
\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}

\def\udcs{517.956.25} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{35J25, 35J62} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
%\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{confirmation}{Утверждение}
\newtheorem{remark}{Замечание}
\newtheorem{example}{Пример}


\def\L{\mathrm{L}}
\def\P{\mathrm{P}}
\def\E{\mathrm{E}}
\def\x{\mathrm{x}}
\def\y{\mathrm{y}}
\def\a{\mathrm{a}}
\def\p{\mathrm{p}}
\def\y{\mathrm{y}}
\def\s{\mathrm{s}}
\def\t{\mathrm{t}}
\def\v{\mathrm{v}}
\def\c{\mathrm{c}}
\def\z {\mathrm{z}}
\def\q {\mathrm{q}}

\def\logo{{\bf\huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo
     \hspace{80mm}\raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }

     \vspace{5mm}

     \begin{center}
     {\huge СИБИРСКИЕ \ ЭЛЕКТРОННЫЕ} \\[2mm]
     {\huge МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ} \\[2mm]
     {\large Siberian Electronic Mathematical Reports} \\[1mm]
     {\LARGE\tt{http://semr.math.nsc.ru}}\\[0.5mm]
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
     \vspace{-3mm}
     \noindent
     \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{1mm}
     {\flushleft\it Том ?, стр. ?? (2026) \hspace{65mm}{\rm\small УДК \udcs}}
     \newline
     	{\rm\small DOI~10.33048/semi.2026.16.xxx}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}


\def\x{\mathrm{x}}
\def\a{\mathrm{a}}
\def\A{\mathrm{A}}
\def\B{\mathrm{B}}
\def\y{\mathrm{y}}
\def\s{\mathrm{s}}
\def\t{\mathrm{t}}
\def\v{\mathrm{v}}
\def\RR{\mathbb R}
\def\p{\mathrm{p}}
\def\f{\mathrm{f}}

\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[Единственность локального ренормализованного решения анизотропного]{Единственность локального ренормализованного решения анизотропного  эллиптического уравнения с переменным ростом}
\author{{Л.M. КОЖЕВНИКОВА }}%
\address{Larisa Mikhailovna Kozhevnikova  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sterlitamak branch of the Ufa University of Science and Technology,
\newline\hphantom{iii} Pr. Lenin, 37,
\newline\hphantom{iii} 453103, Sterlitamak, Russia}

\thanks{\sc L.M. Kozhevnikova
Uniqueness of a local renormalized solution to an anisotropic elliptic equation with variable growth}
\thanks{\copyright \ 2026 Кожевникова Л.М}
\thanks{\it Поступила 20 апреля 2026 г., опубликована ?  2026 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\sc Abstract. }  В работе рассмотрен некоторый класс анизотропных эллиптических уравнений второго порядка с переменными показателями нелинейностей и локально суммируемой  правой частью.   В анизотропных пространствах Соболева с переменными показателями установлены  свойства и единственность локальных  ренормализованных решений задачи Дирихле в произвольных областях. Ранее, для более широкого класса уравнений,  автором было доказано существование таких решений.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} анизотропное эллиптическое уравнение, переменный показатель, локальное  ренормализованное решение, неограниченная область, единственность решения.
 \end{quote}
}


\section{Введение}

Ренормализованные решения представляют собой ключевой подход к анализу широких классов вырождающихся эллиптических уравнений, правые части которых задаются мерами. Для уравнения с 
$p-$лапласианом, мерой Радона и поглощением 
$$
-\Delta_pu\p+|u|^{p_0-1}u=\mu,\quad p\in(1,n),\quad 0<p-1<p_0.
$$
 М.Ф. Бидо-Верон \cite{BV}  предложила понятие локального ренормализованного решения. 

В работе \cite{BV}  доказан результат об устойчивости и как следствие в $\mathbb{R}^n$ установлено существование локального ренормализованного решения рассматриваемого уравнения  c  $\mu\in L_{1,{\rm loc}}(\mathbb{R}^n)$. 




Вопросы единственности энтропийных и ренормализованных решений анизотропных эллиптических уравнений с переменными нелинейностям с данными из $L_1$ или в виде меры в неограниченных областях рассматривались в  работах \cite{Kozhe_2020}, \cite{Kozhe_2021}. 
Л.М. Кожевниковой   в анизотропных пространствах Соболева с переменными показателями установлены некоторые свойства и единственность как энтропийных, так и ренормализованных решений задачи Дирихле в произвольных областях. Кроме того, в работе доказана эквивалентность энтропийных и ренормализованных решений рассматриваемой задачи (см. \cite{Kozhe_2020}). 


 Методом С.Н. Кружкова (удвоения временной  переменной) в работе \cite{Mukminov_2017} 	Ф.Х. Мукминов
доказал  единственность ренормализованного решения первой смешанной задачи для некоторого класса анизотропных эллиптико-параболических уравнений с двойными переменными нелинейностями в неограниченных (по пространственным переменным) цилиндрических областях. 

В настоящей работе в произвольной области  $\Omega\subseteq \mathbb{R}^n=\{\x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\},$ $n \geq 2,$
 для анизотропных  эллиптических уравнений  второго порядка с переменным ростом и локально суммируемой функцией $f$
рассмотривается  задача Дирихле
\begin{equation}
	\label{ur} -\sum\limits_{i=1}^n(a_i(\x,
	u_{x_i}))_{x_i}+b(\x,u)=f,\quad\x\in\Omega,
\end{equation}
\begin{equation}\label{gu}
	u=0,\quad \x\in\partial\Omega.
\end{equation}

Достаточные условия существования локального ренормализованного решения как для изотропного случая (см. \cite{Kozhe_2025_JMS}, 
\cite{Kozhe_2025_VMJ}), так и для анизотропного (см. \cite{Kozhe_2025_LJM}) в неограниченных областях найдены Л.М. Кожевниковой. 
 В настоящей работе найдены достаточные условия  единственности  локального ренормализованного решения задачи   \eqref{ur}, \eqref{gu}. Заметим, что ранее вопросы единственности таких решений в неограниченных областях в литературе ранее не рассматривались. 


\section{Пространства}
%\setcounter{equation}{0}



В этом параграфе будут приведены необходимые сведения из теории пространств с переменными показателями \cite{DHHHR}. Пусть $Q\subseteq \Omega,$ обозначим Положим $C^+(\overline{Q})=\{p\in C(\overline{Q})\;\big |\; 1<\overline{p}\leq \widehat{p}<+\infty \},$
где $\overline{p}=\inf\limits_{\x\in \overline{Q}}p(\x),\;$ $\widehat{p}=\sup\limits_{\x\in \overline{Q}}p(\x)$.
Пусть
$p(\cdot)\in C^+(\overline{Q})$, определим лебегово пространство $L_{p(\cdot)}(Q)$ с переменным показателем
как  множество измеримых на $Q$ вещественнозначных функций $v$ таких, что:
$$\rho_{p(\cdot),Q}(v)=\int\limits_Q|v(\x)|^{p(\x)}d\x<\infty,$$
с нормой Люксембурга $$
\|v\|_{L_{p(\cdot)}(Q)}=\|v\|_{p(\cdot),Q}=\inf\left\{k>0\;\Big |\;
\rho_{p(\cdot)}(v/k)\leq 1\right\}.
$$




При $\overline{p}>1$ cправедливо  неравенство Юнга:
\begin{equation}\label{ung}
	|zy|\leq |y|^{p(\x)}+|z|^{p'(\x)},\quad z,y\in \mathbb{R},\quad p'(\cdot)=\frac{p(\cdot)}{p(\cdot)-1},\quad \x\in Q.
\end{equation}



	Известно, что 
если модуль непрерывности показателя $p(\x)$ удовлетворяет условию:
\begin{equation}
	|p(\x) - p(\y)| \leq -\frac{K}{\ln |\x - \y|}, \quad 
	x, y \in Q, \quad |\x - \y| \leq \frac{1}{2},\label{log}
\end{equation}
где $K > 0$ — константа, то гладкие функции плотны в $\mathring{W}_{p(\cdot)}^{1}(Q)=\{ v \in 	\mathring{W}_{1}^{1}(Q) : \rho_{p(\cdot), Q}(|\nabla v|) < \infty \}$ (см. \cite{Jikov}).




