%\documentclass[12pt, draft]{article}
\documentclass[11pt,reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}


\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\section}{0pt}{2.5ex}{1.5ex}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{1.5ex}{1ex}
\titleformat{\section}{\large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsection.}{0.5em}{}[.\mbox{\ }]
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\bfseries}{\thesubsubsection.}{0.4em}{}[.\mbox{\ }]



%%%%%---------- ORCiD
\newcommand\orcidicon[1]{\href{https://orcid.org/#1}{\includegraphics[scale=0.02]{orcid.pdf}}}
\def\udcs{517.544} %Здесь автор определяет УДК своей работы
\def\mscs{47A68} %Здесь автор определяет классификаторы AMS своей работы
\setcounter{page}{144}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.03, 0.27, 0.79}

\hypersetup{linkcolor=blue,filecolor=black,urlcolor=blue, citecolor=blue}

\def\logo{\textcolor{blue}{{\bf\Huge S\raisebox{0.2ex}{\hspace{0.55ex}\raisebox{0.05ex}e\hspace{-1.65ex}$\bigcirc$}MR}}}

\def\semrtop
     {
  \vbox{
     \noindent\logo \hspace{-3mm}  \parbox{12cm}{     \begin{center}
     {\LARGE \textsf{СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ}} \\[2mm]
     {\LARGE \textsf{МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ}} \\[2mm]
     {\Large \textsf{Siberian Electronic Mathematical Reports}} \\[1mm]
     {\Large\tt{\textcolor{blue}{http://semr.math.nsc.ru}}}\\[1mm]
     \raisebox{1ex}{ISSN 1813-3304 }
     \vspace*{-3mm}
     {\small Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН}\\[-1mm]
%     {\small Sobolev Institute of Mathematics SB RAS}
     \end{center}
}
     \vspace{-1mm}
     \noindent
      \begin{tabular}{c}
     \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!} \\
     \hline\hline
     \end{tabular}

     \vspace{3mm}
     {\flushleft\it Том 20, № 2, стр. 144--145 (2023) \hspace{\fill}{\rm\small УДК \udcs \hspace{-4mm}}}
     \newline
     	{\rm\small \textcolor{blue}{https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.???}}\hphantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\;}{\rm\small MSC\ \ \mscs }
  }%\vbox
}



\begin{document}
\renewcommand{\refname}{References}


\thispagestyle{empty}

\title[\sc ]{\large Усеченное уравнение Винера~---Хопфа с вещественным символом.}
\author[А.Ф. ВОРОНИН]{{\bf \large \textsc{А.Ф. Воронин }}\protect\orcidicon{0000-0001-8827-2630}\\ \\
%\textit{Представлено} \textsc{П.П. Петровым}
%\textit{(заполняется редактором)}
}%
\address{Anatoly Fedorovich Voronin  % Контактные данные всех авторов и место работы указываются только на английском языке
\newline\hphantom{iii} Sobolev Institute of Mathematics,
\newline\hphantom{iii} pr. Koptyuga, 4,
\newline\hphantom{iii} 630090, Novosibirsk, Russia}%
\email{\textcolor{blue}{voronin@math.nsc.ru}}%

\thanks{\sc  Voronin, A.F.,
The truncated Wiener~---Hopf equation with a real symbol.}
\thanks{\copyright \ 2025 Воронин А.Ф.}
\thanks{\rm Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект  FWNF-2022-0009)}
\thanks{\it Поступила 1 ноября 2025 г., опубликована 31 декабря 2025 г.}%


\semrtop \vspace{1cm}


\maketitle {\small
\begin{quote}
\noindent{\bf Abstract:} The paper provides sufficient conditions for the correct solvability of the truncated Wiener-Hopf equation with a real symbol. 

\noindent{\bf Keywords:}truncated Wiener~---Hopf equation, correctness, existence, uniqueness, stability, real symbol.
 \end{quote}
}

\bigskip

\section{Введение*}
Рассматривается  уравнение в свертках  второго рода на конечном интервале, которое называют также усеченным уравнением Винера~---Хопфа: 
\begin{equation}
	 u(t)-\int\limits_{0}^\tau k(t-s)u(s)\,ds=f(t), \quad
t\in (0,\tau),	\label{s0:1}\end{equation}
 где \begin{equation} k\in L_1(R), \quad
f\in L_1(0,\infty),\ \tau>0.	\label{s0:2}
\end{equation}

Легко видеть, что значения функции $k(t)$ вне интервала $(-\tau,\tau)$ и  функции $f(t)$ вне интервала $(0,\tau)$ не влияют на решение уравнения~\eqref{s0:1}. Для удобства считаем, что $k(t),\ f(t)$ --- заданные функции при $t\in (-\tau,\tau)$ и $t\in (0,\tau)$  соответственно, и  произвольные при $t\notin (-\tau,\tau)$ и $t>\tau$ соответственно. 

