\
\text{если} \ r_N^{j+\sigma}\geq 0,
$$
$$
r=r^++r^-,\ |r|=r^+-r^-,\ r^+=0.5\Big(r+|r|\Big)\geq 0,\
r^-=0.5\Big(r-|r|\Big)\leq 0,
$$
$$
a_i^j=k(x_{i-0.5},t^{j+\sigma}),\ b_i^{\pm j}=\frac{\bar \varkappa_i
	r_i^{\pm j+\sigma}}{k_i^{j+\sigma}}, \ d_i^j=\begin{cases} \bar
\varkappa_i q_i^{j+\sigma}, \ i=\overline{1,N-1},\\
q_i^{j+\sigma},\ i=0,N,\end{cases}
$$
$$
\varphi_i^j=\begin{cases} \overline {\varkappa}_i f_i^{j+\sigma},\
i=1,N-1,\\
f_i^{j+\sigma},\ i=0,N,\end{cases} \hbar=\begin{cases} 0.5 h,\
i=0,\\ h,\ i=\overline{1,N-1}, \end{cases}
$$
$$
\bar\varkappa_i=1+\frac{m(m-1)h^2}{24x_i^2},\ i=\overline{1,N-1},\
$$
$$
\tilde \varkappa=1+\frac{0.5hm}{l}=\frac{1}{1-\frac{0.5hm}{l}}, \
\varkappa_i=\frac{1}{1+R_i},\
R_i=\frac{0.5h|r_i|\bar\varkappa_i}{k_{i-0.5}}.
$$
Найдем априорную оценку методом энергетических неравенств,для этого
перепишем (6.1)-(6.4) в операторном виде
$$
\bar{\bar \varkappa}\Delta_{t_{j+\sigma}}^\alpha y=\bar
\Lambda(t_{j+\sigma})y^{(\sigma)}+\bar\Phi,\eqno(6.5)
$$
$$
y(x,0)=u_0(x),\eqno(6.6)
$$
где
$$
\bar{\bar \varkappa}=\begin{cases}
\bar \varkappa_i,\ x\in \omega_h,\\
1,\ x=0,l,\end{cases}\ \bar \varkappa_i=1+\frac{m(m-1)h^2}{24x_i^2},
\quad \overline\Phi=\begin{cases} \varphi=\varphi_i,\ (x,t)\in
\omega_{h\tau},\\
\varphi^-=\frac{m+1}{0.5h}\tilde \mu_1,\ x=0,\\
\varphi^+=\frac{1}{0.5h}\tilde \mu_2,\ x=l.\end{cases}
$$
$$
\overline \Lambda(t^{j+\sigma})y^{\sigma}=
$$
$$
=\begin{cases} \tilde
\Lambda(t^{j+\sigma})y_i^{(\sigma)}=\frac{\varkappa_i}{x_i^m}\Big(x_{i-0.5}^ma_i^j
y_{\bar
	x,i}^{(\sigma)}\Big)_x+\frac{b^{-j}}{x_i^m}\Big(x_{i-0.5}^ma_i^jy_{\bar
	x}^{(\sigma)}\Big)+\\
\hspace{150pt}+\frac{b^{+j}}{x_i^m}\Big(x_{i+0.5}^ma_{i+1}^jy_{
	x}^{(\sigma)}\Big)+\sum\limits_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{i,s}^j y_{i}^s\bar\tau,\ \\
\Lambda^-y_0^{(\sigma)}=\frac{m+1}{0.5h}\Big(\varkappa_0a_1y_{x,0}^{(\sigma)}+\frac{0.5h}{m+1}\sum\limits_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{0,s}^j y_{0}^s\bar\tau\Big),\ x=0, \\
\Lambda^+y_N^{(\sigma)}=-\frac{2}{h}\Big(\varkappa_Na_Ny_{x,N}^{(\sigma)}+\tilde{\beta}_{1}
y_N^{(\sigma)}-0.5h\sum\limits_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{N,s}^j
y_{N}^s\bar\tau+\tilde \varkappa
\beta_2\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\Big),\ x=l.
\end{cases}
$$
Умножим теперь (6.5) скалярно на $x^m\bar
y=x^my^{(\sigma)}+x^m\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y:$
$$
\Big(\bar{\bar \varkappa}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y,x^m\bar
y\Big)=\Big(\bar \Lambda(t_{j+\sigma})y^{(\sigma)},x^m\bar
y\Big]+\Big(\bar \Phi,x^m\bar y\Big], \eqno(6.7)
$$
где
$$
(u,v]=\sum\limits_{i=1}^Nu_iv_i\hbar,\
\|u]|_0^2=\sum\limits_{i=1}^{N}u_i ^2\hbar, \quad \hbar=\begin{cases} 0.5h, i=0,N \\
h, i\ne 0,N.