Для двух ограниченных функций $q(\cdot),\,r(\cdot)\in C(\overline{Q})$ будем писать  $q(\cdot)< r(\cdot)$, если $\inf\limits_{\x\in \overline{Q}}(r(\x)-q(\x))>0$.



Обозначим $\overrightarrow{\p}(\cdot)=(p_1(\cdot),p_2(\cdot),\ldots,p_n(\cdot))\in (C^+(\overline{Q}))^n$  и определим
$$p_+(\x)=\max_{i=\overline{1,n}}p_i(\x),\quad p_-(\x)=\min_{i=\overline{1,n}}p_i(\x),\quad  \x\in Q.$$
Также будем использовать обозначения: $\frac{\partial v}{\partial x_i}=v_{x_i},\;i=1,\ldots,n$.
Определим анизотропные пространства с переменными показателями Лебега $\L_{\overrightarrow{\p}(\cdot)}(Q)=\{\v=(v_1,v_2,\ldots,v_n),\;v_i\in L_{p_i(\cdot)}(Q),\;i=1,\ldots,n\}$
с нормой
$$
\|\v\|_{\overrightarrow{\rm p}(\cdot),Q}=\sum_{i=1}^n\|v_i\|_{p_i(\cdot),Q}
$$
и Соболева
${W}_{\overrightarrow{\rm p}(\cdot)}^{1}(Q)=\{v\in L_{p_+(\cdot)}(Q),\;\nabla v\in \L_{\overrightarrow{\p}(\cdot)}(Q)\}$
с нормой
$$
\|v\|^1_{\overrightarrow{\rm p}(\cdot),Q}=\|v\|_{p_+(\cdot),Q}+\|\nabla v\|_{\overrightarrow{\p}(\cdot),Q}.
$$
Пространства $
\mathring{W}_{\overrightarrow {\p}(\cdot)}^{1}(Q) = 	\mathring{W}_{1}^{1}(Q) \cap{W}_{\overrightarrow{\p}(\cdot)}^{1}(Q),\;$
${W}_{\overrightarrow{\rm p}(\cdot)}^{1}(Q)$ являются  рефлексивными банаховыми  \cite{Fan}.

Определим среднее геометрическое $\underline{p}(\cdot)$ и показатель Соболева  $\underline{p}^*(\cdot):$ $$\underline{p}(\x)={n}\left(\sum\limits_{i=1}^n 1/p_i(\x)\right)^{-1},\quad
\underline{p}^*(\x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{n\underline{p}(\x)}{n-\underline{p}(\x)},& \underline{p}(\x)<n,\\
	+\infty,& \underline{p}(\x)\geq n.
\end{array}\right.$$




Далее предполагаем, что функции $p_i, p_0+1\in C^+(\overline{\Omega}),\;i=\overline{1,n},\;$  $\underline{p}(\cdot)<n$ и 
$p_i,\;i=\overline{1,n},$ удовлетворяют условию \eqref{log}. 
Определим  $L_{\infty,{\rm loc}}(\overline{\Omega}),\;$ $L_{1,{\rm loc}}(\overline{\Omega}),\;$ $\mathring{W}^{1}_{\overrightarrow{\rm p}(\cdot),{\rm loc}} (\overline{\Omega})$ как пространства, состоящие из функций $v$, определенных в $\Omega$, для которых при любой ограниченной $Q\subsetneq \Omega$  имеет место принадлежность $v\in L_{{\infty}}(Q),\;L_{1}(Q),$ $\mathring{V}^{1}_{\overrightarrow{\rm p}(\cdot)} (Q)=\mathring{W}_{\overrightarrow{\rm p}(\cdot)}^{1}(\Omega)\cap{W}_{\overrightarrow{\rm p}(\cdot)}^{1}(Q)$, соответственно.

Меру Лебега измеримого множества $Q$ будем обозначать ${\rm meas}\,(Q)$. Норма Лоренца \(\|u\|_{q,\infty,Q}\) (также называемая слабой \(L_q\)-нормой) для \(0 < q < \infty\) определяется следующим образом:

\[
\|v\|_{q,\infty,Q} = \sup_{t > 0} \, t \, \bigl( {\rm meas}(\{\x\in Q : |v(\x)| > t\}) \bigr)^{1/q}.
\]
Очевидно, для любого $t>0$ и $v\in L_{q,\infty}(Q)$ справедливо неравенство 
$$
t^q \;{\rm meas}(\{\x\in Q : |v(\x)| > t\})\leq \|v\|^q_{q,\infty,Q}.
$$

\section{Предположения и формулировка результата}
%\setcounter{equation}{0}

{\bf Условие $P$}. Предполагается, что функции  $${\rm a}({\rm x},{\rm s})=(a_1({\rm x}, s_1),\ldots,a_n({\rm x},s_n)),\;a_i({\rm x},s_i):\Omega\times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\quad b({\rm x},s_0):\Omega\times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},$$
входящие в уравнение \eqref{ur},   каратеодориевы. Пусть существуют     положительные  числа $\widehat{a}, \overline{a}, \overline{b}$ такие, что   для почти всех $\x\in\Omega,  \; s_0, t_0\in \mathbb{R},\;\s=(s_1,s_2,\dots,s_n),\t=(t_1,t_2,\dots,t_n)\in\mathbb{R}^n,$ справедливы неравенства:

\begin{equation}\label{us12}
	0< (a_i(\x,s_i)-a_i(\x,t_i))(s_i-t_i)\leq\widehat{a}|s_i-t_i|^{p_i(\x)},\quad s_i\not=t_i,\quad i=1,\dots,n;
\end{equation}
\begin{equation}\label{us11}
	|a_i({\rm x},s_i)|\leq \widehat{a}|s_i|^{p_i({\rm x})-1},\quad i=1,\dots,n;
\end{equation}
\begin{equation}
	{\rm a}({\rm x},{\rm s})\cdot{\rm s}\geq \overline{a}\P(\x,\s);\label{us13}
\end{equation}

\begin{equation}\label{us14}
	(b(\x,s_0)-b(\x,t_0))(s_0-t_0)\geq\overline{b}|s_0-t_0|^{p_0(\x)+1},\quad p_+(\cdot)-1< p_0(\cdot);
\end{equation}
\begin{equation}\label{us15}
\quad 	b({\rm x},s_0)s_0\geq \overline{b}|s_0|^{p_0({\rm x})+1}\geq 0.
\end{equation}

Кроме того, пусть существует неотрицательная функция  $\Phi_0\in L_{1,\label{key}{\rm loc}} (\overline{\Omega})$,  непрерывная неубывающая функция $\widehat{b}:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+,$  такие, что при п.в. ${\rm x}\in\Omega,$  для всех $s_0\in \mathbb{R},$ справедливо неравенство:
\begin{equation}
	|b({\rm x},s_0)|\leq\widehat{b}(|s_0|)\Phi_0({\rm x}).\label{us16}\end{equation}
Здесь и ниже используются обозначения $\P(\x,\s)=\sum\limits_{i=1}^n|s_i|^{p_i(\x)},\;$${\rm s}=(s_1,\ldots,s_n),\;$${\rm t}=(t_1,\ldots,t_n)$.