Решение уравнения~\eqref{s0:1} при условии~\eqref{s0:2}  (решение задачи~\eqref{s0:1}--\eqref{s0:2}) будем искать в $L_1(0,\tau)$.

Символом уравнения~\eqref{s0:1} называют функцию $S$:
\begin{equation}
		S(x):=1-{\mathcal F}k(x),\ x\in R,	\label{s0:3}
	\end{equation} 
	
где	${\mathcal F}$--  преобразование Фурье,
	$${\mathcal F}k(x)=\int\limits^{\infty}_
	{-\infty}k(t)e^{ixt}\,dt,\ x\in {R}.$$
Уравнения типа свертки  тесно связаны с различными приложениями. Это задачи
классической математической физики и ее обратные задачи, задачи 
информатики, всевозможные  задачи современной техники и экономики: ядерной физики, автоматического управления, теории игр, массового	обслуживания и другие   \cite[с. 6]{Gakhov}. Заметим, что в  \cite{Gakhov} рассматриваются приложения  уравнений Винера~---Хопфа, усеченные же уравнения Винера~---Хопфа имеют более широкую область применений. Например, усеченные  уравнения Винера~---Хопфа лежат в основе одной из модификации метода  
Гельфанда–Левитана-Марченко-Крейна \cite{Romanov}--\cite{Kabanikhin}. Метод используется для решения множества обратных задач, таких как обратная задача  рассеяния или обратные задачи для уравнений волнового типа.  Кроме того,  в алгебре Винера порядка два задача факторизации сводится  к усеченному  уравнению Винера~---Хопфа \cite{VAF1}--\cite{VAF2}. 

К настоящему времени не существует общей теории уравнения~\eqref{s0:1} (в отличие от уравнения Винера~---Хопфа~\cite{Gakhov},\cite{Krein}). Более того, не существует
 теории корректности задачи~\eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} с обозримыми условиями корректности. Успех в
исследовании задачи~\eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} достигнут лишь в частных
случаях:

 В \cite{Ganin} задача~\eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} исследована при условии,  что ядро имеет следующий общий вид:
$$k(t)=\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{l=1}^{m_j}c_{lj}e^{p_j}t^l,\ t\in (-\tau,\tau),$$ где $c_{lj},p_j$
--- комплексные постоянные. 

В \cite[теорема 7.2]{GohFel} показано, что  существует $\tau_1>0$, такое что при всех $\tau>\tau_1$ решение задачи ~\eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} существует и единственно, если выполнено следующее  условие
 \begin{equation}	S(x)\neq 0,\ x\in R,\
 	\textup{Ind}\, S(x):=
 \frac{1}{2\pi} \Delta_{{\mathbb R}}\arg S(x) =0,	\label{s0:4}\end{equation} 
где 
$\textup{Ind}\, S(x)$-- индекс функции $S$.

 В  \cite{VAF3} приведены результаты исследования задачи~\eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} при выполнении неравенства в \eqref{s0:4} и  условия
$$   {\mathcal F}^{-1}\{{\mathcal F}k(x)/S(x)\}(t)=0,\ t<-\tau,$$
 где 
  $ {\mathcal F}^{-1}$--  обратное преобразование Фурье.

Случай, когда функция $k$ является периодической, с периодом $\tau$, исследован в \cite{VAF4}.


Положим
\begin{equation*}
	k_\pm(t)=\theta(\pm t)\,k(t),\ t\in R,
\end{equation*}
где $\theta$-- функция Хевисайда.\\
 Имеем
\begin{equation*}
k(t)=	k_-(t)+k_+(t),\  t\in R,\ {\mathcal F}k_\pm(x)={\mathcal F}\{\theta(\pm t)k(t)\}(x).
\end{equation*}
%%Отметим также, что к задаче~\eqref{s0:1}--\eqref{s0:2}, при соответствующих дополнительных условиях на ядро $k$,  применима теорема  Гильберта-Шмидта \cite[~c. 50,75]{5}.  Однако здесь (и в общем  случае применения теоремы Гильберта-Шмидта) число условий корректности  задачи~\eqref{s0:1}--\eqref{s0:2}  бесконечно.

Хорошо известно,  для уравнения типа свертках второго рода на полубесконечном интервале (уравнения Винера~---Хопфа) и для скалярной краевой задачи Римана существуют развитые теории (см., например, \cite{Gakhov},\cite{Krein}). Взаимосвязь (эквивалентность) между уравнением  Винера~---Хопфа  и скалярной краевой задачей Римана~---Гильберта была найдена в середине прошлого века (см. исторические сведения в \cite{Gakhov}). 

