\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{517.958} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{76T30} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{1}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 22, № 2, стр. 100--100 (2025) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2025.22.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Многокомпонентная вязкая несжимаемая жидкость]{\large Разрешимость нестационарных уравнений трехмерного движения многокомпонентной вязкой несжимаемой жидкости}
\author[Д.А. ЗАКОРА, Д.А. ПРОКУДИН
]{{\bf \large \textsc{Д.А. Закора}}\protect\orcidicon{0000-0002-6084-1114},	
	{\bf \large \textsc{Д.А. Прокудин}}\protect\orcidicon{0000-0003-3833-0390},	
	\\ \\
\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%

\address{Dmitry Alexandrovich Zakora
	\newline\hphantom{iii} Voronezh State University,
	\newline\hphantom{iii} 1, Universitetskaya Ploshchad',
	\newline\hphantom{iii} 394018, Voronezh, Russia}
\email{\textcolor{blue}{dmitry.zkr@gmail.com}}
\address{Dmitry Alexeyevich Prokudin
	\newline\hphantom{iii} Lavrentyev Institute of Hydrodynamics of the Siberian Branch of the
	\newline\hphantom{iii} Russian Academy of Sciences,
	\newline\hphantom{iii} 15, pr. Lavrent'eva,
	\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}
\email{\textcolor{blue}{prokudin@hydro.nsc.ru}}%


\thanks{\sc Zakora, D.A., Prokudin, D.A.,
Solvability of non-sta\-ti\-ona\-ry equations of three-dimensional motion of a multicomponent viscous incompressible fluid}
\thanks{\copyright \ 2025 Закора Д.А., Прокудин Д.А.}
\thanks{\rm Исследование выполнено за счет гранта РНФ №~25-11-00056}
\thanks{\it Поступила 30 октября 2025 г., опубликована 31 декабря 2025 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} An initial-boundary value problem for three-dimen\-sio\-nal equations of the dynamics of incompressible multicomponent media is considered. A local existence and uniqueness theorem for a time-strong solution is proved without restrictions on the structure of the viscosity matrix, except for the standard properties of symmetry and positivity.
%Рассматривается начально-краевая задача для трёхмерных уравнений динамики несжимаемых многокомпонентных сред. Доказана локальная теорема существования и единственности сильного по времени решения без ограничений на структуру матрицы вязкости, за исключением стандартных свойств симметрии и положительности.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} mixture of viscous fluids, incompressible viscous fluid, initial-boundary value problem, existence and uniqueness theorem.
%смесь вязких жидкостей, несжимаемая вязкая жидкость, начально-краевая задача, теорема существования и единственности.
\end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}

Приведём постановку нелинейной задачи, описывающей баротропное движение многокомпонентной вязкой сжимаемой жидкости. В работе изучается случай несжимаемых компонент смеси.

Пусть ограниченная область ${\Omega\subset\mathbb R^3}$ с $C^2$-гладкой границей $\partial\Omega$ заполнена гомогенной смесью нескольких вязких сжимаемых жидкостей. Обозначим через ${\bf{n}}$ единичный вектор, нормальный к границе $\partial\Omega$ и направленный вне области $\Omega$. Баротропное движение смеси ${n\geqslant 2}$ вязких сжимаемых жидкостей описывается следующей системой уравнений:
\begin{equation}\label{zak_prok_semr_1}
	\begin{split}
		\rho_i\frac{\partial{\bf u}_i}{\partial t}&+ \rho_i({\bf u}_i\cdot\nabla){\bf u}_i= {\rm div}\,{\bf T}_i+\sum_{j=1}^n a_{ij}({\bf{u}}_j-{\bf{u}}_i)+ \rho_i{\bf{f}}_i,\\
		\frac{\partial \rho_i}{\partial t}&+ {\rm div}(\rho_i{\bf{u}}_i)=0,\quad (t, \boldsymbol{x})\in[0,T]\times\Omega,\quad i=1,\ldots,n,
	\end{split}
\end{equation}
где ${{\bf{u}}_i={\bf{u}}_i(t,\boldsymbol{x})=\big(u_{i1}(t,\boldsymbol{x});u_{i2}(t,\boldsymbol{x});u_{i3}(t,\boldsymbol{x})\big)^{\intercal}}$ ${(\boldsymbol{x}=(x_1;x_2;x_3)\in\Omega)}$~--- поле скоростей $i$\nobreakdash-\hspace{0pt}й компоненты смеси (символом $\intercal$ обозначена операция транспонирования), ${\rho_i=\rho_i(t,\boldsymbol{x})}$~--- плотность, ${a_{ij}=a_{ji}\geqslant0}$~--- коэффициенты, отвечающие за интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси, ${{\bf f}_i={\bf f}_i(t,\boldsymbol{x})}$~--- известные поля внешних массовых сил. Тензоры напряжений ${\bf T}_i$ и тензоры вязких напряжений ${\bf S}_i$ определяются равенствами\footnote{$\;$Для векторного поля ${{\bf{u}}=(u_1;u_2;u_3)^{\intercal}}$ определим набор коэффициентов ${\displaystyle e_{lk}({\bf{u}}):=\frac{1}{2}\bigg(\frac{\partial u_l}{\partial x_k}+\frac{\partial u_k}{\partial x_l}\bigg)}$  ${(l,k=1,2,3)}$ тензора скоростей деформаций $e({\bf{u}})$. Через ${\displaystyle {\rm tr\,}e({\bf{u}}):=\sum_{s=1}^3e_{ss}({\bf{u}})\equiv{\rm div}{\bf u}}$ обозначим след матрицы $e({\bf{u}})$.}:
\begin{equation*}
	{\bf T}_i:=-p_i {\bf I}_3+{\bf S}_i,\quad {\bf S}_i:=\sum_{j=1}^n \big(\lambda_{ij} {\rm tr\,}e({\bf{u}}) {\bf I}_3+2\mu_{ij} e({\bf{u}})\big),
\end{equation*}
где ${p_i=p_i(t,\boldsymbol{x})}$~--- давление в $i$\nobreakdash-\hspace{0pt}й компоненте смеси, ${\bf I}_3$~--- единичная матрица в $\mathbb R^3$, $\mu_{ij}$, $\lambda_{ij}$~--- компоненты матриц вязкостей ${{\bf M}:=\{\mu_{ij}\}_{i,j=1}^n}$, ${{\bf \Lambda}:=\{\lambda_{ij}\}_{i,j=1}^n}$. Матрицы вязкостей подчинены следующим условиям:
\begin{equation*}
	{\bf M}>0,\quad 2{\bf M}+3{\bf \Lambda}\geqslant0.
\end{equation*}

Давление и плотность в каждой компоненте смеси обычно связаны некоторым уравнением состояния, а система~\eqref{zak_prok_semr_1} рассматривается с классическими граничными условиями прилипания, либо с условиями непротекания и нулевыми касательными напряжениями. 

Система уравнений~\eqref{zak_prok_semr_1}~---  один из многих вариантов описания движения многокомпонентных жидкостных смесей и моделирует движения гомогенной смеси вязких сжимаемых жидкостей, многоскоростная модель (подробности см. в~\cite{b-Nigmatulin-1987, b-Rajagopal-1995, a-Mamontov-Prokudin-2013, a-Mamontov-Prokudin-2018}). В частности, это означает, что в каждой точке пространства присутствуют все компоненты смеси, которые находятся в одной фазе, но имеют каждая свою локальную скорость движения; взаимодействие между компонентами осуществляется через обмен импульсом и вязкое трение. При этом учёт межкомпонентного вязкого трения посредством рассмотрения недиагональных матриц вязкостей ${\bf M}$ и ${\bf \Lambda}$ во многом определяет специфику исследуемой модели динамики смесей. Если матрицы вязкостей диагональны и в~\eqref{zak_prok_semr_1} все ${a_{ij}=0}$, то мы будем иметь дело с $n$ независимыми системами уравнений Навье--Стокса для каждой компоненты.