\end{cases}
$$
Преобразуем суммы, входящие в тождество (6.7), пользуясь
неравенством Коши с $\varepsilon$
$$
\Big(\bar{\bar \varkappa}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y,x^m\bar
y\Big)=\Big(\bar{\bar \varkappa}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y,x^my^{(\sigma)}\Big]+\Big(\bar{\bar
	\varkappa}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y,x^m
\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y\Big]\geq
$$
$$
\geq \Big(\frac{\bar{\bar
		\varkappa}}{2},\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
(x^\frac{m}{2}y)^2\Big]+ \Big(\bar{\bar
	\varkappa},\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha(x^\frac{m}{2}y)\Big)^2\Big],\eqno(6.8)
$$
$$
\Big(\bar \Lambda(t^{j+\sigma})y^{(\sigma)},x^m\bar
y\Big]=\Big(\tilde \Lambda y^{(\sigma)},x^m\bar
y\Big)+0.5h\Lambda^+y_N^{(\sigma)}x_N^m\bar
y_N=\Big(\varkappa(x_{i-0.5}^ma_iy_{\bar x}^{(\sigma)})_x,\bar
y\Big)+
$$
$$
+\Big(b^-(x_{i-0.5}^ma_i^j y_{\bar x}^{(\sigma)}),\bar
y\Big)+\Big(b^+(x_{i+0.5}^ma_{i+1}^j y_{x}^{(\sigma)}),\bar
y\Big)+\Big(\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{i,s}^j
y_{i}^s\bar\tau,x_i^m \bar y\Big)-
$$
$$
-x_N^m\bar y_N\Big(\varkappa_Na_Ny_{\bar x,N}^{(\sigma)}+\tilde
\beta_1y_N^{(\sigma)}-0.5h\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{N,s}^j
y_{N}^s\bar\tau+\tilde \varkappa
\beta_2\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\Big)=
$$
$$
=-\Big(x_{i-0.5}^m
a_iy_{\bar x}^{(\sigma)},(\varkappa \bar y)_{\bar x}\Big]+\Big(b^-(\bar x^ma_i y_{\bar x}^{(\sigma)}),\bar
y\Big)+
$$
$$
+\Big(b^+x_{i+0.5}^ma^{(+1)},  y_{x}^{(\sigma)}\bar
y\Big)+\Big(\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{i,s}^j
y_{i}^s\bar\tau,x^m \bar y\Big)-\tilde
\beta_1x_N^my_N^{(\sigma)}\bar y_N+
$$
$$
+x_N^m0.5h\bar y_N\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{N,s}^j
y_{N}^s\bar\tau-\tilde \varkappa
\beta_2x^m_N\overline{y}_N\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N+
$$
$$
+\Big(\bar x_N^m-x_N^m\Big)\bar y_N\varkappa_Na_Ny_{\bar
	x,N}^{(\sigma)}-x_{0.5}^m\varkappa_0a_1y_{x,0}^{(\sigma)}\bar
y_0.\eqno(6.9)
$$
Преобразуем слагаемые в правой части (6.9):
$$
-\Big(x_{i-0.5}^m a_i y_{\bar x}^{(\sigma)},(\varkappa \bar y)_{\bar
	x}\Big]=-\Big(x_{i-0.5}^ma_iy_{\bar x}^{(\sigma)},\varkappa_{\bar
	x}\bar y+\varkappa^{(-1)}\bar y_{\bar x}\Big]=-\Big(\bar x^m
ay_{\bar x}^{(\sigma)},\varkappa_{\bar x}y^{(\sigma)}\Big]-
$$
$$
-\Big(\bar x^may_{\bar x}^{ (\sigma)},\varkappa_{\bar
	x}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y\Big]-\Big(\bar x^m a y_{\bar
	x}^{(\sigma)},\varkappa^{(-1)}y_{\bar x}^{(\sigma)}\Big]-\Big(\bar
x^m a y_{\bar
	x}^{(\sigma)},\varkappa^{(-1)}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_{\bar
	x}\Big]\le 
$$
$$
\le \varepsilon \|\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
x^{\frac{m}{2}}y]|_0^2+M_1^\varepsilon \Big(\|x^{\frac{m}{2}}y^{(\sigma)}]|_0^2+\|\bar
x^{\frac{m}{2}}y_{\bar
	x}^{(\sigma)}]|_0^2\Big)-\frac{1}{1+hM_2}\Big(\bar x^m a \varkappa,
(y_{\bar x}^{(\sigma)})^2\Big]-
$$
$$
-\frac{1}{2(1+hM_2)}\Big(\bar
x^ma\varkappa,\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_{\bar x}^2\Big]\leq
\varepsilon \|\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
x^{\frac{m}{2}}y]|_0^2+
$$
$$
+M_1^\varepsilon
\Big(\|x^{\frac{m}{2}}y^{(\sigma)}]|_0^2+\|\bar x^\frac{m}{2}y_{\bar
	x}^{(\sigma)}]|_0^2\Big)-M_3\|\bar x^{\frac{m}{2}}y_{\bar
	x}^{(\sigma)}]|_0^2-M_4\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha \|\bar
