\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}

\def\udcs{517.581} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{33B15} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{remark}{Замечание}

\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
%     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 23, № 1, стр. 1--22 (2026) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC \ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc Первая формула Бине]{\large Первая формула Бине в задаче \\ о поведении гамма-функции \\ на мнимой оси}
\author[А.Б. КОСТИН, В.Б. ШЕРСТЮКОВ]{{\bf \large \textsc{А.Б. Костин}}\protect\orcidicon{0000-0002-0929-1778} \\
{\bf \large \textsc{В.Б. Шерстюков}}\protect\orcidicon{0000-0002-4679-0680} \\ \\
\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Andrew Borisovich Kostin  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Lomonosov Moscow State University,
\newline\hphantom{iii} Leninskiye Gory, 1,
\newline\hphantom{iii} 119991, Moscow, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{abkostin@yandex.ru}}%

\address{Vladimir Borisovich Sherstyukov  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Lomonosov Moscow State University,
\newline\hphantom{iii} Leninskiye Gory, 1,
\newline\hphantom{iii} 119991, Moscow, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{shervb73@gmail.com}}%

\thanks{\sc Kostin, A.B., Sherstyukov, V.B.,
The first Binet formula in the problem of the behavior of the gamma function on the imaginary axis}
\thanks{\copyright \ 2025 Костин А.Б., Шерстюков В.Б}
\thanks{\rm Работа поддержана Московским центром фундаментальной и прикладной математики 
МГУ имени М.В. Ломоносова по соглашению № 075-15-2025-345}
\thanks{\it Поступила 4 декабря 2025 г., опубликована 18 марта 2026 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}
\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} The behavior of the argument taken from the values of the gamma function 
at the points of the imaginary axis is studied in detail.
\medskip

\noindent{\bf Keywords:} gamma function, first Binet formula, argument, integral representation, Lambert W function.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение}

Гамма-функцию Эйлера комплексной переменной стандартно обозначаем символом~$\Gamma$.
Эта классическая мероморфная функция имеет простые полюсы в точках $0,\,-1,\,-2,\,\ldots\,$
и задается, как правило, либо сходящимся в правой полуплоскости несобственным интегралом
с последующим аналитическим продолжением, либо соответствующим бесконечным произведением
(см., например, \cite[\S\S\,12.1, 12.2]{WW}, \cite[\S\S\,5.2, 5.8, 5.9]{OLBC}).
Для $z\in\mathbb{C}\setminus\left\{0,\,-1,\,-2,\,\ldots\,\right\}$ под $\operatorname{\mathrm{Arg}}\Gamma(z)$
понимаем счетное множество значений аргумента комплексного числа $\Gamma(z)$, т.\,е.
\begin{equation*}
\operatorname{\mathrm{Arg}}\Gamma(z)=\arg\Gamma(z)+2\pi m,\quad m\in\mathbb{Z},
\end{equation*}
где главное значение аргумента выделяем условием $\arg\Gamma(z)\in(-\pi,\pi]$.

Нас интересует поведение величины $\arg\Gamma(iy)$ как функции вещественной переменной $y$. 
Считаем, что $y>0$, поскольку значения $\Gamma(-iy)$ и $\Gamma(iy)$ комплексно сопряжены. 

Будем опираться на ключевое соотношение
\begin{equation}\label{Phi1}
 \Phi(y)\equiv y\ln\frac{y}{e}-\frac{\pi}{4}-\int\limits^{+\infty}_0 g(t)\sin(yt)\,dt\,\in\,\operatorname{\mathrm{Arg}}\Gamma(iy), \quad y>0,
\end{equation}
в котором функция $g$ определена по правилу
\begin{equation}\label{fung}
g(t)=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{t}+\frac{1}{e^t-1}\right)\frac{1}{t}, \quad t>0, \quad g(0)=\frac{1}{12}.
\end{equation}
Формула~\eqref{Phi1} доказана в статье авторов~\cite{KoSh21} как результат распространения на мнимую ось первой формулы Бине
\begin{equation*}
\ln\Gamma(z)=\left(z-\frac{1}{2}\right)\ln z-z\,+\,\frac{1}{2}\ln (2\pi)+\int\limits^{+\infty}_0 g(t)\,e^{-zt}\,dt,
\end{equation*}
действующей в открытой правой полуплоскости. 

Помимо~\cite{KoSh21} отметим работы последнего времени~\cite{Pop20}--\cite{KuKy24},
содержащие применения интегральных представлений для гамма-функции и их аналогов к различным вопросам анализа.
Укажем еще, что величины вида $\arg\Gamma(iy)$ востребованы в математической физике (см.~\cite[\S\,33.2]{OLBC}, \cite{ZakhMan76}--\cite{Sul17}), 
а значения $\arg\Gamma(1/4+iy)$ используются в теории дзета-функции Римана (см., например,~\cite[гл.~9, $\S$\,9.3]{T86}, \cite{V95}). 
Все это послужило дополнительным стимулом к проведению нашего исследования.

Ниже будет дан подробный анализ поведения функции $\Phi$, заданной в~\eqref{Phi1}, и указаны удобные на практике точные
и приближенные формулы для вычисления $\arg\Gamma(iy)$ на луче $y>0$. Часть результатов анонсирована в~\cite{KoSh25} (см. также~\cite{KS25}).

\section{Свойства непрерывной ветви аргумента}

Функция $\Phi$ из соотношения~\eqref{Phi1} определяет непрерывную на множестве
\begin{equation*}
\overline{\Pi}^{\,\circ}_{++}\,\equiv\,\left\{z\in \mathbb{C}\setminus \left\{0\right\}\mid 0\leqslant \arg z \leqslant \frac{\pi}{2} \right\}
\end{equation*}
ветвь $\operatorname{\mathrm{Arg}}\Gamma(z)$, заданную нулевым значением в точках полуоси $z=x>0$. {}
Выделим ключевые свойства этой функции.

\smallskip
$1^{\circ}.$ \textit{Справедливо представление
\begin{equation}\label{Phi2}
 \Phi(y)=y\ln\frac{y}{e}-\frac{\pi}{2}+\int\limits^{+\infty}_0 h(t)\,\frac{\sin(yt)}{t}\,dt\,, \quad y>0,
\end{equation}
в котором функция $h$ определена по правилу
\begin{equation}\label{funh}
h(t)=\frac{1}{2}-t\hskip-2pt\cdot\hskip-2pt g(t)=\frac{e^t-1-t}{t(e^t-1)}, \quad t>0, \quad h(0)=\frac{1}{2},
\end{equation}
с функцией $g$ из формулы~\eqref{fung}.}

\begin{proof}
Переход от~\eqref{Phi1} к~\eqref{Phi2} использует интеграл Дирихле
\begin{equation*}
\int\limits^{+\infty}_0\,\frac{\sin(yt)}{t}\,dt=\frac{\pi}{2}, \quad y>0,
\end{equation*}
и связь функций $g$ и $h$, выраженную посредством~\eqref{funh}.
\end{proof}

$2^{\circ}.$ \textit{Функция $\Phi$, доопределенная значением $\Phi(0)=-\pi/2$, непрерывна при $y\geqslant 0$.}

\begin{proof}
Достаточно проверить, что интеграл 
\begin{equation}\label{Psi}
\Psi(y)\equiv\int\limits^{+\infty}_0 h(t)\,\frac{\sin(yt)}{t}\,dt, \quad y>0, \quad \Psi(0)=0,
\end{equation}
непрерывен по параметру $y\geqslant 0$. {} Отметим, кстати, что фигурирующий в~\eqref{Phi1} интеграл
этим свойством не обладает, так как формальная подстановка $y=0$ в выражение для $\Phi(y)$ из~\eqref{Phi1}
приводит к ошибочному результату $\Phi(0)=-\pi/4$.