Изучение уравнений типа свертки на конечном интервале с помощью векторной краевой задачи Римана~---Гильберта началось, по-видимому, с работы \cite{Nov}. Развитие этого направления исследования  смотри в \cite{VAF5}.

В работах автора (см., например, \cite{VAF1}--\cite{VAF2}) развивается направление, в котором изучается  векторная краевой задаче Римана~---Гильберта (задача факторизации)
с помощью уравнения типа свертки \eqref{s0:1}. Была получена формула взаимосвязи (и найдены условия эквивалентности) между задачей~\eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} и краевой задачей Римана~---Гильберта с матричным коэффициентом, допускающим стандартную факторизацию в алгебре Винера порядка 2. Показано~\cite{VAF1}, что широкий класс краевых задач Римана~---Гильберта (задач факторизации) сводится к задаче ~\eqref{s0:1}--\eqref{s0:2}. 
%%  использую формулу взаимосвязи между задачей \eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} и  краевая задача Римана~---Гильберта с матричным коэффициентом $M(x)$,
 
 В данной работе  построена  матрица-функция, которая допускает каноническую факторизацию в алгебре Винера порядка 2. Показано, что задача Римана~---Гильберта,  коэффициент которой является построенная матрица-функция,  сводится к задаче~\eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} с вещественным  символом.   В виду того, что существование канонической факторизации матрицы-функции  гарантирует корректную разрешимость соответствующей  краевой задачи   Римана~---Гильберта  (см. ниже теорему~\ref{theorem_01}), то по доказанной ниже теореме~\ref{theorem_02} были  получены условия корректной разрешимости задачи~\eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} с вещественным  символом (см. ниже теоремы 3,4).   
 
  
  Прежде чем перейти непосредственно к  краевой задаче Римана~---Гильберта и взаимосвязи этой задачи с усеченным уравнением Винера~---Хопфа, введем следующие обозначения.
Для $1 \leq  n,m\leq  2$ положим $L_{n\times m}$ --- пространство $n\times m$ матриц-функций с
элементами из $L_1(R)$,   ${\mathcal F}f$ --- образ Фурье матрицы-функции $f\in L_{n\times m}$.
%: $${\mathcal F}f(x)=\int\limits^{\infty}_
%{-\infty}f(t)e^{ixt}\,dt,\ x\in {\mathbb R},$$ где 
${\mathbb R}$ -- расширенная вещественная прямая  (R --- вещественная прямая);   ${\mathbb W}^{n\times n}$ --- алгебра
Винера непрерывных матриц-функций вида $C+{\mathcal F}f$, где $C$
--- постоянная матрица порядка $n$ и $f\in L_{n\times n}$;
${\mathbb W}^{n\times n}_+\ (W^{n\times n}_- )$ --- подалгебра в ${\mathbb W}^{n\times
	n}$, состоящая из матриц-функций вида $C+{\mathcal F}f$ таких, что
$f(t)=0$ при $t<0$ (при $t>0$); при C=0 соответствующие алгебры и
подалгебры будем снабжать нижним индексом 0 (${\mathbb W}^{n\times n}_0,\,
{\mathbb W}^{n\times n}_{0\pm}$).  При $n=1$ верхний индекс ${n\times n}$ при
${\mathbb W}$ будем опускать. Если $B$ --- некоторая алгебра, то через ${\mathcal G}B$ обозначим
группу из обратимых элементов в $B$.
Через
${\mathbb W}^{n\times 1},\, $
$ {\mathbb W}^{n\times 1}_\pm$ 
обозначим  группы, состоящие из векторов столбцов матриц-функций из алгебр  $ {\mathbb W}^{n\times n},\, $
${\mathbb W}^{n\times n}_\pm$ соответственно.

\section{Краевая задача Римана~---Гильберта. }
Рассмотрим  краевую задачу Римана~---Гильберта на расширенной прямой ${\mathbb R}$, в которой
требуется найти  вектор-функции $\Phi^\pm:=(\Phi^\pm_1,\Phi^\pm_2)^T\in {\mathbb W}^{2\times 1}_{0\pm}$
по краевому условию:
\begin{equation}	\Phi^+(x)=M(x)\,\Phi^-(x)+q^-(x),\ x\in {\mathbb R},	\label{s1:5}
\end{equation}  