В качестве модельного уравнения, удовлетворяющего условиям \eqref{us12}--\eqref{us16}, рассмотрим уравнение
\begin{equation}
	\label{urm} -\sum\limits_{i=1}^n(
	|u_{x_i}|^{p_i(\x)-2}u_{x_i})_{x_i}+\Phi_0|u|^{p_0(\x)-1}u=f,\quad p_i(\cdot)\leq 2,\;i=1,\dots,n,\;p_0>1.
\end{equation}


Введем обозначения: $q_0(\cdot)=\frac{\underline{p}^*(\cdot)}{\overline{p}'_-},\;\overline{p}'_-=\frac{\overline{p}_-}{\overline{p}_--1}$, $q_3(\cdot)=\frac{q_0(\cdot)}{p_+(\cdot)-1}$,  $q_{2i}(\cdot)=\frac{q_0(\cdot)}{q_0(\cdot)+1}p_i'(\cdot)$,  $q_{5i}(\cdot)=\frac{p_i(\cdot)(1+p_0(\cdot))}{1+p_0(\cdot)-p_i(\cdot)}\;i=1,\dots,n.$   Пусть выполнено дополнительное условие
\begin{equation}
	p_+(\cdot)-1< q_0(\cdot),\label{us7}
\end{equation}
которое возможно при 
\begin{equation}
	p_+(\cdot) <\underline{p}^*(\cdot).\label{us8}
\end{equation}
Тогда можно определить $q_{2+}'(\cdot)=\frac{q_0(\cdot)p_{+}(\cdot)}{q_0(\cdot)+1-p_{+}(\cdot)}$.





Определим срезку
$T_k(r)=\max(-k,\min(k,r)).$
Через ${\rm Lip}_0(\mathbb{R})$ обозначим   пространство всех  липшицевых непрерывных функции на $\mathbb{R}$, производная которых имеет компактный носитель.







%Для краткости записи введем обозначения $(L_{p(\cdot)}(Q))^{n}=\L_{p(\cdot)}(Q),\;(L_{p(\cdot),{\rm loc}}(\mathbb{R}^n))^{n}=\L_{p(\cdot),{\rm loc}}(\mathbb{R}^n).$

\begin{definition}	\label{1-loc}
	Измеримая конечная почти всюду функция
	$u:$ $\Omega\to\mathbb{R}$ называется локальным ренормализованным решением  задачи   \eqref{ur}, \eqref{gu} c $f\in L_{1,{\rm loc}} (\overline{\Omega})$, если выполняются следующие условия:
	\begin{align*}
		&a-{\rm loc})\quad T_k(u)\in
		\mathring{W}^{1}_{\overrightarrow{\rm p}(\cdot),{\rm loc}} (\overline{\Omega})\; \mbox{при любом}\; k>0;\\
		&b-{\rm loc})\quad  b({\rm x},u)\in   L_{1,{\rm loc}} (\overline{\Omega}); \\
		&c-{\rm loc})\quad |u_{x_i}|^{p_i({\rm x})-1}\in L_{q(\cdot),{\rm loc}} (\overline{\Omega}),\;1\leq q(\cdot)< q_{2i}(\cdot),\;i=1,\dots,n;
		\\
		&d-{\rm loc})\quad |u|^{p_+(\cdot)-1}\in L_{q(\cdot),{\rm loc}} (\overline{\Omega}),\;1\leq q(\cdot)< q_{3}(\cdot);
		\\
		&\mbox{для любой функции}\; h\in {\rm Lip}_0(\mathbb{R})\;
		\mbox{и любой}\;\varphi\in{W}_{r(\cdot)}^1(\Omega),\;
		r(\cdot)> q_{2+}'(\cdot), \;\mbox{с компактным}\\
		&\mbox{носителем в}\; \overline{\Omega}, \mbox{таких, что}\;\varphi h(u)\in \mathring{W}_{\overrightarrow{\rm p}(\cdot)}^1(\Omega),\; \;\mbox{справедливо тождество}
	\end{align*}
	
	\begin{gather}
		\langle (b(\x,u)-f)h(u)\varphi\rangle +\langle\a(\x,\nabla u)\cdot(\nabla u h'(u) \varphi+\nabla \varphi h(u))\rangle
		=0.\label{def_1}
	\end{gather}
\end{definition}
Здесь и ниже используется обозначение: $\langle v\rangle=\int\limits_{\Omega} v(\x)d\x.$

Пусть $u$ --- локальное  ренормализованное решение задачи  \eqref{ur}, \eqref{gu}. Для  любого $k>0$ имеем
\begin{equation}\label{3_0}\nabla T_k(u)=\chi_{\{\Omega:|u|\leq k\}}\nabla u \in  \L_{\overrightarrow{\p}(\cdot),{\rm loc}} (\overline{\Omega}).
\end{equation}
Из \eqref{3_0}, \eqref{us11}  следует, что для любого $k>0$
\begin{equation*}
	\chi_{\{\Omega:|u|\leq k\}}\a(\x,\nabla u)=\chi_{\{\Omega:|u|\leq k\}}\a(\x,\nabla T_k(u))\in
	\L_{\overrightarrow{\p}'(\cdot),{\rm loc}} (\overline{\Omega}).
\end{equation*}







\begin{definition}
	\label{2-loc}
	Измеримая конечная почти всюду функция
	$u:$ $\Omega\to\mathbb{R}$ называется локальным ренормализованным решением задачи \eqref{ur}, \eqref{gu} c $f\in L_{1,{\rm loc}}(\overline{\Omega})$, если выполняются  условия: a-{\rm loc})--d-{\rm loc}) и
	для любой функции $ w\in\mathring {W}_{\overrightarrow{\rm p}(\cdot)}^1(\Omega)\cap L_{\infty}(\Omega)$ с компактным носителем в $\overline{\Omega}$ такой, что выполнены условия 
	\begin{gather*}
		\mbox{существуют}\;k>0,\quad w^{+\infty},\;w^{-\infty}\in {W}_{r(\cdot)}^1(\Omega),\;r(\cdot)> q_{2+}'(\cdot), \nonumber\\
		\left\{\begin{array}{l}
			w=w^{+\infty}\; \mbox{почти всюду при}\; u>k,\\
			w=w^{-\infty} \;\mbox{почти всюду при}\; u<-k,
		\end{array}
		\right.
	\end{gather*}
	справедливо равенство 	
	\begin{gather}
	\langle(b({\rm x},u)-f) w+ {\rm a}({\rm x},\nabla u)\cdot\nabla w\rangle =0.\label{def_2}
	\end{gather}
\end{definition}










Эквивалентность определений 1, 2 в случае данных в виде общей меры в изотропном случае доказана в \cite{Kozh_meas}, эквивалентность определений \ref{1-loc}, \ref{2-loc} устанавливается аналогично.