Функцию~\eqref{Psi} запишем в виде
\begin{equation}\label{Psi1}
\Psi(y)=\int\limits^1_0 K(t,y)\,dt+\int\limits^{+\infty}_1 K(t,y)\,dt, 
\end{equation}
где ядро
\begin{equation*}
K(t,y)=
	\left\{\begin{array}{ll}
	h(t)\;\dfrac{\sin(yt)}{t}, &\quad t>0,\;y\geqslant 0,  \\[3mm]
	\dfrac{y}{2}, &\quad t=0,\;y\geqslant 0, \\[3mm]
	\end{array}
	\right.
\end{equation*}
непрерывно по совокупности переменных $t\geqslant 0,\;y\geqslant 0$. {}
Поясним, что непрерывность функции $K$ в точке $(0,0)$ следует из оценки
\begin{equation*}
\left|K(t,y)\right|\leqslant h(t)\,y, \quad t\geqslant 0,\;y\geqslant 0.
\end{equation*}
Первое слагаемое в~\eqref{Psi1} непрерывно по $y\geqslant 0$ как собственный интеграл с параметром 
от непрерывной функции $K$. {} Оценка
\begin{equation*}
\left|K(t,y)\right|\leqslant\frac{h(t)}{t}\leqslant\frac{1}{t^2}, \quad t\geqslant 1,\;y\geqslant 0,
\end{equation*}
влечет равномерную сходимость и непрерывность по $y\geqslant 0$ второго слагаемого в~\eqref{Psi1}.
\end{proof}

\goodbreak

$3^{\circ}.$ \textit{Функция $\Phi$ является аналитической на луче $y>0$.}

\begin{proof} 
Для значений $z$ из множества
\begin{equation*}
\overline{\Pi}^{\,\circ}_{+}\,\equiv\,\left\{z\in\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}\mid\operatorname{\mathrm{Re}} z\geqslant 0 \right\}
\end{equation*}
воспользуемся первой формулой Бине (см.~\cite[\S\,12.31]{WW}, \cite{KoSh21})
\begin{equation}\label{Binet}
\ln\Gamma(z)=z\ln\frac{z}{e}\,-\,\frac{1}{2}\ln z\,+\,\frac{1}{2}\ln (2\pi)+\int\limits^{+\infty}_0 g(t)\,e^{-zt}\,dt,
\end{equation}
в которой ветвь фиксирована условием $\operatorname{\mathrm{Im}}\ln\Gamma(z)=0$ при $z=x>0$. {}
Отделяя в~\eqref{Binet} мнимую часть, для всех $z=x+iy\in\overline{\Pi}^{\,\circ}_{++}$ имеем
\begin{equation}\label{ImBinet}
v(x,y)\equiv\operatorname{\mathrm{Im}}\ln\Gamma(z)=y\ln\frac{|z|}{e}+\left(x-\frac{1}{2}\right)\arg z-
\int\limits^{+\infty}_0 g(t)\,e^{-xt}\sin(yt)\,dt.
\end{equation}
При этом
\begin{equation*}
\Phi(y)\equiv v(0,y)=y\ln\frac{y}{e}-\frac{\pi}{4}-\int\limits^{+\infty}_0 g(t)\sin(yt)\,dt, \quad y>0.
\end{equation*}

Функция $\ln\Gamma(z)$ голоморфна в полуплоскости $\operatorname{\mathrm{Im}}z>0$, 
а функция $v(x,y)=\operatorname{\mathrm{Im}}\ln\Gamma(z)$ --- гармоническая и потому вещественно аналитическая в этой же полуплоскости.
С учетом связи $\Phi(y)=v(0,y)$ получаем аналитичность $\Phi$ при $y>0$.
\end{proof}

$4^{\circ}.$ \textit{Функция $\Phi$ строго выпукла вниз при $y>0$.}

\begin{proof}
Из соотношения
\begin{equation*}
v_{yy}(x,y)\equiv\bigl(\operatorname{\mathrm{Im}}\ln\Gamma(z)\bigr)_{yy}=
\bigl(\operatorname{\mathrm{Im}}\left(\ln\Gamma(z+1)-\ln z\right)\bigr)_{yy}, \quad x\geqslant 0,\;y>0,
\end{equation*}
и формулы~\eqref{ImBinet} извлекаем
\begin{equation*}
\Phi''(y)=v_{yy}(0,y)=\left(y\ln\frac{\sqrt{1+y^2}}{e}+\frac{1}{2}\arctg y-\int\limits^{+\infty}_0 g(t)e^{-t}\sin(yt)\,dt\right)''.
\end{equation*}
После элементарных вычислений приходим к записи
\begin{equation}\label{Phi''1}
\Phi''(y)=\frac{y}{1+y^2}+\frac{y}{(1+y^2)^2}+\int\limits^{+\infty}_0 g(t)\,t^2 e^{-t}\sin(yt)\,dt, \quad y>0.
\end{equation}
Возникший интеграл разбиваем на два с учетом формулы 
\begin{equation*}
g(t)\,t^2=\left(\frac{t}{2}-1\right)+\frac{t}{e^t-1}, \quad t>0
\end{equation*}
(см.~\eqref{fung}). При всех $y>0$ имеем
\begin{equation*}
\int\limits^{+\infty}_0 \left(\frac{t}{2}-1\right)e^{-t}\sin(yt)\,dt=-\frac{y}{1+y^2}+\frac{y}{(1+y^2)^2},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int\limits^{+\infty}_0 \frac{t}{e^t-1}\,e^{-t}\sin(yt)\,dt=
\sum\limits^{\infty}_{n=0}\,\int\limits^{+\infty}_0 t\,e^{-(n+2)t}\sin(yt)\,dt=
\sum\limits^{\infty}_{n=2}\,\frac{2y\,n}{\left(n^2+y^2\right)^2}.
\end{equation*}
Подставив найденные выражения в~\eqref{Phi''1}, получим компактную формулу для второй производной
\begin{equation}\label{Phi''2}
\Phi''(y)=2y\,\sum\limits^{\infty}_{n=1}\,\frac{n}{\left(n^2+y^2\right)^2}>0, \quad y>0.
\end{equation}
Отсюда следует заявленное свойство выпуклости.
\end{proof}

$5^{\circ}.$ \textit{Производная $\Phi'$ при $y\geqslant 0$ строго возрастает от $\Phi'(0)=-\gamma$ до~$+\infty$, причем
\begin{equation}\label{asPhi'}
\Phi'(y)=\ln y+O\left(\frac{1}{y}\right), \quad y\rightarrow+\infty.
\end{equation}}
Здесь $\gamma=0.57\ldots$ --- константа Эйлера--Маскерони.
\begin{proof}
Возрастание $\Phi'$ при $y>0$ следует из~\eqref{Phi''2}. Найдем предел $\Phi'(y)$ при $y\rightarrow 0+$. {}
Для этого воспользуемся представлением~\eqref{ImBinet} и соображениями из доказательства свойства $4^{\circ}.$ {}
Имеем
\begin{equation*}
v_y(x,y)=\bigl(\operatorname{\mathrm{Im}}\left(\ln\Gamma(z+1)-\ln z\right)\bigr)_y, \quad x\geqslant 0,\;y>0,
\end{equation*}
откуда
\begin{equation*}
\Phi'(y)=v_y(0,y)=\left(y\ln\frac{\sqrt{1+y^2}}{e}+\frac{1}{2}\arctg y-\int\limits^{+\infty}_0 g(t)e^{-t}\sin(yt)\,dt\right)'
\end{equation*}
при всех $y>0$. {} Выполнив дифференцирование, с учетом~\eqref{funh} получим
\begin{equation}\label{Phi'1}
\Phi'(y)=\frac{1}{2}\,\ln(1+y^2)-\frac{1}{1+y^2}+\int\limits^{+\infty}_0 h(t)\,e^{-t}\cos(yt)\,dt, \quad y>0.
\end{equation}
Поскольку интеграл в~\eqref{Phi'1} сходится равномерно при $y\geqslant 0$, то
\begin{equation*}
\lim\limits_{y\rightarrow 0+}\,\Phi'(y)=-1+\int\limits^{+\infty}_0 h(t)\,e^{-t}\,dt=
\int\limits^{+\infty}_0 \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{1-e^{-t}}\right)\,e^{-t}\,dt=-\gamma.
\end{equation*}
По поводу последнего равенства см., например,~\cite[гл.~I, \S\,3]{Kuz35}.

Докажем теперь асимптотику~\eqref{asPhi'}. Для этого удобно использовать представление (см.~\eqref{Phi2})
\begin{equation}\label{PhiPsi}
\Phi(y)=y\ln\frac{y}{e}-\frac{\pi}{2}+\Psi(y), \quad y>0,
\end{equation}
где последнее слагаемое задается интегралом~\eqref{Psi}. Тогда
\begin{equation}\label{Phi'2}
\Phi'(y)=\ln y+\int\limits^{+\infty}_0 h(t)\,\cos(yt)\,dt, \quad y>0.
\end{equation}
Дифференцирование по параметру $y$ законно ввиду равномерной сходимости интеграла в~\eqref{Phi'2}
на любом луче вида $y\geqslant\delta>0$. {} Проверим, что производная
\begin{equation}\label{Psi'}
\Psi'(y)=\int\limits^{+\infty}_0 h(t)\,\cos(yt)\,dt
\end{equation}
положительна для всех значений $y>0$. {} Функция $h$ из формулы~\eqref{funh} обладает при $t>0$ свойствами
\begin{equation*}
h(t)\equiv\frac{1}{t}-\frac{1}{e^t-1}>0, \quad h'(t)=-\frac{1}{t^2}+\frac{e^t}{(e^t-1)^2}<0,
\end{equation*}
\begin{equation*}
h''(t)=\frac{2}{t^3}-\frac{e^t(e^t+1)}{(e^t-1)^3}>0, 
\end{equation*}
которые доказываются стандартными средствами анализа. Так, для нахождения знака второй производной $h''$
требуется установить при $t>0$ неочевидное неравенство
\begin{equation*}
2(e^t-1)^3-t^3\,e^t(e^t+1)>0. 
\end{equation*}
Это можно сделать разными способами, например, разложив его левую часть в степенной ряд вида
\begin{equation*}
\sum\limits^{\infty}_{n=7}\,a_n\;\frac{t^n}{n!}\,, \quad a_n=2\left(3^n-3\cdot2^n+3\right)-(n-2)(n-1)n\left(2^{n-3}+1\right), 
\end{equation*}
и убедившись в том, что $a_n>0$ при всех $n\geqslant 7$.