x^{\frac{m}{2}}y_{\bar x}]|_0^2. \eqno(6.10)
$$
$$
\Big(b^-(\bar x^ma_i^j y_{\bar x}^{(\sigma)}),\bar
y\Big)+\Big(b^+x_{i+0.5}^ma^{(+1)},  y_{x}^{(\sigma)}\bar
y\Big)=\Big(b^-\bar x^m a y_{\bar
	x}^{(\sigma)},y^{(\sigma)}\Big)+
$$
$$
+\Big(b^- \bar x^m a y_{\bar
	x}^{(\sigma)},\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y\Big)+\Big(b^+x_{i+0.5}^m a^{(+1)}  y_{x}^{(\sigma)},
y^{(\sigma)}\Big)+
$$
$$
+\Big(b^+  x^m_{i+0.5} a^{(+1)} y_{
	x}^{(\sigma)},\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y\Big)\leq \varepsilon
\|\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha x^{\frac{m}{2}}y]|_0^2+
$$
$$
+M_5^\varepsilon
\Big(\|x^{\frac{m}{2}}y^{(\sigma)}]|_0^2+\|\overline{x}^{\frac{m}{2}}y_{\bar
	x}^{(\sigma)}]|_0^2\Big). \eqno(6.11)
$$
$$
\Big(\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{i,s}^j y_{i}^s\bar\tau,x^m
\bar y\Big)-\tilde \beta_1x_N^my_N^{(\sigma)}\bar y_N +x_N^m0.5h\bar
y_N\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{N,s}^j y_{N}^s\bar\tau-\tilde
\varkappa \beta_2x^m_N\overline{y}_N\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N=
$$
$$
=\Big(\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{i,s}^j
y_{i}^s\bar\tau,x^m\bar y\Big]-\tilde\beta_1x_N^my_N^{(\sigma)}\bar
y_N-\tilde \varkappa
\beta_2x^m_N\overline{y}_N\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\leq
\Big(\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{i,s}^j
y_{i}^s\bar\tau,x^my^{(\sigma)}\Big]+
$$
$$
+ \Big(\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{i,s}^j
y_{i}^s\bar\tau,x^m\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y\Big]-\tilde\beta_1x_N^m(y_N^{(\sigma)})^2-\tilde
\beta_1x_N^my_N^{(\sigma)}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N-
$$
$$
-\tilde
\varkappa \beta_2x_N^m y^{(\sigma)}_N\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N-
\tilde \varkappa \beta_2x_N^m\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2\leq \varepsilon_1\|\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
x^\frac{m}{2}y]|_0^2+
$$
$$
+\varepsilon_2\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2+M_6^{\varepsilon_1}\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\|x^\frac{m}{2}y^s]|_0^2\bar\tau-
\tilde \varkappa
\frac{\beta_2}{2}x_N^m\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha (y_N)^2-
$$
$$
-\tilde
\varkappa x_N^m \beta_2\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2+M_7^{\varepsilon_2}\Big(\|x^{\frac{m}{2}}y^{(\sigma)}]|_0^2+\|\bar
x^{\frac{m}{2}}y_{\bar x}^{(\sigma)}]|_0^2\Big). \eqno(6.12)
$$
Учитывая (6.9)-(6.12), из (6.9) получим
$$
\Big(\bar \Lambda(t^{j+\sigma})y^{(\sigma)},x^m\bar
y\Big]\le\varepsilon_1\|\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
x^\frac{m}{2}y]|_0^2+\varepsilon_2\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2+
$$
$$
+M_7^{\varepsilon_2}\Big(\|x^{\frac{m}{2}}y^{(\sigma)}]|_0^2+\|\bar
x^{\frac{m}{2}}y_{\bar x}^{(\sigma)}]|_0^2\Big)+M_6^{\varepsilon_1}\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\|x^\frac{m}{2}y]|_0^2\bar\tau-
$$
$$
-M_3\|\bar x^{\frac{m}{2}}y_{\bar
	x}^{(\sigma)}]|_0^2-M_4\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha\|\bar
x^{\frac{m}{2}}y_{\bar x}]|_0^2+\Big(\bar x_N^m-x_N^m\Big)\bar
y_N\varkappa_Na_Ny_{\bar
	x,N}^{(\sigma)}-
$$
$$
-\tilde \varkappa
\frac{\beta_2}{2}x_N^m\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha (y_N)^2-\tilde