Математическое исследование многоскоростных моделей движения многокомпонентных сред c недиагональными матрицами вязкостей началось относительно недавно. Одной из первых работ, в которой были получены результаты о разрешимости в многомерном случае, является работа J.",Frehse, S.",Goj и J.",M\'{a}lek~\cite{dis.frehsesiam}. В упомянутой работе доказана разрешимость задачи Коши для системы без конвективных членов в случае общей зависимости давлений от плотностей компонент. В~\cite{dis.frehseAM} этими же авторами получен результат о единственности слабых решений задачи Коши при дополнительных предположениях, что массовые силы и члены, учитывающие обмен импульсом между различными компонентами равны нулю. В работе J.",Frehse и W.",Weigant~\cite{dis.frehseweig} доказано существование и единственность классического решения краевой задачи для квазистационарной системы без конвективных слагаемых со специальными граничными условиями. Результаты о существовании решений с учетом конвективных слагаемых получены А.Е.",Мамонтовым и Д.А.",Прокудиным для многоскоростной модели в~\cite{a-Mamontov-Prokudin-2018, a-Mamontov-Prokudin-2016}.  Спектральный
анализ некоторых линейных моделей сжимаемых вязких многокомпонентных сред проведен в~\cite{a-Zakora-2023-1, a-Zakora-2023-2, a-Zakora-2024-1}.


Цель данной работы~--- обоснование разрешимости ранее не исследованной начально-краевой задачи о движениях смеси вязких несжимаемых жидкостей. Основные результаты изложены в теореме~\ref{zak_prok_semr_th1}.



\section{Постановка задачи и основной результат}

Будем считать, что компоненты смеси~--- несжимаемые однородные жидкости с плотностями ${\rho_i(t,\boldsymbol{x})=\rho_i={\rm const}_{i}>0}$. В этом случае система~\eqref{zak_prok_semr_1}, граничные условия прилипания и начальные условия примут следующий вид:
\begin{align}
	&\frac{\partial {\bf{u}}_i}{\partial t}+ ({\bf u}_i\cdot\nabla){\bf u}_i= -\frac{1}{\rho_i}\,\nabla p_i+ \frac{1}{\rho_i}\sum_{j=1}^n \mu_{ij}\Delta{\bf{u}}_j+\frac{1}{\rho_i}\sum_{j=1}^n a_{ij}({\bf{u}}_j-{\bf{u}}_i)+{\bf{f}}_i,\nonumber\\
	&\quad {\rm div}{\bf{u}}_i=0,\;\; (t,\boldsymbol{x})\in[0,T]\times\Omega,\qquad {\bf{u}}_i={\bf{0}},\;\; (t,\boldsymbol{x})\in[0,T]\times\partial\Omega, \label{zak_prok_semr_2}\\
	&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad {\bf{u}}_i(0,\boldsymbol{x})={\bf{u}}_i^0(\boldsymbol{x}),\quad i=1,\ldots,n.\nonumber
\end{align}
Здесь ${\mu_{ij}}$~--- коэффициенты вязкостей, ${a_{ij}=a_{ji}\geqslant0}$~--- коэффициенты, отвечающие за интенсивность обмена импульсами между компонентами, ${T>0}$. Матрица ${{\bf M}:=\{\mu_{ij}\}_{i,j=1}^n}$, называемая матрицей вязкостей, является симметричной и положительной: ${{\bf M}>0}$.
\begin{definition}\label{zak_prok_semr_d1}
	Поля ${{\bf u}_i\in C^1([0,T];{\bf L}_2(\Omega))\cap C([0,T];{\bf W}_2^2(\Omega))}$ и функции ${p_i\in  C([0,T]; W_2^1(\Omega))}$ (${i=1,\ldots,n}$), называются решением на\-чально-краевой задачи~\eqref{zak_prok_semr_2}, если в~\eqref{zak_prok_semr_2} выполнены начальные условия, выполнены уравнения и граничные условия при всех ${t\in[0,T]}$ и при п.в. ${\boldsymbol{x}}$.
\end{definition}

Обозначим ${{\bf J}_0^1(\Omega):=\{{\bf u}\in {\bf W}_2^1(\Omega): {\rm div}{\bf u}=0\; (\boldsymbol{x}\in\Omega),\;\; {\bf u}={\bf 0}\; (\boldsymbol{x}\in\partial\Omega)\}}$\linebreak (см., например,~\cite[гл.\,2, \S\,2, п.\,4]{b-Kopa-Krein-Ngo-1989} или~\cite[гл.\,2, \S\,2.2, п.\,2.2.4]{b-Kopa-Krein-2001}). Основное содержание работы составляет следующая теорема.
\begin{theorem}\label{zak_prok_semr_th1}
	Пусть ${{\bf u}_i^0\in{\bf W}_2^2(\Omega)\cap {\bf J}_0^1(\Omega)}$ (${i=1,\ldots,n}$), а поля ${\bf f}_i$ удовлетворяют локальному условию Гёльдера, т.е. для любого ${\tau>0}$ существуют ${K_i=K_i(\tau)>0}$, ${\kappa_i=\kappa_i(\tau)\in(0,1]}$ такие, что
	\begin{equation*}
		\|{\bf f}_i(t)-{\bf f}_i(s)\|_{{\bf L}_2(\Omega)}\leqslant K_i|t-s|^{\kappa_i}\quad \forall\;0\leqslant t, s \leqslant \tau.
	\end{equation*} 
	
	Тогда начально-краевая задача~\eqref{zak_prok_semr_2} имеет единственное решение (в смысле определения~\ref{zak_prok_semr_d1}) на некотором отрезке $[0,T]$.
\end{theorem}	


\section{Корректная разрешимость задачи~\eqref{zak_prok_semr_2}}

Исследование корректной разрешимости задачи~\eqref{zak_prok_semr_2} опирается на теорему П.Е.",Соболевского (см.~\cite[теорема\,7]{a-Sobolevsky-1961}) и аналогичные исследования уравнений однокомпонентной жидкости (см., например, \cite[гл.\,3, \S\,3.5]{b-Henry-1981}, \cite[гл\,2, \S\,15, п.\,15.19]{b-Goldstein-1985}). Задача~\eqref{zak_prok_semr_2} сначала трактуется как задача Коши для нелинейного операторного уравнения в подходящем гильбертовом пространстве, затем применяется указанная теорема.

\subsection{Операторная трактовка задачи}
Введём гильбертово пространство ${\bf L}_2 (\Omega)$ с обычным скалярным произведением и нормой
\begin{equation*}
	({\bf u}, {\bf v})_{{\bf L}_2 (\Omega)} := \int\limits_{\Omega}{\bf u}(\boldsymbol{x}) \cdot \overline{{\bf v}(\boldsymbol{x})} \, d\Omega, \quad \|{\bf u}\|^2_{{\bf L}_2 (\Omega)} = \int\limits_{\Omega} |{\bf u}(\boldsymbol{x})|^2 \, d\Omega.
\end{equation*}

Для пространства  ${\bf L}_2(\Omega)$ справедливо разложение Г.",Вейля в ортогональную сумму соленоидальных полей с нулевой нормальной составляющей на границе и потенциальных полей (см., например,~\cite[гл.\,2, \S\,1, формула\,(1.18)]{b-Kopa-Krein-Ngo-1989}):
\begin{equation*}
	{\bf L}_2 (\Omega) = {\bf J}_{0}(\Omega)\oplus{\bf G}(\Omega),
\end{equation*}
где
\begin{align*}
	{\bf J}_0 (\Omega)&:=\big\{{\bf u} \in {\bf L}_2 (\Omega): \text{div} \,{\bf u}= 0 \;\; (\boldsymbol{x}\in\Omega),\quad {\bf u}\cdot{\bf n} =0 \;\;(\boldsymbol{x}\in\partial \Omega) \big\},\\
	{\bf G}(\Omega)&:= \big\{{\bf u} \in {\bf L}_2 (\Omega): {\bf u}= \nabla p \big\}.
\end{align*}
Здесь операции дивергенции и нормальной составляющей на границе понимаются в смысле теории обобщённых функций (см.~\cite[гл.\,2, \S\,1, п.\,6]{b-Kopa-Krein-Ngo-1989}).