В результате по следствию~2 из теоремы~2 гл.~2 монографии~\cite{Sed05} делаем вывод о положительности интеграла~\eqref{Psi'}
и имеем оценку снизу
\begin{equation*}
\Phi'(y)>\ln y, \quad y>0.
\end{equation*}
Поскольку еще (см.~\eqref{Psi'}, \eqref{funh})
\begin{equation*}
\Psi'(y)=-\frac{1}{y}\int\limits^{+\infty}_0 h'(t)\,\sin(yt)\,dt<\frac{1}{y}\int\limits^{+\infty}_0 (-h'(t))\,dt=\frac{h(0)}{y}=\frac{1}{2y}\,,
\end{equation*}
то из~\eqref{Phi'2} получим двустороннюю оценку
\begin{equation}\label{estPhi'}
\ln y<\Phi'(y)<\ln y+\frac{1}{2y}\,, \quad y>0,
\end{equation}
которая дает асимптотику~\eqref{asPhi'}.
\end{proof}
\begin{remark}\label{r1} Оценка~\eqref{estPhi'} информативна при больших $y$ и ничего не говорит о поведении производной $\Phi'$
	вблизи точки $y=0$.	Об этом будет сказано в разделе 4. Выше по формуле~\eqref{Psi} введена функция $\Psi$ и~установлено, 
	что для всех $y>0$ справедливы неравенства $\Psi(y)>0$ и~$\Psi'(y)>0$ (см. 5$^{\circ}$). 
	Из~\eqref{Phi'2}, \eqref{Psi'} и соотношения $\Phi'(0+)=-\gamma$ ясно, что $\Psi'(y)\to +\infty$ при $y\to 0+$. 
	Дополнительные сведения о функции $\Psi$ будут приведены в разделе~3.
\end{remark}

Доказанные свойства позволяют схематично обрисовать общую картину поведения функции $\Phi$.

\smallskip
$6^{\circ}.$ \textit{Существуют точки $y_{\min}\in\left(0,1\right)$ и $y_{*}\in\left(1,+\infty\right)$ такие, что
на промежутке $[0,\,y_{\min}]$ функция $\Phi$ убывает от $-\pi/2$ до $\Phi_{\min}\equiv\Phi(y_{\min})$,
на промежутке $[y_{\min},\,+\infty)$ функция $\Phi$ возрастает от $\Phi_{\min}$ до $+\infty$, и~$\Phi(y_{*})=0$.
Другими словами, $y_{\min}$ --- точка строгого глобального минимума $\Phi$ на луче $[0,\,+\infty)$, а $y_{*}$ --- единственный
нуль $\Phi$ на этом луче.}

\bigskip
График функции $\Phi$ --- непрерывной при $y\geqslant 0$ ветви $\operatorname{\mathrm{Arg}}\Gamma(iy)$ --- представлен на рис.~1. Численные границы для значений $y_{\min},\;\Phi_{\min},\;y_{*}$,
а~также поведение $\Phi$ на бесконечности мы обсудим позже.

\begin{center}
	\begin{figure}[h!]
		\includegraphics[width=70mm]{1.png}
		\vspace{0mm}
		\caption{График функции $\Phi$ с ключевыми значениями 
		$$\Phi(0)=-\pi/2,\;\Phi'(0)=-\gamma,\;y_{\min}\approx 0.88,$$ 
		$$\Phi_{\min}\approx -1.87,\;y_*\approx 3.43.$$}
	\end{figure}	
\end{center}	


\section{Выделение главного значения аргумента}

Для точных формулировок результатов этого раздела потребуется вещественная версия так называемой $W$-функци Ламберта $w=W(\beta)$,
которую определяют как вещественный корень уравнения
\begin{equation*}
w\,e^w=\beta
\end{equation*}
при $\beta\geqslant -1/e$. {} Больший корень этого уравнения задает основную ветвь $W$-функции Ламберта,
обозначаемую $W_0(\beta)$. {} Меньший корень, возникающий при $\beta\in\left(-1/e,\,0\right)$,
задает другую ветвь $W_{-1}(\beta)$. {} Подробнее о~функции Ламберта и ее применениях см.~\cite{Dub06}--\cite{KaTi17}.

\begin{theorem}\label{th1}
Для функции $\Phi$, определенной в~\eqref{Phi1}, при всех $y>0$ справедлива двусторонняя оценка
\begin{equation}\label{estPhi1}
\underline{\Phi}(y)<\Phi(y)<\overline{\Phi}(y), 
\end{equation}
в которой миноранта $\underline{\Phi}$ и мажоранта $\overline{\Phi}$ определяются соответственно формулами
\begin{equation*}
\underline{\Phi}(y)=
\left\{\begin{array}{ll}
	y\ln\dfrac{y}{e}-\dfrac{\pi}{2}\,, &\quad 0<y<\dfrac{2}{3\pi},  \\[3mm]
	y\ln\dfrac{y}{e}-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{6y}\,, &\quad y\geqslant\dfrac{2}{3\pi}, \\[3mm]
	\end{array}
	\right.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\overline{\Phi}(y)=
\left\{\begin{array}{ll}
	-\dfrac{\pi}{2}\,, &\quad 0<y<y_0,  \\[3mm]
	y\ln\dfrac{y}{e}-\dfrac{\pi}{4}\,, &\quad y\geqslant y_0, \\[3mm]
	\end{array}
	\right.
\end{equation*}
где
\begin{equation*} 
\frac{3}{2\pi}=0.21\,\ldots\,,\quad y_0=-\frac{\pi}{4W_{-1}\left(-\frac{\pi}{4e}\right)}=0.42\,\ldots\,, 
\end{equation*}
а $W_{-1}$ --- подходящая ветвь $W$-функции Ламберта.
\end{theorem}
\begin{proof}
Считаем, что $y>0$. Воспользуемся для $\Phi$ представлением~\eqref{Phi1}, в котором функция $g$ при $t>0$ обладает свойствами
\begin{equation*}
	g(t)>0,\qquad g'(t)<0,
\end{equation*}
легко вытекающими из разложения на сумму элементарных дробей
\begin{equation*}
g(t)=2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{t^2+4\pi^2 n^2}.
\end{equation*}
По следствию 1 из теоремы 2 гл. 2 монографии~\cite{Sed05} интеграл
\begin{equation*}
	\int\limits_{0}^{+\infty} g(t)\sin (yt)\,dt
\end{equation*}
положителен, и поэтому для $\Phi$ верна оценка
\begin{equation}\label{upestPhi}
	\Phi(y)<y\ln \frac{y}{e}-\frac{\pi}{4}.
\end{equation}
С другой стороны, после интегрирования по частям
\begin{equation*}
	\int\limits_{0}^{+\infty}g(t)\sin(yt)\,dt=\frac{1}{12y} +\frac{1}{y} \int\limits_{0}^{+\infty} g'(t)\cos(yt)\,dt<\frac{1}{6y},
\end{equation*}
поскольку 
\begin{equation*}
\int\limits_{0}^{+\infty} g'(t)\cos(yt)\,dt<-\int\limits_{0}^{+\infty} g'(t)\,dt=g(0)=\frac{1}{12}.	
\end{equation*}
Поэтому выполнена оценка снизу
\begin{equation}\label{destPhi}
\Phi(y)>y\ln \frac{y}{e}-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{6y}.	
\end{equation}