\varkappa x_N^m \beta_2\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2-x_{0.5}^m\varkappa_0a_1y_{x,0}^{(\sigma)}\bar
y_0.\eqno(6.13)
$$
$$
\Big(\bar \Phi,x^m\bar y\Big]=\Big(\varphi,x^m\bar
y\Big)+0.5hx_N^m\bar y_N\varphi^+=\Big(\varphi,x^m \bar
y\Big)+x_N^m\tilde\mu^2\bar y_N=
$$
$$
=\Big(\varphi,x^m
y^{(\sigma)}\Big)+\Big(\varphi,x^m\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y\Big)+x_N^m\tilde\mu_2\bar y_N\leq \varepsilon_1
\|\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha x^{\frac{m}{2}}y]|_0^2+
$$
$$
+M_8^{\varepsilon_1}\Big(\|x^{\frac{m}{2}}y^{(\sigma)}]|_0^2+\|\bar
x^{\frac{m}{2}}y^{(\sigma)}_{\bar
	x}]|_0^2\Big)+M_9^{\varepsilon_1}\|x^{\frac{m}{2}}\varphi\|_0^2+x_N^m\tilde
\mu_2\bar y_N.\eqno(6.14)
$$
Принимая во внимание  преобразования (6.8)-(6.14) из (6.7) получаем
$$
\Big(\frac{\bar{\bar \varkappa}}{2},\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
(x^\frac{m}{2}y)^2\Big]+ M_{10}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha \|\bar
x^{\frac{m}{2}}y_{\bar x}]|_0^2+M_3\|\bar x^{\frac{m}{2}}y_{\bar
	x}^{(\sigma)}]|_0^2+\Big(\bar{\bar
	\varkappa},\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha(x^\frac{m}{2}y)\Big)^2\Big]+
$$
$$
+\tilde \varkappa
\frac{\beta_2}{2}x_N^m\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha (y_N)^2+\tilde
\varkappa x_N^m \beta_2\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2\leq \varepsilon_1 \|\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
x^{\frac{m}{2}}y]|_0^2+\varepsilon_2\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2+
$$
$$
+\Big(\bar x_N^m-x_N^m\Big)x_Na_Ny_{\bar x,N}^{(\sigma)}\bar
y_N-x_{0.5}^m \bar y_0\varkappa_0a_1y_{x,0}^{(\sigma)}+M_6^{\varepsilon_1}\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\|x^\frac{m}{2}y]|_0^2\bar\tau+
$$
$$
+M_8(\varepsilon_1)\|x^\frac{m}{2}\varphi\|_0^2+x_N^m\tilde{\mu}_2\bar
y_N+M_{11}(\varepsilon_1,\varepsilon_2)\Big(\|x^{\frac{m}{2}}y^{(\sigma)}]|_0^2+\|\bar
x^{\frac{m}{2}}y_{\bar x}^{(\sigma)}]|_0^2\Big). \eqno(6.15)
$$
Рассмотрим третье, четвертое и седьмое слагаемые в правой части
(6.15)
$$
\Big(\bar x_N^m-x_N^m\Big)\varkappa_Na_Ny_{\bar x,N}^{(\sigma)}\bar
y_N-x_{0.5}^m \bar
y_0\varkappa_0a_1y_{x,0}^{(\sigma)}+x_N^m\tilde{\mu}_2\bar y_N=
$$
$$
=x_{0.5}^m \bar y_0\bigg(\tilde \mu_1
-\frac{0.5h}{m+1}\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0-\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{0,s}^j
y_{0}^s\bar\tau\Big)\bigg)+
$$
$$
+\Big(\bar x_N^m-x_N^m\Big)\bar
y_N\Big(\tilde \mu_2-\tilde \beta_1 y_N^{(\sigma)}-\tilde
\beta_2\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\Big)+x_N^m\tilde \mu_2 \bar
y_N=
$$
$$
=x_{0.5}^my_0^{(\sigma)}\tilde\mu_1+x_{0.5}^m\tilde\mu_1\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0-\frac{0.5h}{m+1}x_{0.5}^my_0^{(\sigma)}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0-\frac{0.5h}{m+1}x_{0.5}^m\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0\Big)^2+
$$
$$
+\frac{0.5h}{m+1}x_{0.5}^my_0^{(\sigma)}\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{0,s}^j y_{0}^s\bar\tau+
\frac{0.5h}{m+1}x_{0.5}^m\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{0,s}^j
y_{0}^s\bar\tau\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_0+\bar x _N^m
y_N^{(\sigma)}\tilde\mu_2+
$$
$$
+\bar x_N^m \tilde \mu_2
\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N -\Big(\bar x_N^m-x_N^m\Big) \tilde{\beta}_1 (y_N^\sigma)^2-
$$
$$
-\Big(\bar
x_N^m-x_N^m\Big) \tilde\beta_1
y_N^{(\sigma)}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N-\Big(\bar