Будем считать далее, что поля ${\bf u}_i$, $\nabla p_i$ ($i=1,\ldots,n$) зависят от переменной $t$ и принимают значения в ${\bf L}_2(\Omega)$. Тогда ${\bf u}_i(t)\in{\bf J}_0(\Omega)$ в силу уравнений неразрывности и граничных условий из~\eqref{zak_prok_semr_2}, а ${\nabla p_i(t)\in{\bf G}(\Omega)}$, очевидно, при каждом ${t\geqslant0}$. Введём  ортопроекторы $P_0$ и $P_G$ пространства ${\bf L}_2(\Omega)$ на подпространства ${\bf J}_0(\Omega)$ и ${\bf G}(\Omega)$ соответственно. Применяя к уравнениям импульсов из~\eqref{zak_prok_semr_2} поочерёдно ортопроекторы $P_0$ и $P_G$, получим следующие соотношения:
\begin{align}
	&\frac{d {\bf{u}}_i}{d t}+P_0 ({\bf u}_i\cdot\nabla){\bf u}_i= \frac{1}{\rho_i}\sum_{j=1}^n \mu_{ij}P_0\Delta{\bf{u}}_j+ \frac{1}{\rho_i}\sum_{j=1}^n a_{ij}({\bf{u}}_j-{\bf{u}}_i)+P_0{\bf{f}}_i(t), \label{zak_prok_semr_3}\\
	&P_G ({\bf u}_i\cdot\nabla){\bf u}_i= -\frac{1}{\rho_i}\,\nabla p_i+ \frac{1}{\rho_i}\sum_{j=1}^n \mu_{ij}P_G\Delta{\bf{u}}_j+P_G{\bf{f}}_i,\quad i=1,\ldots,n.\label{zak_prok_semr_4}
\end{align}

Из соотношений~\eqref{zak_prok_semr_4} по известным полям ${\bf u}_i$ и заданным полям ${\bf f}_i$ можно восстановить поля $\nabla p_i$ (${i=1,\ldots,n}$), поэтому далее будем изучать только соотношения~\eqref{zak_prok_semr_3}. 

Введём оператор Стокса $A$~--- расширение по Фридрихсу оператора ${-P_0\Delta}$, определённого на гладких полях из ${\bf J}_0(\Omega)$ с условием прилипания на границе $\partial\Omega$ области $\Omega$  (см., например,~\cite[гл.\,2, \S\,2, п.\,6]{b-Kopa-Krein-Ngo-1989} или~\cite[гл.\,2, \S\,2.2, п.\,2.2.5]{b-Kopa-Krein-2001}). Оператор $A$ самосопряжён и положительно определён, а его спектр дискретен. Из~\cite[гл.\,3, \S\,5, теорема\,2]{b-Ladyzhenskaya-1970} следует, что если граница ${\partial\Omega}$ класса $C^2$, то область определения оператора Стокса имеет вид ${\mathcal D(A)={\bf W}_2^2(\Omega)\cap {\bf J}_0^1(\Omega)}$.

С использованием оператора Стокса уравнения~\eqref{zak_prok_semr_3} вместе с начальными условиями из~\eqref{zak_prok_semr_2} перепишем в виде начальной задачи для системы операторных уравнений в гильбертовом пространстве ${\bf J}_0(\Omega)$:
\begin{equation}\label{zak_prok_semr_5}
	\begin{split}
	\frac{d {\bf{u}}_i}{d t}+\frac{1}{\rho_i}\sum_{j=1}^n \mu_{ij}A{\bf{u}}_j&= -P_0 ({\bf u}_i\cdot\nabla){\bf u}_i+\frac{1}{\rho_i}\sum_{j=1}^n a_{ij}({\bf{u}}_j-{\bf{u}}_i)+P_0{\bf{f}}_i(t),\\
	{\bf u}_i(0)&={\bf u}_i^0,\quad i=1,\ldots,n.
	\end{split}
\end{equation}

Введём гильбертово пространство 
\begin{align*}
	\mathcal H:=\oplus_{i=1}^{n}{\bf J}_0(\Omega)=\big\{\xi:=({\bf u}_1;\ldots;{\bf u}_n)^{\intercal}:\; {\bf u}_i\in{\bf J}_0(\Omega),\;\; i=1,\ldots,n\big\}
\end{align*}
с обычным скалярным произведением и соответствующей нормой. Введём ряд обозначений и операторов, связанных с~\eqref{zak_prok_semr_5}: 
\begin{align}
	\xi^0&:=\big({\bf u}_1^0;\ldots;{\bf u}_n^0\big)^{\intercal}\in\mathcal H,\quad \mathcal F(t):=\big(P_0{\bf f}_1(t); \ldots; P_0{\bf f}_n(t)\big)^{\intercal}\in\mathcal H,\nonumber\\
	\mathcal R\xi&:=\big\{\delta_{ij}\rho_j I\big\}_{i,j=1}^n\xi,\quad \mathcal M\xi:=\big\{\mu_{ij} I\big\}_{i,j=1}^n\xi,\quad \mathcal A\xi:=\big\{\delta_{ij} A\big\}_{i,j=1}^n\xi,\nonumber\\ 
	\mathcal S(\xi)&:=\big(P_0 ({\bf u}_1\cdot\nabla){\bf u}_1;\ldots;P_0 ({\bf u}_n\cdot\nabla){\bf u}_n\big)^{\intercal},\label{zak_prok_semr_6}\\
	\mathcal B\xi&:=\Big(-\sum_{j=1}^na_{1j}({\bf u}_j-{\bf u}_1);\ldots;-\sum_{j=1}^na_{nj}({\bf u}_j-{\bf u}_n)\Big)^{\intercal}.\nonumber
\end{align}	
Здесь $\delta_{ij}$~--- символ Кронекера, $I$~--- единичный оператор в ${{\bf J}_0(\Omega)}$, оператор $\mathcal A$ определён на естественной области определения ${\mathcal D(\mathcal A)=\oplus_{i=1}^n\mathcal D(A)}$. 

Легко видеть, что оператор $\mathcal R$ является ограниченным\footnote{$\;$Через $\mathcal L(\mathcal H_1, \mathcal H_2)$ обозначена алгебра линейных ограниченных из $\mathcal H_1$ в $\mathcal H_2$ операторов, определённых на всём пространстве $\mathcal H_1$, ${\mathcal L(\mathcal H):=\mathcal L(\mathcal H, \mathcal H)}$.}, т.е. ${\mathcal R\in\mathcal L(\mathcal H)}$, самосопряженным и положительно определённым в $\mathcal H$. Обозначим через $\mathcal H_{\mathcal R}$ энергетическое пространство оператора $\mathcal R$. Пространства $\mathcal H$ и $\mathcal H_{\mathcal R}$ поэлементно совпадают, а нормы в них эквивалентны.

Систему уравнений и начальных условий~\eqref{zak_prok_semr_5} теперь можно трактовать как задачу Коши в гильбертовом пространстве ${\mathcal H_{\mathcal R}}$:
\begin{align}
	&\frac{d\xi}{dt}+\mathcal A_0\xi=\mathcal N(t,\xi),\quad \xi(0)=\xi^0,\label{zak_prok_semr_7}\\
	\mathcal A_0:=\mathcal R^{-1}&\mathcal M\mathcal A,\quad \mathcal N(t,\xi):=-\mathcal S(\xi) -\mathcal R^{-1}\mathcal B\xi+\mathcal F(t).\label{zak_prok_semr_8}
\end{align}
\begin{definition}\label{zak_prok_semr_d2}
	Функция $\xi$ называется решением задачи Коши~\eqref{zak_prok_semr_7}, если ${\xi\in C^1([0,T];\mathcal H)}$, ${\xi(t)\in\mathcal D(\mathcal A)}$ при всех ${t\in[0,T]}$, ${\mathcal A\xi\in C([0,T];\mathcal H)}$, выполнено уравнение из~\eqref{zak_prok_semr_7} при всех ${t\in[0,T]}$ и начальное условие.
\end{definition}	