Правые части~\eqref{upestPhi} и~\eqref{destPhi} дают соответственно формулы для $\overline{\Phi}$ и~$\underline{\Phi}$ при <<больших>> $y$. 
При <<малых>> же значениях $y>0$ лучше воспользоваться представлением~\eqref{Phi2}, записав его в виде
\begin{equation*}
	\Phi(y)=y\ln \frac{y}{e}-\frac{\pi}{2}+\Psi(y)
\end{equation*}
с функцией~\eqref{Psi}. При доказательстве свойства $5^{\circ}$ из раздела 2 установлено, что $\Psi$ положительна и возрастает. 
Отсюда имеем другую оценку снизу
\begin{equation}\label{destPhi1}
\Phi(y)>y\ln \frac{y}{e}-\frac{\pi}{2}.	
\end{equation}
Возьмем теперь
\begin{equation*}
\underline{\Phi}(y)=y\ln \frac{y}{e} - \frac{\pi}{2}\quad \mbox{при}\quad  y\in\left( 0,\frac{2}{3\pi}\right).	
\end{equation*}
Точка $2/(3\pi)$ выбрана для сшивки по непрерывности с правой частью~\eqref{destPhi}. 
Таким образом, миноранта $\underline{\Phi}$ построена. Перейдем к нахождению мажоранты $\overline{\Phi}$ при <<малых>> значениях $y$. 
Правая часть~\eqref{upestPhi} для этого плоха, поскольку $\Phi(0)=-\pi/2$. 
Выберем в качестве простейшей мажоранты при $y\in (0,y_0)$ постоянную функцию  $\overline{\Phi}(y)\equiv\Phi(0)=-\pi/2$. 
Непрерывность мажоранты дает для точки $y_0$ значение   
\begin{equation*}
	y_0=-\frac{\pi}{4W_{-1}\left(-\frac{\pi}{4e} \right) }.
\end{equation*}
При $y\in (0,y_0)$ действительно выполнено неравенство $\Phi(y)<-\pi/2$, поскольку $\Phi$ выпукла вниз (см. 4$^{\circ}$) и (в силу выбора $y_0$)
\begin{equation*}
	\Phi(y_0)=y_0\ln\frac{y_0}{e}-\frac{\pi}{4}-\int\limits_{0}^{+\infty}g(t)\sin(y_0 t)\,dt
	=-\frac{\pi}{2}-\int\limits_{0}^{+\infty}g(t)\sin(y_0 t)\,dt<-\frac{\pi}{2}.
\end{equation*}
Мажоранта $\overline{\Phi}$ построена. Доказательство теоремы~\ref{th1} завершено.
\end{proof}
\begin{center}
	\begin{figure}[h!]
		\includegraphics[width=80mm]{2.png}	
		\vspace{0mm}
		\caption{Графики функций $\Phi$ (синий), $\overline{\Phi}$ (зеленый) и $\underline{\Phi}$ (оранжевый).}
	\end{figure}	
\end{center}	
Графики мажоранты и миноранты из теоремы~\ref{th1} даны на рис.~2.
\begin{remark}\label{r2}
	В теореме~\ref{th1} по сравнению с~\cite{KoSh25} мы уточняем границы для функции $\Phi$, используя дополнительные сведения о ее поведении, доказанные в разделе 2. Отметим также, что свойство выпуклости функции $\Phi$ позволяет легко улучшить и миноранту $\underline{\Phi}$ при <<малых>> $y$, взяв ее в виде
	\begin{equation*}
		\underline{\Phi}(y)=
		\left\{\begin{array}{ll}
			-\gamma\, y -\dfrac{\pi}{2}\,, &\quad 0<y<\widetilde{y}_0,  \\[3mm]
			y\ln\dfrac{y}{e}-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{6y}\,, &\quad y\geqslant\widetilde{y}_0, %\\[3mm]
		\end{array}
		\right.
	\end{equation*}
где $\widetilde{y}_0=0.69\ldots $ --- корень трансцендентного уравнения
\begin{equation*}
	y\ln y - (1-\gamma)y - \frac{1}{6y}=-\frac{\pi}{4},
\end{equation*}
который не выписывается явно. Авторы остановились на более грубом варианте, но с <<хорошей>> точкой сшивки $2/(3\pi)$. 
Впрочем, поведение $\Phi$ при <<малых>> $y>0$ подробнее исследуется в разделе 4  (см. иллюстрацию  на рис.~5).
\end{remark}

Двусторонняя оценка~\eqref{estPhi1} позволяет выделить промежутки по переменной $y>0$ с указанием правила вычисления на них главного значения аргумента величины $\Gamma(iy)$. Пусть $m\in \mathbb{N}$. Введем необходимые обозначения, положив  
\begin{equation}\label{ym}
y_m=\frac{(8m-3)\pi}{4W_0\left( \frac{(8m-3)\pi}{4e}\right) },\quad \underline{y}_m=\frac{3(8m-3)\pi y_m+2}{12\,y_mW_0\left( \frac{3(8m-3)\pi y_m+2}{12e y_m}\right) },	
\end{equation}
\begin{equation}\label{upym}
	\overline{y}_m=\frac{(8m+5)\pi}{4W_0\left( \frac{(8m+5)\pi}{4e}\right) },\quad
		\overline{y}_0=\frac{5\pi}{4W_0\left( \frac{5\pi}{4e}\right) }.
\end{equation}
\begin{theorem}\label{th2}
	Пусть $\Phi$ --- функция, определенная в~\eqref{Phi1}. Тогда главное значение аргумента величины $\Gamma(iy)$ 
	при попадании $y$ в начальный интервал $(0,\overline{y}_0)=(0,\,5.52\ldots)$ вычисляется по правилу
	\begin{equation*}
		\arg \Gamma(iy)=\Phi(y).
	\end{equation*}
Если же $y\in (\,\underline{y}_{\,m},\overline{y}_m)$ с выбранным $m\in \mathbb{N}$, то правило выглядит так
\begin{equation*}
	\arg \Gamma(iy)=\Phi(y)-2\pi m.
\end{equation*}
Границы фигурирующих здесь интервалов заданы в~\eqref{ym}, \eqref{upym}.
\end{theorem}
\begin{proof}
	Минимальное значение функции $y\ln y -y$ равно $-1$ и~достигается при $y=1$. Из~\eqref{destPhi1} следует, что
	\begin{equation}\label{destPhi2}
	\Phi(y)>\left.\left(y\ln \frac{y}{e} \right)\, \right|_{y=1}-\frac{\pi}{2}=-1-\frac{\pi}{2}>-\pi 
	\end{equation}
при всех $y>0$.
Возьмем в качестве правой границы начального интервала корень уравнения
\begin{equation}\label{L5pi/4}
	y\ln \frac{y}{e}=\frac{5\pi}{4},
\end{equation}
приравняв для этого правую часть~\eqref{upestPhi} к $\pi$. Уравнение~\eqref{L5pi/4} имеет единственное решение
\begin{equation*}
	\overline{y}_0=\frac{5\pi}{4W_0\left( \frac{5\pi}{4e}\right) } >e.
\end{equation*}
С учетом~\eqref{upestPhi} для всех $y\in (0,\overline{y}_0)$ имеем
\begin{equation*}
	\Phi(y)<y\ln \frac{y}{e} - \frac{\pi}{4}<\overline{y}_0\ln \frac{\overline{y}_0}{e} - \frac{\pi}{4}=\pi.
\end{equation*}
В сочетании с~\eqref{destPhi2} получим, что 
\begin{equation*}
	-\pi<\Phi(y)<\pi, \quad y\in(0,\overline{y}_0).
\end{equation*}

Зафиксируем теперь произвольное $m\in \mathbb{N}$ и докажем, что всюду на интервале $(\,\underline{y}_{\,m},\overline{y}_m)$ 
справедливо двойное неравенство
\begin{equation}\label{dubineqPhi1}
	2\pi m-\pi<\Phi(y)<2\pi m + \pi .
\end{equation}
Правая граница интервала есть корень уравнения
\begin{equation*}
y\ln \frac{y}{e}=\frac{5\pi}{4}+2\pi m,	
\end{equation*}
которое получается приравниванием правой части~\eqref{upestPhi} к $\pi+2\pi m$. Записанное уравнение имеет единственное решение
\begin{equation*}
\overline{y}_m =\frac{(8m+5)\pi}{4W_0\left( \frac{(8m+5)\pi}{4e}\right) }>e.
\end{equation*}
Как и выше, для всех $y\in (0,\overline{y}_m)$ с учетом~\eqref{upestPhi} имеем
\begin{equation}\label{upineqPhi1}
	\Phi(y)<y\ln \frac{y}{e} - \frac{\pi}{4}<\overline{y}_m\ln \frac{\overline{y}_m}{e} - \frac{\pi}{4}=\pi+2\pi m.
\end{equation}
Левую границу интервала построим в два этапа. Сначала решим уравнение
\begin{equation*}
y\ln \frac{y}{e}=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,	
\end{equation*}
полученное приравниванием правой части~\eqref{upestPhi} к $-\pi+2\pi m$. Его решение
\begin{equation*}
	y_m=\frac{(8m-3)\pi}{4W_0\left( \frac{(8m-3)\pi}{4e}\right) }>e
\end{equation*}
используем для составления подправленного уравнения
\begin{equation*}
	y\ln \frac{y}{e}=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m+\frac{1}{6y_m}.	
\end{equation*}
Решением последнего является
\begin{equation*}
	\underline{y}_{\,m}=\frac{3(8m-3)\pi y_m+2}{12\,y_mW_0\left( \frac{3(8m-3)\pi y_m+2}{12e y_m}\right) }>y_m.
\end{equation*}
Согласно~\eqref{destPhi} для всех $y>\underline{y}_{\,m}$  запишем
\begin{align*}
	\Phi(y)>y\ln \frac{y}{e} - \frac{\pi}{4}-\frac{1}{6y}>y_m\ln \frac{y_m}{e} - \frac{\pi}{4}-\frac{1}{6y}\\
	=-\pi+2\pi m+\frac{1}{6}\left( \frac{1}{y_m}-\frac{1}{y}\right)>-\pi+2\pi m .
\end{align*}
Осталось привлечь соотношение~\eqref{upineqPhi1}, чтобы убедиться в справедливости~\eqref{dubineqPhi1} при $y\in (\underline{y}_{\,m},\overline{y}_m)$. 
Теорема~\ref{th2} доказана.
\end{proof}
Трансцендентные уравнения, подобные~\eqref{L5pi/4}, 
находят важные применения в теории экстремальных задач для выпуклых и целых функций (см., например,~\cite{Br16}). 