где  	
\begin{equation}
M(x)=\left(\begin{array}{cc}
	1 & e^{ix\tau}m^-(x)\\
	e^{-ix\tau}m^+(x) & 1+m_{22}(x) \
\end{array}\right)\in{\mathcal
	G}{\mathbb W}^{2\times 2},\  q^-\in {\mathbb W}^{2\times 1}_{0-},\label{s1:6}
\end{equation}  
\begin{equation}
	 q^-(x)=\int\limits^{0}_
	 {-\tau}q_-(t)e^{ixt}\,dt,\ q_-\in L_1(-\tau,0), \label{s1:7}
	 \end{equation} 
	 
\begin{equation}
	m^\pm\in{\mathbb W}_{0\pm},\ 1+m_{22}(x)=d_M(x)+m^+(x)m^-(x), \
  d_M\in{\mathcal G}{\mathbb W}.
\label{s1:8}
\end{equation} 
Легко видеть, что определитель матрицы $M$ равен $d_M$ ($\det
M=d_M)$.

Считаем, что \begin{equation*}   \kappa:=\textup{Ind}\, d_M(x)=0.
%%d_M(x)\neq 0,\ x\in {\mathbb R},\
\end{equation*} 
Следовательно, справедлива следующая факторизация функции $d_M(x)$:
\begin{equation} d_M(x)= d_M^+(x)\,d_M^-(x),\ x\in {\mathbb R}, \ \text{где}\  d_M^\pm\in {\mathcal G}W_{\pm}.\label{s1:9}
\end{equation} 

Ниже приведем  хорошо известные результаты из теории краевой задачи Римана~---Гильберта
и факторизации матриц-функций (см., например, \cite [гл. I]{Spit},\cite[\S 7]{GohKr}).

Будем говорить, что матрица $M\in{\mathcal 	G}W^{2\times 2}$ допускает стандартную (левую) факторизацию, если она
представляется в виде следующего произведения матриц:
$$ M(x)=M_+(x)D(x)M_-(x),~ x\in {\mathbb R},$$
где $M_\pm \in {\mathcal G}W^{2\times 2}_{\pm}$ ($M_\pm $ --- фактор-множители), $D(x)$ - диагональная матрица-функция,
$$D(x)=\bigl\{\left(\frac{x-i}{x+i}\right)^{\kappa_1},
\left(\frac{x-i}{x+i}\right)^{\kappa_2}\bigr\},$$ $ \kappa_1\geq \kappa_2 $ ---
частные индексы матрицы $M$ (целые числа),
$ \kappa=$Ind$\,
\det\,M(t)=\sum\limits_{j=1}^{2}\kappa_j$ --- суммарный индекс матрицы $M$.\\

Корректность краевой задачи Римана определяют частные индексы ее
матричного коэффициента. В частности, имеет место следующая

\begin{theorem}
	\label{theorem_01}
	Пусть суммарный индекс матрицы $M(t)$ равен нулю. Тогда  для устойчивости  чисел $p$ и $l$ (где $l$ -- число линейно
	независимых решений,
	$p$ -- число условий разрешимости задачи Римана~---Гильберта \eqref{s1:5}--\eqref{s1:6}) относительно элементов матрицы $M(x)$
	необходимо и достаточно, чтобы  частные индексы матрицы $M(x)$ были равны нулю.
	Кроме того, если частные индексы матрицы $M(x)$  равны нулю, то однородная задача Римана~---Гильберта \eqref{s1:5}--\eqref{s1:6} имеет только тривиальное решение, а неоднородная задача корректно разрешима (решение существует, единственно и устойчиво по отношению к коэффициентам задачи $M$ и $q^-$).
\end{theorem}
%\ref{theorem_01}
\section{Взаимосвязь между краевой задачей Римана~---Гильберта \eqref{s1:5}--\eqref{s1:6} и задачей \eqref{s0:1}--\eqref{s0:2}. }
Положим
\begin{equation} w_\tau^\pm(x):= d_M^\pm(x) \mp m^\pm(x),\ {\mathcal F}f(x):=\frac{e^{ix\tau}q^-(x)}{w_\tau^+(x)},
			\label{s1:10}
\end{equation} 
\begin{equation} S(x):=\frac{d_M(x)+m^+(x)m^-(x)}{w_\tau^-(x)w_\tau^+(x)},	\label{s1:11}
\end{equation} 
где
 \begin{equation}  |w_\tau^\pm(z)|>0,\ \pm \textup{Im} \, z\geq 0\ \bigl(z=x+iy\bigr),\label{s1:12}
 \end{equation} 
\  \   $S$--- символ уравнения \eqref{s0:1}.\\
 Справедлива
\begin{theorem}
	\label{theorem_02}
	Пусть  выполнены соотношения в \eqref{s1:10}--\eqref{s1:12}. 
	Тогда решение u(t) (образ Фурье решения)  усеченного уравнения Винера~--Хопфа \eqref{s0:1} при ограничении \eqref{s0:2}  выражается через решение краевой задачи Римана  \eqref{s1:5}--\eqref{s1:9} по формуле:
		\begin{equation} 	{\mathcal F}u(x)=\Phi_1^+(x)+e^{ix\tau}d_M^-(x)\Phi_2^-(x).\label{s1:13}
	\end{equation} 
	