\subsection{Свойства оператора $\mathcal A_0$}
Пусть ${{\bf Q}:=\{q_{ij}\}_{i,j=1}^n}$~--- матрица, действующая в $\mathbb C^n$. Поставим ей в соответствие оператор ${\mathcal Q:=\{q_{ij} I\}_{i,j=1}^n}$, действующий в $\mathcal H$. Будем писать при этом ${\bf Q}\longleftrightarrow \mathcal Q$.
\begin{lemma}\label{zak_prok_semr_l1}
	Пусть ${{\rm det}\,{\bf Q}\ne0}$ и ${\bf Q}\longleftrightarrow \mathcal Q$. Тогда операторы $\mathcal Q\mathcal A$, $\mathcal A\mathcal Q$ замкнуты на $\mathcal D(\mathcal A)$ и ${\mathcal Q\mathcal A\xi=\mathcal A\mathcal Q\xi}$ для любых ${\xi\in\mathcal D(\mathcal A)}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
1) Покажем, что оператор  $\mathcal Q\mathcal A$ замкнут на $\mathcal D(\mathcal A)$. Оператор $\mathcal A$, в силу своей диагональной структуры, замкнут на своей естественной области определения ${\mathcal D(\mathcal A)=\oplus_{i=1}^n\mathcal D(A)}$. Очевидно, что оператор $\mathcal Q$ ограничен, то есть ${\mathcal Q\in\mathcal L(\mathcal H)}$, поскольку все коэффициенты операторной матрицы $\mathcal Q$ пропорциональны единичным операторам $I$. Из ${{\rm det}\,{\bf Q}\ne0}$ следует, что существует ${\mathcal Q^{-1}\in\mathcal L(\mathcal H)}$. Отсюда следует (см., например,~\cite[гл.\,3, \S\,5, п.\,5.2, задача\,5.7]{b-Kato-1972}), что оператор $\mathcal Q\mathcal A$ замкнут на $\mathcal D(\mathcal A)$. Действительно, пусть ${\xi_n\longrightarrow\xi}$ (${\xi_n\in\mathcal D(\mathcal Q\mathcal A)=\mathcal D(\mathcal A)}$), ${\mathcal Q\mathcal A\xi_n\longrightarrow\zeta}$. Последнее соотношение перепишем в эквивалентной форме ${\mathcal A\xi_n\longrightarrow\mathcal Q^{-1}\zeta}$. Отсюда и из замкнутости оператора $\mathcal A$ следует, что ${\xi\in\mathcal D(\mathcal A)}$ и ${\mathcal A\xi=\mathcal Q^{-1}\zeta}$ или, что то же, ${\mathcal Q\mathcal A\xi=\zeta}$.
	
2) Покажем, что оператор  $\mathcal A\mathcal Q$ замкнут на $\mathcal D(\mathcal A)$. Оператор  $\mathcal A\mathcal Q$ задан на естественной области определения ${\mathcal D(\mathcal A\mathcal Q):=\{\xi\in\mathcal H:\; \mathcal Q\xi\in\mathcal D(\mathcal A)\}}$ и замкнут на ней. Действительно, пусть ${\xi_n\longrightarrow\xi}$ (${\xi_n\in\mathcal D(\mathcal A\mathcal Q)}$), ${\mathcal A\mathcal Q\xi_n\longrightarrow\zeta}$. Учитывая ограниченность оператора $\mathcal Q$, из этих условий следует формулировка: ${\mathcal Q\xi_n\longrightarrow\mathcal Q\xi}$ (${\mathcal Q\xi_n\in\mathcal D(\mathcal A)}$), ${\mathcal A(\mathcal Q\xi_n)\longrightarrow\zeta}$. Отсюда и из замкнутости оператора $\mathcal A$ следует, что ${\mathcal Q\xi\in\mathcal D(\mathcal A)}$ (или ${\xi\in\mathcal D(\mathcal A\mathcal Q)}$) и ${\mathcal A\mathcal Q\xi=\zeta}$.
	
Покажем, что ${\mathcal D(\mathcal A\mathcal Q)=\mathcal D(\mathcal A)}$. Пусть ${\xi\in\mathcal D(\mathcal A)}$. Учитывая структуру оператора $\mathcal Q$ и то, что область определения $\mathcal D(A)$ оператора Стокса $A$ линейное множество, получим, что ${\mathcal Q\xi\in\mathcal D(\mathcal A)}$, а значит, ${\mathcal D(\mathcal A)\subset\mathcal D(\mathcal A\mathcal Q)}$. Пусть теперь ${\xi\in\mathcal D(\mathcal A\mathcal Q)}$, то есть ${\mathcal Q\xi=:\zeta\in\mathcal D(\mathcal A)}$. Тогда рассуждая как и выше, получим, что ${\xi=\mathcal Q^{-1}\zeta\in\mathcal D(\mathcal A)}$, а значит, ${\mathcal D(\mathcal A\mathcal Q)\subset\mathcal D(\mathcal A)}$.
	
3) Равенство ${\mathcal Q\mathcal A\xi=\mathcal A\mathcal Q\xi}$ для любых ${\xi\in\mathcal D(\mathcal A)}$ проверяется непосредственно.	
\end{proof}	
\begin{lemma}\label{zak_prok_semr_l2}
	Оператор ${\mathcal A_0=\mathcal R^{-1}\mathcal M\mathcal A}$ с ${\mathcal D(\mathcal A_0)=\mathcal D(\mathcal A)}$ самосопряжён и положительно определён в гильбертовом пространстве $\mathcal H_{\mathcal R}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
1) Покажем, что оператор $\mathcal M\mathcal A$ самосопряжён в $\mathcal H$. Действительно, из ${\mathcal M=\mathcal M^*\in\mathcal L(\mathcal H)}$ следует (см.~\cite[гл.\,3, \S\,5, задача\,5.26]{b-Kato-1972}), что ${(\mathcal M\mathcal A)^*\!=\!\mathcal A^*\mathcal M^*\!=\!\mathcal A\mathcal M}$ на ${\mathcal D((\mathcal M\mathcal A)^*)=\mathcal D(\mathcal A\mathcal M)}$. Из ${{\rm det}\,{\bf M}\ne0}$ и леммы~\ref{zak_prok_semr_l1} следует, что ${\mathcal A\mathcal M=\mathcal M\mathcal A}$ на $\mathcal D(\mathcal A)=\mathcal D(\mathcal M\mathcal A)=\mathcal D(\mathcal A\mathcal M)$.
	
Далее, оператор ${\mathcal R^{-1}\mathcal M\mathcal A}$ самосопряжён в энергетическом пространстве $\mathcal H_{\mathcal R}$ оператора $\mathcal R$. Действительно, учитывая ${\mathcal R=\mathcal R^*, \mathcal R^{-1}\in\mathcal L(\mathcal H)}$, имеем для любых ${\xi, \zeta\in\mathcal D(\mathcal A)=\mathcal D(\mathcal R^{-1}\mathcal M\mathcal A)}$:
\begin{align*}
	\big(\mathcal R^{-1}\mathcal M\mathcal A\xi,\zeta\big)_{\mathcal H_{\mathcal R}}&=\big(\mathcal M\mathcal A\xi,\zeta\big)_{\mathcal H}=\big(\mathcal R\xi, \mathcal R^{-1}\mathcal M\mathcal A\zeta\big)_{\mathcal H}=\big(\xi,\mathcal R^{-1}\mathcal M\mathcal A\zeta\big)_{\mathcal H_{\mathcal R}}.
\end{align*}
	
2) Покажем, что оператор ${\mathcal R^{-1}\mathcal M\mathcal A}$ положительно определён в $\mathcal H_{\mathcal R}$. 
	
Обозначим через $\lambda_j({\bf M})$, $\varphi_j({\bf M})$ (${j=1,\ldots,n}$) собственные значения и соответствующие им собственные векторы матрицы ${\bf M}$. Координаты собственных векторов можно считать действительными, а сама система $\{\varphi_j({\bf M})\}_{j=1}^n$ есть ортонормированный базис в $\mathbb C^n$, так как матрица вязкостей ${\bf M}$ положительна по условию. Обозначим через ${{\bf M}_{\varphi}={\bf M}_{\varphi}(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)}$ матрицу, столбцами которой являются собственные векторы матрицы ${\bf M}$. Тогда имеют место равенства ${{\bf M}_{\varphi}^{\intercal}={\bf M}_{\varphi}^*}$, ${{\bf M}_{\varphi}^{*}{\bf M}_{\varphi}={\bf M}_{\varphi}{\bf M}_{\varphi}^{*}={\bf I}_n}$, где ${\bf I}_n$~--- единичная матрица в $\mathbb C^n$, ${{\bf M}_{\varphi}^*{\bf M}{\bf M}_{\varphi}=\{\delta_{ij}\lambda_j({\bf M})\}_{i,j=1}^n}$. Положим ${\bf M}_{\varphi}\longleftrightarrow \mathcal M_{\varphi}$. Тогда ${\mathcal M_{\varphi}^*\mathcal M_{\varphi}=\mathcal M_{\varphi}\mathcal M_{\varphi}^*=\mathcal I}$, где ${\mathcal I}$~--- единичный оператор в $\mathcal H$, ${\mathcal M_{\varphi}^*\mathcal M \mathcal M_{\varphi}=\{\delta_{ij}\lambda_j({\bf M}) I\}_{i,j=1}^n}$. 
	