x_N^m-x_N^m\Big)y_N^{(\sigma)}\tilde
\beta_2\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N-
$$
$$
-\Big(\bar x_N^m-x_N^m\Big)\tilde \beta
_2\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\Big)^2\le
\varepsilon_3\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0\Big)^2+\varepsilon_4\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2+M_{12}^{\varepsilon_3,\varepsilon_4}\Big(\tilde\mu_1^2+\tilde\mu^2_2\Big)
+
$$
$$
+M_{13}^{\varepsilon_3}\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
(x_{0.5}^{\frac{m}{2}}y^s_0)^2\bar\tau+M_{14}^{\varepsilon_3,\varepsilon_4}\Big(\|x^{\frac{m}{2}}y^{(\sigma)}]|_0^2+(x_{0.5}^{\frac{m}{2}}y_0)^2+
\|\bar x^{\frac{m}{2}}y_{\bar x}^{(\sigma)}]|_0^2\Big)-
$$
$$
-\frac{h}{4(m+1)}x_{0.5}^m\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_0^2-\Big(\bar x_N^m-x_N^m\Big)\frac{\tilde \beta_2}{2}
\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
(y_N)^2-
$$
$$
-\frac{0.5h}{m+1}x_{0.5}^m\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0\Big)^2-\Big(\bar
x_N^m-x_N^m\Big)\tilde\beta_2\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2.\eqno(6.16)
$$
Учитывая преобразования (6.16), из (6.15) находим  при
$\varepsilon_1=\frac{\bar{\bar \varkappa}}{2}, \
\varepsilon_2=\frac{\beta_2x_N^m}{2},\ \varepsilon_3=\frac{h
	x_{0.5}^m}{4(m+1)},\  \varepsilon_4=(\bar x_N^m-x_N^m)\frac{\tilde
	\beta _2}{2}$
$$
\Big(\frac{\bar{\bar \varkappa}}{2},\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
(x^\frac{m}{2}y)^2\Big]+ M_{10}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha \|\bar
x^{\frac{m}{2}}y_{\bar x}]|_0^2+M_3\|\bar x^{\frac{m}{2}}y_{\bar
	x}^{(\sigma)}]|_0^2+\Big(\frac{\bar{\bar
		\varkappa}}{2},\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha(x^\frac{m}{2}y)\Big)^2\Big]+
$$
$$
+\frac{h}{4(m+1)}x_{0.5}^m\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0^2+\Bigg(\frac{\tilde \varkappa\beta_2}{2}x_N^m+\big(\bar
x_N^m-x_N^m\big)\frac{\tilde
	\beta_2}{2}\Bigg)\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha(y_N)^2+
$$
$$
+\frac{0.5h}{2(m+1)}x_{0.5}^m \Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_0\Big)^2+\Bigg(\frac{\tilde \varkappa\beta_2}{2}x_N^m+\big(\bar
x_N^m-x_N^m\big)\frac{\tilde
	\beta_2}{2}\Bigg)\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\Big)^2\leq
$$
$$
\leq M_{15}\|x^{\frac{m}{2}}\varphi\|_0^2+
M_{16}\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\|x^\frac{m}{2}y]|_1^2\bar\tau+M_{17}\Big(\tilde\mu_1^2+\tilde\mu^2_2\Big)+
$$
$$
+M_{18}\Big(\|x^{\frac{m}{2}}y^{\sigma}]|_0^2+\|\bar
x^{\frac{m}{2}}y_{\bar
	x}^{(\sigma)}]|_0^2+\Big(x_{0.5}^{\frac{m}{2}}y_0\Big)^2\Big),\eqno(6.17)
$$
где
$\|x^{\frac{m}{2}}y]|_1^2=\|x^{\frac{m}{2}}y]|_0^2+\Big(x_{0.5}^{\frac{m}{2}}y_0\Big)^2.$

Преобразуем первое, четвертое, шестое и восьмое слагаемые в левой
части (6.17) с учетом $x_{N-0.5}^m\geq \frac{1}{6}x_N^m$
$$
\Big(\frac{\bar{\bar \varkappa}}{2},\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
(x^\frac{m}{2}y)^2\Big]+\Bigg(\frac{\tilde \varkappa
	\beta_2}{2}x_N^m+\big(\bar x_N^m-x_N^m\big)\frac{\tilde
	\beta_2}{2}\Bigg)\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha(y_N)^2+
$$
$$
+\Big(\frac{\bar{\bar
		\varkappa}}{2},\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha(x^\frac{m}{2}y)\Big)^2\Big]+
\Bigg(\frac{\tilde \varkappa \beta_2}{2}x_N^m+(\bar
x_N^m-x_N^m)\frac{\tilde
	\beta_2}{2}\Bigg)\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\Big)^2=