Дополним  картину поведения функции~\eqref{Phi1} полезными фактами.
\begin{proposition}\label{p1}
	Справедливо асимптотическое равенство
	\begin{equation}\label{asPhi}
		\Phi(y)=y\ln y -y-\frac{\pi}{4}+O\left(\frac{1}{y} \right),\quad y\to +\infty. 
	\end{equation}
\end{proposition}
\begin{proof}
	В процессе доказательства теоремы~\ref{th1} установлены оценки~\eqref{upestPhi} и~\eqref{destPhi}, которые дают двойное неравенство
	\begin{equation*}%\label{eqPhneg}
	y\ln \frac{y}{e}-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{6y}<\Phi(y)<y\ln \frac{y}{e}-\frac{\pi}{4},
	\end{equation*}
верное при всех $y>0$ и влекущее~\eqref{asPhi}. Предложение~\ref{p1} доказано.
\end{proof}
График функции $u=\arg \Gamma(iy)$ с отмеченными границами интервалов из теоремы~\ref{th2} представлен на рис.~3. В силу формулы~\eqref{Phi''1} и асимптотики~\eqref{asPhi'} при $y\to +\infty$ имеем $\Phi''(y)\to 0$ и $\Phi'(y)\to +\infty$, вследствие чего (см. также~\eqref{asPhi}) с ростом $y$ к бесконечности связные части графика <<выпрямляются>>, стремясь к вертикальному положению.
\begin{center}
	\begin{figure}[h!]
		\includegraphics[width=128mm]{3.png}
		\vspace{0mm}
		\caption{График функции $u=\arg \Gamma(iy)$ при $y\geqslant 0$.}
	\end{figure}	
\end{center}	


В разделе~2 (см. там свойство~6$^{\circ}$) показано, что функции $\Phi$ имеет единственный нуль $y_* \in (1,+\infty)$. 
Из неравенства~\eqref{upestPhi} очевидно, что $y_*>e$. Более точную информацию о расположении $y_*$ дает такое утверждение.
\begin{proposition}\label{p2}
Нуль $y_*$ лежит в~интервале $(\,\underline{y}_{\,*},\overline{y}_*)$, где
\begin{equation*}
\underline{y}_{\,*}=\frac{\pi}{4W_0\left(\frac{\pi}{4e} \right) }=3.42\ldots,\quad 
\overline{y}_*=\frac{3\pi\underline{y}_{\,*}+2}{12\,\underline{y}_{\,*}
W_0\left(\frac{3\pi\underline{y}_{\,*}+2}{12e\,\underline{y}_{\,*}}\right)}=3.45\ldots\,,
\end{equation*}
и других нулей на $[0,+\infty)$ функция $\Phi$ не имеет.
\end{proposition}
\begin{proof}
	Как уже отмечалось, нуль $y_*$ функции $\Phi$ существует, единственный и больше $e$. Рассмотрим уравнение
	\begin{equation*}
		y \ln \frac{y}{e}=\frac{\pi}{4},
	\end{equation*}
приравняв правую часть~\eqref{upestPhi} к нулю. Получим корень
\begin{equation*}
	\underline{y}_{\,*}=\frac{\pi}{4W_0\left(\frac{\pi}{4e} \right) }.
\end{equation*}
Из~\eqref{upestPhi} следует, что $\Phi(\underline{y}_{\,*})<0$, откуда $y_*>\underline{y}_{\,*}$. 
Оценим $y_{*}$ сверху, решив уравнение
\begin{equation*}
	y \ln \frac{y}{e}=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{6\underline{y}_{\,*}}.
\end{equation*}
Его корень
\begin{equation*}
	\overline{y}_*=\frac{3\pi\underline{y}_{\,*}+2}{12\,\underline{y}_{\,*}
	W_0\left(\frac{3\pi\underline{y}_{\,*}+2}{12e\,\underline{y}_{\,*}}\right)}>\underline{y}_{\,*}.
\end{equation*}
В соответствии с~\eqref{destPhi} имеем
\begin{equation*}
\Phi(\overline{y}_*)>\overline{y}_*\ln \frac{\overline{y}_*}{e} - \frac{\pi}{4}-\frac{1}{6\overline{y}_*}
=\frac{1}{6\underline{y}_{\,*}}-\frac{1}{6\overline{y}_*}>0.	
\end{equation*}
Поэтому $y_*<\overline{y}_*$. Предложение~\ref{p2} доказано.
\end{proof}
Найдем на мнимой полуоси $y>0$ точки, в которых гамма-функция принимает вещественные значения. 
Все такие точки находятся как решения следующих двух серий уравнений
\begin{align}
	\Phi(y)&=\pi+2\pi m,\quad m\in \mathbb{N}_0\equiv \mathbb{N}\cup \left\lbrace 0 \right\rbrace, \label{eqPhneg}\\
	\Phi(y)&=2\pi m,\quad m\in \mathbb{N}_0\,.  \label{eqPhpos}
\end{align} 
При фиксированном $m$ каждое из уравнений~\eqref{eqPhneg}, \eqref{eqPhpos} имеет единственное решение $\mu_m$ и $\eta_m$ соответственно 
(см. 6$^\circ$ и рис.~1). В точках $i\mu_m$ мнимой полуоси гамма-функция принимает отрицательные значения, в~точках $i\eta_m$ --- положительные, 
а во всех остальных точках полуоси $y>0$ значения гамма-функции комплексные (невещественные). 
Пример локализации $\eta_0=y_*$ дан в предложении~\ref{p2}. 
Тем же способом можно оценить значение $\mu_m$ или $\eta_m$ при любом заданном номере $m\in \mathbb{N}_0$.

Используя логарифмическую шкалу, опишем поведение членов возникших последовательностей при больших номерах. Для этого введем краткие обозначения
\begin{equation*}
	\alpha_m=\frac{1}{e}\left(\frac{5\pi}{4} + 2\pi m \right),\qquad \beta_m=\frac{1}{e}\left(  \frac{\pi}{4}+ 2\pi m \right) ,\quad m\in \mathbb{N}_0\,,
\end{equation*}	
и докажем следующий результат.
\begin{proposition}\label{p3}
	При $m \to \infty$ верны асимптотические равенства 
	\begin{align}
	\ln \mu_m&=\ln \alpha_m-\ln \ln \alpha_m +1+\frac{\ln \ln \alpha_m}{\ln \left( e\alpha_m\right) } + O\left( \frac{\ln^2 \ln \alpha_m}{\ln^2 \alpha_m }\right), \label{asneg}	\\
	\ln \eta_m&=\ln \beta_m-\ln \ln \beta_m+1+\frac{\ln \ln \beta_m}{\ln \left( e\beta_m\right) } + O\left( \frac{\ln^2 \ln \beta_m}{\ln^2 \beta_m}\right). 	\label{aspos}	
	\end{align}
\end{proposition}
\begin{proof}
	Выведем формулу~\eqref{aspos}. Обоснование асимптотики~\eqref{asneg} проводится аналогично. Итак, в наших обозначениях имеем  
\begin{equation*}
\Phi(\eta_m)=2\pi m,\qquad \beta_m =\frac{\pi}{4e}\left(8m+1 \right),\quad m\in \mathbb{N}_0\,. 	
\end{equation*}
Зафиксируем $m\in \mathbb{N}_0$. Согласно~\eqref{upestPhi} запишем
\begin{equation*}
	\eta_m \ln \frac{\eta_m}{e} > \frac{\pi}{4}+2\pi m,
\end{equation*}
откуда
\begin{equation}\label{etamd}
	\eta_m > \frac{\pi (8m+1)}{4W_0\left(\frac{\pi (8m+1)}{4e}\right) }=\frac{e\beta_m}{W_0(\beta_m)}\equiv \underline{\eta}_{\,m},
\end{equation}
что дает оценку снизу для корня уравнения~\eqref{eqPhpos}. Оценку сверху выведем из~\eqref{destPhi} с учетом~\eqref{etamd}. Получим
\begin{equation*}
\eta_m \ln \frac{\eta_m}{e}< \frac{\pi}{4}+2\pi m	+\frac{1}{6\eta_m}< \frac{\pi}{4}+2\pi m	+\frac{1}{6\hskip1pt\underline{\eta}_{\,m}},
\end{equation*}
откуда
\begin{equation}\label{fo32}
	\eta_m < \frac{\pi(8m+1)\,\underline{\eta}_{\,m}+2}{12\,\underline{\eta}_{\,m} 
	W_0\left(\frac{\pi(8m+1)\,\underline{\eta}_{\,m}+2}{12e\,\underline{\eta}_{\,m}} \right) }\equiv \overline{\eta}_{m}.
\end{equation}
Итак, справедливо двойное неравенство
\begin{equation}\label{etamup}
	\underline{\eta}_{\,m}<\eta_m<\overline{\eta}_m,\quad m\in \mathbb{N}_0,
\end{equation}
с границами, заданными в~\eqref{etamd} и~\eqref{fo32}.
Поскольку $\Phi(y)$ заведомо возрастает при $y>y_*$, то обратная функция $\Phi^{-1}(\beta)$ возрастает при $\beta>0$. 
Поэтому $\eta_m =\Phi^{-1}(\beta_m)$ является монотонно возрастающей и бесконечно большой последовательностью.