Для любого ${\xi\in\mathcal D(\mathcal A)=\mathcal D(\mathcal R^{-1}\mathcal M\mathcal A)}$ с учётом леммы~\ref{zak_prok_semr_l1} теперь имеем
\begin{align*}
	\big(\mathcal R^{-1}&\mathcal M\mathcal A\xi,\xi\big)_{\mathcal H_{\mathcal R}}=\big(\mathcal M\mathcal A\xi,\xi\big)_{\mathcal H}=(\mathcal M\mathcal A\mathcal M_{\varphi}\mathcal M_{\varphi}^*\xi,\mathcal M_{\varphi}\mathcal M_{\varphi}^*\xi)_{\mathcal H}=\\
	&=\big((\mathcal M_{\varphi}^*\mathcal M\mathcal M_{\varphi})\mathcal A\mathcal M_{\varphi}^*\xi,\mathcal M_{\varphi}^*\xi\big)_{\mathcal H}\!=\! \big(\{\delta_{ij}\lambda_j({\bf M}) A\}_{i,j=1}^n\mathcal M_{\varphi}^*\xi,\mathcal M_{\varphi}^*\xi\big)_{\mathcal H}=\\
	&\geqslant \lambda_1(A)\min_{j=1,\ldots,n}\lambda_j({\bf M})(\mathcal M_{\varphi}^*\xi,\mathcal M_{\varphi}^*\xi)_{\mathcal H}=  \lambda_1(A)\min_{j=1,\ldots,n}\lambda_j({\bf M})(\xi,\xi)_{\mathcal H}\geqslant\\
	&\geqslant \lambda_1(A)\min_{j=1,\ldots,n}\lambda_j({\bf M}) \min_{j=1,\ldots,n}\rho_j^{-1}(\mathcal R\xi,\xi)_{\mathcal H}\geqslant\\ 
	&=\lambda_1(A)\min_{j=1,\ldots,n}\lambda_j({\bf M}) \min_{j=1,\ldots,n}\rho_j^{-1}(\xi,\xi)_{\mathcal H_{\mathcal R}},
\end{align*}
а значит, оператор ${\mathcal A_0=\mathcal R^{-1}\mathcal M\mathcal A}$ положительно определён в $\mathcal H_{\mathcal R}$.
\end{proof}

\subsection{Вспомогательные предложения и разрешимость задачи~\eqref{zak_prok_semr_7}} По лемме~\ref{zak_prok_semr_l2} оператор $\mathcal A_0$ самосопряжен и положительно определён в $\mathcal H_{\mathcal R}$. Приведём формулировку теоремы П.Е.",Соболевского~\cite[теорема\,7]{a-Sobolevsky-1961} (см. также~\cite[гл.\,3, \S\,3.3, теорема\,3.3.3]{b-Henry-1981} или~\cite[гл.\,2, \S\,15, лемма\,15.23]{b-Goldstein-1985}), адаптированную к задаче~\eqref{zak_prok_semr_7}.
\begin{proposition}[см.~\cite{a-Sobolevsky-1961}, теорема\,7]\label{zak_prok_semr_p1} Пусть ${\alpha\in[0,1)}$ и ${\xi^0\in\mathcal D(\mathcal A_0^{\beta})}$ при некотором ${\beta>\alpha}$, и пусть ${\|\mathcal A_0^{\alpha}\xi^0\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}<r}$. Предположим, что для любого ${\tau>0}$ существуют ${C=C(r,\tau)>0}$ и ${\kappa=\kappa(r,\tau)\in(0,1]}$ такие, что
\begin{align}\label{zak_prok_semr_9}
	\|\mathcal N(t,\xi_1)-\mathcal N(s,\xi_1)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\leqslant C\big(|t-s|^{\kappa}+\|\mathcal A_0^{\alpha}(\xi_1-\xi_2)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\big)
\end{align}
при любых ${0\leqslant t,s\leqslant\tau}$, ${\|\mathcal A_0^{\alpha}\xi_i\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\leqslant r}$ (${i=1,2}$). Тогда задача~\eqref{zak_prok_semr_7} имеет единственное непрерывное на $[0,T]$ и непрерывно дифференцируемое на $(0,T]$ решение при некотором ${T>0}$. Если ${\xi^0\in\mathcal D(\mathcal A_0)}$, то это решение непрерывно дифференцируемо и при ${t=0}$.
\end{proposition}

Для исследования нелинейного оператора $\mathcal N(t,\cdot)$ понадобится следующее утверждение (см.~\cite[гл.\,3, $\S$\,3.8]{b-Henry-1981} или~\cite[гл.\,2, $\S$\,15, п.\,15.25]{b-Goldstein-1985}).
\begin{proposition}\label{zak_prok_semr_p2} Для любого ${3/4<\alpha<1}$ существует ${C_{\alpha}>0}$ такая, что для любых ${{\bf u}_1\in\mathcal D(A^{\alpha})}$, ${{\bf u}_2\in\mathcal D(A^{1/2})}$ имеет место оценка
\begin{equation*}
	\|P_0({\bf u}_1\cdot\nabla){\bf u}_2\|_{{\bf L}_2(\Omega)}\leqslant C_{\alpha} \|A^{\alpha}{\bf u}_1\|_{{\bf L}_2(\Omega)} \|A^{1/2}{\bf u}_2\|_{{\bf L}_2(\Omega)}.
\end{equation*}
\end{proposition}

Обозначим через ${T_{\mathcal H_{\mathcal R}\rightarrow\mathcal H}}$ оператор вложения пространства $\mathcal H_{\mathcal R}$ в $\mathcal H$, а через ${T_{\mathcal H\rightarrow\mathcal H_{\mathcal R}}}$ оператор вложения пространства $\mathcal H$ в $\mathcal H_{\mathcal R}$. Поскольку пространства $\mathcal H_{\mathcal R}$ и $\mathcal H$ поэлементно совпадают, указанные операторы ставят в соответствие элементу пространства $\mathcal H_{\mathcal R}$ или $\mathcal H$ его же, но в пространстве $\mathcal H$ или $\mathcal H_{\mathcal R}$ соответственно.
\begin{lemma}\label{zak_prok_semr_l3} Имеют место следующие оценки
\begin{align*}
	\|T_{\mathcal H_{\mathcal R}\rightarrow\mathcal H}\|_{\mathcal L(\mathcal H_{\mathcal R},\mathcal H)}\leqslant \|\mathcal R^{-1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)},\quad \|T_{\mathcal H\rightarrow\mathcal H_{\mathcal R}}\|_{\mathcal L(\mathcal H,\mathcal H_{\mathcal R})}\leqslant \|\mathcal R^{1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}.
\end{align*}	
\end{lemma}
\begin{proof} Указанные неравенства следуют из следующих элементарных оценок:
\begin{align*}
	&\|T_{\mathcal H_{\mathcal R}\rightarrow\mathcal H}\xi\|_{\mathcal H}=\|\xi\|_{\mathcal H}=\|\mathcal R^{-1/2}\mathcal R^{1/2}\xi\|_{\mathcal H}\leqslant \|\mathcal R^{-1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\|\xi\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\quad \forall\;\xi\in\mathcal H_{\mathcal R},\\ 
	&\|T_{\mathcal H\rightarrow\mathcal H_{\mathcal R}}\xi\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}=\|\xi\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}=\|\mathcal R^{1/2}\xi\|_{\mathcal H}\leqslant \|\mathcal R^{1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\|\xi\|_{\mathcal H}\quad \forall\;\xi\in\mathcal H.
\end{align*}