$$
$$
=
\Big(\frac{\bar{\varkappa}}{2},\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
(x^\frac{m}{2}y)^2\Big)+\frac{0.5h}{2}x_N^m\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
(y_N)^2+\Big(\frac{\bar{
		\varkappa}}{2},\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha(x^\frac{m}{2}y)\Big)^2\Big)
$$
$$
+\frac{0.5h}{2}x_N^m
\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\Big)^2+\Bigg(\frac{\tilde
	\varkappa \beta_2}{2}x_N^m+\big(\bar x_N^m-x_N^m\big)\frac{\tilde
	\beta_2}{2}\Bigg)\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha(y_N)^2+
$$
$$
+\Bigg(\frac{\tilde \varkappa \beta_2}{2}x_N^m+(\bar
x_N^m-x_N^m)\frac{\tilde
	\beta_2}{2}\Bigg)\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\Big)^2=
\Big(\frac{\bar{\varkappa}}{2},\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
(x^\frac{m}{2}y)^2\Big)+ 
$$
$$
+\Big(\frac{\bar{
		\varkappa}}{2},\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha(x^\frac{m}{2}y)\Big)^2\Big)+\Bigg(\frac{\tilde \varkappa
	\beta_2}{2}\overline{x}_N^m+\frac{0.5h}{2}\overline{x}_N^m\Bigg)\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha(y_N)^2+
$$
$$
+
\Bigg(\frac{\tilde \varkappa
	\beta_2}{2}\overline{x}_N^m+\frac{0.5h}{2}\overline{x}_N^m
\Bigg)\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha y_N\Big)^2\geq\frac{M_{18}}{2}\Big(1,\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
(x^\frac{m}{2}y)^2\Big)+
$$
$$
+\frac{h}{4}\overline{x}_N^m\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha(y_N)^2+
\frac{M_{19}}{2}\Big(1,\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha(x^\frac{m}{2}y)\Big)^2\Big)+
\frac{h}{4}\overline{x}_N^m \Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2\geq
$$
$$
\geq\frac{1}{4}\Big(1,\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
(x^\frac{m}{2}y)^2\Big)+\frac{0.5h}{12}x_N^m\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha(y_N)^2+
\frac{1}{4}\Big(1,\Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha(x^\frac{m}{2}y)\Big)^2\Big)+
$$
$$
+\frac{0.5h}{12}x_N^m \Big(\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
y_N\Big)^2\geq
\dfrac{1}{12}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha \|x^{\frac{m}{2}}
y]|_0^2+\dfrac{1}{12}\|\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
x^{\frac{m}{2}}y]|_0^2,\eqno(6.18)
$$
где
$$
M_{19}=\begin{cases} 1,\text{если}\ m=0,m\geq1,\\
\frac{1}{2},\text{если}\ m\in(0,1),\ h\le
h_0=\sqrt{\frac{12x^{2}}{m(1-m)}}.\end{cases}
$$
Учитывая (6.18), из (6.17) получаем
$$
\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha \|x^{\frac{m}{2}} y]|_2^2+\|\bar
x^{\frac{m}{2}}y_{\bar
	x}^{(\sigma)}]|_0^2+\|\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
x^{\frac{m}{2}}y]|_0^2\leq
$$
$$
\leq M_{20}
\|x^{\frac{m}{2}}y^{(\sigma)}]|_2^2+M_{21}\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\|x^\frac{m}{2}y]|_1^2\bar\tau+M_{22}\Big(\|x^{\frac{m}{2}}
\varphi\|_0^2+\tilde\mu_1^2+\tilde\mu_2^2\Big),\eqno(6.19)
$$
где $\|x^{\frac{m}{2}}y]|_2^2=\|x^{\frac{m}{2}}y]|_0^2+\|\bar
x^{\frac{m}{2}}y_{\bar
	x}]|_0^2+\Big(x_{0.5}^{\frac{m}{2}}y_0\Big)^2.$\\
Повторяя рассуждения
(4.17)-(4.30), из (6.19) находим искомую априорную оценку
$$
\|x^{\frac{m}{2}} y^{j+1}]|_1^2 \leq
M\Bigg(\|x^{\frac{m}{2}}y^0]|_2^2+\dfrac{t^{\alpha}_j}{\Gamma(1+\alpha)}\max_{0\leq
	j'\leq
	j}\Big(\|x^{\frac{m}{2}}\varphi\|_0^2+\tilde\mu_1^2+\tilde\mu^2_2\Big)\Bigg),
\eqno(6.20)
$$
где $M=const>0$, не зависящая от $h$  и $\tau$.