	\end{theorem} 
	\begin{proof}
	Перенесем вектор-столбец $(0,q^-)^T$ в левую часть краевого условия \eqref{s1:5} и обозначим
	\begin{equation*}
		 \phi_2(x):=\Phi_2^+(x)-q^-.
		 \end{equation*} 
	Далее будем рассуждать также как  при доказательстве \cite[теоремы 3]{VAF1} вплоть до равенства \cite[(2.9)]{VAF1}, в котором,  в нашем случае 
		\begin{equation*}C_2=0=\hat{f}=0,\ \Psi^+_1=\Phi^+_1+ e^{ix\tau}\,d_M^-\Phi_2^-. 
		\end{equation*}  
	Таким образом, равенство 
	\cite[(2.9)]{VAF1} будет иметь вид:
	\begin{equation}
		(1-{\mathcal F}k(x))\Psi_1^+(x) -\frac{\Phi_2^+(x)-q^-(x)} {w_\tau^+(x)}e^{ix\tau}= \frac{d_M^-(x)\Phi_1^-(x)}{w_\tau^-(x)}, \ x\in R.
	\label{s1:14}
	\end{equation} 
	Из равенства \eqref{s1:14}, с учетом второго равенства в \eqref{s1:10} и соотношений в  \cite[(2.10)--(2.13)]{VAF1} (при $C_2=0$), получим исходное уравнение \eqref{s0:1}. В последнем
		\begin{equation}
	f(t)=-{\mathcal F}^{-1}\{\frac{e^{ix\tau}q^-(x)}{w^+_\tau(x)}\}(t),\ k(t)={\mathcal F}^{-1}\{1-S(x)\}(t),
			\label{s1:15}
			\end{equation}
где $S$ -- символ уравнения  \eqref{s0:1}, который определен формулой \eqref{s1:11}.

\end{proof}
Отметим, что выражения для символа уравнения  в \eqref{s1:11} имеет эквивалентную форму \cite[формула (1.7)]{VAF2}:
 \begin{equation}
S(x)=\frac{d_M^+(x)}{w_\tau^+(x)}+ \frac{d_M^-(x)}{w_\tau^+(x)}-1.
\label{s1:16}			\end{equation} 

\section{Условия для корректной разрешимости задачи Римана~---Гильберта \eqref{s1:5}--\eqref{s1:6}.}
Из теоремы 1 следует, что для корректной разрешимости задачи Римана~---Гильберта \eqref{s1:5}--\eqref{s1:6} необходимо и достаточно существование канонической факторизации 	матрицы $M(x)$ в \eqref{s1:6}.
Найдем достаточные условия для существования канонической факторизации 	матрицы $M(x)$. Справедлива
\begin{lemma}
	\label{lemma_01}
В следующих двух случаях	матрица $M(x)$ в \eqref{s1:6} допускает каноническую факторизацию (задача Римана~---Гильберта \eqref{s1:5}--\eqref{s1:6}  корректно разрешима):\\
\begin{equation*}
		(i)   \ \ m^+=\overline{m^-},\ d^\pm_M=1;
\end{equation*} 
\begin{equation*}\	(ii) \ \  \ m^+=-\overline{m^-},\  d^\pm_M=1\pm m^\pm,
\end{equation*} 
\begin{equation}	d^-_M(x)=1- m^-(x)\neq 0,\  m^-(x)+\overline{m^-(x)}<1,\  x\in R.
	\label{s1:17}			\end{equation} 
	
	\end{lemma}
	\begin{proof}
	Доказательство начнем со случая (i). Легко видеть, что в этом случае матрица-функция   $M(x)$ положительно определенная. Тогда матрица-функция $M(x)$  допускает каноническую факторизацию  \cite{Shmul}.
	