Лемма доказана.
\end{proof}
\begin{lemma}\label{zak_prok_semr_l4}
	Пусть ${\alpha\in[0,1]}$. Тогда ${\mathcal D(\mathcal A_0^{\alpha})=\mathcal D(\mathcal A^{\alpha})}$ и
\begin{align*}
	&\|\mathcal A^{\alpha}T_{\mathcal H_{\mathcal R}\rightarrow\mathcal H}\xi\|_{\mathcal H}\leqslant \|\mathcal R^{-1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}^{1-\alpha}\|\mathcal M^{-1}\mathcal R^{1/2}\|^{\alpha}_{\mathcal L(\mathcal H)}
	\|\mathcal A_0^{\alpha}\xi\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\quad \forall\;\xi\in\mathcal D(\mathcal A_0^{\alpha}),\\ 
	&\|\mathcal A_0^{\alpha}T_{\mathcal H\rightarrow\mathcal H_{\mathcal R}}\xi\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\leqslant \|\mathcal R^{1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}^{1-\alpha}\|\mathcal R^{-1/2}\mathcal M\|^{\alpha}_{\mathcal L(\mathcal H)}
	\|\mathcal A^{\alpha}\xi\|_{\mathcal H}\quad \forall\;\xi\in\mathcal D(\mathcal A^{\alpha}).
\end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}
1) Пусть ${\xi\in\mathcal D(\mathcal A_0)=\mathcal D(\mathcal R^{-1}\mathcal M\mathcal A)=\mathcal D(\mathcal A)}$. Тогда
\begin{align*}
	\|\mathcal AT_{\mathcal H_{\mathcal R}\rightarrow\mathcal H}&\xi\|_{\mathcal H}= \|\mathcal M^{-1}\mathcal R^{1/2}\big(\mathcal R^{1/2}\mathcal R^{-1}\mathcal M\mathcal A\xi\big)\|_{\mathcal H}\\
	&\leqslant \|\mathcal M^{-1}\mathcal R^{1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\|\mathcal R^{-1}\mathcal M\mathcal A\xi\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}=\|\mathcal M^{-1}\mathcal R^{1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)} \|\mathcal A_0\xi\|_{\mathcal H_{\mathcal R}},
\end{align*} 
а значит, формально ${T_{\mathcal H_{\mathcal R}\rightarrow\mathcal H}\mathcal D(\mathcal A_0)\subset\mathcal D(\mathcal A)}$. Из леммы~\ref{zak_prok_semr_l3}, последней оценки и неравенства Гайнца (см.~\cite[гл.\,1, \S\,7, теорема\,7.1]{b-Krein-1967}) следует первая оценка в лемме.

2) Пусть ${\xi\in\mathcal D(\mathcal A)}$. Тогда
\begin{align*}
	\|\mathcal A_0T_{\mathcal H\rightarrow\mathcal H_{\mathcal R}}\xi\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}&= \|\mathcal R^{1/2}\big(\mathcal R^{-1}\mathcal M\mathcal A\xi\big)\|_{\mathcal H}\leqslant \|\mathcal R^{-1/2}\mathcal M\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\|\mathcal A\xi\|_{\mathcal H},
\end{align*} 
а значит, формально ${T_{\mathcal H\rightarrow\mathcal H_{\mathcal R}}\mathcal D(\mathcal A)\subset\mathcal D(\mathcal A_0)}$. Из леммы~\ref{zak_prok_semr_l3}, последней оценки и неравенства Гайнца следует вторая оценка в лемме.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{zak_prok_semr_l5}
	Пусть для любого ${\tau>0}$ существуют ${K_i=K_i(\tau)>0}$, $\kappa_i=\kappa_i(\tau)\in(0,1]$ такие, что
\begin{equation*}
	\|{\bf f}_i(t)-{\bf f}_i(s)\|_{{\bf L}_2(\Omega)}\leqslant K_i|t-s|^{\kappa_i}\quad \forall\;0\leqslant t, s \leqslant \tau,\quad i=1,\ldots,n.
\end{equation*} 
	
Зафиксируем ${3/4<\alpha<1}$. Тогда для любого ${r>0}$ существуют такие константы ${C=C(r,\tau)>0}$ и ${\kappa=\kappa(r,\tau)\in(0,1]}$, что
\begin{align*}
	\|\mathcal N(t,\xi_1)-\mathcal N(s,\xi_1)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\leqslant C\big(|t-s|^{\kappa}+\|\mathcal A_0^{\alpha}(\xi_1-\xi_2)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\big)
\end{align*}
при любых ${0\leqslant t,s\leqslant\tau}$, ${\|\mathcal A_0^{\alpha}\xi_i\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\leqslant r}$ (${i=1,2}$).
\end{lemma}
\begin{proof}
Фиксируем ${3/4<\alpha<1}$ и ${r>0}$. 

1) Пусть ${\xi=({\bf u}_1;\ldots;{\bf u}_n)^{\intercal}\in\mathcal D(\mathcal A_0^{\alpha})}$ такой, что ${\|\mathcal A_0^{\alpha}\xi\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\leqslant r}$. Тогда
\begin{equation}\label{zak_prok_semr_10}
	\|A^{\alpha}{\bf u}_i\|_{{\bf L}_2(\Omega)}\leqslant r \|\mathcal R^{-1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}^{1-\alpha}\|\mathcal M^{-1}\mathcal R^{1/2}\|^{\alpha}_{\mathcal L(\mathcal H)},\quad i=1,\ldots,n.
\end{equation}

Действительно, с учётом леммы~\ref{zak_prok_semr_l4} имеем оценки
\begin{align*}
	r\geqslant \|\mathcal A_0^{\alpha}\xi\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}&\geqslant \|\mathcal R^{-1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}^{\alpha-1}\|\mathcal M^{-1}\mathcal R^{1/2}\|^{-\alpha}_{\mathcal L(\mathcal H)}\|\mathcal A^{\alpha}\xi\|_{\mathcal H}=\\
	&=\|\mathcal R^{-1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}^{\alpha-1}\|\mathcal M^{-1}\mathcal R^{1/2}\|^{-\alpha}_{\mathcal L(\mathcal H)} \sqrt{\sum_{i=1}^n \|A^{\alpha}{\bf u}_i\|^2_{{\bf L}_2(\Omega)}}\geqslant\\
	&\geqslant\|\mathcal R^{-1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}^{\alpha-1}\|\mathcal M^{-1}\mathcal R^{1/2}\|^{-\alpha}_{\mathcal L(\mathcal H)} \|A^{\alpha}{\bf u}_i\|_{{\bf L}_2(\Omega)},\quad i=1,\ldots,n.
\end{align*}

2) Пусть ${\xi_i=({\bf u}_1^{(i)};\ldots;{\bf u}_n^{(i)})^{\intercal}\in\mathcal D(\mathcal A_0^{\alpha})}$ такие, что ${\|\mathcal A_0^{\alpha}\xi_i\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\leqslant r}$ (${i=1,2}$). С использованием~\eqref{zak_prok_semr_10} и предложения~\ref{zak_prok_semr_p2} оценим (см.~\eqref{zak_prok_semr_6})
\begin{align}
	&\|\mathcal S(\xi_1)-\mathcal S(\xi_2)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}=\nonumber\\
	&=\sqrt{\sum_{i=1}^n \big\| P_0({\bf{u}}_i^{(1)}\cdot\nabla){\bf{u}}_i^{(1)}- P_0({\bf{u}}_i^{(2)}\cdot\nabla){\bf{u}}_i^{(2)}\big\|^2_{{\bf L}_2(\Omega)}}\leqslant\nonumber\\
	&\leqslant \sqrt{ \sum_{i=1}^n \big\|\big({\bf{u}}_i^{(1)}\cdot\nabla\big)\big({\bf{u}}_i^{(1)}-{\bf{u}}_i^{(2)}\big)+ \big(({\bf{u}}_i^{(1)}-{\bf{u}}_i^{(2)})\cdot\nabla\big){\bf{u}}_i^{(2)}\big\|^2_{{\bf L}_2(\Omega)}}\leqslant\nonumber \\
	&\leqslant C_{\alpha} \bigg( \sum_{i=1}^n \Big(\big\|A^{\alpha}{\bf{u}}_i^{(1)}\big\|_{{\bf L}_2(\Omega)}\cdot\big\|A^{1/2}\big({\bf{u}}_i^{(1)}- {\bf{u}}_i^{(2)}\big)\big\|_{{\bf L}_2(\Omega)}+\nonumber \\
	&\qquad\qquad\qquad +\big\|A^{\alpha}({\bf{u}}_i^{(1)}-{\bf{u}}_i^{(2)})\big\|_{{\bf L}_2(\Omega)}\cdot \big\|A^{1/2}{\bf{u}}_i^{(2)}\big\|_{{\bf L}_2(\Omega)}\Big)^2\bigg)^{1/2}\leqslant\nonumber \\
	&\leqslant C_{\alpha}\|A^{1/2-\alpha}\| \sqrt{ \sum_{i=1}^n \Big(\big\|A^{\alpha}{\bf{u}}_i^{(1)}\big\|+ \big\|A^{\alpha}{\bf{u}}_i^{(2)}\big\|\Big)^2 \big\|A^{\alpha}({\bf{u}}_i^{(1)}-{\bf{u}}_i^{(2)})\big\| ^2}\leqslant\nonumber \\
	&\leqslant 2r C_{\alpha}  \|\mathcal R^{-1/2}\|^{1-\alpha}\|\mathcal M^{-1}\mathcal R^{1/2}\|^{\alpha}\|A^{1/2-\alpha}\|\sqrt{ \sum_{i=1}^n \big\|A^{\alpha}({\bf{u}}_i^{(1)}-{\bf{u}}_i^{(2)})\big\|^2}=\nonumber \\
	&=2r C_{\alpha}  \|\mathcal R^{-1/2}\|^{1-\alpha}\|\mathcal M^{-1}\mathcal R^{1/2}\|^{\alpha}\|A^{1/2-\alpha}\| \cdot\|\mathcal A^{\alpha}(\xi_1-\xi_2)\|_{\mathcal H}\leqslant\nonumber \\
	&=2r C_{\alpha}  \|\mathcal R^{-1/2}\|^{2-2\alpha}\|\mathcal M^{-1}\mathcal R^{1/2}\|^{2\alpha}\|A^{1/2-\alpha}\| \cdot\|\mathcal A_0^{\alpha}(\xi_1-\xi_2)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}.\label{zak_prok_semr_11}	
\end{align}