Пусть $O\in \Omega,$ для $r>0$ положим $\Omega(r)=\{\x\in \Omega |\; |\x|<r\}.$



\begin{theorem}\label{teo_7} Пусть $f\in L_{1,{\rm loc}} (\overline{\Omega})$, выполнены условия $P$ и \begin{equation}\label{us17}\overline{q}_{5-}=\inf\limits_{x\in \Omega}{q}_{5-}(\cdot)=\inf\limits_{x\in \Omega}\frac{(p_0(\cdot)+1)p_{-}(\cdot)}{p_0(\cdot)+1-p_{-}(\cdot)}>n.\end{equation} Пусть 
	$u^1, u^2$ --- локальные ренормализованные решения
	задачи  \eqref{ur}, \eqref{gu}, удовлетворяющие при некотором $q'>\widehat{q}_{2+}'=\sup_{x\in \overline{\Omega}}{q}_{2+}'(\cdot)=\sup_{x\in \overline{\Omega}}\frac{q_0(\cdot)p_{+}(\cdot)}{q_0(\cdot)+1-p_{+}(\cdot)}$ условию \begin{equation}\label{us18}\|u^1-u^2\|_{q',\infty,\Omega(r)}=o(r),\quad i=1,2, \end{equation}
	тогда  $u^1=u^2$ для п.в. $\x\in \Omega$.
\end{theorem}


В отличие от  работы~\cite{BDomanska}, где для анизотропных уравнений второго порядка  с переменными показателями и правыми частями $f_i\in L_{p'_i(\cdot),\mathrm{loc}}(\Omega)$ доказана единственность без условий на бесконечности, а также от её недавнего обобщения ~\cite{BDomanska_2023} на эллиптическо-параболические уравнения высокого порядка, в нашем случае (при $f\in L_{1,\mathrm{loc}}(\overline{\Omega})$) единственность локальных ренормализованных решений требует дополнительного контроля роста разности решений: $\|u^1-u^2\|_{q',\infty,\Omega(r)}=o(r)$.

\section{Вспомогательные утверждения}
%\setcounter{equation}{0}

 Все постоянные, встречающиеся ниже в работе, положительны.
%Введем обозначения: $|\x|=\max\limits_{i=\overline{1,n}}|x_i|,\;U_l=\{\x\in \mathbb{R}^n\; : \;|\x|<r\},\;\Omega(R)=\{\x\in \Omega\; : \;|\x|<r\}.$ 
Положим $\eta_R(\varrho)=\min(1,\max(0,R+1-\varrho)),\;\varrho\in \mathbb{R}^+$.

Очевидно, из условия $d-{\rm loc})$ для измеримой функции 
$u:$ $\Omega\to\mathbb{R}$ и любого компакта $K$ следует неравенство  \begin{equation}\label{meas}
	{\rm meas}\,(\{K :| u|\geq  h\})\rightarrow 0,\quad h\to\infty.
\end{equation}









\begin{confirmation}\label{asser1}
	Пусть $u$ --- локальное ренормализованное  решение задачи \eqref{ur}, \eqref{gu}, тогда при всех $k>0, h\geq 0$ и $\phi\in C^1(\overline{\Omega}),\;\phi\geq 0,$ с компактным носителем в $\overline{\Omega}$ справедливо соотношение
	\begin{equation}\lim_{h\rightarrow \infty}\int\limits_{\{\Omega:  h\leq |u|<  h+k\}}\phi \a(\x,\nabla u)\cdot\nabla u d\x=0.\label{affir_1_0}
	\end{equation}
	
\end{confirmation}

\begin{proof}
	Рассмотрим функцию
	\begin{equation*}T_{k,h}(\varrho)=
		\begin{cases}
			0 & \mbox{ при }|\varrho|<h , \\
			\varrho-h\,{\rm sign}\, \varrho & \mbox{ при }h\leq|\varrho|< k+h, \\
			k\,{\rm sign}\, \varrho & \mbox{ при }|\varrho|\geq k+h.
		\end{cases}
	\end{equation*}
	Положив  в \eqref{def_1}  $h(u)=T_{k,h} (u), \varphi(\x)=\phi(\x)$,  будем иметь
	\begin{gather*}\int\limits_{\{\Omega : h\leq|u|<k+h\}} \phi\a(\x,\nabla u)\cdot\nabla u d\x
		+\int\limits_{\{\Omega : h\leq|u|\}} \phi b(\x, u)T_{k,h}(u)\phi  d\x+\nonumber\\+\int\limits_{\{\Omega : h\leq|u|\}}\a(\x,\nabla u)\cdot\nabla\phi T_{k,h}(u) d\x
		=\int\limits_{\{\Omega : h\leq|u|\}}T_{k,h} (u)\phi f d\x.
	\end{gather*}
	Далее, используя \eqref{us11}, \eqref{us15}, выводим
	\begin{gather*}\int\limits_{\{\Omega : h\leq|u|<k+h\}} \a(\x,\nabla u)\cdot\nabla u \phi d\x\leq
		\nonumber\\ \leq k\int\limits_{\{\Omega  :|u|\geq h\}}|f|\phi d\x+k\widehat{a}\sum_{i=1}^n\int\limits_{\{\Omega  :|u|\geq h\}}|\phi_{x_i}||u_{x_i}|^{p_i(\x)-1} 
	d\x.
	\end{gather*} 
	
	
	
	
	
	

	Учитывая принадлежность $f, |u_{x_i}|^{p_i(\x)-1}\in L_{1,{\rm loc}}(\overline{\Omega})$ и \eqref{meas}, выполняя в последнем неравенстве предельный переход при $h\rightarrow \infty$, выводим \eqref{affir_1_0}.
	

	
\end{proof}


\begin{confirmation}\label{asser2} Пусть $u$ --- локальное ренормализованное решение задачи  \eqref{ur},
	\eqref{gu},  тогда каждого  $\phi\in C^1(\overline{\Omega}),\;\phi\geq 0,$ с компактным носителем в $\overline{\Omega}$ справедливо соотношение
	\begin{equation}\label{Confir_2_}
		\lim_{k\to \infty}\frac{1}{k}\int\limits_{\{\Omega: |u|<k\}}\phi\P(\mathrm{x},\nabla u)d\mathrm{x} =0.
	\end{equation}
\end{confirmation}

\begin{proof}
	Зафиксируем $k>0$, пусть $\sigma>k$. Положим в $(\ref{def_1})$ $h(u)=\eta_{\sigma}(|u|)T_k(u),\;\varphi(\x)=\phi(\x)$, получим
	\begin{gather}
		J_1+J_2+J_3+J_4=\left\langle \mathrm{a}(\mathrm{x},\nabla u)\eta_{\sigma}(|u|)\cdot\nabla T_k(u)\phi(\x)\right\rangle+\nonumber\\+\left\langle \mathrm{a}(\mathrm{x},\nabla u)\eta'_{\sigma}(|u|){\rm sign} (u)\cdot\nabla u T_k(u)\phi(\x) \right\rangle+\left\langle \mathrm{a}(\mathrm{x},\nabla u)\eta_{\sigma}(|u|)T_k(u)\cdot\nabla\phi(\x) \right\rangle+\nonumber\\
		+\left\langle b(\mathrm{x},u) \eta_{\sigma}(|u|)T_k(u)\phi(\x)\right\rangle= \left\langle f\eta_{\sigma}(|u|)T_k(u)\phi(\x)\right\rangle.\label{Confir_6(1)}
	\end{gather}
	