	Перейдем к доказательству случая $(ii)$. В этом случае матрица-функция  $M(x)$ имеет следующий вид:
	\begin{equation*}
		M(x)=\left(\begin{array}{cc}
			1 & e^{ix\tau}m^-(x)\\
	-e^{-ix\tau}\overline{m^-(x)} & 1-m^-(x)-\overline{m^-(x)} \
		\end{array}\right).
	\end{equation*} 
	 Имеем
	 \begin{equation*}
	 	M_R(x):=\frac{M(x)+M^*(x)}{2}=\bigl\{1,
	 	 1-m^-(x)-\overline{m^-(x)}\bigr\},
		\end{equation*} 
где
 \begin{equation*}
M^*(x)=\overline{M^T(x)},\ T-\text{знак транспонирования}.
\end{equation*} 
Из второго неравенства в \eqref{s1:17} следует, что $\det M_R(x)\neq 0,\ x\in R$.Таким образом, эрмитова  матрица-функция $M_R(x)$ положительно определена. 	Тогда по \cite[теорема 8.1]{GohKr}
	 получим, что  матрица-функция $M(x)$  допускает каноническую факторизацию  в случае $(ii)$. 
	\end{proof}	 
	 
\section{Уравнение \eqref{s0:1}   с вещественным символом.
	}

Имеет место
\begin{theorem}
	\label{theorem_03}
Пусть выполнено неравенство
\begin{equation}
	||k_-||_1=\int\limits_{-\infty}^\infty| k_-(t)|\,dt<1.\label{s1:18}
\end{equation}
 Если  символ уравнения~\eqref{s0:1} вещественен и для него справедливо неравенство
\begin{equation}
S(x)=1-{\mathcal F}k_-(x)-\overline{{\mathcal F}k_-(x)}>0,\ x\in R,	\label{s1:19}
\end{equation}
то уравнение \eqref{s0:1} корректно разрешимо в $L_1(0,\tau)$ для любой его правой части $f\in L_1(0,\tau)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Поставим в соответствие задаче \eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} краевую задачу Римана~---Гильберта \eqref{s1:5}--\eqref{s1:6} так, чтобы выполнялись 
	теорема~\ref{theorem_02} и лемма~\ref{lemma_01} с условием (ii). Для этого положим
\begin{equation}
m^-:={\mathcal F}k_-,\ m^+:=-\overline{m^-},\ \ d^\pm_M:=1\pm m^\pm\ (d_M=|1-{\mathcal F}k_-|^2).	\label{s1:20}
\end{equation}
Тогда из \eqref{s1:10}--\eqref{s1:11} получим 
\begin{equation}
w_\tau^\pm(x)=1,\ {\mathcal F}f(x)=e^{ix\tau}q^-(x),
 S(x)=d_M(x)+m^+(x)m^-(x).
 	\label{s1:21}
 \end{equation}
Легко видеть, что условия теорема~\ref{theorem_02} и лемма~\ref{lemma_01} (с условием (ii)) выполнены. Следовательно, по лемме~\ref{lemma_01} краевая задача Римана~---Гильберта \eqref{s1:5}--\eqref{s1:6} корректно разрешима.Тогда из теоремы~\ref{theorem_02} и равенств в \eqref{s1:15} следует, что решение задачи \eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} существует, единственно и справедлива  оценка:
\begin{equation}
||u||_1\leq ||\Phi_1^+||_W+||d_M^-(x)||_W ||\Phi_2^-||_W,	\label{s1:22}
\end{equation}
где $||.||_W$ -- норма в алгебре Винера. Из оценки \eqref{s1:22} вытекает, что задача 
 \eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} устойчива. Из последнего равенства в
 \eqref{s1:21} имеем
 \begin{equation}
  S(x)=1-{\mathcal F}k_-(x)-\overline{{\mathcal F}k_-(x)}.\label{s1:23}
 \end{equation}
%% Значит, символ уравнение \eqref{s0:1} является вещественной функцией.
 
\end{proof}

 Рассмотрим другой случай, когда символ уравнения~\eqref{s0:1} вещественен и задан формулой
 \begin{equation}
 	S(x)=\frac{1}{1+m^-(x)}+ \frac{1}{1+\overline{m^-(x)}}-1,\ \text{где}\ 
  ||m^-||_W<1.
 	\label{s1:24}			\end{equation} 
 