3) Учитывая, что ${\|P_0\|_{\mathcal L({\bf L}_2(\Omega))}=1}$, проведём оценку (см.~\eqref{zak_prok_semr_6})
\begin{align}
	&\|\mathcal F(t)-\mathcal F(s)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\leqslant \|\mathcal R^{1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)} \|\mathcal F(t)-\mathcal F(s)\|_{\mathcal H}=\nonumber\\
	&=\|\mathcal R^{1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\sqrt{\sum_{i=1}^n \|P_0{\bf f}_i(t)-P_0{\bf f}_i(s)\|_{{\bf L}_2(\Omega)}^2}\leqslant\nonumber\\
	&\leqslant \|\mathcal R^{1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\sqrt{\sum_{i=1}^n \|{\bf f}_i(t)-{\bf f}_i(s)\|_{{\bf L}_2(\Omega)}^2} \leqslant \|\mathcal R^{1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\sqrt{\sum_{i=1}^n K_i^2|t-s|^{2\kappa_i}}=\nonumber\\
	&=\|\mathcal R^{1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\sqrt{\sum_{i=1}^n K_i^2|t-s|^{2(\kappa_i-\min\limits_{j=1,\ldots,n}\kappa_j)}}\cdot |t-s|^{\min\limits_{j=1,\ldots,n}\kappa_j}\leqslant\nonumber\\
	&\leqslant \|\mathcal R^{1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\sqrt{\sum_{i=1}^n K_i^2\tau^{2(\kappa_i-\min\limits_{j=1,\ldots,n}\kappa_j)}}\cdot |t-s|^{\min\limits_{j=1,\ldots,n}\kappa_j}\; \forall\; 0\leqslant t,s \leqslant \tau.\label{zak_prok_semr_12}
\end{align}

4) Из~\eqref{zak_prok_semr_11}, \eqref{zak_prok_semr_12} теперь найдём, что (см.~\eqref{zak_prok_semr_8})
\begin{align*}
	&\|\mathcal N(t,\xi_1)-\mathcal N(s,\xi_1)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}=\\
	&=\|-\mathcal S(\xi_1) -\mathcal R^{-1}\mathcal B\xi_1+\mathcal F(t)+\mathcal S(\xi_2) +\mathcal R^{-1}\mathcal B\xi_2+\mathcal F(s)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\leqslant\\
	&\leqslant \|\mathcal S(\xi_1) -S(\xi_2)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}+ \|\mathcal R^{-1}\mathcal B(\xi_1-\xi_2)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}+ \|\mathcal F(t)-\mathcal F(s)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\leqslant\\
	&\leqslant 2r C_{\alpha}  \|\mathcal R^{-1/2}\|^{2-2\alpha}\|\mathcal M^{-1}\mathcal R^{1/2}\|^{2\alpha}\|A^{1/2-\alpha}\| \cdot\|\mathcal A_0^{\alpha}(\xi_1-\xi_2)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}+\\
	&\qquad\qquad\qquad+\|\mathcal R^{-1/2}\mathcal B\mathcal R^{-1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\cdot\|\xi_1-\xi_2\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}+ \\
	&\qquad\qquad\qquad +\|\mathcal R^{1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\sqrt{\sum_{i=1}^n K_i^2\tau^{2(\kappa_i-\min\limits_{j=1,\ldots,n}\kappa_j)}}\cdot |t-s|^{\min\limits_{j=1,\ldots,n}\kappa_j}\leqslant  \\
	&\leqslant 2r C_{\alpha}  \|\mathcal R^{-1/2}\|^{2-2\alpha}\|\mathcal M^{-1}\mathcal R^{1/2}\|^{2\alpha}\|A^{1/2-\alpha}\| \cdot\|\mathcal A_0^{\alpha}(\xi_1-\xi_2)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}+\\
	&\qquad\qquad\qquad+\|\mathcal R^{-1/2}\mathcal B\mathcal R^{-1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\|\mathcal A_0^{-\alpha}\|_{\mathcal L(\mathcal H_{\mathcal R})}\cdot\|\mathcal A_0^{\alpha}(\xi_1-\xi_2)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}+  \\
	&\qquad\qquad\qquad +\|\mathcal R^{1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\sqrt{\sum_{i=1}^n K_i^2\tau^{2(\kappa_i-\min\limits_{j=1,\ldots,n}\kappa_j)}}\cdot |t-s|^{\min\limits_{j=1,\ldots,n}\kappa_j}\leqslant  \\
	&\qquad\qquad\qquad\leqslant C\big(|t-s|^{\kappa}+\|\mathcal A_0^{\alpha}(\xi_1-\xi_2)\|_{\mathcal H_{\mathcal R}}\big),
\end{align*}
где ${\kappa=\kappa(r,\tau):=\min\limits_{j=1,\ldots,n}\kappa_j(\tau)\in(0,1]}$, а
\begin{align*}
C=C(r,\tau):=\max\Big\{&  2r C_{\alpha}  \|\mathcal R^{-1/2}\|^{2-2\alpha}\|\mathcal M^{-1}\mathcal R^{1/2}\|^{2\alpha}\|A^{1/2-\alpha}\|+\\
&\qquad\quad +\|\mathcal R^{-1/2}\mathcal B\mathcal R^{-1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\|\mathcal A_0^{-\alpha}\|_{\mathcal L(\mathcal H_{\mathcal R})},\\
&\|\mathcal R^{1/2}\|_{\mathcal L(\mathcal H)}\sqrt{\sum_{i=1}^n K_i^2\tau^{2(\kappa_i-\min\limits_{j=1,\ldots,n}\kappa_j)}}
\Big\}>0.
\end{align*}

Лемма доказана.
\end{proof}
\begin{lemma}\label{zak_prok_semr_l6}
	Пусть выполнены условия теоремы~\ref{zak_prok_semr_th1}. Тогда начально-краевая задача~\eqref{zak_prok_semr_2} имеет единственное решение (в смысле определения~\ref{zak_prok_semr_d1}) на некотором отрезке $[0,T]$.
\end{lemma}
\begin{proof} Условия ${{\bf u}_i^0\in{\bf W}_2^2(\Omega)\cap {\bf J}_0^1(\Omega)}$ (${i=1,\ldots,n}$) эквивалентны тому, что  ${{\bf u}_i^0\in \mathcal D(A)}$ (${i=1,\ldots,n}$), как отмечено при введении оператора Стокса. Следовательно, ${\xi^0:=\big({\bf u}_1^0;\ldots;{\bf u}_n^0\big)^{\intercal}\in\mathcal D(\mathcal A)=\mathcal D(\mathcal A_0)}$ (см.~\eqref{zak_prok_semr_6} и лемму~\ref{zak_prok_semr_l2}).
	