Обозначим еще
\begin{equation}\label{etamupd}
	\overline{\beta}_m \equiv \frac{\pi}{4e}(8m+1)+\frac{1}{6e\hskip1pt\underline{\eta}_{\,m}}=\beta_m+\frac{1}{6e\hskip1pt\underline{\eta}_{\,m}},
\end{equation}
чтобы переписать неравенство~\eqref{etamup} в <<симметричной>> форме
\begin{equation*}
	\frac{\beta_m}{W_0(\beta_m)}<\frac{\eta_m}{e}<\frac{\overline{\beta}_m}{W_0(\,\overline{\beta}_m)}
\end{equation*}
через значения основной ветви $W$-функции Ламберта. С учетом определения последней возможна эквивалентная запись
\begin{equation*}
	\exp\left( {W_0(\beta_m)}\right) <\frac{\eta_m}{e}<\exp\left( {W_0(\,\overline{\beta}_m)}\right).
\end{equation*}
После логарифмирования получим результат
\begin{equation}\label{lnetamupd}
	1+W_0(\beta_m)<\ln \eta_m<1+W_0(\,\overline{\beta}_m),\quad m\in \mathbb{N}_0,
\end{equation}
удобный для обоснование асимптотической формулы~\eqref{aspos}.

Будем опираться на двустороннюю оценку
\begin{equation}\label{dineqW}
\ln \frac{\beta}{\ln \beta} + \frac{\ln \ln \beta}{\ln (\beta e)}\leqslant W_0(\beta) \leqslant 
\ln \frac{\beta}{\ln \beta}+ \frac{\ln \ln \beta}{\ln (\beta e)} +\frac{\ln \beta}{\ln^3 (\beta e)}\ln^2 \ln \beta ,	
\end{equation}
справедливую при  $\beta\geqslant e$. Простейшим следствием из~\eqref{dineqW} является соотношение
\begin{equation}\label{asW}
W_0(\beta)=	\ln \beta + O\left( \ln \ln \beta \right),\quad \beta \to +\infty.  
\end{equation}
Оценка~\eqref{dineqW} доказана авторами в~\cite{KoSh23} и дополняет развернутый асимптотический результат работы~\cite{Kn96}. 
Применив~\eqref{dineqW} к~\eqref{lnetamupd}, получим, что
\begin{align}
\ln \eta_m &>  1+\ln \beta_m - \ln \ln \beta_m + \frac{\ln \ln \beta_m}{\ln (\beta_m e)}\,,\label{destlnetam}\\ 	
\ln \eta_m &< 1+\ln \overline{\beta}_m - \ln \ln \overline{\beta}_m + \frac{\ln \ln \overline{\beta}_m}{\ln (\hskip1pt\overline{\beta}_m e)} 
+\frac{\ln \overline{\beta}_m}{\ln^3 (\hskip1pt\overline{\beta}_m e)}\ln^2 \ln \overline{\beta}_m \label{upestlnetam}
\end{align}
для всех $m\geqslant 2$. Обработаем неравенство~\eqref{upestlnetam}, используя~\eqref{asW} и связь~\eqref{etamupd}, 
в~которой величина $\underline{\eta}_{\,m}$ взята из~\eqref{etamd}. 

При $m\to \infty$ справедливы равенства
\begin{align*}\frac{1}{\underline{\eta}_{\,m}}&=\frac{4W_0(\beta_m)}{e\beta_m}=O\left(\frac{\ln \beta_m}{\beta_m} \right) ,\\[2mm]
	 \overline{\beta}_m&=\beta_m+O\left( \frac{1}{\underline{\eta}_{\,m}}\right) =\beta_m+O\left(\frac{\ln \beta_m}{\beta_m} \right),\\[2mm]
	\ln \overline{\beta}_m -\ln \beta_m &= \ln\left(1+O\left(\frac{\ln \beta_m}{\beta^2_m} \right) \right) = O\left(\frac{\ln \beta_m}{\beta^2_m} \right),\\[2mm]
	\ln \ln \overline{\beta}_m -\ln \ln \beta_m &=\ln\left(1+O\left(\frac{1}{\beta^2_m} \right) \right) = O\left(\frac{1}{\beta^2_m} \right),\\[2mm]
	\frac{\ln \ln \overline{\beta}_m}{\ln (\hskip1pt\overline{\beta}_m e)}-\frac{\ln \ln \beta_m}{\ln (\beta_m e)}&=O\left(\frac{\ln \ln \beta_m}{\beta^2_m 
	\ln \beta_m} \right),\\[2mm]
	\frac{\ln \overline{\beta}_m}{\ln^3 (\hskip1pt\overline{\beta}_m e)} \ln^2 \ln \overline{\beta}_m &=O\left(\frac{\ln^2 \ln \beta_m}{\ln^2 \beta_m} \right).
\end{align*}
Теперь видно, что правые части неравенств~\eqref{destlnetam}, \eqref{upestlnetam} отличаются на величину порядка
\begin{equation*}
	O\left(\frac{\ln^2 \ln \beta_m}{\ln^2 \beta_m} \right),\quad m\to \infty,
\end{equation*}
откуда и следует формула~\eqref{aspos}. Предложение~\ref{p3} доказано.
\end{proof}
Формулы~\eqref{asneg}, \eqref{aspos} детально описывают асимптотическое поведение логарифмов  $\mu_m$ и $\eta_m$, показывая, в частности, что $\mu_m\sim \eta_m$ при $m\to \infty$. Поведение самих $\mu_m$ и $\eta_m$ асимптотики~\eqref{asneg}, \eqref{aspos} отражают хуже, хотя соответствующая задача, возможно, представляет интерес.

В конце этого раздела уточним поведение функции~\eqref{Psi}, тесно связанной с основной функцией~\eqref{Phi1}. 
	\begin{proposition}\label{p4}
		Функция $\Psi$, заданная в~\eqref{Psi}, обладает свойствами
		\begin{align}
		\lim\limits_{y\to +\infty} \Psi(y)=\frac{\pi}{4},\label{Psinfty}\\[2mm]
		\Psi''(y)<0\quad\mbox{при всех}\quad y>0.\label{Psi''}	
		\end{align}
	\end{proposition}
\begin{proof}
Проверим сначала равенство~\eqref{Psinfty}. Для этого	запишем формулу~\eqref{Psi} в виде
	\begin{equation*}
		\Psi(y)=\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{2h(t)-1}{2t}\sin (yt)\,dt \,+\,\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\sin (yt)}{2t}\,dt
	\end{equation*}
с функцией $h$ из определения~\eqref{funh}. При $R>0$ осуществим еще одно преобразование
	\begin{equation}\label{Psint}
\Psi(y)=\int\limits_{0}^{R}\frac{2h(t)-1}{2t}\sin (yt)\,dt\hskip1pt+\int\limits_{R}^{+\infty}\frac{h(t)\sin (yt)}{t}\,dt\hskip1pt-
	\int\limits_{R}^{+\infty}\frac{\sin (yt)}{2t}\,dt \,+\,\frac{\pi}{4}.
 \end{equation}
Зададим произвольное малое $\varepsilon >0$ и подберем $R>0$ так, чтобы для всех  $y \geqslant 1$ одновременно выполнялись неравенства
\begin{equation*}
\left|\,\int\limits_{R}^{+\infty}\frac{h(t)}{t}\sin (yt)\,dt\,\right|\leqslant \int\limits_{R}^{+\infty}\frac{h(t)}{t}\,dt 
<\frac{\varepsilon}{3},\qquad \left|\, \int\limits_{R}^{+\infty}\frac{\sin (yt)}{2t}\,dt\,\right| <\frac{\varepsilon}{3}.
\end{equation*}
Зафиксируем найденное $R>0$ и применим к непрерывной на $[0,R]$ функции $\left(h(t)-0.5\right)/t$ {} 
лемму Римана~(см., например,~\cite[гл.~18, $\S$\,2]{Zor04}), в~силу которой найдется такое  $Y_0 \geqslant 1$, 
что при всех $y\geqslant Y_0$ справедливо неравенство
\begin{equation*}
	 \left|\, \int\limits_{0}^{R}\frac{2h(t)-1}{2t}\sin (yt)\,dt\,\right| <\frac{\varepsilon}{3} .
\end{equation*}
Итак, согласно~\eqref{Psint}, для всех $y\geqslant Y_0$ имеем $\left| \Psi(y)-\pi/4\right| <\varepsilon$.  
Предельное соотношение~\eqref{Psinfty} доказано.