Имеет место
\begin{theorem}
	\label{theorem_04}
	Пусть для символа уравнения~\eqref{s0:1} выполняется условие   \eqref{s1:24}, а для функций $f$ и $k$ справедливы равенства в \eqref{s1:15}, где
	 \begin{equation*}
		w_\tau^+=1-\overline{m^-}.
		\end{equation*}
	Тогда уравнение~\eqref{s0:1} корректно разрешимо в $L_1(0,\tau)$ для любой его правой части $f\in L_1(0,\tau)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы~\ref{theorem_03}.	Поставим в соответствие задаче \eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} краевую задачу Римана~---Гильберта \eqref{s1:5}--\eqref{s1:6} так, чтобы выполнялись 
	теорема~\ref{theorem_02} и лемма~\ref{lemma_01} с условием (i). Для этого положим
	\begin{equation*}
		m^+:=\overline{m^-},\ d^\pm_M= d_M:=1.	
	\end{equation*}
	Тогда из \eqref{s1:10}--\eqref{s1:11} получим 
	\begin{equation*}
		w_\tau^\pm(x)=1\mp m^\pm,\ {\mathcal F}f(x)=e^{ix\tau}\frac{q^-(x)}{	w_\tau^+(x)}.
	%		\label{s1:26}
	\end{equation*} 
	Легко видеть, что условия теорема~\ref{theorem_02} (с равенством \eqref{s1:16}) и леммы~\ref{lemma_01} (с условием (i)) выполнены. Следовательно, по лемме~\ref{lemma_01} краевая задача Римана~---Гильберта \eqref{s1:5}--\eqref{s1:6} корректно разрешима.Тогда по теореме~\ref{theorem_02}, с учетом оценки \eqref{s1:22}, корректно разрешима и задача \eqref{s0:1}--\eqref{s0:2}.
		
\end{proof}

\section{Примеры.}
1. Пусть символ уравнения~\eqref{s0:1} имеет вид~\eqref{s1:23} и справедливо неравенство
 \begin{equation*}
 	||k_-||_1<1/2.
 			\end{equation*}  
Тогда 
\begin{equation*}
k(t)=k_-(t)+\overline{k_-(-t)},\ 	||k||_1<1. 	
			\end{equation*}  
Из последнего неравенства по теореме Банаха об обратном операторе следует, что решение задачи
\eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} существует, единственно и представимо в виде абсолютно сходящегося
ряда Неймана, т.е. устойчиво. Получим ниже такой же результат по теореме~\ref{theorem_03}. Другими словами покажем,
 что в условиях примера теорема~\ref{theorem_03} выполняется. Легко видеть, что достаточно показать выполнение неравенства в \eqref{s1:19}. Для этого рассмотрим очевидную цепочку неравенств:
 \begin{equation*}
|{\mathcal F}k_-(x)+\overline{{\mathcal F}k_-(x)}|\leq 2|{\mathcal F}k_-(x)|\leq  2	||k_-||_1<1.
\end{equation*}
 Следовательно, ${\mathcal F}k_-(x)+\overline{{\mathcal F}k_-(x)}<1$, и неравенство в \eqref{s1:19} выполняется.
 
 2. Пусть выполнены условия теоремы~\ref{theorem_03} или  теоремы~\ref{theorem_04}. Можно видеть, что выполняется и условие  \eqref{s0:4}. Тогда по \cite[теорема 7.2]{GohFel}   существует $\tau_1>0$, такое что при всех $\tau>\tau_1$ решение задачи ~\eqref{s0:1}--\eqref{s0:2} существует и единственно. Что также следует из теоремы~\ref{theorem_03} или теоремы~\ref{theorem_04}.
 
 
\bigskip
\begin{thebibliography}{90} % Ссылки на литературу приводятся только на английском языке (даже если у источника нет англоязычной версии).
\bibitem{Gakhov} F. D.  Gakhov  and Yu. I. Cherskii, {\it Equations of Convolution Type} [in Russian], Nauka, Moscow, 1978.

\bibitem{Romanov}
V. G. Romanov, \href{https://https://doi.org/10.33048/smzh.2021.62.513} {\it On justification of the Gelfand-Levitan-Krein method for a two-dimensional inverse problem}, Siberian Math. J. {\bf67}:3  (2021), 908--924.

\bibitem{Kabanikhin}
S. I. Kabanikhin, M. A. Shishlenin, N. S. Novikov, N. M. Prokhoshin, \href{https://doi.org/10.3390/math11214458} {\it Spectral, Scattering and Dynamics: Gelfand-Levitan-Marchenko-Krein Equations}. Mathematics, {\bf11}:21 (2023), 4458--4468.  

\bibitem{VAF1} A.F. Voronin, \href{https://doi.org/10.1134/S1990478922020168}
{\it On the method of factorization of matrix-functions in the Wiener algebra of order 2}, J. Appl. Industr. Math., \textbf{16}:2 (2022), 365-–376.

\bibitem{VAF2} A.F. Voronin, \href{https://doi.org/10.1134/S1990478924030177}
{\it Construction of a factorization of a certain class of matrix functions in the Wiener algebra of order two}, Russian Math. (Iz. VUZ), \textbf{18}:3 (2023), 32-–41.

\bibitem{Krein} M. G. Krein, \href{http://mi.mathnet.ru/eng/rm7468} {\it Integral equations on the half-line with kernel depending on the difference of the arguments}, Uspekhi
Mat. Nauk,\textbf{13}:5 (1958),  3--120.