\begin{theorem} 
 Пусть выполнены условия (2.4), (5.5) тогда
существуют такие $\tau_0,h_0$, что если $\tau\leq \tau_0, h\leq
h_0,$ то для решения разностной задачи (6.1)-(6.4) справедлива
априорная оценка (6.20). 
\end{theorem}

Из этой оценки следуют единственность и
устойчивость решения задачи (6.1)-(6.4) по начальным данным  и
правой части.

Пусть $u(x,t) -$ решение задачи $(5.1)-(5.4)$
$y(x_i,t_j)=y_i^j$-решение разностной задачи $(6.1)-(6.4)$. Для
оценки точности разностной схемы $(6.1)-(6.4)$ рассмотрим разность
$z_i^j=y_i^j-u_i^j$, где $u^j_i=u(x_i,t_j)$. Тогда, подставляя
$y=z+u$ в соотношения $(6.1)-(6.4)$, получаем задачу для функции $z$
$$
\bar \varkappa\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
z=\frac{\varkappa}{x_i^m}\Big(x_{i-0.5}^ma^j z_{\bar
	x}^{(\sigma)}\Big)_x+\frac{b^{-j}}{x_i^m}\Big(x_{i-0.5}^m
a_i^jz_{\bar x,i}^{(\sigma)}\Big)+
$$
$$
+\frac{b^{+j}}{x_{i}^m}\Big(x_{i+0.5}^m
a_{i+1}^jz_{x,i}^{(\sigma)}\Big)+\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}}
\rho_{i,s}^j z_{i}^s\bar\tau +\Psi_i^j,\ (x,t)\in\omega_{h,\tau}
\eqno(6.21)
$$
$$
\varkappa_0a_1
z_{x,0}^{(\sigma)}=\frac{0.5h}{m+1}\Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
z_0-\frac{0.5h}{m+1}\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{0,s}^j
z_{0}^s\bar\tau-\tilde \nu_1,\eqno(6.22)
$$
$$
-\varkappa_N a_N z_{\bar x,N}^{(\sigma)}=\tilde{\beta}_{1}
z_N^{(\sigma)}-0.5h\sum_{s=0}^{j+\frac{1}{2}} \rho_{N,s}^j
z_{N}^s\bar\tau+\tilde{\beta}_{2} \Delta_{0t_{j+\sigma}}^\alpha
z_N-\tilde{\nu}_2,\eqno(6.23)
$$
$$
z(x,0)=0,\ x\in \overline{\omega}_h, \eqno(6.24)
$$
где $\Psi=O\Big(\frac{h^2+\tau^2}{x}\Big)$,
$\tilde{\nu}_1=O\big(h^2+\tau^2\big)$,
$\tilde{\nu}_2=O\big(h^2+\tau^2\big) -$ погрешности аппроксимации
дифференциальной задачи $(5.1)-(5.4)$ разностной схемой
$(6.1)-(6.4)$ в классе решении $u=u(x,t)$ задачи $(5.1)-(5.4)$.

Применяя априорную оценку $(6.20)$ к решению задачи $(6.21)-(6.24),$
получаем неравенство
$$
\|x^{\frac{m}{2}} z^{j+1}]|_1^2 \leq  M\max_{0\leq j'\leq
	j}\Big(\|x^{\frac{m}{2}}\Psi^{j'}\|_0^2+\tilde\nu_1^2+\tilde\nu_2^2
\Big), \eqno(6.25)
$$
где $M=const>0$, не зависящая от $h$ и $\tau$.