Перейдем к доказательству свойства~\eqref{Psi''}, влекущего строгую выпуклость вверх функции $\Psi$ 
на положительной полуоси. Используя~\eqref{Phi''2}, \eqref{PhiPsi}, запишем
\begin{align*}
	\Psi''(y)=\Phi''(y)-\left( y\ln \frac{y}{e}\right)''=
	\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2yn}{\left(n^2+y^2 \right)^2 }-\frac{1}{y},\quad y>0.
\end{align*}
Значит, неравенство~\eqref{Psi''} равносильно тому, что 
\begin{equation*}%\label{Sumles1}
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2y^2 n}{\left(n^2+y^2 \right)^2 }<1\quad \mbox{при всех}\quad y>0.	
\end{equation*}
А это вытекает из цепочки соотношений
\begin{equation*}
	\frac{2y^2 n}{\left(n^2+y^2 \right)^2 }\leqslant \frac{n}{\left(n^2+0.5 \right)^2 }<\frac{1}{n\left(n+1 \right) },\quad n\in \mathbb{N},
\end{equation*}
и равенства
\begin{equation*}
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\left(n+1 \right) }=1	.
\end{equation*}
Утверждение полностью доказано.
\end{proof}
Наглядное представление о свойствах вспомогательной функции $\Psi$, отмеченных в~замечании~\ref{r1} и предложении~\ref{p4}, можно получить из рис.~4.

\begin{center}
	\begin{figure}[h!]
		\includegraphics[width=130mm]{4.png}
		\vspace{0mm}
		\caption{График вспомогательной функции $\Psi$, заданной в~\eqref{Psi}.}
	\end{figure}
\end{center}


\section{Альтернативный подход к решению задачи}

Обсудим здесь другой возможный подход к изучению свойств функции $\Phi$, основанный на представлении
\begin{equation}\label{PhiSum}
	\Phi(y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{y}{n}-\operatorname{\mathrm{arctg}} \frac{y}{n}\right) -\gamma y-\frac{\pi}{2},\quad y>0.
\end{equation}
Формула~\eqref{PhiSum} фактически отмечена в~\cite{KS25}. Там же указана связь
\begin{equation}\label{Sumzeta}
	\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \frac{y}{n}-\operatorname{\mathrm{arctg}} \frac{y}{n}\right)
	=\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m+1}\zeta(2m+1)}{2m+1}\,y^{2m+1},\quad 0<y \leqslant 1,
\end{equation}
в которой $\zeta$ --- дзета-функция Римана.

Рассмотрим <<комплексифицированный>> ряд
\begin{equation}\label{Sumcompl}
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \frac{w}{n}-\operatorname{\mathrm{arctg}} \frac{w}{n}\right),	
\end{equation}
где переменная $w$ принадлежит полосе $\left|\operatorname{\mathrm{Im}}w\right| <1$. Пусть $K$ --- произвольный компакт из этой полосы 
и $d\equiv\max \left\lbrace |w|:\,w\in K \right\rbrace>0 $. Для $w\in K$ и~номеров $n>\sqrt{2}\,d$ запишем оценку
\begin{align*}
\left|\frac{w}{n}-\operatorname{\mathrm{arctg}} \frac{w}{n}\right| 
=\left|\int\limits_{0}^{w/n}\frac{\tau^2}{1+\tau^2}\,d\tau\right|&\leqslant \frac{|w|}{n}\,\max\limits_{\tau\in[0,w/n]}	\,\frac{|\tau|^2}{|1+\tau^2|}
\leqslant \\[2mm] &\leqslant \frac{d}{n}\,\frac{d^2/n^2}{1-d^2/n^2}<2\,\frac{d^3}{n^3},
\end{align*}
где интеграл взят по отрезку $[0,w/n]$. Как видим, ряд~\eqref{Sumcompl}, составленный из аналитических в полосе $\left|\operatorname{\mathrm{Im}}w\right|<1$ функций, сходится равномерно на компактах из $\left| \operatorname{\mathrm{Im}}w\right| <1$, а его сумма согласно теореме Вейерштрасса 
является аналитической в этой полосе. Тем самым $\Phi$ есть аналитическая функция вещественной переменной $y>0$ как сужение на положительную полуось функции, аналитической при $\left| \operatorname{\mathrm{Im}}w\right| <1$. Считая, что $\Phi(0)=-\pi/2$, получим непрерывную при $y\geqslant 0$ функцию.

Формула для производной имеет вид
\begin{equation}\label{SumPhi'}
	\Phi'(y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{y^2}{n\left(n^2+y^2 \right) }-\gamma,\quad y\geqslant 0,
\end{equation}
поскольку ряд в~\eqref{SumPhi'}, полученный почленным дифференцированием ряда~\eqref{Sumcompl}, сходится равномерно на любом отрезке $[0,c]$, где $c>0$. 
В частности, $\Phi'(0)=-\gamma$. Очевидно, что функция~\eqref{SumPhi'} возрастает от $-\gamma$ до~$+\infty$, принимая значение, равное нулю, 
в единственной точке $y_{\min}>0$. Локализуем точку $y_{\min}$ глобального минимума функции~\eqref{PhiSum}. 
Вначале заметим, что $y_{\min}<1$, так как
\begin{equation*}
\Phi'(1)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\left(n^2+1 \right) }-\gamma>\frac{1}{2}\;\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3 }
=\frac{1}{2}\,\zeta(3)-\gamma=0.02\ldots>0.	
\end{equation*}
С другой стороны,
\begin{equation*}
	\gamma=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{y_{\min}^2}{n\left(n^2+y_{\min}^2 \right) }<\frac{y_{\min}}{2}\;\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 }
	=\frac{\pi^2}{12}\,y_{\min},
\end{equation*}
откуда $y_{min}>12\gamma/\pi^2>0.7$. Интервал $(0.7,\,1)$ локализации   точки $y_{\min}$ можно существенно уменьшить, 
если оценить производную~\eqref{SumPhi'} не столь грубо. Например, вполне ясно, что
\begin{equation*}
	a\equiv\frac{4}{5}\left(\zeta(3)-1 \right)< \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\left(n^2+y_{\min}^2 \right)}<\zeta(3)-1\equiv b,
\end{equation*}
ибо $0<y_{\min}<1\leqslant n/2$ при всех $n\geqslant 2$. Это дает неравенства
\begin{equation*}
	\frac{1}{1+y_{\min}^2}+a<\frac{\gamma}{y_{\min}^2}<\frac{1}{1+y_{\min}^2}+b,
\end{equation*}
которые можно переписать в форме двусторонней оценки
\begin{equation*}
	\frac{\sqrt{D_b}-(b+1-\gamma)}{2b}<y_{\min}^2<\frac{\sqrt{D_a}-(a+1-\gamma)}{2a},
\end{equation*}
Компьютерный анализ формулы~\eqref{SumPhi'} показывает, что на самом деле $y_{\min}\in (0.88,\,0.89)$.