	Оценим каждый интеграл. Применяя \eqref{us13}, выводим неравенство
	\begin{gather}J_1=\int\limits_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},\nabla u)\eta_{\sigma}(|u|)\cdot\nabla T_k(u)\phi(\x)d\mathrm{x}\geq\int\limits_{\{\Omega : |u|<k\}}\P(\mathrm{x},\nabla u) \phi(\x)d\mathrm{x},\label{Confir_6(2)}
		\end {gather}
		\begin{gather}
			|J_2|\leq \int\limits_{\{\Omega:\sigma\leq|u|\leq\sigma+1\}}|T_k(u)|\mathrm{a}(\mathrm{x},\nabla u)\cdot\nabla u\phi(\x) d\mathrm{x}\leq k\int\limits_{\{\Omega:\sigma\leq|u|\leq\sigma+1\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},\nabla u)\cdot\nabla u \phi(\x) d\mathrm{x}.
			\label{Confir_6(3)}\end{gather}
Используя \eqref{us11}, получаем неравенство		
		\begin{gather}
			|J_3|\leq \widehat{a}\sum_{i=1}^n\int\limits_{\Omega}|u_{x_i}|^{p_i(\x)-1}|T_k(u)||\nabla\phi(\x)|d\x.
			\label{Confir_6(3-4)}\end{gather}
		
		
	Применяя	\eqref{us15}, выводим  неравенство
		\begin{gather}
			J_4=\int\limits_{\Omega}b(\mathrm{x},u) \eta_{\sigma}(|u|)T_k(u)\phi(\x)d\mathrm{x}\geq  k\overline{b}\int\limits_{\{\Omega:|u|\geq k\}}|u|^{p_0(\x)} \eta_{\sigma}(|u|)\phi(\x)d\mathrm{x}. \label{Confir_6(4)}
		\end{gather}
		
		Соединяя \eqref{Confir_6(1)}--\eqref{Confir_6(4)},    устанавливаем неравенство
		\begin{gather*}
			k\overline{b}\int\limits_{\{\Omega:|u|\geq k\}}|u|^{p_0(\x)} \eta_{\sigma}(|u|)\phi d\mathrm{x}+\overline{a}\int\limits_{\{\Omega: |u|<k\}}\P(\mathrm{x},\nabla u) \phi d\mathrm{x} \leq\\ \leq\int\limits_{\Omega}
			\phi	|f||T_{k}(u)|d\mathrm{x}+ k\int\limits_{\{\Omega:\sigma\leq|u|<\sigma+1\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},\nabla u)\cdot\nabla u \phi  d\mathrm{x}+\\+\widehat{a}\sum_{i=1}^n\int\limits_{\Omega}|u_{x_i}|^{p_i(\x)-1}|\nabla \phi||T_k(u)|d\x.
		\end{gather*}
		
	
		
		Применяя лемму Фату, перейдем к пределу при $\sigma\rightarrow\infty$, учитывая  \eqref{meas}, \eqref{affir_1_0}, получим неравенство
		\begin{gather*}
			\overline{b}\int\limits_{\{\Omega:|u|\geq k\}}|u|^{p_0(\x)}\phi d\mathrm{x}+\frac{\overline{a}}{k}\int\limits_{\{\Omega : |u|<k\}}\P(\mathrm{x},\nabla u)\phi d\mathrm{x} \leq\\
			\leq \int\limits_{\Omega}
			\left(|f|\phi+\widehat{a}|\nabla \phi|\sum_{i=1}^n|u_{x_i}|^{p_i(\x)-1}\right)\frac{|T_{k}(u)|}{k}d\mathrm{x}.	
		\end{gather*}
		Поскольку $\frac{|T_{k}(u)|}{k}\leq 1,$ $\frac{T_{k}(u)}{k}\rightarrow 0$  п.в. в $\Omega$ при $k\rightarrow\infty$ и $|f|+\widehat{a}\sum_{i=1}^n|u_{x_i}|^{p_i(\x)-1}\in L_{1,{\rm loc}} (\overline{\Omega})$, то выполняя предельный переход в последнем неравенстве  выводим
		\eqref{Confir_2_}.
	\end{proof}
	
\section{Доказательство теоремы единственности }



\begin{proof}[Доказательство теоремы 1.]
	Положим 
	\begin{equation*}
		h_{\sigma}(\varrho)=\eta_1(|\varrho|/\sigma)=
		\begin{cases}
			0 & \mbox{ при }|\varrho|\geq 2\sigma, \\
			1 & \mbox{ при }|\varrho|\leq \sigma, \\
			\frac{2\sigma-|\varrho|}{\sigma} & \mbox{ при } \sigma<|\varrho|< 2\sigma.
		\end{cases}
	\end{equation*}
	
	Пусть $\phi\in C^1(\overline{\Omega}),\;\phi\geq 0,$ с компактным носителем в $\overline{\Omega}(r)$.  
	Запишем равенство $(\ref{def_2})$ для $u^1$ и   $u^2$ c $w=h_{\sigma}(u^1)h_{\sigma}(u^2)T_k(u^1-u^2)\phi^{\theta}\in
		\mathring W^1_{\overrightarrow{\p}(\cdot)} ({\Omega})\cap L_{\infty}(\Omega),\;$
	$\theta>0$, затем вычтем из первого второе, получим равенство
	\begin{gather}
		J_1+J_2+J_3+J_4+J_5=\left\langle \left(\a(\x,\nabla u^1)-\a(\x,\nabla u^2)\right)\cdot\nabla T_k(u^1-u^2)h_{\sigma}(u^1)h_{\sigma}(u^2)\varphi^{\theta}\right\rangle+\nonumber\\+\left\langle \left(\a(\x,\nabla u^1)-\a(\x,\nabla u^2)\right)\cdot \nabla u^1 T_k(u^1-u^2) h'_{\sigma}(u^1)h_{\sigma}(u^2)\phi^{\theta}\right\rangle+\nonumber\\
		+\left\langle \left(\a(\x,\nabla u^1)-\a(\x,\nabla u^2)\right)\cdot \nabla u^2 T_k(u^1-u^2) h_{\sigma}(u^1)h'_{\sigma}(u^2)\phi^{\theta}\right\rangle+\label{the_1}\\+\left\langle\left(b(\x,u^1)- b(\x,u^2)\right)T_k(u^1-u^2)h_{\sigma}(u^1)h_{\sigma}(u^2)\phi^{\theta}\right\rangle +\nonumber\\
		+\theta\left\langle \left(\a(\x,\nabla u^1)-\a(\x,\nabla u^2)\right)\cdot\nabla\phi\phi^{\theta -1} T_k(u^1-u^2)h_{\sigma}(u^1)h_{\sigma}(u^2)\right\rangle= 0.\nonumber
	\end{gather}
	
	
	Оценим каждый интеграл, для первого имеем:
	\begin{gather}
		J_1=\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|< k\}}\left(\a(\x,\nabla u^1)-\a(\x,\nabla u^2)\right)\cdot\nabla (u^1-u^2)h_{\sigma}(u^1)h_{\sigma}(u^2)\phi^{\theta} d\x.\label{the_2}\end{gather}
	Учитывая (\ref{us11}), выводим неравенство
	\begin{gather*}
		|J_2|\leq\frac{k}{\sigma} \sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\{\Omega:\sigma\leq|u^1|< 2\sigma,|u^2|<2\sigma\}}\left(|a_i(\x,u^1_{x_i})|+|a_i(\x, u^2_{x_i})|\right)|u^1_{x_i}|\phi^{\theta} d\x\leq\\
		\leq \frac{k\widehat{a}}{\sigma}\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\{\Omega:\sigma\leq|u^1|< 2\sigma,|u^2|< 2\sigma\}}( |u^1_{x_i}|^{p_i(\x)-1}+|u^2_{x_i}|^{p_i(\x)-1}
	)|u^1_{x_i}|\phi^{\theta}d\x.
	\end{gather*}
	Применяя  \eqref{ung}, установим неравенство
	\begin{gather*}
		|J_2|\leq\frac{3k\widehat{a}}{\sigma}\int\limits_{\{\Omega:|u^1|<2\sigma\}}\P(\x,\nabla u^1)\phi^{\theta}d\x+\frac{k\widehat{a}}{\sigma}\int\limits_{\{\Omega:|u^2|< 2\sigma\}}\P(\x,\nabla u^2)\phi^{\theta}d\x.\end{gather*}
	Благодаря \eqref{Confir_2_},
имеем
	\begin{equation}
		\lim_{\sigma\to \infty}|J_2|=0.\label{the_3}
	\end{equation}
	Аналогично устанавливается, что
	\begin{equation}
		\lim_{\sigma\to \infty}|J_3|=0.\label{the_4}
	\end{equation}
	Пользуясь условием \eqref{us14}, выводим
	\begin{equation}
		J_4\geq \overline{b} \int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|<k\}}|u^1-u^2|^{p_0(\x)+1}h_{\sigma}(u^1)h_{\sigma}(u^2)\phi^{\theta}d\x.\label{the_5}
	\end{equation}
	