Из априорной оценки (6.25) следуют единственность и
устойчивость решения разностной схемы $(6.1)-(6.4)$ по
начальным данным и правой части, а также сходимость решения
разностной задачи $(6.1)-(6.4)$ к решению $(5.1)-(5.4)$  в сеточной норме
$\|x^{\frac{m}{2}}z^{j+1}\|_{2}^2$ со скоростью
$O\left(h^2+\tau^2\right)$ так, что если существуют такие
$h_{0}, \tau_{0}$, то при $h\leq h_{0}, \tau\leq \tau_{0}$
справедлива априорная оценка
$$
\|x^{\frac{m}{2}}\big(y^{j+1}-u^{j+1}\big)\|_1\leq
M\|x^{\frac{m}{2}-1}\|_1\left(h^2+\tau^2\right)\leq\overline{M}\left(h^2+\tau^2\right),
$$
где $\overline{M}=const>0$, не зависящее от $h$ и
$\tau.$


\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{1} 
K.B. Oldham, J. Spanier, {\it The fractional calculus. Theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order}, New York, Academic Press, 1974.
\bibitem{2}
K.S. Miller, B. Ross, {\it An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations}, New York, Wiley, Wiley and Sons, 1993.
\bibitem{3}
I. Podlubny, {\it Fractional differential equations}, San. Diego, Academic Press, 1999.
\bibitem{4}
V.E. Tarasov, {\it Models of theoretical physics with fractional integro-differentiation}, Izhevsk, Moscow, Izhevsk Institute for Computer Research, 2011.
\bibitem{5}
A.M. Nakhushev, {\it Fractional calculus and its application}, Fizmatlit, Moscow, 2003.
\bibitem{6}
V.V. Uchaikin, {\it Fractional derivative method},  Artishok, Ul'yanovsk, 2008.
\bibitem{7}
B.B. Mandelbrot, {\it The Fractal Geometry of Nature}, New York, W.H. Freeman and  Company. 1982.
\bibitem{8}
A.A. Samarskii, {\it Theory of difference schemes}, Nauka, Moscow, 1983.
\bibitem{9}
A.N. Tikhonov, A.A. Samarskii, {\it Equations of mathematical physics}, Nauka, Moscow, 1977. 
\bibitem{10}
A.A. Samarskii, {\it About one heat distribution problem}, Bulletin of Moscow State University, \textbf{3}, (1947), 85--102.
\bibitem{11}
S.V. Nerpin, A.F. CHudnovskii, {\it Energy and mass transfer in the soil-plant-air system}, Gidrometeoizdat, Leningrad, 1975.
\bibitem{12}
R.R. Nigmatullin,  {\it Features of relaxation of a system with “residual” memory}, Fiz. solid body. \textbf{27}:5, (1985), 1583–-1585.
\bibitem{13} 
A.A. Alikhanov, {\it  Boundary value problems for the diffusion equation of the variable order in differential and difference settings}, Appl. Math. \textbf{219} (2012), 3938–-3946.
\bibitem{14} 
A.A. Alikhanov,  {\it  A new difference scheme for the time fractional diffusion equation}, J. Comput. Phys. \textbf{280} (2015), 424–-438. 
\bibitem{15} 
M.KH. Beshtokov,  {\it Local and nonlocal boundary value problems for degenerating and nondegenerating pseudoparabolic equations with a Riemann-Liouville fractional derivative} Differential Equations,
\textbf{54}:6 (2018),  758--774.
\bibitem{16} 
M.KH. Beshtokov,  {\it To boundary-value problems for degenerating pseudoparabolic equations with Gerasimov-Caputo fractional derivative} Russian Mathematics, \textbf{62}:10 (2018), 1--14.
\bibitem{17}
M.Kh. Beshtokov, V.A. Vodakhova, {\it Nonlocal boundary value problems for a fractionalorder
	convection–diffusion equation}, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika.
Komp’yuternye Nauki, \textbf{29}:4 (2019), 459-–482.
\bibitem{18}
M.Kh. Beshtokov, F.A. Erzhibova, {\it To boundary value problems for integro-differential equations of fractional order} 
Matematicheskiye trudy, \textbf{23}:1 (2020), 16--36.
\bibitem{19} 
A.A. Samarskii, {\it The theory of difference schemes}, Nauka, Moscow, 1983.
\bibitem{20} 
A.A. Samarskii, A.V. Gulin, {\it Stability of difference schemes}, Nauka, Moscow, 1973.

\end{thebibliography}
\end{document}