Если поля ${\bf f}_i$ (${i=1,\ldots,n}$) удовлетворяют локальному условию Гёльдера, то по лемме~\ref{zak_prok_semr_l5} нелинейный оператор $\mathcal N(t,\cdot)$ удовлетворяет~\eqref{zak_prok_semr_9}. 

Из предложения~\ref{zak_prok_semr_p1}, учитывая ${\xi^0\in\mathcal D(\mathcal A)}$, теперь следует, что задача~\eqref{zak_prok_semr_7} имеет единственное непрерывно дифференцируемое на $[0,T]$ решение при некотором ${T>0}$. Это означает, что ${\xi\in C^1([0,T];\mathcal H)}$, ${\xi(t)\in\mathcal D(\mathcal A)}$ при всех ${t\in[0,T]}$ и ${\mathcal A\xi\in C([0,T];\mathcal H)}$, функция $\xi(t)$ удовлетворяет уравнению из~\eqref{zak_prok_semr_7} при всех ${t\in[0,T]}$ и начальному условию. Последнее эквивалентно тому, что ${{\bf u}_i\in C^1([0,T];{\bf L}_2(\Omega))}$ ${{\bf u}_i(t)\in\mathcal D(A)\subset{\bf W}_2^2(\Omega)}$ при всех ${t\in[0,T]}$ и ${A{\bf u}_i\in C([0,T];{\bf L}_2(\Omega))}$ (${i=1,\ldots,n}$), поля ${\bf u}_i$ удовлетворяет уравнениям из~\eqref{zak_prok_semr_5} при всех ${t\in[0,T]}$ и при п.в. ${\boldsymbol{x} \in \Omega}$, и начальным условиям. Отсюда и из~\eqref{zak_prok_semr_4} теперь следует, что поля ${\bf u}_i$ и функции $p_i$ (${i=1,\ldots,n}$) есть решение  на\-чально-краевой задачи~\eqref{zak_prok_semr_2} в смысле определения~\ref{zak_prok_semr_d1}.
\end{proof}


\section{Заключение}
Для системы дифференциальных уравнений динамики смеси вязких несжимаемых жидкостей проведен анализ разрешимости в общем случае трёх пространственных переменных. Доказаны существование и единственность сильного по времени решения начально-краевой задачи, соответствующей течениям смеси в ограниченной области с условиями прилипания на границе области течения.




\bigskip
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{b-Nigmatulin-1987}
R.I. Nigmatulin,
{\it Dynamics of multiphase media, Vol. 1}, Nauka, Moscow, 1987.

\bibitem{b-Rajagopal-1995}
K.L. Rajagopal, L. Tao,
\href{https://doi.org/10.1142/2197}{\it Mechanics of mixtures, Ser. Adv. Math. Appl. Sci., 35},  World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1995.

\bibitem{a-Mamontov-Prokudin-2013}
A.E. Mamontov, D.A. Prokudin,
\href{https://doi.org/10.4310/MAA.2013.v20.n2.a5}{\it Viscous compressible multi-fluids: modeling and multi-D existence}, Methods Appl. Anal.,  {\bf 20}:2 (2013), 179--195.

\bibitem{a-Mamontov-Prokudin-2018}
A.E. Mamontov, D.A. Prokudin,
\href{https://doi.org/10.1070/IM8507}{\it Solvability of nonstationary equations of multi\-com\-po\-nent viscous compressible fluids}, Izv. RAN. Ser. matem.,  {\bf 82}:1 (2018), 151--197.

\bibitem{dis.frehsesiam}
J. Frehse, S. Goj, J. M\'{a}lek,
\href{https://doi.org/10.1137/S0036141003433425}{\it On a Stokes--like system for mixtures of fluids}, SIAM Journal on Mathematical Analysis,   {\bf 36}:4 (2005), 1259--1281.

\bibitem{dis.frehseAM}
J. Frehse, S. Goj, J. M\'{a}lek,
\href{https://doi.org/10.1007/s10492-005-0035-x}{\it A uniqueness result for a model for mixtures in the absence of external forces and interaction momentum}, Applications of Mathematics,  {\bf 50} (2005), 527--541.

\bibitem{dis.frehseweig} 
J. Frehse, W. Weigant, 
\href{https://doi.org/10.1007/s10492-008-0029-6}{\it On quasi--stationary models of mixtures of compressible fluids},  Applications of Mathematics, {\bf 53} (2008), 319--345.

\bibitem{a-Mamontov-Prokudin-2016}
A.E. Mamontov, D.A. Prokudin,
\href{https://doi.org/10.1007/s00021-019-0416-7}{\it Solvability of the initial-boundary value problem for the equations of polytropic motion of mixtures of viscous compressible fluids}, Sibirskie elektronnye matem. izvestia,  {\bf 13} (2016), 541--583.

\bibitem{a-Zakora-2023-1}
Zakora D.A.
\href{https://doi.org/10.1134/S0012266123040043}{\it Spectral properties of the operator in the problem of oscillations in a mixture of viscous compressible fluids}, Differential Equations, {\bf 59}:4 (2023), 473--490.

\bibitem{a-Zakora-2023-2}
Zakora D.A.
\href{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.096}{\it The problem of small motions of a mixture of viscous compressible fluids}, Sibirskie elektronnye matem. izvestia, {\bf 20}:2 (2023), 1552--1589.

\bibitem{a-Zakora-2024-1} D.A. Zakora,
\href{https://doi.org/10.1007/s10958-024-07252-4}{\it Spectral properties of operators in the problem on normal oscillations of a mixture of viscous compressible fluids}, Journal of Mathematical Sciences, {\bf 283}:2 (2024), 231--254.

\bibitem{b-Kopa-Krein-Ngo-1989}
%Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан
%{\it Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи} М.: Наука. 1989.
N.D. Kopachevsky, S.G. Krein, Ngo Zuy Kan, 
{\it Operator methods in linear hy\-dro\-dy\-na\-mics: evolutionary and spectral problems}, Nauka, Moscow, 1989.

\bibitem{b-Kopa-Krein-2001}
N.D. Kopachevsky, S.G. Krein, 
\href{https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8342-9}{\it Operator approach to linear problems of hydrodynamics. Voume 1: Self-adjoint problems of an ideal fluid}, Birkh\"{a}user Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2001.

\bibitem{a-Sobolevsky-1961}
P.E. Sobolevski\v{\i}
{\it On equations of parabolic type in a Banach space}, Tr. Moskov. Mat. Obshch., \textbf{10} (1961), 297--350.

\bibitem{b-Henry-1981}
D. Henry
\href{https://doi.org/10.1007/BFb0089647}{\it Geometric theory of semilinear parabolic equations}, Lecture Notes in Math. No.~840, Springer, Berlin, 1981.

\bibitem{b-Goldstein-1985}
J.A. Goldstein
\href{https://doi.org/10.1137/1029026}{\it Semigroups of linear operators and applications}, Oxford University Press, New York, 1985.

\bibitem{b-Ladyzhenskaya-1970}
O.A. Ladyzhenskaya
{\it The mathematical theory of viscous incompressible flow}, Nauka, Moscow, 1970.

\bibitem{b-Kato-1972}
T. Kato
\href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-66282-9}{\it Perturbation theory of linear operators}, Mir, Moscow, 1972.

\bibitem{b-Krein-1967}
S.G. Krein,
{\it Linear differential equations in a Banach space}, Nauka, Moscow, 1967.







%\bibitem{1} D.G. Northcott,
%\href{https://doi.org/10.1017/CBO9780511565908}{\it Ideal Theory}, Cambridge University Press, Cambridge, 1953.
%
%\bibitem{2} I.I. Ivanov,
%\href{https://doi.org/10.1002/cpa.20282}{\it Some properties of commutative algebras}, Siberian Electronic
%Mathematical Reports, {\bf 1} (2004), 142--143.
%
%\bibitem{3} A.V. Tetenov, M. Samuel, D.A. Vauilin,
%\href{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-4-281-291}{\it On dendrites generated by polyhedral systems and their ramification points}, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, \textbf{23}:4 (2017), 281--291.

\end{thebibliography}
\end{document}