	Оценим интеграл $J_5$:
	\begin{gather}
		|J_5|\leq \theta\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|<k\}} \left|a_i(\x, u^1_{x_i})-a(\x, u^2_{x_i})\right||\phi_{x_i}|\phi^{\theta -1} |u^1-u^2|h_{\sigma}(u^1)h_{\sigma}(u^2)d\x+\nonumber\\
		+ \theta k\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|\geq k\}} \left|a_i(\x, u^1_{x_i})-a_i(\x, u^2_{x_i})\right||\phi_{x_i}|\phi^{\theta -1} h_{\sigma}(u^1)h_{\sigma}(u^2)d\x=J_{51}+J_{52}.\label{the_6}\end{gather}
	
	
	Применяя последовательно неравенства \eqref{ung}, \eqref{us12},  выводим
	\begin{gather}
		J_{51}\leq \varepsilon\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|<k\}}\phi^{\theta }h_{\sigma}(u^1)h_{\sigma}(u^2)\left|a_i(\x, u^1_{x_i})-a(\x, u^2_{x_i})\right|^{p'_i(\x)}d\x+\nonumber\\
		+C_1(\varepsilon)\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|<k\}}\phi^{\theta }h_{\sigma}(u^1)h_{\sigma}(u^2)|u^1-u^2|^{p_i(\x)}\left(\frac{|\phi_{x_i}|}{\phi}\right)^{p_i(\x)}d\x\leq \nonumber\\
		\leq\varepsilon\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|<k\}}\phi^{\theta }h_{\sigma}(u^1)h_{\sigma}(u^2)\left|a_i(\x, u^1_{x_i})-a_i(\x, u^2_{x_i})\right|\left| u^1_{x_i}-u^2_{x_i}\right|d\x+\nonumber\\
		+\varepsilon\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|<k\}}\phi^{\theta }h_{\sigma}(u^1)h_{\sigma}(u^2)|u^1-u^2|^{p_0(\x)+1}d\x+\label{the_7}\\+C_2(\varepsilon)\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\Omega}\phi^{\theta}\left(\frac{|\nabla \phi|}{\phi}\right)^{\frac{p_i(\x)(p_0(\x)+1)}{p_0(\x)+1-p_i(\x)}}d\x.\nonumber
	\end{gather}
	
	
	Применяя последовательно неравенства \eqref{us15}, \eqref{ung}, \eqref{us11},  для $q>1$ получаем
	\begin{gather}
		J_{52}\leq\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|\geq k\}}\theta\left| u^1_{x_i}-u^2_{x_i}\right|^{(p_i(\x)-1)q}\phi^{\theta} d\x+\nonumber\\
		+\theta\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|\geq k\}}\phi^{\theta}
		k^{q'}\left(\frac{|\phi_{x_i}|}{\phi}\right)^{q'}d\x\leq\nonumber\\ \leq C_3\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|\geq k\}}\left(| u^1_{x_i}|^{(p_i(\x)-1)q}+|u^2_{x_i}|^{(p_i(\x)-1)q}\right)\phi^{\theta} d\x+\label{the_8}\\
		+n\theta\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|\geq k\}}\phi^{\theta}
		k^{q'}\left(\frac{|\nabla \phi|}{\phi}\right)^{q'}d\x.\nonumber
	\end{gather}
	
 Ввиду справедливости вложения $$\{\Omega(r):|u^1-u^2|>k\}\subset\{\Omega(r):|u^1|>k\}\cup\{\Omega(r):|u^2|>k\},$$ применяя \eqref{meas}, при фиксированном $r>0$ устанавливаем соотношение 
	\begin{gather}{\rm meas} (\{\Omega(r):|u^1-u^2|>k\})\to 0,\quad k\to \infty.\label{the_89}	\end{gather}
	Возьмем $q'>\widehat{q}_{2+}',$ тогда $q<q_{2i}(\cdot)$. Тогда, применяя \eqref{the_89} и 
 условие $c-{\rm loc})$, имеем
	\begin{equation}
		\lim_{k\to \infty}\sum\limits_{i=1}^n
		\int\limits_{\{\Omega(r):|u^1-u^2|\geq k\}}\sum\limits_{j=1}^2 |u^j_{x_i}|^{(p_i(\x)-1)q}d\x=0.\label{the_9}
	\end{equation}
	
	Соединяя \eqref{the_1}, \eqref{the_2}, \eqref{the_5}-\eqref{the_8}, выбирая $\varepsilon\leq \min(1, \overline{b})/2$,  переходя к пределу  при $\sigma\to\infty$, пользуясь  \eqref{the_3}, \eqref{the_4}, устанавливаем неравенство
	\begin{gather}
		\frac{\overline{b}}{2}\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|<k\}}|u^1-u^2|^{p_0(\x)+1}\phi^{\theta}d\x+\nonumber\\
		+\frac{1}{2}\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|< k\}}\left(\a(\x,\nabla u^1)-\a(\x,\nabla u^2)\right)\cdot\nabla (u^1-u^2)\phi^{\theta}d\x\leq\nonumber\\ \leq C_3\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|\geq k\}}\left(| u^1_{x_i}|^{(p_i(\x)-1)q}+|u^2_{x_i}|^{(p_i(\x)-1)q}\right)\phi^{\theta} d\x+\nonumber\\+
		n\theta\int\limits_{\{\Omega:|u^1-u^2|\geq k\}}\phi^{\theta}
		k^{q'}\left(\frac{|\nabla \phi|}{\phi}\right)^{q'}d\x +C_2\int\limits_{\Omega}\phi^{\theta}\left(\frac{|\nabla \phi|}{\phi}\right)^{q_{5i}(\x)}d\x.\label{the_10}
	\end{gather}
	
	
	
	Пусть $r_0>1$ --- произвольное положительное число. Зафиксируем $r>r_0$, рассмотрим срезающую функцию $\zeta_r(\x)=\frac{1}{r}(r^2-|\x|^2)$ для $|\x|<r$, $\zeta_r(\x)=0$ для $|\x|\geq r$. Очевидно, $\zeta_r(\x)\geq r-r_0$ при $|\x|\leq r_0$, $|\nabla\zeta_r|\leq 2$. Впервые такая функция была введена Х. Брезисом  в \cite{Brezis}.
	