\bibitem{Ganin}	M. P. Ganin, \href{http://mi.mathnet.ru/ivm2152} {\it About an Integral Fredholm Equation with Kernel Depending on the Difference of Independent Variables,} Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved.Mat., :2 (1963), 31–43.

\bibitem{GohFel} I. Gohberg, I. A. Feldman, 
{\it Convolution Equations and Projection Methods for Their Solution,}  [in Russian], Nauka, Moscow, 1971.

\bibitem{VAF3}	A. F. Voronin, \href{https://doi.org/10.1007/BF02757393}	{\it A class of second-order convolution equations on an interval},
Differ. Equ., {\bf 36}:10 (2000), 1521–1528

\bibitem{VAF4} A.F. Voronin, \href{https://doi.org/10.1134/S1990478910020183}
{\it Analysis of a convolution integral equation of the second kind with periodic kernel on a finite interval}, J. Appl. Industr. Math., \textbf{4}:2 (2010),282–289.
 
\bibitem{Nov} V. Yu. Novokshenov, \href{https://doi.org/10.1007/BF01145434}
{\it Convolution equations on a finite segment and factorization of elliptic matrices}, Math. Notes, \textbf{27}:6 (1980), 449–455.

\bibitem{VAF5}	A. F. Voronin, \href{https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.090}	{\it Truncated Wiener-Hopf equation and matrix function factorization}, Siberian Electronic
Mathematical Reports, {\bf 17} (2020),  1217–1226. 

\bibitem{Spit}	
I. Gohberg, M. A. Kaashoek and I. M. Spitkovsky, \href{https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8003-9_1} {\it An overview of matrix factorization theory and operator applications, Factorization and integrable systems}. (Faro, 2000), Oper. Theory Adv. Appl., Birkhauser, Basel,  {\bf 141}    (2003), 1--102.

\bibitem{GohKr}  I. Gohberg, M. G. Krein, \href{http://mi.mathnet.ru/eng/rm7414} {\it Systems of integral equations on the half-line with kernels depending on the difference 	of the arguments,} Uspekhi Mat. Nauk, {\bf 13}:2  (1958), 3-72. 

\bibitem{Shmul}	
Yu. L. Shmul'yan, \href{https://www.mathnet.ru/eng/rm/v8/i2/p143} {\it Riemann's problem for positive definite matrices}, Russian Math. Surveys, {\bf 8}:2 (1953), 143–145.



\end{thebibliography}
\end{document}


\bibitem{Gohberg}  Feldman I., Gohberg I.,
Krupnik N.  {\it Convolution equations on finite intervals and
	factorization of matrix function}.  Integral equations and
operator theory,  {\bf  36}:2 (2000), 201--211.


\bibitem{1} D.G. Northcott,
\href{https://doi.org/10.1017/CBO9780511565908}{\it Ideal Theory}, Cambridge University Press, Cambridge, 1953.

\bibitem{2} I.I. Ivanov,
\href{https://doi.org/10.1002/cpa.20282}{\it Some properties of commutative algebras}, Siberian Electronic
Mathematical Reports, {\bf 1} (2004), 142--143.

\bibitem{3} A.V. Tetenov, M. Samuel, D.A. Vauilin,
\href{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-4-281-291}{\it On dendrites generated by polyhedral systems and their ramification points}, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, \textbf{23}:4 (2017), 281--291.


Рассмотрим теперь случай, когда  образом Фурье ядра
является чисто мнимая функцией. Положим

\begin{equation}
	{\mathcal F}k_-(x):=e^{-(\tau-\tau_0)x}n^-(x),\ {\mathcal F}k_+(x):=-\overline{{\mathcal F}k_-(x)},	\label{s1:24}
\end{equation}
где
\begin{equation*}
	\tau_0\in (0,\tau/2),\ n^-\in {\mathbb W}_{0-}.	
	%		\label{s1:27}
\end{equation*} 
Из теоремы~\ref{theorem_04} вытекает
\begin{corollary}
	\label{corollary_1}
	Пусть выполнены равенства в \eqref{s1:24}.
	Тогда уравнение~\eqref{s0:1} корректно разрешимо в $L_1(0,\tau)$ для любой его правой части $f\in L_1(0,\tau)$.
\end{corollary}

\begin{proof}
	В теореме~\ref{theorem_04} положим
	\begin{equation}
		m^-(x):=	{\mathcal F}k_-(x).	\label{s1:25}
	\end{equation}
	Тогда выражения для символа в \eqref{s1:23} будет иметь следующий вид:
	
\end{proof}