Оценим теперь минимальное значение $\Phi_{\min}\equiv \Phi (y_{\min})$. Для этого удобно воспользоваться представлением~\eqref{Sumzeta}. 
\begin{center}
	\begin{figure}
		\includegraphics[width=130mm]{5.png}
		\vspace{0mm}
		\caption{Графики функций $\Phi$ (синий), $\Phi_1$ (оранжевый) и~$\Phi_2$ (зеленый).}
	\end{figure}
\end{center}
Поскольку
\begin{equation*}
	\frac{1}{3}\,\zeta(3)\,y^3-\frac{1}{5}\,\zeta(5)\,y^5<
	\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m+1}\zeta(2m+1)}{2m+1}\,y^{2m+1} <\frac{1}{3}\,\zeta(3)\,y^3
\end{equation*}
при всех $y\in (0,1]$, то
\begin{equation}\label{dublineqPhi}
	\Phi_1(y)<\Phi(y)<\Phi_2(y),\quad y\in (0,1],
\end{equation}
где обозначено
\begin{equation}\label{Phi12}
	\Phi_1(y)\equiv \frac{1}{3}\,\zeta(3)\,y^3-\frac{1}{5}\,\zeta(5)\,y^5-\gamma\, y-\frac{\pi}{2},\quad 
	\Phi_2(y)\equiv \frac{1}{3}\,\zeta(3)\,y^3-\gamma\, y-\frac{\pi}{2}.
\end{equation}
Проверяется, что
\begin{equation*}
\Phi_1'(y)= \zeta(3)\,y^2-\zeta(5)\,y^4-\gamma<0,\quad \Phi_2'(y)= \zeta(3)\,y^2-\gamma>0	
\end{equation*}
для всех $y\in (0.7,\,1]$. Следовательно, на таком промежутке $\Phi_1$ убывает, а $\Phi_2$ возрастает, и верны оценки
\begin{equation*}
	\Phi_1(1)<\Phi_1(y_{\min})<\Phi(y_{\min})<\Phi_2(y_{\min})<\Phi_2(1).
\end{equation*}
Отсюда
\begin{equation*}
\frac{1}{3}\,\zeta(3)-\frac{1}{5}\,\zeta(5)-\gamma-\frac{\pi}{2}<\Phi_{\min}<\frac{1}{3}\,\zeta(3)-\gamma-\frac{\pi}{2}	
\end{equation*}
со  значениями границ $-1.95\ldots$ и $-1.74\ldots$ соответственно. 
Численный анализ формулы~\eqref{PhiSum} на компьютере дает $\Phi_{\min} \in (-1.878,-1.877)$.

Итак, на отрезке $[0,y_{\min}]$ функция $\Phi$ убывает от $-\pi/2$ до~$\Phi_{\min}$, затем на луче $[y_{\min},+\infty)$ 
функция $\Phi$ возрастает от $\Phi_{\min}$ до $+\infty$. На всем луче $y\geqslant 0$ функция $\Phi$ выпукла вниз, поскольку из~\eqref{SumPhi'} 
после дифференцирования имеем 
\begin{equation*}
	\Phi''(y)=2 y\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{\left(n^2+y^2 \right)^2 }>0,\quad y>0,
\end{equation*}
что совпадает с формулой~\eqref{Phi''2}.

Многочлены~\eqref{Phi12} суть улучшенные миноранта и мажоранта для функции $\Phi$ при малых положительных $y$ по сравнению с~$\underline{\Phi}$ 
и $\overline{\Phi}$ из теоремы~\ref{th1} (см. рис.~2 и рис.~5). В~то же время, из оценок~\eqref{dublineqPhi} видно, 
что $\Phi_1$, $\Phi_2$ не годятся для качественного оценивания корня $y_*$. 
Это проделано в~предложении~\ref{p2} с~привлечением интегрального представления~\eqref{Phi1}. 
Отметим, наконец, что и~асимптотическое поведение $\Phi(y)$ при $y \to +\infty$ также проще изучать, 
исходя из интегрального представления~\eqref{Phi1} (см. предложение~\ref{p1}), а~не из разложения в ряд~\eqref{PhiSum}.

Авторы признательны Б.И. Сулейманову за интерес к работе и ценные указания на литературные источники~\cite{ZakhMan76}--\cite{Sul17}.
\bigskip 
%\newpage
\begin{thebibliography}{1} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).

\bibitem{WW} E.T. Whittaker, G.N. Watson, 
{\it A Course of Modern Analysis}, V.~2, Cambridge University Press, Cambridge, 1927.

\bibitem{OLBC} F.W.J. Olver, D.W. Lozier, R.F. Boisvert, C.W. Clark,
{\it The NIST Handbook of Mathematical Functions}, NIST and Cambridge University Press, 
Cambridge, New York, 2010.

\bibitem{KoSh21} A.B. Kostin, V.B. Sherstyukov,
\href{https://doi.org/10.13108/2021-13-4-50}{\it Integral representations of quantities associated with Gamma function}, 
Ufa Mathematical Journal, \textbf{13}:4 (2021), 50--62.

\bibitem{Pop20} A.Yu. Popov,
\href{https://doi.org/10.24411/2500-0101-2020-15105}{\it Two-sided estimates of the central binomial coefficient},  
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, \textbf{5}:1 (2020), 56--69.

\bibitem{KuKy20} V.I. Kuzovatov, A.M. Kytmanov,
\href{https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.061}{\it On an analog of the Binet integral representation}, 
Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bf 17} (2020), 840--852.

\bibitem{KuKy24} V.I. Kuzovatov, A.M. Kytmanov,
\href{https://doi.org/10.33048/semi.2024.21.050}{\it On one integral representation of Binet type}, 
Siberian Electronic Mathematical Reports, {\bf 21}:2 (2024), 741--754.


\bibitem{ZakhMan76} V.E. Zakharov, S.V. Manakov,
{\it Asymptotic behavior of non-linear wave systems integrated by the inverse scattering method},  
Journal of Experimental and Theoretical Physics, \textbf{44}:1 (1976), 106--112.

\bibitem{SegAb81} H. Segur, M.J. Ablowitz,
\href{https://doi.org/10.1016/0167-2789(81)90124-X}{\it Asymptotic solutions of nonlinear evolution equations and a Painlev\'{e} transcendent},  
Physica D: Nonlinear Phenomena, \textbf{3}:1-2 (1981), 165--184.

\bibitem{Sul17} B.I. Suleimanov,
\href{https://doi.org/10.1134/S0021364017180126}{\it Effect of a small dispersion on self-focusing in a spatially one-dimensional case},  
Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters, \textbf{106}:6 (2017), 400--405.

\bibitem{T86} E.C. Titchmarsh, 
{\it The Theory of the Riemann Zeta-function}, Clarendon Press, Oxford, 1986.

\bibitem{V95} V.V. Volchkov,
\href{}{\it On an equality equivalent to the Riemann hypothesis}, Ukrainian Mathematical Journal, \textbf{47}:3 (1995), 491--493.

\bibitem{KoSh25} A.B. Kostin, V.B. Sherstyukov,
\href{}{\it Integral representations for the argument of the Gamma function of a complex variable}, Doklady Mathematics, \textbf{524} (2025), 19--24.

\bibitem{KS25} A.B. Kostin, V.B. Sherstyukov,
\href{}{\it Analytical formula for the argument Gamma function as a complex quantity}, Mathematical Notes, \textbf{118}:5 (2025), 748--763.

\bibitem{Kuz35} R.O. Kuzmin, 
{\it Bessel Functions}, ONTI, Moscow, 1935.

\bibitem{Sed05} A.M. Sedletskii, 
{\it Classes of Analytic Fourier Transforms and Exponential Approximations}, Fizmatlit, Moscow, 2005.

\bibitem{Dub06} A.E. Dubinov, I.D. Dubinova, S.K. Saikov,
{\it Lambert W Function and its Applications in Mathematical Problems of Physics}, Publishing House of RFNC-VNIIEF, Sarov, 2006.

\bibitem{KoSh23} A.B. Kostin, V.B. Sherstyukov,
\href{https://doi.org/10.1007/s10958-023-06616-6}{\it Application of the Hausdorff metric in model problems with discontinuous functions 
in boundary conditions}, Journal of Mathematical Sciences, \textbf{274}:4 (2023), 511--522.

\bibitem{Kn96} R.M. Corless, G.H. Gonnet, D.E.G. Hare, D.J. Jeffrey, D.E. Knuth,
\href{https://doi.org/10.1007/BF02124750}{\it On the Lambert W function}, Advances in Computational Mathematics, 
\textbf{5}:4 (1996), 329--359.

\bibitem{KaTi17} A.V. Karev, I.V. Tikhonov,
{\it Zeros distribution of a Mittag-Leffler type entire function
with applications to the theory of inverse problems},  
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, \textbf{2}:4 (2017), 430--446.

\bibitem{Br16} G.G. Braichev,
\href{https://doi.org/10.1070/SM8483} {\it The least type of an entire function 
whose zeros have prescribed averaged densities and lie on rays or in a sector},  
Sbornik: Mathematics, \textbf{207}:2 (2016), 191--225.

\bibitem{Zor04} V.A. Zorich, 
{\it Mathematical Analysis}, V.~2, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2004.

\end{thebibliography}
\end{document}