	Полагая в неравенстве \eqref{the_10}  $\phi=\zeta_r|_{\Omega}$ и $\theta>\max\{{q}',\widehat{q}_{5+}\}$,  применяя \eqref{us12}, получаем неравенство
	
	\begin{gather*}
		\left(\frac{r-r_0}{r}\right)^{\theta}\int\limits_{\{\Omega(r_0):|u^1-u^2|<k\}}|u^1-u^2|^{p_0(\x)+1}d\x
		\leq\nonumber\\ \leq C_4\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\{\Omega(r):|u^1-u^2|\geq k\}}\left(| u^1_{x_i}|^{(p_i(\x)-1)q}+|u^2_{x_i}|^{(p_i(\x)-1)q}\right) d\x+\\+C_5\int\limits_{\{\Omega(r):|u^1-u^2|\geq k\}}
		\left(\frac{k}{r}\right)^{q'}d\x+C_6r^{n-\overline{q}_{5-}}\leq\\ \leq C_4\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{\{\Omega(r):|u^1-u^2|\geq k\}}\left(| u^1_{x_i}|^{(p_i(\x)-1)q}+|u^2_{x_i}|^{(p_i(\x)-1)q}\right) d\x+\\+C_5\|u^1-u^2\|^{q'}_{q',\infty,\Omega(r)}r^{-q'}
		+C_6r^{n-\overline{q}_{5-}}.
	\end{gather*}
	Переходя к пределу сначала при $k\to \infty$, затем при $r\to \infty$, пользуясь соотношением \eqref{the_9} и условиями  \eqref{us17}, \eqref{us16},    устанавливаем равенство 
	$$
	\int\limits_{\Omega(r_0)}|u^1-u^2|^{p_0(\x)+1}d\x=0
	$$
	из которого, ввиду произвольности $r_0$ следует, что $u^1=u^2$ п.в. в $\Omega$.
	
	
\end{proof}
\section{Анализ результатов}

Проанализируем условия теоремы 1 на совместность. Рассмотрим изотропный случай с постоянными показателями: $p_i(\x)=p,\; i=\overline{1,n},$ $p\in(1,n),$ $p_0(\x)=p_0,\;p_0+1>p$. Условия \eqref{us7}, \eqref{us8} выполняются автоматически.  Для модельного уравнения \eqref{urm} условия \eqref{us12}, \eqref{us14} справедливы при $p\in(1,2)$ и $p_0\geq 1$. А условие \eqref{us17} принимает вид: $p_0+1<\frac{np}{n-p}$. 

На рисунках 1,2 изображено множество показателей $(p,p_0+1)$, удовлетворяющих перечисленным условиям при $n=2$ и $n>2$, соответственно. 

\begin{figure}[h]
	\centering
	% Вставьте здесь свой рисунок, например:
	\includegraphics[width=0.7\textwidth]{1.png}
	\caption{}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
	\centering
	% Вставьте здесь свой рисунок, например:
	\includegraphics[width=0.7\textwidth]{2.png}
	\caption{}
\end{figure}

Таким образом, множество рассматриваемых показателей не пусто и при $n=2$ является наиболее широким. 

Условие \eqref{us18} возникает именно для локальных ренормализованных решений в неограниченных  областях и связано с необходимостью контролировать поведение разности на бесконечности. В отличие от глобальных ренормализованных решений или локальных слабых решений, здесь оно неизбежно. В статье не  утверждается, что все построенные ранее локальные ренормализованные решения ему удовлетворяют; теорема выделяет подкласс решений, в котором единственность имеет место. Вопрос о том, выполнено ли \eqref{us18} для решений, построенных в \cite{Kozhe_2025_JMS}-\cite{Kozhe_2025_LJM}, остаётся открытым и требует дальнейшего исследования. 

В отличие от работы~\cite{Kozhe_2020}, где для анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями и правой частью $\mu = f+f_0$ с $f\in L_1(\Omega)$, $f_0\in L_{p_0'(\cdot)}(\Omega)$ доказана единственность энтропийных и ренормализованных решений без условий на бесконечности, в настоящей статье правая часть предполагается лишь локально суммируемой ($f\in L_{1,\mathrm{loc}}(\Omega)$). В этой более общей ситуации единственность локальных ренормализованных решений требует дополнительного контроля роста разности решений: $\|u^1-u^2\|_{q',\infty,\Omega(r)} = o(r)$ при $r\to\infty$. Таким образом, полученный результат дополняет~\cite{Kozhe_2020}, распространяя его на более слабый класс правых частей ценой появления естественного условия на рост.



Заметим, что теорема 1 справедлива и для $\Omega=\mathbb{R}^n$, $n\geq 2$, при этом граничное  условие \eqref{gu} опускается. 
Из условия \eqref{us18} теоремы~1 имеем:
\[
\|u^1-u^2\|_{q',\infty,B(r)} = o(r),\qquad B(r)=\{x\in\mathbb{R}^n:|x|<r\},
\]
где $q'>q'_{2+}$, а $q'_{2+}>n$ в силу свойств показателей. Предположим, что разность решений допускает поточечную оценку
\[
|u^1(x)-u^2(x)|\le C\,|x|^{\alpha},\quad \alpha\ge 0,\quad |x|\to\infty.
\]
Тогда для шара $B(r)$ справедливо неравенство
\[
\|u^1-u^2\|_{q',\infty,B(r)}\le C_1 r^{\alpha+n/q'}.
\]
Для выполнения условия \eqref{us18} достаточно, чтобы 
\[
\alpha+\frac{n}{q'}<1\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha<1-\frac{n}{q'}.
\]
Поскольку число $q'$ может быть выбрано произвольно, но фиксировано, и $q'>q'_{2+}$, наиболее сильное ограничение возникает при $q'\to q'_{2+}$:
\[
\alpha<1-\frac{n}{q'_{2+}}.
\]
 В частности, для решений с поточечной оценкой $|u^i(x)|\le C|x|^{\alpha_i}$ условие \eqref{us18} выполняется, если
\[
\alpha:=\max(\alpha_1,\alpha_2) < 1-\frac{n}{q'_{2+}}.
\]
При $\alpha\ge 1-n/q'_{2+}$ условие \eqref{us18} может не выполняться, и тогда теорема~1 не даёт заключения о единственности.


	


	

	\begin{example}
		Рассмотрим $\Omega = \mathbb{R}^3$ ($n=3$) и уравнение
		\[
		-\sum_{i=1}^{3}\bigl(|u_{x_i}|^{p_i-2}u_{x_i}\bigr)_{x_i} + |u|^{p_0-1}u = f(x),
		\]
		с постоянными показателями
		\[
		p_1 = \frac{4}{3},\qquad p_2 = \frac{3}{2},\qquad p_3 = \frac{5}{3},\qquad p_0 = \frac{6}{5},
		\]
		и правой частью $f\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3)$.
			\end{example}
		\medskip
{\it Проверка условий теоремы 1:}
			
	\begin{enumerate}
		\item[1°.]	{Условия Р \eqref{us12}-\eqref{us16}.  
		Для $a_i(s)=|s|^{p_i-2}s$ и $b(u)=|u|^{p_0-1}u$  все неравенства выполняются с подходящими константами.}
		
		\item[2°.]{Геометрическое среднее и соболевский показатель.
		\[
		\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{p_i}= \frac{3}{4}+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}=  \frac{121}{60},
		\]
		\[
		\underline{p} = n\Bigl(\sum\frac{1}{p_i}\Bigr)^{-1}= \frac{180}{121},
		\]
		\[
		\underline{p}^* = \frac{n\underline{p}}{n-\underline{p}}= \frac{3\cdot\frac{180}{121}}{3-\frac{180}{121}}= \frac{180}{61}.
		\]}
	
		
	
		
		
		\item[3°.]{ Условия \eqref{us7}, \eqref{us8}.
		\[
		p_- = \min(p_1,p_2,p_3)=\frac{4}{3},\qquad 
		p_-' = \frac{p_-}{p_--1}= \frac{4/3}{1/3}=4,
		\]
		\[
		q_0 = \frac{\underline{p}^*}{p_-'} = \frac{180/61}{4}= \frac{45}{61}.
		\]
		\[
		p_+ = \max(p_i)=\frac{5}{3},\quad p_+-1 = \frac{2}{3},\qquad 
		\frac{2}{3} = \frac{122}{183},\quad q_0=\frac{45}{61}=\frac{135}{183},
		\]
		\[
		p_+-1 < q_0\quad\text{– \eqref{us7} выполнено}.
		\]
		\[
		p_+ = \frac{5}{3} < \underline{p}^* = \frac{180}{61}\quad\text{– \eqref{us8} выполнено}.
		\]}
		
	\item[4°.]{ Условие \eqref{us17}.
		\[
		\bar q_{5-} = \frac{(p_0+1)p_-}{p_0+1-p_-}= \frac{\left(\frac{6}{5}+1\right)\cdot\frac{4}{3}}{\frac{6}{5}+1-\frac{4}{3}} =\frac{44}{13} > 3.
		\]}
		
			\item[5°.]{ Условие \eqref{us18} (оценка роста разности).
		Вычислим $q_{2+}'$:
		\[
		q_{2+}'= \frac{q_0\,p_+}{q_0+1-p_+}= \frac{\frac{45}{61}\cdot\frac{5}{3}}{\frac{45}{61}+1-\frac{5}{3}}
		= \frac{225}{13}.
		\]
Положим, например, $q' = 18$. Так как $18 > \dfrac{225}{13}$, условие $q'>q'_{2+}$ выполнено.  
	Пусть $u^1$, $u^2$ — два локальных ренормализованных решения, для которых разность $v=u^1-u^2$ при $|x|\to\infty$ удовлетворяет поточечной оценке $|v(x)|\le C|x|^{\alpha}$ с $\alpha < \dfrac{5}{6}$. Тогда для любого $r>0$
	\[
	\|v\|_{q',\infty,\Omega(r)} \le C_1 r^{\alpha + 3/q'} = C_1 r^{\alpha + 1/6}.
	\]
	Поскольку $\alpha + 1/6 < 1$, получаем $\|v\|_{q',\infty,\Omega(r)} = o(r)$. Следовательно, условие \eqref{us18} выполнено для этого $q'$.}
	\end{enumerate}
		\medskip
		Все условия теоремы~1 выполнены. 	Таким образом, для любой пары решений с указанным ограничением на рост разности теорема 1 гарантирует $u^1=u^2$. Следовательно, для данного уравнения локальное ренормализованное решение единственно в классе функций, удовлетворяющих \eqref{us18}. Приведённый пример демонстрирует, что при $n=3$ существует непустое множество точных рациональных показателей, для которых теорема применима.




	

\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).
	
  	
	

	
	
	\bibitem{BV} 
M.F. Bidaut-V\'{e}ron, 
{\it  Removable singularities and existence for a quasilinear equation 	with absorption or source term and measure data}, 
  Adv. Nonlinear 	Stud., {\bf 3} (2003),   25--63.  
	doi/10.1515/ans-2003-0102/html
	
%	\bibitem{Veron}
%	 L. V\'{e}ron, {\it Local and global aspects of quasilinear degenerate elliptic equations. Quasilinear
%	elliptic singular problems}, 	 
%	 World Sci. Publ., Hackensack,  2017. https://doi.org/10.1142/9850




	

\bibitem{Kozhe_2020}
L.M. Kozhevnikova, {\it Equivalence of Entropy and Renormalized Solutions of Anisotropic Elliptic Problem in Unbounded Domains with Measure Data},  Russian Mathematics, {\bf 64}:1 (2020),  25-39. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X20010041

\bibitem{Kozhe_2021}
L.M. Kozhevnikova, {\it  On Entropy Solutions of Anisotropic Elliptic Equations with Variable Nonlinearity Indices in Unbounded Domains}, Journal of Mathematical Sciences (United States), {\bf 253}:5 (2021), 692–709. DOI 10.1007/s10958-021-05262-0

\bibitem{Mukminov_2017}	F.Kh. Mukminov,  {\it Uniqueness of the renormalized solution of an elliptic-parabolic problem in anisotropic Sobolev-Orlicz spaces},  Sbornik: Mathematics, {\bf 208}:8 (2017), 1187-1206. DOI: https://doi.org/10.1070/SM8691

\bibitem{Kozhe_2025_JMS} L.M. Kozhevnikova,  {\it Local renormalized solutions to elliptic equations with variable exponents in an unbounded domain}, J. Math. Sci., {\bf 293}:4 (2025),  555--576. https://doi.org/10.1007/s10958-025-08025-3

\bibitem{Kozhe_2025_VMJ} L.M. Kozhevnikova, {\it Existence of a local renormalized solution of an elliptic equation with variable exponents in Rn}, Vladikavkaz Mathematical Journal, {\bf 27}:2 (2025),  52–71.  https://doi.org/10.46698/j2148-7740-8991-e

\bibitem{Kozhe_2025_LJM} L.M. Kozhevnikova,  {\it Local Renormalized Solution of Anisotropic Elliptic Equation with Variable Exponents in Nonlinearities in $R^n$}, Lobachevskii J. Math, {\bf 46}:7 (2025), 3162–3181. https://doi.org/10.1134/S199508022560863X 


\bibitem{DHHHR}
L.~Diening, P.~Harjulehto, P.~H\"{a}st\"{o}, M.~Ru{z}i{c}ka,
{\it Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents},
Heidelberg  Springer, Berlin, 2011. MR2790542




\bibitem{Jikov}
  V.V. Zhikov, {\it On variational problems and nonlinear elliptic equations with nonstandard growth conditions}, J. Math. Sci., {\bf 173} (2011), 463–570.
   https://doi.org/10.1007/s10958-011-0260-7
 
 

\bibitem{Fan}
X. Fan, {\it Anisotropic variable exponent Sobolev spaces and $p(x)$-Laplacian equations},  
Complex Variables and Elliptic Equations,  
{\bf 56:} 7-9 (2011), 
623--642. DOI: 10.1080/1747693100728412.

\bibitem{Kozh_meas}
L.M. Kozhevnikova, {\it Renormalized solutions of elliptic equations with variable exponents and general measure data}, Sb. Math., {\bf 211:}12 (2020), 1737–1776. 
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9371

\bibitem{BDomanska} M. Bokalo, O. Domanska, {\it  On well-posedness of boundary problems for elliptic
equations in general anisotropic Lebesgue-Sobolev spaces},  Mathematychni
Studii, {\bf 28:}1 (2007), 77--91. DOI:10.30970/ms.28.1.77-91


\bibitem{BDomanska_2023} M.M. Bokalo,  O.V. Domanska,  {\it Initial-boundary value problem for higher-orders nonlinear elliptic-parabolic equations with variable exponents of the nonlinearity in unbounded domains without conditions at infinity}, Matematychni Studii, {\bf 59:}1 (2023), 86--105. https://doi.org/10.30970/ms.59.1.86-105

\bibitem{Brezis}
 H. Brezis,  {\it 
 Semilinear equations in $R^N$ without condition at infinity},  
   Appl. Math. Optim., 
{\bf 12} (1984), 271--282.  https://doi.org/10.1007/BF01449045







 









%\bibitem{Diening}
% L.~Diening, P.~Harjulehto, P.~H\"{a}st\"{o}, M.~Ru{z}i{c}ka,
%{\it Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents},
%  Heidelberg  Springer, Berlin, 2011. MR2790542











\end{thebibliography}
\end{document}
